V245.XGP[TEX,DEK] - www.SailDart.org

perm filename V245.XGP[TEX,DEK] blob sn#521432 filedate 1980-07-11 generic text, type T, neo UTF8
/NOWRAPAROUND/LMAR=50/TMAR=50/RMAR=1700/BMAR=1/PMAR=0/XLINE=0/FONT#0=NGR13/USETI=000000833*TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX*

␈β	[␈↓ α4␈ε"SECTION␈α4.5␈αof␈αTHE␈αAR␈α⎇T␈αOF␈αCOMPUTER␈αPR␈α␈OGRAMMING
␈β
ε␈↓ β'␈ε6⎇␈ε"␈α1980␈αAddison↑W␈α⎇esley␈αPublishing␈αCompan␈α␈y,␈αInc.
␈β⊃H␈↓ ε2␈ε$0
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.1␈↓ 
v␈ε"313
␈β↓\␈↓ λ⎇␈ε∞F␈α↓RA␈α␈CT␈α↓IONS
␈βα$␈↓ ↓H␈ε=4␈α␈.5.␈α∩RA␈α|TIONAL␈α
ARITHM␈α␈ETIC
␈βαf␈↓ ↓H␈ε"I␈↓ β/␈ε"importan␈α␈t␈α∂to␈α∂kn␈α↓o␈α␈w␈α∂that␈α∂the␈α∂answ␈α␈er␈α∂to␈α∂some␈α∂n␈α␈umerical␈α∞problem
␈βαk␈↓ ↓T␈ε.T␈α∂IS␈α∞OFTEN
␈ββ␈↓ αs␈ε%1
␈ββ⊃␈↓ ↓H␈ε"is␈α∂exactly␈↓ βπ␈ε",␈α⊂n␈α↓ot␈α∂a␈α⊂⎇oating␈α∂poin␈α␈t␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈α⊂that␈α∂gets␈α⊂prin␈α␈ted␈α∂as␈α∂\0.333333574".
␈ββ"␈↓ αs␈ε%3
␈ββ%␈↓ αs␈∧β%αsα⊂
␈ββ<␈↓ ↓H␈ε"If␈α⊃arithmetic␈α∩is␈α⊃done␈α∩on␈α∩fractions␈α⊃instead␈α∩of␈α∩on␈α⊃appro␈α␈ximations␈↓ 	i␈ε"to␈α⊃fractions,
␈ββg␈↓ ↓H␈ε"man␈α␈y␈α⊃computations␈α⊃can␈α∩be␈α⊃done␈α∩en␈α␈tirely␈ε/␈α⊃with␈α↓out␈α∩an␈α␈y␈α⊃accum␈α␈ulated␈α⊃rounding
␈β∧∪␈↓ ↓H␈ε/errors.␈ε"␈α∂This␈α	results␈α
in␈α	a␈α
comfortable␈α	feeling␈α
of␈α	securit␈α␈y␈α
that␈α	is␈α
o$en␈α	lacking␈α	when
␈β∧>␈↓ ↓H␈ε"⎇oating␈α∞poin␈α␈t␈α∞calculations␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈α∞been␈α∞made,␈α∂and␈α∞it␈α∞means␈α∞that␈α∞the␈α∞accuracy␈α∞of
␈β∧i␈↓ ↓H␈ε"the␈αcalculation␈αcann␈α↓ot␈αbe␈αimpro␈α␈v␈α␈ed␈αupon.
␈β¬m␈↓ ↓H␈ε=4␈α␈.5.1.␈α∩F␈α|r␈α↓a␈α␈cti␈α↓o␈α␈n␈α↓s
␈βε/␈↓ α␈ε"When␈α∂fractional␈α⊂arithmetic␈α∂is␈α∂desired,␈α⊂the␈α∂n␈α␈um␈α␈bers␈α⊂can␈α∂be␈α∂represen␈α␈ted␈α∂as
␈βεT␈↓ ∧$␈ε90␈↓ ε9␈ε90
␈βεZ␈↓ ↓H␈ε"pairs␈α
of␈α
in␈α␈tegers,␈α∞(␈ε(u␈ε"/␈↓ ∧⊂␈ε(u␈↓ ∧.␈ε"),␈α∞where␈ε(␈α
u␈ε"␈α
and␈↓ ε$␈ε(u␈↓ εP␈ε"are␈α
relativ␈α␈ely␈α
prime␈α∞to␈α
each␈α
other␈α
and
␈βε␈␈↓ ↓\␈ε90␈↓ 
β␈ε90␈↓ ↔␈ε90
␈βπ¬␈↓ ↓H␈ε(u␈↓ ↓q␈ε">␈α0.␈α∩The␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
zero␈α
is␈α
represen␈α␈ted␈α
as␈α
(0/1).␈α∩In␈α
this␈α
form,␈α
(␈ε(u␈ε"/␈↓ 	n␈ε(u␈↓ 
␈ε")␈α=␈α(␈↓ 
←␈ε(v␈↓ 
r␈ε"/␈↓ ∧␈ε(v␈↓  ␈ε")
␈βπ+␈↓ ∧g␈ε90␈↓ ¬<␈ε90
␈βπ1␈↓ ↓H␈ε"if␈αand␈αonly␈αif␈ε(␈αu␈ε"␈α	=␈↓ βm␈ε(v␈↓ ∧␈ε"and␈↓ ∧R␈ε(u␈↓ ∧{␈ε"=␈↓ ¬)␈ε(v␈↓ ¬E␈ε".
␈βπV␈↓ 	O␈ε90␈↓ 
b␈ε90
␈βπ\␈↓ α␈ε"Multiplication␈α⊂of␈α⊂fractions␈α⊂is,␈α⊃of␈α⊂course,␈α∩easy;␈α∩to␈α⊂form␈α⊂(␈ε(u␈ε"/␈↓ 	;␈ε(u␈↓ 	Y␈ε")␈ε6␈αα␈ε"␈α
(␈↓ 
*␈ε(v␈↓ 
=␈ε"/␈↓ 
O␈ε(v␈↓ 
l␈ε")␈α⊂=
␈βλ↓␈↓ α≠␈ε90␈↓ εr␈ε90␈↓ π∞␈ε90␈↓ ε␈ε90␈↓ #␈ε90
␈βλπ␈↓ ↓H␈ε"(␈↓ ↓T␈ε(w␈↓ ↓o␈ε"/␈↓ α↓␈ε(w␈↓ α%␈ε"),␈α∩w␈α␈e␈α⊂can␈α⊃simply␈α⊂compute␈ε(␈α⊃u␈↓ ¬o␈ε(v␈↓ ε∪␈ε"and␈↓ ε]␈ε(u␈↓ ε|␈ε(v␈↓ π_␈ε".␈α≡The␈α⊂t␈α␈w␈α␈o␈α⊃products␈ε(␈α⊂u␈↓ 
∧␈ε(v␈↓ 
'␈ε"and␈↓ 
r␈ε(u␈↓ ⊂␈ε(v
␈βλ,␈↓ λ∞␈ε90␈↓ λ+␈ε90
␈βλ2␈↓ ↓H␈ε"migh␈α␈t␈α∂n␈α↓ot␈α⊂be␈α∂relativ␈α␈ely␈α⊂prime,␈α⊂but␈α⊂if␈ε(␈α∂d␈ε"␈α⊂=␈↓ π␈ε"gcd␈↓ π6␈ε"(␈ε(u␈↓ πW␈ε(v␈↓ πj␈ε",␈↓ πz␈ε(u␈↓ λ_␈ε(v␈↓ λ5␈ε"),␈α⊂the␈α∂desired␈α⊂answ␈α␈er␈α∂is
␈βλX␈↓ β≠␈ε90␈↓ βt␈ε90␈↓ ∧⊃␈ε90
␈βλ↑␈↓ ↓H␈ε(w␈↓ ↓n␈ε"=␈ε(␈αu␈↓ α2␈ε(v␈↓ αE␈ε"/␈ε(d␈ε",␈↓ β␈ε(w␈↓ β0␈ε"=␈↓ β`␈ε(u␈↓ β}␈ε(v␈↓ ∧≠␈ε"/␈ε(d␈ε".␈α≠(See␈αexercise␈α
2.)␈α≠E}cien␈α␈t␈α
algorithms␈α
to␈α
compute␈αthe
␈β		␈↓ ↓H␈ε"greatest␈αcomm␈α↓on␈αdivisor␈αare␈αdiscussed␈αin␈αSection␈α4.5.2.
␈β	.␈↓ 
N␈ε90
␈β	4␈↓ α␈ε"An␈α↓other␈α∂w␈α␈a␈α␈y␈α∂to␈α∂perform␈α∂the␈α∂m␈α␈ultiplication␈α⊂is␈α∂to␈α∂|nd␈↓ λo␈ε(d␈↓ 	!␈ε"=␈↓ 	T␈ε"gcd␈↓ 

␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ 
;␈ε(v␈↓ 
W␈ε")␈α∂and
␈β	A␈↓ 	↓␈ε%1
␈β	Y␈↓ αy␈ε90␈↓ λ5␈ε90␈↓ 	↔␈ε90␈↓ 
↓␈ε90
␈β	←␈↓ ↓H␈ε(d␈↓ ↓u␈ε"=␈↓ α#␈ε"gcd␈↓ αY␈ε"(␈↓ αe␈ε(u␈↓ ββ␈ε",␈↓ β∪␈ε(v␈↓ β&␈ε");␈αthen␈αthe␈αansw␈α␈er␈αis␈↓ ¬p␈ε(w␈↓ ε∃␈ε"=␈α
(␈ε(u␈ε"/␈↓ εv␈ε(d␈↓ π→␈ε")(␈↓ π1␈ε(v␈↓ πD␈ε"/␈↓ πV␈ε(d␈↓ πy␈ε"),␈↓ λ~␈ε(w␈↓ λI␈ε"=␈α
(␈↓ 	β␈ε(u␈↓ 	!␈ε"/␈↓ 	3␈ε(d␈↓ 	V␈ε")(␈↓ 	n␈ε(v␈↓ 

␈ε"/␈↓ 
≤␈ε(d␈↓ 
?␈ε").␈α↔(See
␈β	l␈↓ ↓Z␈ε%2␈↓ πλ␈ε%1␈↓ πh␈ε%2␈↓ 	E␈ε%2␈↓ 
/␈ε%1
␈β
␈↓ ↓H␈ε"exercise␈α
3.)␈α⊃This␈α
meth␈α↓od␈α
requires␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
gcd␈α
calculations,␈αbut␈α
it␈α
is␈α
n␈α↓ot␈α	really␈α
slo␈α␈w␈α␈er
␈β
6␈↓ ↓H␈ε"than␈α∞the␈α∂former␈α∂meth␈α↓od;␈α⊂the␈α∂gcd␈α∂process␈α∂in␈α␈v␈α␈olv␈α␈es␈α∞a␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈α∂of␈α∂iterations␈α∞that
␈β
a␈↓ ↓H␈ε"is␈αessen␈α␈tially␈αproportional␈α
to␈αthe␈αlogarithm␈α
of␈αits␈α
inputs,␈αso␈αthe␈α
total␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof
␈β␈↓ ↓H␈ε"iterations␈αλneeded␈α	to␈α	ev␈α}aluate␈α	both␈↓ ¬]␈ε(d␈↓ ε	␈ε"and␈↓ εL␈ε(d␈↓ εw␈ε"is␈α	essen␈α␈tially␈α	the␈α	same␈α	as␈α	the␈αλn␈α␈um␈α␈ber
␈β→␈↓ ¬o␈ε%1␈↓ ε↑␈ε%2
␈β7␈↓ ↓H␈ε"of␈α∞iterations␈α∞during␈α∞the␈α∞single␈α∞calculation␈α∂of␈ε(␈α∞d␈ε".␈α⊗F␈α⎇urtherm␈α↓ore,␈α∂each␈α∞iteration␈α∞in
␈βc␈↓ ↓H␈ε"the␈α∂ev␈α}aluation␈α⊂of␈↓ βg␈ε(d␈↓ ∧→␈ε"and␈↓ ∧c␈ε(d␈↓ ¬∃␈ε"is␈α⊂poten␈α␈tially␈α∂faster,␈α⊃because␈α∂comparativ␈α␈ely␈α∂small
␈βo␈↓ βy␈ε%1␈↓ ∧u␈ε%2
␈βλ␈↓ ε∪␈ε90␈↓ π9␈ε90
␈β∞␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈bers␈α
are␈α∞being␈α
examined.␈α∀If␈ε(␈α∞u␈ε",␈↓ ¬}␈ε(u␈↓ ε≥␈ε",␈↓ ε4␈ε(v␈↓ εG␈ε",␈α∞and␈↓ π'␈ε(v␈↓ πQ␈ε"are␈α
single-precision␈α
quan␈α␈tities,
␈β9␈↓ ↓H␈ε"this␈αmeth␈α↓od␈α
has␈αthe␈α
adv␈α}an␈α␈tage␈α
that␈αn␈α↓o␈α
double-precision␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈αappear␈α
in␈αthe
␈β↑␈↓ 
x␈ε90
␈βd␈↓ ↓H␈ε"calculation␈αunless␈α
it␈α
is␈α
impossible␈α
to␈α
represen␈α␈t␈αboth␈α
of␈α
the␈α
answ␈α␈ers␈↓ 	o␈ε(w␈↓ 
⊗␈ε"and␈↓ 
]␈ε(w␈↓ ∞␈ε"in
␈β
∂␈↓ ↓H␈ε"single-precision␈αform.
␈β
;␈↓ α␈ε"Division␈αma␈α␈y␈αbe␈αdone␈αin␈αa␈αsimilar␈αmanner;␈αsee␈αexercise␈α4.
␈β
f␈↓ α␈ε"Addition␈α
and␈↓ βk␈ε"subtraction␈α
are␈α
sligh␈α␈tly␈α∞m␈α↓ore␈α
complicated.␈α∀The␈α
obvious␈α
pro-
␈β
s␈↓ εβ␈ε↓␈␈↓ λ⊃␈ε↓↓
␈β∞␈↓ ∧↔␈ε90␈↓ ¬)␈ε90␈↓ εD␈ε90␈↓ π≠␈ε90␈↓ πk␈ε90␈↓ λπ␈ε90
␈β∞⊃␈↓ ↓H␈ε"cedure␈α∂is␈α⊂to␈α∂set␈α⊂(␈ε(u␈ε"/␈↓ ∧β␈ε(u␈↓ ∧!␈ε")␈ε6␈α
ε␈ε"␈α(␈↓ ∧r␈ε(v␈↓ ¬∧␈ε"/␈↓ ¬⊗␈ε(v␈↓ ¬3␈ε")␈α⊂=␈↓ ε⊃␈ε"(␈ε(u␈↓ ε2␈ε(v␈↓ εX␈ε6ε␈↓ ππ␈ε(u␈↓ π%␈ε(v␈↓ π8␈ε")/␈↓ πV␈ε(u␈↓ πt␈ε(v␈↓ λ.␈ε"and␈α⊂then␈α∂to␈α⊂reduce␈α∂this
␈β∞7␈↓ π|␈ε90␈↓ λR␈ε90␈↓ 	∪␈ε90␈↓ 	/␈ε90
␈β∞=␈↓ ↓H␈ε"fraction␈α∞to␈α∞lo␈α␈w␈α␈est␈α∂terms␈α∞by␈α∞calculating␈ε(␈α∂d␈ε"␈α∞=␈↓ π∪␈ε"gcd␈↓ πI␈ε"(␈ε(u␈↓ πi␈ε(v␈↓ λ∂␈ε6ε␈↓ λ=␈ε(u␈↓ λ[␈ε(v␈↓ λn␈ε",␈↓ λ}␈ε(u␈↓ 	≥␈ε(v␈↓ 	9␈ε")␈α∞as␈α∂in␈α∞the␈α∞|rst
␈β∞h␈↓ ↓H␈ε"m␈α␈ultiplication␈αmeth␈α↓od.␈α∂But␈αagain␈αit␈αis␈αpossible␈αto␈αa␈α␈v␈α␈oid␈αw␈α␈orking␈αwith␈αsuch␈αlarge
␈β∂
␈↓ π*␈ε90␈↓ πW␈ε90
␈β∂∪␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈bers,␈αif␈αw␈α␈e␈αstart␈αby␈αcalculating␈↓ ¬x␈ε(d␈↓ ε%␈ε"=␈↓ εT␈ε"gcd␈↓ π
␈ε"(␈↓ π⊗␈ε(u␈↓ π4␈ε",␈↓ πD␈ε(v␈↓ π`␈ε").␈α⊃If␈↓ λ+␈ε(d␈↓ λX␈ε"=␈α
1,␈αthen␈αthe␈αdesired
␈β∂∨␈↓ ε
␈ε%1␈↓ λ=␈ε%1
␈β∂8␈↓ εO␈ε90␈↓ π#␈ε90␈↓ λ/␈ε90␈↓ 	
␈ε90␈↓ 	&␈ε90
␈β∂>␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈umerator␈α
and␈α
den␈α↓ominator␈α
are␈↓ ¬Q␈ε(w␈↓ ¬x␈ε"=␈ε(␈αu␈↓ ε<␈ε(v␈↓ εb␈ε6ε␈↓ π∂␈ε(u␈↓ π-␈ε(v␈↓ πM␈ε"and␈↓ λ∀␈ε(w␈↓ λE␈ε"=␈↓ λu␈ε(u␈↓ 	∪␈ε(v␈↓ 	0␈ε".␈α≠(According␈α
to
␈β∂c␈↓ #␈ε90
␈β∂i␈↓ ↓H␈ε"Theorem␈α	4.5.2D␈↓ βA␈ε",␈↓ βU␈ε(d␈↓ ∧↓␈ε"will␈α
be␈α	1␈α	about␈α
61␈α	percen␈α␈t␈α	of␈α
the␈α	time,␈α
if␈α	the␈α
den␈α↓ominators␈↓ ∞␈ε(u
␈β∂v␈↓ βg␈ε%1
␈β⊂∂␈↓ α ␈ε90
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈ε"and␈↓ α∞␈ε(v␈↓ α6␈ε"are␈αrandomly␈αdistributed,␈αso␈αit␈αis␈αwise␈αto␈αsingle␈αthis␈αcase␈αout␈αseparately.)
␈β⊂:␈↓ ¬*␈ε90␈↓ εc␈ε90
␈β⊂@␈↓ ↓H␈ε"If␈↓ ↓q␈ε(d␈↓ α'␈ε">␈α∀1,␈α∪then␈α⊃let␈ε(␈α∩t␈ε"␈α∪=␈ε(␈α∪u␈ε"(␈↓ ¬↔␈ε(v␈↓ ¬3␈ε"/␈↓ ¬E␈ε(d␈↓ ¬h␈ε")␈ε6␈αε␈↓ ε0␈ε(v␈↓ εC␈ε"(␈↓ εO␈ε(u␈↓ εm␈ε"/␈↓ ε␈␈ε(d␈↓ π"␈ε")␈α∩and␈α⊃calculate␈↓ 	'␈ε(d␈↓ 	]␈ε"=␈↓ 
∀␈ε"gcd␈↓ 
J␈ε"(␈ε(t␈ε",␈↓ 
s␈ε(d␈↓ ⊗␈ε");
␈β⊂L␈↓ αβ␈ε%1␈↓ ¬X␈ε%1␈↓ π⊃␈ε%1␈↓ 	9␈ε%2␈↓ ε␈ε%1
␈β⊂e␈↓ ¬o␈ε90␈↓ ε]␈ε90␈↓ πF␈ε90
␈β⊂k␈↓ ↓H␈ε"|nally␈α∂the␈α∂answ␈α␈er␈α∂is␈↓ ∧≠␈ε(w␈↓ ∧E␈ε"=␈ε(␈α∂t␈ε"/␈↓ ¬↔␈ε(d␈↓ ¬;␈ε",␈↓ ¬U␈ε(w␈↓ ελ␈ε"=␈α⊂(␈↓ εH␈ε(u␈↓ εf␈ε"/␈↓ εx␈ε(d␈↓ π≠␈ε")(␈↓ π3␈ε(v␈↓ πP␈ε"/␈↓ πb␈ε(d␈↓ λ¬␈ε").␈α∨(Exercise␈α∂6␈α∂pro␈α␈v␈α␈es␈α∂that
␈β⊂w␈↓ ¬*␈ε%2␈↓ π
␈ε%1␈↓ πt␈ε%2
␈β⊃⊂␈↓ ∧C␈ε90
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε"these␈αv␈α}alues␈α
of␈↓ β:␈ε(w␈↓ βa␈ε"and␈↓ ∧(␈ε(w␈↓ ∧Y␈ε"are␈αrelativ␈α␈ely␈α
prime␈αto␈α
each␈αother.)␈α~If␈αsingle-precision
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"314␈↓ 
b␈ε"4.5.1
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈bers␈α∞are␈α∂being␈α∂used,␈α∂this␈α∂meth␈α↓od␈α∞requires␈α∂only␈α∂single-precision␈α∞operations,
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"except␈α	that␈ε(␈α
t␈ε"␈α	ma␈α␈y␈α
be␈α	a␈α
double-precision␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈α
or␈α	sligh␈α␈tly␈α
larger␈α	(see␈α
exercise␈α	7);
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"since␈↓ α≡␈ε"gcd␈↓ αT␈ε"(␈ε(t␈ε",␈↓ α⎇␈ε(d␈↓ β ␈ε")␈α
=␈↓ βd␈ε"gcd␈↓ ∧~␈ε"(␈ε(t␈↓ ∧9␈ε"mod␈↓ ¬β␈ε(d␈↓ ¬'␈ε",␈↓ ¬7␈ε(d␈↓ ¬Z␈ε"),␈α
the␈αcalculation␈α
of␈↓ λ∪␈ε(d␈↓ λA␈ε"does␈α
n␈α↓ot␈α
require␈α
double
␈ββπ␈↓ β∂␈ε%1␈↓ ¬⊗␈ε%1␈↓ ¬I␈ε%1␈↓ λ%␈ε%2
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"precision.
␈ββQ␈↓ α␈ε"F␈α⎇or␈α
example,␈α
to␈α
compute␈α
(7/66)␈αλ+␈α	(17/12),␈α
w␈α␈e␈α
form␈↓ λR␈ε(d␈↓ 	␈ε"=␈↓ 	0␈ε"gcd␈↓ 	f␈ε"(66,␈αε12)␈α=␈α6;
␈ββ]␈↓ λd␈ε%1
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"then␈ε(␈αt␈ε"␈α
=␈α
7␈ε6␈αλ↓␈ε"␈αλ2␈αλ+␈αλ17␈ε6␈αλ↓␈ε"␈αλ11␈α
=␈α
201,␈αand␈↓ ¬⎇␈ε(d␈↓ ε*␈ε"=␈↓ εX␈ε"gcd␈↓ π∞␈ε"(201,␈αε6)␈α
=␈α
3,␈αso␈αthe␈αansw␈α␈er␈αis
␈β∧λ␈↓ ε∂␈ε%2
␈β∧A␈↓ ¬G␈ε↓≡
␈β∧B␈↓ ¬
␈ε"201␈↓ ¬q␈ε"66␈↓ ε#␈ε"12
␈β∧Z␈↓ εU␈ε"=␈α
67/44␈↓ πa␈ε".
␈β∧n␈↓ ¬
␈∧∧n¬
α6␈↓ ¬q␈∧∧n¬qα$␈↓ ε#␈∧∧nε#α$
␈β∧t␈↓ ¬∨␈ε"3␈↓ ¬z␈ε"6␈↓ ε,␈ε"3
␈β¬6␈↓ α␈ε"T␈α⎇o␈αhelp␈αcheck␈αout␈αsubroutines␈αfor␈αrational␈αarithmetic,␈αin␈α␈v␈α␈ersion␈αof␈αmatrices
␈β¬a␈↓ ↓H␈ε"with␈αkn␈α↓o␈α␈wn␈αin␈α␈v␈α␈erses␈α(e.g.,␈αCauch␈α␈y␈αmatrices,␈αexercise␈α1.2.3↑41)␈αis␈αsuggested.
␈βε␈↓ α␈ε"Experience␈α
with␈αfractional␈α
calculations␈αsh␈α↓o␈α␈ws␈α
that␈αin␈α
man␈α␈y␈αcases␈α
the␈αn␈α␈um-
␈βε1␈↓ εr␈ε90
␈βε7␈↓ ↓H␈ε"bers␈α∞gro␈α␈w␈α∞to␈α∂be␈α∞quite␈α∞large.␈α↔So␈α∂if␈ε(␈α∞u␈ε"␈α∞and␈↓ ε]␈ε(u␈↓ π
␈ε"are␈α∞in␈α␈tended␈α∂to␈α∞be␈α∞single-precision
␈βε]␈↓ ¬>␈ε90
␈βεc␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈bers␈α∂for␈α⊂each␈α⊂fraction␈α∂(␈ε(u␈ε"/␈↓ ¬)␈ε(u␈↓ ¬G␈ε"),␈α⊃it␈α⊂is␈α∂importan␈α␈t␈α⊂to␈α∂include␈α⊂tests␈α⊂for␈α∂o␈α␈v␈α␈er⎇o␈α␈w
␈βπ∞␈↓ ↓H␈ε"in␈α⊂each␈α⊂of␈α⊂the␈α⊂addition,␈α⊃subtraction,␈α⊃m␈α␈ultiplication,␈α⊂and␈α⊂division␈α⊂subroutines.
␈βπ9␈↓ ↓H␈ε"F␈α⎇or␈α∂n␈α␈umerical␈α⊂problems␈α⊂in␈α∂which␈α⊂perfect␈α⊂accuracy␈α∂is␈α⊂importan␈α␈t,␈α⊂a␈α⊂set␈α⊂of␈α∂sub-
␈βπd␈↓ ↓H␈ε"routines␈αfor␈α
fractional␈αarithmetic␈α
with␈ε/␈αarbitrary␈ε"␈α
precision␈αallo␈α␈w␈α␈ed␈α
in␈αn␈α␈umerator
␈βλ∂␈↓ ↓H␈ε"and␈αden␈α↓ominator␈αis␈αv␈α␈ery␈αuseful.
␈βλ;␈↓ α␈ε"The␈α
meth␈α↓ods␈α
of␈α
this␈α
section␈α
extend␈α
also␈α
to␈α
other␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
|elds␈αbesides␈α
the
␈βλf␈↓ ↓H␈ε"rational␈αn␈α␈um␈α␈bers;␈αfor␈αexample,␈αw␈α␈e␈αcould␈αdo␈αarithmetic␈αon␈αquan␈α␈tities␈αof␈αthe␈αform
␈β	␈↓ α2␈ε90␈↓ β$␈ε900␈↓ ∧u␈ε90␈↓ ¬*␈ε900␈↓ λ∂␈ε90␈↓ λ>␈ε900␈↓ 
→␈ε900
␈β	
␈↓ α;␈ε6p
␈β	⊂␈↓ αY␈∧	⊂αYα∩
␈β	⊃␈↓ ↓H␈ε"(␈ε(u␈ε"␈αλ+␈↓ α≥␈ε(u␈↓ αY␈ε"5␈↓ αq␈ε")/␈↓ β∂␈ε(u␈↓ β6␈ε",␈αwhere␈ε(␈α
u␈ε"␈α␈,␈↓ ∧`␈ε(u␈↓ ∧}␈ε",␈↓ ¬∃␈ε(u␈↓ ¬H␈ε"are␈αin␈α␈tegers,␈↓ π∀␈ε"gcd␈↓ πJ␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ π{␈ε(u␈↓ λ→␈ε",␈↓ λ)␈ε(u␈↓ λO␈ε")␈α=␈α1,␈αand␈↓ 
∧␈ε(u␈↓ 
5␈ε">␈α0;␈αor
␈β	6␈↓ ¬F␈ε90␈↓ εI␈ε900␈↓ πC␈ε9000
␈β	7␈↓ ¬Y␈ε'3␈↓ εc␈ε'3
␈β	8␈↓ ¬P␈ε6p␈↓ εZ␈ε6p
␈β	;␈↓ ¬n␈∧	;¬nα∩␈↓ εx␈∧	;εxα∩
␈β	<␈↓ ↓H␈ε"on␈αquan␈α␈tities␈αof␈αthe␈αform␈α(␈ε(u␈ε"␈απ+␈↓ ¬1␈ε(u␈↓ ¬n␈ε"2␈↓ ελ␈ε"+␈↓ ε4␈ε(u␈↓ εx␈ε"4␈↓ π⊂␈ε")/␈↓ π.␈ε(u␈↓ π\␈ε",␈αetc.
␈β	o␈↓ α␈ε"Instead␈α
of␈α
insisting␈α
on␈α
exact␈α
calculations␈α
with␈α
fractions,␈α
it␈α
is␈α
in␈α␈teresting␈α
to
␈β
~␈↓ ↓H␈ε"consider␈αalso␈α\␈↓ β,␈ε"|xed␈αslash"␈α
and␈α\␈↓ ¬B␈ε"⎇oating␈αslash"␈αn␈α␈um␈α␈bers,␈αwhich␈αare␈α
analogous␈αto
␈β
F␈↓ ↓H␈ε"⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αbut␈αbased␈αon␈αrational␈αfractions␈αinstead␈αof␈αradix-orien␈α␈ted
␈β
q␈↓ ↓H␈ε"fractions.␈α≠In␈α⊂a␈α∂binary␈α⊂|xed-slash␈α⊂scheme,␈α⊂the␈α⊂n␈α␈umerator␈α⊂and␈α⊂den␈α↓ominator␈α∂of
␈β≤␈↓ ↓H␈ε"a␈α∞represen␈α␈table␈α∞fraction␈α∞each␈α∂consist␈α∞of␈α∞at␈α∞m␈α↓ost␈ε(␈α∂p␈ε"␈α∞bits,␈α∂for␈α∞some␈α∞giv␈α␈en␈ε(␈α∞p␈ε".␈α↔In␈α∞a
␈βG␈↓ ↓H␈ε"⎇oating-slash␈α	scheme,␈α	the␈ε/␈α	sum␈ε"␈α	of␈α	n␈α␈umerator␈α	bits␈α	plus␈α	den␈α↓ominator␈α	bits␈α	m␈α␈ust␈α	be␈αλa
␈βr␈↓ ↓H␈ε"total␈αλof␈αλat␈α	m␈α↓ost␈↓ β>␈ε(q␈↓ βQ␈ε",␈α	for␈α	some␈αλgiv␈α␈en␈↓ ¬J␈ε(q␈↓ ¬]␈ε",␈↓ ¬p␈ε"and␈αλan␈α↓other␈α	|eld␈αλof␈αλthe␈α	represen␈α␈tation␈αλis␈αλused
␈β≡␈↓ ↓H␈ε"to␈αindicate␈αh␈α↓o␈α␈w␈αman␈α␈y␈αof␈αthese␈↓ ¬+␈ε(q␈↓ ¬I␈ε"bits␈αbelong␈αto␈αthe␈αn␈α␈umerator.␈α⊂T␈α⎇o␈αdo␈αarithmetic
␈βI␈↓ ↓H␈ε"on␈α∂such␈α⊂n␈α␈um␈α␈bers,␈α⊃w␈α␈e␈α⊂de|ne␈ε(␈α⊂x␈ε6␈α
λ␈↓ ¬d␈ε(y␈↓ επ␈ε"=␈↓ ε;␈ε"round␈↓ π↔␈ε"(␈ε(x␈ε"␈α+␈↓ πp␈ε(y␈↓ λβ␈ε"),␈ε(␈α⊃x␈ε6␈α
␈	␈↓ λw␈ε(y␈↓ 	~␈ε"=␈↓ 	N␈ε"round␈↓ 
*␈ε"(␈ε(x␈ε6␈α␈␈↓ ∧␈ε(y␈↓ ⊗␈ε"),
␈βt␈↓ ↓H␈ε"etc.,␈α⊂where␈α∂round(␈ε(x␈ε")␈α⊂=␈ε(␈α⊂x␈ε"␈α∂if␈ε(␈α⊂x␈ε"␈α∂is␈α⊂represen␈α␈table,␈α⊂otherwise␈α∂it␈α⊂is␈α∂one␈α⊂of␈α∂the␈α∂t␈α␈w␈α␈o
␈β
∨␈↓ ↓H␈ε"represen␈α␈table␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αthat␈αsurround␈ε(␈αx␈ε".
␈β
J␈↓ α␈ε"It␈αma␈α␈y␈αseem␈αat␈α|rst␈αthat␈αthe␈αbest␈αde|nition␈αof␈αround(␈ε(x␈ε")␈αw␈α␈ould␈αbe␈αto␈αch␈α↓o␈α↓ose
␈β
v␈↓ ↓H␈ε"the␈α
represen␈α␈table␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αthat␈α
is␈αclosest␈αto␈ε(␈α
x␈ε",␈αby␈αanalogy␈αwith␈α
the␈αw␈α␈a␈α␈y␈αw␈α␈e␈↓ 
P␈ε"round
␈β∞!␈↓ ↓H␈ε"in␈α
⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αarithmetic.␈α⊂But␈α
experience␈αhas␈αsh␈α↓o␈α␈wn␈αthat␈αit␈α
is␈αbest␈αto␈αbias␈α
our
␈β∞L␈↓ ↓H␈ε"rounding␈α∞to␈α␈w␈α␈ards␈α∂\simple"␈α∞n␈α␈um␈α␈bers,␈α⊂since␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α∂with␈α∞small␈α∂n␈α␈umerator␈α∞and
␈β∞w␈↓ ↓H␈ε"den␈α↓ominator␈α∞occur␈α∂m␈α␈uch␈α∂m␈α↓ore␈α∂o$en␈α∞than␈α∂complicated␈α∂fractions␈α∂do.␈α_W␈α⎇e␈α∞w␈α␈an␈α␈t
␈β∂≡␈↓ ∧|␈ε%1␈↓ ε"␈ε%127
␈β∂"␈↓ ↓H␈ε"m␈α↓ore␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α
to␈α
round␈α
to␈↓ ¬≤␈ε"than␈α
to␈↓ εS␈ε".␈α∪The␈α
rounding␈α
rule␈α
that␈α
turns␈α
out␈α
to
␈β∂3␈↓ ∧|␈ε%2␈↓ ε"␈ε%255
␈β∂6␈↓ ∧|␈∧∂6∧|α⊂␈↓ ε"␈∧∂6ε"α.
␈β∂G␈↓ 	l␈ε90␈↓ ↔␈ε90
␈β∂N␈↓ ↓H␈ε"be␈αm␈α↓ost␈αsuccessful␈αin␈αpractice␈αis␈αcalled␈α\␈↓ εB␈ε"median␈α␈t␈αrounding":␈αIf␈α(␈ε(u␈ε"/␈↓ 	W␈ε(u␈↓ 	u␈ε")␈αand␈α(␈↓ 
←␈ε(v␈↓ 
r␈ε"/␈↓ ∧␈ε(v␈↓  ␈ε")
␈β∂s␈↓ λS␈ε90␈↓ 
_␈ε90
␈β∂y␈↓ ↓H␈ε"are␈α
adjacen␈α␈t␈αrepresen␈α␈table␈α
n␈α␈um␈α␈bers,␈αso␈α
that␈αwhenev␈α␈er␈ε(␈α
u␈ε"/␈↓ λ>␈ε(u␈↓ λf␈ε6∀␈ε(␈α
x␈ε6␈α
∀␈↓ 	`␈ε(v␈↓ 	s␈ε"/␈↓ 
¬␈ε(v␈↓ 
,␈ε"w␈α␈e␈α
m␈α␈ust
␈β⊂≡␈↓ ¬␈ε90␈↓ ε⊃␈ε90
␈β⊂$␈↓ ↓H␈ε"ha␈α␈v␈α␈e␈αround(␈ε(x␈ε")␈αequal␈αto␈α(␈ε(u␈ε"␈α␈/␈↓ ∧k␈ε(u␈↓ ¬
␈ε")␈αor␈α(␈↓ ¬Z␈ε(v␈↓ ¬m␈ε"/␈↓ ¬␈␈ε(v␈↓ ε≠␈ε"),␈αthe␈αmedian␈α␈t␈αrounding␈αrule␈αsa␈α␈ys␈αthat
␈β⊂g␈↓ βx␈ε(u␈↓ ¬3␈ε(u␈ε"␈αλ+␈↓ ¬|␈ε(v␈↓ λ→␈ε(v␈↓ 	R␈ε(u␈ε"␈αλ+␈↓ 
≠␈ε(v
␈β⊂␈␈↓ α/␈ε"round␈↓ β␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ ∧!␈ε"for␈↓ ∧Y␈ε(x␈ε"␈α
<␈↓ ε≤␈ε",␈↓ εP␈ε"round␈↓ π,␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ λ@␈ε"for␈↓ λx␈ε(x␈ε"␈α
>␈↓ 
;␈ε".␈↓ α␈ε"(1)
␈β⊃∪␈↓ βs␈∧⊃∪βsα∨␈↓ ¬)␈∧⊃∪¬)αo␈↓ λ∀␈∧⊃∪λ∀α≥␈↓ 	H␈∧⊃∪	Hαo
␈β⊃∃␈↓ ∧λ␈ε90␈↓ ¬>␈ε90␈↓ ε∞␈ε90␈↓ λ'␈ε90␈↓ 	]␈ε90␈↓ 
.␈ε90
␈β⊃_␈↓ βs␈ε(u␈↓ ¬)␈ε(u␈↓ ¬P␈ε"+␈↓ ¬|␈ε(v␈↓ λ∀␈ε(v␈↓ 	H␈ε(u␈↓ 	o␈ε"+␈↓ 
≠␈ε(v
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.1␈↓ 
v␈ε"315
␈β↓\␈↓ λ⎇␈ε∞F␈α↓RA␈α␈CT␈α↓IONS
␈βα≤␈↓ βo␈ε90␈↓ ∧C␈ε90
␈βα"␈↓ ↓H␈ε"If␈ε(␈α∂x␈ε"␈α∂=␈α∂(␈ε(u␈ε"␈α	+␈↓ β≥␈ε(v␈↓ β0␈ε")/(␈↓ βZ␈ε(u␈↓ ∧α␈ε"+␈↓ ∧0␈ε(v␈↓ ∧M␈ε")␈α∂exactly,␈α⊂w␈α␈e␈α∂let␈α∂round(␈ε(x␈ε")␈α∂be␈α∞the␈α∂neigh␈α␈boring␈α∂fraction
␈βαG␈↓ ε-␈ε90␈↓ πα␈ε90
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"with␈αthe␈αsmallest␈αden␈α↓ominator␈α(or,␈αif␈↓ ε→␈ε(u␈↓ εA␈ε"=␈↓ εo␈ε(v␈↓ π␈ε",␈αwith␈αthe␈αsmallest␈αn␈α␈umerator).
␈βαy␈↓ α␈ε"F␈α⎇or␈α	example,␈α
suppose␈α	w␈α␈e␈α	are␈α	doing␈α	|xed␈α	slash␈α	arithmetic␈α
with␈ε(␈α	p␈ε"␈α
=␈α
8,␈α	so␈α	that
␈ββ≡␈↓ ¬9␈ε90
␈ββ$␈↓ ↓H␈ε"the␈αrepresen␈α␈table␈αn␈α␈um␈α␈bers␈α
(␈ε(u␈ε"/␈↓ ¬%␈ε(u␈↓ ¬C␈ε")␈αha␈α␈v␈α␈e␈ε6␈α
␈␈ε"128␈α
<␈ε(␈αu␈ε"␈α
<␈α128␈αand␈α
0␈ε6␈α
∀␈↓ 	d␈ε(v␈↓ 
↓␈ε"<␈α256␈αand
␈ββI␈↓ αC␈ε90
␈ββO␈↓ ↓H␈ε"gcd(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ α.␈ε(u␈↓ αM␈ε")␈α=␈α1.␈α∀This␈α
isn't␈α
m␈α␈uch␈α
precision,␈α
but␈α∞it␈α
is␈α
en␈α↓ough␈α
to␈α
giv␈α␈e␈α
us␈α
a␈α
feel␈α
for
␈ββz␈↓ ↓H␈ε"slash␈αarithmetic.␈α∂The␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αadjacen␈α␈t␈αto␈α0␈α
=␈α
(0/1)␈αare␈α(␈ε6␈␈ε"1/255)␈αand␈α
(1/255);
␈β∧%␈↓ ↓H␈ε"according␈α∂to␈α∂the␈α⊂median␈α␈t␈α∂rounding␈α⊂rule,␈α⊂w␈α␈e␈α∂will␈α∂therefore␈α⊂ha␈α␈v␈α␈e␈α∂round(␈ε(x␈ε")␈α⊂=␈α∂0
␈β∧Q␈↓ ↓H␈ε"if␈α
and␈α
only␈α∞if␈ε6␈α
j␈ε(x␈ε6j␈α∀␈ε"␈α1/256.␈α∀Suppose␈α
w␈α␈e␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈α
a␈α
calculation␈α∞that␈α
w␈α␈ould␈α
tak␈α␈e␈α
the
␈β∧w␈↓ β∞␈ε%2␈α↓2␈↓ βm␈ε%314␈↓ ∧J␈ε%130␈α↓0
␈β∧|␈↓ ↓H␈ε"o␈α␈v␈α␈erall␈α	form␈↓ β;␈ε"=␈↓ ∧ ␈ε"+␈↓ ¬∀␈ε"if␈α	w␈α␈e␈αλw␈α␈ere␈α	w␈α␈orking␈α	in␈α	exact␈α	rational␈α	arithmetic,␈α	but
␈β¬
␈↓ β⊗␈ε%7␈↓ βm␈ε%159␈↓ ∧J␈ε%111␈α↓3
␈β¬⊂␈↓ β∞␈∧¬⊂β∞α∨␈↓ βm␈∧¬⊂βmα.␈↓ ∧J␈∧¬⊂∧Jα=
␈β¬'␈↓ ↓H␈ε"the␈α
in␈α␈termediate␈α
quan␈α␈tities␈α	ha␈α␈v␈α␈e␈α
had␈α
to␈α
be␈α
rounded␈α
to␈α
represen␈α␈table␈α
n␈α␈um␈α␈bers.␈α∂In
␈β¬N␈↓ α`␈ε%314␈↓ εh␈ε%1␈α↓300
␈β¬R␈↓ ↓H␈ε"this␈α
case␈↓ β≡␈ε"w␈α␈ould␈α
round␈α
to␈α
(79/40)␈α
and␈↓ π6␈ε"w␈α␈ould␈α
round␈α
to␈α
(7/6).␈α∪The␈α
sum
␈β¬c␈↓ α`␈ε%159␈↓ εh␈ε%1␈α↓113
␈β¬f␈↓ α`␈∧¬fα`α.␈↓ εh␈∧¬fεhα=
␈β¬y␈↓ ↓L␈ε%79␈↓ α)␈ε%7␈↓ β↓␈ε%377
␈β¬⎇␈↓ ↓x␈ε"+␈↓ αK␈ε"=␈↓ βA␈ε"rounds␈α∞to␈α∞(22/7),␈α∂so␈α∂w␈α␈e␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈α∂obtained␈α∞the␈α∂correct␈α∞answ␈α␈er␈α∞ev␈α␈en
␈βε∞␈↓ ↓L␈ε%40␈↓ α)␈ε%6␈↓ β↓␈ε%120
␈βε∩␈↓ ↓L␈∧ε∩↓Lα∨␈↓ α)␈∧ε∩α)α⊂␈↓ β↓␈∧ε∩β↓α.
␈βε)␈↓ ↓H␈ε"th␈α↓ough␈α	three␈α
roundings␈α	w␈α␈ere␈α
required.␈α∂This␈α	example␈α
w␈α␈as␈α	n␈α↓ot␈α
specially␈α	con␈α␈triv␈α␈ed;
␈βεT␈↓ ↓H␈ε"when␈α	the␈αλansw␈α␈er␈α	to␈α	a␈α	problem␈α	is␈α	a␈α	simple␈αλfraction,␈α
slash␈α	arithmetic␈α	tends␈α	to␈αλmak␈α␈e
␈βε␈␈↓ ↓H␈ε"the␈αin␈α␈termediate␈αrounding␈αerrors␈αcancel␈αout.
␈βπ*␈↓ α␈ε"Exact␈α∞represen␈α␈tation␈α∂of␈α∞fractions␈α∂within␈α∞a␈α∂computer␈α∞w␈α␈as␈α∂|rst␈α∞discussed␈α∞in
␈βπU␈↓ ↓H␈ε"the␈α⊃literature␈α∩by␈α∩P.␈↓ ∧≠␈ε"Henrici,␈ε/␈α∀JA␈α␈CM␈ε2␈α⊃3␈ε"␈α∩(1956),␈α∪6↑9.␈α!Fixed␈α∩and␈α∩⎇oating␈α⊃slash
␈βλ↓␈↓ ↓H␈ε"arithmetic␈α	w␈α␈as␈αλproposed␈α	by␈α	Da␈α␈vid␈α	W.␈↓ ε∃␈ε"Matula,␈α
in␈ε/␈α	Applications␈α	of␈α	Num␈α␈ber␈αλTheory
␈βλ,␈↓ ↓H␈ε/to␈α∪Numerical␈α∩Analysis␈ε",␈α∃ed.␈α∪by␈α∪S.␈α∪K.␈↓ ε6␈ε"Zarem␈α␈ba␈α∪(New␈α∪Y␈α⎇ork:␈α~Academic␈α∩Press,
␈βλW␈↓ ↓H␈ε"1972),␈α
486↑489.␈α∩F␈α⎇urther␈α
dev␈α␈elopmen␈α␈ts␈α
of␈α
the␈α
idea␈α
are␈α
discussed␈α
by␈α
Matula␈αand
␈β	α␈↓ ↓H␈ε"Kornerup␈αin␈ε/␈αProc.␈αIEEE␈αSymp.␈αComputer␈αArith.␈ε2␈α4␈ε"␈α(1978),␈α29↑47;␈ε/␈αLecture␈αNotes
␈β	-␈↓ ↓H␈ε/in␈αComp.␈αSci.␈ε2␈α72␈ε"␈α(1979),␈α383↑397;␈ε/␈αComputing␈ε",␈αSuppl.␈ε2␈α2␈ε"␈α(1980),␈α85↑111.
␈β
*␈↓ ↓H␈ε=E␈α␈XERCISES
␈β
w␈↓ ↓g␈ε31.␈↓ α␈ε#[␈ε)15␈↓ α;␈ε#]␈α⊗S␈α␈ug␈α␈gest␈αa␈α
reaso␈α␈nab␈α␈le␈αcom␈α␈pu␈α␈tation␈α␈al␈αmethod␈α
f␈α↓o␈α␈r␈↓ λ≠␈ε#com␈α␈par␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αt␈α␈w␈α␈o␈αfra␈α␈ctions,␈αto
␈β→␈↓ ∧0␈ε:0␈↓ ¬6␈ε:0
␈β∨␈↓ ↓H␈ε#te␈α␈st␈αwheth␈α␈er␈αor␈αnot␈α(␈ε)u␈ε#/␈↓ ∧≤␈ε)u␈↓ ∧8␈ε#)␈α
<␈α	(␈↓ ¬α␈ε)v␈↓ ¬∀␈ε#/␈↓ ¬%␈ε)v␈↓ ¬?␈ε#).
␈βP␈↓ ↓g␈ε32.␈↓ α␈ε#[␈ε)M1␈α␈5␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈at␈αif␈ε)␈αd␈ε#␈α
=␈↓ ¬¬␈ε#gcd␈↓ ¬7␈ε#(␈ε)u␈ε#␈α↓,␈↓ ¬d␈ε)v␈↓ ¬v␈ε#)␈αthen␈ε)␈α
u␈ε#␈α↓/␈ε)␈α␈d␈ε#␈αand␈↓ πY␈ε)v␈↓ πk␈ε#/␈ε)d␈ε#␈αa␈α␈re␈αrelativ␈α␈ely␈α
prime.
␈β|␈↓ ¬:␈ε:0␈↓ 	X␈ε:0
␈βα␈↓ ↓g␈ε33.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈at␈αi␈α↓f␈ε)␈αu␈ε#␈α
an␈α␈d␈↓ ¬&␈ε)u␈↓ ¬O␈ε#are␈αre␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓v␈α}ely␈αprime,␈α
a␈α␈nd␈αif␈↓ λf␈ε)v␈↓ 	∧␈ε#and␈↓ 	G␈ε)v␈↓ 	m␈ε#are␈αrelativ␈α␈ely
␈β$␈↓ β␈␈ε:0␈↓ ∧~␈ε:0␈↓ ¬S␈ε:0␈↓ ε=␈ε:0
␈β)␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈rime,␈αthen␈↓ α{␈ε#gcd␈↓ β-␈ε#(␈ε)u␈↓ βL␈ε)v␈↓ β]␈ε#,␈↓ βl␈ε)u␈↓ ∧λ␈ε)v␈↓ ∧#␈ε#)␈α	=␈↓ ∧b␈ε#gc␈α␈d␈↓ ¬∀␈ε#(␈ε)u␈ε#,␈↓ ¬A␈ε)v␈↓ ¬\␈ε#)␈↓ ¬l␈ε#gcd␈↓ ε≡␈ε#(␈↓ ε)␈ε)u␈↓ εF␈ε#,␈↓ εU␈ε)v␈↓ εf␈ε#).
␈β[␈↓ ↓g␈ε34.␈↓ α␈ε#[␈ε)11␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Desig␈α␈n␈α	a␈α	division␈α	a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α	for␈α	fract␈α␈i␈α↓o␈α␈ns,␈α
a␈α␈nalog␈α␈ou␈α␈s␈α
to␈α	th␈α␈e␈α	secon␈α␈d␈α	m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈-
␈β
β␈↓ ↓H␈ε#tio␈α␈n␈αmethod␈α
of␈αthe␈α
text.␈α→(Note␈αth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αsign␈αo␈α␈f␈↓ π␈ε)v␈↓ π)␈ε#m␈α␈us␈α␈t␈αb␈α␈e␈αco␈α␈nside␈α␈red.)
␈β
4␈↓ ↓g␈ε35.␈↓ α␈ε#[␈ε)10␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Co␈α␈mpu␈α␈te␈α(17␈α␈/12␈α␈0)␈αλ+␈απ(␈ε7␈␈ε#␈α↓2␈α␈7/7␈α␈0)␈αby␈α
the␈αm␈α␈eth␈α↓o␈α␈d␈αrec␈α␈omm␈α␈end␈α␈ed␈αin␈αt␈α␈he␈αtex␈α␈t.
␈β
`␈↓ ∧}␈ε:0␈↓ λf␈ε:0
␈β
d␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β
f␈↓ ↓g␈ε36.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈3␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Sho␈α␈w␈α∂that␈α∂if␈ε)␈α⊂u␈ε#,␈↓ ∧k␈ε)u␈↓ ¬↔␈ε#a␈α␈re␈α⊂re␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓v␈α}ely␈α∂prime␈α∂an␈α␈d␈α∂if␈↓ λ4␈ε)v␈↓ λF␈ε#,␈↓ λT␈ε)v␈↓ λ}␈ε#are␈α∂relativ␈α␈ely␈α∂p␈α␈ri␈α↓m␈α␈e,
␈β∞λ␈↓ αv␈ε:0␈↓ βU␈ε:0␈↓ ∧␈ε:0␈↓ ∧≠␈ε:0␈↓ πA␈ε:0␈↓ πj␈ε:0␈↓ 
>␈ε:0
␈β∞␈↓ 	S␈ε"(
␈β∞∞␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈en␈↓ α∀␈ε#gc␈α␈d␈↓ αF␈ε#(␈ε)u␈↓ αe␈ε)v␈↓ βπ␈ε#+␈↓ β0␈ε)v␈↓ βB␈ε)u␈↓ β↑␈ε#,␈↓ βm␈ε)u␈↓ ∧	␈ε)v␈↓ ∧$␈ε#)␈α
=␈↓ ∧d␈ε)d␈↓ ¬¬␈ε)d␈↓ ¬%␈ε#,␈αwh␈α␈ere␈↓ ε≠␈ε)d␈↓ εE␈ε#=␈↓ εq␈ε#g␈α␈cd␈↓ π"␈ε#(␈↓ π.␈ε)u␈↓ πJ␈ε#,␈↓ πY␈ε)v␈↓ πs␈ε#)␈αan␈α␈d␈↓ λK␈ε)d␈↓ λv␈ε#=␈↓ 	!␈ε#gcd␈↓ 	←␈ε)d␈↓ 	␈␈ε#,␈ε)␈αεu␈ε#␈α↓(␈↓ 
-␈ε)v␈↓ 
G␈ε#/␈↓ 
X␈ε)d␈↓ 
x␈ε#)␈αλ+
␈β∞→␈↓ ∧u␈ε&1␈↓ ¬⊗␈ε&2␈↓ ε,␈ε&1␈↓ λ\␈ε&2␈↓ 	p␈ε&1␈↓ 
i␈ε&1
␈β∞/␈↓ ↓x␈ε:0␈↓ ¬b␈ε:0␈↓ ε@␈ε:0␈↓ 	!␈ε:0␈↓ 	<␈ε:0
␈β∞3␈↓ α=␈ε")
␈β∞5␈↓ ↓H␈ε)v␈↓ ↓Y␈ε#(␈↓ ↓d␈ε)u␈↓ α↓␈ε#/␈↓ α⊃␈ε)d␈↓ α2␈ε#)␈↓ αI␈ε#.␈α→(Henc␈α␈e␈αi␈α↓f␈↓ βx␈ε)d␈↓ ∧!␈ε#=␈α
1,␈αth␈α␈en␈ε)␈αu␈↓ ¬P␈ε)v␈↓ ¬r␈ε#+␈↓ ε≠␈ε)v␈↓ ε-␈ε)u␈↓ εT␈ε#is␈αrelativ␈α␈ely␈αp␈α␈rime␈αto␈↓ 	∞␈ε)u␈↓ 	*␈ε)v␈↓ 	D␈ε#.␈α↓)
␈β∞A␈↓ α"␈ε&1␈↓ ∧	␈ε&1
␈β∞g␈↓ ↓g␈ε37.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈2␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Ho␈α␈w␈α	large␈α	c␈α␈an␈α	t␈α␈he␈α	a␈α␈bsolu␈α␈te␈α	v␈α}a␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈α	of␈α	th␈α␈e␈α	qu␈α␈an␈α␈tit␈α␈y␈ε)␈αλt␈ε#␈α
b␈α␈ecom␈α␈e,␈α
in␈α	th␈α␈e␈α	ad␈α␈dition␈α␈-
␈β∂∞␈↓ ↓H␈ε#su␈α␈btr␈α␈action␈αme␈α␈th␈α↓o␈α␈d␈αrecom␈α␈men␈α␈ded␈αin␈αthe␈αtex␈α␈t,␈αif␈αth␈α␈e␈αn␈α}um␈α␈erato␈α␈rs␈αan␈α␈d␈αde␈α␈n␈α↓o␈α␈minato␈α␈rs␈αo␈α␈f
␈β∂6␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αinp␈α␈uts␈αa␈α␈re␈αl␈α↓e␈α␈ss␈αtha␈α␈n␈↓ ∧)␈ε)N␈↓ ∧T␈ε#in␈αab␈α␈solut␈α␈e␈αv␈α}alu␈α␈e?
␈β∂f␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∂h␈↓ ↓g␈ε38.␈↓ α␈ε#[␈ε)22␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Discu␈α␈ss␈α
us␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
(1/␈α␈0)␈α
a␈α␈nd␈α(␈ε7␈␈ε#␈α↓1␈α␈/0)␈α
a␈α␈s␈↓ εa␈ε#rep␈α␈resen␈α}tation␈α␈s␈α
for␈ε7␈α
1␈ε#␈α
an␈α␈d␈ε7␈α␈␈α↓1␈ε#,␈α∞a␈α␈nd␈α␈/o␈α␈r
␈β⊂∂␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈s␈αrepre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈tions␈αo␈α␈f␈↓ β}␈ε#o␈α}v␈α␈er⎇␈α␈o␈α␈w.
␈β⊂;␈↓ βt␈ε:0␈↓ ∧#␈ε:0␈↓ ∧p␈ε,n␈↓ εN␈ε&2␈ε,n␈↓ π&␈ε:0␈↓ λ
␈ε&2␈ε,n␈↓ λa␈ε:0␈↓ 
*␈ε:0␈↓ ~␈ε:0
␈β⊂A␈↓ ↓g␈ε39.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈3␈↓ α\␈ε#]␈α⊗If␈α1␈ε7␈α	∀␈↓ βa␈ε)u␈↓ β⎇␈ε#,␈↓ ∧⊃␈ε)v␈↓ ∧5␈ε#<␈↓ ∧←␈ε#2␈↓ ¬α␈ε#,␈αsh␈α↓o␈α}w␈αtha␈α␈t␈ε7␈αb␈↓ ε>␈ε#2␈↓ εn␈ε)u␈ε#␈α↓/␈↓ π∩␈ε)u␈↓ π/␈ε7c␈ε#␈α	=␈ε7␈α
b␈↓ π⎇␈ε#2␈↓ λ-␈ε)v␈↓ λ?␈ε#/␈↓ λO␈ε)v␈↓ λj␈ε7c␈ε#␈αimp␈α␈li␈α↓e␈α␈s␈ε)␈αu␈ε#␈α↓/␈↓ 
⊗␈ε)u␈↓ 
<␈ε#=␈↓ 
f␈ε)v␈↓ 
x␈ε#/␈↓ 	␈ε)v␈↓ #␈ε#.
␈β⊂r␈↓ ↓V␈ε310.␈↓ α␈ε#[␈ε)41␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Ex␈α␈tend␈α	the␈α
su␈α␈bro␈α␈utine␈α␈s␈αsu␈α␈gg␈α␈ested␈α
in␈α	exerc␈α␈i␈α↓se␈α
4␈α␈.3.1↑3␈α␈4␈α
so␈α
th␈α␈at␈α
the␈α␈y␈α
dea␈α␈l␈αwith
␈β⊃~␈↓ ↓H␈ε#\␈α␈arb␈α␈i␈α↓tra␈α␈ry"␈α
ration␈α␈al␈αn␈α␈um␈α}bers.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"316␈↓ 
b␈ε"4.5.1
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα∨␈↓ π⊂␈ε:0␈↓ πz␈ε:00␈↓ 	5␈ε:0␈↓ 	d␈ε:0␈α↓0
␈βα!␈↓ π→␈ε7p
␈βα%␈↓ ↓V␈ε311.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈3␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Con␈α␈si␈α↓d␈α␈er␈α	fractio␈α␈ns␈α	of␈α	the␈α	fo␈α␈rm␈α	(␈ε)u␈ε#␈α∧+␈↓ ε|␈ε)u␈↓ π4␈∧α%π4α⊃␈↓ π4␈ε#5␈↓ πK␈ε#)/␈↓ πf␈ε)u␈↓ λ
␈ε#,␈α
wh␈α␈ere␈ε)␈α	u␈ε#␈α↓,␈↓ 	!␈ε)u␈↓ 	>␈ε#,␈↓ 	Q␈ε)u␈↓ 	}␈ε#a␈α␈re␈α	i␈α↓n␈α}teg␈α␈ers,
␈βαG␈↓ α:␈ε:0␈↓ αe␈ε:0␈α↓0␈↓ ∧*␈ε:0␈α↓0
␈βαM␈↓ ↓H␈ε#g␈α␈cd␈↓ ↓z␈ε#(␈ε)u␈ε#,␈↓ α'␈ε)u␈↓ αC␈ε#,␈↓ αR␈ε)u␈↓ αv␈ε#)␈α	=␈α
1␈α␈,␈α
an␈α␈d␈↓ ∧↔␈ε)u␈↓ ∧D␈ε#>␈α
0␈α␈.␈α∂Ex␈α␈plain␈α	ho␈α␈w␈α	to␈α	d␈α␈ivide␈α	t␈α␈w␈α␈o␈α	su␈α␈ch␈αλf␈α↓ra␈α␈ction␈α␈s␈α	and␈αλto␈α	ob␈α␈tain
␈βαt␈↓ ↓H␈ε#a␈α
quo␈α␈tien␈α␈t␈αh␈α␈a␈α␈vin␈α␈g␈αthe␈αs␈α␈ame␈αfor␈α␈m.
␈ββ&␈↓ ↓V␈ε312.␈↓ α␈ε#[␈ε)20␈↓ α;␈ε#]␈α⊗(M␈α␈atula␈α	a␈α␈nd␈α	K␈α␈orne␈α␈rup␈α␈.␈α↓)␈α∩Discu␈α␈ss␈α	the␈α	rep␈α␈resen␈α}tation␈αλof␈α	⎇oa␈α␈ting␈α	slash␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α␈s
␈ββN␈↓ ↓H␈ε#in␈αa␈α
32-b␈α␈it␈αwo␈α␈rd.
␈ββy␈↓ 
M␈ε:0
␈ββ␈␈↓ ↓V␈ε313.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈3␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Exp␈α␈l␈α↓a␈α␈i␈α↓n␈α
ho␈α␈w␈αt␈α␈o␈αco␈α␈mp␈α␈ute␈α
the␈α
ex␈α␈act␈α
n␈α␈um␈α}ber␈α
of␈αp␈α␈airs␈α
of␈αin␈α␈te␈α␈gers␈α
(␈ε)u␈ε#␈α↓,␈↓ 
:␈ε)u␈↓ 
V␈ε#)␈αsu␈α␈ch
␈β∧!␈↓ ¬C␈ε:0␈↓ λ¬␈ε:0
␈β∧%␈↓ 	≠␈ε"(
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈at␈α⊂1␈ε7␈α⊃∀␈ε)␈α∪u␈ε7␈α∩∀␈↓ βC␈ε)M␈↓ βy␈ε#an␈α␈d␈↓ ∧?␈ε)N␈↓ ∧|␈ε#<␈↓ ¬/␈ε)u␈↓ ¬]␈ε7∀␈↓ ε⊃␈ε)N␈↓ εL␈ε#an␈α␈d␈↓ π∩␈ε#gc␈α␈d␈↓ πD␈ε#(␈ε)u␈ε#,␈↓ πq␈ε)u␈↓ λ∞␈ε#)␈α∩=␈α∩1␈α␈.␈↓ 	'␈ε#Th␈α␈i␈α↓s␈α⊂ca␈α␈n␈α⊂be␈α⊂u␈α␈sed
␈β∧2␈↓ ∧[␈ε&1␈↓ ε-␈ε&2
␈β∧N␈↓ ↓H␈ε#to␈αde␈α␈termine␈αh␈α↓o␈α␈w␈αman␈α}y␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈α
are␈αrep␈α␈resen␈α␈ta␈α␈ble␈α
in␈αslash␈αarithme␈α␈ti␈α↓c␈α␈.␈α∃Acc␈α␈ordin␈α␈g␈α
to
␈β∧p␈↓ π␈␈ε&2
␈β∧t␈↓ 	e␈ε")
␈β∧v␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈eore␈α␈m␈α4.5.2D,␈αthe␈α
n␈α␈um␈α}ber␈αwill␈αb␈α␈e␈αap␈α␈pro␈α}xima␈α␈tely␈α(6/␈↓ πk␈ε)→␈↓ λ∞␈ε#)␈↓ λ→␈ε)M␈↓ λ?␈ε#(␈↓ λJ␈ε)N␈↓ λ|␈ε7␈␈↓ 	%␈ε)N␈↓ 	P␈ε#)␈↓ 	[␈ε#.
␈β¬α␈↓ λf␈ε&2␈↓ 	A␈ε&1
␈β¬(␈↓ ↓V␈ε314.␈↓ α␈ε#[␈ε)42␈↓ α;␈ε#]␈α⊗M␈α␈od␈α␈i␈α↓fy␈α∞o␈α␈ne␈α∞o␈α␈f␈α∂th␈α␈e␈α∞com␈α␈pilers␈α∞at␈α∞y␈α␈o␈α␈ur␈α∞insta␈α␈ll␈α↓a␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α∞so␈α∞th␈α␈at␈α∞it␈α∞wi␈α↓ll␈α∞replac␈α␈e␈α∞all
␈β¬O␈↓ ↓H␈ε#⎇␈α␈oa␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α
p␈α␈oin␈α␈t␈α
c␈α␈alcula␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈α
b␈α␈y␈α
⎇␈α␈oa␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α
slas␈α␈h␈α
ca␈α␈l␈α↓c␈α␈ulation␈α␈s.␈α∃Ex␈α␈per␈α␈i␈α↓m␈α␈en␈α␈t␈α
with␈αthe␈α
u␈α␈se␈α
o␈α␈f
␈β¬w␈↓ ↓H␈ε#sla␈α␈sh␈αa␈α␈rithme␈α␈ti␈α↓c␈α
by␈α
ru␈α␈nn␈α␈ing␈α
existin␈α␈g␈αp␈α␈rog␈α␈rams␈α
tha␈α␈t␈αw␈α␈ere␈α
wri␈α↓tte␈α␈n␈α
by␈α
pro␈α␈gra␈α␈mmers␈α
wh␈α↓o
␈βε≡␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈ctua␈α␈ll␈α↓y␈α
had␈α
⎇o␈α␈ating␈α
poin␈α}t␈αarithm␈α␈etic␈αi␈α↓n␈α
mind␈α␈.␈α~(Whe␈α␈n␈αsp␈α␈ecial␈αsub␈α␈rou␈α␈ti␈α↓n␈α␈es␈αlik␈α␈e␈αsqu␈α␈are
␈βεF␈↓ ↓H␈ε#root␈αor␈αlog␈α␈arithm␈αare␈αcalled␈α␈,␈α
y␈α}ou␈α␈r␈αsys␈α␈tem␈αshou␈α␈ld␈αa␈α␈uto␈α␈matica␈α␈l␈α↓ly␈αcon␈α}v␈α␈ert␈αsl␈α↓a␈α␈sh␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α␈s
␈βεn␈↓ ↓H␈ε#to␈α⎇␈α␈oa␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈αpo␈α␈i␈α↓n␈α}t␈αfo␈α␈rm␈αb␈α␈efore␈αth␈α␈e␈αs␈α␈ub␈α␈routin␈α␈e␈αis␈αin␈α␈v␈α␈o␈α␈k␈α␈ed␈α␈,␈αth␈α␈en␈αba␈α␈ck␈αto␈αslash␈αform␈αa␈α␈gain
␈βπ∃␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈$erw␈α␈ard␈α␈s.␈α∂Th␈α␈ere␈αλsh␈α↓o␈α␈uld␈αλbe␈αλa␈α	n␈α␈ew␈α	o␈α␈ption␈αλto␈αλprin␈α}t␈α	slash␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers␈α	in␈αλa␈α	fra␈α␈ctiona␈α␈l␈α	forma␈α␈t;
␈βπ=␈↓ ↓H␈ε#ho␈α␈w␈α␈ev␈α}er,␈α∞if␈α
y␈α}ou␈αmak␈α}e␈α
n␈α↓o␈αch␈α␈an␈α␈ges␈α
to␈αa␈α
u␈α␈ser's␈α
sou␈α␈rce␈αprog␈α␈ram,␈α
y␈α␈o␈α␈u␈α
p␈α␈rob␈α␈ab␈α␈l␈α↓y␈αwil␈α↓l␈α
h␈α␈a␈α␈v␈α␈e
␈βπd␈↓ ↓H␈ε#to␈α∂p␈α␈ri␈α↓n␈α}t␈α⊂slas␈α␈h␈α⊂n␈α}um␈α}bers␈α∂i␈α↓n␈α∂d␈α␈ecima␈α␈l␈α⊂n␈α↓o␈α␈tation␈α␈,␈α⊃in␈α⊂o␈α␈rde␈α␈r␈α⊂to␈α∂k␈α␈ee␈α␈p␈α⊂fro␈α␈m␈α⊂m␈α␈essing␈α∂up␈α∂a␈α␈n␈α␈y
␈βλ␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈olumn␈α
ali␈α↓g␈α␈nm␈α␈en␈α␈ts.)␈α~Are␈αth␈α␈e␈αresults␈αbe␈α␈tter␈αor␈αw␈α␈orse,␈αwhen␈α⎇␈α␈oa␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈αslash␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈αare
␈βλ4␈↓ ↓H␈ε#su␈α␈bst␈α␈i␈α↓tu␈α␈ted␈α␈?
␈β	+␈↓ ↓H␈ε=4␈α␈.5.2.␈α∩T␈α␈h␈α↓e␈αGr␈α↓e␈α␈atest␈α∞Common␈α∞D␈α␈i␈α↓visor
␈β	l␈↓ ↓H␈ε"If␈ε(␈α
u␈ε"␈α	and␈↓ αL␈ε(v␈↓ αi␈ε"are␈α
in␈α␈tegers,␈α
n␈α↓ot␈α
both␈α
zero,␈αw␈α␈e␈α
sa␈α␈y␈α
that␈α
their␈↓ λ%␈ε/greatest␈α	comm␈α↓on␈α
divisor␈ε",
␈β
↔␈↓ ↓H␈ε"gcd␈↓ ↓}␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ α.␈ε(v␈↓ αA␈ε"),␈αis␈↓ βε␈ε"the␈αlargest␈αin␈α␈teger␈αthat␈αev␈α␈enly␈αdivides␈αboth␈ε(␈αu␈ε"␈αand␈↓ 	~␈ε(v␈↓ 	-␈ε".␈α⊂This␈αde|nition
␈β
B␈↓ ↓H␈ε"mak␈α␈es␈α∩sense,␈α∪because␈α∩if␈ε(␈α∩u␈ε6␈α∀≤␈ε"␈α∀0␈α∩then␈α∩n␈α↓o␈α∩in␈α␈teger␈α∩greater␈α∩than␈ε6␈α∩j␈ε(u␈ε6␈α␈j␈ε"␈α∩can␈α∩ev␈α␈enly
␈β
m␈↓ ↓H␈ε"divide␈ε(␈α∂u␈ε",␈α⊃but␈α⊂the␈α⊂in␈α␈teger␈α⊂1␈α∂does␈α⊂divide␈α⊂both␈ε(␈α⊂u␈ε"␈α⊂and␈↓ λ∪␈ε(v␈↓ λ&␈ε";␈α∩hence␈α⊂there␈α⊂m␈α␈ust␈α⊂be␈α∂a
␈β→␈↓ ↓H␈ε"largest␈α	in␈α␈teger␈αλthat␈α	divides␈α	them␈α	both.␈α∂When␈ε(␈α	u␈ε"␈α	and␈↓ πl␈ε(v␈↓ λλ␈ε"are␈α	both␈α	zero,␈α
ev␈α␈ery␈αλin␈α␈teger
␈βD␈↓ ↓H␈ε"ev␈α␈enly␈α∞divides␈α∞zero,␈α∂so␈α∞the␈α∂abo␈α␈v␈α␈e␈α∞de|nition␈α∞does␈α∂n␈α↓ot␈α∞apply;␈α⊂it␈α∞is␈α∞con␈α␈v␈α␈enien␈α␈t␈α∞to
␈βo␈↓ ↓H␈ε"set
␈β%␈↓ ∧p␈ε"gcd␈↓ ¬&␈ε"(0,␈αε0)␈↓ ¬|␈ε"=␈α
0.␈↓ α␈ε"(1)
␈β␈␈↓ ↓H␈ε"The␈αde|nitions␈αjust␈αgiv␈α␈en␈αobviously␈αimply␈αthat
␈β
Y␈↓ ∧l␈ε"gcd␈↓ ¬"␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ ¬S␈ε(v␈↓ ¬f␈ε")␈↓ ¬|␈ε"=␈↓ ε*␈ε"gcd␈↓ ε`␈ε"(␈↓ εl␈ε(v␈↓ ε␈␈ε",␈ε(␈αεu␈ε"),␈↓ α␈ε"(2)
␈β∞∂␈↓ ∧l␈ε"gcd␈↓ ¬"␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ ¬S␈ε(v␈↓ ¬f␈ε")␈↓ ¬|␈ε"=␈↓ ε*␈ε"gcd␈↓ ε`␈ε"(␈ε6␈␈ε(u␈ε",␈↓ π5␈ε(v␈↓ πH␈ε"),␈↓ α␈ε"(3)
␈β∞E␈↓ ∧m␈ε"gcd␈↓ ¬#␈ε"(␈ε(u␈ε",␈αε0)␈↓ ¬|␈ε"=␈ε6␈α
j␈ε(u␈ε6j␈ε".␈↓ α␈ε"(4)
␈β∂∃␈↓ α␈ε"In␈α⊂the␈α⊃previous␈α⊂section,␈α⊃w␈α␈e␈α⊃reduced␈α⊂the␈α⊂problem␈α⊃of␈α⊂expressing␈α⊂a␈α⊂rational
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈ber␈α
in␈α
\lo␈α␈w␈α␈est␈αterms"␈α
to␈αthe␈α
problem␈α
of␈α|nding␈α
the␈αgreatest␈α
comm␈α↓on␈α
divisor
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"of␈α
its␈α
n␈α␈umerator␈α
and␈α
den␈α↓ominator.␈α∀Other␈α
applications␈α
of␈α
the␈α
greatest␈α
comm␈α↓on
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"divisor␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
been␈α
men␈α␈tioned␈α
for␈α∞example␈α
in␈α
Sections␈α
3.2.1.2,␈α∞3.3.3,␈α
4.3.2,␈α
4.3.3.
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"So␈αthe␈αconcept␈αof␈↓ βf␈ε"gcd␈↓ ∧≤␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ ∧L␈ε(v␈↓ ∧←␈ε")␈αis␈αimportan␈α␈t␈αand␈αw␈α␈orth␈α␈y␈αof␈αserious␈αstudy.
␈β⊂m␈↓ α␈ε"The␈↓ αW␈ε/least␈α
comm␈α↓on␈α∞m␈α␈ultiple␈ε"␈α
of␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
in␈α␈tegers␈↓ πC␈ε(u␈ε"␈α
and␈↓ λ-␈ε(v␈↓ λ?␈ε",␈α∞written␈↓ 	V␈ε"lcm␈↓ 
∞␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ 
?␈ε(v␈↓ 
R␈ε"),␈α
is␈α
a
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"related␈α	idea␈αλthat␈α	is␈α	also␈α	importan␈α␈t.␈α∂It␈α	is␈α	de|ned␈α	to␈α	be␈α	the␈α	smallest␈α	positiv␈α␈e␈αλin␈α␈teger
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.2␈↓ 
v␈ε"317
␈β↓\␈↓ ε∃␈ε∞T␈α↓HE␈α
GRE␈α↓A␈α⎇T␈α↓EST␈α
COMMON␈α
DIV␈α↓IS␈α␈OR
␈βα"␈↓ ↓H␈ε"that␈α
is␈α
a␈αm␈α␈ultiple␈α
of␈α
(i.e.,␈α∞ev␈α␈enly␈α
divisible␈αby)␈α
both␈ε(␈α
u␈ε"␈α
and␈↓ λ`␈ε(v␈↓ λs␈ε";␈α
and␈↓ 	Q␈ε"lcm␈↓ 
	␈ε"(0,␈αε0)␈α=␈α0.
␈βαG␈↓ 
π␈ε90␈↓ 
}␈ε90
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"The␈α
classical␈αmeth␈α↓od␈α
for␈α
teaching␈α
children␈α
h␈α↓o␈α␈w␈α
to␈α
add␈α
fractions␈ε(␈α
u␈ε"/␈↓ 	s␈ε(u␈↓ 
~␈ε"+␈↓ 
F␈ε(v␈↓ 
Y␈ε"/␈↓ 
k␈ε(v␈↓ ∀␈ε"is
␈βαs␈↓ 
$␈ε90␈↓ 
Q␈ε90
␈βαy␈↓ ↓H␈ε"to␈αtrain␈αthem␈αto␈α|nd␈αthe␈α\least␈αcomm␈α↓on␈αden␈α↓ominator,"␈αwhich␈αis␈↓ 	L␈ε"lcm␈↓ 
∧␈ε"(␈↓ 
⊂␈ε(u␈↓ 
.␈ε",␈↓ 
>␈ε(v␈↓ 
Z␈ε").
␈ββ$␈↓ α␈ε"According␈α∞to␈α
the␈α∞\fundamen␈α␈tal␈α
theorem␈α∞of␈α∞arithmetic"␈α
(pro␈α␈v␈α␈ed␈α∞in␈α
exercise
␈ββO␈↓ ↓H␈ε"1.2.4↑21),␈αeach␈αpositiv␈α␈e␈αin␈α␈teger␈ε(␈αu␈ε"␈αcan␈αbe␈αexpressed␈αin␈αthe␈αform
␈β∧↓␈↓ πj␈ε↓Y
␈β∧≠␈↓ ∧[␈ε+u␈↓ ¬∂␈ε+u␈↓ ¬C␈ε+u␈↓ ¬v␈ε+u␈↓ ε<␈ε+u␈↓ λL␈ε+u
␈β∧#␈↓ β|␈ε(u␈ε"␈α
=␈↓ ∧I␈ε"2␈↓ ∧⎇␈ε"3␈↓ ¬1␈ε"5␈↓ ¬d␈ε"7␈↓ ε_␈ε"1␈↓ ε*␈ε"1␈↓ εl␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ π ␈ε"=␈↓ λ:␈ε(p␈↓ λn␈ε",␈↓ α␈ε"(5)
␈β∧%␈↓ ∧m␈ε'2␈↓ ¬ ␈ε'3␈↓ ¬T␈ε'5␈↓ ελ␈ε'7␈↓ εN␈ε'11␈↓ λ↑␈ε-p
␈β∧S␈↓ πN␈ε+p␈↓ πf␈ε%prime
␈β¬~␈↓ ↓H␈ε"where␈α∞the␈α
exponen␈α␈ts␈↓ ∧≤␈ε(u␈↓ ∧B␈ε",␈↓ ∧Z␈ε(u␈↓ ¬␈ε",␈↓ ¬_␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬P␈ε"are␈α∞uniquely␈α∞determined␈α∞n␈α↓onnegativ␈α␈e␈α
in␈α␈tegers,
␈β¬&␈↓ ∧1␈ε%2␈↓ ∧o␈ε%3
␈β¬E␈↓ ↓H␈ε"and␈α
where␈α
all␈α
but␈α
a␈α|nite␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
the␈α
exponen␈α␈ts␈α
are␈αzero.␈α∂F␈α⎇rom␈α
this␈α
can␈α↓onical
␈β¬p␈↓ ↓H␈ε"factorization␈αof␈αa␈αpositiv␈α␈e␈αin␈α␈teger,␈αit␈αis␈αeasy␈αto␈αdisco␈α␈v␈α␈er␈αone␈αw␈α␈a␈α␈y␈αto␈αcompute␈αthe
␈βε≤␈↓ ↓H␈ε"greatest␈αcomm␈α↓on␈αdivisor␈αof␈ε(␈αu␈ε"␈αand␈↓ ¬f␈ε(v␈↓ ¬y␈ε":␈αBy␈α(2),␈α(3),␈αand␈α(4),␈αw␈α␈e␈αma␈α␈y␈αassume␈αthat␈ε(␈αu
␈βεG␈↓ ↓H␈ε"and␈↓ α∂␈ε(v␈↓ α.␈ε"are␈α
positiv␈α␈e␈α
in␈α␈tegers,␈α
and␈α
if␈α
both␈α
of␈α
them␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
been␈α
can␈α↓onically␈αfactored
␈βεr␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈to␈αprimes␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈βπ%␈↓ ε∩␈ε↓Y
␈βπ@␈↓ εt␈ε%min␈↓ π&␈ε%(␈↓ π1␈ε+u␈↓ πQ␈ε%,␈↓ πZ␈ε+v␈↓ πx␈ε%)
␈βπH␈↓ ∧8␈ε"gcd␈↓ ∧n␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ ¬∨␈ε(v␈↓ ¬2␈ε")␈↓ ¬H␈ε"=␈↓ εb␈ε(p␈↓ λ∧␈ε",␈↓ α␈ε"(6)
␈βπI␈↓ πC␈ε-p␈↓ πi␈ε-p
␈βπx␈↓ ¬v␈ε+p␈↓ ε∞␈ε%prime
␈βλ∂␈↓ ε∩␈ε↓Y
␈βλ)␈↓ εt␈ε%max␈↓ π-␈ε%(␈↓ π7␈ε+u␈↓ πX␈ε%,␈↓ π`␈ε+v␈↓ π}␈ε%)
␈βλ1␈↓ ∧6␈ε"lcm␈↓ ∧n␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ ¬∨␈ε(v␈↓ ¬2␈ε")␈↓ ¬H␈ε"=␈↓ εb␈ε(p␈↓ λ
␈ε".␈↓ α␈ε"(7)
␈βλ3␈↓ πI␈ε-p␈↓ πo␈ε-p
␈βλb␈↓ ¬v␈ε+p␈↓ ε∞␈ε%prime
␈β	'␈↓ 	g␈ε%3␈↓ 
&␈ε%3
␈β	-␈↓ ↓H␈ε"Th␈α␈us,␈α
for␈α∞example,␈α∞the␈α
greatest␈α∞comm␈α↓on␈α
divisor␈α∞of␈ε(␈α
u␈ε"␈α=␈α
7000␈α=␈↓ 	U␈ε"2␈↓ 
↓␈ε6↓␈↓ 
∀␈ε"5␈↓ 
@␈ε6↓␈ε"␈α	7␈α
and
␈β	R␈↓ β*␈ε%4␈↓ βh␈ε%2␈↓ ∧|␈ε%min␈↓ ¬.␈ε%(␈α↓3,4)␈↓ ε∧␈ε%min␈↓ ε6␈ε%(␈α↓3,2)␈↓ π␈ε%min␈↓ π>␈ε%(␈α↓1,0)␈↓ λ&␈ε%min␈↓ λX␈ε%(␈α↓0,1)␈↓ 	c␈ε%3␈↓ 
!␈ε%2
␈β	X␈↓ ↓H␈ε(v␈↓ ↓f␈ε"=␈α4400␈α=␈↓ β_␈ε"2␈↓ βD␈ε6↓␈↓ βV␈ε"5␈↓ ∧α␈ε6↓␈ε"␈αλ11␈α
is␈↓ ∧j␈ε"2␈↓ ¬r␈ε"5␈↓ εz␈ε"7␈↓ λα␈ε"1␈↓ λ∀␈ε"1␈↓ 	!␈ε"=␈↓ 	Q␈ε"2␈↓ 	|␈ε6↓␈↓ 
∂␈ε"5␈↓ 
=␈ε"=␈α200.
␈β	⎇␈↓ λL␈ε%4␈↓ 	π␈ε%3
␈β
β␈↓ ↓H␈ε"The␈αleast␈αcomm␈α↓on␈αm␈α␈ultiple␈αof␈αthe␈αsame␈αt␈α␈w␈α␈o␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αis␈↓ λ:␈ε"2␈↓ λd␈ε6↓␈↓ λu␈ε"5␈↓ 	∨␈ε6↓␈ε"␈απ7␈ε6␈απ↓␈ε"␈απ11␈α
=␈α
154000.
␈β
.␈↓ α␈ε"F␈α⎇rom␈α
form␈α␈ulas␈α
(6)␈α
and␈α
(7)␈α∞w␈α␈e␈α
can␈α
easily␈α
pro␈α␈v␈α␈e␈α
a␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
basic␈α
iden␈α␈tities
␈β
Y␈↓ ↓H␈ε"concerning␈αthe␈αgcd␈αand␈αthe␈αlcm:
␈β(␈↓ ∧	␈ε"gcd␈↓ ∧?␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ ∧o␈ε(v␈↓ ¬α␈ε")␈↓ ¬∞␈ε(w␈↓ ¬3␈ε"=␈↓ ¬a␈ε"gcd␈↓ ε↔␈ε"(␈ε(u␈↓ ε8␈ε(w␈↓ εS␈ε",␈↓ εc␈ε(v␈↓ εv␈ε(w␈↓ π⊃␈ε"),␈↓ λZ␈ε"if␈↓ λ|␈ε(w␈↓ 	!␈ε6∃␈ε"␈α
0;␈↓ α␈ε"(8)
␈β↑␈↓ ∧π␈ε"lcm␈↓ ∧?␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ ∧o␈ε(v␈↓ ¬α␈ε")␈↓ ¬∞␈ε(w␈↓ ¬3␈ε"=␈↓ ¬a␈ε"lcm␈↓ ε→␈ε"(␈ε(u␈↓ ε:␈ε(w␈↓ εU␈ε",␈↓ εe␈ε(v␈↓ εx␈ε(w␈↓ π∪␈ε"),␈↓ λZ␈ε"if␈↓ λ|␈ε(w␈↓ 	!␈ε6∃␈ε"␈α
0;␈↓ α␈ε"(9)
␈β∀␈↓ ∧h␈ε(u␈ε6␈απ↓␈↓ ¬⊗␈ε(v␈↓ ¬3␈ε"=␈↓ ¬a␈ε"gcd␈↓ ε↔␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ εH␈ε(v␈↓ ε[␈ε")␈ε6␈αλ↓␈↓ π↓␈ε"lcm␈↓ π9␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ πj␈ε(v␈↓ π|␈ε"),␈↓ λZ␈ε"if␈ε(␈αu␈ε",␈↓ 	!␈ε(v␈↓ 	>␈ε6∃␈ε"␈α
0;␈↓ 
p␈ε"(10)
␈β+␈↓ αf␈ε↓␈␈↓ ¬≠␈ε↓↓␈↓ ε→␈ε↓␈␈↓ πX␈ε↓↓
␈βJ␈↓ α0␈ε"gcd␈↓ αt␈ε"lcm␈↓ β,␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ β]␈ε(v␈↓ βp␈ε"),␈↓ ∧␈ε"lcm␈↓ ∧D␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ ∧t␈ε(w␈↓ ¬∂␈ε")␈↓ ¬3␈ε"=␈↓ ¬a␈ε"lcm␈↓ ε'␈ε(u␈ε",␈↓ εL␈ε"gcd␈↓ πα␈ε"(␈↓ π∞␈ε(v␈↓ π!␈ε",␈↓ π1␈ε(w␈↓ πL␈ε")␈↓ πf␈ε";␈↓ 
p␈ε"(11)
␈βa␈↓ αj␈ε↓␈␈↓ ¬≠␈ε↓↓␈↓ ε↔␈ε↓␈␈↓ πX␈ε↓↓
␈β
␈↓ α2␈ε"lcm␈↓ αx␈ε"gcd␈↓ β.␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ β←␈ε(v␈↓ βr␈ε"),␈↓ ∧∞␈ε"gcd␈↓ ∧D␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ ∧t␈ε(w␈↓ ¬∂␈ε")␈↓ ¬3␈ε"=␈↓ ¬a␈ε"gcd␈↓ ε%␈ε(u␈ε",␈↓ εJ␈ε"lcm␈↓ πα␈ε"(␈↓ π∞␈ε(v␈↓ π!␈ε",␈↓ π1␈ε(w␈↓ πL␈ε")␈↓ πf␈ε".␈↓ 
p␈ε"(12)
␈β
T␈↓ ↓H␈ε"The␈α	latter␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α	form␈α␈ulas␈α	are␈α
\distributiv␈α␈e␈α	la␈α␈ws"␈α
analogous␈α	to␈α
the␈α	familiar␈α	iden␈α␈tit␈α␈y
␈β
␈␈↓ ↓H␈ε(u␈↓ ↓\␈ε(v␈↓ ↓x␈ε"+␈ε(␈αλu␈↓ α9␈ε(w␈↓ α←␈ε"=␈ε(␈α
u␈ε"(␈↓ β.␈ε(v␈↓ βI␈ε"+␈↓ βv␈ε(w␈↓ ∧⊃␈ε").␈α⊃Equation␈α
(10)␈αreduces␈α
the␈α
calculation␈αof␈↓ 	<␈ε"gcd␈↓ 	r␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ 
"␈ε(v␈↓ 
5␈ε")␈α
to␈αthe
␈β∞*␈↓ ↓H␈ε"calculation␈αof␈↓ β(␈ε"lcm␈↓ β`␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ ∧⊂␈ε(v␈↓ ∧#␈ε"),␈αand␈αcon␈α␈v␈α␈ersely.
␈β∞j␈↓ ↓H␈ε2Euclid's␈α⊃algorithm.␈ε"␈α"Alth␈α↓ough␈α⊃Eq.␈α⊃(6)␈α⊃is␈α⊃useful␈α⊃for␈α⊃theoretical␈α⊃purposes,␈α∩it␈α⊃is
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε"generally␈αn␈α↓o␈αhelp␈αfor␈αcalculating␈αa␈αgreatest␈αcomm␈α↓on␈αdivisor␈αin␈αpractice,␈αbecause
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"it␈α⊂requires␈α⊂that␈α⊃w␈α␈e␈α⊂|rst␈α⊂determine␈α⊃the␈α⊂factorization␈α⊂of␈ε(␈α⊃u␈ε"␈α⊂and␈↓ 	7␈ε(v␈↓ 	J␈ε".␈α≥There␈α⊂is␈α⊂n␈α↓o
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"kn␈α↓o␈α␈wn␈αλmeth␈α↓od␈αλfor␈αλ|nding␈α	the␈αλprime␈αλfactors␈αλof␈αλan␈α	in␈α␈teger␈αλv␈α␈ery␈αλrapidly␈αλ(see␈αλSection
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"4.5.4).␈α∂But␈α
fortunately␈α	there␈α
is␈α
an␈α
e}cien␈α␈t␈α
w␈α␈a␈α␈y␈α	to␈α
calculate␈α
the␈α
greatest␈α	comm␈α↓on
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"divisor␈α⊃of␈α⊃t␈α␈w␈α␈o␈α∩in␈α␈tegers␈α⊃with␈α↓out␈α∩factoring␈α⊃them,␈α∪and,␈α∪in␈α⊃fact,␈α∪such␈α⊃a␈α⊃meth␈α↓od
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈as␈αdisco␈α␈v␈α␈ered␈αo␈α␈v␈α␈er␈α2250␈αy␈α␈ears␈αago;␈α
this␈αis␈α\Euclid's␈αalgorithm,"␈αwhich␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"already␈αexamined␈αin␈αSections␈α1.1␈αand␈α1.2.1.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"318␈↓ 
b␈ε"4.5.2
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ α␈ε"Euclid's␈αalgorithm␈αis␈αfound␈αin␈αBo␈α↓ok␈α7,␈αPropositions␈α1␈αand␈α2␈αof␈αhis␈ε/␈αElemen␈α␈ts
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"(␈ε/c␈ε".␈α∂300␈↓ βα␈ε"),␈α⊂but␈α∂it␈α∂probably␈α∂w␈α␈asn't␈α∂his␈α∂o␈α␈wn␈α⊂in␈α␈v␈α␈en␈α␈tion.␈α→Sch␈α↓olars␈α∂believ␈α␈e␈α∂that
␈βαT␈↓ αB␈ε.B.C␈α↓.
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"the␈αmeth␈α↓od␈α
w␈α␈as␈α
kn␈α↓o␈α␈wn␈α
up␈αto␈α
200␈α
y␈α␈ears␈α
earlier,␈α
at␈αleast␈α
in␈α
its␈α
subtractiv␈α␈e␈αform,
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"and␈α∞it␈α∂w␈α␈as␈α∂alm␈α↓ost␈α∞certainly␈α∂kn␈α↓o␈α␈wn␈α∞to␈↓ ε3␈ε"Eudo␈α␈xus␈α∂(␈ε/c␈ε".␈α∞375␈↓ 	α␈ε");␈α⊂cf.␈α∞K.␈↓ 
⊃␈ε"v␈α␈on␈α∞F␈α⎇ritz,
␈ββ+␈↓ λB␈ε.B.C␈α↓.
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε/Ann.␈α
Math.␈ε"␈α∞(2)␈ε2␈α∞46␈ε"␈α
(1945),␈α∂242↑264.␈α∃W␈α⎇e␈α
migh␈α␈t␈α∞call␈α∞it␈α∞the␈α
granddaddy␈α∞of␈α∞all␈α
al-
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"gorithms,␈α
because␈α
it␈α∞is␈α
the␈α
oldest␈α
n␈α↓on␈α␈trivial␈α
algorithm␈α∞that␈α
has␈α
surviv␈α␈ed␈α
to␈α
the
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε"presen␈α␈t␈α⊂da␈α␈y.␈α!(The␈α⊂chief␈α⊂riv␈α}al␈α⊂for␈α⊂this␈α⊃h␈α↓on␈α↓or␈α⊂is␈α⊂perhaps␈α⊂the␈α⊂ancien␈α␈t␈↓ 
≥␈ε"Egyptian
␈β∧R␈↓ ↓H␈ε"meth␈α↓od␈αfor␈αm␈α␈ultiplication,␈αwhich␈αw␈α␈as␈αbased␈αon␈αdoubling␈αand␈αadding,␈αand␈αwhich
␈β∧}␈↓ ↓H␈ε"forms␈α∂the␈α⊂basis␈α∂for␈α⊂e}cien␈α␈t␈α∂calculation␈α⊂of␈ε(␈α∂n␈ε"th␈α∂po␈α␈w␈α␈ers␈α⊂as␈α∂explained␈α⊂in␈α∂Section
␈β¬)␈↓ ↓H␈ε"4.6.3.␈α→But␈α∂the␈α∂Egyptian␈α∂man␈α␈uscripts␈α∂merely␈α∂giv␈α␈e␈α∂examples␈α∞that␈α∂are␈α∂n␈α↓ot␈α∂com-
␈β¬T␈↓ ↓H␈ε"pletely␈αsystematic,␈αand␈αthese␈αexamples␈αw␈α␈ere␈αcertainly␈αn␈α↓ot␈αstated␈αsystematically;
␈β¬␈␈↓ ↓H␈ε"the␈αEgyptian␈α
meth␈α↓od␈αis␈αtherefore␈α
n␈α↓ot␈αquite␈α
deserving␈αof␈α
the␈αname␈α\algorithm."
␈βε*␈↓ ↓H␈ε"Sev␈α␈eral␈α⊂ancien␈α␈t␈↓ βJ␈ε"Babylonian␈α⊂meth␈α↓ods,␈α∩for␈α⊃doing␈α⊂such␈α⊃things␈α⊂as␈α⊃solving␈α⊂special
␈βεV␈↓ ↓H␈ε"sets␈α
of␈α
quadratic␈αequations␈α
in␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
v␈α}ariables,␈αare␈α
also␈αkn␈α↓o␈α␈wn.␈α∂Gen␈α␈uine␈↓ 
ε␈ε"algorithms
␈βπ↓␈↓ ↓H␈ε"are␈α
in␈α␈v␈α␈olv␈α␈ed␈α∞in␈α
this␈α∞case,␈α∞n␈α↓ot␈α
just␈α∞special␈α∞solutions␈α
to␈α∞the␈α
equations␈α∞for␈α
certain
␈βπ,␈↓ ↓H␈ε"input␈α⊂parameters;␈α⊃for␈α⊂ev␈α␈en␈α⊂th␈α↓ough␈α⊂the␈α⊂Babylonians␈α⊂in␈α␈v␈α}ariably␈α⊂presen␈α␈ted␈α∂each
␈βπW␈↓ ↓H␈ε"meth␈α↓od␈α
in␈α
conjunction␈α
with␈αan␈α
example␈α
w␈α␈ork␈α␈ed␈α
with␈α
particular␈αinput␈α
data,␈α
they
␈βλα␈↓ ↓H␈ε"regularly␈αexplained␈αthe␈αgeneral␈αprocedure␈αin␈αthe␈αaccompan␈α␈ying␈αtext.␈α_[See␈αD.␈αE.
␈βλ.␈↓ ↓H␈ε"Kn␈α␈uth,␈ε/␈α
CA␈α␈CM␈ε2␈α∞15␈ε"␈α
(1972),␈α∞671↑677;␈ε2␈α∞19␈ε"␈α∞(1976),␈α
108.]␈α≤Man␈α␈y␈α∞of␈α
these␈α
Babylonian
␈βλY␈↓ ↓H␈ε"algorithms␈α∂predate␈α∂Euclid␈α⊂by␈α∂1500␈α∂y␈α␈ears,␈α⊂and␈α⊂they␈α∂are␈α∂the␈α⊂earliest␈α∂kn␈α↓o␈α␈wn␈α∂in-
␈β	∧␈↓ ↓H␈ε"stances␈α
of␈α
written␈α
procedures␈α
for␈α
mathematics.␈α∂But␈α
they␈α
do␈α
n␈α↓ot␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
the␈α
stature
␈β	/␈↓ ↓H␈ε"of␈α∂Euclid's␈α∂algorithm,␈α⊂since␈α∂they␈α⊂do␈α∂n␈α↓ot␈α∂in␈α␈v␈α␈olv␈α␈e␈α∂iteration␈α⊂and␈α∂since␈α∂they␈α∂ha␈α␈v␈α␈e
␈β	Z␈↓ ↓H␈ε"been␈αsuperseded␈αby␈αm␈α↓odern␈αalgebraic␈αmeth␈α↓ods.)
␈β
ε␈↓ α␈ε"In␈α⊂view␈α⊃of␈α⊂the␈α⊂importance␈α⊂of␈α⊃Euclid's␈α⊂algorithm,␈α⊃for␈α⊃historical␈α⊂as␈α⊂w␈α␈ell␈α⊂as
␈β
1␈↓ ↓H␈ε"practical␈αλreasons,␈α	let␈αλus␈αλn␈α↓o␈α␈w␈αλconsider␈αλh␈α↓o␈α␈w␈↓ εO␈ε"Euclid␈αλhimself␈α	treated␈αλit.␈α∞Paraphrasing
␈β
\␈↓ ↓H␈ε"his␈αw␈α␈ords␈αin␈α␈to␈αm␈α↓odern␈↓ ∧3␈ε"termin␈α↓ology,␈αthis␈αis␈αessen␈α␈tially␈αwhat␈αhe␈αwrote:
␈β≠␈↓ α␈ε3Prop␈α␈osition.␈ε0␈α→Giv␈α␈en␈α
t␈α␈w␈α␈o␈αpo␈α␈siti␈α↓v␈α}e␈αin␈α␈teg␈α␈ers,␈α|n␈α␈d␈αthe␈α␈i␈α↓r␈αg␈α␈reate␈α␈st␈αcommon␈αd␈α␈ivisor.
␈βN␈↓ α␈ε#Let␈ε)␈α∞A␈ε#,␈↓ α{␈ε)C␈↓ β#␈ε#b␈α␈e␈α
the␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
giv␈α␈en␈α
p␈α␈ositiv␈α␈e␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs;␈α∂i␈α↓t␈α
is␈α∞re␈α␈quired␈α
to␈α
|␈α␈nd␈α
th␈α␈eir␈α∞g␈α␈reates␈α␈t
␈βu␈↓ α␈ε#co␈α␈mm␈α↓on␈α
d␈α␈i␈α↓v␈α␈i␈α↓so␈α␈r.␈α∂If␈↓ ∧,␈ε)C␈↓ ∧Q␈ε#divid␈α␈es␈ε)␈αA␈ε#,␈αthe␈α␈n␈↓ ε9␈ε)C␈↓ ε↑␈ε#is␈αa␈αc␈α␈ommon␈αd␈α␈ivisor␈αo␈α␈f␈↓ 	3␈ε)C␈↓ 	X␈ε#an␈α␈d␈ε)␈αA␈ε#,␈αsince␈α
it
␈β≥␈↓ α␈ε#also␈αd␈α␈ivides␈αitself.␈α∩And␈αit␈αclearly␈αis␈αin␈αfact␈αth␈α␈e␈αgrea␈α␈test,␈α
s␈α␈i␈α↓n␈α␈ce␈αno␈αgrea␈α␈ter␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈βD␈↓ α␈ε#th␈α␈an␈↓ αZ␈ε)C␈↓ α␈␈ε#wil␈α↓l␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈ide␈↓ ∧!␈ε)C␈↓ ∧;␈ε#.
␈βw␈↓ α␈ε#But␈α
if␈↓ αq␈ε)C␈↓ β_␈ε#d␈α␈oes␈α
n␈α↓o␈α␈t␈α
divid␈α␈e␈ε)␈α
A␈ε#␈α↓,␈α∞th␈α␈en␈α
c␈α␈on␈α␈tin␈α}ually␈α
su␈α␈btra␈α␈ct␈α
the␈α
lesser␈α
o␈α␈f␈α∞th␈α␈e␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α␈s
␈β
≡␈↓ α␈ε)A␈ε#,␈↓ α<␈ε)C␈↓ αc␈ε#from␈α
the␈α
grea␈α␈ter,␈α∞un␈α}ti␈α↓l␈α∞s␈α␈ome␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α∞is␈α∞le$␈α∞t␈α␈hat␈α
divid␈α␈es␈α∞th␈α␈e␈α
prev␈α␈i␈α↓o␈α␈us␈α
on␈α␈e.
␈β
F␈↓ α␈ε#This␈α
will␈αe␈α␈v␈α␈en␈α}tually␈α
h␈α␈ap␈α␈pen␈α␈,␈αfo␈α␈r␈α
i␈α↓f␈α
u␈α␈nit␈α␈y␈α
is␈α
le$,␈αit␈α
will␈αd␈α␈ivide␈α
t␈α␈he␈α
p␈α␈reviou␈α␈s␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er.
␈β
x␈↓ α␈ε#No␈α␈w␈α∞l␈α↓e␈α␈t␈↓ β⊂␈ε)E␈↓ β9␈ε#b␈α␈e␈α∂t␈α␈he␈α∞positiv␈α␈e␈α∞rema␈α␈ind␈α␈er␈α∂o␈α␈f␈ε)␈α∂A␈ε#␈α∂d␈α␈i␈α↓v␈α␈ided␈α∞b␈α␈y␈↓ λA␈ε)C␈↓ λ[␈ε#;␈α⊂l␈α↓e␈α␈t␈↓ 	(␈ε)F␈↓ 	Q␈ε#b␈α␈e␈α∂th␈α␈e␈α∞positiv␈α␈e
␈β∞ ␈↓ α␈ε#rema␈α␈ind␈α␈er␈αof␈↓ βO␈ε)C␈↓ βt␈ε#divid␈α␈ed␈αb␈α␈y␈↓ ¬_␈ε)E␈↓ ¬2␈ε#;␈αand␈α
let␈↓ ε7␈ε)F␈↓ ε[␈ε#be␈α
a␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈isor␈αo␈α␈f␈↓ λ5␈ε)E␈↓ λO␈ε#.␈α∂Sin␈α␈ce␈↓ 	>␈ε)F␈↓ 	b␈ε#divide␈α␈s␈↓ 
R␈ε)E␈↓ 
w␈ε#a␈α␈nd
␈β∞H␈↓ α␈ε)E␈↓ α3␈ε#divid␈α␈es␈↓ β&␈ε)C␈↓ βI␈ε7␈␈↓ βs␈ε)F␈↓ ∧
␈ε#,␈↓ ∧$␈ε)F␈↓ ∧K␈ε#also␈α
divid␈α␈es␈↓ εα␈ε)C␈↓ ε%␈ε7␈␈↓ εP␈ε)F␈↓ εj␈ε#;␈α∞bu␈α␈t␈α∞it␈α
also␈α
divid␈α␈es␈α
i␈α↓tse␈α␈l␈α↓f,␈α∞so␈α
it␈α∞d␈α␈ivide␈α␈s
␈β∞o␈↓ α␈ε)C␈↓ α&␈ε#.␈α⊂An␈α␈d␈↓ βπ␈ε)C␈↓ β-␈ε#d␈α␈ivides␈ε)␈αA␈ε7␈απ␈␈↓ ∧e␈ε)E␈↓ ∧␈␈ε#;␈αth␈α␈erefore␈↓ ε!␈ε)F␈↓ εF␈ε#a␈α␈l␈α↓so␈αd␈α␈ivides␈ε)␈αA␈ε7␈απ␈␈↓ λA␈ε)E␈↓ λ[␈ε#.␈α⊂But␈αit␈αalso␈αdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈↓ 	␈ε)E␈↓ #␈ε#;
␈β∂↔␈↓ α␈ε#th␈α␈erefore␈αit␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈ε)␈αA␈ε#.␈α∂Hen␈α␈ce␈αit␈αi␈α↓s␈αa␈α
common␈αd␈α␈ivisor␈αo␈α␈f␈ε)␈αA␈ε#␈αa␈α␈nd␈↓ 	_␈ε)C␈↓ 	2␈ε#.
␈β∂I␈↓ α␈ε#I␈α	n␈α↓o␈α}w␈α	claim␈α	th␈α␈at␈α	it␈α	is␈α	also␈α	th␈α␈e␈α	gre␈α␈atest.␈α∞F␈α⎇or␈α	if␈↓ π_␈ε)F␈↓ π;␈ε#i␈α↓s␈αλn␈α↓ot␈αλthe␈α	g␈α␈reate␈α␈st␈α	common␈αλdiviso␈α␈r
␈β∂q␈↓ α␈ε#of␈ε)␈αA␈ε#␈αan␈α␈d␈↓ β↔␈ε)C␈↓ β1␈ε#,␈αsom␈α␈e␈αlarger␈α
n␈α␈um␈α}ber␈αwill␈αd␈α␈ivide␈α
them␈α
both␈α␈.␈α∂Let␈αsuc␈α␈h␈αa␈αn␈α}um␈α}ber␈αb␈α␈e␈ε)␈αG␈ε#.
␈β⊂#␈↓ α␈ε#No␈α␈w␈α	sin␈α␈ce␈ε)␈α	G␈ε#␈α	d␈α␈i␈α↓v␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈↓ ∧7␈ε)C␈↓ ∧Z␈ε#wh␈α␈i␈α↓le␈↓ ¬/␈ε)C␈↓ ¬R␈ε#d␈α␈ivide␈α␈s␈ε)␈α	A␈ε7␈αβ␈␈↓ ε␈␈ε)E␈↓ π→␈ε#,␈ε)␈α	G␈ε#␈α	divide␈α␈s␈ε)␈α	A␈ε7␈αβ␈␈↓ λ|␈ε)E␈↓ 	⊗␈ε#.␈ε)␈α∞G␈ε#␈α	also␈αλdivide␈α␈s␈α	the
␈β⊂K␈↓ α␈ε#wh␈α↓o␈α␈le␈αo␈α␈f␈ε)␈αA␈ε#,␈αso␈α
it␈α
divid␈α␈es␈αt␈α␈he␈α
rema␈α␈i␈α↓n␈α␈de␈α␈r␈↓ εJ␈ε)E␈↓ εd␈ε#.␈α∂Bu␈α␈t␈↓ π<␈ε)E␈↓ π`␈ε#d␈α␈i␈α↓v␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈↓ λO␈ε)C␈↓ λo␈ε7␈␈↓ 	↔␈ε)F␈↓ 	1␈ε#;␈α
there␈α␈f␈α↓o␈α␈re␈ε)␈α
G␈ε#␈αalso
␈β⊂r␈↓ α␈ε#div␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈↓ α{␈ε)C␈↓ β≠␈ε7␈␈↓ βC␈ε)F␈↓ β\␈ε#.␈α∂And␈ε)␈α
G␈ε#␈α
also␈α
div␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈α
the␈α
whole␈α
of␈↓ πO␈ε)C␈↓ πi␈ε#,␈α
so␈α
i␈α↓t␈α
d␈α␈i␈α↓v␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈α
the␈α
rem␈α␈aind␈α␈er␈↓ 	␈ε)F␈↓ #␈ε#;
␈β⊃~␈↓ α␈ε#th␈α␈at␈αis,␈αa␈αg␈α␈reate␈α␈r␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈αd␈α␈ivide␈α␈s␈αa␈α
smaller␈αon␈α␈e.␈α∂This␈αis␈αimpo␈α␈ssible.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.2␈↓ 
v␈ε"319
␈β↓\␈↓ ε∃␈ε∞T␈α↓HE␈α
GRE␈α↓A␈α⎇T␈α↓EST␈α
COMMON␈α
DIV␈α↓IS␈α␈OR
␈βα&␈↓ α␈ε#The␈α␈refore␈αn␈α↓o␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α
gre␈α␈ater␈αtha␈α␈n␈↓ ε∩␈ε)F␈↓ ε8␈ε#wi␈α↓ll␈α
d␈α␈ivide␈ε)␈αA␈ε#␈α
an␈α␈d␈↓ λD␈ε)C␈↓ λ←␈ε#,␈α
so␈↓ 	∨␈ε)F␈↓ 	F␈ε#is␈α
th␈α␈eir␈α
g␈α␈reates␈α␈t
␈βαN␈↓ α␈ε#co␈α␈mm␈α↓on␈α
diviso␈α␈r.
␈ββ↓␈↓ α␈ε3Coro␈α␈l␈α↓la␈α␈ry.␈ε#␈α⊃This␈α	a␈α␈rgu␈α␈men␈α␈t␈αλmak␈α}es␈α	it␈α	ev␈α␈i␈α↓d␈α␈en␈α␈t␈αλthat␈αλan␈α␈y␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α	divid␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α	t␈α␈w␈α␈o␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α␈s
␈ββ(␈↓ α␈ε#div␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈αth␈α␈eir␈αg␈α␈reate␈α␈st␈αcommon␈α
divisor.␈ε0␈α∂Q.E.D.
␈ββi␈↓ ↓H␈ε/Note.␈ε"␈α≥Euclid's␈α∞statemen␈α␈ts␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈α∂been␈α∞simpli|ed␈α∞here␈α∂in␈α∞one␈α∞n␈α↓on␈α␈trivial␈α∞respect:
␈β∧∀␈↓ ↓H␈ε"Greek␈α∂mathematicians␈α∞did␈α∂n␈α↓ot␈α∂regard␈α∂unit␈α␈y␈α∂as␈α∂a␈α∂\divisor"␈α∂of␈α∂an␈α↓other␈α∞positiv␈α␈e
␈β∧?␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈teger.␈α≡Tw␈α␈o␈α⊂positiv␈α␈e␈α⊃in␈α␈tegers␈α⊃w␈α␈ere␈α⊂either␈α⊃both␈α⊃equal␈α⊃to␈α⊂unit␈α␈y,␈α∩or␈α⊃they␈α⊂w␈α␈ere
␈β∧j␈↓ ↓H␈ε"relativ␈α␈ely␈αprime,␈αor␈α
they␈αhad␈αa␈α
greatest␈αcomm␈α↓on␈αdivisor.␈α⊃In␈αfact,␈α
unit␈α␈y␈αw␈α␈as␈αn␈α↓ot
␈β¬⊗␈↓ ↓H␈ε"ev␈α␈en␈α∞considered␈α∞to␈α∞be␈α∞a␈α∞\n␈α␈um␈α␈ber,"␈α∂and␈α∞zero␈α∞w␈α␈as␈α∞of␈α∞course␈α∞n␈α↓onexisten␈α␈t.␈α⊗These
␈β¬A␈↓ ↓H␈ε"rather␈α
a␈α␈wkw␈α␈ard␈α
con␈α␈v␈α␈en␈α␈tions␈α
made␈α
it␈α
necessary␈α∞for␈α
Euclid␈α
to␈α
duplicate␈α
m␈α␈uch␈α
of
␈β¬l␈↓ ↓H␈ε"his␈α∞discussion,␈α∂and␈α∂he␈α∞ga␈α␈v␈α␈e␈α∂t␈α␈w␈α␈o␈α∞separate␈α∂propositions␈α∞that␈α∞are␈α∂each␈α∞essen␈α␈tially
␈βε↔␈↓ ↓H␈ε"lik␈α␈e␈αthe␈αone␈αappearing␈αhere.
␈βεC␈↓ α␈ε"In␈α⊂his␈α⊂discussion,␈α⊃Euclid␈α⊂|rst␈α⊂suggests␈α⊂subtracting␈α⊂the␈α⊂smaller␈α⊂of␈α∂the␈α⊂t␈α␈w␈α␈o
␈βεn␈↓ ↓H␈ε"curren␈α␈t␈α	n␈α␈um␈α␈bers␈α
from␈α	the␈α
larger,␈α
repeatedly,␈α
un␈α␈til␈α	w␈α␈e␈α
get␈α	t␈α␈w␈α␈o␈α	n␈α␈um␈α␈bers␈α
where␈α	one
␈βπ→␈↓ ↓H␈ε"is␈αλa␈αλm␈α␈ultiple␈α	of␈αλthe␈αλother.␈α∂But␈αλin␈α	the␈αλpro␈α↓of␈αλhe␈α	really␈αλrelies␈αλon␈α	taking␈αλthe␈αλremainder
␈βπD␈↓ ↓H␈ε"of␈α
one␈αn␈α␈um␈α␈ber␈α
divided␈α
by␈α
an␈α↓other;␈α
and␈α
since␈α
he␈α
has␈α
n␈α↓o␈α
simple␈α
concept␈α
of␈αzero,
␈βπo␈↓ ↓H␈ε"he␈α⊂cann␈α↓ot␈α⊃speak␈α⊂of␈α⊃the␈α⊃remainder␈α⊂when␈α⊃one␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber␈α⊃divides␈α⊃the␈α⊂other.␈α≡It␈α⊂is
␈βλ≠␈↓ ↓H␈ε"reasonable␈α	to␈α	sa␈α␈y␈α	that␈α
he␈α	imagines␈α	each␈ε/␈α	division␈ε"␈α
(n␈α↓ot␈α	the␈α	individual␈α	subtractions)
␈βλF␈↓ ↓H␈ε"as␈α⊃a␈α⊃single␈α⊃step␈α∩of␈α⊃the␈α⊃algorithm,␈α∪and␈α⊃hence␈α⊃an␈α∩\authen␈α␈tic"␈α⊃rendition␈α⊃of␈α⊃his
␈βλq␈↓ ↓H␈ε"algorithm␈αcan␈αbe␈αphrased␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈β	3␈↓ ↓H␈ε2Algorithm␈α	E␈ε"␈α	(␈ε/Original␈α
Euclidean␈α	algorithm␈ε")␈ε2.␈ε"␈α⊂Giv␈α␈en␈α	t␈α␈w␈α␈o␈α
in␈α␈tegers␈ε(␈α	A␈ε"␈α	and␈↓ 
→␈ε(C␈↓ 
>␈ε"greater
␈β	↑␈↓ ↓H␈ε"than␈αunit␈α␈y,␈αthis␈αalgorithm␈α|nds␈αtheir␈αgreatest␈αcomm␈α↓on␈αdivisor.
␈β
∃␈↓ ↓L␈ε2E1.␈↓ α	␈ε"[␈ε(A␈ε"␈αdivisible␈α
by␈↓ βz␈ε(C␈↓ ∧⊗␈ε"?]␈α~If␈↓ ∧l␈ε(C␈↓ ¬∃␈ε"divides␈ε(␈αA␈ε",␈αthe␈α
algorithm␈αterminates␈αwith␈↓ 
&␈ε(C␈↓ 
N␈ε"as␈αthe
␈β
@␈↓ α␈ε"answ␈α␈er.
␈β
w␈↓ ↓L␈ε2E2.␈↓ α	␈ε"[Replace␈ε(␈αA␈ε"␈αby␈αremainder.]␈α~If␈ε(␈αA␈↓ ε∧␈ε"mod␈↓ εN␈ε(C␈↓ εv␈ε"is␈αequal␈αto␈αunit␈α␈y,␈αthe␈αgiv␈α␈en␈αn␈α␈um␈α␈bers
␈β"␈↓ α␈ε"w␈α␈ere␈α∂relativ␈α␈ely␈α∞prime,␈α∂so␈α∂the␈α∞algorithm␈α∂terminates.␈α↔Otherwise␈α∂replace␈α∞the
␈βN␈↓ α␈ε"pair␈αof␈αv␈α}alues␈α(␈ε(A␈ε",␈↓ ∧!␈ε(C␈↓ ∧=␈ε")␈αby␈α(␈↓ ¬∀␈ε(C␈↓ ¬1␈ε",␈ε(␈αεA␈↓ ¬a␈ε"mod␈↓ ε+␈ε(C␈↓ εG␈ε")␈αand␈αreturn␈αto␈αstep␈αE1.
␈βW␈↓ 	g␈∧W	g≠∂
␈β⊂␈↓ α␈ε"The␈α⊂\pro␈α↓of"␈α⊃Euclid␈α⊂ga␈α␈v␈α␈e,␈α⊃which␈α⊃is␈α⊂quoted␈α⊂abo␈α␈v␈α␈e,␈α∩is␈α⊂especially␈α⊂in␈α␈teresting
␈β;␈↓ ↓H␈ε"because␈α
it␈αis␈αn␈α↓ot␈αreally␈α
a␈↓ ∧N␈ε"pro␈α↓of␈αat␈αall!␈α∂He␈αv␈α␈eri|es␈αthe␈α
result␈αof␈αthe␈αalgorithm␈α
only
␈βf␈↓ ↓H␈ε"if␈α
step␈αE1␈α
is␈αperformed␈αonce␈α
or␈αthrice.␈α∂Surely␈αhe␈α
m␈α␈ust␈αha␈α␈v␈α␈e␈αrealized␈α
that␈αstep␈α
E1
␈β
⊃␈↓ ↓H␈ε"could␈α
tak␈α␈e␈α
place␈α
m␈α↓ore␈α
than␈α∞three␈α
times,␈α
alth␈α↓ough␈α
he␈α∞made␈α
n␈α↓o␈α
men␈α␈tion␈α
of␈α
such
␈β
=␈↓ ↓H␈ε"a␈α
possibilit␈α␈y.␈α⊗Not␈α∞ha␈α␈ving␈α∞the␈α
n␈α↓otion␈α∞of␈α∞a␈α∞pro␈α↓of␈α∞by␈α
mathematical␈↓ 	\␈ε"induction,␈α∞he
␈β
h␈↓ ↓H␈ε"could␈α∞only␈α∞giv␈α␈e␈α∞a␈α∞pro␈α↓of␈α∞for␈α∞a␈α∞|nite␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α∞cases.␈α≥(In␈α∞fact,␈α∞he␈α∞o$en␈α∞pro␈α␈v␈α␈ed
␈β∞∪␈↓ ↓H␈ε"only␈α∂the␈α∞case␈ε(␈α∂n␈ε"␈α∂=␈α∂3␈α∂of␈α∂a␈α∞theorem␈α∂that␈α∂he␈α∂w␈α␈an␈α␈ted␈α∂to␈α∂establish␈α∂for␈α∂general␈ε(␈α∂n␈ε"␈α␈.)
␈β∞>␈↓ ↓H␈ε"Alth␈α↓ough␈α⊃Euclid␈α⊃is␈α⊃justly␈α⊃fam␈α↓ous␈α⊃for␈α⊃the␈α⊃great␈α⊃adv␈α}ances␈α⊃he␈α⊂made␈α⊃in␈α⊃the␈α⊃art
␈β∞i␈↓ ↓H␈ε"of␈α∂logical␈α⊂deduction,␈α⊂techniques␈α⊂for␈α⊂giving␈α∂v␈α}alid␈α⊂pro␈α↓ofs␈α⊂by␈α∂induction␈α⊂w␈α␈ere␈α∂n␈α↓ot
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε"disco␈α␈v␈α␈ered␈α∪un␈α␈til␈α∩man␈α␈y␈α∪cen␈α␈turies␈α∪later,␈α∃and␈α∪the␈α∪crucial␈α∪ideas␈α∪for␈α∪pro␈α␈ving␈α∩the
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"v␈α}alidit␈α␈y␈α∂of␈ε/␈α⊂algorithms␈ε"␈α⊂are␈α⊂only␈α⊂n␈α↓o␈α␈w␈α∂becoming␈α⊂really␈α⊂clear.␈α (See␈α⊂Section␈α∂1.2.1
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"for␈α∞a␈α
complete␈α∞pro␈α↓of␈α∞of␈α∞Euclid's␈α∞algorithm,␈α∞together␈α∞with␈α∞a␈α∞sh␈α↓ort␈α∞discussion␈α
of
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"general␈αpro␈α↓of␈αprocedures␈αfor␈αalgorithms.)
␈β⊂B␈↓ α␈ε"It␈α	is␈αλw␈α␈orth␈α	n␈α↓oting␈αλthat␈α	this␈αλalgorithm␈α	for␈αλ|nding␈α	the␈αλgreatest␈α	comm␈α↓on␈αλdivisor
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈as␈αch␈α↓osen␈α
by␈αEuclid␈α
to␈α
be␈αthe␈α
v␈α␈ery␈α|rst␈α
step␈α
in␈αhis␈α
dev␈α␈elopmen␈α␈t␈αof␈α
the␈αtheory
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"of␈α⊃n␈α␈um␈α␈bers.␈α∨The␈α⊃same␈α⊃order␈α⊃of␈α∩presen␈α␈tation␈α⊃is␈α⊃still␈α⊃in␈α⊃use␈α⊃toda␈α␈y␈α⊃in␈α⊃m␈α↓odern
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"320␈↓ 
b␈ε"4.5.2
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα"␈↓ ↓H␈ε"textbo␈α↓oks.␈α∂Euclid␈αalso␈αga␈α␈v␈α␈e␈αa␈αmeth␈α↓od␈α
(Proposition␈α34)␈αto␈α|nd␈αthe␈αleast␈α
comm␈α↓on
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"m␈α␈ultiple␈α
of␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
in␈α␈tegers␈ε(␈αu␈ε"␈α
and␈↓ ¬$␈ε(v␈↓ ¬7␈ε",␈α
namely␈α
to␈αdivide␈ε(␈α
u␈ε"␈α
by␈↓ λ*␈ε"gcd␈↓ λ`␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ 	⊃␈ε(v␈↓ 	$␈ε")␈α
and␈α
to␈α
m␈α␈ultiply
␈βαy␈↓ ↓H␈ε"the␈αresult␈αby␈↓ β≥␈ε(v␈↓ β0␈ε";␈αthis␈αis␈αequiv␈α}alen␈α␈t␈αto␈αEq.␈α(10).
␈ββ%␈↓ α␈ε"If␈α∞w␈α␈e␈α
a␈α␈v␈α␈oid␈α∞Euclid's␈α
bias␈α∞against␈α
the␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α
0␈α∞and␈α
1,␈α∞w␈α␈e␈α∞can␈α
reform␈α␈ulate
␈ββP␈↓ ↓H␈ε"Algorithm␈αE␈αin␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αw␈α␈a␈α␈y.
␈β∧∃␈↓ ↓H␈ε2Algorithm␈α	A␈ε"␈α	(␈ε/Modern␈α	Euclidean␈α	algorithm␈ε")␈ε2.␈ε"␈α∂Giv␈α␈en␈α	n␈α↓onnegativ␈α␈e␈α	in␈α␈tegers␈ε(␈α
u␈ε"␈αλand␈↓ ⊂␈ε(v␈↓ "␈ε",
␈β∧"␈↓ πl␈ε↓␈
␈β∧@␈↓ ↓H␈ε"this␈α	algorithm␈α
|nds␈α	their␈α
greatest␈α	comm␈α↓on␈α
divisor.␈↓ πz␈ε/Note:␈ε"␈α
The␈α
greatest␈α	comm␈α↓on
␈β∧l␈↓ ↓H␈ε"divisor␈α
of␈ε/␈αarbitrary␈ε"␈α
in␈α␈tegers␈ε(␈αu␈ε"␈α
and␈↓ ¬b␈ε(v␈↓ ε␈ε"ma␈α␈y␈α
be␈αobtained␈α
by␈α
applying␈αthis␈α
algorithm
␈β∧x␈↓ εW␈ε↓↓
␈β¬↔␈↓ ↓H␈ε"to␈ε6␈αj␈ε(u␈ε6␈α␈j␈ε"␈αand␈ε6␈αj␈↓ αx␈ε(v␈↓ β␈ε6j␈ε",␈αbecause␈αof␈αEqs.␈α(2)␈αand␈α(3).
␈β¬O␈↓ ↓J␈ε2A1.␈↓ α	␈ε"[␈↓ α∪␈ε(v␈↓ α0␈ε"=␈α
0?]␈α→If␈↓ βE␈ε(v␈↓ βb␈ε"=␈α
0,␈αthe␈αalgorithm␈αterminates␈αwith␈ε(␈αu␈ε"␈αas␈αthe␈αansw␈α␈er.
␈βελ␈↓ ↓J␈ε2A2.␈↓ α	␈ε"[T␈α⎇ak␈α␈e␈ε(␈α∞u␈↓ βλ␈ε"mod␈↓ βR␈ε(v␈↓ βe␈ε".]␈α≤Set␈↓ ∧U␈ε(r␈↓ ∧r␈ε6␈ ␈ε(␈α
u␈↓ ¬>␈ε"mod␈↓ ελ␈ε(v␈↓ ε≠␈ε",␈ε(␈α∞u␈ε6␈α
␈ ␈↓ πε␈ε(v␈↓ π→␈ε",␈↓ π1␈ε(v␈↓ πQ␈ε6␈ ␈↓ λα␈ε(r␈↓ λ∩␈ε",␈α∂and␈α
return␈α∞to␈α∞A1.␈α≤(The
␈βε3␈↓ α␈ε"operations␈α∩of␈α∩this␈α∩step␈α∩decrease␈α∩the␈α∩v␈α}alue␈α∩of␈↓ πy␈ε(v␈↓ λ␈ε",␈α∪but␈α∩they␈α∩lea␈α␈v␈α␈e␈↓ 
'␈ε"gcd␈↓ 
]␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ ∞␈ε(v␈↓  ␈ε")
␈βε↑␈↓ α␈ε"unchanged.)
␈βεg␈↓ βr␈∧εgβr≠∂
␈βπ$␈↓ ↓H␈ε"F␈α⎇or␈αexample,␈αw␈α␈e␈αma␈α␈y␈αcalculate␈↓ ¬:␈ε"gcd␈↓ ¬p␈ε"(40902,␈αε24140)␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈βπy␈↓ α↓␈ε"gcd␈↓ α7␈ε"(40902,␈αε24140)␈↓ ∧≥␈ε"=␈↓ ∧K␈ε"gcd␈↓ ¬↓␈ε"(24140,␈αε16762)␈α
=␈↓ π∃␈ε"gcd␈↓ πK␈ε"(16762,␈αε7378)
␈βλ/␈↓ ∧≥␈ε"=␈↓ ∧K␈ε"gcd␈↓ ¬↓␈ε"(7378,␈αε2006)␈α
=␈↓ εq␈ε"gcd␈↓ π'␈ε"(2006,␈αε1360)␈α
=␈↓ 	↔␈ε"gcd␈↓ 	M␈ε"(1360,␈αε646)
␈βλe␈↓ ∧≥␈ε"=␈↓ ∧K␈ε"gcd␈↓ ¬↓␈ε"(646,␈αε68)␈α
=␈↓ ε;␈ε"gcd␈↓ εq␈ε"(68,␈αε34)␈α
=␈↓ λ→␈ε"gcd␈↓ λO␈ε"(34,␈αε0)␈α
=␈α
34.
␈β	:␈↓ α␈ε"A␈αpro␈α↓of␈α
that␈αAlgorithm␈α
A␈αis␈α
v␈α}alid␈αfollo␈α␈ws␈α
readily␈αfrom␈α
Eq.␈α(4)␈α
and␈αthe␈αfact
␈β	e␈↓ ↓H␈ε"that
␈β
∪␈↓ ∧f␈ε"gcd␈↓ ¬≤␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ ¬M␈ε(v␈↓ ¬`␈ε")␈α
=␈↓ ε$␈ε"gcd␈↓ εZ␈ε"(␈↓ εf␈ε(v␈↓ εy␈ε",␈ε(␈αεu␈ε6␈αλ␈␈↓ πR␈ε(q␈↓ πe␈ε(v␈↓ πx␈ε"),␈↓ 
p␈ε"(13)
␈β
Y␈↓ ↓H␈ε"if␈↓ ↓j␈ε(q␈↓ α	␈ε"is␈αan␈α␈y␈α
in␈α␈teger.␈α⊂Equation␈α
(13)␈αh␈α↓olds␈αbecause␈αan␈α␈y␈α
comm␈α↓on␈αdivisor␈αof␈ε(␈αu␈ε"␈αand␈↓ ~␈ε(v
␈β∧␈↓ ↓H␈ε"is␈αa␈αdivisor␈αof␈αboth␈↓ βy␈ε(v␈↓ ∧↔␈ε"and␈ε(␈αu␈ε6␈αε␈␈↓ ¬#␈ε(q␈↓ ¬6␈ε(v␈↓ ¬I␈ε",␈αand,␈αcon␈α␈v␈α␈ersely,␈αan␈α␈y␈αcomm␈α↓on␈αdivisor␈αof␈↓ 
T␈ε(v␈↓ 
r␈ε"and
␈β/␈↓ ↓H␈ε(u␈ε6␈απ␈␈↓ α⊂␈ε(q␈↓ α$␈ε(v␈↓ αB␈ε"m␈α␈ust␈αdivide␈αboth␈ε(␈αu␈ε"␈αand␈↓ ¬A␈ε(v␈↓ ¬T␈ε".
␈β[␈↓ α␈ε"The␈αfollo␈α␈wing␈↓ ∧5␈ε"program␈αillustrates␈αthe␈α
fact␈αthat␈αAlgorithm␈α
A␈αcan␈αeasily
␈β]␈↓ βp␈ε5MIX
␈βε␈↓ ↓H␈ε"be␈αimplemen␈α␈ted␈αon␈αa␈αcomputer:
␈βL␈↓ ↓H␈ε2Program␈α∩A␈ε"␈α∩(␈ε/Euclid's␈α∪algorithm␈ε")␈ε2.␈ε"␈α$Assume␈α∩that␈ε(␈α∪u␈ε"␈α∩and␈↓ λM␈ε(v␈↓ λr␈ε"are␈α∩single-precision,
␈βw␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓onnegativ␈α␈e␈αin␈α␈tegers,␈αstored␈αrespectiv␈α␈ely␈αin␈αlocations␈↓ λ'␈ε"and␈↓ λ␈␈ε";␈αthis␈αprogram␈αputs
␈βy␈↓ λ	␈ε5U␈↓ λl␈ε5V
␈β
"␈↓ ↓H␈ε"gcd␈↓ ↓}␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ α.␈ε(v␈↓ αA␈ε")␈αin␈α␈to␈αrA.
␈β
e␈↓ ∧f␈ε5LD␈α␈X␈↓ ¬D␈ε5U␈↓ ε!␈ε#1␈↓ εv␈ε#rX␈↓ π%␈ε7␈ ␈ε)␈α	u␈ε#␈α↓.
␈β∞
␈↓ ∧f␈ε5JM␈α␈P␈↓ ¬D␈ε52F␈↓ ε!␈ε#1
␈β∞5␈↓ ∧-␈ε51H␈↓ ∧f␈ε5ST␈α␈X␈↓ ¬D␈ε5V␈↓ ε≥␈ε)T␈↓ εv␈ε)v␈↓ π⊃␈ε7␈ ␈↓ π<␈ε#rX␈↓ πa␈ε#.
␈β∞\␈↓ ∧f␈ε5SR␈α␈AX␈↓ ¬D␈ε55␈↓ ε≥␈ε)T␈↓ εv␈ε#rAX␈↓ π=␈ε7␈ ␈↓ πg␈ε#rA␈↓ λ␈ε#.
␈β∂∧␈↓ ∧f␈ε5DI␈α␈V␈↓ ¬D␈ε5V␈↓ ε≥␈ε)T␈↓ εv␈ε#rX␈↓ π%␈ε7␈ ␈↓ πO␈ε#rAX␈↓ λ∩␈ε#mo␈α␈d␈↓ λV␈ε)v␈↓ λh␈ε#.
␈β∂+␈↓ ∧-␈ε52H␈↓ ∧f␈ε5LD␈α␈A␈↓ ¬D␈ε5V␈↓ ¬⎇␈ε#1␈απ+␈↓ ε>␈ε)T␈↓ εv␈ε#rA␈↓ π%␈ε7␈ ␈↓ πO␈ε)v␈↓ πa␈ε#.
␈β∂S␈↓ ∧f␈ε5JX␈α␈NZ␈↓ ¬D␈ε51B␈↓ ¬⎇␈ε#1␈απ+␈↓ ε>␈ε)T␈↓ εv␈ε#D␈α↓o␈α␈ne␈αif␈↓ πk␈ε#rX␈↓ λ→␈ε#=␈α
0␈α␈.
␈β∂Z␈↓ 	β␈∧∂Z	β≠∂
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"The␈α∂running␈α∂time␈α∂for␈α∂this␈α∞program␈α∂is␈α∂19␈↓ εT␈ε(T␈↓ εx␈ε"+␈α
6␈α∂cy␈α␈cles,␈α⊂where␈↓ 	&␈ε(T␈↓ 	O␈ε"is␈α∞the␈α∂n␈α␈um␈α␈ber
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"of␈αdivisions␈αperformed.␈α⊂The␈αdiscussion␈α
in␈αSection␈α4.5.3␈αsh␈α↓o␈α␈ws␈αthat␈αw␈α␈e␈αma␈α␈y␈αtak␈α␈e
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε(T␈↓ ↓n␈ε"=␈α0.842766␈↓ β,␈ε"ln␈↓ βP␈ε(N␈↓ β|␈ε"+␈αλ0.06␈α∞as␈α
an␈α
appro␈α␈ximate␈α∞a␈α␈v␈α␈erage␈α
v␈α}alue,␈α∞when␈ε(␈α
u␈ε"␈α
and␈↓ 
\␈ε(v␈↓ 
|␈ε"are
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"independen␈α␈tly␈αand␈αuniformly␈αdistributed␈αin␈αthe␈αrange␈α1␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
u␈ε"␈α␈,␈↓ 	␈ε(v␈↓ 	(␈ε6∀␈↓ 	V␈ε(N␈↓ 	y␈ε".
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.2␈↓ 
v␈ε"321
␈β↓\␈↓ ε∃␈ε∞T␈α↓HE␈α
GRE␈α↓A␈α⎇T␈α↓EST␈α
COMMON␈α
DIV␈α↓IS␈α␈OR
␈βε∧␈↓ β∂␈ε3Fig.␈α9.␈ε#␈α→Bi␈α↓n␈α␈ary␈α
algorith␈α␈m␈αfor␈αth␈α␈e␈αgrea␈α␈test␈αco␈α␈mm␈α↓on␈α
div␈α␈i␈α↓so␈α␈r.
␈βε{␈↓ ↓H␈ε2A␈αλbinary␈α	meth␈α↓od.␈ε"␈α∞Since␈α	Euclid's␈α	patriarchal␈α	algorithm␈αλhas␈α	been␈α	used␈α	for␈α	so␈αλman␈α␈y
␈βπ&␈↓ ↓H␈ε"cen␈α␈turies,␈α
it␈α
is␈α	a␈α
rather␈α
surprising␈α
fact␈α	that␈α
it␈α
ma␈α␈y␈α
n␈α↓ot␈α	alw␈α␈a␈α␈ys␈α
be␈α
the␈α
best␈α	meth␈α↓od
␈βπQ␈↓ ↓H␈ε"for␈α	|nding␈α	the␈α
greatest␈α	comm␈α↓on␈α	divisor␈α
a$er␈α	all.␈α∂A␈α	quite␈α
di{eren␈α␈t␈α	gcd␈α	algorithm,
␈βπ⎇␈↓ ↓H␈ε"which␈α	is␈α
primarily␈α
suited␈α	to␈α
binary␈α	arithmetic,␈αw␈α␈as␈α	disco␈α␈v␈α␈ered␈α
by␈α
J.␈↓ 	c␈ε"Stein␈α
in␈α	1961
␈βλ(␈↓ ↓H␈ε"[see␈ε/␈αJ.␈αComp.␈αPh␈α␈ys.␈ε2␈α1␈ε"␈α(1967),␈α397↑405].␈α⊂This␈αnew␈αalgorithm␈αrequires␈αn␈α↓o␈αdivision
␈βλS␈↓ ↓H␈ε"instruction;␈α	it␈α	relies␈αλsolely␈α	on␈αλthe␈α	operations␈αλof␈α	(i)␈αλsubtraction,␈α	(ii)␈α	testing␈αλwhether
␈βλ}␈↓ ↓H␈ε"a␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈αis␈α
ev␈α␈en␈α
or␈α
odd,␈α
and␈α
(iii)␈α
shi$ing␈α
the␈α
binary␈α
represen␈α␈tation␈α
of␈α
an␈αev␈α␈en
␈β	)␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈ber␈αto␈αthe␈αrigh␈α␈t␈α(␈↓ ∧↔␈ε"halving).
␈β	U␈↓ α␈ε"The␈↓ αR␈ε"binary␈αλgcd␈αλalgorithm␈αλis␈αλbased␈αλon␈αλfour␈αλsimple␈αλfacts␈αλabout␈αλpositiv␈α␈e␈αλin␈α␈tegers
␈β
␈↓ ↓H␈ε(u␈ε"␈αand␈↓ α.␈ε(v␈↓ αA␈ε":
␈β
4␈↓ ↓b␈ε"a)␈↓ α␈ε"If␈ε(␈αu␈ε"␈αand␈↓ β↔␈ε(v␈↓ β6␈ε"are␈αboth␈αev␈α␈en,␈αthen␈↓ ¬t␈ε"gcd␈↓ ε*␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ εZ␈ε(v␈↓ εm␈ε")␈α
=␈α
2␈↓ πI␈ε"gcd␈↓ π␈␈ε"(␈ε(u␈ε"/2,␈↓ λT␈ε(v␈↓ λg␈ε"/2).␈α→[See␈αEq.␈α(8).]
␈β
`␈↓ ↓`␈ε"b)␈↓ α␈ε"If␈ε(␈αu␈ε"␈αis␈αev␈α␈en␈αand␈↓ ∧
␈ε(v␈↓ ∧,␈ε"is␈αodd,␈αthen␈↓ ¬r␈ε"gcd␈↓ ε(␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ εX␈ε(v␈↓ εk␈ε")␈α
=␈↓ π/␈ε"gcd␈↓ πe␈ε"(␈ε(u␈ε"/2,␈↓ λ:␈ε(v␈↓ λM␈ε").␈α→[See␈αEq.␈α(6).]
␈β␈↓ ↓d␈ε"c)␈↓ α␈ε"As␈αin␈αEuclid's␈αalgorithm,␈↓ ¬ ␈ε"gcd␈↓ ¬V␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ επ␈ε(v␈↓ ε~␈ε")␈α
=␈↓ ε↑␈ε"gcd␈↓ π∀␈ε"(␈ε(u␈ε6␈απ␈␈↓ πh␈ε(v␈↓ π{␈ε",␈↓ λ␈ε(v␈↓ λ≡␈ε").␈α→[See␈αEqs.␈α(13),␈α(2).]
␈β6␈↓ ↓`␈ε"d)␈↓ α␈ε"If␈ε(␈αu␈ε"␈αand␈↓ β↔␈ε(v␈↓ β6␈ε"are␈αboth␈αodd,␈αthen␈ε(␈αu␈ε6␈απ␈␈↓ ε0␈ε(v␈↓ εO␈ε"is␈αev␈α␈en,␈αand␈ε6␈αj␈ε(u␈ε6␈αλ␈␈↓ λh␈ε(v␈↓ λ{␈ε6j␈ε"␈α
<␈↓ 	=␈ε"ma␈↓ 	m␈ε"x␈↓ 
↓␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ 
2␈ε(v␈↓ 
E␈ε").
␈βj␈↓ ↓H␈ε"These␈αfacts␈αimmediately␈αsuggest␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αalgorithm:
␈β(␈↓ ↓H␈ε2Algorithm␈α∩B␈ε"␈α∪(␈ε/Binary␈α∪gcd␈α∩algorithm␈ε")␈ε2.␈ε"␈α%Giv␈α␈en␈α∪positiv␈α␈e␈α∪in␈α␈tegers␈ε(␈α∩u␈ε"␈α∪and␈↓ 
A␈ε(v␈↓ 
T␈ε",␈α∀this
␈βS␈↓ ↓H␈ε"algorithm␈α|nds␈αtheir␈αgreatest␈αcomm␈α↓on␈αdivisor.
␈β
λ␈↓ ↓L␈ε2B1.␈↓ α	␈ε"[Find␈αpo␈α␈w␈α␈er␈αof␈α2.]␈α↔Set␈↓ ∧t␈ε(k␈↓ ¬∩␈ε6␈ ␈ε"␈α
0,␈αand␈αthen␈αrepeatedly␈αset␈↓ λd␈ε(k␈↓ 	α␈ε6␈ ␈↓ 	0␈ε(k␈↓ 	K␈ε"+␈αε1,␈ε(␈αu␈ε6␈α
␈ ␈ε(␈α
u␈ε"␈α␈/2,
␈β
3␈↓ α␈ε(v␈↓ α)␈ε6␈ ␈↓ αW␈ε(v␈↓ αj␈ε"/2,␈αzero␈αor␈αm␈α↓ore␈αtimes␈αun␈α␈til␈ε(␈αu␈ε"␈αand␈↓ π∪␈ε(v␈↓ π1␈ε"are␈αn␈α↓ot␈αboth␈αev␈α␈en.
␈β
a␈↓ ⊂␈ε+k
␈β
g␈↓ ↓L␈ε2B2.␈↓ α	␈ε"[Initialize.]␈α≡(No␈α␈w␈α∂the␈α∞original␈α∂v␈α}alues␈α∞of␈ε(␈α∂u␈ε"␈α∞and␈↓ πz␈ε(v␈↓ λ≠␈ε"ha␈α␈v␈α␈e␈α∂been␈α∞divided␈α∂by␈↓ 
}␈ε"2␈↓ "␈ε",
␈β∞∩␈↓ α␈ε"and␈αat␈αleast␈αone␈αof␈αtheir␈αpresen␈α␈t␈αv␈α}alues␈αis␈αodd.)␈α↔If␈ε(␈αu␈ε"␈αis␈αodd,␈αset␈ε(␈αt␈ε6␈α
␈ ␈α
␈␈↓ 
T␈ε(v␈↓ 
r␈ε"and
␈β∞>␈↓ α␈ε"go␈αto␈αB4.␈α⊂Otherwise␈αset␈ε(␈αt␈ε6␈α
␈ ␈ε(␈α
u␈ε".
␈β∞r␈↓ ↓L␈ε2B3.␈↓ α	␈ε"[Halv␈α␈e␈ε(␈αt␈ε".]␈α~(A␈α␈t␈αthis␈αpoin␈α␈t,␈ε(␈αt␈ε"␈αis␈αev␈α␈en,␈αand␈αn␈α↓onzero.)␈α→Set␈ε(␈αt␈ε6␈α
␈ ␈ε(␈α
t␈ε"␈α↓/2.
␈β∂'␈↓ ↓L␈ε2B4.␈↓ α	␈ε"[Is␈ε(␈αt␈ε"␈αev␈α␈en?]␈α~If␈ε(␈αt␈ε"␈αis␈αev␈α␈en,␈αgo␈αback␈αto␈αB3.
␈β∂[␈↓ ↓L␈ε2B5.␈↓ α	␈ε"[Reset␈↓ αv␈ε"ma␈↓ β&␈ε"x␈↓ β:␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ βk␈ε(v␈↓ β}␈ε").]␈α∀If␈ε(␈α
t␈ε"␈α
>␈α
0,␈αset␈ε(␈αu␈ε6␈α
␈ ␈ε(␈α
t␈ε";␈αotherwise␈α
set␈↓ λ;␈ε(v␈↓ λX␈ε6␈ ␈α
␈␈ε(t␈ε".␈α∀(The␈αlarger␈α
of
␈β⊂ε␈↓ α␈ε(u␈ε"␈α
and␈↓ αu␈ε(v␈↓ β∃␈ε"has␈α
been␈α
replaced␈α∞by␈ε6␈α
j␈ε(t␈ε6j␈ε",␈α
except␈α∞perhaps␈α
during␈α
the␈α
|rst␈α
time␈α
this
␈β⊂1␈↓ α␈ε"step␈αis␈αperformed.)
␈β⊂f␈↓ ↓L␈ε2B6.␈↓ α	␈ε"[Subtract.]␈α∪Set␈ε(␈α
t␈ε6␈α␈ ␈ε(␈α
u␈ε6␈α∧␈␈↓ ¬¬␈ε(v␈↓ ¬_␈ε".␈α⊂If␈ε(␈α
t␈ε6␈α
≤␈ε"␈α
0,␈αgo␈α
back␈α
to␈αB3.␈α∂Otherwise␈α
the␈α
algorithm
␈β⊃␈↓ ∧Q␈ε+k
␈β⊃⊃␈↓ α␈ε"terminates␈αwith␈ε(␈αu␈ε6␈αλ↓␈↓ ∧?␈ε"2␈↓ ∧o␈ε"as␈αthe␈αoutput.
␈β⊃~␈↓ εu␈∧⊃~εu≠∂
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"322␈↓ 
b␈ε"4.5.2
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ α␈ε"As␈α
an␈α
example␈α
of␈α
Algorithm␈α
B␈↓ ¬s␈ε",␈α
let␈α
us␈α
consider␈ε(␈αu␈ε"␈α=␈α40902,␈↓ 	;␈ε(v␈↓ 	Z␈ε"=␈α24140,␈α
the
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"same␈αn␈α␈um␈α␈bers␈α
w␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈α
used␈αto␈α
try␈αout␈α
Euclid's␈αalgorithm.␈α∩Step␈αB1␈α
sets␈↓ 
C␈ε(k␈↓ 
b␈ε6␈ ␈ε"␈α
1,
␈βαz␈↓ ↓H␈ε(u␈ε6␈α
␈ ␈ε"␈α
20451,␈↓ βε␈ε(v␈↓ β#␈ε6␈ ␈ε"␈α12070.␈α⊃Then␈ε(␈αt␈ε"␈α
is␈αset␈αto␈ε6␈α
␈␈ε"12070,␈αand␈αreplaced␈α
by␈ε6␈α␈␈ε"6035;␈αthen
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε(v␈↓ ↓g␈ε"is␈αreplaced␈αby␈α6035,␈αand␈αthe␈αcomputation␈αproceeds␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈ββh␈↓ β¬␈ε(u␈↓ ∧∨␈ε(v␈↓ πL␈ε(t
␈β∧≡␈↓ αb␈ε"20451␈↓ ∧∧␈ε"6035␈↓ ¬∀␈ε"+14416,␈α+7208,␈α+3604,␈α+1802,␈α+901;
␈β∧I␈↓ βε␈ε"901␈↓ ∧∧␈ε"6035␈↓ ¬∀␈ε6␈␈ε"5134,␈ε6␈α␈␈ε"2567;
␈β∧t␈↓ βε␈ε"901␈↓ ∧∧␈ε"2567␈↓ ¬∀␈ε6␈␈ε"1666,␈ε6␈α␈␈ε"833;
␈β¬∨␈↓ βε␈ε"901␈↓ ∧⊗␈ε"833␈↓ ¬∀␈ε"+68,␈α+34,␈α+17;
␈β¬K␈↓ β_␈ε"17␈↓ ∧⊗␈ε"833␈↓ ¬∀␈ε6␈␈ε"816,␈ε6␈α␈␈ε"408,␈ε6␈α␈␈ε"204,␈ε6␈α␈␈ε"102,␈ε6␈α␈␈ε"51;
␈β¬v␈↓ β_␈ε"17␈↓ ∧(␈ε"51␈↓ ¬∀␈ε6␈␈ε"34,␈ε6␈α␈␈ε"17;
␈βε!␈↓ β_␈ε"17␈↓ ∧(␈ε"17␈↓ ¬∀␈ε"0.
␈βεg␈↓ ∧␈ε%1
␈βεm␈↓ ↓H␈ε"The␈α∂answ␈α␈er␈α⊂is␈α∂17␈ε6␈α↓␈↓ βz␈ε"2␈↓ ∧,␈ε"=␈α⊂34.␈α≠A␈α∂few␈α⊂m␈α↓ore␈α∂iterations␈α⊂w␈α␈ere␈α∂necessary␈α⊂here␈α∂than
␈βπ_␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈e␈αneeded␈αwith␈αAlgorithm␈αA␈↓ ¬␈ε",␈αbut␈αeach␈αiteration␈αw␈α␈as␈αsomewhat␈αsimpler␈αsince␈αn␈α↓o
␈βπC␈↓ ↓H␈ε"division␈αsteps␈αw␈α␈ere␈αused.
␈βπo␈↓ α␈ε"A␈↓ α}␈ε"program␈α⊂for␈α∂Algorithm␈α⊂B␈α∂requires␈α⊂just␈α∂a␈α⊂little␈α⊂m␈α↓ore␈α∂code␈α⊂than␈α∂for
␈βπq␈↓ α6␈ε5MI␈α␈X
␈βλ~␈↓ ↓H␈ε"Algorithm␈α∪A␈↓ β∃␈ε".␈α&In␈α∪order␈α∀to␈α∪mak␈α␈e␈α∪such␈α∀a␈α∪program␈α∪fairly␈α∪t␈α␈ypical␈α∀of␈α∪a␈α∪binary
␈βλE␈↓ ↓H␈ε"computer's␈α
represen␈α␈tation␈αof␈α
Algorithm␈αB␈↓ εS␈ε",␈↓ εh␈ε"let␈α
us␈αassume␈α
that␈↓ 	Q␈ε"is␈αextended␈α
to
␈βλG␈↓ 	∞␈ε5MIX
␈βλp␈↓ ↓H␈ε"include␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αoperators:
␈β	,␈↓ ↓H␈ε6∂␈↓ α*␈ε"(shi$␈αle$␈αAX␈αbinary).␈α~C␈↓ ¬A␈ε"=␈α
6;␈α→F␈↓ εF␈ε"=␈α
6.
␈β	.␈↓ ↓f␈ε5SL␈α␈B
␈β	X␈↓ ↓H␈ε"The␈α∂con␈α␈ten␈α␈ts␈α∂of␈α∂registers␈α∂A␈α∂and␈α∂X␈α∂are␈α∂\shi$ed␈α∂le$"␈α∂M␈α∂binary␈α∂places;␈α⊂that␈α∂is,
␈β	⎇␈↓ β␈ε%M␈↓ ∧T␈ε%10
␈β
β␈↓ ↓H␈ε6j␈↓ ↓R␈ε"rAX␈↓ α∀␈ε6j␈α⊃␈ ␈α⊃j␈↓ αn␈ε"2␈↓ β≥␈ε"rAX␈↓ β←␈ε6j␈↓ βo␈ε"mod␈↓ ∧9␈ε(B␈↓ ∧t␈ε",␈α∩where␈↓ ¬|␈ε(B␈↓ ε(␈ε"is␈α⊃the␈α⊂byte␈α⊃size.␈α!(As␈α⊂with␈α⊃all␈↓ 
f␈ε"shi$
␈β
¬␈↓ 
≥␈ε5MIX
␈β
.␈↓ ↓H␈ε"commands,␈αthe␈αsigns␈αof␈αrA␈αand␈αrX␈αare␈αn␈α↓ot␈αa{ected.)
␈β
j␈↓ ↓H␈ε6∂␈↓ α*␈ε"(shi$␈αrigh␈α␈t␈αAX␈αbinary).␈α~C␈↓ ¬X␈ε"=␈α
6;␈α→F␈↓ ε]␈ε"=␈α
7.
␈β
l␈↓ ↓f␈ε5SR␈α␈B
␈β∃␈↓ ↓H␈ε"The␈α
con␈α␈ten␈α␈ts␈α∞of␈α
registers␈α
A␈α∞and␈α
X␈α∞are␈α
\shi$ed␈α∞righ␈α␈t"␈α
M␈α
binary␈α∞places;␈α∞that␈α
is,
␈β:␈↓ β↑␈ε%M
␈βA␈↓ ↓H␈ε6j␈↓ ↓R␈ε"rAX␈↓ α∀␈ε6j␈α
␈ ␈α
bj␈↓ αn␈ε"rAX␈↓ β0␈ε6j␈ε"/␈↓ βL␈ε"2␈↓ βz␈ε6c␈ε".
␈β⎇␈↓ ↓H␈ε6∂␈↓ βα␈ε"(jump␈αA␈αev␈α␈en,␈αjump␈αA␈αodd).␈α→C␈↓ ε␈␈ε"=␈α
40;␈α→F␈↓ λ⊗␈ε"=␈α
6,␈α7,␈αrespectiv␈α␈ely.
␈β␈␈↓ ↓f␈ε5JA␈α␈E,␈↓ α=␈ε5JAO
␈β(␈↓ ↓H␈ε"A␈↓ α2␈ε"occurs␈αif␈αrA␈αis␈αev␈α␈en␈αor␈αodd,␈αrespectiv␈α␈ely.
␈β*␈↓ ↓n␈ε5JM␈α␈P
␈βd␈↓ ↓H␈ε6∂␈↓ βα␈ε"(jump␈αX␈αev␈α␈en,␈αjump␈αX␈αodd).␈α→C␈↓ ε␈␈ε"=␈α
47;␈α→F␈↓ λ⊗␈ε"=␈α
6,␈α7,␈αrespectiv␈α␈ely.
␈βf␈↓ ↓f␈ε5JX␈α␈E,␈↓ α=␈ε5JXO
␈β
∂␈↓ ↓H␈ε"Analogous␈αto␈↓ βZ␈ε",␈↓ ∧)␈ε".
␈β
⊃␈↓ β"␈ε5JA␈α␈E␈↓ βp␈ε5JAO
␈β
K␈↓ ↓H␈ε2Program␈α∞B␈ε"␈α∂(␈ε/Binary␈α∂gcd␈α∂algorithm␈ε")␈ε2.␈ε"␈α≡Assume␈α∂that␈ε(␈α∂u␈ε"␈α∞and␈↓ λ↑␈ε(v␈↓ 	␈ε"are␈α∞single-precision
␈β
w␈↓ ↓H␈ε"positiv␈α␈e␈α⊃in␈α␈tegers,␈α∪stored␈α⊃respectiv␈α␈ely␈α⊃in␈α∩locations␈↓ λ∂␈ε"and␈↓ λn␈ε";␈α∀this␈α⊃program␈α⊃uses
␈β
y␈↓ πk␈ε5U␈↓ λ[␈ε5V
␈β∞"␈↓ ↓H␈ε"Algorithm␈αB␈αto␈αput␈↓ ∧ε␈ε"gcd␈↓ ∧<␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ ∧l␈ε(v␈↓ ∧␈␈ε")␈αin␈α␈to␈αrA.␈αRegister␈αassignmen␈α␈ts:␈ε(␈αt␈ε6␈α⊃␈↓ 	C␈ε"rA␈↓ 	k␈ε",␈↓ 
↓␈ε(k␈↓ 
∨␈ε6⊃␈↓ 
M␈ε"rI␈↓ 
g␈ε"1.
␈β∞\␈↓ α"␈ε)0␈α␈1␈↓ αd␈ε5ABS␈↓ β0␈ε5EQU␈↓ ∧∞␈ε51:5
␈β∂∧␈↓ α"␈ε)0␈α␈2␈↓ αd␈ε5B1␈↓ β0␈ε5ENT1␈↓ ∧∞␈ε50␈↓ ¬]␈ε#1␈↓ εY␈ε0B1.␈α∂Fi␈α↓n␈α␈d␈↓ πh␈ε0p␈↓ πz␈ε0o␈α␈w␈α␈er␈αof␈α2␈α␈.
␈β∂#␈↓ εY␈∧∂#εYα↓∂␈↓ πo␈∧∂#πoα↓~
␈β∂,␈↓ α"␈ε)0␈α␈3␈↓ β0␈ε5LDX␈↓ ∧∞␈ε5U␈↓ ¬]␈ε#1␈↓ εY␈ε#rX␈↓ πλ␈ε7␈ ␈ε)␈α	u␈ε#␈α↓.
␈β∂S␈↓ α"␈ε)0␈α␈4␈↓ β0␈ε5LDAN␈↓ ∧∞␈ε5V␈↓ ¬]␈ε#1␈↓ εY␈ε#rA␈↓ πλ␈ε7␈ ␈α	␈␈↓ πS␈ε)v␈↓ πe␈ε#.
␈β∂{␈↓ α"␈ε)0␈α␈5␈↓ β0␈ε5JMP␈↓ ∧∞␈ε51F␈↓ ¬]␈ε#1
␈β⊂"␈↓ α"␈ε)0␈α␈6␈↓ αd␈ε52H␈↓ β0␈ε5SRB␈↓ ∧∞␈ε51␈↓ ¬Y␈ε)A␈↓ εY␈ε#Halv␈α␈e␈αrA,␈αrX.
␈β⊂J␈↓ α"␈ε)0␈α␈7␈↓ β0␈ε5INC1␈↓ ∧∞␈ε51␈↓ ¬Y␈ε)A␈↓ εY␈ε)k␈↓ εu␈ε7␈ ␈↓ π ␈ε)k␈↓ π:␈ε#+␈απ1.
␈β⊂r␈↓ α"␈ε)0␈α␈8␈↓ β0␈ε5STX␈↓ ∧∞␈ε5U␈↓ ¬Y␈ε)A␈↓ εY␈ε)u␈ε7␈α
␈ ␈ε)␈α
u␈ε#/2␈α␈.
␈β⊃→␈↓ α"␈ε)0␈α␈9␈↓ β0␈ε5STA␈↓ ∧∞␈ε5V(ABS)␈↓ ¬Y␈ε)A␈↓ εY␈ε)v␈↓ εt␈ε7␈ ␈↓ π∨␈ε)v␈↓ π0␈ε#/2.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.2␈↓ 
v␈ε"323
␈β↓\␈↓ ε∃␈ε∞T␈α↓HE␈α
GRE␈α↓A␈α⎇T␈α↓EST␈α
COMMON␈α
DIV␈α↓IS␈α␈OR
␈βα&␈↓ α"␈ε)1␈α␈0␈↓ αd␈ε51H␈↓ β0␈ε5JXO␈↓ ∧∞␈ε5B4␈↓ ¬9␈ε#1␈απ+␈ε)␈αλA␈↓ εY␈ε#T␈α}o␈α
B␈α↓4␈α
wi␈α↓th␈ε)␈α
t␈ε7␈α
␈ ␈α	␈␈↓ λj␈ε)v␈↓ 	ε␈ε#i␈α↓f␈ε)␈αu␈ε#␈αi␈α↓s␈αo␈α␈dd␈α␈.
␈βαN␈↓ α"␈ε)1␈α␈1␈↓ αd␈ε5B2␈↓ β0␈ε5JAE␈↓ ∧∞␈ε52B␈↓ ¬5␈ε)B␈↓ ¬U␈ε#+␈ε)␈αλA␈↓ εY␈ε0B2.␈α∂Initialize.
␈βαm␈↓ εY␈∧αmεYα↓F
␈βαu␈↓ α"␈ε)1␈α␈2␈↓ β0␈ε5LDA␈↓ ∧∞␈ε5U␈↓ ¬Y␈ε)B␈↓ εY␈ε)t␈ε7␈α
␈ ␈ε)␈α
u␈ε#.
␈ββ≥␈↓ α"␈ε)1␈α␈3␈↓ αd␈ε5B3␈↓ β0␈ε5SRB␈↓ ∧∞␈ε51␈↓ ¬X␈ε)D␈↓ εY␈ε0B3.␈α∂Halv␈α␈e␈ε)␈αt␈ε0.
␈ββ<␈↓ εY␈∧β<εYα↓2
␈ββD␈↓ α"␈ε)1␈α␈4␈↓ αd␈ε5B4␈↓ β0␈ε5JAE␈↓ ∧∞␈ε5B3␈↓ ¬∪␈ε#1␈ε7␈απ␈␈↓ ¬S␈ε)B␈↓ ¬t␈ε#+␈ε)␈αλD␈↓ εY␈ε0B4.␈α∂Is␈ε)␈αt␈ε0␈αev␈α}en?
␈ββd␈↓ εY␈∧βdεYα↓H
␈ββl␈↓ α"␈ε)1␈α␈5␈↓ αd␈ε5B5␈↓ β0␈ε5JAN␈↓ ∧∞␈ε51F␈↓ ¬X␈ε)C␈↓ εY␈ε0B5.␈α∂Reset␈↓ πu␈ε#m␈α␈a␈↓ λ!␈ε#x␈↓ λ4␈ε#(␈↓ λ?␈ε)u␈↓ λR␈ε#,␈↓ λa␈ε)v␈↓ λs␈ε#)␈↓ λ}␈ε0.
␈β∧␈↓ εY␈∧∧εYα↓←␈↓ λ?␈∧∧λ?α∀␈↓ λX␈∧∧λXα≠␈↓ λz␈∧∧λzα
␈β∧∀␈↓ α"␈ε)1␈α␈6␈↓ β0␈ε5STA␈↓ ∧∞␈ε5U␈↓ ¬X␈ε)E␈↓ εY␈ε#If␈ε)␈αt␈ε#␈α	>␈α
0,␈αset␈ε)␈αu␈ε7␈α	␈ ␈ε)␈α
t␈ε#.
␈β∧;␈↓ α"␈ε)1␈α␈7␈↓ β0␈ε5SUB␈↓ ∧∞␈ε5V␈↓ ¬X␈ε)E␈↓ εY␈ε)t␈ε7␈α
␈ ␈ε)␈α
u␈ε7␈απ␈␈↓ π]␈ε)v␈↓ πo␈ε#.
␈β∧c␈↓ α"␈ε)1␈α␈8␈↓ β0␈ε5JMP␈↓ ∧∞␈ε52F␈↓ ¬X␈ε)E
␈β¬
␈↓ α"␈ε)1␈α␈9␈↓ αd␈ε51H␈↓ β0␈ε5STA␈↓ ∧∞␈ε5V(ABS)␈↓ ¬3␈ε)C␈↓ ¬U␈ε7␈␈↓ ¬⎇␈ε)E␈↓ εY␈ε#If␈ε)␈αt␈ε#␈α	<␈α
0,␈αset␈↓ λ∀␈ε)v␈↓ λ/␈ε7␈ ␈α	␈␈ε)t␈ε#␈α↓.
␈β¬2␈↓ α"␈ε)2␈α␈0␈↓ αd␈ε5B6␈↓ β0␈ε5ADD␈↓ ∧∞␈ε5U␈↓ ¬3␈ε)C␈↓ ¬U␈ε7␈␈↓ ¬⎇␈ε)E␈↓ εY␈ε0B6.␈α∂Su␈α␈btra␈α␈ct.
␈β¬Q␈↓ εY␈∧¬QεYα↓F
␈β¬Z␈↓ α"␈ε)2␈α␈1␈↓ αd␈ε52H␈↓ β0␈ε5JANZ␈↓ ∧∞␈ε5B3␈↓ ¬X␈ε)C␈↓ εY␈ε#T␈α}o␈α
B␈α↓3␈α
i␈α↓f␈ε)␈αt␈ε7␈α	≤␈ε#␈α
0.
␈βε↓␈↓ α"␈ε)2␈α␈2␈↓ β0␈ε5LDA␈↓ ∧∞␈ε5U␈↓ ¬]␈ε#1␈↓ εY␈ε#rA␈↓ πλ␈ε7␈ ␈ε)␈α	u␈ε#␈α↓.
␈βε)␈↓ α"␈ε)2␈α␈3␈↓ β0␈ε5ENTX␈↓ ∧∞␈ε50␈↓ ¬]␈ε#1␈↓ εY␈ε#rX␈↓ πλ␈ε7␈ ␈ε#␈α	0.
␈βεK␈↓ πC␈ε,k
␈βεP␈↓ α"␈ε)2␈α␈4␈↓ β0␈ε5SLB␈↓ ∧∞␈ε50,1␈↓ ¬]␈ε#1␈↓ εY␈ε#rA␈↓ πλ␈ε7␈ ␈↓ π2␈ε#2␈↓ πZ␈ε7↓␈↓ πk␈ε#rA␈↓ λ⊂␈ε#.
␈βεW␈↓ λ>␈∧εWλ>≠∂
␈βπ
␈↓ α␈ε"The␈αrunning␈αtime␈αof␈αthis␈αprogram␈αis
␈βπV␈↓ ∧<␈ε"9␈ε(A␈ε"␈αλ+␈αλ2␈↓ ¬.␈ε(B␈↓ ¬R␈ε"+␈αλ6␈↓ ε⊂␈ε(C␈↓ ε4␈ε"+␈αλ3␈ε(D␈ε"␈α	+␈↓ πD␈ε(E␈↓ πh␈ε"+␈αλ13
␈βλ!␈↓ ↓H␈ε"units,␈α∂where␈ε(␈α∞A␈ε"␈α∂=␈↓ βt␈ε(k␈↓ ∧λ␈ε",␈↓ ∧!␈ε(B␈↓ ∧K␈ε"=␈α∞1␈α∂if␈ε(␈α∞t␈ε6␈α∂␈ ␈ε(␈α∞u␈ε"␈α∂in␈α∞step␈α∂B2␈α∞(otherwise␈↓ 	⊗␈ε(B␈↓ 	@␈ε"=␈α∞0),␈↓ 
)␈ε(C␈↓ 
T␈ε"is␈α∞the
␈βλL␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α∞subtraction␈α
steps,␈ε(␈α∞D␈ε"␈α
is␈α∞the␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α
halvings␈α∞in␈α
step␈α∞B3,␈α
and␈↓ 
k␈ε(E␈↓ ∀␈ε"is
␈βλw␈↓ ↓H␈ε"the␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
times␈ε(␈α	t␈ε"␈α>␈α
0␈α	in␈α
step␈α
B5.␈α∂Calculations␈α
discussed␈α	later␈α
in␈α
this␈α	section
␈β	≡␈↓ ¬0␈ε%1␈↓ ε8␈ε%1
␈β	#␈↓ ↓H␈ε"imply␈α
that␈α∞w␈α␈e␈α
ma␈α␈y␈α∞tak␈α␈e␈ε(␈α
A␈ε"␈α
=␈↓ ¬C␈ε",␈↓ ¬[␈ε(B␈↓ εβ␈ε"=␈↓ εK␈ε",␈↓ εc␈ε(C␈↓ π␈ε"=␈α0.71␈ε(n␈ε6␈α	␈␈ε"␈α	0.5,␈ε(␈α∞D␈ε"␈α
=␈α
1.41␈ε(n␈ε6␈αλ␈␈ε"␈α	2.7,
␈β	3␈↓ ¬0␈ε%3␈↓ ε8␈ε%3
␈β	7␈↓ ¬0␈∧	7¬0α⊂␈↓ ε8␈∧	7ε8α⊂
␈β	N␈↓ ↓H␈ε(E␈↓ ↓n␈ε"=␈α
0.35␈ε(n␈ε6␈α¬␈␈ε"␈α¬0.4␈αas␈αa␈α␈v␈α␈erage␈αv␈α}alues␈α
for␈αthese␈αquan␈α␈tities,␈αassuming␈αrandom␈α
inputs
␈β	s␈↓ ¬k␈ε+n
␈β	y␈↓ ↓H␈ε(u␈ε"␈αand␈↓ α0␈ε(v␈↓ αO␈ε"in␈α
the␈αrange␈α
1␈ε6␈α∀␈ε(␈αu␈ε",␈↓ ¬␈ε(v␈↓ ¬*␈ε"<␈↓ ¬Y␈ε"2␈↓ ¬␈␈ε".␈α∩The␈αtotal␈α
running␈α
time␈αis␈α
therefore␈αabout
␈β
$␈↓ ↓H␈ε"8.8␈ε(n␈ε"␈α	+␈α	5␈α∞cy␈α␈cles,␈α∂compared␈α∞to␈α∞about␈α∞11.1␈ε(n␈ε"␈α	+␈α
7␈α∞for␈α∞Program␈α∞A␈α∞under␈α∞the␈α∞same
␈β
O␈↓ ↓H␈ε"assumptions.␈α∪The␈α
w␈α␈orst␈α
possible␈α
running␈α
time␈α
for␈ε(␈α
u␈ε"␈α
and␈↓ λU␈ε(v␈↓ λu␈ε"in␈α
this␈α
range␈α
occurs
␈β
{␈↓ ↓H␈ε"when␈ε(␈α∞A␈ε"␈α
=␈α
0,␈↓ β*␈ε(B␈↓ βS␈ε"=␈α
0,␈↓ ∧.␈ε(C␈↓ ∧X␈ε"=␈ε(␈α
n␈ε",␈ε(␈α∞D␈ε"␈α∞=␈α
2␈ε(n␈ε6␈α	␈␈ε"␈α	2,␈↓ π≠␈ε(E␈↓ πE␈ε"=␈α
1;␈α∂this␈α
am␈α↓oun␈α␈ts␈α∞to␈α∞12␈ε(n␈ε"␈α	+␈α	8
␈β&␈↓ ↓H␈ε"cy␈α␈cles.␈α→(The␈αcorresponding␈αv␈α}alue␈αfor␈αProgram␈αA␈αis␈α26.8␈ε(n␈ε"␈αλ+␈αλ19.)
␈βQ␈↓ α␈ε"Th␈α␈us␈αthe␈αgreater␈αspeed␈αof␈α
the␈αiterations␈αin␈αProgram␈αB,␈αdue␈αto␈αthe␈α
simplicit␈α␈y
␈β|␈↓ ↓H␈ε"of␈α
the␈α
operations,␈αcompensates␈α
for␈α
the␈α
greater␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈αof␈α
iterations␈α
required.␈α∂W␈α⎇e
␈β'␈↓ ↓H␈ε"ha␈α␈v␈α␈e␈α∞found␈α∂that␈α∞the␈α∂binary␈α∞algorithm␈α∂is␈α∞about␈α∂20␈α∞percen␈α␈t␈α∞faster␈α∂than␈↓ 
0␈ε"Euclid's
␈βS␈↓ ↓H␈ε"algorithm␈α∪on␈α∪the␈↓ ∧=␈ε"computer.␈α&Of␈α∪course,␈α∃the␈α∪situation␈α∪ma␈α␈y␈α∪be␈α∪di{eren␈α␈t
␈βU␈↓ βq␈ε5MIX
␈β}␈↓ ↓H␈ε"on␈α⊂other␈α⊃computers,␈α∩and␈α⊃in␈α⊃an␈α␈y␈α⊂ev␈α␈en␈α␈t␈α⊃both␈α⊃programs␈α⊃are␈α⊃quite␈α⊂e}cien␈α␈t;␈α∪but
␈β
)␈↓ ↓H␈ε"it␈α⊃appears␈α⊃that␈α⊃n␈α↓ot␈α⊃ev␈α␈en␈α⊃a␈α∩procedure␈α⊃as␈α⊃v␈α␈enerable␈α⊃as␈α⊃Euclid's␈α⊃algorithm␈α⊃can
␈β
T␈↓ ↓H␈ε"withstand␈αprogress.
␈β
␈␈↓ α␈ε"V.␈αC.␈↓ αi␈ε"Harris␈α[␈ε/Fibonacci␈α
Quarterly␈ε2␈α8␈ε"␈α
(1970),␈α102↑103]␈αhas␈α
suggested␈αan␈α
in␈α␈ter-
␈β∞+␈↓ ↓H␈ε"esting␈α
cross␈αbet␈α␈w␈α␈een␈α
Euclid's␈αalgorithm␈α
and␈αthe␈αbinary␈α
algorithm.␈α⊂If␈ε(␈α
u␈ε"␈α
and␈↓ 
←␈ε(v␈↓ 
|␈ε"are
␈β∞V␈↓ ↓H␈ε"odd,␈αwith␈ε(␈αu␈ε6␈α∃␈↓ β8␈ε(v␈↓ βV␈ε">␈α
0,␈α
w␈α␈e␈αcan␈αalw␈α␈a␈α␈ys␈α
write␈ε(␈αu␈ε"␈α
=␈↓ πB␈ε(q␈↓ πU␈ε(v␈↓ πp␈ε6ε␈↓ λ≤␈ε(r␈↓ λ9␈ε"where␈α
0␈ε6␈α
∀␈↓ 	m␈ε(r␈↓ 
λ␈ε"<␈↓ 
6␈ε(v␈↓ 
V␈ε"and␈↓ ≤␈ε(r
␈β∂↓␈↓ ↓H␈ε"is␈αev␈α␈en;␈αif␈↓ αg␈ε(r␈↓ βα␈ε6≤␈ε"␈α
0␈αw␈α␈e␈αset␈↓ ∧8␈ε(r␈↓ ∧R␈ε6␈ ␈↓ ¬␈ε(r␈↓ ¬⊃␈ε"/2␈αun␈α␈til␈↓ ε∀␈ε(r␈↓ ε0␈ε"is␈αodd,␈αthen␈αset␈ε(␈αu␈ε6␈α
␈ ␈↓ λw␈ε(v␈↓ 	
␈ε",␈↓ 	∨␈ε(v␈↓ 	<␈ε6␈ ␈↓ 	j␈ε(r␈↓ 
¬␈ε"and␈αrepeat
␈β∂,␈↓ ↓H␈ε"the␈αprocess.␈α⊂In␈αsubsequen␈α␈t␈αiterations,␈↓ ε≥␈ε(q␈↓ ε:␈ε6∃␈ε"␈α
3.
␈β∂h␈↓ ↓H␈ε2Extensions.␈ε"␈α~W␈α⎇e␈αcan␈α
extend␈αthe␈α
meth␈α↓ods␈αused␈αto␈α
calculate␈↓ λq␈ε"gcd␈↓ 	'␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ 	X␈ε(v␈↓ 	k␈ε")␈α
in␈αorder␈αto
␈β⊂∪␈↓ ↓H␈ε"solv␈α␈e␈αsome␈α
sligh␈α␈tly␈α
m␈α↓ore␈α
di}cult␈αproblems.␈α∪F␈α⎇or␈αexample,␈α
assume␈α
that␈α
w␈α␈e␈αw␈α␈an␈α␈t
␈β⊂?␈↓ ↓H␈ε"to␈αcompute␈αthe␈αgreatest␈αcomm␈α↓on␈αdivisor␈αof␈ε(␈αn␈ε"␈αin␈α␈tegers␈↓ λ"␈ε(u␈↓ λH␈ε",␈↓ λ↑␈ε(u␈↓ 	∧␈ε",␈↓ 	~␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	J␈ε",␈↓ 	`␈ε(u␈↓ 
λ␈ε".
␈β⊂K␈↓ λ7␈ε%1␈↓ λs␈ε%2␈↓ 	t␈ε+n
␈β⊂j␈↓ α␈ε"One␈αw␈α␈a␈α␈y␈αto␈αcalculate␈↓ ∧a␈ε"gcd␈↓ ¬↔␈ε"(␈↓ ¬#␈ε(u␈↓ ¬I␈ε",␈↓ ¬Y␈ε(u␈↓ ¬␈␈ε",␈↓ ε∂␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ε?␈ε",␈↓ εO␈ε(u␈↓ εw␈ε"),␈αassuming␈αthat␈αthe␈ε(␈αu␈ε"'s␈αare␈αall␈αn␈α↓on-
␈β⊂v␈↓ ¬8␈ε%1␈↓ ¬n␈ε%2␈↓ εc␈ε+n
␈β⊃∃␈↓ ↓H␈ε"negativ␈α␈e,␈αis␈αto␈αextend␈αEuclid's␈αalgorithm␈αin␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αw␈α␈a␈α␈y:␈αIf␈αall␈↓ 	w␈ε(u␈↓ 
'␈ε"are␈αzero,
␈β⊃!␈↓ 
␈ε+j
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"324␈↓ 
b␈ε"4.5.2
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα!␈↓ ↓H␈ε"the␈α⊂greatest␈α⊃comm␈α↓on␈α⊃divisor␈α⊃is␈α⊂tak␈α␈en␈α⊃to␈α⊃be␈α⊃zero;␈α∪otherwise␈α⊂if␈α⊃only␈α⊃one␈↓ 
`␈ε(u␈↓ ∀␈ε"is
␈βα-␈↓ 
t␈ε+j
␈βαL␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓onzero,␈α∂it␈α∞is␈α∞the␈α∞greatest␈α∂comm␈α↓on␈α∞divisor;␈α∂otherwise␈α∂replace␈↓ 	'␈ε(u␈↓ 	\␈ε"by␈↓ 
∩␈ε(u␈↓ 
>␈ε"mod␈↓ λ␈ε(u
␈βαY␈↓ 	<␈ε+k␈↓ 
&␈ε+k␈↓ ≥␈ε+j
␈βαw␈↓ ↓H␈ε"for␈αall␈↓ α2␈ε(k␈↓ αP␈ε6≤␈↓ α}␈ε(j␈↓ β∂␈ε",␈αwhere␈↓ ∧
␈ε(u␈↓ ∧=␈ε"is␈αthe␈αminim␈α␈um␈αof␈αthe␈αn␈α↓onzero␈ε(␈αu␈ε"'s.
␈ββ∧␈↓ ∧"␈ε+j
␈ββ#␈↓ α␈ε"The␈αalgorithm␈αsk␈α␈etched␈αin␈α
the␈αpreceding␈αparagraph␈αis␈αa␈αnatural␈αgeneraliza-
␈ββN␈↓ ↓H␈ε"tion␈α
of␈α
Euclid's␈α
meth␈α↓od,␈α
and␈α
it␈α
can␈α∞be␈α
justi|ed␈α
in␈α
a␈α
similar␈α
manner.␈α∪But␈α
there
␈ββy␈↓ ↓H␈ε"is␈αa␈αsimpler␈αmeth␈α↓od␈αa␈α␈v␈α}ailable,␈αbased␈αon␈αthe␈αeasily␈αv␈α␈eri|ed␈αiden␈α␈tit␈α␈y
␈β∧≤␈↓ ε↑␈ε↓␈␈↓ 	∞␈ε↓↓
␈β∧:␈↓ βN␈ε"gcd␈↓ ∧∧␈ε"(␈↓ ∧⊂␈ε(u␈↓ ∧6␈ε",␈↓ ∧F␈ε(u␈↓ ∧k␈ε",␈↓ ∧{␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬+␈ε",␈↓ ¬;␈ε(u␈↓ ¬d␈ε")␈α
=␈↓ ε(␈ε"gcd␈↓ εl␈ε(u␈↓ π∩␈ε",␈↓ π"␈ε"gcd␈↓ πX␈ε"(␈↓ πd␈ε(u␈↓ λ	␈ε",␈↓ λ→␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λI␈ε",␈↓ λY␈ε(u␈↓ 	α␈ε")␈↓ 	≤␈ε".␈↓ 
p␈ε"(14)
␈β∧G␈↓ ∧%␈ε%1␈↓ ∧Z␈ε%2␈↓ ¬P␈ε+n␈↓ π↓␈ε%1␈↓ πx␈ε%2␈↓ λn␈ε+n
␈β∧|␈↓ ↓H␈ε"T␈α⎇o␈αcalculate␈↓ β∪␈ε"gcd␈↓ βI␈ε"(␈↓ βU␈ε(u␈↓ βz␈ε",␈↓ ∧
␈ε(u␈↓ ∧0␈ε",␈↓ ∧@␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ∧p␈ε",␈↓ ¬␈ε(u␈↓ ¬)␈ε"),␈αw␈α␈e␈αma␈α␈y␈αtherefore␈αproceed␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈β¬λ␈↓ βi␈ε%1␈↓ ∧∨␈ε%2␈↓ ¬∀␈ε+n
␈β¬-␈↓ ↓J␈ε2C1.␈↓ α␈ε"Set␈ε(␈αd␈ε6␈α
␈ ␈↓ β∀␈ε(u␈↓ β=␈ε",␈↓ βS␈ε(j␈↓ βn␈ε6␈ ␈ε(␈α
n␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ1.
␈β¬9␈↓ β)␈ε+n
␈β¬↑␈↓ ↓J␈ε2C2.␈↓ α␈ε"If␈ε(␈αd␈ε6␈α≤␈ε"␈α
1␈αand␈↓ β←␈ε(j␈↓ β{␈ε">␈α
0,␈αset␈ε(␈αd␈ε6␈α␈ ␈↓ ¬T␈ε"gcd␈↓ ε
␈ε"(␈↓ ε⊗␈ε(u␈↓ ε:␈ε",␈ε(␈αεd␈ε"␈α↓)␈αand␈↓ π;␈ε(j␈↓ πV␈ε6␈ ␈↓ λ∧␈ε(j␈↓ λ≡␈ε6␈␈ε"␈αλ1␈αand␈αrepeat␈αthis␈αstep.
␈β¬k␈↓ ε+␈ε+j
␈βε	␈↓ α␈ε"Otherwise␈ε(␈αd␈ε"␈α
=␈↓ ∧␈ε"gcd␈↓ ∧6␈ε"(␈↓ ∧B␈ε(u␈↓ ∧h␈ε",␈↓ ∧x␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬(␈ε",␈↓ ¬8␈ε(u␈↓ ¬a␈ε").
␈βε⊗␈↓ ∧W␈ε%1␈↓ ¬M␈ε+n
␈βε;␈↓ ↓H␈ε"This␈αmeth␈α↓od␈αreduces␈α
the␈αcalculation␈αof␈↓ ε=␈ε"gcd␈↓ εs␈ε"(␈↓ ε␈␈ε(u␈↓ π$␈ε",␈↓ π4␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ πd␈ε",␈↓ πt␈ε(u␈↓ λ≥␈ε")␈α
to␈αrepeated␈αcalculations
␈βεG␈↓ π∀␈ε%1␈↓ λ	␈ε+n
␈βεf␈↓ ↓H␈ε"of␈α
the␈α∞greatest␈α
comm␈α↓on␈α∞divisor␈α
of␈α∞t␈α␈w␈α␈o␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α∞at␈α
a␈α∞time.␈α∀It␈α∞mak␈α␈es␈α
use␈α∞of␈α
the
␈βπ⊃␈↓ ↓H␈ε"fact␈α∞that␈↓ αb␈ε"gcd␈↓ β_␈ε"(␈↓ β$␈ε(u␈↓ βI␈ε",␈↓ βY␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ∧	␈ε",␈↓ ∧→␈ε(u␈↓ ∧=␈ε",␈αε1)␈α∞=␈α
1;␈α∂and␈α∞this␈α∞will␈α∂be␈α∞helpful,␈α∞since␈α∞w␈α␈e␈α∞will␈α∞already
␈βπ≥␈↓ β9␈ε%1␈↓ ∧.␈ε+j
␈βπ<␈↓ ↓H␈ε"ha␈α␈v␈α␈e␈↓ α≠␈ε"gcd␈↓ αQ␈ε"(␈↓ α]␈ε(u␈↓ β3␈ε",␈↓ βC␈ε(u␈↓ βl␈ε")␈α
=␈α1␈αo␈α␈v␈α␈er␈α60␈α
percen␈α␈t␈αof␈αthe␈α
time␈αif␈↓ λ)␈ε(u␈↓ 	␈ε"and␈↓ 	R␈ε(u␈↓ 
π␈ε"are␈αch␈α↓osen
␈βπI␈↓ αr␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ βW␈ε+n␈↓ λ>␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ 	g␈ε+n
␈βπg␈↓ ↓H␈ε"at␈α	random.␈α∂In␈α
m␈α↓ost␈α
cases,␈α
the␈α	v␈α}alue␈α
of␈ε(␈α	d␈ε"␈α
will␈α
decrease␈α	rapidly␈α
during␈α	the␈α
|rst␈α	few
␈βλ∪␈↓ ↓H␈ε"stages␈α
of␈α
the␈α
calculation,␈α
and␈α∞this␈α
will␈α
mak␈α␈e␈α
the␈α
remainder␈α
of␈α
the␈α
computation
␈βλ>␈↓ ↓H␈ε"quite␈αλfast.␈α∂Here␈α	Euclid's␈αλalgorithm␈α	has␈αλan␈α	adv␈α}an␈α␈tage␈αλo␈α␈v␈α␈er␈α	Algorithm␈αλB␈↓ 
α␈ε",␈α	in␈α	that␈αλits
␈βλi␈↓ ↓H␈ε"running␈αtime␈αis␈α
primarily␈αgo␈α␈v␈α␈erned␈α
by␈αthe␈α
v␈α}alue␈αof␈↓ πs␈ε"min␈↓ λ/␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ λ`␈ε(v␈↓ λs␈ε"),␈α
while␈αthe␈αrunning
␈β	∀␈↓ ↓H␈ε"time␈αfor␈αAlgorithm␈αB␈αis␈αprimarily␈αgo␈α␈v␈α␈erned␈αby␈↓ π%␈ε"ma␈↓ πU␈ε"x␈↓ πi␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ λ~␈ε(v␈↓ λ-␈ε");␈αit␈αw␈α␈ould␈αbe␈αreasonable
␈β	?␈↓ ↓H␈ε"to␈α∂perform␈α⊂one␈α⊂iteration␈α∂of␈α⊂Euclid's␈α⊂algorithm,␈α⊂replacing␈ε(␈α⊂u␈ε"␈α∂by␈ε(␈α⊂u␈↓ 	↑␈ε"mod␈↓ 
(␈ε(v␈↓ 
J␈ε"if␈ε(␈α⊂u␈ε"␈α∂is
␈β	k␈↓ ↓H␈ε"m␈α␈uch␈αlarger␈αthan␈↓ βc␈ε(v␈↓ βv␈ε",␈αand␈αthen␈αto␈αcon␈α␈tin␈α␈ue␈αwith␈αAlgorithm␈αB.
␈β
⊗␈↓ α␈ε"The␈α	assertion␈α	that␈↓ ∧1␈ε"gcd␈↓ ∧g␈ε"(␈↓ ∧s␈ε(u␈↓ ¬I␈ε",␈↓ ¬Y␈ε(u␈↓ εα␈ε")␈α	will␈α	be␈α	equal␈α	to␈α	unit␈α␈y␈α	m␈α↓ore␈αλthan␈α	60␈α	percen␈α␈t
␈β
"␈↓ ¬λ␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ ¬m␈ε+n
␈β
A␈↓ ↓H␈ε"of␈α	the␈α
time␈α	for␈α	random␈α
inputs␈α	is␈α
a␈α	consequence␈α
of␈α	the␈α
follo␈α␈wing␈α	w␈α␈ell-kn␈α↓o␈α␈wn␈α	result
␈β
l␈↓ ↓H␈ε"of␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αtheory:
␈β$␈↓ ↓H␈ε2Theorem␈αD␈ε"␈α(G.␈α
Lejeune␈αDirichlet,␈ε/␈αAbhandlungen␈α
K␈↓ πx␈ε/∪␈↓ πx␈ε/o␈↓ λ
␈ε/niglich␈αPreu≠.␈αAk␈α}ad.␈αWiss.
␈βO␈↓ ↓H␈ε"(1849),␈α
69↑83)␈ε2.␈ε/␈α≤If␈ε(␈α
u␈ε/␈α∞and␈↓ ∧Z␈ε(v␈↓ ∧z␈ε/are␈α∞in␈α␈tegers␈α
ch␈α↓osen␈α∞at␈α
random,␈α∞the␈α
probabilit␈α␈y␈α
that
␈βt␈↓ ∧↓␈ε%2
␈βz␈↓ ↓H␈ε"gcd␈↓ ↓}␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ α.␈ε(v␈↓ αA␈ε")␈α
=␈α
1␈ε/␈αis␈ε"␈α6/␈↓ βk␈ε(→␈↓ ∧≤␈ε6→␈ε"␈α
.60793␈ε/.
␈β1␈↓ α␈ε"A␈α
precise␈α
form␈α␈ulation␈α
of␈α
this␈αtheorem,␈α
which␈α
carefully␈α
de|nes␈α
what␈α
is␈α
mean␈α␈t
␈β]␈↓ ↓H␈ε"by␈αbeing␈α\ch␈α↓osen␈αat␈αrandom,"␈αappears␈αin␈αexercise␈α10␈αwith␈αa␈αrigorous␈αpro␈α↓of.␈α∂Let
␈β
λ␈↓ ↓H␈ε"us␈α
con␈α␈ten␈α␈t␈αourselv␈α␈es␈α
here␈αwith␈α
a␈αheuristic␈α
argumen␈α␈t␈αthat␈α
sh␈α↓o␈α␈ws␈α
wh␈α␈y␈αthe␈α
theorem
␈β
3␈↓ ↓H␈ε"is␈αplausible.
␈β
↑␈↓ α␈ε"If␈αλw␈α␈e␈α	assume,␈α	with␈α↓out␈αλpro␈α↓of,␈α	the␈αλexistence␈αλof␈αλa␈α	w␈α␈ell-de|ned␈αλprobabilit␈α␈y␈ε(␈αλp␈ε"␈αλthat
␈β∞	␈↓ ↓H␈ε"gcd␈↓ ↓}␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ α.␈ε(v␈↓ αA␈ε")␈αequals␈αunit␈α␈y,␈αthen␈αw␈α␈e␈αcan␈αdetermine␈αthe␈αprobabilit␈α␈y␈αthat␈↓ 	]␈ε"gcd␈↓ 
∪␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ 
C␈ε(v␈↓ 
V␈ε")␈α
=␈ε(␈α
d
␈β∞5␈↓ ↓H␈ε"for␈α∞an␈α␈y␈α∞positiv␈α␈e␈α∂in␈α␈teger␈ε(␈α∞d␈ε",␈α∂because␈↓ ¬y␈ε"gcd␈↓ ε/␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ ε`␈ε(v␈↓ εs␈ε")␈α∞=␈ε(␈α∞d␈ε"␈α∞if␈α∂and␈α∞only␈α∞if␈ε(␈α∂u␈ε"␈α∞is␈α∞a␈α∞m␈α␈ultiple
␈β∞`␈↓ ↓H␈ε"of␈ε(␈α
d␈ε"␈α
and␈↓ αY␈ε(v␈↓ αy␈ε"is␈α
a␈α
m␈α␈ultiple␈α
of␈ε(␈α∞d␈ε"␈α
and␈↓ ¬]␈ε"gcd␈↓ ε∪␈ε"(␈ε(u␈ε"/␈ε(d␈ε",␈↓ εh␈ε(v␈↓ ε{␈ε"/␈ε(d␈ε")␈α=␈α1.␈α∪Th␈α␈us␈α
the␈α
probabilit␈α␈y␈α
that
␈β∂¬␈↓ 	∧␈ε%2
␈β∂␈↓ ↓H␈ε"gcd␈↓ ↓}␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ α.␈ε(v␈↓ αA␈ε")␈α
=␈ε(␈αd␈ε"␈α∞is␈α
equal␈α
to␈α∞1/␈ε(d␈ε"␈α
times␈α∞1/␈ε(d␈ε"␈α
times␈ε(␈α∞p␈ε",␈α∞namely␈ε(␈α
p␈ε"/␈↓ λr␈ε(d␈↓ 	∃␈ε".␈α∀No␈α␈w␈α∞let␈α
us␈α
sum
␈β∂6␈↓ ↓H␈ε"these␈αprobabilities␈αo␈α␈v␈α␈er␈αall␈αpossible␈αv␈α}alues␈αof␈ε(␈αd␈ε";␈αw␈α␈e␈αsh␈α↓ould␈αget
␈β∂d␈↓ ∧0␈ε↓X
␈β∂n␈↓ εU␈ε"1␈↓ π#␈ε"1␈↓ πz␈ε"1
␈β∂}␈↓ ¬%␈ε%2
␈β⊂ε␈↓ βa␈ε"1␈α
=␈↓ ∧n␈ε(p␈ε"/␈↓ ¬∩␈ε(d␈↓ ¬?␈ε"=␈ε(␈α
p␈ε"(1␈αλ+␈↓ εs␈ε"+␈↓ πA␈ε"+␈↓ λ!␈ε"+␈↓ λM␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ⎇␈ε").
␈β⊂~␈↓ εU␈∧⊂~εUα∩␈↓ π#␈∧⊂~π#α∩␈↓ πq␈∧⊂~πqα$
␈β⊂ ␈↓ εU␈ε"4␈↓ π#␈ε"9␈↓ πq␈ε"16
␈β⊂7␈↓ ∧+␈ε+d␈ε9∃␈ε%1
␈β⊂e␈↓ ε≠␈ε%(␈α↓2)␈↓ λ⊗␈ε%2
␈β⊂f␈↓ β␈␈ε%1␈↓ ∧L␈ε%1
␈β⊂k␈↓ ↓H␈ε"Since␈α
the␈α
sum␈α
1␈α	+␈↓ ∧≠␈ε"+␈↓ ∧h␈ε"+␈↓ ¬∀␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬J␈ε"=␈↓ ¬z␈ε(H␈↓ εN␈ε"is␈α
equal␈α∞to␈↓ λ␈ε(→␈↓ λ&␈ε"/6␈α∞(cf.␈α
Section␈α
1.2.7),␈α
w␈α␈e
␈β⊂|␈↓ β␈␈ε%4␈↓ ∧L␈ε%9␈↓ ε↔␈ε91
␈β⊂␈␈↓ β␈␈∧⊂␈β␈α⊂␈↓ ∧L␈∧⊂␈∧Lα⊂
␈β⊃⊂␈↓ β ␈ε%2
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε"need␈ε(␈αp␈ε"␈α
=␈α
6/␈↓ β
␈ε(→␈↓ β<␈ε"in␈αorder␈αto␈αmak␈α␈e␈αthis␈αequation␈αcome␈αout␈αrigh␈α␈t.
␈β⊃∨␈↓ 	@␈∧⊃∨	@≠∂
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.2␈↓ 
v␈ε"325
␈β↓\␈↓ ε∃␈ε∞T␈α↓HE␈α
GRE␈α↓A␈α⎇T␈α↓EST␈α
COMMON␈α
DIV␈α↓IS␈α␈OR
␈βα$␈↓ α␈ε"Euclid's␈α∪algorithm␈α∪can␈α∩be␈α∪extended␈α∪in␈α∪an␈α↓other␈α∩importan␈α␈t␈α∪w␈α␈a␈α␈y:␈α~W␈α⎇e␈α∩can
␈βαI␈↓ βw␈ε90␈↓ ∧f␈ε90
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"calculate␈αin␈α␈tegers␈↓ βc␈ε(u␈↓ ∧
␈ε"and␈↓ ∧S␈ε(v␈↓ ∧|␈ε"such␈αthat
␈ββλ␈↓ ¬:␈ε90␈↓ ε≥␈ε90
␈ββ⊂␈↓ ¬⊂␈ε(u␈↓ ¬%␈ε(u␈↓ ¬K␈ε"+␈↓ ¬w␈ε(v␈↓ ε
␈ε(v␈↓ ε0␈ε"=␈↓ ε↑␈ε"gcd␈↓ π∀␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ πE␈ε(v␈↓ πX␈ε")␈↓ 
p␈ε"(15)
␈ββP␈↓ ↓H␈ε"at␈α
the␈α
same␈α
time␈↓ βc␈ε"gcd␈↓ ∧→␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ ∧I␈ε(v␈↓ ∧\␈ε")␈α
is␈α∞being␈α
calculated.␈α∀This␈α
extension␈α
of␈α
Euclid's␈α
algo-
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"rithm␈αcan␈αbe␈αdescribed␈αcon␈α␈v␈α␈enien␈α␈tly␈αin␈αv␈α␈ector␈αn␈α↓otation:
␈β∧3␈↓ ↓H␈ε2Algorithm␈α	X␈ε"␈α	(␈↓ β ␈ε/Extended␈α	Euclid's␈α	algorithm␈ε")␈ε2.␈ε"␈α∂Giv␈α␈en␈α	n␈α↓onnegativ␈α␈e␈α	in␈α␈tegers␈ε(␈α
u␈ε"␈αλand␈↓ ⊂␈ε(v␈↓ "␈ε",
␈β∧↑␈↓ ↓H␈ε"this␈α∂algorithm␈α⊂determines␈α∂a␈α⊂v␈α␈ector␈α⊂(␈↓ ε⊂␈ε(u␈↓ ε5␈ε",␈↓ εE␈ε(u␈↓ εk␈ε",␈↓ ε{␈ε(u␈↓ π ␈ε")␈α⊂such␈α⊂that␈ε(␈α∂u␈↓ λx␈ε(u␈↓ 	(␈ε"+␈↓ 	V␈ε(v␈↓ 	i␈ε(u␈↓ 
∨␈ε"=␈↓ 
S␈ε(u␈↓ λ␈ε"=
␈β∧j␈↓ ε$␈ε%1␈↓ εZ␈ε%2␈↓ π⊂␈ε%3␈↓ 	
␈ε%1␈↓ 	}␈ε%2␈↓ 
h␈ε%3
␈β¬	␈↓ ↓H␈ε"gcd␈↓ ↓}␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ α.␈ε(v␈↓ αA␈ε").␈α⊂The␈α
computation␈α
mak␈α␈es␈αuse␈α
of␈α
auxiliary␈α
v␈α␈ectors␈α(␈↓ λi␈ε(v␈↓ 	␈ε",␈↓ 	≠␈ε(v␈↓ 	=␈ε",␈↓ 	M␈ε(v␈↓ 	p␈ε"),␈α
(␈↓ 
≤␈ε(t␈↓ 
:␈ε",␈↓ 
J␈ε(t␈↓ 
h␈ε",␈↓ 
x␈ε(t␈↓ ⊗␈ε");
␈β¬∃␈↓ λz␈ε%1␈↓ 	-␈ε%2␈↓ 	←␈ε%3␈↓ 
*␈ε%1␈↓ 
X␈ε%2␈↓ ε␈ε%3
␈β¬4␈↓ ↓H␈ε"all␈αv␈α␈ectors␈αare␈αmanipulated␈αin␈αsuch␈αa␈αw␈α␈a␈α␈y␈αthat␈αthe␈αrelations
␈β¬u␈↓ αl␈ε(u␈↓ β↓␈ε(t␈↓ β'␈ε"+␈↓ βS␈ε(v␈↓ βe␈ε(t␈↓ ∧
␈ε"=␈↓ ∧;␈ε(t␈↓ ∧Z␈ε",␈ε(␈↓ ¬2u␈↓ ¬F␈ε(u␈↓ ¬t␈ε"+␈↓ ε ␈ε(v␈↓ ε3␈ε(u␈↓ εb␈ε"=␈↓ π⊂␈ε(u␈↓ π6␈ε",␈ε(␈↓ λ∞u␈↓ λ#␈ε(v␈↓ λM␈ε"+␈↓ λy␈ε(v␈↓ 	␈ε(v␈↓ 	8␈ε"=␈↓ 	f␈ε(v␈↓ 
p␈ε"(16)
␈βε↓␈↓ β∞␈ε%1␈↓ βs␈ε%2␈↓ ∧I␈ε%3␈↓ ¬[␈ε%1␈↓ εG␈ε%2␈↓ π%␈ε%3␈↓ λ4␈ε%1␈↓ 	≥␈ε%2␈↓ 	x␈ε%3
␈βε5␈↓ ↓H␈ε"h␈α↓old␈αthrough␈α↓out␈αthe␈αcalculation.
␈βεg␈↓ ↓J␈ε2X1.␈↓ α	␈ε"[Initialize.]␈α→Set␈α(␈↓ ∧∩␈ε(u␈↓ ∧8␈ε",␈↓ ∧H␈ε(u␈↓ ∧m␈ε",␈↓ ∧⎇␈ε(u␈↓ ¬#␈ε")␈ε6␈α
␈ ␈ε"␈α
(1,␈αε0,␈ε(␈αεu␈ε"),␈α(␈↓ εz␈ε(v␈↓ π≤␈ε",␈↓ π,␈ε(v␈↓ πN␈ε",␈↓ π↑␈ε(v␈↓ λ↓␈ε")␈ε6␈α
␈ ␈ε"␈α
(0,␈αε1,␈↓ 	∃␈ε(v␈↓ 	(␈ε").
␈βεs␈↓ ∧'␈ε%1␈↓ ∧]␈ε%2␈↓ ¬∩␈ε%3␈↓ π␈ε%1␈↓ π>␈ε%2␈↓ πp␈ε%3
␈βπ_␈↓ ↓J␈ε2X2.␈↓ α	␈ε"[Is␈↓ α9␈ε(v␈↓ αe␈ε"=␈α
0?]␈α~If␈↓ β{␈ε(v␈↓ ∧'␈ε"=␈α
0,␈αthe␈αalgorithm␈αterminates.
␈βπ$␈↓ αK␈ε%3␈↓ ∧␈ε%3
␈βπI␈↓ ↓J␈ε2X3.␈↓ α	␈ε"[Divide,␈αsubtract.]␈α→Set␈↓ ∧{␈ε(q␈↓ ¬→␈ε6␈ ␈α
b␈↓ ¬U␈ε(u␈↓ ¬z␈ε"/␈↓ ε␈ε(v␈↓ ε.␈ε6c␈ε",␈αand␈αthen␈αset
␈βπU␈↓ ¬i␈ε%3␈↓ ε≡␈ε%3
␈βλε␈↓ ∧+␈ε"(␈↓ ∧7␈ε(t␈↓ ∧U␈ε",␈↓ ∧e␈ε(t␈↓ ¬β␈ε",␈↓ ¬∪␈ε(t␈↓ ¬1␈ε")␈ε6␈α
␈ ␈ε"␈α
(␈↓ ε↓␈ε(u␈↓ ε'␈ε",␈↓ ε7␈ε(u␈↓ ε\␈ε",␈↓ εl␈ε(u␈↓ π∩␈ε")␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ(␈↓ π↑␈ε(v␈↓ λ␈ε",␈↓ λ⊂␈ε(v␈↓ λ2␈ε",␈↓ λB␈ε(v␈↓ λe␈ε")␈↓ λq␈ε(q␈↓ 	∧␈ε",
␈βλ∩␈↓ ∧D␈ε%1␈↓ ∧r␈ε%2␈↓ ¬ ␈ε%3␈↓ ε⊗␈ε%1␈↓ εK␈ε%2␈↓ π↓␈ε%3␈↓ πo␈ε%1␈↓ λ!␈ε%2␈↓ λT␈ε%3
␈βλ<␈↓ β7␈ε"(␈↓ βC␈ε(u␈↓ βh␈ε",␈↓ βx␈ε(u␈↓ ∧≡␈ε",␈↓ ∧.␈ε(u␈↓ ∧T␈ε")␈ε6␈α
␈ ␈ε"␈α
(␈↓ ¬$␈ε(v␈↓ ¬F␈ε",␈↓ ¬V␈ε(v␈↓ ¬x␈ε",␈↓ ελ␈ε(v␈↓ ε*␈ε"),␈↓ π∞(␈↓ π~␈ε(v␈↓ π=␈ε",␈↓ πM␈ε(v␈↓ πo␈ε",␈↓ π␈␈ε(v␈↓ λ!␈ε")␈ε6␈α
␈ ␈ε"␈α
(␈↓ λq␈ε(t␈↓ 	∂␈ε",␈↓ 	∨␈ε(t␈↓ 	=␈ε",␈↓ 	M␈ε(t␈↓ 	l␈ε").
␈βλH␈↓ βX␈ε%1␈↓ ∧
␈ε%2␈↓ ∧C␈ε%3␈↓ ¬5␈ε%1␈↓ ¬g␈ε%2␈↓ ε~␈ε%3␈↓ π,␈ε%1␈↓ π↑␈ε%2␈↓ λ⊃␈ε%3␈↓ λ␈␈ε%1␈↓ 	-␈ε%2␈↓ 	[␈ε%3
␈βλv␈↓ α␈ε"Return␈αto␈αstep␈αX2.
␈βλ␈␈↓ ∧↑␈∧λ␈∧↑≠∂
␈β	.␈↓ ↓H␈ε"F␈α⎇or␈αexample,␈αlet␈ε(␈αu␈ε"␈α	=␈α
40902,␈↓ ¬⊃␈ε(v␈↓ ¬.␈ε"=␈α
24140.␈α⊂A␈α␈t␈αstep␈αX2␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈β	g␈↓ α\␈ε(q␈↓ βY␈ε(u␈↓ ∧{␈ε(u␈↓ εβ␈ε(u␈↓ πC␈ε(v␈↓ λe␈ε(v␈↓ 	k␈ε(v
␈β	s␈↓ βn␈ε%1␈↓ ¬⊂␈ε%2␈↓ ε_␈ε%3␈↓ πT␈ε%1␈↓ λv␈ε%2␈↓ 	|␈ε%3
␈β
≥␈↓ αK␈ε"←␈↓ βm␈ε"1␈↓ ¬∂␈ε"0␈↓ ¬i␈ε"40902␈↓ πS␈ε"0␈↓ λu␈ε"1␈↓ 	O␈ε"24140
␈β
H␈↓ α]␈ε"1␈↓ βm␈ε"0␈↓ ¬∂␈ε"1␈↓ ¬i␈ε"24140␈↓ πS␈ε"1␈↓ λQ␈ε6␈␈ε"1␈↓ 	O␈ε"16762
␈β
s␈↓ α]␈ε"1␈↓ βm␈ε"1␈↓ ∧k␈ε6␈␈ε"1␈↓ ¬i␈ε"16762␈↓ π/␈ε6␈␈ε"1␈↓ λu␈ε"2␈↓ 	a␈ε"7378
␈β≡␈↓ α]␈ε"2␈↓ βI␈ε6␈␈ε"1␈↓ ¬∂␈ε"2␈↓ ¬{␈ε"7378␈↓ πS␈ε"3␈↓ λQ␈ε6␈␈ε"5␈↓ 	a␈ε"2006
␈βJ␈↓ α]␈ε"3␈↓ βm␈ε"3␈↓ ∧k␈ε6␈␈ε"5␈↓ ¬{␈ε"2006␈↓ π≥␈ε6␈␈ε"10␈↓ λc␈ε"17␈↓ 	a␈ε"1360
␈βu␈↓ α]␈ε"1␈↓ β7␈ε6␈␈ε"10␈↓ ∧⎇␈ε"17␈↓ ¬{␈ε"1360␈↓ πA␈ε"13␈↓ λ?␈ε6␈␈ε"22␈↓ 	s␈ε"646
␈β ␈↓ α]␈ε"2␈↓ β[␈ε"13␈↓ ∧Y␈ε6␈␈ε"22␈↓ ε
␈ε"646␈↓ π≥␈ε6␈␈ε"36␈↓ λc␈ε"61␈↓ 
¬␈ε"68
␈βK␈↓ α]␈ε"9␈↓ β7␈ε6␈␈ε"36␈↓ ∧⎇␈ε"61␈↓ ε∨␈ε"68␈↓ π/␈ε"337␈↓ λ-␈ε6␈␈ε"571␈↓ 
¬␈ε"34
␈βv␈↓ α]␈ε"2␈↓ βI␈ε"337␈↓ ∧G␈ε6␈␈ε"571␈↓ ε∨␈ε"34␈↓ π␈ε6␈␈ε"710␈↓ λ?␈ε"1203␈↓ 
↔␈ε"0
␈β
7␈↓ ↓H␈ε"The␈αsolution␈αis␈αtherefore␈α337␈ε6␈αλ↓␈ε"␈αλ40902␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ571␈ε6␈αλ↓␈ε"␈αλ24140␈α
=␈α
34␈α
=␈↓ λr␈ε"gcd␈↓ 	(␈ε"(40902,␈αε24140).
␈β
h␈↓ α␈ε"The␈α	v␈α}alidit␈α␈y␈αλof␈α	Algorithm␈α	X␈αλfollo␈α␈ws␈α	from␈α	(16)␈αλand␈α	the␈α	fact␈αλthat␈α	the␈αλalgorithm
␈β∞∪␈↓ ↓H␈ε"is␈α⊂iden␈α␈tical␈α⊂to␈α⊃Algorithm␈α⊂A␈α⊃with␈α⊂respect␈α⊃to␈α⊂its␈α⊂manipulation␈α⊃of␈↓ 	[␈ε(u␈↓ 
⊃␈ε"and␈↓ 
\␈ε(v␈↓ 
}␈ε";␈α∩a
␈β∞ ␈↓ 	p␈ε%3␈↓ 
m␈ε%3
␈β∞>␈↓ ↓H␈ε"detailed␈αpro␈α↓of␈α
of␈α
Algorithm␈α
X␈αis␈α
discussed␈α
in␈α
Section␈α
1.2.1.␈α∩Gordon␈α
H.␈↓ 
3␈ε"Bradley
␈β∞j␈↓ ↓H␈ε"has␈α∞observ␈α␈ed␈α∞that␈α∞w␈α␈e␈α∞can␈α∞a␈α␈v␈α␈oid␈α∞a␈α∂go␈α↓od␈α∞deal␈α∞of␈α∞the␈α∞calculation␈α∞in␈α∞Algorithm␈α∞X
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε"by␈α
suppressing␈↓ β=␈ε(u␈↓ βc␈ε",␈↓ βz␈ε(v␈↓ ∧≥␈ε",␈α
and␈↓ ∧{␈ε(t␈↓ ¬→␈ε";␈α∞then␈↓ ε∧␈ε(u␈↓ ε7␈ε"can␈α
be␈α∞determined␈α
a$erw␈α␈ards␈α
using␈α
the
␈β∂!␈↓ βR␈ε%2␈↓ ∧␈ε%2␈↓ ¬	␈ε%2␈↓ ε→␈ε%2
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"relation␈ε(␈αu␈↓ α`␈ε(u␈↓ β∞␈ε"+␈↓ β:␈ε(v␈↓ βM␈ε(u␈↓ β|␈ε"=␈↓ ∧*␈ε(u␈↓ ∧P␈ε".
␈β∂L␈↓ αu␈ε%1␈↓ βb␈ε%2␈↓ ∧?␈ε%3
␈β∂k␈↓ α␈ε"Exercise␈α14␈αsh␈α↓o␈α␈ws␈αthat␈αthe␈αv␈α}alues␈αof␈ε6␈αj␈↓ εZ␈ε(u␈↓ π␈ε6j␈ε",␈ε6␈αj␈↓ π)␈ε(u␈↓ πO␈ε6j␈ε",␈ε6␈αj␈↓ πx␈ε(v␈↓ λ≠␈ε6j␈ε",␈ε6␈αj␈↓ λD␈ε(v␈↓ λg␈ε6j␈ε"␈αremain␈αbounded␈αby
␈β∂x␈↓ εo␈ε%1␈↓ π>␈ε%2␈↓ λ
␈ε%1␈↓ λV␈ε%2
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"the␈αλsize␈αλof␈αλthe␈αλinputs␈ε(␈αλu␈ε"␈αλand␈↓ ∧k␈ε(v␈↓ ∧}␈ε".␈α∞Algorithm␈αλB␈↓ εV␈ε",␈α	which␈αλcomputes␈αλthe␈αλgreatest␈αλcomm␈α↓on
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"divisor␈α∞using␈α∂properties␈α∂of␈α∂binary␈α∂n␈α↓otation,␈α∂can␈α∂be␈α∂extended␈α∂in␈α∂a␈α∂similar␈α∞w␈α␈a␈α␈y;
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"see␈α
exercise␈α35.␈α⊂F␈α⎇or␈α
some␈αinstructiv␈α␈e␈αextensions␈αto␈α
Algorithm␈αX␈↓ 	(␈ε",␈αsee␈αexercises␈α
18
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"and␈α19␈αin␈αSection␈α4.6.1.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"326␈↓ 
b␈ε"4.5.2
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ α␈ε"The␈α
ideas␈α	underlying␈α
Euclid's␈α
algorithm␈α	can␈α
also␈α	be␈α
applied␈α
to␈α	|nd␈α
a␈ε/␈α	general
␈βαO␈↓ ↓H␈ε/solution␈α
in␈α∞in␈α␈tegers␈ε"␈α∞of␈α∞an␈α␈y␈α
set␈α∞of␈↓ ¬[␈ε"linear␈α∞equations␈α∞with␈α
in␈α␈teger␈α∞coe}cien␈α␈ts.␈α∃F␈α⎇or
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"example,␈α
suppose␈αthat␈α
w␈α␈e␈αw␈α␈an␈α␈t␈α
to␈α|nd␈α
all␈αin␈α␈tegers␈↓ π↑␈ε(w␈↓ πy␈ε",␈ε(␈αx␈ε",␈↓ λ7␈ε(y␈↓ λJ␈ε",␈↓ λ←␈ε(z␈↓ λ|␈ε"that␈α
satisfy␈αthe␈α
t␈α␈w␈α␈o
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"equations
␈ββN␈↓ ∧M␈ε"10␈↓ ∧q␈ε(w␈↓ ¬∀␈ε"+␈αλ3␈ε(x␈↓ ¬n␈ε"+␈αλ3␈↓ ε,␈ε(y␈↓ εG␈ε"+␈αλ8␈↓ π¬␈ε(z␈↓ π!␈ε"=␈α
1,␈↓ 
p␈ε"(17)
␈β∧π␈↓ ∧←␈ε"6␈↓ ∧q␈ε(w␈↓ ¬∀␈ε6␈␈ε"␈αλ7␈ε(x␈↓ εG␈ε6␈␈ε"␈αλ5␈↓ π¬␈ε(z␈↓ π!␈ε"=␈α
2.␈↓ 
p␈ε"(18)
␈β∧U␈↓ ↓H␈ε"W␈α⎇e␈αcan␈αin␈α␈troduce␈αa␈αnew␈αv␈α}ariable
␈β¬#␈↓ α?␈ε6b␈ε"10/3␈ε6c␈↓ β#␈ε(w␈↓ βE␈ε"+␈ε6␈αλb␈ε"3/3␈ε6c␈ε(x␈ε"␈αλ+␈ε6␈αλb␈ε"3/3␈ε6c␈↓ ¬]␈ε(y␈↓ ¬x␈ε"+␈ε6␈αλb␈ε"8/3␈ε6c␈↓ εv␈ε(z␈↓ π∪␈ε"=␈α
3␈↓ πS␈ε(w␈↓ πv␈ε"+␈ε(␈αλx␈ε"␈αλ+␈↓ λj␈ε(y␈↓ 	¬␈ε"+␈αλ2␈↓ 	C␈ε(z␈↓ 	`␈ε"=␈↓ 
∞␈ε(t␈↓ 
,␈ε",
␈β¬0␈↓ 
≠␈ε%1
␈β¬q␈↓ ↓H␈ε"and␈αuse␈αit␈αto␈αeliminate␈↓ ∧8␈ε(y␈↓ ∧K␈ε";␈αEq.␈α(17)␈αbecomes
␈βε?␈↓ ↓l␈ε"(10␈↓ α"␈ε"mod␈↓ αl␈ε"3)␈↓ β
␈ε(w␈↓ β-␈ε"+␈αλ(3␈↓ β⎇␈ε"mod␈↓ ∧G␈ε"3)␈ε(x␈ε"␈αλ+␈αλ3␈↓ ¬?␈ε(t␈↓ ¬e␈ε"+␈αλ(8␈↓ ε5␈ε"mod␈↓ ε␈␈ε"3)␈↓ π≥␈ε(z␈↓ π9␈ε"=␈↓ πg␈ε(w␈↓ λ
␈ε"+␈αλ3␈↓ λH␈ε(t␈↓ λn␈ε"+␈αλ2␈↓ 	,␈ε(z␈↓ 	I␈ε"=␈α
1,␈↓ 
p␈ε"(19)
␈βεL␈↓ ¬L␈ε%1␈↓ λU␈ε%1
␈βπ
␈↓ ↓H␈ε"and␈α
Eq.␈α∞(18)␈α
remains␈α∞unchanged.␈α∀The␈α∞new␈α
equation␈α∞(19)␈α
ma␈α␈y␈α∞be␈α
used␈α∞to␈α
elim-
␈βπ8␈↓ ↓H␈ε"inate␈↓ α"␈ε(w␈↓ α=␈ε",␈αand␈α(18)␈αbecomes
␈βλε␈↓ ∧:␈ε"6(1␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ3␈↓ ¬0␈ε(t␈↓ ¬V␈ε6␈␈ε"␈αλ2␈↓ ε∀␈ε(z␈↓ ε'␈ε")␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ7␈ε(x␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ5␈↓ πS␈ε(z␈↓ πp␈ε"=␈α
2;
␈βλ∪␈↓ ¬>␈ε%1
␈βλT␈↓ ↓H␈ε"that␈αis,
␈β	␈↓ ¬
␈ε"7␈ε(x␈ε"␈αλ+␈αλ18␈↓ ε␈ε(t␈↓ ε1␈ε"+␈αλ17␈↓ π↓␈ε(z␈↓ π≥␈ε"=␈α
4.␈↓ 
p␈ε"(20)
␈β	␈↓ ε_␈ε%1
␈β	@␈↓ ↓H␈ε"No␈α␈w␈αas␈αbefore␈αw␈α␈e␈αin␈α␈troduce␈αa␈αnew␈αv␈α}ariable
␈β
∞␈↓ ¬'␈ε(x␈ε"␈αλ+␈αλ2␈↓ ε↓␈ε(t␈↓ ε'␈ε"+␈αλ2␈↓ εe␈ε(z␈↓ π↓␈ε"=␈↓ π/␈ε(t
␈β
≠␈↓ ε∞␈ε%1␈↓ π=␈ε%2
␈β
\␈↓ ↓H␈ε"and␈αeliminate␈ε(␈αx␈ε"␈αfrom␈α(20):
␈β*␈↓ ¬~␈ε"7␈↓ ¬,␈ε(t␈↓ ¬R␈ε"+␈αλ4␈↓ ε⊂␈ε(t␈↓ ε6␈ε"+␈αλ3␈↓ εt␈ε(z␈↓ π⊂␈ε"=␈α
4.␈↓ 
p␈ε"(21)
␈β7␈↓ ¬9␈ε%2␈↓ ε≥␈ε%1
␈βx␈↓ ↓H␈ε"An␈α↓other␈αλnew␈α	v␈α}ariable␈α	can␈αλbe␈α	in␈α␈troduced␈α	in␈α	the␈αλsame␈α	fashion,␈α	in␈α	order␈α	to␈αλeliminate
␈β#␈↓ ↓H␈ε"the␈αv␈α}ariable␈↓ β
␈ε(z␈↓ β∨␈ε",␈αwhich␈αhas␈αthe␈αsmallest␈αcoe}cien␈α␈t:
␈βq␈↓ ¬&␈ε"2␈↓ ¬8␈ε(t␈↓ ¬↑␈ε"+␈↓ ε
␈ε(t␈↓ ε0␈ε"+␈↓ ε\␈ε(z␈↓ εx␈ε"=␈↓ π&␈ε(t␈↓ πD␈ε".
␈β}␈↓ ¬E␈ε%2␈↓ ε↔␈ε%1␈↓ π4␈ε%3
␈β
?␈↓ ↓H␈ε"Eliminating␈↓ β␈ε(z␈↓ β*␈ε"from␈α(21)␈αyields
␈β∞
␈↓ ¬&␈ε(t␈↓ ¬L␈ε"+␈↓ ¬x␈ε(t␈↓ ε≡␈ε"+␈αλ3␈↓ ε\␈ε(t␈↓ π∧␈ε"=␈α
4,␈↓ 
p␈ε"(22)
␈β∞~␈↓ ¬3␈ε%2␈↓ ε¬␈ε%1␈↓ εi␈ε%3
␈β∞[␈↓ ↓H␈ε"and␈α∂this␈α⊂equation,␈α⊃|nally,␈α⊃can␈α⊂be␈α∂used␈α⊂to␈α⊂eliminate␈↓ λ↔␈ε(t␈↓ λ5␈ε".␈α≠W␈α⎇e␈α⊂are␈α⊂le$␈α⊂with␈α∂t␈α␈w␈α␈o
␈β∞h␈↓ λ$␈ε%2
␈β∂ε␈↓ ↓H␈ε"independen␈α␈t␈αv␈α}ariables,␈↓ ∧0␈ε(t␈↓ ∧Z␈ε"and␈↓ ¬∨␈ε(t␈↓ ¬=␈ε";␈αsubstituting␈αback␈αfor␈αthe␈αoriginal␈αv␈α}ariables,␈αw␈α␈e
␈β∂∪␈↓ ∧>␈ε%1␈↓ ¬,␈ε%3
␈β∂2␈↓ ↓H␈ε"obtain␈αthe␈αgeneral␈αsolution
␈β∂v␈↓ ∧r␈ε(w␈↓ ¬⊗␈ε"=␈α.17␈ε6␈αλ␈␈ε"␈α~5␈↓ εd␈ε(t␈↓ π
␈ε6␈␈ε"␈αλ14␈↓ πZ␈ε(t␈↓ πy␈ε",
␈β⊂β␈↓ εr␈ε%1␈↓ πh␈ε%3
␈β⊂,␈↓ ∧x␈ε(x␈↓ ¬⊗␈ε"=␈α.20␈ε6␈αλ␈␈ε"␈α~5␈↓ εd␈ε(t␈↓ π
␈ε6␈␈ε"␈αλ17␈↓ πZ␈ε(t␈↓ πy␈ε",
␈β⊂9␈↓ εr␈ε%1␈↓ πh␈ε%3
␈β⊂H␈↓ 
p␈ε"(23)
␈β⊂b␈↓ ∧z␈ε(y␈↓ ¬⊗␈ε"=␈ε6␈α
␈␈ε"55␈αλ+␈αλ19␈↓ εd␈ε(t␈↓ π
␈ε"+␈αλ45␈↓ πZ␈ε(t␈↓ πy␈ε",
␈β⊂o␈↓ εr␈ε%1␈↓ πh␈ε%3
␈β⊃_␈↓ ∧z␈ε(z␈↓ ¬⊗␈ε"=␈ε6␈α≤␈␈ε"8␈αλ+␈↓ εd␈ε(t␈↓ π
␈ε"+␈α~7␈↓ πZ␈ε(t␈↓ πy␈ε".
␈β⊃%␈↓ εr␈ε%1␈↓ πh␈ε%3
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.2␈↓ 
v␈ε"327
␈β↓\␈↓ ε∃␈ε∞T␈α↓HE␈α
GRE␈α↓A␈α⎇T␈α↓EST␈α
COMMON␈α
DIV␈α↓IS␈α␈OR
␈βα"␈↓ ↓H␈ε"In␈α⊂other␈α⊂w␈α␈ords,␈α∩all␈α⊂in␈α␈teger␈α⊂solutions␈α⊂(␈↓ ε(␈ε(w␈↓ εC␈ε",␈ε(␈αεx␈ε",␈↓ εw␈ε(y␈↓ π
␈ε",␈↓ π~␈ε(z␈↓ π-␈ε")␈α⊂to␈α⊃the␈α⊂original␈α⊂equations␈α⊂(17),
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"(18)␈α
are␈α∞obtained␈α∞from␈α∞(23)␈α∞by␈α∞letting␈↓ ε/␈ε(t␈↓ ε[␈ε"and␈↓ π#␈ε(t␈↓ πO␈ε"independen␈α␈tly␈α∞run␈α∞through␈α
all
␈βαZ␈↓ ε=␈ε%1␈↓ π0␈ε%3
␈βαy␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈tegers.
␈ββ$␈↓ α␈ε"The␈αgeneral␈αmeth␈α↓od␈αthat␈αhas␈αjust␈αbeen␈αillustrated␈αis␈αbased␈αon␈αthe␈αfollo␈α␈wing
␈ββO␈↓ ↓H␈ε"procedure:␈αFind␈α
a␈αn␈α↓onzero␈α
coe}cien␈α␈t␈ε(␈αc␈ε"␈α
of␈αsmallest␈α
absolute␈αv␈α}alue␈α
in␈αthe␈αsystem
␈ββz␈↓ ↓H␈ε"of␈α∂equations.␈α≠Suppose␈α∂that␈α⊂this␈α∂coe}cien␈α␈t␈α⊂appears␈α∂in␈α⊂an␈α∂equation␈α⊂ha␈α␈ving␈α∂the
␈β∧%␈↓ ↓H␈ε"form
␈β∧Q␈↓ ∧M␈ε(c␈↓ ∧\␈ε(x␈↓ ¬	␈ε"+␈↓ ¬5␈ε(c␈↓ ¬U␈ε(x␈↓ εα␈ε"+␈↓ ε.␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε`␈ε"+␈↓ π␈ε(c␈↓ π-␈ε(x␈↓ π]␈ε"=␈ε(␈α
d␈ε";␈↓ 
p␈ε"(24)
␈β∧]␈↓ ∧p␈ε%0␈↓ ¬D␈ε%1␈↓ ¬i␈ε%1␈↓ π≠␈ε+k␈↓ πA␈ε+k
␈β¬∩␈↓ ↓H␈ε"assume␈α⊃for␈α⊃simplicit␈α␈y␈α⊃that␈ε(␈α⊃c␈ε"␈α∪>␈α∪0.␈α∨If␈ε(␈α⊃c␈ε"␈α∪=␈α∩1,␈α∪use␈α⊃this␈α⊃equation␈α⊃to␈α⊃eliminate
␈β¬=␈↓ ↓H␈ε"the␈α∞v␈α}ariable␈↓ β⊂␈ε(x␈↓ βC␈ε"from␈α∞the␈α∞other␈α∞equations␈α∞remaining␈α∞in␈α∞the␈α∞system;␈α∂then␈α
repeat
␈β¬J␈↓ β$␈ε%0
␈β¬i␈↓ ↓H␈ε"the␈α∞procedure␈α∂on␈α∂the␈α∞remaining␈α∂equations.␈α≡(If␈α∞n␈α↓o␈α∂m␈α↓ore␈α∂equations␈α∞remain,␈α∂the
␈βε∀␈↓ ↓H␈ε"computation␈α∩stops,␈α∪and␈α∩a␈α∩general␈α∩solution␈α∩in␈α∩terms␈α∩of␈α∩the␈α∩v␈α}ariables␈α⊃n␈α↓ot␈α∩y␈α␈et
␈βε?␈↓ ↓H␈ε"eliminated␈α∞has␈α∞essen␈α␈tially␈α∞been␈α∞obtained.)␈α≥If␈ε(␈α∞c␈ε"␈α∞>␈α∞1,␈α∞then␈α∞if␈↓ 	∪␈ε(c␈↓ 	9␈ε"mod␈↓ 
β␈ε(c␈ε"␈α
=␈↓ 
Q␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ␈ε"=
␈βεK␈↓ 	"␈ε%1
␈βεj␈↓ ↓H␈ε(c␈↓ ↓o␈ε"mod␈↓ α9␈ε(c␈ε"␈α
=␈α
0␈α
check␈α	that␈ε(␈α
d␈↓ ∧a␈ε"mod␈↓ ¬+␈ε(c␈ε"␈α
=␈α
0,␈α
otherwise␈α
there␈α	is␈α
n␈α↓o␈α
in␈α␈teger␈α	solution;␈α
then
␈βεw␈↓ ↓W␈ε+k
␈βπ∃␈↓ ↓H␈ε"divide␈α∞both␈α∞sides␈α∂of␈α∞(24)␈α∂by␈ε(␈α∞c␈ε"␈α∂and␈α∞eliminate␈↓ π∀␈ε(x␈↓ πH␈ε"as␈α∞in␈α∞the␈α∂case␈ε(␈α∞c␈ε"␈α∞=␈α∞1.␈α↔Finally,
␈βπ"␈↓ π(␈ε%0
␈βπA␈↓ ↓H␈ε"if␈ε(␈α∞c␈ε"␈α∂>␈α∂1␈α∂and␈α∂n␈α↓ot␈α∂all␈α∂of␈↓ ∧M␈ε(c␈↓ ∧s␈ε"mod␈↓ ¬=␈ε(c␈ε",␈↓ ¬e␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ε∃␈ε",␈↓ ε/␈ε(c␈↓ εV␈ε"mod␈↓ π ␈ε(c␈ε"␈α∂are␈α∂zero,␈α⊂then␈α∂in␈α␈troduce␈α∂a␈α∞new
␈βπM␈↓ ∧\␈ε%1␈↓ ε>␈ε+k
␈βπl␈↓ ↓H␈ε"v␈α}ariable
␈βλ↔␈↓ βs␈ε6b␈ε(c␈ε"␈α↓/␈ε(c␈ε6c␈↓ ∧@␈ε(x␈↓ ∧m␈ε"+␈ε6␈αλb␈↓ ¬'␈ε(c␈↓ ¬G␈ε"/␈ε(c␈ε6c␈↓ ¬v␈ε(x␈↓ ε#␈ε"+␈↓ εO␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π↓␈ε"+␈ε6␈αλb␈↓ π;␈ε(c␈↓ π\␈ε"/␈ε(c␈ε6c␈↓ λ␈ε(x␈↓ λ<␈ε"=␈ε(␈α
t␈ε";␈↓ 
p␈ε"(25)
␈βλ#␈↓ ∧T␈ε%0␈↓ ¬6␈ε%1␈↓ ε
␈ε%1␈↓ πJ␈ε+k␈↓ λ∨␈ε+k
␈βλX␈↓ ↓H␈ε"eliminate␈αthe␈αv␈α}ariable␈↓ ∧&␈ε(x␈↓ ∧V␈ε"from␈αthe␈αother␈αequations,␈αin␈αfa␈α␈v␈α␈or␈αof␈ε(␈αt␈ε",␈αand␈αreplace␈αthe
␈βλe␈↓ ∧:␈ε%0
␈β	∧␈↓ ↓H␈ε"original␈αequation␈α(24)␈αby
␈β	T␈↓ βa␈ε(ct␈ε"␈α	+␈αλ(␈↓ ∧>␈ε(c␈↓ ∧d␈ε"mod␈↓ ¬.␈ε(c␈ε")␈↓ ¬I␈ε(x␈↓ ¬v␈ε"+␈↓ ε"␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εT␈ε"+␈αλ(␈↓ π␈ε(c␈↓ π3␈ε"mod␈↓ π⎇␈ε(c␈ε")␈↓ λ_␈ε(x␈↓ λI␈ε"=␈ε(␈α
d␈ε".␈↓ 
p␈ε"(26)
␈β	`␈↓ ∧M␈ε%1␈↓ ¬]␈ε%1␈↓ π≠␈ε+k␈↓ λ,␈ε+k
␈β
¬␈↓ ↓H␈ε↓␈␈↓ εA␈ε↓↓
␈β
$␈↓ ↓V␈ε"Cf.␈α(19)␈αand␈α(21)␈αin␈αthe␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αexample.
␈β
O␈↓ α␈ε"This␈α∞process␈α
m␈α␈ust␈α∞terminate,␈α∞since␈α
each␈α∞step␈α
reduces␈α∞either␈α
the␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α
of
␈β
z␈↓ ↓H␈ε"equations␈α	or␈α
the␈α
size␈α
of␈α
the␈α
smallest␈α	n␈α↓onzero␈α
coe}cien␈α␈t␈α
in␈α
the␈α
system.␈α∂A␈α
study␈α	of
␈β%␈↓ ↓H␈ε"the␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αprocedure␈αwill␈αrev␈α␈eal␈αits␈αin␈α␈timate␈αconnection␈αwith␈αEuclid's␈αalgorithm.
␈βP␈↓ ↓H␈ε"The␈α∞meth␈α↓od␈α∞is␈α∞a␈α∞comparativ␈α␈ely␈α∞simple␈α∞means␈α∞of␈α
solving␈α∞linear␈α∞equations␈α∞when
␈β|␈↓ ↓H␈ε"the␈αλv␈α}ariables␈α	are␈α	required␈α	to␈α	tak␈α␈e␈α	on␈αλin␈α␈teger␈α	v␈α}alues␈α	only.␈α∂It␈α	isn't␈α	the␈α	best␈αλa␈α␈v␈α}ailable
␈β'␈↓ ↓H␈ε"meth␈α↓od␈α∩for␈α∪this␈α∩problem,␈α∀h␈α↓o␈α␈w␈α␈ev␈α␈er;␈α⊗substan␈α␈tial␈α∩re|nemen␈α␈ts␈α∪are␈α∩possible,␈α∀but
␈βR␈↓ ↓H␈ε"bey␈α␈ond␈αthe␈αscope␈αof␈αthis␈αbo␈α↓ok.
␈β
⊂␈↓ ↓H␈ε2High-precision␈αλcalculation.␈ε"␈α
If␈ε(␈αλu␈ε"␈αλand␈↓ ¬q␈ε(v␈↓ ε␈ε"are␈αλv␈α␈ery␈α	large␈αλin␈α␈tegers,␈α
requiring␈αλa␈αλm␈α␈ultiple-
␈β
;␈↓ ↓H␈ε"precision␈αrepresen␈α␈tation,␈αthe␈αbinary␈αmeth␈α↓od␈α(Algorithm␈αB)␈αis␈αa␈αsimple␈α
and␈αfairly
␈β
f␈↓ ↓H␈ε"e}cien␈α␈t␈α⊂means␈α⊂of␈α⊃calculating␈α⊂their␈α⊂greatest␈α⊃comm␈α↓on␈α⊂divisor,␈α∩since␈α⊂it␈α⊂in␈α␈v␈α␈olv␈α␈es
␈β∞⊃␈↓ ↓H␈ε"only␈αsubtractions␈αand␈αshi$ing.
␈β∞=␈↓ α␈ε"By␈α∂con␈α␈trast,␈α⊂Euclid's␈α∂algorithm␈α⊂seems␈α∂m␈α␈uch␈α∂less␈α∂attractiv␈α␈e,␈α⊂since␈α∂step␈α∂A2
␈β∞h␈↓ ↓H␈ε"requires␈α
a␈α
m␈α␈ultiple-precision␈α
division␈↓ ε_␈ε"of␈ε(␈α
u␈ε"␈α
by␈↓ π→␈ε(v␈↓ π,␈ε".␈α∪But␈α
this␈α
di}cult␈α␈y␈α
is␈α
n␈α↓ot␈α
really
␈β∂∪␈↓ ↓H␈ε"as␈α
bad␈α
as␈α∞it␈α
seems,␈α∞since␈α
w␈α␈e␈α
will␈α∞pro␈α␈v␈α␈e␈α
in␈α
Section␈α∞4.5.3␈α
that␈α
the␈α
quotien␈α␈t␈ε6␈α∞b␈ε(u␈ε"/␈↓ ␈ε(v␈↓ ≡␈ε6c
␈β∂>␈↓ ↓H␈ε"is␈αalm␈α↓ost␈αalw␈α␈a␈α␈ys␈αv␈α␈ery␈αsmall;␈αfor␈αexample,␈αassuming␈αrandom␈αinputs,␈αthe␈αquotien␈α␈t
␈β∂i␈↓ ↓H␈ε6b␈ε(u␈ε"␈α␈/␈↓ ↓|␈ε(v␈↓ α∂␈ε6c␈ε"␈α
will␈α
be␈α
less␈α
than␈α
1000␈α
appro␈α␈ximately␈α
99.856␈α	percen␈α␈t␈α
of␈α
the␈α
time.␈α∂Therefore
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈ε"it␈α⊂is␈α⊂alm␈α↓ost␈α⊂alw␈α␈a␈α␈ys␈α∂possible␈α⊂to␈α⊂|nd␈ε6␈α⊂b␈ε(u␈ε"/␈↓ εB␈ε(v␈↓ εU␈ε6c␈ε"␈α⊂and␈α⊂(␈ε(u␈↓ πd␈ε"mod␈↓ λ.␈ε(v␈↓ λA␈ε")␈α∂using␈α⊂single-precision
␈β⊂@␈↓ ↓H␈ε"calculations,␈α∩together␈α∩with␈α⊃the␈α⊃comparativ␈α␈ely␈α∩simple␈α⊃operation␈α⊃of␈α⊃calculating
␈β⊂k␈↓ ↓H␈ε(u␈ε6␈α	␈␈↓ α∪␈ε(q␈↓ α&␈ε(v␈↓ αG␈ε"where␈↓ β1␈ε(q␈↓ βS␈ε"is␈α∞a␈α∞single-precision␈α∞n␈α␈um␈α␈ber.␈α⊗F␈α⎇urtherm␈α↓ore,␈α∂if␈α∞it␈α∞does␈α∞turn␈α∞out
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε"that␈ε(␈αu␈ε"␈αis␈α
m␈α␈uch␈α
larger␈αthan␈↓ ∧y␈ε(v␈↓ ¬_␈ε"(e.g.,␈α
the␈αinitial␈α
input␈αdata␈α
migh␈α␈t␈αha␈α␈v␈α␈e␈α
this␈αform),
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"328␈↓ 
b␈ε"4.5.2
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈e␈α
don't␈α
really␈α
mind␈α
ha␈α␈ving␈α
a␈α
large␈α
quotien␈α␈t␈↓ π~␈ε(q␈↓ π-␈ε",␈α
since␈α
Euclid's␈α
algorithm␈α
mak␈α␈es
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"a␈αgreat␈αdeal␈αof␈αprogress␈αwhen␈αit␈αreplaces␈ε(␈αu␈ε"␈αby␈ε(␈αu␈↓ π<␈ε"mod␈↓ λε␈ε(v␈↓ λ%␈ε"in␈αsuch␈αa␈αcase.
␈βαz␈↓ α␈ε"A␈α⊂signi|can␈α␈t␈α⊂impro␈α␈v␈α␈emen␈α␈t␈α⊂in␈α⊃the␈α⊂speed␈α⊂of␈α⊂Euclid's␈α⊂algorithm␈α⊂when␈α⊂high-
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"precision␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αare␈αin␈α␈v␈α␈olv␈α␈ed␈αcan␈αbe␈αachiev␈α␈ed␈αby␈αusing␈αa␈αmeth␈α↓od␈αdue␈αto␈↓ 
X␈ε"D.␈αH.
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε"Lehmer␈α	[␈ε/AMM␈ε2␈α
45␈ε"␈α	(1938),␈α
227↑233].␈α⊂W␈α⎇orking␈α	only␈α
with␈α	the␈α
leading␈α	digits␈α
of␈α	large
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈bers,␈αit␈αis␈αpossible␈αto␈αdo␈αm␈α↓ost␈αof␈αthe␈αcalculations␈αwith␈αsingle-precision␈αarith-
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε"metic,␈α
and␈αto␈α
mak␈α␈e␈α
a␈αsubstan␈α␈tial␈α
reduction␈α
in␈αthe␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈αm␈α␈ultiple-precision
␈β∧R␈↓ ↓H␈ε"operations␈α⊃in␈α␈v␈α␈olv␈α␈ed.␈α W␈α⎇e␈α∩sa␈α␈v␈α␈e␈α⊃a␈α∩lot␈α⊃of␈α⊃time␈α∩by␈α⊃doing␈α∩a␈α⊃\virtual"␈α⊃calculation
␈β∧}␈↓ ↓H␈ε"instead␈αof␈αthe␈αactual␈αone.
␈β¬)␈↓ α␈ε"F␈α⎇or␈αexample,␈α
let␈αus␈αconsider␈αthe␈α
pair␈αof␈αeigh␈α␈t-digit␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈ε(␈αu␈ε"␈α
=␈α
27182818,
␈β¬T␈↓ ↓H␈ε(v␈↓ ↓e␈ε"=␈α
10000000,␈α
assuming␈α
that␈α
w␈α␈e␈α	are␈α
using␈α
a␈α
machine␈α
with␈α
only␈α
four-digit␈α	w␈α␈ords.
␈β¬y␈↓ α!␈ε90␈↓ β←␈ε90␈↓ ¬∨␈ε900␈↓ εe␈ε900␈↓ 	α␈ε90␈↓ 	0␈ε90␈↓ 
&␈ε900␈↓ 
\␈ε900
␈β¬␈␈↓ ↓H␈ε"Let␈↓ α␈ε(u␈↓ α9␈ε"=␈α∞2718,␈↓ βL␈ε(v␈↓ βw␈ε"=␈α∞1001,␈↓ ¬
␈ε(u␈↓ ¬?␈ε"=␈α∞2719,␈↓ εR␈ε(v␈↓ π¬␈ε"=␈α∞1000;␈α⊂then␈↓ λm␈ε(u␈↓ 	␈ε"/␈↓ 	≡␈ε(v␈↓ 	I␈ε"and␈↓ 
⊃␈ε(u␈↓ 
7␈ε"/␈↓ 
I␈ε(v␈↓ 
|␈ε"are
␈βε*␈↓ ↓H␈ε"appro␈α␈ximations␈αto␈ε(␈αu␈ε"␈α␈/␈↓ ∧→␈ε(v␈↓ ∧,␈ε",␈αwith
␈βεq␈↓ ¬ ␈ε90␈↓ ¬O␈ε90␈↓ π↔␈ε900␈↓ πM␈ε900
␈βεy␈↓ ¬␈ε(u␈↓ ¬*␈ε"/␈↓ ¬<␈ε(v␈↓ ¬b␈ε"<␈ε(␈α
u␈ε"/␈↓ ε7␈ε(v␈↓ εT␈ε"<␈↓ πα␈ε(u␈↓ π(␈ε"/␈↓ π:␈ε(v␈↓ π←␈ε".␈↓ 
p␈ε"(27)
␈βπG␈↓ ↓H␈ε"The␈α∂ratio␈ε(␈α∞u␈ε"/␈↓ β∀␈ε(v␈↓ β6␈ε"determines␈α∂the␈α∂sequence␈α∂of␈α∂quotien␈α␈ts␈α∂obtained␈α∂in␈α∂Euclid's␈α∞algo-
␈βπr␈↓ ↓H␈ε"rithm.␈α⊂If␈αw␈α␈e␈αcarry␈αout␈αEuclid's␈αalgorithm␈αsim␈α␈ultaneously␈αon␈αthe␈αsingle-precision
␈βλ↔␈↓ αU␈ε90␈↓ β↓␈ε90␈↓ ∧␈ε900␈↓ ∧@␈ε900
␈βλ≡␈↓ ↓H␈ε"v␈α}alues␈α
(␈↓ α@␈ε(u␈↓ α↑␈ε",␈↓ αn␈ε(v␈↓ β␈ε")␈α
and␈α
(␈↓ βw␈ε(u␈↓ ∧≥␈ε",␈↓ ∧-␈ε(v␈↓ ∧R␈ε")␈α
un␈α␈til␈α
w␈α␈e␈α∞get␈α
a␈α
di{eren␈α␈t␈α
quotien␈α␈t,␈α∞it␈α
is␈α
n␈α↓ot␈α
di}cult␈α
to
␈βλI␈↓ ↓H␈ε"see␈α∂that␈α⊂the␈α⊂same␈α⊂sequence␈α∂of␈α⊂quotien␈α␈ts␈α⊂w␈α␈ould␈α⊂ha␈α␈v␈α␈e␈α∂appeared␈α⊂to␈α⊂this␈α⊂poin␈α␈t␈α∂if
␈βλt␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈e␈αhad␈αw␈α␈ork␈α␈ed␈αwith␈αthe␈α
m␈α␈ultiple-precision␈αn␈α␈um␈α␈bers␈α(␈ε(u␈ε",␈↓ λ4␈ε(v␈↓ λG␈ε").␈α⊂Th␈α␈us,␈αconsider␈αwhat
␈β	→␈↓ πL␈ε90␈↓ πy␈ε90␈↓ 	-␈ε900␈↓ 	b␈ε900
␈β	∨␈↓ ↓H␈ε"happens␈αwhen␈αEuclid's␈αalgorithm␈αis␈αapplied␈αto␈α(␈↓ π8␈ε(u␈↓ πV␈ε",␈↓ πf␈ε(v␈↓ λα␈ε")␈αand␈αto␈α(␈↓ 	_␈ε(u␈↓ 	?␈ε",␈↓ 	O␈ε(v␈↓ 	s␈ε"):
␈β	d␈↓ β∂␈ε90␈↓ ∧≡␈ε90␈↓ ¬≤␈ε90␈↓ πo␈ε900␈↓ λ}␈ε900␈↓ 	⎇␈ε900
␈β	j␈↓ α{␈ε(u␈↓ ∧␈ε(v␈↓ ¬	␈ε(q␈↓ π[␈ε(u␈↓ λk␈ε(v␈↓ 	j␈ε(q
␈β
 ␈↓ αf␈ε"2718␈↓ βv␈ε"1001␈↓ ¬_␈ε"2␈↓ πJ␈ε"2719␈↓ λZ␈ε"1000␈↓ 	|␈ε"2
␈β
K␈↓ αf␈ε"1001␈↓ ∧λ␈ε"716␈↓ ¬_␈ε"1␈↓ πJ␈ε"1000␈↓ λl␈ε"719␈↓ 	|␈ε"1
␈β
v␈↓ αx␈ε"716␈↓ ∧λ␈ε"285␈↓ ¬_␈ε"2␈↓ π\␈ε"719␈↓ λl␈ε"281␈↓ 	|␈ε"2
␈β!␈↓ αx␈ε"285␈↓ ∧λ␈ε"146␈↓ ¬_␈ε"1␈↓ π\␈ε"281␈↓ λl␈ε"157␈↓ 	|␈ε"1
␈βM␈↓ αx␈ε"146␈↓ ∧λ␈ε"139␈↓ ¬_␈ε"1␈↓ π\␈ε"157␈↓ λl␈ε"124␈↓ 	|␈ε"1
␈βx␈↓ αx␈ε"139␈↓ ∧,␈ε"7␈↓ ¬ε␈ε"19␈↓ π\␈ε"124␈↓ λ}␈ε"33␈↓ 	|␈ε"3
␈βF␈↓ ↓H␈ε"The␈α
|rst␈α
|v␈α␈e␈α
quotien␈α␈ts␈α	are␈α
the␈α
same␈α
in␈α
both␈α
cases,␈αso␈α
they␈α
m␈α␈ust␈α
be␈α
the␈α	true␈α
ones.
␈βk␈↓ ε␈ε90␈↓ εd␈ε900
␈βq␈↓ ↓H␈ε"But␈α
on␈α
the␈α
sixth␈α
step␈α∞w␈α␈e␈α
|nd␈α
that␈↓ ¬x␈ε(q␈↓ ε!␈ε6≤␈↓ εQ␈ε(q␈↓ εu␈ε",␈α∞so␈α
the␈α
single-precision␈α
calculations
␈β
≥␈↓ ↓H␈ε"are␈α
suspended.␈α∪W␈α⎇e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
gained␈α
the␈α
kn␈α↓o␈α␈wledge␈α
that␈αthe␈α
calculation␈α
w␈α␈ould␈α
ha␈α␈v␈α␈e
␈β
H␈↓ ↓H␈ε"proceeded␈αas␈αfollo␈α␈ws␈αif␈αw␈α␈e␈αhad␈αbeen␈αw␈α␈orking␈αwith␈αthe␈αoriginal␈αm␈α␈ultiple-precision
␈β
s␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈bers:
␈β∞"␈↓ ∧s␈ε(u␈↓ π∩␈ε(v␈↓ λN␈ε(q
␈β∞X␈↓ ∧k␈ε(u␈↓ π
␈ε(v␈↓ λO␈ε"2
␈β∞d␈↓ ¬␈ε%0␈↓ π≤␈ε%0
␈β∂β␈↓ ∧l␈ε(v␈↓ εT␈ε(u␈↓ πα␈ε6␈␈ε"␈αλ2␈↓ π@␈ε(v␈↓ λO␈ε"1
␈β∂∂␈↓ ∧}␈ε%0␈↓ εi␈ε%0␈↓ πR␈ε%0
␈β∂ ␈↓ 
p␈ε"(28)
␈β∂.␈↓ ∧7␈ε(u␈↓ ∧d␈ε6␈␈ε"␈αλ2␈↓ ¬"␈ε(v␈↓ εB␈ε6␈␈↓ εf␈ε(u␈↓ π∀␈ε"+␈αλ3␈↓ πR␈ε(v␈↓ λO␈ε"2
␈β∂;␈↓ ∧K␈ε%0␈↓ ¬4␈ε%0␈↓ ε{␈ε%0␈↓ πd␈ε%0
␈β∂Y␈↓ ∧%␈ε6␈␈↓ ∧I␈ε(u␈↓ ∧v␈ε"+␈αλ3␈↓ ¬4␈ε(v␈↓ εK␈ε"3␈↓ ε]␈ε(u␈↓ π␈ε6␈␈ε"␈αλ8␈↓ πI␈ε(v␈↓ λO␈ε"1
␈β∂f␈↓ ∧]␈ε%0␈↓ ¬F␈ε%0␈↓ εr␈ε%0␈↓ π[␈ε%0
␈β⊂¬␈↓ ∧.␈ε"3␈↓ ∧@␈ε(u␈↓ ∧m␈ε6␈␈ε"␈αλ8␈↓ ¬+␈ε(v␈↓ ε0␈ε6␈␈ε"4␈↓ εf␈ε(u␈↓ π∀␈ε"+␈αλ11␈↓ πd␈ε(v␈↓ λO␈ε"1
␈β⊂⊃␈↓ ∧T␈ε%0␈↓ ¬=␈ε%0␈↓ ε{␈ε%0␈↓ πv␈ε%0
␈β⊂0␈↓ ∧∪␈ε6␈␈ε"4␈↓ ∧I␈ε(u␈↓ ∧v␈ε"+␈αλ11␈↓ ¬F␈ε(v␈↓ εB␈ε"7␈↓ εT␈ε(u␈↓ πα␈ε6␈␈ε"␈αλ19␈↓ πR␈ε(v␈↓ λQ␈ε"?
␈β⊂<␈↓ ∧]␈ε%0␈↓ ¬X␈ε%0␈↓ εi␈ε%0␈↓ πd␈ε%0
␈β⊂k␈↓ ↓H␈ε"(The␈αλnext␈αλquotien␈α␈t␈αλlies␈αλsomewhere␈αλbet␈α␈w␈α␈een␈αλ3␈αλand␈αλ19.)␈α∂No␈αλmatter␈αλh␈α↓o␈α␈w␈αλman␈α␈y␈αλdigits
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε"are␈α	in␈ε(␈α	u␈ε"␈α	and␈↓ β	␈ε(v␈↓ β≤␈ε",␈α
the␈α	|rst␈α
|v␈α␈e␈α	steps␈α	of␈α
Euclid's␈α	algorithm␈α	w␈α␈ould␈α	be␈α
the␈α	same␈α	as␈α	(28),
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.2␈↓ 
v␈ε"329
␈β↓\␈↓ ε∃␈ε∞T␈α↓HE␈α
GRE␈α↓A␈α⎇T␈α↓EST␈α
COMMON␈α
DIV␈α↓IS␈α␈OR
␈βα"␈↓ ↓H␈ε"so␈α
long␈α
as␈α∞(27)␈α
h␈α↓olds.␈α∀W␈α⎇e␈α
can␈α
therefore␈α∞a␈α␈v␈α␈oid␈α
the␈α
m␈α␈ultiple-precision␈α
operations
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"of␈αthe␈α|rst␈α|v␈α␈e␈αsteps,␈αand␈αreplace␈αthem␈αall␈αby␈αa␈αm␈α␈ultiple-precision␈αcalculation␈αof
␈βαy␈↓ ↓H␈ε6␈␈ε"4␈↓ ↓}␈ε(u␈↓ α)␈ε"+␈α¬11␈↓ αv␈ε(v␈↓ β#␈ε"and␈α7␈↓ βz␈ε(u␈↓ ∧%␈ε6␈␈ε"␈αε19␈↓ ∧s␈ε(v␈↓ ¬∃␈ε".␈α⊂In␈αthis␈α
case␈αw␈α␈e␈αobtain␈ε(␈αu␈ε"␈α
=␈α
1268728,␈↓ 	l␈ε(v␈↓ 
λ␈ε"=␈α
279726;
␈ββ¬␈↓ α∩␈ε%0␈↓ βλ␈ε%0␈↓ ∧∂␈ε%0␈↓ ¬∧␈ε%0
␈ββ≡␈↓ λw␈ε90␈↓ 
*␈ε90
␈ββ$␈↓ ↓H␈ε"the␈αcalculation␈αcan␈αn␈α↓o␈α␈w␈α
proceed␈αin␈αa␈αsimilar␈αmanner␈α
with␈↓ λb␈ε(u␈↓ 	␈ε"=␈α
1268,␈↓ 
↔␈ε(v␈↓ 
>␈ε"=␈α
280,
␈ββI␈↓ ↓\␈ε900␈↓ β_␈ε900
␈ββO␈↓ ↓H␈ε(u␈↓ ↓x␈ε"=␈α1269,␈↓ β¬␈ε(v␈↓ β4␈ε"=␈α
279,␈α
etc.␈α⊂If␈α
w␈α␈e␈αhad␈αa␈αlarger␈αaccum␈α␈ulator,␈α
m␈α↓ore␈αsteps␈αcould␈αbe
␈ββz␈↓ ↓H␈ε"done␈α
by␈α∞single-precision␈α
calculations;␈α∞our␈α∞example␈α
sh␈α↓o␈α␈w␈α␈ed␈α∞that␈α
only␈α∞|v␈α␈e␈α
cy␈α␈cles
␈β∧%␈↓ ↓H␈ε"of␈α⊂Euclid's␈α⊂algorithm␈α⊂w␈α␈ere␈α⊂com␈α␈bined␈α⊂in␈α␈to␈α⊂one␈α⊂m␈α␈ultiple␈α⊂step,␈α⊂but␈α⊂with␈α⊂(sa␈α␈y)␈α⊂a
␈β∧Q␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈ord␈α
size␈α
of␈α10␈α
digits␈α
w␈α␈e␈αcould␈α
do␈α
about␈αt␈α␈w␈α␈elv␈α␈e␈α
cy␈α␈cles␈α
at␈αa␈α
time.␈α∪(Results␈α
pro␈α␈v␈α␈ed
␈β∧|␈↓ ↓H␈ε"in␈α
Section␈α
4.5.3␈α
imply␈α
that␈α
the␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
m␈α␈ultiple-precision␈α
cy␈α␈cles␈α
that␈α
can␈α
be
␈β¬'␈↓ ↓H␈ε"replaced␈α
at␈α
each␈α
iteration␈αis␈α
essen␈α␈tially␈α
proportional␈α
to␈αthe␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
digits␈α
used
␈β¬R␈↓ ↓H␈ε"in␈αthe␈αsingle-precision␈αcalculations.)
␈β¬⎇␈↓ α␈ε"Lehmer's␈αmeth␈α↓od␈αcan␈αbe␈αform␈α␈ulated␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈βε9␈↓ ↓H␈ε2Algorithm␈α∂L␈ε"␈α⊂(␈ε/Euclid's␈α∂algorithm␈α∂for␈α⊂large␈α∂n␈α␈um␈α␈bers␈↓ πz␈ε")␈ε2.␈ε"␈α∨Let␈ε(␈α⊂u␈ε",␈↓ 	~␈ε(v␈↓ 	<␈ε"be␈α∂n␈α↓onnegativ␈α␈e
␈βεd␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈tegers,␈α	with␈ε(␈α
u␈ε6␈α	∃␈↓ βp␈ε(v␈↓ ∧β␈ε",␈α
represen␈α␈ted␈α	in␈α
m␈α␈ultiple␈α	precision.␈α∂This␈α	algorithm␈α	computes
␈βπ⊂␈↓ ↓H␈ε"the␈α
greatest␈αcomm␈α↓on␈αdivisor␈αof␈ε(␈αu␈ε"␈α
and␈↓ ε≤␈ε(v␈↓ ε/␈ε",␈αmaking␈αuse␈αof␈αauxiliary␈α
single-precision
␈βπ;␈↓ ↓H␈ε(p␈ε"-digit␈α	v␈α}ariables␈↓ βI␈ε(u␈↓ βK␈ε"∂␈↓ β↑␈ε",␈↓ βr␈ε"∂␈↓ βr␈ε(v␈↓ ∧¬␈ε",␈ε(␈α
A␈ε",␈↓ ∧F␈ε(B␈↓ ∧b␈ε",␈↓ ∧v␈ε(C␈↓ ¬∩␈ε",␈ε(␈α
D␈ε",␈↓ ¬W␈ε(T␈↓ ¬q␈ε",␈↓ ε¬␈ε(q␈↓ ε_␈ε",␈α
and␈α	auxiliary␈α	m␈α␈ultiple-precision␈α	v␈α}ariables
␈βπf␈↓ ↓H␈ε(t␈ε"␈αand␈↓ α'␈ε(w␈↓ αB␈ε".
␈βλ→␈↓ ↓L␈ε2L1.␈↓ α	␈ε"[Initialize.]␈α%If␈↓ β␈␈ε(v␈↓ ∧%␈ε"is␈α∩small␈α∪en␈α↓ough␈α∪to␈α∪be␈α∩represen␈α␈ted␈α∪as␈α∪a␈α∩single-precision
␈βλE␈↓ α␈ε"v␈α}alue,␈α∂calculate␈↓ ∧∞␈ε"gcd␈↓ ∧D␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ ∧u␈ε(v␈↓ ¬λ␈ε")␈α∞by␈α∞Algorithm␈α∞A␈α∂and␈α∞terminate␈α∞the␈α∞computation.
␈βλp␈↓ α␈ε"Otherwise,␈αlet␈↓ βs␈ε(u␈↓ βt␈ε"∂␈↓ ∧∪␈ε"be␈αthe␈ε(␈αp␈ε"␈αleading␈αdigits␈αof␈ε(␈αu␈ε",␈αand␈αlet␈↓ λG␈ε(v␈↓ λH␈ε"∂␈↓ λf␈ε"be␈αthe␈αcorresponding
␈β	∃␈↓ 
H␈ε+k
␈β	≠␈↓ α␈ε"digits␈αof␈↓ β∃␈ε(v␈↓ β(␈ε";␈αin␈αother␈αw␈α␈ords,␈α
if␈αradix-␈ε(b␈ε"␈αn␈α↓otation␈αis␈α
being␈αused,␈↓ 	7␈ε(u␈↓ 	8␈ε"∂␈↓ 	V␈ε6␈ ␈α
b␈ε(u␈ε"␈α␈/␈↓ 
8␈ε(b␈↓ 
Z␈ε6c␈ε"␈α
and
␈β	@␈↓ β#␈ε+k
␈β	F␈↓ α␈ε"∂␈↓ α␈ε(v␈↓ α.␈ε6␈ ␈α∂b␈↓ αo␈ε(v␈↓ βα␈ε"/␈↓ β∀␈ε(b␈↓ β5␈ε6c␈ε",␈α⊂where␈↓ ∧H␈ε(k␈↓ ∧k␈ε"is␈α∂as␈α∂small␈α∂as␈α∂possible␈α∂consisten␈α␈t␈α∂with␈α∂the␈α∂condition
␈β	k␈↓ αh␈ε+p
␈β	q␈↓ α␈ε(u␈↓ α
␈ε"∂␈↓ α+␈ε"<␈↓ αY␈ε(b␈↓ αy␈ε".
␈β
≥␈↓ αP␈ε"Set␈ε(␈α⊂A␈ε6␈α∂␈ ␈ε"␈α⊂1,␈↓ ∧≠␈ε(B␈↓ ∧F␈ε6␈ ␈ε"␈α∂0,␈↓ ¬&␈ε(C␈↓ ¬Q␈ε6␈ ␈ε"␈α⊂0,␈ε(␈α⊂D␈ε6␈α⊂␈ ␈ε"␈α∂1.␈α (These␈α∂v␈α}ariables␈α∂represen␈α␈t␈α∂the
␈β
H␈↓ α␈ε"coe}cien␈α␈ts␈αin␈α(28),␈αwhere
␈β∪␈↓ ∧,␈ε(u␈ε"␈α
=␈ε(␈α
A␈↓ ¬∪␈ε(u␈↓ ¬@␈ε"+␈↓ ¬l␈ε(B␈↓ ελ␈ε(v␈↓ ε*␈ε",␈↓ πα␈ε(v␈↓ π∨␈ε"=␈↓ πM␈ε(C␈↓ πi␈ε(u␈↓ λ↔␈ε"+␈ε(␈αλD␈↓ λ`␈ε(v␈↓ 	α␈ε",␈↓ 
p␈ε"(29)
␈β∨␈↓ ¬(␈ε%0␈↓ ε→␈ε%0␈↓ π}␈ε%0␈↓ λr␈ε%0
␈β↑␈↓ α␈ε"in␈αthe␈αequiv␈α}alen␈α␈t␈α
actions␈αof␈αAlgorithm␈αA␈α
on␈αm␈α␈ultiple-precision␈αn␈α␈um␈α␈bers.␈α∂W␈α⎇e
␈β	␈↓ α␈ε"also␈αha␈α␈v␈α␈e
␈βL␈↓ α!␈ε90␈↓ ∧2␈ε90␈↓ εD␈ε900␈↓ λ[␈ε900
␈βT␈↓ α␈ε(u␈↓ α4␈ε"=␈↓ αb␈ε(u␈↓ αd␈ε"∂␈↓ α␈␈ε"+␈↓ β+␈ε(B␈↓ βG␈ε",␈↓ ∧∨␈ε(v␈↓ ∧E␈ε"=␈↓ ∧s␈ε(v␈↓ ∧t␈ε"∂␈↓ ¬∞␈ε"+␈ε(␈αλD␈ε",␈↓ ε/␈ε(u␈↓ ε`␈ε"=␈↓ π∞␈ε(u␈↓ π∂␈ε"∂␈↓ π*␈ε"+␈ε(␈αλA␈ε",␈↓ λH␈ε(v␈↓ λw␈ε"=␈↓ 	%␈ε"∂␈↓ 	%␈ε(v␈↓ 	@␈ε"+␈↓ 	l␈ε(C␈↓ 
p␈ε"(30)
␈β
∨␈↓ α␈ε"in␈αterms␈αof␈αthe␈αn␈α↓otation␈αin␈αthe␈αexample␈αw␈α␈ork␈α␈ed␈αabo␈α␈v␈α␈e.)
␈β
S␈↓ ↓L␈ε2L2.␈↓ α	␈ε"[T␈α⎇est␈αquotien␈α␈t.]␈α∪Set␈↓ ∧F␈ε(q␈↓ ∧c␈ε6␈ ␈α
b␈ε"(␈↓ ¬+␈ε(u␈↓ ¬,␈ε"∂␈↓ ¬D␈ε"+␈ε(␈α¬A␈ε")/(␈↓ ε1␈ε(v␈↓ ε2␈ε"∂␈↓ εI␈ε"+␈↓ εr␈ε(C␈↓ π∞␈ε")␈ε6c␈ε".␈α⊂If␈↓ πd␈ε(q␈↓ λ↓␈ε6≤␈α
b␈ε"(␈↓ λI␈ε(u␈↓ λK␈ε"∂␈↓ λc␈ε"+␈↓ 	␈ε(B␈↓ 	'␈ε")/(␈↓ 	Q␈ε(v␈↓ 	R␈ε"∂␈↓ 	i␈ε"+␈ε(␈α¬D␈ε")␈ε6c␈ε",␈αgo␈α
to
␈β
x␈↓ ¬[␈ε90␈↓ ε0␈ε900
␈β
}␈↓ α␈ε"step␈αL4.␈α~(This␈αstep␈α
tests␈αif␈↓ ¬G␈ε(q␈↓ ¬o␈ε6≤␈↓ ε≥␈ε(q␈↓ εB␈ε",␈αin␈α
the␈αn␈α↓otation␈αof␈α
the␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αexample.
␈β∞)␈↓ α␈ε"Note␈α	that␈α
single-precision␈α	o␈α␈v␈α␈er⎇o␈α␈w␈α
can␈α	occur␈α	in␈α
special␈α	circumstances␈α	during
␈β∞N␈↓ λ!␈ε+p
␈β∞T␈↓ α␈ε"the␈αcomputation␈α
in␈αthis␈α
step,␈αbut␈α
only␈αwhen␈↓ πE␈ε(u␈↓ πG␈ε"∂␈↓ πd␈ε"=␈↓ λ∩␈ε(b␈↓ λ7␈ε6␈␈ε"␈α¬1␈αand␈ε(␈α
A␈ε"␈α
=␈α
1␈αor␈α
when
␈β∞y␈↓ αf␈ε+p
␈β∂␈↓ α␈ε"∂␈↓ α␈ε(v␈↓ α)␈ε"=␈↓ αW␈ε(b␈↓ α␈␈ε6␈␈ε"␈αλ1␈αand␈ε(␈αD␈ε"␈α
=␈α
1;␈αthe␈αconditions
␈β∂=␈↓ ε≤␈ε+p␈↓ λu␈ε+p
␈β∂D␈↓ ∧(␈ε"0␈↓ ∧D␈ε6∀␈↓ ∧r␈ε(u␈↓ ∧t␈ε"∂␈↓ ¬∂␈ε"+␈ε(␈αλA␈ε6␈α
∀␈↓ ε
␈ε(b␈↓ ε-␈ε",␈↓ π↓␈ε"0␈↓ π≥␈ε6∀␈↓ πK␈ε"∂␈↓ πK␈ε(v␈↓ πf␈ε"+␈↓ λ∩␈ε(C␈↓ λ8␈ε"<␈↓ λf␈ε(b␈↓ 	ε␈ε",
␈β∂←␈↓ 
p␈ε"(31)
␈β∂s␈↓ ε≡␈ε+p␈↓ λv␈ε+p
␈β∂z␈↓ ∧(␈ε"0␈↓ ∧D␈ε6∀␈↓ ∧r␈ε(u␈↓ ∧t␈ε"∂␈↓ ¬∂␈ε"+␈↓ ¬;␈ε(B␈↓ ¬a␈ε"<␈↓ ε∂␈ε(b␈↓ ε/␈ε",␈↓ π↓␈ε"0␈↓ π≥␈ε6∀␈↓ πK␈ε"∂␈↓ πK␈ε(v␈↓ πf␈ε"+␈ε(␈αλD␈ε6␈α
∀␈↓ λg␈ε(b
␈β⊂@␈↓ α␈ε"will␈α⊃alw␈α␈a␈α␈ys␈α⊃h␈α↓old,␈α∪because␈α⊃of␈α⊃(30).␈α It␈α⊃is␈α⊃possible␈α⊃to␈α∩ha␈α␈v␈α␈e␈↓ 	6␈ε"∂␈↓ 	6␈ε(v␈↓ 	T␈ε"+␈↓ 
∧␈ε(C␈↓ 
3␈ε"=␈α∩0␈α⊃or
␈β⊂k␈↓ α␈ε"∂␈↓ α␈ε(v␈↓ α'␈ε"+␈ε(␈α	D␈ε"␈α=␈α
0,␈α
but␈αn␈α↓ot␈α
both␈αsim␈α␈ultaneously;␈α
therefore␈α
division␈αby␈αzero␈α
in␈αthis
␈β⊃⊗␈↓ α␈ε"step␈αis␈αtak␈α␈en␈αto␈αmean␈α\Go␈αdirectly␈αto␈αL4.")
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"330␈↓ 
b␈ε"4.5.2
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα"␈↓ ↓L␈ε2L3.␈↓ α	␈ε"[Em␈α␈ulate␈α⊃Euclid.]␈α"Set␈↓ ¬∧␈ε(T␈↓ ¬0␈ε6␈ ␈ε(␈α∩A␈ε6␈α␈␈↓ ε:␈ε(q␈↓ εM␈ε(C␈↓ εi␈ε",␈ε(␈α∪A␈ε6␈α∩␈ ␈↓ πh␈ε(C␈↓ λ∧␈ε",␈↓ λ ␈ε(C␈↓ λN␈ε6␈ ␈↓ 	∧␈ε(T␈↓ 	≡␈ε",␈↓ 	:␈ε(T␈↓ 	f␈ε6␈ ␈↓ 
≤␈ε(B␈↓ 
C␈ε6␈␈↓ 
r␈ε(q␈↓ ¬␈ε(D␈ε",
␈βαM␈↓ α␈ε(B␈↓ α6␈ε6␈ ␈ε(␈α∂D␈ε"␈α↓,␈ε(␈α∂D␈ε6␈α∂␈ ␈↓ β␈␈ε(T␈↓ ∧→␈ε",␈↓ ∧3␈ε(T␈↓ ∧[␈ε6␈ ␈↓ ¬∞␈ε(u␈↓ ¬⊂␈ε"∂␈↓ ¬-␈ε6␈␈↓ ¬[␈ε(q␈↓ ¬n␈ε(v␈↓ ¬o␈ε"∂␈↓ ε↓␈ε",␈↓ ε≠␈ε(u␈↓ ε≤␈ε"∂␈↓ ε>␈ε6␈ ␈↓ εq␈ε(v␈↓ εr␈ε"∂␈↓ π∧␈ε",␈↓ π≡␈ε"∂␈↓ π≡␈ε(v␈↓ π?␈ε6␈ ␈↓ πr␈ε(T␈↓ λ␈ε",␈α⊂and␈α∂go␈α∂back␈α∂to␈α∂step␈α∞L2.
␈βαZ␈↓ α␈ε↓␈
␈βαy␈↓ α~␈ε"These␈α
single-precision␈α
calculations␈α
are␈α
the␈α
equiv␈α}alen␈α␈t␈α
of␈α
m␈α␈ultiple-precision
␈ββ¬␈↓ λB␈ε↓↓
␈ββ$␈↓ α␈ε"operations,␈αas␈αin␈α(28),␈αunder␈αthe␈αcon␈α␈v␈α␈en␈α␈tions␈αof␈α(29).
␈ββ\␈↓ ↓L␈ε2L4.␈↓ α	␈ε"[Multiprecision␈α⊂step.]␈α!If␈↓ ¬ ␈ε(B␈↓ ¬M␈ε"=␈α⊂0,␈α∩set␈ε(␈α⊂t␈ε6␈α⊃␈ ␈ε(␈α⊃u␈↓ πY␈ε"mod␈↓ λ#␈ε(v␈↓ λ6␈ε",␈ε(␈α⊃u␈ε6␈α⊂␈ ␈↓ 	+␈ε(v␈↓ 	>␈ε",␈↓ 	Y␈ε(v␈↓ 	⎇␈ε6␈ ␈ε(␈α⊃t␈ε",␈α⊃using
␈β∧π␈↓ α␈ε"m␈α␈ultiple-precision␈α
division.␈α∪(This␈α
happens␈α
only␈α
if␈α
the␈α
single-precision␈α
opera-
␈β∧2␈↓ α␈ε"tions␈α⊂cann␈α↓ot␈α⊃sim␈α␈ulate␈α⊂an␈α␈y␈α⊂of␈α⊂the␈α⊃m␈α␈ultiple-precision␈α⊂ones.␈α≥It␈α⊂implies␈α⊂that
␈β∧]␈↓ α␈ε"Euclid's␈α∞algorithm␈α∞requires␈α∞a␈α∞v␈α␈ery␈α∞large␈α
quotien␈α␈t,␈α∂and␈α∞this␈α∞is␈α∞an␈α
extremely
␈β¬λ␈↓ α␈ε"rare␈α	occurrence.)␈α∞Otherwise,␈α	set␈ε(␈α	t␈ε6␈α
␈ ␈ε(␈α
Au␈ε",␈ε(␈α	t␈ε6␈α␈ ␈ε(␈α
t␈ε"␈α↓+␈↓ λ∧␈ε(B␈↓ λ ␈ε(v␈↓ λ2␈ε",␈↓ λF␈ε(w␈↓ λk␈ε6␈ ␈↓ 	→␈ε(C␈↓ 	5␈ε(u␈ε",␈↓ 	]␈ε(w␈↓ 
α␈ε6␈ ␈↓ 
0␈ε(w␈↓ 
M␈ε"+␈ε(␈α↓D␈↓ ⊂␈ε(v␈↓ "␈ε",
␈β¬4␈↓ α␈ε(u␈ε6␈α⊃␈ ␈ε(␈α⊃t␈ε",␈↓ β∂␈ε(v␈↓ β3␈ε6␈ ␈↓ βh␈ε(w␈↓ ∧∪␈ε"(using␈α⊂straigh␈α␈tforw␈α␈ard␈α⊂m␈α␈ultiple-precision␈α⊂operations).␈α≤Go
␈β¬←␈↓ α␈ε"back␈αto␈αstep␈αL1.
␈β¬h␈↓ ∧6␈∧¬h∧6≠∂
␈βε#␈↓ α␈ε"The␈α∂v␈α}alues␈α∂of␈ε(␈α⊂A␈ε",␈↓ ∧)␈ε(B␈↓ ∧D␈ε",␈↓ ∧↑␈ε(C␈↓ ∧z␈ε",␈ε(␈α⊂D␈ε"␈α⊂remain␈α∂as␈α∂single-precision␈α∂n␈α␈um␈α␈bers␈α∂through␈α↓out
␈βεN␈↓ ↓H␈ε"this␈αcalculation,␈αbecause␈αof␈α(31).
␈βεy␈↓ α␈ε"Algorithm␈α⊃L␈α⊂requires␈α⊃a␈α⊂somewhat␈α⊃m␈α↓ore␈α⊃complicated␈α⊂program␈α⊃than␈α⊂Algo-
␈βπ%␈↓ ↓H␈ε"rithm␈α⊃B␈↓ αI␈ε",␈α∩but␈α⊃with␈α⊃large␈α⊃n␈α␈um␈α␈bers␈α⊃it␈α⊃will␈α⊃be␈α⊃faster␈α⊃on␈α⊃man␈α␈y␈α⊃computers.␈α∨The
␈βπP␈↓ ↓H␈ε"binary␈α∪technique␈α∪of␈α∪Algorithm␈α∀B␈α∪can,␈α∃h␈α↓o␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α∃be␈α∪speeded␈α∀up␈α∪in␈α∪a␈α∪similar
␈βπ{␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈a␈α␈y␈α⊃(see␈α∩exercise␈α∩34),␈α∪to␈α∩the␈α⊃poin␈α␈t␈α∩where␈α∩it␈α⊃con␈α␈tin␈α␈ues␈α∩to␈α∩win.␈α!Algorithm␈α⊃L
␈βλ&␈↓ ↓H␈ε"has␈α∪the␈α∩adv␈α}an␈α␈tage␈α∪that␈α∪it␈α∪can␈α∪readily␈α∪be␈α∪extended,␈α∃as␈α∪in␈α∪Algorithm␈α∪X␈α∩(see
␈βλQ␈↓ ↓H␈ε"exercise␈α∂17);␈α⊃furtherm␈α↓ore,␈α⊂it␈α∂determines␈α∂the␈α∂sequence␈α⊂of␈α∂quotien␈α␈ts␈α∂obtained␈α∂in
␈βλ⎇␈↓ ↓H␈ε"Euclid's␈αalgorithm,␈αand␈αthis␈αyields␈αthe␈αregular␈αcon␈α␈tin␈α␈ued␈αfraction␈αexpansion␈αof␈αa
␈β	(␈↓ ↓H␈ε"real␈αn␈α␈um␈α␈ber␈α(see␈αexercise␈α4.5.3↑18).
␈β	l␈↓ ↓H␈ε2Analysis␈αof␈α
the␈αbinary␈α
algorithm.␈ε"␈α~Let␈α
us␈αconclude␈α
this␈α
section␈αby␈α
studying␈αthe
␈β
↔␈↓ ↓H␈ε"running␈αtime␈αof␈↓ βJ␈ε"Algorithm␈αB␈↓ ¬∞␈ε",␈αin␈αorder␈αto␈αjustify␈αthe␈αform␈α␈ulas␈αstated␈αearlier.
␈β
C␈↓ α␈ε"An␈α∞exact␈α∞determination␈α∂of␈α∞the␈α∞beha␈α␈vior␈α∞of␈α∞Algorithm␈α∂B␈α∞appears␈α∞to␈α∞be␈α∞ex-
␈β
n␈↓ ↓H␈ε"ceedingly␈α∞di}cult␈α∂to␈α∂deriv␈α␈e,␈α∂but␈α∂w␈α␈e␈α∞can␈α∂begin␈α∂to␈α∞study␈α∂it␈α∂by␈α∞means␈α∂of␈α∂an␈α∞ap-
␈β→␈↓ ↓H␈ε"pro␈α␈ximate␈α
m␈α↓odel␈α
of␈α
its␈α
beha␈α␈vior.␈α∀Suppose␈α
that␈ε(␈α
u␈ε"␈α
and␈↓ λ'␈ε(v␈↓ λG␈ε"are␈α
odd␈α
n␈α␈um␈α␈bers,␈α
with
␈βD␈↓ ↓H␈ε(u␈ε"␈α	>␈↓ α∀␈ε(v␈↓ α3␈ε"and
␈βq␈↓ ∧d␈ε6b␈↓ ∧r␈ε"lg␈↓ ¬∀␈ε(u␈ε6c␈ε"␈α
=␈ε(␈α
m␈ε",␈ε6␈↓ εgb␈↓ εu␈ε"lg␈↓ π↔␈ε(v␈↓ π*␈ε6c␈ε"␈α
=␈ε(␈α
n␈ε".␈↓ 
p␈ε"(32)
␈β_␈↓ ↓H␈ε↓␈␈↓ 	K␈ε↓↓
␈β6␈↓ ↓V␈ε"Th␈α␈us,␈ε(␈α
u␈ε"␈α
is␈α
an␈α	(␈ε(m␈ε"␈α∧+␈α∧1)-bit␈α
n␈α␈um␈α␈ber,␈α
and␈↓ ε/␈ε(v␈↓ εL␈ε"is␈α
an␈α
(␈ε(n␈ε"␈αβ+␈α∧1)-bit␈α
n␈α␈um␈α␈ber.␈↓ 	k␈ε"Algorithm␈α	B
␈β\␈↓ 
V␈ε90
␈βb␈↓ ↓H␈ε"forms␈ε(␈α
u␈ε6␈αε␈␈↓ αn␈ε(v␈↓ β␈ε"and␈αshi$s␈αthis␈αquan␈α␈tit␈α␈y␈α
righ␈α␈t␈αun␈α␈til␈αobtaining␈αan␈αodd␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈↓ 
A␈ε(u␈↓ 
j␈ε"that
␈β
π␈↓ 	P␈ε90
␈β

␈↓ ↓H␈ε"replaces␈ε(␈αu␈ε".␈α∩Under␈α
random␈αconditions,␈α
w␈α␈e␈α
w␈α␈ould␈αexpect␈α
to␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈↓ 	;␈ε(u␈↓ 	e␈ε"=␈α(␈ε(u␈ε6␈αλ␈␈↓ 
j␈ε(v␈↓ 
|␈ε")/2
␈β
2␈↓ ¬∃␈ε90␈↓ 
s␈ε90
␈β
8␈↓ ↓H␈ε"about␈α
one-half␈αof␈α
the␈α
time,␈↓ ¬␈ε(u␈↓ ¬*␈ε"=␈α(␈ε(u␈ε6␈αλ␈␈↓ ε0␈ε(v␈↓ εC␈ε")/4␈α
about␈α
one-fourth␈α
of␈αthe␈α
time,␈↓ 
←␈ε(u␈↓ λ␈ε"=
␈β
c␈↓ ↓H␈ε"(␈ε(u␈ε6␈απ␈␈↓ α≤␈ε(v␈↓ α/␈ε")/8␈αabout␈αone-eigh␈α␈th␈αof␈αthe␈αtime,␈αand␈αso␈αon.␈α⊂W␈α⎇e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈β∞3␈↓ ¬Y␈ε90
␈β∞;␈↓ ¬∃␈ε6b␈↓ ¬#␈ε"lg␈↓ ¬E␈ε(u␈↓ ¬c␈ε6c␈ε"␈α
=␈ε(␈α
m␈ε6␈αλ␈␈↓ ε⎇␈ε(k␈↓ π→␈ε6␈␈↓ πE␈ε(r␈↓ πU␈ε",␈↓ 
p␈ε"(33)
␈β∂∪␈↓ ↓H␈ε"where␈↓ α5␈ε(k␈↓ αZ␈ε"is␈α⊃the␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber␈α⊃of␈α⊃places␈α⊃that␈ε(␈α⊃u␈ε6␈α␈␈↓ π␈ε(v␈↓ π0␈ε"is␈α⊃shi$ed␈α⊃righ␈α␈t,␈α∩and␈α⊃where␈↓ 
s␈ε(r␈↓ ∀␈ε"is
␈β∂>␈↓ ↓H␈ε6b␈↓ ↓V␈ε"lg␈↓ ↓x␈ε(u␈ε6␈α␈c␈α
␈␈α	b␈↓ α←␈ε"lg␈↓ α{␈ε"(␈ε(u␈ε6␈α	␈␈↓ βS␈ε(v␈↓ βe␈ε")␈ε6c␈ε",␈α∂the␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α∞bits␈α∞lost␈α∞at␈α∞the␈α∞le$␈α∞during␈α∞the␈α∞subtraction
␈β∂i␈↓ ↓H␈ε"of␈↓ ↓s␈ε(v␈↓ α∩␈ε"from␈ε(␈α
u␈ε".␈α∪Note␈αthat␈↓ ∧B␈ε(r␈↓ ∧↑␈ε6∀␈ε"␈α1␈α
when␈ε(␈α
m␈ε6␈α∃␈ε(␈αn␈ε"␈α	+␈αλ2,␈α
and␈↓ λ!␈ε(r␈↓ λ=␈ε6∃␈ε"␈α1␈αwhen␈ε(␈α
m␈ε"␈α=␈ε(␈αn␈ε".␈α∩F␈α⎇or
␈β⊂∀␈↓ ↓H␈ε"simplicit␈α␈y,␈α
w␈α␈e␈α
will␈α	assume␈α
that␈↓ ¬.␈ε(r␈↓ ¬H␈ε"=␈α
0␈α
when␈ε(␈α
m␈ε6␈α
≤␈ε(␈α
n␈ε"␈α	and␈α
that␈↓ λu␈ε(r␈↓ 	∂␈ε"=␈α
1␈α
when␈ε(␈α
m␈ε"␈α
=␈ε(␈α
n␈ε"␈α␈,
␈β⊂9␈↓ εp␈ε90
␈β⊂?␈↓ ↓H␈ε"alth␈α↓ough␈αthis␈αlo␈α␈w␈α␈er␈αbound␈αtends␈αto␈αmak␈α␈e␈↓ ε\␈ε(u␈↓ πε␈ε"seem␈αlarger␈αthan␈αit␈αusually␈αis.
␈β⊂k␈↓ α␈ε"The␈α∞appro␈α␈ximate␈α∞m␈α↓odel␈α
w␈α␈e␈α∞shall␈α∞use␈α∞to␈α∞study␈α
Algorithm␈α∞B␈α∞is␈α∞based␈α
solely
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε"on␈α
the␈αv␈α}alues␈ε(␈α
m␈ε"␈α
=␈ε6␈α
b␈↓ ∧∧␈ε"lg␈↓ ∧&␈ε(u␈ε6c␈ε"␈α
and␈ε(␈αn␈ε"␈α	=␈ε6␈α
b␈↓ ¬s␈ε"lg␈↓ ε∃␈ε(v␈↓ ε(␈ε6c␈ε"␈αthrough␈α↓out␈α
the␈αcourse␈α
of␈αthe␈α
algorithm,
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.2␈↓ 
v␈ε"331
␈β↓\␈↓ ε∃␈ε∞T␈α↓HE␈α
GRE␈α↓A␈α⎇T␈α↓EST␈α
COMMON␈α
DIV␈α↓IS␈α␈OR
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓ot␈α	on␈α	the␈α
actual␈α	v␈α}alues␈α	of␈ε(␈α	u␈ε"␈α	and␈↓ ¬K␈ε(v␈↓ ¬↑␈ε".␈α∂Let␈α	us␈α	call␈α
this␈α	appro␈α␈ximation␈α	a␈↓ 	m␈ε/lattice-poin␈α␈t
␈βαO␈↓ ↓H␈ε/m␈α↓odel␈ε",␈αsince␈αw␈α␈e␈αwill␈αsa␈α␈y␈αthat␈αw␈α␈e␈αare␈α\at␈αthe␈αpoin␈α␈t␈α(␈ε(m␈ε"␈α␈,␈ε(␈αεn␈ε")"␈αwhen␈ε6␈αb␈↓ 	J␈ε"lg␈↓ 	l␈ε(u␈ε6c␈ε"␈α
=␈ε(␈α
m␈ε"␈αand
␈βαt␈↓ λz␈ε90
␈βαz␈↓ ↓H␈ε6b␈↓ ↓V␈ε"lg␈↓ ↓x␈ε(v␈↓ α␈ε6c␈ε"␈α=␈ε(␈αn␈ε".␈α∪F␈α⎇rom␈α
poin␈α␈t␈α
(␈ε(m␈ε",␈ε(␈αεn␈ε"␈α␈)␈α∞the␈α
algorithm␈α
tak␈α␈es␈α
us␈α
to␈α
(␈↓ λZ␈ε(m␈↓ 	β␈ε",␈ε(␈αεn␈ε")␈α
if␈ε(␈α
u␈ε"␈α>␈↓ 
5␈ε(v␈↓ 
H␈ε",␈α
or␈α
to
␈ββ ␈↓ α→␈ε90
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"(␈ε(m␈ε"␈α␈,␈↓ αβ␈ε(n␈↓ α#␈ε")␈α
if␈ε(␈α
u␈ε"␈α<␈↓ β0␈ε(v␈↓ βC␈ε",␈α∞or␈α
terminates␈α
if␈ε(␈α
u␈ε"␈α=␈↓ ε/␈ε(v␈↓ εB␈ε".␈α∀F␈α⎇or␈α
example,␈α∞the␈α
calculation␈α
starting
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε"with␈ε(␈αu␈ε"␈α=␈α20451␈α
and␈↓ ∧⊗␈ε(v␈↓ ∧4␈ε"=␈α6035␈α
begins␈α
at␈αthe␈α
poin␈α␈t␈α
(14,␈αε12),␈α
then␈αgoes␈α
to␈α(9,␈αε12),
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"(9,␈αε11),␈α∩(9,␈αε9),␈α∩(4,␈αε9),␈α∩(4,␈αε5),␈α∩(4,␈αε4),␈α∩and␈α⊃terminates.␈α∨In␈α⊃line␈α⊃with␈α⊃the␈α⊂commen␈α␈ts
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε"of␈α
the␈α∞preceding␈α
paragraph,␈α∞w␈α␈e␈α∞will␈α∞mak␈α␈e␈α
the␈α∞follo␈α␈wing␈α
assumptions␈α∞about␈α
the
␈β∧R␈↓ ↓H␈ε"probabilit␈α␈y␈αthat␈αw␈α␈e␈αreach␈αa␈αgiv␈α␈en␈αpoin␈α␈t␈αjust␈αa$er␈αpoin␈α␈t␈α(␈ε(m␈ε"␈α␈,␈ε(␈αεn␈ε"):
␈β¬/␈↓ βε␈ε"Case␈α1,␈ε(␈αm␈ε"␈α
>␈ε(␈α
n␈ε".␈↓ πx␈ε"Case␈α2,␈ε(␈αm␈ε"␈α
<␈ε(␈α
n␈ε".
␈β¬e␈↓ α%␈ε"Next␈αpoin␈α␈t␈↓ ∧-␈ε"Probabilit␈α␈y␈↓ π↔␈ε"Next␈αpoin␈α␈t␈↓ 	∨␈ε"Probabilit␈α␈y
␈βε⊗␈↓ ∧⎇␈ε%1␈↓ 	p␈ε%1
␈βε≠␈↓ α)␈ε"(␈ε(m␈ε6␈απ␈␈ε"␈αλ1,␈ε(␈αεn␈ε")␈↓ π≠␈ε"(␈ε(m␈ε",␈ε(␈αεn␈ε6␈απ␈␈ε"␈αλ1)
␈βε,␈↓ ∧⎇␈ε%2␈↓ 	p␈ε%2
␈βε/␈↓ ∧⎇␈∧ε/∧⎇α⊂␈↓ 	p␈∧ε/	pα⊂
␈βεE␈↓ ∧⎇␈ε%1␈↓ 	p␈ε%1
␈βεJ␈↓ α)␈ε"(␈ε(m␈ε6␈απ␈␈ε"␈αλ2,␈ε(␈αεn␈ε")␈↓ π≠␈ε"(␈ε(m␈ε",␈ε(␈αεn␈ε6␈απ␈␈ε"␈αλ2)
␈βεZ␈↓ ∧⎇␈ε%4␈↓ 	p␈ε%4
␈βε↑␈↓ ∧⎇␈∧ε↑∧⎇α⊂␈↓ 	p␈∧ε↑	pα⊂
␈βεu␈↓ αe␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧p␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πX␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	b␈ε6↓␈αε↓␈αε↓
␈βπ~␈↓ ∧x␈ε+m␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ 	n␈ε+n␈ε9␈␈ε%1
␈βπ≠␈↓ ∧Y␈ε%1␈↓ 	O␈ε%1
␈βπ ␈↓ αR␈ε"(1,␈ε(␈αεn␈ε")␈↓ ∧I␈ε"(␈↓ ∧l␈ε")␈↓ π@␈ε"(␈ε(m␈ε",␈αε1)␈↓ 	?␈ε"(␈↓ 	b␈ε")
␈βπ1␈↓ ∧Y␈ε%2␈↓ 	O␈ε%2
␈βπ4␈↓ ∧Y␈∧π4∧Yα⊂␈↓ 	O␈∧π4	Oα⊂
␈βπI␈↓ ∧x␈ε+m␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ 	n␈ε+n␈ε9␈␈ε%1
␈βπJ␈↓ ∧Y␈ε%1␈↓ 	O␈ε%1
␈βπO␈↓ αR␈ε"(0,␈ε(␈αεn␈ε")␈↓ ∧I␈ε"(␈↓ ∧l␈ε")␈↓ π@␈ε"(␈ε(m␈ε",␈αε0)␈↓ 	?␈ε"(␈↓ 	b␈ε")
␈βπ`␈↓ ∧Y␈ε%2␈↓ 	O␈ε%2
␈βπc␈↓ ∧Y␈∧πc∧Yα⊂␈↓ 	O␈∧πc	Oα⊂
␈βλ,␈↓ ¬~␈ε"Case␈α3,␈ε(␈αm␈ε"␈α
=␈ε(␈α
n␈ε"␈α
>␈α
0.
␈βλb␈↓ ∧∪␈ε"Next␈αpoin␈α␈t␈↓ λ
␈ε"Probabilit␈α␈y
␈β	∪␈↓ λD␈ε%1␈↓ λq␈ε%1
␈β	_␈↓ β:␈ε"(␈ε(m␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ2,␈ε(␈αεn␈ε"),␈α(␈ε(m␈ε"␈α␈,␈ε(␈αεn␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ2)␈↓ λW␈ε",
␈β	)␈↓ λD␈ε%4␈↓ λq␈ε%4
␈β	,␈↓ λD␈∧	,λDα⊂␈↓ λq␈∧	,λqα⊂
␈β	B␈↓ λD␈ε%1␈↓ λq␈ε%1
␈β	G␈↓ β:␈ε"(␈ε(m␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ3,␈ε(␈αεn␈ε"),␈α(␈ε(m␈ε"␈α␈,␈ε(␈αεn␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ3)␈↓ λW␈ε",
␈β	X␈↓ λD␈ε%8␈↓ λq␈ε%8
␈β	[␈↓ λD␈∧	[λDα⊂␈↓ λq␈∧	[λqα⊂
␈β	r␈↓ ∧T␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λM␈ε6↓␈αε↓␈αε↓
␈β
↔␈↓ λ;␈ε+m␈↓ 	≤␈ε+m
␈β
→␈↓ λ≠␈ε%1␈↓ λ⎇␈ε%1
␈β
≥␈↓ ∧	␈ε"(0,␈ε(␈αεn␈ε"),␈α(␈ε(m␈ε"␈α␈,␈αε0)␈↓ λ␈ε"(␈↓ λ/␈ε")␈↓ λW␈ε",␈α(␈↓ 	⊂␈ε")
␈β
.␈↓ λ≠␈ε%2␈↓ λ⎇␈ε%2
␈β
1␈↓ λ≠␈∧
1λ≠α⊂␈↓ λ⎇␈∧
1λ⎇α⊂
␈β
F␈↓ λg␈ε+m␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈β
G␈↓ λH␈ε%1
␈β
L␈↓ ∧≥␈ε"terminate␈↓ λ8␈ε"(␈↓ λ[␈ε")
␈β
]␈↓ λH␈ε%2
␈β
`␈↓ λH␈∧
`λHα⊂
␈β4␈↓ α␈ε"F␈α⎇or␈α∞example,␈α∂from␈α∞poin␈α␈ts␈α∞(5,␈αε3)␈α
the␈α∞lattice-poin␈α␈t␈α∞m␈α↓odel␈α∞w␈α␈ould␈α∞go␈α∞to␈α∞poin␈α␈ts
␈β[␈↓ 	e␈ε%1␈↓ 
_␈ε%1␈↓ 
L␈ε%1␈↓ λ␈ε%1
␈β←␈↓ ↓H␈ε"(4,␈αε3),␈α∩(3,␈αε3),␈α∪(2,␈αε3),␈α∩(1,␈αε3),␈α∪(0,␈αε3)␈α⊃with␈α∩the␈α⊃respectiv␈α␈e␈α⊃probabilities␈↓ 	x␈ε",␈↓ 
,␈ε",␈↓ 
←␈ε",␈↓ "␈ε",
␈βp␈↓ 	e␈ε%2␈↓ 
_␈ε%4␈↓ 
L␈ε%8␈↓ ␈ε%16
␈βs␈↓ 	e␈∧s	eα⊂␈↓ 
_␈∧s
_α⊂␈↓ 
L␈∧s
Lα⊂␈↓ ␈∧sα∨
␈βε␈↓ ↓S␈ε%1
␈β
␈↓ ↓n␈ε";␈α∩from␈α∂(4,␈αε4)␈α⊂it␈α⊂w␈α␈ould␈α⊂go␈α⊂to␈α∂(2,␈αε4),␈α⊃(1,␈αε4),␈α⊃(0,␈αε4),␈α⊃(4,␈αε2),␈α⊂(4,␈αε1),␈α⊃(4,␈αε0),␈α⊃or␈α∂w␈α␈ould
␈β≠␈↓ ↓L␈ε%16
␈β∨␈↓ ↓L␈∧∨↓Lα∨
␈β1␈↓ ε␈␈ε%1␈↓ π-␈ε%1␈↓ πb␈ε%1␈↓ λ_␈ε%1␈↓ λE␈ε%1␈↓ λz␈ε%1␈↓ 	0␈ε%1
␈β6␈↓ ↓H␈ε"terminate,␈αwith␈αthe␈α
respectiv␈α␈e␈αprobabilities␈↓ π∪␈ε",␈↓ π@␈ε",␈↓ π⎇␈ε",␈↓ λ+␈ε",␈↓ λX␈ε",␈↓ 	∃␈ε",␈↓ 	C␈ε".␈α⊃When␈ε(␈αm␈ε"␈αand
␈βF␈↓ ε␈␈ε%4␈↓ π-␈ε%8␈↓ π[␈ε%16␈↓ λ_␈ε%4␈↓ λE␈ε%8␈↓ λs␈ε%16␈↓ 	0␈ε%8
␈βJ␈↓ ε␈␈∧Jε␈α⊂␈↓ π-␈∧Jπ-α⊂␈↓ π[␈∧Jπ[α∨␈↓ λ_␈∧Jλ_α⊂␈↓ λE␈∧JλEα⊂␈↓ λs␈∧Jλsα∨␈↓ 	0␈∧J	0α⊂
␈βa␈↓ ↓H␈ε(n␈ε"␈αare␈αboth␈α0,␈αthe␈αform␈α␈ulas␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αdo␈αn␈α↓ot␈αapply;␈αthe␈αalgorithm␈αalw␈α␈a␈α␈ys␈αterminates
␈β
␈↓ ↓H␈ε"in␈αsuch␈αa␈αcase,␈αsince␈ε(␈αm␈ε"␈α	=␈ε(␈α
n␈ε"␈α
=␈α
0␈αimplies␈αthat␈ε(␈αu␈ε"␈α
=␈↓ πh␈ε(v␈↓ λ¬␈ε"=␈α
1.
␈β
=␈↓ α␈ε"The␈α∞detailed␈α∞calculations␈α∞of␈α
exercise␈α∞18␈α∞sh␈α↓o␈α␈w␈α∞that␈α∞this␈α∞lattice-poin␈α␈t␈α
m␈α↓odel
␈β
h␈↓ ↓H␈ε"is␈α∩somewhat␈α∩pessimistic.␈α#In␈α∩fact,␈α∀when␈ε(␈α∩m␈ε"␈α∀>␈α∃3␈α∩the␈α∩actual␈α∩probabilit␈α␈y␈α∩that
␈β∞∪␈↓ ↓H␈ε"Algorithm␈α
B␈αgoes␈αfrom␈α(␈ε(m␈ε"␈α␈,␈ε(␈αεm␈ε")␈αto␈αone␈α
of␈αthe␈αt␈α␈w␈α␈o␈α
poin␈α␈ts␈α(␈ε(m␈ε6␈α¬␈␈ε"␈αε2,␈ε(␈αεm␈ε")␈α
or␈α(␈ε(m␈ε",␈ε(␈αεm␈ε6␈α¬␈␈ε"␈α¬2)
␈β∞:␈↓ αt␈ε%1␈↓ π]␈ε%1
␈β∞>␈↓ ↓H␈ε"is␈α
equal␈α
to␈↓ βπ␈ε",␈α
alth␈α↓ough␈α
w␈α␈e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
assumed␈α
the␈α
v␈α}alue␈↓ πq␈ε";␈α
the␈α
algorithm␈α
actually␈α
goes
␈β∞O␈↓ αt␈ε%8␈↓ π]␈ε%2
␈β∞S␈↓ αt␈∧∞Sαtα⊂␈↓ π]␈∧∞Sπ]α⊂
␈β∞e␈↓ λ7␈ε%7␈↓ 	&␈ε%1
␈β∞j␈↓ ↓H␈ε"from␈αλ(␈ε(m␈ε",␈ε(␈αεm␈ε"␈α␈)␈α	to␈αλ(␈ε(m␈ε6␈␈ε"␈α↓3,␈ε(␈αεm␈ε")␈αλor␈α	(␈ε(m␈ε"␈α␈,␈ε(␈αεm␈ε6␈α↓␈␈ε"3)␈α	with␈αλprobabilit␈α␈y␈↓ λR␈ε",␈α	n␈α↓ot␈↓ 	9␈ε";␈α
and␈αλit␈αλactually
␈β∞z␈↓ λ/␈ε%32␈↓ 	&␈ε%4
␈β∞}␈↓ λ/␈∧∞}λ/α∨␈↓ 	&␈∧∞}	&α⊂
␈β∂⊂␈↓ πW␈ε%1␈↓ λG␈ε%1
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε"goes␈αfrom␈α
(␈ε(m␈ε"␈αλ+␈αλ1,␈ε(␈αεm␈ε")␈αto␈α
(␈ε(m␈ε",␈ε(␈αεm␈ε")␈αwith␈α
probabilit␈α␈y␈↓ πj␈ε",␈α
n␈α↓ot␈↓ λZ␈ε".␈α⊃The␈α
probabilities␈αin
␈β∂&␈↓ πW␈ε%8␈↓ λG␈ε%2
␈β∂)␈↓ πW␈∧∂)πWα⊂␈↓ λG␈∧∂)λGα⊂
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"the␈α
m␈α↓odel␈αare␈α
nearly␈α
correct␈α
when␈ε6␈α
j␈ε(m␈ε6␈αλ␈␈ε(␈α	n␈ε6␈α␈j␈ε"␈α
is␈α
large,␈α
but␈α
when␈ε6␈α
j␈ε(m␈ε6␈αλ␈␈ε(␈α	n␈ε6j␈ε"␈α
is␈αsmall
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"the␈αm␈α↓odel␈αpredicts␈αslo␈α␈w␈α␈er␈αcon␈α␈v␈α␈ergence␈αthan␈αis␈αactually␈αobtained.␈α∂In␈αspite␈αof␈αthe
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"fact␈αthat␈α
our␈α
m␈α↓odel␈α
is␈αn␈α↓ot␈α
a␈α
completely␈α
faithful␈αrepresen␈α␈tation␈α
of␈α
Algorithm␈αB␈↓ "␈ε",
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"it␈α
has␈α
one␈α∞great␈α
virtue:␈α∂It␈α
can␈α∞be␈α
completely␈α∞analyzed!␈α∀F␈α⎇urtherm␈α↓ore,␈α
empirical
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"experimen␈α␈ts␈αwith␈α
Algorithm␈αB␈αsh␈α↓o␈α␈w␈α
that␈αthe␈α
beha␈α␈vior␈αpredicted␈α
by␈αthe␈αlattice-
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"poin␈α␈t␈αm␈α↓odel␈αis␈αanalogous␈αto␈αthe␈αtrue␈αbeha␈α␈vior.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"332␈↓ 
b␈ε"4.5.2
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ α␈ε"An␈α⊃analysis␈α⊃of␈α⊂the␈α⊃lattice-poin␈α␈t␈α⊃m␈α↓odel␈α⊃can␈α⊃be␈α⊂carried␈α⊃out␈α⊃by␈α⊃solving␈α⊂the
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"follo␈α␈wing␈αrather␈αcomplicated␈αset␈αof␈αdouble␈αrecurrence␈αrelations:
␈ββ#␈↓ β%␈ε"1␈↓ ελ␈ε"1␈↓ πf␈ε(b
␈ββ;␈↓ ↓R␈ε(A␈↓ α,␈ε"=␈ε(␈α
a␈ε"␈αλ+␈↓ β;␈ε(A␈↓ ∧V␈ε"+␈↓ ¬α␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬4␈ε"+␈↓ εC␈ε(A␈↓ π⊂␈ε"+␈↓ λ∨␈ε",␈↓ λe␈ε"if␈ε(␈αm␈ε6␈α
∃␈ε"␈α
1;
␈ββG␈↓ ↓l␈ε+m␈α␈m␈↓ βU␈ε+m␈ε%(␈ε+m␈ε9␈␈ε%2)␈↓ ε]␈ε+m␈ε%␈α␈0
␈ββO␈↓ β%␈∧βOβ%α∩␈↓ ¬d␈∧βO¬dα[␈↓ π@␈∧βOπ@α[
␈ββQ␈↓ ¬v␈ε+m␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ πR␈ε+m␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈ββT␈↓ β%␈ε"2␈↓ ¬d␈ε"2␈↓ π@␈ε"2
␈ββ⎇␈↓ β"␈ε"1␈↓ ¬⎇␈ε"1␈↓ πQ␈ε"1
␈β∧∃␈↓ ↓Z␈ε(A␈↓ α,␈ε"=␈ε(␈α
c␈ε"␈α	+␈↓ β8␈ε(A␈↓ ∧J␈ε"+␈↓ ∧v␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬(␈ε"+␈↓ ε7␈ε(A␈↓ ε|␈ε"+␈↓ λ␈ε(A␈↓ λI␈ε",␈↓ λe␈ε"if␈ε(␈αm␈ε"␈α
>␈ε(␈α
n␈ε6␈α	∃␈ε"␈α
0;
␈β∧!␈↓ ↓t␈ε+m␈α␈n␈↓ βR␈ε%(␈ε+m␈ε9␈␈ε%␈α␈1)␈ε+␈α↓n␈↓ εQ␈ε%1␈ε+n␈↓ λ%␈ε%0␈ε+␈α↓n
␈β∧)␈↓ β"␈∧∧)β"α∩␈↓ ¬X␈∧∧)¬Xα[␈↓ π,␈∧∧)π,α[
␈β∧+␈↓ ¬j␈ε+m␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ π>␈ε+m␈ε9␈␈ε%1
␈β∧.␈↓ β"␈ε"2␈↓ ¬X␈ε"2␈↓ π,␈ε"2
␈β∧d␈↓ ↓Z␈ε(A␈↓ α,␈ε"=␈↓ αZ␈ε(A␈↓ β#␈ε",␈↓ λe␈ε"if␈ε(␈αn␈ε"␈α
>␈ε(␈α
m␈ε6␈α	∃␈ε"␈α
0.␈↓ 
p␈ε"(34)
␈β∧p␈↓ ↓t␈ε+m␈α␈n␈↓ αt␈ε+nm
␈β¬?␈↓ ↓H␈ε"The␈α∂problem␈α⊂is␈α⊂to␈α⊂solv␈α␈e␈α⊂for␈↓ ¬∃␈ε(A␈↓ ¬m␈ε"in␈α⊂terms␈α⊂of␈ε(␈α⊂m␈ε",␈ε(␈α⊂n␈ε",␈α⊃and␈α⊂the␈α⊂parameters␈ε(␈α∂a␈ε",␈ε(␈α⊃b␈ε",
␈β¬K␈↓ ¬/␈ε+m␈α␈n
␈β¬j␈↓ ↓H␈ε(c␈ε",␈α⊂and␈↓ α:␈ε(A␈↓ αt␈ε".␈α~This␈α∂is␈α∂an␈α∂in␈α␈teresting␈α∂set␈α⊂of␈↓ εf␈ε"recurrence␈α∂equations,␈α⊂which␈α∂ha␈α␈v␈α␈e␈α∂an
␈β¬v␈↓ αT␈ε%00
␈βε∃␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈teresting␈αsolution.
␈βεB␈↓ α␈ε"First␈αw␈α␈e␈αobserv␈α␈e␈αthat␈αif␈α0␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
n␈ε"␈α
<␈ε(␈α
m␈ε",
␈βε|␈↓ ∧z␈ε↓X
␈βπ⊗␈↓ ¬h␈ε9␈␈↓ ε¬␈ε+k␈↓ λ⊗␈ε9␈␈ε+m
␈βπ≡␈↓ αS␈ε(A␈↓ βg␈ε"=␈ε(␈α
c␈ε"␈α	+␈↓ ¬V␈ε"2␈↓ ε↔␈ε(A␈↓ πX␈ε"+␈↓ λ∧␈ε"2␈↓ λP␈ε(A
␈βπ+␈↓ αm␈ε%(␈ε+m␈ε%+␈α␈1␈α↓)␈ε+n␈↓ ε1␈ε%(␈ε+␈α↓m␈ε%␈α␈+1␈ε9␈␈↓ π!␈ε+k␈↓ π1␈ε%)␈ε+␈α↓n␈↓ λj␈ε%0␈ε+n
␈βπO␈↓ ∧Y␈ε%1␈ε9∀␈↓ ¬¬␈ε+k␈↓ ¬⊗␈ε9∀␈ε+␈α␈m
␈βπb␈↓ ε∞␈ε↓X
␈βπ⎇␈↓ ε|␈ε9␈␈↓ π→␈ε+k␈↓ π*␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ 	*␈ε9␈␈ε+m
␈βλ␈↓ ∧]␈ε%1
␈βλ∧␈↓ βg␈ε"=␈ε(␈α
c␈ε"␈α	+␈↓ ∧p␈ε(A␈↓ ¬A␈ε"+␈↓ εj␈ε"2␈↓ πX␈ε(A␈↓ λl␈ε"+␈↓ 	_␈ε"2␈↓ 	d␈ε(A
␈βλ⊃␈↓ ¬
␈ε+m␈α␈n␈↓ πr␈ε%(␈ε+␈α↓m␈ε9␈α␈␈␈↓ λ5␈ε+k␈↓ λE␈ε%)␈ε+␈α↓n␈↓ 	}␈ε%0␈ε+n
␈βλ∃␈↓ ∧]␈ε%2
␈βλ→␈↓ ∧]␈∧λ→∧]α⊂
␈βλ5␈↓ ¬m␈ε%1␈ε9∀␈↓ ε→␈ε+k␈↓ ε*␈ε%<␈ε+␈α␈m
␈βλ`␈↓ ∧]␈ε%1␈↓ ¬q␈ε%1
␈βλd␈↓ βg␈ε"=␈ε(␈α
c␈ε"␈α	+␈↓ ∧p␈ε(A␈↓ ¬A␈ε"+␈↓ ε∧␈ε"(␈↓ ε⊂␈ε(A␈↓ εa␈ε6␈␈ε(␈αλc␈ε")
␈βλp␈↓ ¬
␈ε+m␈α␈n␈↓ ε*␈ε+m␈α␈n
␈βλu␈↓ ∧]␈ε%2␈↓ ¬q␈ε%2
␈βλx␈↓ ∧]␈∧λx∧]α⊂␈↓ ¬q␈∧λx¬qα⊂
␈β	$␈↓ ∧→␈ε%1
␈β	(␈↓ βg␈ε"=␈↓ ∧,␈ε(c␈ε"␈α	+␈↓ ∧p␈ε(A␈↓ ¬9␈ε".
␈β	5␈↓ ¬
␈ε+m␈α␈n
␈β	9␈↓ ∧→␈ε%2
␈β	=␈↓ ∧→␈∧	=∧→α⊂
␈β	⎇␈↓ ∧␈ε%1
␈β
↓␈↓ ↓H␈ε"Hence␈↓ α3␈ε(A␈↓ βK␈ε"=␈↓ ∧∪␈ε(c␈↓ ∧"␈ε(k␈↓ ∧?␈ε"+␈↓ ∧l␈ε(A␈↓ ¬5␈ε",␈α∞by␈α∞induction␈α
on␈↓ πW␈ε(k␈↓ πk␈ε".␈α∀In␈α∞particular,␈α
since␈↓ 
B␈ε(A␈↓ λ␈ε"=
␈β
∞␈↓ αM␈ε%(␈ε+␈α↓m␈ε%␈α␈+␈↓ β⊂␈ε+k␈↓ β ␈ε%)␈ε+␈α↓n␈↓ ¬ε␈ε+mn␈↓ 
\␈ε%10
␈β
∩␈↓ ∧␈ε%2
␈β
⊗␈↓ ∧␈∧
⊗∧α⊂
␈β
-␈↓ ↓H␈ε(c␈ε"␈αλ+␈↓ α␈ε(A␈↓ αE␈ε",␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈β
9␈↓ α%␈ε%00
␈ββ␈↓ ¬∞␈ε%1
␈βλ␈↓ ∧␈ε(A␈↓ ∧\␈ε"=␈↓ ¬!␈ε(c␈ε"(␈ε(m␈ε"␈αλ+␈αλ1)␈αλ+␈↓ εb␈ε(A␈↓ π≤␈ε",␈ε(␈↓ πtm␈ε"␈α
>␈α
0.␈↓ 
p␈ε"(35)
␈β∀␈↓ ∧&␈ε+m␈ε%0␈↓ ε|␈ε%00
␈β_␈↓ ¬∞␈ε%2
␈β≤␈↓ ¬∞␈∧≤¬∞α⊂
␈βd␈↓ α␈ε"No␈α␈w␈αlet␈↓ β∪␈ε(A␈↓ βS␈ε"=␈↓ ∧↓␈ε(A␈↓ ∧R␈ε".␈α⊂If␈ε(␈αm␈ε"␈α
>␈α
0,␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈βp␈↓ β-␈ε+m␈↓ ∧≠␈ε+mm
␈β≡␈↓ ∧π␈ε↓X
␈β9␈↓ ¬␈ε9␈␈↓ ¬)␈ε+k␈↓ πB␈ε9␈␈ε+␈α␈m␈ε9␈␈ε%1
␈β@␈↓ ↓H␈ε(A␈↓ αd␈ε"=␈ε(␈α
c␈ε"␈αλ+␈↓ ∧y␈ε"2␈↓ ¬;␈ε(A␈↓ π∧␈ε"+␈↓ π0␈ε"2␈↓ λ(␈ε(A
␈βM␈↓ ↓b␈ε%(␈ε+m␈ε%+␈α␈1␈α↓)␈ε+m␈↓ ¬U␈ε%(␈ε+␈α↓m␈ε%␈α␈+1␈ε9␈␈↓ εE␈ε+k␈↓ εU␈ε%)␈ε+␈α↓m␈↓ λB␈ε%0␈ε+␈α↓m
␈βq␈↓ βO␈ε%1␈ε9␈α↓∀␈↓ β|␈ε+k␈↓ ∧
␈ε9∀␈ε+␈α␈m␈ε%+1
␈β
∧␈↓ ¬π␈ε↓X
␈β
λ␈↓ ¬[␈ε↓␈␈↓ 	,␈ε↓↓
␈β
∨␈↓ ¬{␈ε9␈␈↓ ε→␈ε+k␈↓ ε)␈ε9␈␈ε%1␈↓ 
␈ε9␈␈ε+m␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈β
"␈↓ βY␈ε%1
␈β
'␈↓ αd␈ε"=␈ε(␈α
c␈ε"␈αλ+␈↓ βm␈ε(A␈↓ ∧E␈ε"+␈↓ ¬i␈ε"2␈↓ εX␈ε"(␈↓ εd␈ε(A␈↓ λA␈ε6␈␈ε(␈αλc␈ε"/2)␈↓ 	B␈ε"+␈↓ 	n␈ε"2␈↓ 
g␈ε(A
␈β
3␈↓ ∧π␈ε+m␈α␈m␈↓ ε}␈ε%(␈ε+m␈ε9␈␈↓ π@␈ε+k␈↓ πQ␈ε%)(␈ε+␈α↓m␈ε%␈α␈+1)␈↓ ↓␈ε%0␈ε+m
␈β
7␈↓ βY␈ε%2
␈β
;␈↓ βY␈∧
;βYα⊂
␈β
W␈↓ ∧e␈ε%1␈ε9␈α↓∀␈↓ ¬∩␈ε+k␈↓ ¬#␈ε9∀␈ε+␈α␈m
␈β∞␈↓ π[␈ε9␈␈ε+m␈↓ 	n␈ε9␈␈ε+m
␈β∞α␈↓ βY␈ε%1␈↓ ∧[␈ε%1␈↓ λh␈ε%1
␈β∞ε␈↓ αd␈ε"=␈ε(␈α
c␈ε"␈αλ+␈↓ βm␈ε(A␈↓ ∧+␈ε"+␈↓ ∧n␈ε"(␈↓ ∧z␈ε(A␈↓ εV␈ε6␈␈ε(␈αλa␈ε6␈αλ␈␈↓ πI␈ε"2␈↓ λ∃␈ε(b␈ε")␈ε6␈αλ␈␈↓ λ{␈ε(c␈ε"(1␈ε6␈αλ␈␈↓ 	\␈ε"2␈↓ 
(␈ε")
␈β∞∪␈↓ ∧π␈ε+m␈↓ ¬∀␈ε%(␈ε+m␈ε%+1)(␈ε+␈α↓m␈ε%␈α␈+1)
␈β∞↔␈↓ βY␈ε%2␈↓ ∧[␈ε%2␈↓ λh␈ε%4
␈β∞~␈↓ βY␈∧∞~βYα⊂␈↓ ∧[␈∧∞~∧[α⊂␈↓ λh␈∧∞~λhα⊂
␈β∞%␈↓ λm␈ε↓␈␈↓ ∞␈ε↓↓
␈β∞=␈↓ λπ␈ε9␈␈ε+␈α␈m␈ε9␈␈ε%1
␈β∞?␈↓ λ␈␈ε%1
␈β∞C␈↓ πI␈ε"+␈↓ πu␈ε"2␈↓ 	∪␈ε(c␈ε"(␈ε(m␈ε"␈αλ+␈αλ1)␈αλ+␈↓ 
T␈ε(A
␈β∞P␈↓ 
n␈ε%00
␈β∞T␈↓ λ␈␈ε%2
␈β∞X␈↓ λ␈␈∧∞Xλ␈α⊂
␈β∂¬␈↓ π∧␈ε9␈␈ε+m␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ 
)␈ε9␈␈ε+m␈ε9␈α␈␈␈ε%2
␈β∂π␈↓ β⊗␈ε%1␈↓ ¬>␈ε%3␈↓ ε_␈ε%1
␈β∂␈↓ αd␈ε"=␈↓ β)␈ε"(␈↓ β5␈ε(A␈↓ βo␈ε"+␈↓ ∧↔␈ε(A␈↓ ∧z␈ε")␈αλ+␈↓ ¬Q␈ε(c␈ε6␈αλ␈␈↓ ε+␈ε(a␈ε"␈αλ+␈↓ εr␈ε"2␈↓ πk␈ε"(␈ε(c␈ε6␈αλ␈␈ε(␈αλb␈ε"␈αλ+␈↓ λ⎇␈ε(A␈↓ 	7␈ε")␈αλ+␈ε(␈αλm␈↓ 
↔␈ε"2␈↓ ⊂␈ε(c␈ε".
␈β∂_␈↓ βO␈ε+m␈↓ ∧1␈ε+m␈ε%␈α␈+1␈↓ 	↔␈ε%00
␈β∂≤␈↓ β⊗␈ε%2␈↓ ¬>␈ε%4␈↓ ε_␈ε%2
␈β∂ ␈↓ β⊗␈∧∂ β⊗α⊂␈↓ ¬>␈∧∂ ¬>α⊂␈↓ ε_␈∧∂ ε_α⊂
␈β∂4␈↓ 
p␈ε"(36)
␈β∂`␈↓ ↓H␈ε"Similar␈αmaneuv␈α␈ering,␈αas␈αsh␈α↓o␈α␈wn␈αin␈αexercise␈α19,␈αestablishes␈αthe␈αrelation
␈β⊂4␈↓ ¬{␈ε9␈␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ λ*␈ε9␈␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1
␈β⊂6␈↓ ββ␈ε%3␈↓ β|␈ε%1
␈β⊂;␈↓ ↓l␈ε(A␈↓ αQ␈ε"=␈↓ β⊗␈ε(A␈↓ βL␈ε"+␈↓ ∧∂␈ε(A␈↓ ∧r␈ε"+␈ε(␈αλ␈ε"␈αλ+␈↓ ¬i␈ε"2␈↓ εZ␈ε(␈␈↓ εx␈ε"+␈αλ(␈ε(n␈ε"␈αλ+␈αλ2)␈↓ λ_␈ε"2␈↓ 		␈ε(␈
␈↓ 	≡␈ε",␈ε(␈α*n␈ε6␈α	∃␈ε"␈α
2,␈↓ 
p␈ε"(37)
␈β⊂G␈↓ αε␈ε+n␈ε%␈α␈+1␈↓ β0␈ε+n␈↓ ∧)␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈β⊂K␈↓ ββ␈ε%4␈↓ β|␈ε%4
␈β⊂O␈↓ ββ␈∧⊂Oββα⊂␈↓ β|␈∧⊂Oβ|α⊂
␈β⊃⊃␈↓ ββ␈ε%1␈↓ βa␈ε%7␈↓ ε≥␈ε%3␈↓ πl␈ε%1
␈β⊃∃␈↓ ↓H␈ε"where␈ε(␈α␈ε"␈α
=␈↓ β⊗␈ε(a␈ε"␈αλ+␈↓ βt␈ε(c␈ε",␈↓ ∧→␈ε(␈␈↓ ∧:␈ε"=␈↓ ∧h␈ε(A␈↓ ¬*␈ε6␈␈ε(␈αλb␈ε6␈αλ␈␈↓ ε0␈ε(c␈ε"␈α↓,␈αand␈↓ π≤␈ε(␈
␈↓ π:␈ε"=␈↓ λ␈ε(c␈ε".
␈β⊃"␈↓ ¬α␈ε%00
␈β⊃&␈↓ ββ␈ε%4␈↓ βa␈ε%8␈↓ ε≥␈ε%2␈↓ πl␈ε%2
␈β⊃*␈↓ ββ␈∧⊃*ββα⊂␈↓ βa␈∧⊃*βaα⊂␈↓ ε≥␈∧⊃*ε≥α⊂␈↓ πl␈∧⊃*πlα⊂
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.2␈↓ 
v␈ε"333
␈β↓\␈↓ ε∃␈ε∞T␈α↓HE␈α
GRE␈α↓A␈α⎇T␈α↓EST␈α
COMMON␈α
DIV␈α↓IS␈α␈OR
␈βα"␈↓ α␈ε"Th␈α␈us␈αλthe␈αλdouble␈αλrecurrence␈αλ(34)␈αλcan␈αλbe␈αλtransformed␈αλin␈α␈to␈αλthe␈αλsingle␈αλrecurrence
␈βαG␈↓ 
?␈ε%2
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"relation␈αin␈α(37).␈α⊂Use␈αof␈αthe␈αgenerating␈αfunction␈ε(␈αG␈ε"(␈↓ π\␈ε(z␈↓ πo␈ε")␈α
=␈↓ λ3␈ε(A␈↓ λe␈ε"+␈↓ 	⊃␈ε(A␈↓ 	;␈ε(z␈↓ 	V␈ε"+␈↓ 
↓␈ε(A␈↓ 
,␈ε(z␈↓ 
W␈ε"+␈↓ α␈ε6↓␈αε↓␈αε↓
␈βαZ␈↓ λM␈ε%0␈↓ 	+␈ε%1␈↓ 
≠␈ε%2
␈βαy␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓o␈α␈w␈αtransforms␈α(37)␈αin␈α␈to␈αthe␈αequation
␈ββB␈↓ π↓␈ε(␈↓ λ≡␈ε(␈␈↓ 	a␈ε(␈
␈ββR␈↓ ε"␈ε%2
␈ββT␈↓ β"␈ε%2
␈ββU␈↓ α≡␈ε%3␈↓ α|␈ε%1
␈ββZ␈↓ ↓H␈ε"(1␈ε6␈αλ␈␈↓ α1␈ε(z␈↓ αL␈ε6␈␈↓ β∂␈ε(z␈↓ β2␈ε")␈↓ β>␈ε(G␈ε"␈α↓(␈↓ βg␈ε(z␈↓ βz␈ε")␈α
=␈↓ ∧>␈ε(a␈↓ ∧d␈ε"+␈↓ ¬␈ε(a␈↓ ¬/␈ε(z␈↓ ¬D␈ε"+␈↓ ¬k␈ε(a␈↓ ε∂␈ε(z␈↓ ε5␈ε"+␈↓ π@␈ε"+␈↓ λn␈ε"+␈↓ 
B␈ε",␈↓ 
p␈ε"(38)
␈ββf␈↓ ∧Q␈ε%0␈↓ ¬≡␈ε%1␈↓ ¬}␈ε%2
␈ββk␈↓ α≡␈ε%4␈↓ α|␈ε%4
␈ββn␈↓ α≡␈∧βnα≡α⊂␈↓ α|␈∧βnα|α⊂␈↓ ε`␈∧βnε`αY␈↓ πk␈∧βnπkα⎇␈↓ 	→␈∧βn	→α↓&
␈ββp␈↓ 
.␈ε%2
␈ββs␈↓ ε`␈ε"1␈ε6␈αλ␈␈↓ π&␈ε(z␈↓ πk␈ε"1␈ε6␈αλ␈␈↓ λ1␈ε(z␈↓ λC␈ε"/2␈↓ 	→␈ε"(1␈ε6␈αλ␈␈↓ 	k␈ε(z␈↓ 	}␈ε"/2␈↓ 
"␈ε")
␈β∧=␈↓ ↓H␈ε"where␈↓ α0␈ε(a␈↓ αT␈ε",␈↓ αj␈ε(a␈↓ β
␈ε",␈α
and␈↓ βj␈ε(a␈↓ ∧~␈ε"are␈αconstan␈α␈ts␈αthat␈αcan␈αbe␈αdetermined␈αby␈αthe␈αv␈α}alues␈α
of␈↓ 
x␈ε(A␈↓ "␈ε",
␈β∧I␈↓ αC␈ε%0␈↓ α⎇␈ε%1␈↓ β⎇␈ε%2␈↓ ∩␈ε%0
␈β∧b␈↓ ¬5␈ε%2
␈β∧c␈↓ ∧5␈ε%3␈↓ ¬∂␈ε%1␈↓ εP␈ε%1
␈β∧h␈↓ ↓H␈ε(A␈↓ ↓r␈ε",␈αand␈↓ αM␈ε(A␈↓ αx␈ε".␈α∂Since␈α1␈ε6␈αε␈␈↓ ∧H␈ε(z␈↓ ∧a␈ε"+␈↓ ¬"␈ε(z␈↓ ¬O␈ε"=␈α
(1␈απ+␈↓ εc␈ε(z␈↓ εv␈ε")(1␈ε6␈αε␈␈↓ πP␈ε(z␈↓ πc␈ε"),␈αw␈α␈e␈αcan␈αexpress␈ε(␈αG␈ε"␈α↓(␈↓ 
∨␈ε(z␈↓ 
1␈ε")␈αby␈αthe
␈β∧t␈↓ ↓b␈ε%1␈↓ αg␈ε%2
␈β∧y␈↓ ∧5␈ε%4␈↓ ¬∂␈ε%4␈↓ εP␈ε%4
␈β∧|␈↓ ∧5␈∧∧|∧5α⊂␈↓ ¬∂␈∧∧|¬∂α⊂␈↓ εP␈∧∧|εPα⊂
␈β¬∪␈↓ ↓H␈ε"meth␈α↓od␈αof␈αpartial␈αfractions␈αin␈αthe␈αform
␈β¬Z␈↓ ∧N␈ε(b␈↓ ¬w␈ε(b␈↓ π2␈ε(b␈↓ 	␈ε(b␈↓ 
8␈ε(b
␈β¬g␈↓ ∧]␈ε%2␈↓ επ␈ε%3␈↓ πB␈ε%4␈↓ 	∂␈ε%5␈↓ 
H␈ε%6
␈β¬r␈↓ ↓←␈ε(G␈ε"␈α↓(␈↓ αλ␈ε(z␈↓ α≠␈ε")␈α
=␈↓ α←␈ε(b␈↓ βπ␈ε"+␈↓ β3␈ε(b␈↓ βS␈ε(z␈↓ βm␈ε"+␈↓ ¬+␈ε"+␈↓ ε@␈ε"+␈↓ λ!␈ε"+␈↓ 	Z␈ε"+␈↓ ␈ε".
␈β¬␈␈↓ αn␈ε%0␈↓ βB␈ε%1
␈βεε␈↓ ∧≥␈∧εε∧≥α↓α␈↓ ¬[␈∧εε¬[αY␈↓ εp␈∧εεεpα↓&␈↓ λQ␈∧εελQα⎇␈↓ 

␈∧εε

α⎇
␈βε	␈↓ ¬∞␈ε%2␈↓ λ∧␈ε%2
␈βε␈↓ ∧≥␈ε"(1␈ε6␈αλ␈␈↓ ∧o␈ε(z␈↓ ¬α␈ε")␈↓ ¬[␈ε"1␈ε6␈αλ␈␈↓ ε!␈ε(z␈↓ εp␈ε"(1␈ε6␈αλ␈␈↓ πB␈ε(z␈↓ πT␈ε"/2␈↓ πx␈ε")␈↓ λQ␈ε"1␈ε6␈αλ␈␈↓ 	↔␈ε(z␈↓ 	*␈ε"/2␈↓ 

␈ε"1␈αλ+␈↓ 
P␈ε(z␈↓ 
c␈ε"/4
␈βεU␈↓ ↓H␈ε"T␈α⎇edious␈α	manipulations␈α
produce␈α	the␈α
v␈α}alues␈α
of␈α	these␈α
constan␈α␈ts␈↓ λy␈ε(b␈↓ 	~␈ε",␈↓ 	.␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	↑␈ε",␈↓ 	r␈ε(b␈↓ 
∩␈ε",␈α
and␈α	th␈α␈us
␈βεb␈↓ 		␈ε%0␈↓ 
↓␈ε%6
␈βπ␈↓ ↓H␈ε"the␈αcoe}cien␈α␈ts␈αof␈ε(␈αG␈ε"(␈↓ ∧
␈ε(z␈↓ ∧ ␈ε")␈αare␈αdetermined.␈α⊂W␈α⎇e␈α|nally␈αobtain␈αthe␈αsolution
␈βπH␈↓ β)␈ε%1␈↓ ∧∂␈ε%7␈↓ ¬	␈ε%16␈↓ ¬w␈ε%2␈↓ εQ␈ε%23␈↓ π;␈ε%3
␈βπL␈↓ α␈ε(A␈↓ αV␈ε"=␈ε(␈α
n␈ε"␈α␈(␈↓ β=␈ε(a␈ε"␈αλ+␈↓ ∧*␈ε(c␈ε")␈αλ+␈αλ(␈↓ ¬,␈ε(a␈ε"␈αλ+␈↓ ε
␈ε(b␈ε6␈αλ␈␈↓ εt␈ε(c␈ε"␈αλ+␈↓ πN␈ε(A␈↓ λλ␈ε")
␈βπY␈↓ α%␈ε+n␈α␈n␈↓ πh␈ε%00
␈βπ]␈↓ β)␈ε%5␈↓ ∧λ␈ε%10␈↓ ¬	␈ε%25␈↓ ¬w␈ε%5␈↓ εQ␈ε%50␈↓ π;␈ε%5
␈βπa␈↓ β)␈∧πaβ)α⊂␈↓ ∧λ␈∧πa∧λα∨␈↓ ¬	␈∧πa¬	α∨␈↓ ¬w␈∧πa¬wα⊂␈↓ εQ␈∧πaεQα∨␈↓ π;␈∧πaπ;α⊂
␈βπ|␈↓ βZ␈ε9␈␈ε+␈α␈n
␈βπ}␈↓ ∧?␈ε%1␈↓ ¬0␈ε%2␈↓ ε
␈ε%1␈↓ εe␈ε%2
␈βλα␈↓ β≤␈ε"+␈↓ βH␈ε"2␈↓ ∧␈ε"(␈ε6␈␈↓ ∧S␈ε(cn␈ε"␈αλ+␈↓ ¬C␈ε(b␈ε6␈αλ␈␈↓ ε≥␈ε(c␈ε6␈α	␈␈↓ εx␈ε(A␈↓ π2␈ε")
␈βλ∂␈↓ π∩␈ε%00
␈βλ∪␈↓ ∧?␈ε%3␈↓ ¬0␈ε%3␈↓ ε
␈ε%9␈↓ εe␈ε%3
␈βλ↔␈↓ ∧?␈∧λ↔∧?α⊂␈↓ ¬0␈∧λ↔¬0α⊂␈↓ ε
␈∧λ↔ε
α⊂␈↓ εe␈∧λ↔εeα⊂
␈βλ2␈↓ ∧≠␈ε+n
␈βλ4␈↓ β|␈ε%1␈↓ ∧c␈ε%16␈↓ ¬P␈ε%1␈α↓6␈↓ εB␈ε%16␈↓ π3␈ε%16␈↓ λS␈ε%1
␈βλ8␈↓ β≤␈ε"+␈αλ(␈ε6␈␈↓ ∧∂␈ε")␈↓ ∧/␈ε"(␈ε6␈␈↓ ¬¬␈ε(a␈ε6␈αλ␈␈↓ ¬s␈ε(b␈ε"␈αλ+␈↓ εl␈ε(c␈ε"␈αλ+␈↓ πU␈ε(A␈↓ λ∂␈ε")␈αλ+␈↓ λg␈ε(c␈↓ λv␈ε(∞␈↓ 	(␈ε";
␈βλE␈↓ πo␈ε%0␈α↓0␈↓ 	¬␈ε+n␈ε%␈α␈0
␈βλI␈↓ β|␈ε%4␈↓ ∧c␈ε%25␈↓ ¬P␈ε%1␈α↓5␈↓ ε:␈ε%22␈α↓5␈↓ π3␈ε%15␈↓ λS␈ε%2
␈βλM␈↓ β|␈∧λMβ|α⊂␈↓ ∧c␈∧λM∧cα∨␈↓ ¬P␈∧λM¬Pα∨␈↓ ε:␈∧λMε:α.␈↓ π3␈∧λMπ3α∨␈↓ λS␈∧λMλSα⊂
␈βλs␈↓ 	E␈ε9␈␈ε+n
␈βλu␈↓ βλ␈ε%1␈↓ ∧$␈ε%1␈↓ ¬α␈ε%1␈↓ ¬|␈ε%6␈↓ εb␈ε%2␈↓ πD␈ε%7␈↓ λ&␈ε%3␈↓ 
π␈ε%1
␈βλy␈↓ αβ␈ε(A␈↓ αV␈ε"=␈↓ β≠␈ε(mc␈ε"␈αλ+␈ε(␈αλn␈ε"(␈↓ ∧7␈ε(a␈ε"␈αλ+␈↓ ¬∃␈ε(c␈ε")␈αλ+␈αλ(␈↓ ε↔␈ε(a␈ε"␈αλ+␈↓ εu␈ε(b␈ε"␈αλ+␈↓ π←␈ε(c␈ε"␈αλ+␈↓ λ9␈ε(A␈↓ λs␈ε")␈αλ+␈↓ 	3␈ε"2␈↓ 	w␈ε"(␈↓ 
~␈ε(c␈ε")
␈β	ε␈↓ α≥␈ε+m␈α␈n␈↓ λS␈ε%00
␈β	
␈↓ βλ␈ε%2␈↓ ∧$␈ε%5␈↓ ¬α␈ε%5␈↓ ¬t␈ε%25␈↓ εb␈ε%5␈↓ π<␈ε%50␈↓ λ&␈ε%5␈↓ 
π␈ε%3
␈β	
␈↓ βλ␈∧	
βλα⊂␈↓ ∧$␈∧	
∧$α⊂␈↓ ¬α␈∧	
¬αα⊂␈↓ ¬t␈∧	
¬tα∨␈↓ εb␈∧	
εbα⊂␈↓ π<␈∧	
π<α∨␈↓ λ&␈∧	
λ&α⊂␈↓ 
π␈∧	
πα⊂
␈β	)␈↓ ∧≠␈ε+n
␈β	+␈↓ β|␈ε%1␈↓ ∧k␈ε%6␈↓ ¬P␈ε%2␈↓ ε3␈ε%2␈↓ π∃␈ε%2
␈β	/␈↓ β≤␈ε"+␈αλ(␈ε6␈␈↓ ∧∂␈ε")␈↓ ∧/␈ε"(␈ε6␈␈↓ ¬¬␈ε(a␈ε6␈αλ␈␈↓ ¬d␈ε(b␈ε"␈αλ+␈↓ εM␈ε(c␈ε"␈α	+␈↓ π(␈ε(A␈↓ πb␈ε"),␈ε(␈↓ λFm␈ε"␈α
>␈ε(␈α
n␈ε"␈α␈.␈↓ 
p␈ε"(39)
␈β	<␈↓ πB␈ε%00
␈β	@␈↓ β|␈ε%4␈↓ ∧c␈ε%25␈↓ ¬P␈ε%5␈↓ ε+␈ε%75␈↓ π∃␈ε%5
␈β	C␈↓ β|␈∧	Cβ|α⊂␈↓ ∧c␈∧	C∧cα∨␈↓ ¬P␈∧	C¬Pα⊂␈↓ ε+␈∧	Cε+α∨␈↓ π∃␈∧	Cπ∃α⊂
␈β	}␈↓ α␈ε"With␈α⊂these␈α∂elaborate␈α⊂calculations␈α∂done,␈α⊃w␈α␈e␈α∂can␈α⊂readily␈α∂determine␈α⊂the␈α∂be-
␈β
)␈↓ ↓H␈ε"ha␈α␈vior␈α
of␈α
the␈α
lattice-poin␈α␈t␈α
m␈α↓odel.␈α∪Assume␈α
that␈α
the␈α
inputs␈ε(␈α
u␈ε"␈α
and␈↓ 	T␈ε(v␈↓ 	t␈ε"to␈α
the␈α
algo-
␈β
T␈↓ ↓H␈ε"rithm␈αare␈α
odd,␈αand␈α
let␈ε(␈αm␈ε"␈α=␈ε6␈αb␈↓ ¬≤␈ε"lg␈↓ ¬>␈ε(u␈ε6c␈ε",␈ε(␈αn␈ε"␈α=␈ε6␈αb␈↓ εU␈ε"lg␈↓ εw␈ε(v␈↓ π
␈ε6c␈ε".␈α⊃The␈α
a␈α␈v␈α␈erage␈αn␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈αsubtrac-
␈β␈↓ ↓H␈ε"tion␈αcy␈α␈cles,␈αnamely␈αthe␈αquan␈α␈tit␈α␈y␈↓ ¬K␈ε(C␈↓ ¬s␈ε"in␈αthe␈αanalysis␈αof␈αProgram␈αB␈↓ 	8␈ε",␈αis␈αobtained␈αby
␈β+␈↓ ↓H␈ε"setting␈ε(␈α
a␈ε"␈α
=␈α
1,␈ε(␈αb␈ε"␈α=␈α
0,␈ε(␈αc␈ε"␈α
=␈α
1,␈↓ ¬␈ε(A␈↓ ¬O␈ε"=␈α
1␈αin␈α
the␈αrecurrence␈α(34).␈α∂By␈α(39)␈αw␈α␈e␈αsee␈α
that
␈β7␈↓ ¬%␈ε%00
␈βV␈↓ ↓H␈ε"(for␈ε(␈αm␈ε6␈α	∃␈ε(␈α
n␈ε")␈αthe␈αlattice␈αm␈α↓odel␈αpredicts
␈β ␈↓ ¬+␈ε%1␈↓ ε⊗␈ε%2␈↓ εv␈ε%4␈α↓9␈↓ πQ␈ε%1
␈β%␈↓ ∧R␈ε(C␈↓ ∧y␈ε"=␈↓ ¬>␈ε(m␈ε"␈αλ+␈↓ ε)␈ε(n␈ε"␈απ+␈↓ π!␈ε6␈␈↓ πd␈ε(∞␈↓ 
p␈ε"(40)
␈β1␈↓ πs␈ε+mn
␈β6␈↓ ¬+␈ε%2␈↓ ε⊗␈ε%5␈↓ εv␈ε%5␈α↓0␈↓ πQ␈ε%5
␈β9␈↓ ¬+␈∧9¬+α⊂␈↓ ε⊗␈∧9ε⊗α⊂␈↓ εv␈∧9εvα∨␈↓ πQ␈∧9πQα⊂
␈βt␈↓ ↓H␈ε"subtraction␈αcy␈α␈cles,␈αplus␈αterms␈αthat␈αrapidly␈αgo␈αto␈αzero␈αas␈ε(␈αn␈ε"␈αapproaches␈αin|nit␈α␈y.
␈β
∨␈↓ α␈ε"The␈αa␈α␈v␈α␈erage␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αtimes␈αthat␈↓ ε0␈ε"gcd␈↓ εf␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ π↔␈ε(v␈↓ π)␈ε")␈α
=␈α
1␈αis␈αobtained␈αby␈αsetting␈ε(␈αa␈ε"␈α
=
␈β
J␈↓ ↓H␈ε(b␈ε"␈α
=␈ε(␈α
c␈ε"␈α
=␈α
0,␈↓ α⎇␈ε(A␈↓ βA␈ε"=␈α
1;␈αthis␈αgiv␈α␈es␈α
the␈αprobabilit␈α␈y␈α
that␈ε(␈αu␈ε"␈α
and␈↓ λU␈ε(v␈↓ λr␈ε"are␈αrelativ␈α␈ely␈α
prime,
␈β
W␈↓ β↔␈ε%00
␈β
q␈↓ β<␈ε%3
␈β
u␈↓ ↓H␈ε"appro␈α␈ximately␈↓ βO␈ε".␈α∃Actually,␈α∂since␈ε(␈α∞u␈ε"␈α
and␈↓ εP␈ε(v␈↓ εq␈ε"are␈α∞assumed␈α
to␈α∞be␈α∞odd,␈α∂they␈α
sh␈α↓ould
␈β∞ε␈↓ β<␈ε%5
␈β∞
␈↓ β<␈∧∞
β<α⊂
␈β∞~␈↓ εL␈ε%2
␈β∞!␈↓ ↓H␈ε"be␈α∞relativ␈α␈ely␈α∂prime␈α∂with␈α∞probabilit␈α␈y␈α∂8/␈↓ ε6␈ε(→␈↓ εl␈ε"(see␈α∞exercise␈α∂13),␈α∂so␈α∂this␈α∂re⎇ects␈α∞the
␈β∞L␈↓ ↓H␈ε"degree␈αof␈αinaccuracy␈αof␈αthe␈αlattice-poin␈α␈t␈αm␈α↓odel.
␈β∞w␈↓ α␈ε"The␈α∞a␈α␈v␈α␈erage␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α
times␈α∞that␈α
a␈α∞path␈α
from␈α∞(␈ε(m␈ε",␈ε(␈αεn␈ε"␈α␈)␈α∞goes␈α
through␈α∞one␈α
of
␈β∂≤␈↓ ∧W␈ε90␈↓ ¬⊂␈ε90␈↓ εk␈ε90
␈β∂"␈↓ ↓H␈ε"the␈α∞\diagonal"␈α∞poin␈α␈ts␈α∞(␈↓ ∧7␈ε(m␈↓ ∧a␈ε",␈↓ ∧q␈ε(m␈↓ ¬~␈ε")␈α∞for␈α∂some␈↓ εK␈ε(m␈↓ πα␈ε6∃␈ε"␈α∞1␈α∞is␈α∞obtained␈α∞by␈α∂setting␈ε(␈α∞a␈ε"␈α∞=␈α
1,
␈β∂M␈↓ ↓H␈ε(b␈ε"␈α
=␈ε(␈α
c␈ε"␈α
=␈↓ αV␈ε(A␈↓ β~␈ε"=␈α
0␈αin␈α(34);␈αso␈αw␈α␈e␈α|nd␈αthat␈αthis␈αquan␈α␈tit␈α␈y␈αis␈αappro␈α␈ximately
␈β∂Z␈↓ αp␈ε%00
␈β⊂_␈↓ ∧∨␈ε%1␈↓ ¬λ␈ε%6␈↓ ¬Z␈ε%2
␈β⊂≤␈↓ ∧2␈ε(n␈ε"␈αλ+␈↓ ¬*␈ε"+␈↓ ¬n␈ε(∞␈↓ ε+␈ε",␈↓ πβ␈ε"when␈↓ πa␈ε(m␈ε6␈α
∃␈ε(␈α
n␈ε".
␈β⊂)␈↓ ¬⎇␈ε+m␈α␈n
␈β⊂-␈↓ ∧∨␈ε%5␈↓ ¬␈ε%25␈↓ ¬Z␈ε%5
␈β⊂0␈↓ ∧∨␈∧⊂0∧∨α⊂␈↓ ¬␈∧⊂0¬α∨␈↓ ¬Z␈∧⊂0¬Zα⊂
␈β⊂k␈↓ ↓H␈ε"No␈α␈w␈α∞w␈α␈e␈α∞can␈α∞determine␈α∞the␈α∞a␈α␈v␈α␈erage␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α∞shi$s,␈α∂i.e.,␈α∞the␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α∞times
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε"that␈α⊃step␈α⊂B3␈α⊃is␈α⊃performed.␈α"(This␈α⊃is␈α⊃the␈α⊃quan␈α␈tit␈α␈y␈ε(␈α⊃D␈ε"␈α⊃in␈α⊃Program␈α⊃B.)␈α"In␈α⊂an␈α␈y
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"334␈↓ 
b␈ε"4.5.2
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα→␈↓ ¬|␈ε=T␈α⎇able␈α
1
␈βαM␈↓ β@␈ε$NUMBE␈α↓R␈α⊂O␈α␈F␈α⊃SUBTRA␈α␈CT␈α↓ION␈α␈S␈α⊂IN␈α⊂ALGO␈α␈RIT␈α↓HM␈α⊂B
␈βαv␈↓ ∧↓␈ε)n␈↓ λ←␈ε)n
␈ββ*␈↓ απ␈∧β*απα∧
␈↓ εd␈∧β*εdα∧

␈ββ>␈↓ α≤␈ε#0␈↓ αx1␈↓ βU2␈↓ ∧13␈↓ ¬∞4␈↓ ¬j5␈↓ εy␈ε#0␈↓ πV1␈↓ λ22␈↓ 	∂3␈↓ 	k4␈↓ 
H5
␈ββk␈↓ ↓H␈ε#0␈↓ απ␈ε#1␈α␈.00␈α!2.00␈α!2␈α␈.50␈α!3.00␈α!3␈α␈.50␈α!4.00␈↓ εd␈ε#1␈α␈.␈α↓0␈α␈0␈α!2.00␈α!2␈α␈.␈α↓5␈α␈0␈α!3.00␈α!3␈α␈.␈α↓5␈α␈0␈α!4.00␈↓ ≤␈ε#0
␈β∧⊗␈↓ ↓H␈ε#1␈↓ απ␈ε#2␈α␈.00␈α!1.00␈α!2␈α␈.50␈α!3.00␈α!3␈α␈.50␈α!4.00␈↓ εd␈ε#2␈α␈.␈α↓0␈α␈0␈α!1.00␈α!3␈α␈.␈α↓0␈α␈0␈α!2.75␈α!3␈α␈.␈α↓6␈α␈3␈α!3.94␈↓ ≤␈ε#1
␈β∧B␈↓ ↓H␈ε#2␈↓ απ␈ε#2␈α␈.50␈α!2.50␈α!2␈α␈.25␈α!3.38␈α!3␈α␈.88␈α!4.38␈↓ εd␈ε#2␈α␈.␈α↓5␈α␈0␈α!3.00␈α!2␈α␈.␈α↓0␈α␈0␈α!3.50␈α!3␈α␈.␈α↓8␈α␈8␈α!4.25␈↓ ≤␈ε#2
␈β∧m␈↓ ↓H␈ε#3␈↓ απ␈ε#3␈α␈.00␈α!3.00␈α!3␈α␈.38␈α!3.25␈α!4␈α␈.22␈α!4.72␈↓ εd␈ε#3␈α␈.␈α↓0␈α␈0␈α!2.75␈α!3␈α␈.␈α↓5␈α␈0␈α!2.88␈α!4␈α␈.␈α↓1␈α␈3␈α!4.34␈↓ ≤␈ε#3
␈β¬_␈↓ ↓H␈ε#4␈↓ απ␈ε#3␈α␈.50␈α!3.50␈α!3␈α␈.88␈α!4.22␈α!4␈α␈.25␈α!5.10␈↓ εd␈ε#3␈α␈.␈α↓5␈α␈0␈α!3.63␈α!3␈α␈.␈α↓8␈α␈8␈α!4.13␈α!3␈α␈.␈α↓9␈α␈4␈α!4.80␈↓ ≤␈ε#4
␈β¬C␈↓ ↓H␈ε#5␈↓ απ␈ε#4␈α␈.00␈α!4.00␈α!4␈α␈.38␈α!4.72␈α!5␈α␈.10␈α!5.19␈↓ εd␈ε#4␈α␈.␈α↓0␈α␈0␈α!3.94␈α!4␈α␈.␈α↓2␈α␈5␈α!4.34␈α!4␈α␈.␈α↓8␈α␈0␈α!4.60␈↓ ≤␈ε#5
␈β¬w␈↓ ↓H␈ε)m␈↓ α⎇␈ε#Pred␈α␈i␈α↓c␈α␈ted␈αb␈α␈y␈αm␈α↓o␈α␈del␈↓ πK␈ε#Actua␈α␈l␈αa␈α}v␈α␈erag␈α␈e␈αv␈α}a␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈↓ ∂␈ε)m
␈βε/␈↓ απ␈∧ε/απα∧
␈↓ εd␈∧ε/εdα∧

␈βε|␈↓ ↓H␈ε"execution␈α
of␈αAlgorithm␈αB␈↓ ∧T␈ε",␈αwith␈ε(␈αu␈ε"␈α
and␈↓ ε≡␈ε(v␈↓ ε<␈ε"both␈α
odd,␈αthe␈αcorresponding␈αpath␈αin␈α
the
␈βπ'␈↓ ↓H␈ε"lattice␈αm␈α↓odel␈αm␈α␈ust␈αsatisfy␈αthe␈αrelation
␈βπn␈↓ ↓x␈ε"n␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αshi$s␈↓ ∧␈ε"+␈↓ ∧,␈ε"n␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αdiagonal␈αpoin␈α␈ts␈↓ πO␈ε"+␈αλ2␈ε6b␈↓ λ≠␈ε"lg␈↓ λ=␈ε"gcd␈↓ λs␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ 	$␈ε(v␈↓ 	7␈ε")␈ε6c␈ε"␈α
=␈ε(␈α
m␈ε"␈απ+␈ε(␈αλn␈ε",
␈βλ5␈↓ ↓H␈ε"since␈α
w␈α␈e␈α
are␈α
assuming␈α
that␈↓ ¬␈ε(r␈↓ ¬≡␈ε"in␈α
(33)␈α
is␈α
alw␈α␈a␈α␈ys␈α
either␈α∞0␈α
or␈α
1.␈α∪The␈α
a␈α␈v␈α␈erage␈α
v␈α}alue
␈βλ\␈↓ 
N␈ε%4
␈βλ`␈↓ ↓H␈ε"of␈ε6␈α⊃b␈↓ α¬␈ε"lg␈↓ α'␈ε"gcd␈↓ α]␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ β∞␈ε(v␈↓ β!␈ε")␈ε6c␈ε"␈α⊃predicted␈α∩by␈α⊃the␈α∩lattice-poin␈α␈t␈α⊃m␈α↓odel␈α∩is␈α⊃appro␈α␈ximately␈↓ 
r␈ε"(see
␈βλq␈↓ 
N␈ε%5
␈βλu␈↓ 
N␈∧λu
Nα⊂
␈β	␈↓ ↓H␈ε"exercise␈α20).␈α⊂Therefore␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e,␈αfor␈αthe␈αtotal␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αshi$s,
␈β	K␈↓ ε
␈ε%1␈↓ εr␈ε%6␈↓ πE␈ε%2␈↓ λZ␈ε%4
␈β	P␈↓ ∧π␈ε(D␈↓ ∧.␈ε"=␈ε(␈α
m␈ε"␈αλ+␈ε(␈αλn␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ(␈↓ ε≥␈ε(n␈ε"␈αλ+␈↓ π∃␈ε"+␈↓ πX␈ε(∞␈↓ λ⊗␈ε")␈ε6␈αλ␈
␈β	\␈↓ πg␈ε+mn
␈β	a␈↓ ε
␈ε%5␈↓ εk␈ε%25␈↓ πE␈ε%5␈↓ λZ␈ε%5
␈β	d␈↓ ε
␈∧	dε
α⊂␈↓ εk␈∧	dεkα∨␈↓ πE␈∧	dπEα⊂␈↓ λZ␈∧	dλZα⊂
␈β	r␈↓ 
p␈ε"(41)
␈β
⊂␈↓ ¬4␈ε%4␈↓ ε∃␈ε%46␈↓ εo␈ε%2
␈β
∀␈↓ ∧.␈ε"=␈ε(␈α
m␈ε"␈αλ+␈↓ ¬G␈ε(n␈ε6␈αλ␈␈↓ ε?␈ε6␈␈↓ πα␈ε(∞␈↓ π@␈ε",
␈β
!␈↓ π⊃␈ε+mn
␈β
%␈↓ ¬4␈ε%5␈↓ ε∃␈ε%25␈↓ εo␈ε%5
␈β
(␈↓ ¬4␈∧
(¬4α⊂␈↓ ε∃␈∧
(ε∃α∨␈↓ εo␈∧
(εoα⊂
␈β
W␈↓ ↓H␈ε"when␈ε(␈αm␈ε6␈α	∃␈ε(␈α
n␈ε",␈αplus␈αterms␈αthat␈αdecrease␈αrapidly␈αto␈αzero␈αfor␈αlarge␈ε(␈αn␈ε".
␈βα␈↓ α␈ε"T␈α⎇o␈α∞summarize␈α∂the␈α∞m␈α↓ost␈α∞importan␈α␈t␈α∂facts␈α∞w␈α␈e␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈α∂deriv␈α␈ed␈α∞from␈α∞the␈α∞lattice-
␈β-␈↓ ↓H␈ε"poin␈α␈t␈α	m␈α↓odel,␈α	w␈α␈e␈α	ha␈α␈v␈α␈e␈α	sh␈α↓o␈α␈wn␈α	that␈α	if␈ε(␈α	u␈ε"␈α	and␈↓ εL␈ε(v␈↓ εh␈ε"are␈α	odd␈α	and␈α	if␈ε6␈α	b␈↓ λT␈ε"lg␈↓ λv␈ε(u␈ε6␈α␈c␈ε"␈α
=␈ε(␈α
m␈ε",␈ε6␈α
b␈↓ 
∩␈ε"lg␈↓ 
4␈ε(v␈↓ 
G␈ε6c␈ε"␈α
=␈ε(␈α
n␈ε"␈α␈,
␈βX␈↓ ↓H␈ε"then␈αthe␈αquan␈α␈tities␈↓ β⎇␈ε(C␈↓ ∧&␈ε"and␈ε(␈αD␈ε"␈α
that␈αare␈αthe␈α
critical␈αfactors␈αin␈α
the␈αrunning␈αtime␈αof
␈β∧␈↓ ↓H␈ε"Program␈αB␈αwill␈αha␈α␈v␈α␈e␈αa␈α␈v␈α␈erage␈αv␈α}alues␈αgiv␈α␈en␈αby
␈βF␈↓ β#␈ε%1␈↓ ∧∞␈ε%2␈↓ π6␈ε%4
␈βK␈↓ αK␈ε(C␈↓ αq␈ε"=␈↓ β6␈ε(m␈ε"␈αλ+␈↓ ∧!␈ε(n␈ε"␈αλ+␈↓ ∧k␈ε(O␈↓ ¬π␈ε"(1),␈ε(␈↓ ε	D␈ε"␈α=␈ε(␈α
m␈ε"␈απ+␈↓ πJ␈ε(n␈ε"␈απ+␈↓ λ∪␈ε(O␈↓ λ0␈ε"(1),␈ε(␈↓ 	2m␈ε6␈α
∃␈ε(␈α
n␈ε"␈α␈.␈↓ 
p␈ε"(42)
␈β[␈↓ β#␈ε%2␈↓ ∧∞␈ε%5␈↓ π6␈ε%5
␈β←␈↓ β#␈∧←β#α⊂␈↓ ∧∞␈∧←∧∞α⊂␈↓ π6␈∧←π6α⊂
␈β
∩␈↓ ↓H␈ε"But␈αthe␈αm␈α↓odel␈αthat␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈αused␈αto␈αderiv␈α␈e␈α(42)␈αis␈αonly␈αa␈αpessimistic␈αappro␈α␈xima-
␈β
=␈↓ ↓H␈ε"tion␈αto␈α
the␈α
true␈α
beha␈α␈vior;␈α
T␈α⎇able␈α
1␈αcompares␈α
the␈α
true␈α
a␈α␈v␈α␈erage␈α
v␈α}alues␈αof␈↓ 
-␈ε(C␈↓ 
I␈ε",␈α
com-
␈β
h␈↓ ↓H␈ε"puted␈α∞by␈α∂actually␈α∂running␈α∂Algorithm␈α∞B␈α∂with␈α∂all␈α∂possible␈α∞inputs,␈α⊂to␈α∂the␈α∞v␈α}alues
␈β∞∪␈↓ ↓H␈ε"predicted␈α∞by␈α∞the␈α∂lattice-poin␈α␈t␈α∞m␈α↓odel,␈α∂for␈α∞small␈ε(␈α∞m␈ε"␈α∞and␈ε(␈α∂n␈ε".␈α⊗The␈α∂lattice␈α∞m␈α↓odel␈α∞is
␈β∞?␈↓ ↓H␈ε"completely␈αaccurate␈α
when␈ε(␈αm␈ε"␈α
or␈ε(␈αn␈ε"␈αis␈α
zero,␈α
but␈αit␈α
tends␈αto␈α
be␈αless␈α
accurate␈αwhen
␈β∞j␈↓ ↓H␈ε6j␈ε(m␈ε6␈α	␈␈ε(␈α
n␈ε6␈α␈j␈ε"␈α∂is␈α∞small␈α∂and␈↓ ∧&␈ε"min␈↓ ∧b␈ε"(␈ε(m␈ε",␈ε(␈αεn␈ε")␈α∞is␈α∞large.␈α_When␈ε(␈α∞m␈ε"␈α∞=␈ε(␈α∞n␈ε"␈α∞=␈α∞9,␈α∂the␈α∞lattice-poin␈α␈t
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε"m␈α↓odel␈αgiv␈α␈es␈↓ β␈ε(C␈↓ β1␈ε"=␈α
8.78,␈αcompared␈αto␈αthe␈αtrue␈αv␈α}alue␈↓ πl␈ε(C␈↓ λ∩␈ε"=␈α
7.58.
␈β∂@␈↓ α␈ε"Empirical␈αtests␈α
of␈αAlgorithm␈α
B␈αwith␈αsev␈α␈eral␈α
million␈αrandom␈α
inputs␈αand␈α
with
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"v␈α}arious␈α∂v␈α}alues␈α∂of␈ε(␈α⊂m␈ε",␈ε(␈αεn␈ε"␈α∂in␈α∂the␈α∂range␈α⊂29␈ε6␈α∂∀␈ε(␈α⊂m␈ε",␈ε(␈αεn␈ε6␈α∂∀␈ε"␈α⊂37␈α∂indicate␈α⊂that␈α∂the␈α∂actual
␈β⊂↔␈↓ ↓H␈ε"a␈α␈v␈α␈erage␈αbeha␈α␈vior␈αof␈αthe␈αalgorithm␈αis␈αgiv␈α␈en␈αby
␈β⊂S␈↓ πH␈ε+m␈ε9␈␈ε+␈α␈n
␈β⊂T␈↓ βo␈ε%1
␈β⊂Y␈↓ β↔␈ε(C␈↓ β=␈ε6→␈↓ ∧β␈ε(m␈ε"␈απ+␈αλ0.203␈ε(n␈ε"␈αλ+␈αλ1.9␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ0.4(0.6␈↓ π<␈ε")␈↓ λ∀␈ε",
␈β⊂j␈↓ βo␈ε%2
␈β⊂m␈↓ βo␈∧⊂mβoα⊂
␈β⊂t␈↓ λf␈ε(m␈ε6␈α
∃␈ε(␈α
n␈ε".␈↓ 
p␈ε"(43)
␈β⊃π␈↓ πH␈ε+m␈ε9␈␈ε+␈α␈n
␈β⊃∂␈↓ β⊗␈ε(D␈↓ β=␈ε6→␈ε(␈α"m␈ε"␈απ+␈αλ0.41␈ε(n␈ε6␈α~␈␈ε"␈αλ0.5␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ0.7(0.6␈↓ π<␈ε")␈↓ λ∀␈ε",
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.2␈↓ 
v␈ε"335
␈β↓\␈↓ ε∃␈ε∞T␈α↓HE␈α
GRE␈α↓A␈α⎇T␈α↓EST␈α
COMMON␈α
DIV␈α↓IS␈α␈OR
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"These␈αexperimen␈α␈ts␈αsh␈α↓o␈α␈w␈α␈ed␈αa␈αrather␈αsmall␈αstandard␈αdeviation␈αfrom␈αthe␈αobserv␈α␈ed
␈βαK␈↓ ¬T␈ε%1
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"a␈α␈v␈α␈erage␈α∞v␈α}alues.␈α_The␈α∞coe}cien␈α␈ts␈↓ ¬u␈ε"and␈α∂1␈α∂of␈ε(␈α∞m␈ε"␈α∞in␈α∂(42)␈α∞and␈α∂(43)␈α∞can␈α∂be␈α∞v␈α␈eri|ed
␈βα`␈↓ ¬T␈ε%2
␈βαc␈↓ ¬T␈∧αc¬Tα⊂
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"rigorously␈α
with␈α↓out␈α
using␈α
the␈αlattice-poin␈α␈t␈α
appro␈α␈ximation␈α
(see␈α
exercise␈α
21);␈αso␈α
the
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"error␈αin␈αthe␈αlattice-poin␈α␈t␈αm␈α↓odel␈αis␈αapparen␈α␈tly␈αin␈αthe␈αcoe}cien␈α␈t␈αof␈ε(␈αn␈ε",␈αwhich␈αis␈αto␈α↓o
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε"high.
␈ββ|␈↓ α␈ε"The␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αcalculations␈αha␈α␈v␈α␈e␈αbeen␈αmade␈αunder␈αthe␈αassumption␈αthat␈ε(␈αu␈ε"␈αand␈↓ ~␈ε(v
␈β∧!␈↓ ¬_␈ε+m␈↓ εm␈ε+m␈ε%+1␈↓ λ%␈ε+n␈↓ 	p␈ε+n␈ε%+␈α␈1
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε"are␈α⊃odd␈α⊃and␈α⊃in␈α⊃the␈α⊃ranges␈↓ ¬ε␈ε"2␈↓ ¬G␈ε6∀␈ε(␈α∪u␈ε"␈α∩<␈↓ ε[␈ε"2␈↓ πH␈ε"and␈↓ λ∪␈ε"2␈↓ λK␈ε6∀␈↓ 	α␈ε(v␈↓ 	'␈ε"<␈↓ 	↑␈ε"2␈↓ 
1␈ε".␈α∨If␈α⊃w␈α␈e
␈β∧R␈↓ ↓H␈ε"assume␈α
instead␈α
that␈ε(␈α
u␈ε"␈α
and␈↓ ∧k␈ε(v␈↓ ¬λ␈ε"are␈α
to␈α
be␈ε/␈α
an␈α␈y␈ε"␈α
in␈α␈tegers,␈α
independen␈α␈tly␈α
and␈α
uniformly
␈β∧}␈↓ ↓H␈ε"distributed␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈αranges
␈β¬E␈↓ ¬m␈ε+N␈↓ λ	␈ε+N
␈β¬M␈↓ ∧D␈ε"1␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
u␈ε"␈α
<␈↓ ¬[␈ε"2␈↓ ε
␈ε",␈↓ εb1␈ε6␈α
∀␈↓ π,␈ε(v␈↓ πI␈ε"<␈↓ πw␈ε"2␈↓ λ&␈ε",
␈βε≤␈↓ ↓H␈ε"then␈α	w␈α␈e␈α	can␈α
calculate␈α	the␈α
a␈α␈v␈α␈erage␈α	v␈α}alues␈α
of␈↓ εf␈ε(C␈↓ π␈ε"and␈ε(␈α	D␈ε"␈α
from␈α	the␈α
data␈α	already␈α	giv␈α␈en;
␈βεH␈↓ ↓H␈ε"in␈α∞fact,␈α⊂if␈↓ αn␈ε(C␈↓ βE␈ε"den␈α↓otes␈α∂the␈α∂a␈α␈v␈α␈erage␈α∞v␈α}alue␈α∂of␈↓ π≤␈ε(C␈↓ πG␈ε"under␈α∞our␈α∂earlier␈α∞assumptions,
␈βεT␈↓ βλ␈ε+mn
␈βεs␈↓ ↓H␈ε"exercise␈α22␈αsh␈α↓o␈α␈ws␈αthat␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈βπ≠␈↓ ε(␈ε↓X
␈βπ5␈↓ α\␈ε+N␈↓ βK␈ε%2␈↓ ∧S␈ε%2␈↓ λ∂␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈βπ=␈↓ α>␈ε"(␈↓ αJ␈ε"2␈↓ β↓␈ε6␈␈ε"␈αλ1␈↓ β?␈ε")␈↓ β\␈ε(C␈↓ ∧α␈ε"=␈↓ ∧0␈ε(N␈↓ ∧d␈ε(C␈↓ ¬&␈ε"+␈αλ2␈↓ ¬d␈ε(N␈↓ εx␈ε"(␈↓ π∧␈ε(N␈↓ π/␈ε6␈␈ε(␈αλn␈ε")␈↓ π⎇␈ε"2␈↓ λP␈ε(C
␈βπI␈↓ ∧}␈ε%00␈↓ λj␈ε+n␈ε%␈α␈0
␈βπm␈↓ ε¬␈ε%1␈ε9␈α↓∀␈ε+␈α␈n␈ε9∀␈↓ εb␈ε+N
␈βλ∧␈↓ ¬6␈ε↓X
␈βλ∨␈↓ λ9␈ε+m␈ε%␈α␈+␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈2
␈βλ'␈↓ ∧H␈ε"+␈αλ2␈↓ ε∪␈ε"(␈↓ ε∨␈ε(N␈↓ εJ␈ε6␈␈ε(␈αλm␈ε")(␈↓ π.␈ε(N␈↓ πY␈ε6␈␈ε(␈αλn␈ε")␈↓ λ'␈ε"2␈↓ 	2␈ε(C
␈βλ3␈↓ 	L␈ε+m␈α␈n
␈βλW␈↓ ∧v␈ε%1␈ε9␈α↓∀␈ε+␈α␈n␈ε%<␈ε+␈α␈m␈ε9∀␈↓ ε␈ε+N
␈βλn␈↓ ¬	␈ε↓X
␈β	λ␈↓ ε]␈ε%2␈↓ π␈ε%2␈ε+n␈ε9␈␈ε%2
␈β	⊂␈↓ ∧H␈ε"+␈↓ ¬Y␈ε"(␈↓ ¬e␈ε(N␈↓ ε⊂␈ε6␈␈ε(␈αλn␈↓ εQ␈ε")␈↓ εn␈ε"2␈↓ πP␈ε(C␈↓ λ⊃␈ε".␈↓ 
p␈ε"(44)
␈β	≥␈↓ πj␈ε+nn
␈β	A␈↓ ∧f␈ε%1␈ε9∀␈ε+␈α␈n␈ε9∀␈↓ ¬C␈ε+N
␈β
β␈↓ ↓H␈ε"The␈α	same␈α
form␈α␈ula␈α	h␈α↓olds␈α
for␈ε(␈α
D␈ε"␈α	in␈α
terms␈α
of␈↓ εS␈ε(D␈↓ π∨␈ε".␈α∂If␈α
the␈α
indicated␈α	sums␈α
are␈α	carried
␈β
∂␈↓ εp␈ε+mn
␈β
.␈↓ ↓H␈ε"out␈αusing␈αthe␈αappro␈α␈ximations␈αin␈α(43),␈αw␈α␈e␈αobtain
␈β
}␈↓ βW␈ε(C␈↓ β⎇␈ε6→␈ε"␈α
0.70␈↓ ∧k␈ε(N␈↓ ¬⊗␈ε"+␈↓ ¬B␈ε(O␈↓ ¬←␈ε"(1),␈ε(␈↓ εaD␈ε6␈α
→␈ε"␈α
1.41␈↓ πv␈ε(N␈↓ λ!␈ε"+␈↓ λM␈ε(O␈↓ λi␈ε"(1).
␈βM␈↓ ↓H␈ε"(See␈α	exercise␈α	23.)␈α∂This␈α
agrees␈α	perfectly␈α	with␈α
the␈α	results␈α	of␈α
further␈α	empirical␈α	tests,
␈βx␈↓ ↓H␈ε"made␈α
on␈α
sev␈α␈eral␈α∞million␈α
random␈α∞inputs␈α
for␈↓ ε{␈ε(N␈↓ π+␈ε6∀␈ε"␈α30;␈α∞the␈α
latter␈α∞tests␈α
sh␈α↓o␈α␈w␈α
that
␈β#␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈e␈αma␈α␈y␈αtak␈α␈e
␈βO␈↓ βt␈ε(C␈↓ ∧≠␈ε"=␈α
0.70␈↓ ¬	␈ε(N␈↓ ¬4␈ε6␈␈ε"␈αλ0.5,␈ε(␈↓ εfD␈ε"␈α
=␈α
1.41␈↓ π{␈ε(N␈↓ λ&␈ε6␈␈ε"␈αλ2.7␈↓ 
p␈ε"(45)
␈β
⊂␈↓ ↓H␈ε"as␈αgo␈α↓od␈αestimates␈αof␈αthe␈αv␈α}alues,␈αgiv␈α␈en␈αthis␈αdistribution␈αof␈αthe␈αinputs␈ε(␈αu␈ε"␈αand␈↓ 
j␈ε(v␈↓ 
⎇␈ε".
␈β
;␈↓ α␈ε"Richard␈↓ β≤␈ε"Bren␈α␈t␈α∪has␈α∩disco␈α␈v␈α␈ered␈α∩a␈α∩con␈α␈tin␈α␈uous␈α∩m␈α↓odel␈α∪that␈α∩accoun␈α␈ts␈α∩for␈α∩the
␈β
f␈↓ ↓H␈ε"leading␈α	terms␈α
in␈α
(45).␈α∂Let␈α
us␈α
assume␈α
that␈ε(␈α
u␈ε"␈α	and␈↓ π4␈ε(v␈↓ πQ␈ε"are␈α
large,␈α
and␈α
that␈α
the␈α	n␈α␈um␈α␈ber
␈β∞␈↓ 	T␈ε9␈␈ε+d
␈β∞⊃␈↓ ↓H␈ε"of␈α∂shi$s␈α∂per␈α∞iteration␈α∂has␈α∂the␈α∂v␈α}alue␈ε(␈α∂d␈ε"␈α∂with␈α∂probabilit␈α␈y␈α∂exactly␈↓ 	B␈ε"2␈↓ 
β␈ε".␈α→If␈α∂w␈α␈e␈α∞let
␈β∞7␈↓ 	$␈ε+d
␈β∞=␈↓ ↓H␈ε(X␈↓ ↓t␈ε"=␈ε(␈α
u␈ε"␈α␈/␈↓ αH␈ε(v␈↓ α[␈ε",␈α
the␈α	e{ect␈α	of␈αλsteps␈α	B3↑B5␈α	is␈α	to␈α	replace␈↓ π2␈ε(X␈↓ π]␈ε"by␈α	(␈↓ λ→␈ε(X␈↓ λ<␈ε6␈␈ε"␈αα1)/␈↓ 	∩␈ε"2␈↓ 	>␈ε"if␈↓ 	]␈ε(X␈↓ 
	␈ε">␈α
1,␈α
or␈αλby
␈β∞b␈↓ ↓Z␈ε+d␈↓ α+␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈β∞h␈↓ ↓H␈ε"2␈↓ ↓k␈ε"/(␈↓ α	␈ε(X␈↓ α]␈ε6␈␈ε"␈αβ1)␈α
if␈↓ βL␈ε(X␈↓ βx␈ε"<␈α
1.␈α∂The␈α
random␈α
v␈α}ariable␈↓ π∨␈ε(X␈↓ πK␈ε"has␈α
a␈α
limiting␈α
distribution␈α	that
␈β∂∪␈↓ ↓H␈ε"mak␈α␈es␈α
it␈α∞possible␈α∞to␈α∞analyze␈α∞the␈α∞a␈α␈v␈α␈erage␈α∞v␈α}alue␈α
of␈α∞the␈α∞ratio␈α∞by␈α∞which␈↓ 
→␈ε"ma␈↓ 
I␈ε"x␈↓ 
]␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ ∞␈ε(v␈↓  ␈ε")
␈β∂>␈↓ ↓H␈ε"decreases␈αλat␈α	each␈αλiteration;␈α
see␈αλexercise␈α	25.␈α∂Numerical␈αλcalculations␈αλsh␈α↓o␈α␈w␈α	that␈αλthis
␈β∂i␈↓ ↓H␈ε"maxim␈α␈um␈α∞decreases␈α∂by␈↓ ∧H␈ε(␈␈↓ ∧l␈ε"=␈α∂0.705971246102␈α∂bits␈α∞per␈α∂iteration;␈α⊂the␈α∞agreemen␈α␈t
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈ε"with␈α∞experimen␈α␈t␈α∂is␈α∂so␈α∂go␈α↓od␈α∞that␈α∂Bren␈α␈t's␈α∂constan␈α␈t␈↓ πl␈ε(␈␈↓ λ⊃␈ε"m␈α␈ust␈α∞be␈α∂the␈α∂true␈α∂v␈α}alue␈α∞of
␈β⊂@␈↓ ↓H␈ε"the␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α∞\0.70"␈α∞in␈α∞(45),␈α∞and␈α∞w␈α␈e␈α
sh␈α↓ould␈α∞replace␈α∞0.203␈α∞by␈α∞0.206␈α
in␈α∞(43).␈α≤[See
␈β⊂k␈↓ ↓H␈ε/Algorithms␈α∂and␈α⊂Complexit␈α␈y␈ε",␈α⊂ed.␈α⊂by␈α∂J.␈α⊂F.␈↓ εq␈ε"T␈α⎇raub␈α∂(New␈α⊂Y␈α⎇ork:␈α∪Academic␈α∂Press,
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε"1976),␈α321↑355.]
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"336␈↓ 
b␈ε"4.5.2
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ α␈ε"This␈α∞completes␈α∂our␈α∞analysis␈α∞of␈α∞the␈α∂a␈α␈v␈α␈erage␈α∞v␈α}alues␈α∞of␈↓ λ]␈ε(C␈↓ 	λ␈ε"and␈ε(␈α∞D␈ε".␈α↔The␈α∞other
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"three␈αquan␈α␈tities␈αappearing␈α
in␈αthe␈α
running␈αtime␈αof␈α
Algorithm␈αB␈α
are␈αrather␈αeasily
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"analyzed;␈αsee␈αexercises␈α6,␈α7,␈αand␈α8.
␈ββ&␈↓ α␈ε"Th␈α␈us␈α
w␈α␈e␈α
kn␈α↓o␈α␈w␈α
appro␈α␈ximately␈α
h␈α↓o␈α␈w␈αAlgorithm␈α
B␈α
beha␈α␈v␈α␈es␈α
on␈α
the␈α
a␈α␈v␈α␈erage.␈α∂Let
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε"us␈α∞n␈α↓o␈α␈w␈α∂consider␈α∂a␈α∂\w␈α␈orst␈α∞case"␈α∂analysis:␈α∩What␈α∞v␈α}alues␈α∂of␈ε(␈α∂u␈ε"␈α∂and␈↓ 	Q␈ε(v␈↓ 	s␈ε"are␈α∂in␈α∞some
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"sense␈αthe␈αhardest␈αto␈αhandle?␈α⊂If␈αw␈α␈e␈αassume␈αas␈αbefore␈αthat
␈β∧R␈↓ ∧+␈ε6b␈↓ ∧9␈ε"lg␈↓ ∧[␈ε(u␈ε6c␈ε"␈α
=␈ε(␈α
m␈↓ ε≡␈ε"and␈↓ π ␈ε6b␈↓ π.␈ε"lg␈↓ πP␈ε(v␈↓ πc␈ε6c␈ε"␈α
=␈ε(␈α
n␈ε",
␈β¬(␈↓ ↓H␈ε"let␈α∂us␈α∂try␈α∂to␈α⊂|nd␈α∂(␈ε(u␈ε",␈↓ ∧~␈ε(v␈↓ ∧,␈ε")␈α⊂that␈α∂mak␈α␈e␈α∂the␈α∂algorithm␈α⊂run␈α∂m␈α↓ost␈α∂slo␈α␈wly.␈α~In␈α∂view␈α∂of
␈β¬S␈↓ ↓H␈ε"the␈α∞fact␈α∞that␈α
the␈α∞subtractions␈α∞tak␈α␈e␈α∞somewhat␈α∞longer␈α∞than␈α∞the␈α∞shi$s,␈α∞when␈α∞the
␈β¬}␈↓ ↓H␈ε"auxiliary␈α
bo␈α↓okk␈α␈eeping␈α∞is␈α∞considered,␈α∞this␈α∞question␈α∞ma␈α␈y␈α∞be␈α∞rephrased␈α∞by␈α
asking
␈βε)␈↓ ↓H␈ε"for␈αthe␈αinputs␈ε(␈αu␈ε"␈αand␈↓ ∧∪␈ε(v␈↓ ∧2␈ε"that␈αrequire␈αm␈α↓ost␈αsubtractions.␈α⊂The␈αansw␈α␈er␈αis␈αsomewhat
␈βεU␈↓ ↓H␈ε"surprising;␈αthe␈αmaxim␈α␈um␈αv␈α}alue␈αof␈↓ ¬f␈ε(C␈↓ ε∞␈ε"is␈αexactly
␈βπ*␈↓ ¬A␈ε"ma␈↓ ¬q␈ε"x␈↓ ε¬␈ε"(␈ε(m␈ε",␈ε(␈αεn␈ε")␈αλ+␈αλ1,␈↓ 
p␈ε"(46)
␈βλ␈↓ ↓H␈ε"alth␈α↓ough␈α
the␈αlattice-poin␈α␈t␈α
m␈α↓odel␈α
w␈α␈ould␈α
predict␈α
that␈α
substan␈α␈tially␈α
higher␈αv␈α}alues
␈βλ+␈↓ ↓H␈ε"of␈↓ ↓q␈ε(C␈↓ α→␈ε"are␈αpossible␈α(see␈αexercise␈α26).␈α⊂The␈αderiv␈α}ation␈αof␈αthe␈αw␈α␈orst␈αcase␈α(46)␈αis␈αquite
␈βλW␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈teresting,␈αso␈αit␈αhas␈αbeen␈αle$␈αas␈αan␈αam␈α␈using␈αproblem␈αfor␈αthe␈αreader␈αto␈αw␈α␈ork␈αout
␈β	α␈↓ ↓H␈ε"by␈αhimself␈α(see␈αexercises␈α27␈αand␈α28).
␈β
β␈↓ ↓H␈ε=E␈α␈XERCISES
␈β
T␈↓ ↓g␈ε31.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈1␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Ho␈α␈w␈αcan␈α
(8),␈α(␈α↓9␈α␈),␈α(1␈α␈0),␈α(␈α↓1␈α␈1),␈αan␈α␈d␈α(12␈α␈)␈αb␈α␈e␈αde␈α␈ri␈α↓v␈α}ed␈αe␈α␈asil␈α↓y␈α
from␈α(6)␈αa␈α␈nd␈α
(␈α↓7␈α␈)?
␈βε␈↓ ↓g␈ε32.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈2␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Giv␈α␈en␈α
that␈ε)␈αu␈ε#␈αdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈↓ ¬2␈ε)v␈↓ ¬R␈ε)v␈↓ ¬w␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ ε#␈ε)v␈↓ εF␈ε#,␈αpro␈α}v␈α␈e␈αth␈α␈at␈ε)␈αu␈ε#␈αd␈α␈ivides
␈β∩␈↓ ¬C␈ε&1␈↓ ¬b␈ε&2␈↓ ε4␈ε,n
␈βU␈↓ ∧F␈ε#gcd␈↓ ∧x␈ε#(␈ε)u␈ε#␈α↓,␈↓ ¬&␈ε)v␈↓ ¬E␈ε#)␈↓ ¬V␈ε#gc␈α␈d␈↓ ελ␈ε#(␈ε)u␈ε#,␈↓ ε5␈ε)v␈↓ εU␈ε#)␈↓ εe␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ π↔␈ε#gcd␈↓ πI␈ε#(␈ε)u␈ε#␈α↓,␈↓ πw␈ε)v␈↓ λ→␈ε#).
␈β`␈↓ ¬6␈ε&1␈↓ εF␈ε&2␈↓ λπ␈ε,n
␈β.␈↓ ↓g␈ε33.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈3␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Sho␈α␈w␈α
tha␈α␈t␈α
the␈α
n␈α}um␈α}ber␈α
o␈α␈f␈αo␈α␈rdere␈α␈d␈α
p␈α␈airs␈α
of␈α
po␈α␈si␈α↓tiv␈α}e␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈α
(␈ε)u␈ε#␈α↓,␈↓ 	}␈ε)v␈↓ 
∂␈ε#)␈αs␈α␈uch␈α	tha␈α␈t
␈βP␈↓ εG␈ε&2
␈βV␈↓ ↓H␈ε#lcm␈↓ ↓{␈ε#(␈ε)␈α↓u␈ε#,␈↓ α)␈ε)v␈↓ α:␈ε#)␈α
=␈ε)␈α	n␈ε#␈αis␈αthe␈α
n␈α␈um␈α}ber␈αo␈α␈f␈αd␈α␈ivisors␈αo␈α␈f␈↓ ε3␈ε)n␈↓ εV␈ε#.
␈β
α␈↓ 
→␈ε:0
␈β
λ␈↓ ↓g␈ε34.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈1␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Giv␈α␈en␈αp␈α␈ositiv␈α␈e␈αin␈α␈teg␈α␈ers␈ε)␈α
u␈ε#␈αand␈↓ ε7␈ε)v␈↓ εH␈ε#,␈α
sh␈α↓o␈α}w␈α
th␈α␈at␈αthe␈α␈re␈α
a␈α␈re␈αdivisors␈↓ 
ε␈ε)u␈↓ 
/␈ε#o␈α␈f␈ε)␈α
u␈ε#␈α
a␈α␈nd
␈β
*␈↓ ↓Y␈ε:0␈↓ ∧∃␈ε:0␈↓ ∧?␈ε:0␈↓ ¬w␈ε:0␈↓ ε⊃␈ε:0
␈β
0␈↓ ↓H␈ε)v␈↓ ↓m␈ε#of␈↓ α∀␈ε)v␈↓ α1␈ε#su␈α␈ch␈αth␈α␈at␈↓ βE␈ε#gc␈α␈d␈↓ βw␈ε#(␈↓ ∧α␈ε)u␈↓ ∧≡␈ε#,␈↓ ∧-␈ε)v␈↓ ∧H␈ε#)␈α	=␈↓ ¬π␈ε#1␈α
and␈↓ ¬c␈ε)u␈↓ ¬␈␈ε)v␈↓ ε#␈ε#=␈↓ εN␈ε#lcm␈↓ πα␈ε#(␈ε)u␈ε#,␈↓ π/␈ε)v␈↓ πA␈ε#).
␈β
`␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β
b␈↓ ↓g␈ε35.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈6␈↓ α\␈ε#]␈α⊗In␈α␈v␈α␈e␈α␈n␈α␈t␈αλan␈αλa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈αλ(a␈α␈nalo␈α␈gou␈α␈s␈α	to␈αλAlg␈α␈orithm␈αλB)␈α	fo␈α␈r␈α	c␈α␈alcula␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈αλthe␈αλg␈α␈reates␈α␈t
␈β∞
␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈omm␈α↓o␈α␈n␈αdiv␈α␈i␈α↓so␈α␈r␈αof␈αt␈α␈w␈α␈o␈αin␈α␈t␈α␈egers␈αb␈α␈ased␈αo␈α␈n␈αthe␈α␈i␈α↓r␈↓ εw␈ε0b␈α␈alanc␈α␈ed␈αtern␈α␈ary␈ε#␈αre␈α␈prese␈α␈n␈α␈tatio␈α␈n.␈α⊂Dem␈α␈-
␈β∞1␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈nstra␈α␈te␈αy␈α␈o␈α␈ur␈αalgo␈α␈rithm␈αb␈α␈y␈αap␈α␈ply␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αit␈αto␈αth␈α␈e␈αcalcu␈α␈lation␈αo␈α␈f␈↓ λ6␈ε#gcd␈↓ λh␈ε#(409␈α␈02,␈αε2␈α␈41␈α␈40).
␈β∞d␈↓ ↓g␈ε36.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈2␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Giv␈α␈en␈αtha␈α␈t␈ε)␈α
u␈ε#␈α∞a␈α␈nd␈↓ ¬
␈ε)v␈↓ ¬)␈ε#are␈α
r␈α␈and␈α␈om␈αpositiv␈α␈e␈αi␈α↓n␈α}teger␈α␈s,␈↓ λa␈ε#|n␈α␈d␈α
th␈α␈e␈α
me␈α␈an␈α
a␈α␈nd␈αthe
␈β∂␈↓ ↓H␈ε#sta␈α␈nd␈α␈ard␈α
dev␈α␈iation␈α
of␈αth␈α␈e␈αqu␈α␈an␈α␈tit␈α␈y␈ε)␈α
A␈ε#␈αtha␈α␈t␈αen␈α␈te␈α␈rs␈αi␈α↓n␈α}to␈αth␈α␈e␈αtiming␈α
of␈αProg␈α␈ram␈αB.␈α→(Th␈α␈is
␈β∂3␈↓ ↓H␈ε#is␈αth␈α␈e␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αo␈α␈f␈αri␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈αsh␈α␈i␈α↓$s␈αa␈α␈pp␈α␈l␈α↓ied␈α
to␈αb␈α␈oth␈ε)␈αu␈ε#␈αan␈α␈d␈↓ π5␈ε)v␈↓ πR␈ε#d␈α␈urin␈α␈g␈αthe␈α
prep␈α␈ara␈α␈tory␈αp␈α␈ha␈α␈se.)
␈β∂e␈↓ ↓g␈ε37.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Ana␈α␈l␈α↓y␈α␈ze␈αth␈α␈e␈αqu␈α␈an␈α␈tit␈α␈y␈↓ ¬8␈ε)B␈↓ ¬\␈ε#tha␈α␈t␈αen␈α␈te␈α␈rs␈αi␈α↓n␈α}to␈αth␈α␈e␈αti␈α↓m␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αo␈α␈f␈αPro␈α␈gram␈αB.
␈β⊂⊗␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β⊂_␈↓ ↓g␈ε38.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈5␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Sho␈α␈w␈α
th␈α␈at␈α
in␈α
Pro␈α␈gram␈α	B␈↓ ¬↑␈ε#,␈α
th␈α␈e␈α
a␈α␈v␈α␈e␈α␈rage␈α	v␈α}alue␈α	of␈↓ λ~␈ε)E␈↓ λ>␈ε#is␈α
ap␈α␈pro␈α}ximat␈α␈el␈α↓y␈α	eq␈α␈ual␈α
to
␈β⊂=␈↓ ↓K␈ε&1
␈β⊂?␈↓ ↓]␈ε)C␈↓ α≥␈ε#,␈αwh␈α␈ere␈↓ β∩␈ε)C␈↓ β↑␈ε#is␈αth␈α␈e␈αa␈α␈v␈α␈e␈α␈rage␈αv␈α⎇alue␈αo␈α␈f␈↓ ε,␈ε)C␈↓ εG␈ε#.
␈β⊂K␈↓ ↓u␈ε&a␈α␈v␈α␈e␈↓ β*␈ε&a␈α␈v␈α␈e
␈β⊂P␈↓ ↓K␈ε&2
␈β⊂R␈↓ ↓K␈∧⊂R↓Kα∞
␈β⊂r␈↓ ↓g␈ε39.␈↓ α␈ε#[␈ε)18␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Usin␈α␈g␈α∂Algo␈α␈ri␈α↓t␈α␈hm␈α∞B␈α∂an␈α␈d␈α∞ha␈α␈nd␈α∞calcu␈α␈lation␈α␈,␈α⊂|n␈α␈d␈↓ λ_␈ε#gcd␈↓ λJ␈ε#(31␈α␈408␈α␈,␈αε271␈α␈8).␈α→A␈α↓lso␈α∞|␈α␈nd
␈β⊃→␈↓ ↓H␈ε#in␈α}tegers␈ε)␈αm␈ε#␈α
and␈ε)␈α
n␈ε#␈αsu␈α␈ch␈α
that␈α3␈α␈140␈α␈8␈ε)m␈ε#␈απ+␈αλ2␈α␈71␈α␈8␈ε)n␈ε#␈α
=␈↓ π␈ε#gcd␈↓ π=␈ε#(314␈α␈08,␈α¬271␈α␈8),␈αusing␈α
Al␈α↓g␈α␈orithm␈α
X␈α↓.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.2␈↓ 
v␈ε"337
␈β↓\␈↓ ε∃␈ε∞T␈α↓HE␈α
GRE␈α↓A␈α⎇T␈α↓EST␈α
COMMON␈α
DIV␈α↓IS␈α␈OR
␈βα#␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βα%␈↓ ↓V␈ε310.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈24␈↓ αt␈ε#]␈α⊗Let␈↓ βN␈ε)q␈↓ βz␈ε#be␈α	th␈α␈e␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α	o␈α␈f␈α
or␈α␈dered␈αλpairs␈α	of␈α	in␈α␈teg␈α␈ers␈α	(␈ε)u␈ε#␈α↓,␈↓ 	
␈ε)v␈↓ 	≠␈ε#)␈α
lyin␈α␈g␈α	i␈α↓n␈αλthe␈α	ra␈α␈nge
␈βα1␈↓ β←␈ε,n
␈βαM␈↓ ↓H␈ε#1␈ε7␈α
∀␈ε)␈α
u␈ε#␈α↓,␈↓ α0␈ε)v␈↓ αL␈ε7∀␈ε)␈αn␈ε#␈αsu␈α␈ch␈αtha␈α␈t␈↓ ∧-␈ε#gc␈α␈d␈↓ ∧←␈ε#(␈ε)u␈ε#,␈↓ ¬␈ε)v␈↓ ¬≡␈ε#)␈α
=␈α1␈α␈.␈α⊃The␈αobje␈α␈ct␈αof␈αthis␈αe␈α␈xercise␈αis␈αto␈αpro␈α␈v␈α}e␈αth␈α␈at␈αw␈α␈e
␈βαo␈↓ βW␈ε&2␈↓ ∧P␈ε&2
␈βαt␈↓ ↓H␈ε#h␈α␈a␈α␈v␈α␈e␈↓ α∀␈ε#l␈α↓im␈↓ β∂␈ε)q␈↓ β2␈ε#/␈↓ βC␈ε)n␈↓ βp␈ε#=␈α	6/␈↓ ∧;␈ε)→␈↓ ∧←␈ε#,␈αthe␈α␈reby␈α
estab␈α␈li␈α↓sh␈α␈ing␈αTh␈α␈eore␈α␈m␈αD␈↓ λF␈ε#.
␈ββ␈↓ αC␈ε,n␈ε:␈α␈!␈α↓1␈↓ β ␈ε,n
␈ββ(␈↓ ↓e␈ε#a)␈↓ α␈ε#Use␈αth␈α␈e␈αprin␈α␈ci␈α↓p␈α␈le␈αof␈↓ ∧4␈ε#inclu␈α␈si␈α↓o␈α␈n␈αa␈α␈nd␈αe␈α␈xclu␈α␈si␈α↓o␈α␈n␈α(S␈α␈ection␈α1␈α␈.3.3)␈αto␈αsho␈α␈w␈αtha␈α␈t
␈ββZ␈↓ ¬$␈ε↓X␈↓ ππ␈ε↓X
␈ββv␈↓ ∧e␈ε&2␈↓ ε7␈ε&2␈↓ λJ␈ε&2
␈ββ⎇␈↓ βz␈ε)q␈↓ ∧&␈ε#=␈↓ ∧P␈ε)n␈↓ ∧{␈ε7␈␈↓ ¬X␈ε7b␈ε)n␈ε#/␈↓ ε
␈ε)p␈↓ ε*␈ε7c␈↓ εM␈ε#+␈↓ πK␈ε7b␈ε)n␈ε#/␈↓ π⎇␈ε)p␈↓ λ≥␈ε)p␈↓ λ=␈ε7c␈↓ λa␈ε7␈␈↓ 		␈ε7↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	6␈ε#,
␈β∧	␈↓ ∧
␈ε,n␈↓ ε≠␈ε&1␈↓ λ∞␈ε&1␈↓ λ.␈ε&2
␈β∧0␈↓ ¬/␈ε,p␈↓ εv␈ε,p␈↓ π∪␈ε&<␈↓ π-␈ε,p
␈β∧6␈↓ ¬=␈ε'1␈↓ π∧␈ε'1␈↓ π;␈ε'2
␈β∧r␈↓ α␈ε#whe␈α␈re␈αthe␈αsu␈α␈ms␈αar␈α␈e␈αtak␈α␈e␈α␈n␈αo␈α␈v␈α}er␈αall␈ε0␈αprime␈ε#␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈↓ πe␈ε)p␈↓ λ↓␈ε#.
␈β∧}␈↓ πv␈ε,i
␈β¬∀␈↓ ≡␈ε,r
␈β¬~␈↓ ↓c␈ε#b)␈↓ α␈ε#The␈↓ αO␈ε0M␈↓ αm␈ε0∪␈↓ αm␈ε0o␈↓ α}␈ε0b␈α␈ius␈α
fu␈α␈nction␈ε)␈α	⊗␈ε#(␈ε)n␈ε#␈α↓)␈α
is␈α
d␈α␈e|n␈α␈ed␈α	by␈α	the␈α
ru␈α␈les␈ε)␈α
⊗␈ε#(1)␈α	=␈α
1␈α␈,␈ε)␈α⊗␈ε#(␈↓ 	ε␈ε)p␈↓ 	&␈ε)p␈↓ 	L␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ 	x␈ε)p␈↓ 
↔␈ε#)␈α
=␈α	(␈ε7␈␈ε#␈α↓1␈↓ ∪␈ε#)
␈β¬&␈↓ 	↔␈ε&1␈↓ 	7␈ε&2␈↓ 
	␈ε,r
␈β¬B␈↓ α␈ε#if␈↓ α,␈ε)p␈↓ αL␈ε#,␈↓ αb␈ε)p␈↓ βα␈ε#,␈↓ β↔␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ βD␈ε#,␈↓ βY␈ε)p␈↓ ∧∧␈ε#are␈αd␈α␈i␈α↓st␈α␈i␈α↓n␈α␈ct␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈es,␈α
a␈α␈nd␈ε)␈α⊗␈ε#(␈ε)␈α↓n␈ε#)␈α=␈α0␈αi␈α↓f␈ε)␈αn␈ε#␈αis␈αdivisible␈αb␈α␈y␈αth␈α␈e␈αsqu␈α␈are
␈β¬M␈↓ α=␈ε&1␈↓ αs␈ε&2␈↓ βj␈ε,r␈↓ ¬2␈ε↓P
␈β¬d␈↓ π$␈ε&2
␈β¬i␈↓ α␈ε#of␈αa␈αp␈α␈rime.␈α∂S␈α␈h␈α↓o␈α␈w␈αth␈α␈at␈↓ ∧[␈ε)q␈↓ ¬π␈ε#=␈↓ ε⊗␈ε)⊗␈ε#(␈↓ ε5␈ε)k␈↓ εG␈ε#)␈ε7b␈ε)n␈ε#␈α↓/␈↓ π∧␈ε)k␈↓ π↔␈ε7c␈↓ π3␈ε#.
␈β¬u␈↓ ∧l␈ε,n
␈β¬⎇␈↓ ¬X␈ε,k␈↓ ¬f␈ε:∃␈ε&␈α↓1␈↓ λ≡␈ε↓P
␈βε∪␈↓ π[␈ε&2␈↓ 	b␈ε&2
␈βε→␈↓ ↓g␈ε#c)␈↓ α␈ε#As␈αa␈αco␈α␈nseq␈α␈uen␈α␈ce␈αo␈α␈f␈α(b␈α␈),␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈αtha␈α␈t␈↓ ε→␈ε#lim␈↓ π∪␈ε)q␈↓ π6␈ε#/␈↓ πG␈ε)n␈↓ πt␈ε#=␈↓ 	α␈ε)⊗␈ε#(␈↓ 	!␈ε)k␈↓ 	4␈ε#)/␈↓ 	P␈ε)k␈↓ 	q␈ε#.
␈βε$␈↓ εG␈ε,n␈ε:!1␈↓ π$␈ε,n
␈βε,␈↓ βD␈ε↓P␈↓ ¬/␈ε↓P␈↓ λD␈ε,k␈↓ λS␈ε:∃␈ε&1
␈βεB␈↓ ¬λ␈ε&2␈↓ ε[␈ε&2
␈βεF␈↓ β8␈ε"(␈↓ ¬↔␈ε")(␈↓ εj␈ε")
␈βεH␈↓ ↓c␈ε#d)␈↓ α␈ε#Pro␈α␈v␈α␈e␈α∞th␈α␈at␈↓ ∧(␈ε)⊗␈ε#(␈↓ ∧G␈ε)k␈↓ ∧Z␈ε#)/␈↓ ∧u␈ε)k␈↓ ε≤␈ε#1/␈↓ ε=␈ε)m␈↓ π∧␈ε#=␈α∂1.␈ε0␈α∨Hi␈α↓n␈α}t:␈ε#␈α∩Whe␈α␈n␈α∞the␈α∞se␈α␈ri␈α↓e␈α␈s␈α∂a␈α␈re␈α∞ab␈α␈-
␈βε\␈↓ βj␈ε,k␈↓ βy␈ε:∃␈ε&1␈↓ ¬U␈ε,m␈ε:∃␈ε&1
␈βεp␈↓ α␈ε#solu␈α␈tely␈αcon␈α}v␈α␈erg␈α␈en␈α␈t␈αw␈α␈e␈αh␈α␈a␈α␈v␈α␈e
␈βπ2␈↓ βe␈ε↓X␈↓ ¬(␈ε↓X␈↓ π≠␈ε↓X␈↓ πh␈ε↓X
␈βπ;␈↓ βM␈ε↓∩␈↓ ∧v␈ε↓∪␈↓ ¬␈ε↓∩␈↓ εN␈ε↓∪␈↓ πR␈ε↓∩␈↓ 	β␈ε↓∪␈↓ 	→␈ε↓≡
␈βπN␈↓ ∧f␈ε,z␈↓ ε>␈ε,z␈↓ 	S␈ε,z
␈βπV␈↓ ∧!␈ε)a␈↓ ∧C␈ε#/␈↓ ∧T␈ε)k␈↓ ¬i␈ε)b␈↓ ε⊂␈ε#/␈↓ ε!␈ε)m␈↓ εm␈ε#=␈↓ λ!␈ε)a␈↓ λC␈ε)b␈↓ 	>␈ε)n␈↓ 	b␈ε#.
␈βπa␈↓ ∧3␈ε,k␈↓ ¬w␈ε,m␈↓ λ3␈ε,d
␈βπb␈↓ λQ␈ε,n␈ε&/␈ε,d
␈βλλ␈↓ βc␈ε,k␈↓ βr␈ε:∃␈ε&1␈↓ ¬"␈ε,m␈ε:␈α␈∃␈ε&␈α↓1␈↓ π↔␈ε,n␈ε:∃␈ε&␈α↓1␈↓ πk␈ε,d␈ε:∧␈ε,n
␈βλY␈↓ ↓V␈ε311.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈2␈↓ α\␈ε#]␈α⊗W␈α↓h␈α␈at␈αis␈α
th␈α␈e␈α
p␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lit␈α␈y␈αtha␈α␈t␈↓ ε,␈ε#gc␈α␈d␈↓ ε↑␈ε#(␈ε)u␈ε#,␈↓ π␈ε)v␈↓ π≥␈ε#)␈ε7␈α∀␈ε#␈α3␈α␈?␈α≤(See␈αTh␈α␈eorem␈αD␈↓ 
λ␈ε#.)␈α≤W␈α↓h␈α␈at␈αis
␈β	↓␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈ε0␈αa␈α␈v␈α}erag␈α␈e␈ε#␈αv␈α}alu␈α␈e␈αof␈↓ βu␈ε#gcd␈↓ ∧'␈ε#(␈ε)u␈ε#␈α↓,␈↓ ∧U␈ε)v␈↓ ∧f␈ε#)?
␈β	4␈↓ ↓V␈ε312.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈4␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(E␈α↓.␈↓ β1␈ε#Ces␈↓ βe␈ε#␈
␈↓ βe␈ε#a␈↓ βv␈ε#ro␈α␈.␈α↓)␈α→I␈α↓f␈ε)␈αu␈ε#␈αan␈α␈d␈↓ ¬C␈ε)v␈↓ ¬`␈ε#are␈αra␈α␈nd␈α␈om␈αpo␈α␈si␈α↓tiv␈α}e␈αin␈α␈t␈α␈egers,␈αwhat␈αis␈αth␈α␈e␈αa␈α␈v␈α␈e␈α␈rage
␈β	\␈↓ ↓H␈ε#n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
of␈α(p␈α␈ositiv␈α␈e)␈α
divisors␈α
the␈α␈y␈α
ha␈α␈v␈α}e␈αin␈α
co␈α␈mm␈α↓on␈α␈?␈α↔[␈ε0Hi␈α↓n␈α}t:␈ε#␈αSee␈α
th␈α␈e␈αide␈α␈n␈α␈tit␈α␈y␈α
i␈α↓n␈α
e␈α␈xerc␈α␈i␈α↓se
␈β
∧␈↓ ↓H␈ε#1␈α␈0(d),␈αwith␈↓ αr␈ε)a␈↓ β≥␈ε#=␈↓ βH␈ε)b␈↓ βx␈ε#=␈α
1.]
␈β
∂␈↓ β∧␈ε,k␈↓ βV␈ε,m
␈β
7␈↓ ↓V␈ε313.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈23␈↓ αt␈ε#]␈α⊗Giv␈α␈e␈α␈n␈α
th␈α␈at␈ε)␈α
u␈ε#␈α
an␈α␈d␈↓ ¬⊗␈ε)v␈↓ ¬1␈ε#are␈α	ran␈α␈dom␈ε0␈α	od␈α␈d␈↓ π!␈ε#po␈α␈siti␈α↓v␈α}e␈α
in␈α␈teg␈α␈ers,␈α
sh␈α↓o␈α}w␈α
tha␈α␈t␈α
they␈α	are
␈β
Y␈↓ ¬c␈ε&2
␈β
←␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈l␈α↓a␈α␈tiv␈α␈ely␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈αwi␈α↓t␈α␈h␈αpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓t␈α␈y␈α
8/␈↓ ¬O␈ε)→␈↓ ¬r␈ε#.
␈β∩␈↓ ↓V␈ε314.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈6␈↓ α\␈ε#]␈α⊗W␈α↓h␈α␈at␈αa␈α␈re␈αthe␈αv␈α⎇alues␈αo␈α␈f␈↓ ¬R␈ε)v␈↓ ¬⎇␈ε#an␈α␈d␈↓ ε>␈ε)v␈↓ εi␈ε#wh␈α␈en␈αAlgo␈α␈rithm␈αX␈αterm␈α␈i␈α↓n␈α␈ate␈α␈s?
␈β≡␈↓ ¬c␈ε&1␈↓ εN␈ε&2
␈βD␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βF␈↓ ↓V␈ε315.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈2␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Design␈α
an␈α
a␈α␈lgorith␈α␈m␈αto␈↓ ¬S␈ε0d␈α␈ivide␈ε)␈α
u␈ε0␈αb␈α␈y␈↓ π↓␈ε)v␈↓ π≡␈ε0mod␈α␈ulo␈ε)␈α
m␈ε#,␈αg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈α
p␈α␈ositiv␈α␈e␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈ε)␈αu␈ε#,
␈βn␈↓ ↓H␈ε)v␈↓ ↓Y␈ε#,␈αand␈ε)␈α
m␈ε#␈α␈,␈αwi␈α↓th␈↓ β+␈ε)v␈↓ βG␈ε#relativ␈α␈ely␈↓ ∧X␈ε#prime␈α
to␈ε)␈α
m␈ε#.␈α∂In␈α
oth␈α␈er␈αw␈α␈ord␈α␈s,␈αy␈α␈o␈α␈ur␈αa␈α␈lgorith␈α␈m␈αshou␈α␈l␈α↓d␈α
|␈α␈nd␈↓ 
␈ε)w␈↓ #␈ε#,
␈β∃␈↓ ↓H␈ε#in␈α
the␈αra␈α␈nge␈α0␈ε7␈αλ∀␈↓ βG␈ε)w␈↓ βi␈ε#<␈ε)␈α
m␈ε#␈α␈,␈αsu␈α␈ch␈αth␈α␈at␈ε)␈αu␈ε7␈α
⊃␈↓ ε!␈ε)v␈↓ ε3␈ε)w␈↓ εU␈ε#(mod␈α␈ulo␈ε)␈αm␈ε#␈α␈).
␈βI␈↓ ↓V␈ε316.␈↓ α␈ε#[␈ε)21␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Use␈αthe␈αtex␈α␈t's␈αmethod␈αto␈α|n␈α␈d␈αa␈αgen␈α␈eral␈αso␈α␈lution␈αin␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈αto␈αthe␈αfollo␈α␈wing
␈βq␈↓ ↓H␈ε#se␈α␈ts␈αof␈αequ␈α␈ation␈α␈s:
␈β
;␈↓ α?␈ε#a␈α␈)␈↓ α|␈ε#3␈ε)␈α␈x␈ε#␈απ+␈αλ7␈↓ β`␈ε)y␈↓ βy␈ε#+␈απ11␈↓ ∧C␈ε)z␈↓ ∧]␈ε#=␈α
1␈↓ π8␈ε#b)␈↓ πw␈ε#3␈ε)x␈ε#␈απ+␈αλ7␈↓ λ[␈ε)y␈↓ λt␈ε#+␈αλ11␈↓ 	>␈ε)z␈↓ 	Y␈ε#=␈α+1
␈β
n␈↓ α|␈ε#5␈ε)␈α␈x␈ε#␈απ+␈αλ7␈↓ β`␈ε)y␈↓ βy␈ε7␈␈ε#␈α_5␈↓ ∧C␈ε)z␈↓ ∧]␈ε#=␈α
3␈↓ πw␈ε#5␈ε)x␈ε#␈απ+␈αλ7␈↓ λ[␈ε)y␈↓ λt␈ε7␈␈ε#␈α→5␈↓ 	>␈ε)z␈↓ 	Y␈ε#=␈ε7␈α	␈␈ε#␈α↓3
␈β∞B␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∞D␈↓ ↓V␈ε317.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈4␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Sho␈α␈w␈α
h␈α↓o␈α␈w␈α
Algorith␈α␈m␈α
L␈αcan␈α	be␈α
ex␈α␈tend␈α␈ed␈α
(as␈α
Algorith␈α␈m␈α
A␈αw␈α␈as␈α
ex␈α␈tend␈α␈ed␈α
to
␈β∞l␈↓ ↓H␈ε#Algo␈α␈rithm␈αX)␈αto␈αo␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈α
solution␈α␈s␈αof␈α(15␈α␈)␈αwh␈α␈en␈ε)␈α
u␈ε#␈αan␈α␈d␈↓ πP␈ε)v␈↓ πm␈ε#a␈α␈re␈αlarge␈α␈.
␈β∂ ␈↓ ↓V␈ε318.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈7␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Let␈ε)␈α
u␈ε#␈α
a␈α␈nd␈↓ ∧≤␈ε)v␈↓ ∧:␈ε#be␈αod␈α␈d␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈rs,␈α∞in␈α␈dep␈α␈en␈α␈den␈α}tly␈α
a␈α␈nd␈αu␈α␈niformly␈αdistrib␈α␈uted␈αin
␈β∂A␈↓ α␈␈ε,m␈↓ ∧5␈ε,m␈ε&+␈α↓1␈↓ ¬∨␈ε,n␈↓ εM␈ε,n␈ε&+1
␈β∂G␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈α∞ra␈α␈ng␈α␈es␈↓ αn␈ε#2␈↓ β&␈ε7∀␈ε)␈α∞u␈ε#␈α∞<␈↓ ∧%␈ε#2␈↓ ∧w␈ε#,␈↓ ¬∂␈ε#2␈↓ ¬?␈ε7∀␈↓ ¬n␈ε)v␈↓ ε∞␈ε#<␈↓ ε=␈ε#2␈↓ πλ␈ε#.␈α↔Wha␈α␈t␈α∞is␈α∞th␈α␈e␈ε0␈α∞ex␈α␈act␈ε#␈α
prob␈α␈ab␈α␈il␈α↓it␈α␈y␈α
tha␈α␈t
␈β∂o␈↓ ↓H␈ε#a␈α∞sin␈α␈gle␈α∞\su␈α␈btra␈α␈ct␈α∞and␈α
shi$"␈α∞cy␈α}cle␈α∂in␈α∞Algo␈α␈rithm␈α∞B␈↓ π8␈ε#,␈α∂na␈α␈mely␈α∞an␈α∞o␈α␈per␈α␈ation␈α∞th␈α␈at␈α∞start␈α␈s
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈t␈α∂step␈α∂B6␈α∂a␈α␈nd␈α∞then␈α∞stop␈α␈s␈α∂a$er␈α∂ste␈α␈p␈α∂B5␈α∂is␈α∂|n␈α␈ished␈α␈,␈α⊃re␈α␈du␈α␈ces␈ε)␈α∂u␈ε#␈α∂and␈↓ 	E␈ε)v␈↓ 	f␈ε#to␈α∂th␈α␈e␈α∂ran␈α␈ge␈α␈s
␈β⊂2␈↓ ↓p␈ε;0␈↓ β≡␈ε;0␈↓ ∧¬␈ε;0␈↓ ¬*␈ε;0
␈β⊂8␈↓ ↓X␈ε,m␈↓ βε␈ε,m␈↓ β'␈ε&+1␈↓ βt␈ε,n␈↓ ¬→␈ε,n␈↓ ¬3␈ε&+1␈↓ λN␈ε:0␈↓ 	=␈ε:0
␈β⊂>␈↓ ↓H␈ε#2␈↓ α∧␈ε7∀␈ε)␈α	u␈ε#␈α
<␈↓ αu␈ε#2␈↓ βP␈ε#,␈↓ βc␈ε#2␈↓ ∧_␈ε7∀␈↓ ∧C␈ε)v␈↓ ∧↑␈ε#<␈↓ ¬λ␈ε#2␈↓ ¬\␈ε#,␈α
as␈α
a␈α	fu␈α␈nction␈α	o␈α␈f␈ε)␈α
m␈ε#␈α␈,␈ε)␈αn␈ε#,␈↓ λ0␈ε)m␈↓ λW␈ε#,␈α
a␈α␈nd␈↓ 	)␈ε)n␈↓ 	F␈ε#?␈α∪(This␈α
e␈α␈xerc␈α␈i␈α↓se
␈β⊂f␈↓ ↓H␈ε#g␈α␈i␈α↓v␈α}es␈αmore␈α
acc␈α␈urat␈α␈e␈αv␈α}a␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈α
for␈αth␈α␈e␈α
trans␈α␈i␈α↓tion␈α
p␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lities␈αth␈α␈an␈α
th␈α␈e␈αte␈α␈xt's␈αmode␈α␈l␈αdo␈α␈es.)
␈β⊃→␈↓ ↓V␈ε319.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈4␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Comp␈α␈lete␈αthe␈α
text's␈αd␈α␈eriv␈α}ation␈α
of␈α(38)␈αb␈α␈y␈αesta␈α␈blishin␈α␈g␈α(37).
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"338␈↓ 
b␈ε"4.5.2
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα%␈↓ ↓V␈ε320.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈6␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Let␈ε)␈α∂∃␈ε#␈α⊂=␈ε7␈α∂b␈↓ ∧≤␈ε#l␈α↓g␈↓ ∧<␈ε#g␈α␈cd␈↓ ∧n␈ε#(␈ε)u␈ε#,␈↓ ¬≠␈ε)v␈↓ ¬-␈ε#)␈ε7c␈ε#.␈α~S␈α␈h␈α↓o␈α␈w␈α∞tha␈α␈t␈α∂the␈↓ πM␈ε#lattice-p␈α␈oin␈α␈t␈α∂mod␈α␈el␈α∂giv␈α␈es␈ε)␈α∞∃␈ε#␈α⊂=␈α⊂1
␈βαJ␈↓ βE␈ε&1␈↓ ε[␈ε&1␈↓ 	x␈ε&1
␈βαM␈↓ ↓H␈ε#with␈αpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓t␈α␈y␈↓ βV␈ε#,␈ε)␈α∞∃␈ε#␈α=␈α
2␈αwith␈α
p␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lit␈α␈y␈↓ εs␈ε#,␈ε)␈α∞∃␈ε#␈α=␈α
3␈αwith␈α
p␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lit␈α␈y␈↓ 
⊃␈ε#,␈α
etc.,␈α
plu␈α␈s
␈βα]␈↓ βE␈ε&5␈↓ εT␈ε&10␈↓ 	q␈ε&20
␈βα`␈↓ βE␈∧α`βEα∞␈↓ εT␈∧α`εTα≤␈↓ 	q␈∧α`	qα≤
␈βαt␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈orrectio␈α␈n␈α	terms␈α	th␈α␈at␈α	go␈α	ra␈α␈pid␈α␈l␈α↓y␈αλto␈α	zero␈α	a␈α␈s␈ε)␈α
u␈ε#␈α	an␈α␈d␈↓ π
␈ε)v␈↓ π%␈ε#ap␈α␈pro␈α␈ach␈αλi␈α↓n␈α␈|n␈α␈it␈α␈y;␈α
he␈α␈nce␈α	th␈α␈e␈α	a␈α␈v␈α␈e␈α␈rage
␈ββ→␈↓ ∧b␈ε&4
␈ββ≤␈↓ ↓H␈ε#v␈α⎇alue␈α
of␈ε)␈α∃␈ε#␈αis␈αa␈α␈pp␈α␈ro␈α␈xima␈α␈tely␈↓ ∧t␈ε#.␈α_[␈ε0Hin␈α␈t:␈ε#␈αCo␈α␈nside␈α␈r␈αthe␈α
relation␈α
b␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α
th␈α␈e␈αp␈α␈rob␈α␈abilit␈α␈y␈αo␈α␈f
␈ββ,␈↓ ∧b␈ε&5
␈ββ/␈↓ ∧b␈∧β/∧bα∞
␈ββD␈↓ ↓H␈ε#a␈αpa␈α␈th␈α
from␈α(␈ε)␈α↓m␈ε#␈α␈,␈ε)␈αεn␈ε#)␈α
to␈α
(␈↓ ∧ ␈ε)k␈↓ ∧;␈ε#+␈α	1,␈↓ ¬¬␈ε)k␈↓ ¬ ␈ε#+␈α	1)␈α
an␈α␈d␈α
a␈αcorre␈α␈spo␈α␈nd␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
p␈α␈ath␈α
fro␈α␈m␈α
(␈ε)m␈ε7␈αλ␈␈↓ 
&␈ε)k␈↓ 
9␈ε#,␈ε)␈αεn␈ε7␈α	␈␈↓ ∂␈ε)k␈↓ !␈ε#)
␈ββk␈↓ ↓H␈ε#to␈α
(1,␈αε1).]
␈β∧≥␈↓ ↓V␈ε321.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈26␈↓ αt␈ε#]␈α⊗Let␈↓ βN␈ε)C␈↓ ∧→␈ε#an␈α␈d␈↓ ∧X␈ε)D␈↓ ¬&␈ε#be␈α	th␈α␈e␈α	a␈α␈v␈α␈e␈α␈rage␈α	n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α	of␈α	sub␈α␈trac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α	an␈α␈d␈α	sh␈α␈i␈α↓$␈α	cy␈α}cles,
␈β∧)␈↓ βf␈ε,mn␈↓ ∧s␈ε,mn
␈β∧E␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈spec␈α␈ti␈α↓v␈α}ely,␈α
in␈α	Al␈α↓g␈α␈orithm␈α	B␈↓ ∧]␈ε#,␈α
when␈ε)␈α	u␈ε#␈α
a␈α␈nd␈↓ ε"␈ε)v␈↓ ε=␈ε#are␈α	od␈α␈d,␈ε7␈α
b␈↓ πI␈ε#lg␈↓ πh␈ε)u␈ε7␈α↓c␈ε#␈α	=␈ε)␈α
m␈ε#␈α␈,␈ε7␈α
b␈↓ λz␈ε#l␈α↓g␈↓ 	~␈ε)v␈↓ 	+␈ε7c␈ε#␈α
=␈ε)␈α	n␈ε#␈α↓.␈α∞Sho␈α␈w␈α	tha␈α␈t
␈β∧j␈↓ βo␈ε&1
␈β∧m␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈r␈α|x␈α␈ed␈ε)␈αn␈ε#,␈↓ αv␈ε)C␈↓ βA␈ε#=␈↓ ∧␈ε)m␈ε#␈απ+␈↓ ∧N␈ε)O␈↓ ∧h␈ε#(␈α↓1␈α␈)␈αand␈↓ ¬[␈ε)D␈↓ ε)␈ε#=␈ε)␈α
m␈ε#␈απ+␈↓ π"␈ε)O␈↓ π<␈ε#(1)␈αas␈ε)␈αm␈ε7␈α	!␈α	1␈ε#.
␈β∧x␈↓ β
␈ε,mn␈↓ ¬v␈ε,mn
␈β∧⎇␈↓ βo␈ε&2
␈β¬␈↓ βo␈∧¬βoα∞
␈β¬∨␈↓ ↓V␈ε322.␈↓ α␈ε#[␈ε)23␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈αEq.␈α(44).
␈β¬Q␈↓ ↓V␈ε323.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈8␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Sho␈α␈w␈αtha␈α␈t␈αif␈↓ ∧<␈ε)C␈↓ ¬π␈ε#=␈ε)␈α	m␈ε#␈απ+␈↓ ε∀␈ε)␈␈↓ ε)␈ε)n␈ε#␈αλ+␈↓ εn␈ε)␈
␈↓ π␈ε#for␈αso␈α␈me␈αcon␈α␈stan␈α}ts␈ε)␈α␈ε#,␈↓ 	P␈ε)␈␈↓ 	e␈ε#,␈αan␈α␈d␈↓ 
:␈ε)␈
␈↓ 
M␈ε#,␈αthen
␈β¬]␈↓ ∧S␈ε,mn
␈βεα␈↓ αh␈ε↓X
␈βε≥␈↓ ¬a␈ε,m␈ε&+␈ε,n␈ε:␈␈ε&2␈↓ πT␈ε&2␈↓ πb␈ε,N
␈βε"␈↓ λ␈ε&11
␈βε#␈↓ π|␈ε"(␈↓ 
,␈ε")
␈βε%␈↓ βR␈ε#(␈↓ β]␈ε)N␈↓ ∧∧␈ε7␈␈ε)␈αλm␈ε#)(␈↓ ∧a␈ε)N␈↓ ¬λ␈ε7␈␈ε)␈αλn␈ε#)␈↓ ¬P␈ε#2␈↓ εN␈ε)C␈↓ π→␈ε#=␈↓ πC␈ε#2␈↓ λ+␈ε#(␈ε)␈ε#␈απ+␈↓ λ{␈ε)␈␈↓ 	⊂␈ε#)␈↓ 	≠␈ε)N␈↓ 	C␈ε#+␈↓ 	k␈ε)O␈↓ 
ε␈ε#(1␈α␈)␈↓ 
8␈ε#,
␈βε0␈↓ εe␈ε,mn
␈βε5␈↓ λ␈ε&27
␈βε8␈↓ λ␈∧ε8λα≤
␈βεW␈↓ α2␈ε&1␈ε:∀␈ε,␈α↓n␈ε:␈α␈∀␈ε,␈α↓m␈ε:∀␈↓ β8␈ε,N
␈βε`␈↓ ∧!␈ε↓X
␈βε{␈↓ ¬m␈ε&2␈↓ ε␈ε&2␈ε,n␈ε:␈␈ε&2␈↓ πT␈ε&2␈↓ πb␈ε,N
␈βπ␈↓ λ∩␈ε&5
␈βπ↓␈↓ π|␈ε"(␈↓ 
,␈ε")
␈βπβ␈↓ ∧r␈ε#(␈↓ ∧⎇␈ε)N␈↓ ¬$␈ε7␈␈ε)␈αλn␈↓ ¬b␈ε#)␈↓ ¬|␈ε#2␈↓ εU␈ε)C␈↓ π→␈ε#=␈↓ πC␈ε#2␈↓ λ+␈ε#(␈ε)␈ε#␈απ+␈↓ λ{␈ε)␈␈↓ 	⊂␈ε#)␈↓ 	≠␈ε)N␈↓ 	C␈ε#+␈↓ 	k␈ε)O␈↓ 
ε␈ε#(1␈α␈)␈↓ 
8␈ε#.
␈βπ∂␈↓ εl␈ε,nn
␈βπ∪␈↓ λ␈ε&27
␈βπ⊗␈↓ λ␈∧π⊗λα≤
␈βπ5␈↓ ∧¬␈ε&1␈ε:␈α␈∀␈ε,␈α↓n␈ε:∀␈↓ ∧X␈ε,N
␈βπv␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βπx␈↓ ↓V␈ε324.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗If␈↓ β≠␈ε)v␈↓ β6␈ε#=␈α
1␈α
b␈α␈ut␈ε)␈α	u␈ε#␈αis␈α
larg␈α␈e,␈αd␈α␈urin␈α␈g␈α
Algorith␈α␈m␈α
B␈↓ πk␈ε#,␈αit␈α
ma␈α}y␈α
ta␈α␈k␈α␈e␈α
fairly␈α
lo␈α␈ng␈α
fo␈α␈r␈α
the
␈βλ∨␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈m␈α
to␈αd␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈e␈αtha␈α␈t␈↓ ∧q␈ε#g␈α␈cd␈↓ ¬#␈ε#(␈ε)u␈ε#,␈↓ ¬P␈ε)v␈↓ ¬a␈ε#)␈α=␈α1␈α␈.␈α∪Perh␈α␈aps␈αit␈αwo␈α␈uld␈αb␈α␈e␈αwo␈α␈rth␈α␈wh␈α␈il␈α↓e␈αto␈αa␈α␈dd␈αa
␈βλA␈↓ 
6␈ε,k
␈βλG␈↓ ↓H␈ε#te␈α␈st␈α
at␈α
th␈α␈e␈α
beg␈α␈i␈α↓n␈α␈nin␈α␈g␈α
of␈α
ste␈α␈p␈α
B5:␈α∂\If␈ε)␈α
t␈ε#␈α
=␈α
1,␈α
the␈α
a␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈m␈α
termin␈α␈ates␈α
with␈↓ 
&␈ε#2␈↓ 
T␈ε#a␈α␈s␈α
the
␈βλo␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nsw␈α␈er."␈α∂E␈α↓x␈α␈plo␈α␈re␈αth␈α␈e␈αqu␈α␈estion␈αof␈αwhe␈α␈ther␈αor␈αn␈α↓o␈α␈t␈αth␈α␈is␈αw␈α␈o␈α␈uld␈αbe␈αan␈α
i␈α↓m␈α␈pro␈α␈v␈α}emen␈α}t␈αwh␈α␈en
␈β	⊗␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αalgorith␈α␈m␈αd␈α␈eals␈αwi␈α↓th␈αra␈α␈nd␈α␈om␈αi␈α↓n␈α␈pu␈α␈ts,␈αb␈α␈y␈αd␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈ing␈αth␈α␈e␈αa␈α␈v␈α}erag␈α␈e␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αtime␈α␈s
␈β	>␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈at␈αste␈α␈p␈αB6␈αis␈αexe␈α␈cuted␈α
with␈ε)␈αu␈ε#␈α
=␈α	1␈αor␈↓ ε␈ε)v␈↓ ε'␈ε#=␈α	1,␈αusin␈α␈g␈αthe␈α
l␈α↓a␈α␈ttice-po␈α␈i␈α↓n␈α}t␈αm␈α↓od␈α␈el.
␈β	n␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β	p␈↓ ↓V␈ε325.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈6␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(R.␈α
P.␈↓ βa␈ε#Bren␈α␈t␈α␈.␈α↓)␈α≠Let␈↓ ¬∨␈ε)u␈↓ ¬P␈ε#and␈↓ ε∩␈ε)v␈↓ εA␈ε#b␈α␈e␈αth␈α␈e␈αv␈α}alu␈α␈es␈αof␈ε)␈αu␈ε#␈αand␈↓ 	∃␈ε)v␈↓ 	3␈ε#a␈α␈$er␈ε)␈αn␈ε#␈α
iter␈α␈ation␈α␈s
␈β	|␈↓ ¬2␈ε,n␈↓ ε"␈ε,n
␈β
_␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈αstep␈α␈s␈αB3↑B5;␈αlet␈↓ βd␈ε)X␈↓ ∧≠␈ε#=␈↓ ∧E␈ε)u␈↓ ∧k␈ε#/␈↓ ∧{␈ε)v␈↓ ¬≡␈ε#,␈αan␈α␈d␈αa␈α␈ssume␈α
tha␈α␈t␈↓ π-␈ε)F␈↓ πU␈ε#(␈ε)x␈ε#␈α␈)␈αis␈αthe␈α
pro␈α␈bab␈α␈il␈α↓it␈α␈y␈α
tha␈α␈t␈↓ 
T␈ε)X␈↓ ␈ε7∀
␈β
#␈↓ β␈␈ε,n␈↓ ∧Y␈ε,n␈↓ ¬␈ε,n␈↓ πB␈ε,n␈↓ 
p␈ε,n
␈β
?␈↓ ↓H␈ε)x␈ε#␈α␈,␈α∂f␈α↓o␈α␈r␈α∞0␈ε7␈α∞∀␈ε)␈α∂x␈ε#␈α∞<␈ε7␈α∂1␈ε#.␈α (a)␈α∞Exp␈α␈ress␈↓ ¬G␈ε)F␈↓ ε↔␈ε#(␈ε)x␈ε#␈α␈)␈α∂in␈α∞te␈α␈rms␈α∞of␈↓ λ↓␈ε)F␈↓ λ)␈ε#(␈ε)x␈ε#␈α␈)␈α↓,␈α∂u␈α␈nd␈α␈er␈α∞the␈α∞a␈α␈ssump␈α␈tion
␈β
K␈↓ ¬\␈ε,n␈ε&+␈α↓1␈↓ λ↔␈ε,n
␈β
d␈↓ 	
␈ε&1
␈β
g␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈at␈α
step␈α
B␈α↓4␈α
alw␈α␈a␈α␈y␈α␈s␈αbra␈α␈nc␈α␈hes␈αt␈α␈o␈αB3␈α
w␈α↓ith␈α
ind␈α␈epe␈α␈nd␈α␈en␈α␈t␈α
prob␈α␈ab␈α␈il␈α↓it␈α␈y␈↓ 	≤␈ε#.␈α_(b␈α␈)␈αLet␈↓ 
-␈ε)G␈↓ 
Y␈ε#(␈ε)x␈ε#)␈α	=
␈β
r␈↓ 
G␈ε,n
␈β
w␈↓ 	
␈ε&2
␈β
z␈↓ 	
␈∧
z	
α∞
␈β	␈↓ βS␈ε:␈␈ε&␈α↓1
␈β∞␈↓ ↓H␈ε)F␈↓ ↓o␈ε#(␈ε)x␈ε#)␈α	+␈α	1␈ε7␈αλ␈␈↓ β∞␈ε)F␈↓ β6␈ε#(␈↓ βA␈ε)x␈↓ β⎇␈ε#)␈α
be␈α
th␈α␈e␈α
prob␈α␈ab␈α␈il␈α↓it␈α␈y␈α
th␈α␈at␈↓ εv␈ε)Y␈↓ π(␈ε7∀␈ε)␈α
x␈ε#,␈α∞for␈α
0␈ε7␈α∀␈ε)␈α
x␈ε7␈α
∀␈ε#␈α
1,␈α∞wh␈α␈ere␈↓ 
Y␈ε)Y␈↓ ␈ε#=
␈β~␈↓ ↓]␈ε,n␈↓ β$␈ε,n␈↓ π	␈ε,n␈↓ 
l␈ε,n
␈β6␈↓ ↓H␈ε#m␈α␈i␈α↓n␈↓ ↓␈␈ε#(␈↓ α
␈ε)u␈↓ α0␈ε#,␈↓ α?␈ε)v␈↓ αa␈ε#)/␈↓ α⎇␈ε#ma␈↓ β)␈ε#x␈↓ β<␈ε#(␈↓ βG␈ε)u␈↓ βm␈ε#,␈↓ β|␈ε)v␈↓ ∧≡␈ε#).␈α⊃Exp␈α␈ress␈↓ ¬?␈ε)G␈↓ ε ␈ε#in␈αterm␈α␈s␈αof␈↓ πK␈ε)G␈↓ πx␈ε#.␈α~(c)␈αExp␈α␈ress␈αthe␈αdistribu␈α␈tion
␈βB␈↓ α≡␈ε,n␈↓ αO␈ε,n␈↓ β[␈ε,n␈↓ ∧␈ε,n␈↓ ¬Z␈ε,n␈ε&␈α␈+␈α↓1␈↓ πf␈ε,n
␈β↑␈↓ ↓H␈ε)H␈↓ ↓u␈ε#(␈ε)x␈ε#␈α␈)␈α
=␈↓ αQ␈ε#prob␈α␈ab␈α␈il␈α↓it␈α␈y␈αth␈α␈at␈↓ ∧I␈ε#ma␈↓ ∧v␈ε#x␈↓ ¬λ␈ε#(␈↓ ¬∪␈ε)u␈↓ ¬a␈ε#,␈↓ ¬p␈ε)v␈↓ ε;␈ε#)/␈↓ εW␈ε#m␈α␈a␈↓ πβ␈ε#x␈↓ π⊗␈ε#(␈↓ π!␈ε)u␈↓ πF␈ε#,␈↓ πU␈ε)v␈↓ πx␈ε#)␈α	<␈ε)␈α
x␈ε#␈α
i␈α↓n␈α
terms␈αo␈α␈f␈↓ 	␈␈ε)G␈↓ 
+␈ε#.
␈βi␈↓ ↓c␈ε,n␈↓ ¬'␈ε,n␈ε&+1␈↓ ε␈ε,n␈ε&+␈α↓1␈↓ π4␈ε,n␈↓ πf␈ε,n␈↓ 
→␈ε,n
␈β⊂␈↓ ↓V␈ε326.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈3␈↓ α\␈ε#]␈α⊗W␈α↓h␈α␈at␈αis␈αth␈α␈e␈αleng␈α␈th␈αof␈αthe␈αlon␈α␈gest␈αpa␈α␈th␈αfrom␈α(␈ε)m␈ε#,␈ε)␈α¬n␈ε#␈α↓)␈αto␈α(0,␈αε0␈α␈)␈αin␈αthe␈αlatt␈α␈i␈α↓ce␈α␈-
␈β8␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈oin␈α␈t␈αmode␈α␈l␈α↓?
␈βh␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βj␈↓ ↓V␈ε327.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈8␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Giv␈α␈en␈ε)␈αm␈ε7␈α∃␈ε)␈αn␈ε7␈α∃␈ε#␈α
1␈α␈,␈α
|n␈α␈d␈αv␈α}alue␈α␈s␈α
of␈ε)␈αu␈ε#␈α↓,␈↓ π"␈ε)v␈↓ π@␈ε#wi␈α↓t␈α␈h␈ε7␈α
b␈↓ λ~␈ε#l␈α↓g␈↓ λ:␈ε)u␈ε7c␈ε#␈α=␈ε)␈αm␈ε#,␈ε7␈α
b␈↓ 	T␈ε#lg␈↓ 	s␈ε)v␈↓ 
¬␈ε7c␈ε#␈α=␈ε)␈αn␈ε#␈α
su␈α␈ch
␈β
⊃␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈at␈αAlgo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αB␈αrequ␈α␈ires␈ε)␈αm␈ε#␈απ+␈αλ1␈αsu␈α␈btr␈α␈action␈α
steps.
␈β
D␈↓ ↓V␈ε328.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈7␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈α
th␈α␈at␈α
th␈α␈e␈α
sub␈α␈traction␈α	step␈α
B6␈α
o␈α␈f␈αAlgo␈α␈rithm␈α
B␈α
is␈αn␈α␈ev␈α␈e␈α␈r␈αe␈α␈xec␈α␈uted␈α	m␈α↓ore
␈β
k␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈an␈α
1␈απ+␈ε7␈αλb␈↓ αc␈ε#lg␈↓ ββ␈ε#m␈α␈a␈↓ β/␈ε#x␈↓ βB␈ε#(␈ε)u␈ε#,␈↓ βo␈ε)v␈↓ ∧↓␈ε#)␈ε7c␈ε#␈αtime␈α␈s.
␈β∞≡␈↓ ↓V␈ε329.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Ev␈α}alua␈α␈te␈αthe␈↓ ∧>␈ε#deter␈α␈minan␈α}t
␈β∞N␈↓ ∧#␈ε↓␈␈↓ λ<␈ε↓␈
␈β∞d␈↓ ∧#␈ε↓␈␈↓ λ<␈ε↓␈
␈β∞j␈↓ ∧6␈ε#gcd␈↓ ∧h␈ε#(1,␈αε1␈α␈)␈↓ ¬S␈ε#gcd␈↓ ε¬␈ε#(1,␈αε2)␈↓ εo␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ π9␈ε#g␈α␈cd␈↓ πk␈ε#(1␈α␈,␈ε)␈αεn␈ε#␈α↓)
␈β∞y␈↓ ∧#␈ε↓␈␈↓ λ<␈ε↓␈
␈β∂∂␈↓ ∧#␈ε↓␈␈↓ λ<␈ε↓␈
␈β∂⊃␈↓ ∧6␈ε#gcd␈↓ ∧h␈ε#(2,␈αε1␈α␈)␈↓ ¬S␈ε#gcd␈↓ ε¬␈ε#(2,␈αε2)␈↓ εo␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ π9␈ε#g␈α␈cd␈↓ πk␈ε#(2␈α␈,␈ε)␈αεn␈ε#␈α↓)
␈β∂$␈↓ ∧#␈ε↓␈␈↓ λ<␈ε↓␈
␈β∂.␈↓ λH␈ε#.
␈β∂/␈↓ ∧n␈ε#.␈↓ ε␈ε#.␈↓ πr␈ε#.
␈β∂:␈↓ ∧#␈ε↓␈␈↓ λ<␈ε↓␈
␈β∂=␈↓ ∧n␈ε#.␈↓ ε␈ε#.␈↓ πr␈ε#.
␈β∂L␈↓ ∧n␈ε#.␈↓ ε␈ε#.␈↓ πr␈ε#.
␈β∂P␈↓ ∧#␈ε↓␈␈↓ λ<␈ε↓␈
␈β∂e␈↓ ∧#␈ε↓␈␈↓ λ<␈ε↓␈
␈β∂s␈↓ ∧4␈ε#gcd␈↓ ∧f␈ε#(␈ε)n␈ε#␈α↓,␈α¬1)␈↓ ¬R␈ε#g␈α␈cd␈↓ εβ␈ε#(␈ε)␈α↓n␈ε#,␈αε2␈α␈)␈↓ εo␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ π7␈ε#gc␈α␈d␈↓ πi␈ε#(␈ε)n␈ε#,␈ε)␈αεn␈ε#)
␈β⊂J␈↓ ↓V␈ε330.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈5␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Sho␈α␈w␈α
tha␈α␈t␈α∞Eu␈α␈cli␈α↓d␈α␈'s␈α
algorith␈α␈m␈α
(Al␈α↓g␈α␈orithm␈α
A)␈α
ap␈α␈plied␈α
to␈α
t␈α␈w␈α␈o␈ε)␈α
n␈ε#-bit␈α
bin␈α␈ary
␈β⊂l␈↓ ∧¬␈ε&2
␈β⊂r␈↓ ↓H␈ε#n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈αreq␈α␈uires␈↓ βK␈ε)O␈↓ βe␈ε#(␈↓ βp␈ε)n␈↓ ∧∀␈ε#)␈αun␈α␈its␈αof␈αtime,␈α
a␈α␈s␈ε)␈αn␈ε7␈α!␈α1␈ε#.␈α≤(Th␈α␈e␈αsam␈α␈e␈αup␈α␈per␈αb␈α␈ou␈α␈nd␈αo␈α␈bv␈α␈i␈α↓o␈α␈usly
␈β⊃→␈↓ ↓H␈ε#hold␈α␈s␈αfo␈α␈r␈αAl␈α↓g␈α␈orithm␈α
B␈α↓.)
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.3␈↓ λM␈ε"'␈↓ 
v␈ε"339
␈β↓\␈↓ ¬y␈ε∞ANA␈α↓L␈α⎇Y␈α↓S␈α␈IS␈α	OF␈α
E␈α↓UCL␈α↓ID␈↓ λW␈ε∞S␈α	A␈α↓L␈α␈GORIT␈α↓HM
␈βα∨␈↓ 	O␈ε,m␈↓ 
K␈ε,n
␈βα%␈↓ ↓V␈ε331.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈2␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Use␈α
E␈α↓u␈α␈clid's␈α
algorith␈α␈m␈α
to␈α
|n␈α␈d␈α
a␈α
simple␈α
form␈α␈u␈α␈la␈α
for␈↓ 	↓␈ε#gcd␈↓ 	3␈ε#(␈↓ 	>␈ε#2␈↓ 	q␈ε7␈␈ε#␈α	1,␈↓ 
;␈ε#2␈↓ 
f␈ε7␈␈ε#␈α
1␈α␈)
␈βαM␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈en␈ε)␈αm␈ε#␈α
an␈α␈d␈ε)␈αn␈ε#␈αa␈α␈re␈αnonn␈α␈ega␈α␈tiv␈α␈e␈αin␈α␈teg␈α␈ers.
␈βαz␈↓ ¬␈␈ε&2
␈ββ␈↓ ↓V␈ε332.␈↓ α␈ε#[␈ε)M4␈α␈3␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Can␈αthe␈αu␈α␈pp␈α␈er␈α
b␈α␈oun␈α␈d␈↓ ¬E␈ε)O␈↓ ¬←␈ε#(␈↓ ¬k␈ε)n␈↓ ε∞␈ε#)␈α
in␈αexe␈α␈rcise␈α
3␈α␈0␈α
b␈α␈e␈α
d␈α␈ecre␈α␈ased␈α␈,␈α∞if␈α
a␈α␈n␈α↓o␈α␈ther␈αalgo␈α␈-
␈ββ(␈↓ ↓H␈ε#rith␈α␈m␈αfor␈αca␈α␈l␈α↓c␈α␈ulating␈α
the␈αg␈α␈reate␈α␈st␈αcommon␈αd␈α␈ivisor␈αis␈αuse␈α␈d?
␈ββ[␈↓ ↓V␈ε333.␈↓ α␈ε#[␈ε)M4␈α␈6␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Ana␈α␈l␈α↓y␈α␈ze␈αV.␈αC.␈↓ ∧S␈ε#Har␈α␈ri␈α↓s's␈α\b␈α␈ina␈α␈ry␈αEuclide␈α␈an␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈m."
␈β∧␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∧∞␈↓ ↓V␈ε334.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈2␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(R.␈αW.␈↓ βi␈ε#Gosp␈α␈er.)␈α_Demon␈α␈strate␈α
h␈α↓o␈α␈w␈α
to␈α
m␈α↓od␈α␈if␈α↓y␈α
Algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈α
B␈αfor␈αla␈α␈rge␈αn␈α}um␈α␈-
␈β∧6␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈ers,␈αusin␈α␈g␈αidea␈α␈s␈αana␈α␈logo␈α␈us␈αto␈αthose␈αin␈α
Al␈α↓g␈α␈orithm␈αL.
␈β∧g␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∧i␈↓ ↓V␈ε335.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈8␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(V.␈α
R␈α␈.␈↓ βc␈ε#Pra␈α␈tt.␈α↓)␈α~E␈α↓x␈α␈ten␈α␈d␈αAlgo␈α␈rithm␈αB␈αto␈αan␈αAlgorith␈α␈m␈αY␈αth␈α␈at␈αis␈αan␈α␈alog␈α␈ou␈α␈s
␈β¬⊂␈↓ ↓H␈ε#to␈α
Al␈α↓g␈α␈orithm␈α
X␈α↓.
␈β¬D␈↓ ↓V␈ε336.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈49␈↓ αt␈ε#]␈α⊗Find␈α
a␈α∞rigo␈α␈rou␈α␈s␈α∞proof␈α∞th␈α␈at␈α∞Bren␈α}t'␈α↓s␈α∞mod␈α␈el␈α∞desc␈α␈ri␈α↓b␈α␈es␈α∞th␈α␈e␈α∞asy␈α␈mp␈α␈totic␈α∞be␈α␈-
␈β¬k␈↓ ↓H␈ε#h␈α␈a␈α␈v␈α␈i␈α↓o␈α␈r␈αof␈αAl␈α↓g␈α␈orithm␈α
B␈α↓.
␈βεj␈↓ ↓4␈ε=*␈↓ ↓H␈ε=4␈α␈.5.3.␈α∩Analysi␈α↓s␈α
of␈α
Euclid's␈α∞Algori␈α↓thm
␈βπ,␈↓ α␈ε"The␈α∩execution␈α∩time␈α∩of␈α∩Euclid's␈α∩algorithm␈α∩depends␈α∩on␈↓ 	␈ε(T␈↓ 	%␈ε",␈α∀the␈α∩n␈α␈um␈α␈ber␈α⊃of
␈βπW␈↓ ↓H␈ε"times␈α∞the␈α∂division␈α∂step␈α∂A2␈α∞is␈α∂performed.␈α≡(See␈α∂Algorithm␈α∂4.5.2A␈α∂and␈α∞Program
␈βλα␈↓ ↓H␈ε"4.5.2A.)␈α∀The␈α
quan␈α␈tit␈α␈y␈↓ ∧,␈ε(T␈↓ ∧P␈ε"is␈αalso␈α
an␈αimportan␈α␈t␈α
factor␈αin␈α
the␈αrunning␈α
time␈αof␈α
other
␈βλ-␈↓ ↓H␈ε"algorithms,␈α∞such␈α
as␈α∞the␈α
ev␈α}aluation␈α∞of␈α
functions␈α∞satisfying␈α
a␈α∞reciprocit␈α␈y␈α
form␈α␈ula
␈βλX␈↓ ↓H␈ε"(see␈α
Section␈α∞3.3.3).␈α∀W␈α⎇e␈α∞shall␈α
see␈α∞in␈α
this␈α
section␈α∞that␈α
the␈α∞mathematical␈α
analysis
␈β	∧␈↓ ↓H␈ε"of␈αthis␈αquan␈α␈tit␈α␈y␈↓ βG␈ε(T␈↓ βl␈ε"is␈αin␈α␈teresting␈αand␈αinstructiv␈α␈e.
␈β	F␈↓ ↓H␈ε2Relation␈α
to␈α
con␈α␈tin␈α␈ued␈αfractions.␈ε"␈α∪Euclid's␈αalgorithm␈α
is␈αin␈α␈timately␈α
connected␈α
with
␈β	q␈↓ ↓H␈ε/con␈α␈tin␈α␈ued␈αfractions␈ε",␈αwhich␈αare␈αexpressions␈αof␈αthe␈αform
␈β
:␈↓ ¬Y␈ε↓␈␈↓ 
j␈ε↓↓
␈β
@␈↓ ↓L␈ε(b
␈β
M␈↓ ↓\␈ε%1
␈β
X␈↓ ∧y␈ε"=␈↓ ¬'␈ε(b␈↓ ¬G␈ε"/␈↓ ¬g␈ε(a␈↓ ε␈ε"+␈↓ ε/␈ε(b␈↓ εO␈ε"/(␈↓ εm␈ε(a␈↓ π⊃␈ε"+␈↓ π5␈ε(b␈↓ πU␈ε"/(␈↓ πs␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ≥␈ε"/(␈↓ λ;␈ε(a␈↓ 	∂␈ε"+␈↓ 	3␈ε(b␈↓ 	V␈ε"/␈↓ 	h␈ε(a␈↓ 
⊂␈ε")␈↓ 
"␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 
R␈ε"))␈↓ 
x␈ε".
␈β
e␈↓ ¬6␈ε%1␈↓ ¬z␈ε%1␈↓ ε>␈ε%2␈↓ π␈ε%2␈↓ πD␈ε%3␈↓ λN␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ 	B␈ε+n␈↓ 	{␈ε+n
␈β
m␈↓ ↓L␈∧
m↓Lαβ∨
␈β
r␈↓ α(␈ε(b
␈β
}␈↓ α7␈ε%2
␈β
␈↓ ↓L␈ε(a␈↓ ↓x␈ε"+
␈β⊗␈↓ ↓←␈ε%1
␈β≡␈↓ α(␈∧≡α(αα@
␈β$␈↓ β∧␈ε(b
␈β0␈↓ β∪␈ε%3
␈β<␈↓ α(␈ε(a␈↓ αT␈ε"+
␈βD␈↓ α␈ε"(1)
␈βH␈↓ α;␈ε%2
␈βP␈↓ β∧␈∧Pβ∧α↓`
␈βm␈↓ β∧␈ε6↓␈αε↓␈αε↓
␈β↓␈↓ β8␈∧↓β8α↓(
␈β␈↓ ∧6␈ε(b
␈β_␈↓ ∧E␈ε+n
␈β$␈↓ β8␈ε(a␈↓ ∧␈ε"+
␈β0␈↓ βK␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈β8␈↓ ∧4␈∧8∧4α(
␈β>␈↓ ∧4␈ε(a
␈βJ␈↓ ∧G␈ε+n
␈β
␈↓ ↓H␈ε"Con␈α␈tin␈α␈ued␈αfractions␈αha␈α␈v␈α␈e␈αa␈αbeautiful␈αtheory␈αthat␈αis␈αthe␈αsubject␈αof␈αsev␈α␈eral␈αbo␈α↓oks.
␈β
7␈↓ ↓H␈ε"[See,␈αfor␈αexample,␈αO.␈↓ ∧≥␈ε"Perron,␈ε/␈αDie␈αLehre␈αv␈α␈on␈αden␈αKetten␈α␈br␈↓ λW␈ε/u␈↓ λX␈ε/∪␈↓ λk␈ε/chen␈ε",␈α3rd␈αed.␈α(Stutt-
␈β
b␈↓ ↓H␈ε"gart:␈α∪T␈α⎇eubner,␈α⊂1954),␈α⊃2␈α∂v␈α␈ols.;␈α⊃A.␈↓ ¬e␈ε"Khinchin,␈ε/␈α⊂Con␈α␈tin␈α␈ued␈α⊂F␈α⎇ractions␈ε",␈α⊂tr.␈α⊂by␈α∂Peter
␈β∞
␈↓ ↓H␈ε"Wynn␈α∂(Groningen:␈α∪P.␈α∂No␈α↓ordh␈α↓o{,␈α⊃1963);␈α⊃H.␈α∂S.␈↓ π=␈ε"W␈α⎇all,␈ε/␈α⊂Analytic␈α⊂Theory␈α∂of␈α∂Con-
␈β∞8␈↓ ↓H␈ε/tinued␈α⊃F␈α⎇ractions␈ε"␈α∩(New␈α∩Y␈α⎇ork:␈α_V␈α⎇an␈α⊃Nostrand,␈α∀1948);␈α∀and␈α∩see␈α∩also␈α∩J.␈↓ 
(␈ε"T␈α⎇ropfk␈α␈e,
␈β∞c␈↓ ↓H␈ε/Geschich␈α␈te␈αder␈αElemen␈α␈tar-Mathematik␈ε2␈α
6␈ε"␈α(Berlin:␈α
Gruyter,␈α1924),␈α
74↑84,␈αfor␈αthe
␈β∂∂␈↓ ↓H␈ε"early␈α
history␈αof␈α
the␈α
subject.]␈α⊂It␈α
is␈αnecessary␈α
to␈αlimit␈α
ourselv␈α␈es␈αto␈α
a␈α
comparativ␈α␈ely
␈β∂:␈↓ ↓H␈ε"brief␈α
treatmen␈α␈t␈α
of␈α
the␈α
theory␈α
here,␈α
studying␈α
only␈α
th␈α↓ose␈α
aspects␈α
that␈α
giv␈α␈e␈α
us␈α
m␈α↓ore
␈β∂e␈↓ ↓H␈ε"insigh␈α␈t␈αin␈α␈to␈αthe␈αbeha␈α␈vior␈αof␈αEuclid's␈αalgorithm.
␈β⊂⊂␈↓ α␈ε"The␈α∞con␈α␈tin␈α␈ued␈α
fractions␈α∞of␈α
primary␈α∞in␈α␈terest␈α
to␈α
us␈α∞are␈α
th␈α↓ose␈α∞in␈α
which␈α∞all␈α
of
␈β⊂<␈↓ ↓H␈ε"the␈ε(␈αb␈ε"'s␈αin␈α(1)␈αare␈αequal␈αto␈αunit␈α␈y.␈α⊂F␈α⎇or␈αcon␈α␈v␈α␈enience␈αin␈αn␈α↓otation,␈αlet␈αus␈αde|ne
␈β⊂t␈↓ ¬∩␈ε↓␈␈↓ 
≤␈ε↓↓
␈β⊃∪␈↓ α@␈ε6?␈↓ αR␈ε(x␈↓ αw␈ε",␈↓ βπ␈ε(x␈↓ β+␈ε",␈↓ β;␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ βk␈ε",␈↓ β{␈ε(x␈↓ ∧$␈ε6?␈ε"␈α
=␈α
1/␈↓ ¬ ␈ε(x␈↓ ¬L␈ε"+␈αλ1/(␈↓ ε(␈ε(x␈↓ εU␈ε"+␈αλ1/(␈↓ π1␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πa␈ε"(␈↓ πm␈ε(x␈↓ λJ␈ε"+␈αλ1/␈↓ 	~␈ε(x␈↓ 	B␈ε")␈↓ 	T␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 
∧␈ε"))␈↓ 
*␈ε".␈↓ α␈ε"(2)
␈β⊃∨␈↓ αf␈ε%1␈↓ β≠␈ε%2␈↓ ∧∂␈ε+n␈↓ ¬4␈ε%1␈↓ ε<␈ε%2␈↓ λ↓␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ 	.␈ε+n
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"340␈↓ 
b␈ε"4.5.3
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"Th␈α␈us,␈αfor␈αexample,
␈βαq␈↓ ∧)␈ε"1␈↓ π"␈ε"1␈↓ λq␈ε(x
␈βα⎇␈↓ 	¬␈ε%2
␈ββ	␈↓ β≠␈ε6?␈↓ β-␈ε(x␈↓ βR␈ε6?␈ε"␈α
=␈↓ ∧H␈ε",␈ε6␈↓ ¬ ?␈↓ ¬2␈ε(x␈↓ ¬W␈ε",␈↓ ¬g␈ε(x␈↓ ε␈ε6?␈ε"␈α
=␈↓ λ
␈ε"=␈↓ 	O␈ε".␈↓ α␈ε"(3)
␈ββ∃␈↓ βA␈ε%1␈↓ ¬F␈ε%1␈↓ ¬{␈ε%2
␈ββ≥␈↓ ∧ ␈∧β≥∧ α%␈↓ εZ␈∧β≥εZα↓"␈↓ λ<␈∧β≥λ<α↓⊂
␈ββ#␈↓ ∧ ␈ε(x␈↓ εZ␈ε(x␈↓ ππ␈ε"+␈αλ1/␈↓ πW␈ε(x␈↓ λ<␈ε(x␈↓ λ`␈ε(x␈↓ 	
␈ε"+␈αλ1
␈ββ/␈↓ ∧4␈ε%1␈↓ εn␈ε%1␈↓ πk␈ε%2␈↓ λP␈ε%1␈↓ λt␈ε%2
␈ββu␈↓ ↓H␈ε"If␈ε(␈α∞n␈ε"␈α∂=␈α∞0,␈α⊂the␈α∞sym␈α␈bol␈ε6␈α∂?␈↓ ∧@␈ε(x␈↓ ∧e␈ε",␈↓ ∧u␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬%␈ε",␈↓ ¬5␈ε(x␈↓ ¬]␈ε6?␈ε"␈α∂is␈α∞tak␈α␈en␈α∂to␈α∂mean␈α∞0.␈α→Let␈α∞us␈α∂also␈α∂de|ne␈α∞the
␈β∧α␈↓ ∧T␈ε%1␈↓ ¬I␈ε+n
␈β∧!␈↓ ↓H␈ε"polyn␈α↓omials␈↓ β⊂␈ε(Q␈↓ β@␈ε"(␈↓ βL␈ε(x␈↓ βq␈ε",␈↓ ∧↓␈ε(x␈↓ ∧&␈ε",␈↓ ∧6␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ∧f␈ε",␈↓ ∧v␈ε(x␈↓ ¬≡␈ε")␈αof␈ε(␈αn␈ε"␈αv␈α}ariables,␈αfor␈ε(␈αn␈ε6␈α
∃␈ε"␈α
0,␈αby␈αthe␈αrule
␈β∧-␈↓ β,␈ε+n␈↓ β`␈ε%1␈↓ ∧∃␈ε%2␈↓ ¬
␈ε+n
␈β∧X␈↓ ∧:␈ε↓8
␈β∧r␈↓ ∧R␈ε"1,␈↓ 	⎇␈ε"if␈ε(␈αn␈ε"␈α
=␈α
0;
␈β∧y␈↓ ∧:␈ε↓>
␈β¬∧␈↓ ∧:␈ε↓<
␈β¬,␈↓ ∧R␈ε(x␈↓ ∧v␈ε",␈↓ 	⎇␈ε"if␈ε(␈αn␈ε"␈α
=␈α
1;
␈β¬-␈↓ ↓g␈ε(Q␈↓ α_␈ε"(␈↓ α$␈ε(x␈↓ αI␈ε",␈↓ αY␈ε(x␈↓ α⎇␈ε",␈↓ β
␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ β=␈ε",␈↓ βM␈ε(x␈↓ βv␈ε")␈α
=
␈β¬8␈↓ ∧f␈ε%1
␈β¬9␈↓ α∧␈ε+n␈↓ α8␈ε%1␈↓ αm␈ε%2␈↓ βa␈ε+n
␈β¬D␈↓ ∧:␈ε↓>
␈β¬O␈↓ ∧:␈ε↓:
␈β¬f␈↓ ∧R␈ε(x␈↓ ∧v␈ε(Q␈↓ ¬T␈ε"(␈↓ ¬`␈ε(x␈↓ ε¬␈ε",␈↓ ε∃␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ εE␈ε",␈↓ εU␈ε(x␈↓ ε⎇␈ε")␈αλ+␈↓ π=␈ε(Q␈↓ λ~␈ε"(␈↓ λ&␈ε(x␈↓ λK␈ε",␈↓ λ[␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	␈ε",␈↓ 	≠␈ε(x␈↓ 	C␈ε"),␈↓ 	⎇␈ε"if␈ε(␈αn␈ε"␈α
>␈α
1.
␈β¬r␈↓ ∧f␈ε%1␈↓ ¬∪␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ ¬t␈ε%2␈↓ εi␈ε+n␈↓ πY␈ε+n␈ε9␈␈ε%2␈↓ λ:␈ε%3␈↓ 	/␈ε+n
␈βε∞␈↓ α␈ε"(4)
␈βε9␈↓ ↓H␈ε"Th␈α␈us␈↓ α!␈ε(Q␈↓ αN␈ε"(␈↓ αZ␈ε(x␈↓ α␈␈ε",␈↓ β∂␈ε(x␈↓ β4␈ε")␈α
=␈↓ βx␈ε(x␈↓ ∧≤␈ε(x␈↓ ∧F␈ε"+␈α∧1,␈↓ ¬⊂␈ε(Q␈↓ ¬=␈ε"(␈↓ ¬I␈ε(x␈↓ ¬n␈ε",␈↓ ¬}␈ε(x␈↓ ε#␈ε",␈↓ ε3␈ε(x␈↓ εW␈ε")␈α
=␈↓ π≠␈ε(x␈↓ π@␈ε(x␈↓ πe␈ε(x␈↓ λ∞␈ε"+␈↓ λ6␈ε(x␈↓ λ←␈ε"+␈↓ 	λ␈ε(x␈↓ 	,␈ε",␈αetc.␈α∂In␈α
general,
␈βεF␈↓ α=␈ε%2␈↓ αn␈ε%1␈↓ β#␈ε%2␈↓ ∧␈ε%1␈↓ ∧0␈ε%2␈↓ ¬,␈ε%3␈↓ ¬]␈ε%1␈↓ ε∩␈ε%2␈↓ εG␈ε%3␈↓ π/␈ε%1␈↓ πT␈ε%2␈↓ πy␈ε%3␈↓ λJ␈ε%1␈↓ 	≤␈ε%3
␈βεe␈↓ ↓H␈ε"as␈αn␈α↓oted␈αby␈αL.␈↓ β9␈ε"Euler␈αin␈αthe␈αeigh␈α␈teen␈α␈th␈αcen␈α␈tury,␈↓ π:␈ε(Q␈↓ πk␈ε"(␈↓ πw␈ε(x␈↓ λ≤␈ε",␈↓ λ,␈ε(x␈↓ λQ␈ε",␈↓ λa␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	⊃␈ε",␈↓ 	!␈ε(x␈↓ 	I␈ε")␈αis␈αthe␈αsum␈αof
␈βεq␈↓ πW␈ε+n␈↓ λ␈ε%1␈↓ λ@␈ε%2␈↓ 	5␈ε+n
␈βπ⊂␈↓ ↓H␈ε"all␈αterms␈αobtainable␈αby␈αstarting␈αwith␈↓ ε∃␈ε(x␈↓ ε9␈ε(x␈↓ εd␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ π∀␈ε(x␈↓ πH␈ε"and␈αdeleting␈αzero␈αor␈αm␈α↓ore␈αn␈α↓on-
␈βπ≤␈↓ ε)␈ε%1␈↓ εM␈ε%2␈↓ π(␈ε+n
␈βπ;␈↓ ↓H␈ε"o␈α␈v␈α␈erlapping␈α∞pairs␈α∞of␈α∞consecutiv␈α␈e␈α∞v␈α}ariables␈↓ εh␈ε(x␈↓ π␈ε(x␈↓ π[␈ε";␈α∂there␈α∞are␈↓ 	⊂␈ε(F␈↓ 	v␈ε"such␈α∞terms.
␈βπG␈↓ ε|␈ε+j␈↓ π∨␈ε+j␈↓ π-␈ε%+␈α␈1␈↓ 	'␈ε+n␈ε%+1
␈βπf␈↓ ↓H␈ε"The␈αpolyn␈α↓omials␈αde|ned␈αin␈α(4)␈αare␈αcalled␈α\␈↓ εj␈ε"con␈α␈tin␈α␈uan␈α␈ts."
␈βλ⊃␈↓ α␈ε"The␈αbasic␈αpropert␈α␈y␈αof␈αthe␈ε(␈αQ␈ε"␈α↓-polyn␈α↓omials␈αis␈αthat
␈βλh␈↓ α#␈ε6?␈↓ α5␈ε(x␈↓ αZ␈ε",␈↓ αj␈ε(x␈↓ β∞␈ε",␈↓ β≡␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ βN␈ε",␈↓ β↑␈ε(x␈↓ ∧π␈ε6?␈ε"␈α
=␈↓ ∧Q␈ε(Q␈↓ ¬.␈ε"(␈↓ ¬:␈ε(x␈↓ ¬←␈ε",␈↓ ¬o␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ε∨␈ε",␈↓ ε/␈ε(x␈↓ εW␈ε")/␈↓ εu␈ε(Q␈↓ π&␈ε"(␈↓ π2␈ε(x␈↓ πW␈ε",␈↓ πg␈ε(x␈↓ λ␈ε",␈↓ λ≠␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λK␈ε",␈↓ λ[␈ε(x␈↓ 	∧␈ε"),␈ε(␈↓ 	hn␈ε6␈α	∃␈ε"␈α
1.␈↓ α␈ε"(5)
␈βλt␈↓ αI␈ε%1␈↓ α}␈ε%2␈↓ βr␈ε+n␈↓ ∧m␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ ¬N␈ε%2␈↓ εC␈ε+n␈↓ π∩␈ε+n␈↓ πF␈ε%1␈↓ π{␈ε%2␈↓ λo␈ε+n
␈β	>␈↓ ↓H␈ε"This␈αcan␈αbe␈αpro␈α␈v␈α␈ed␈αby␈αinduction,␈αsince␈αit␈αimplies␈αthat
␈β
∃␈↓ αm␈ε(x␈↓ β→␈ε"+␈ε6␈αλ?␈↓ βW␈ε(x␈↓ β|␈ε",␈↓ ∧␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ∧<␈ε",␈↓ ∧L␈ε(x␈↓ ∧t␈ε6?␈ε"␈α
=␈↓ ¬>␈ε(Q␈↓ ε≤␈ε"(␈↓ ε(␈ε(x␈↓ εM␈ε",␈↓ ε]␈ε(x␈↓ πα␈ε",␈↓ π∩␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ πB␈ε",␈↓ πR␈ε(x␈↓ πz␈ε")/␈↓ λ_␈ε(Q␈↓ λH␈ε"(␈↓ λT␈ε(x␈↓ λy␈ε",␈↓ 		␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	9␈ε",␈↓ 	I␈ε(x␈↓ 	q␈ε");
␈β
!␈↓ β↓␈ε%0␈↓ βk␈ε%1␈↓ ∧`␈ε+n␈↓ ¬[␈ε+n␈ε%+␈α␈1␈↓ ε<␈ε%0␈↓ εq␈ε%1␈↓ πf␈ε+n␈↓ λ4␈ε+n␈↓ λh␈ε%1␈↓ 	]␈ε+n
␈β
k␈↓ ↓H␈ε"hence␈ε6␈α?␈↓ α>␈ε(x␈↓ αb␈ε",␈↓ αr␈ε(x␈↓ β↔␈ε",␈↓ β'␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ βW␈ε",␈↓ βg␈ε(x␈↓ ∧∂␈ε6?␈ε"␈αis␈αthe␈αreciprocal␈αof␈αthe␈αlatter␈αquan␈α␈tit␈α␈y.
␈β
w␈↓ αR␈ε%0␈↓ βε␈ε%1␈↓ β{␈ε+n
␈β⊗␈↓ α␈ε"The␈ε(␈αQ␈ε"␈α↓-polyn␈α↓omials␈αare␈αsymmetrical␈αin␈αthe␈αsense␈αthat
␈βm␈↓ β␈␈ε(Q␈↓ ∧/␈ε"(␈↓ ∧;␈ε(x␈↓ ∧`␈ε",␈↓ ∧p␈ε(x␈↓ ¬∃␈ε",␈↓ ¬%␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬U␈ε",␈↓ ¬e␈ε(x␈↓ ε
␈ε")␈α
=␈↓ εQ␈ε(Q␈↓ πα␈ε"(␈↓ π∞␈ε(x␈↓ π6␈ε",␈↓ πF␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ πv␈ε",␈↓ λε␈ε(x␈↓ λ+␈ε",␈↓ λ;␈ε(x␈↓ λ`␈ε").␈↓ α␈ε"(6)
␈βy␈↓ ∧≠␈ε+n␈↓ ∧O␈ε%1␈↓ ¬∧␈ε%2␈↓ ¬y␈ε+n␈↓ εn␈ε+n␈↓ π"␈ε+n␈↓ λ~␈ε%2␈↓ λO␈ε%1
␈βC␈↓ ↓H␈ε"This␈αfollo␈α␈ws␈αfrom␈αEuler's␈αobserv␈α}ation␈αabo␈α␈v␈α␈e,␈αand␈αas␈αa␈αconsequence␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈β
~␈↓ α>␈ε(Q␈↓ αn␈ε"(␈↓ αz␈ε(x␈↓ β∨␈ε",␈↓ β/␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ β←␈ε",␈↓ βo␈ε(x␈↓ ∧↔␈ε")␈α
=␈↓ ∧[␈ε(x␈↓ ¬∧␈ε(Q␈↓ ¬a␈ε"(␈↓ ¬m␈ε(x␈↓ ε∩␈ε",␈↓ ε"␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ εR␈ε",␈↓ εb␈ε(x␈↓ π7␈ε")␈αλ+␈↓ πw␈ε(Q␈↓ λT␈ε"(␈↓ λ`␈ε(x␈↓ 	¬␈ε",␈↓ 	∃␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	E␈ε",␈↓ 	U␈ε(x␈↓ 
*␈ε")␈↓ α␈ε"(7)
␈β
&␈↓ αZ␈ε+n␈↓ β∞␈ε%1␈↓ ∧β␈ε+n␈↓ ∧o␈ε+n␈↓ ¬ ␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ ε↓␈ε%1␈↓ εv␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ λ∪␈ε+n␈ε9␈␈ε%2␈↓ λt␈ε%1␈↓ 	i␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈2
␈β
p␈↓ ↓H␈ε"for␈ε(␈αn␈ε"␈α	>␈α
1.␈α⊂The␈ε(␈αQ␈ε"␈α↓-polyn␈α↓omials␈αalso␈αsatisfy␈αthe␈αimportan␈α␈t␈αiden␈α␈tit␈α␈y
␈β∞A␈↓ ↓l␈ε(Q␈↓ α≤␈ε"(␈↓ α(␈ε(x␈↓ αM␈ε",␈↓ α]␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ β
␈ε",␈↓ β≥␈ε(x␈↓ βE␈ε")␈↓ βQ␈ε(Q␈↓ ∧α␈ε"(␈↓ ∧∞␈ε(x␈↓ ∧3␈ε",␈↓ ∧C␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ∧s␈ε",␈↓ ¬β␈ε(x␈↓ ¬X␈ε")␈ε6␈αλ␈␈↓ ε_␈ε(Q␈↓ εu␈ε"(␈↓ π↓␈ε(x␈↓ π&␈ε",␈↓ π6␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ πf␈ε",␈↓ πv␈ε(x␈↓ λK␈ε")␈↓ λW␈ε(Q␈↓ 	5␈ε"(␈↓ 	A␈ε(x␈↓ 	e␈ε",␈↓ 	u␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 
%␈ε",␈↓ 
5␈ε(x␈↓ 
↑␈ε")
␈β∞M␈↓ αλ␈ε+n␈↓ α<␈ε%1␈↓ β1␈ε+n␈↓ βn␈ε+n␈↓ ∧"␈ε%2␈↓ ¬↔␈ε+n␈ε%␈α␈+1␈↓ ε4␈ε+n␈ε%+1␈↓ π∃␈ε%1␈↓ λ
␈ε+n␈ε%+␈α␈1␈↓ λt␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ 	U␈ε%2␈↓ 
I␈ε+n
␈β∞r␈↓ λd␈ε+n
␈β∞z␈↓ πh␈ε"=␈α
(␈ε6␈␈ε"1␈↓ λX␈ε")␈↓ λy␈ε",␈ε(␈↓ 	Qn␈ε6␈α	∃␈ε"␈α
1.␈↓ α(8)
␈β∂Q␈↓ ↓H␈ε"(See␈αexercise␈α4.)␈α⊂The␈αlatter␈αequation␈αin␈αconnection␈αwith␈α(5)␈αimplies␈αthat
␈β⊂ ␈↓ λ_␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈β⊂&␈↓ ∧α␈ε"1␈↓ ¬β␈ε"1␈↓ ε∧␈ε"1␈↓ πJ␈ε"(␈ε6␈␈ε"1␈↓ λ␈ε")
␈β⊂>␈↓ ↓l␈ε6?␈↓ ↓}␈ε(x␈↓ α"␈ε",␈↓ α2␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ αb␈ε",␈↓ αr␈ε(x␈↓ β≠␈ε6?␈ε"␈α
=␈↓ ∧:␈ε6␈␈↓ ¬;␈ε"+␈↓ ε<␈ε6␈␈↓ εh␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π~␈ε"+␈↓ λ]␈ε",
␈β⊂J␈↓ α∩␈ε%1␈↓ βε␈ε+n
␈β⊂R␈↓ βi␈∧⊂RβiαF␈↓ ∧j␈∧⊂R∧jαF␈↓ ¬k␈∧⊂R¬kαF␈↓ πJ␈∧⊂RπJα↓∂
␈β⊂W␈↓ βi␈ε(q␈↓ ∧␈ε(q␈↓ ∧j␈ε(q␈↓ ¬␈ε(q␈↓ ¬k␈ε(q␈↓ ε
␈ε(q␈↓ πU␈ε(q␈↓ λ(␈ε(q
␈β⊂d␈↓ βz␈ε%0␈↓ ∧≥␈ε%1␈↓ ∧{␈ε%1␈↓ ¬≡␈ε%2␈↓ ¬⎇␈ε%2␈↓ ε∨␈ε%3␈↓ πg␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ λ:␈ε+n
␈β⊃⊗␈↓ π␈ε"where␈↓ πs␈ε(q␈↓ λ!␈ε"=␈↓ λO␈ε(Q␈↓ λ⎇␈ε"(␈↓ 		␈ε(x␈↓ 	.␈ε",␈↓ 	>␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	n␈ε",␈↓ 	}␈ε(x␈↓ 
$␈ε").␈↓ α(9)
␈β⊃#␈↓ λ¬␈ε+k␈↓ λk␈ε+k␈↓ 	≥␈ε%1␈↓ 
∩␈ε+k
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.3␈↓ λM␈ε"'␈↓ 
v␈ε"341
␈β↓\␈↓ ¬y␈ε∞ANA␈α↓L␈α⎇Y␈α↓S␈α␈IS␈α	OF␈α
E␈α↓UCL␈α↓ID␈↓ λW␈ε∞S␈α	A␈α↓L␈α␈GORIT␈α↓HM
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"Th␈α␈us␈αthe␈ε(␈αQ␈ε"-polyn␈α↓omials␈αare␈αin␈α␈timately␈αrelated␈αto␈αcon␈α␈tin␈α␈ued␈αfractions.
␈βαV␈↓ α␈ε"Ev␈α␈ery␈α⊂real␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber␈↓ ∧G␈ε(X␈↓ ∧y␈ε"in␈α⊂the␈α⊂range␈α⊂0␈ε6␈α⊃∀␈↓ π'␈ε(X␈↓ πZ␈ε"<␈α⊂1␈α⊂has␈α⊂a␈↓ 	⊗␈ε/regular␈α⊂con␈α␈tin␈α␈ued
␈ββ↓␈↓ ↓H␈ε/fraction␈ε"␈α
de|ned␈α
as␈α
follo␈α␈ws:␈α∂Let␈↓ ¬@␈ε(X␈↓ ¬{␈ε"=␈↓ ε+␈ε(X␈↓ εM␈ε",␈α∞and␈α
for␈α
all␈ε(␈α
n␈ε6␈α∃␈ε"␈α0␈α∞such␈α
that␈↓ 
,␈ε(X␈↓ 
j␈ε6≤␈ε"␈α0
␈ββ∞␈↓ ¬↑␈ε%0␈↓ 
J␈ε+n
␈ββ-␈↓ ↓H␈ε"let
␈ββm␈↓ βH␈ε(A␈↓ ∧-␈ε"=␈ε6␈α
b␈ε"1/␈↓ ¬
␈ε(X␈↓ ¬@␈ε6c␈ε",␈↓ ε&␈ε(X␈↓ π∂␈ε"=␈α
1/␈↓ πa␈ε(X␈↓ λ≠␈ε6␈␈↓ λG␈ε(A␈↓ 	"␈ε".␈↓ 
p␈ε"(10)
␈ββy␈↓ βb␈ε+n␈ε%+1␈↓ ¬+␈ε+n␈↓ εD␈ε+n␈ε%␈α␈+1␈↓ π␈␈ε+n␈↓ λa␈ε+n␈ε%␈α␈+1
␈β∧F␈↓ ↓H␈ε"If␈↓ ↓p␈ε(X␈↓ α2␈ε"=␈α⊃0,␈α⊃the␈α⊂quan␈α␈tities␈↓ ∧␈␈ε(A␈↓ ¬j␈ε"and␈↓ ε4␈ε(X␈↓ π#␈ε"are␈α⊂n␈α↓ot␈α⊂de|ned,␈α⊃and␈α∂the␈α⊂regular
␈β∧S␈↓ α∞␈ε+n␈↓ ¬→␈ε+n␈ε%␈α␈+1␈↓ εR␈ε+n␈ε%␈α␈+1
␈β∧q␈↓ ↓H␈ε"con␈α␈tin␈α␈ued␈αfraction␈αfor␈↓ ∧+␈ε(X␈↓ ∧Y␈ε"is␈ε6␈α
?␈↓ ¬⊂␈ε(A␈↓ ¬;␈ε",␈↓ ¬K␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬{␈ε",␈↓ ε␈ε(A␈↓ ε9␈ε6?␈ε".␈α⊃If␈↓ π
␈ε(X␈↓ πG␈ε6≤␈ε"␈α0,␈α
this␈αde|nition␈αguaran␈α␈tees
␈β∧}␈↓ ¬*␈ε%1␈↓ ε%␈ε+n␈↓ π(␈ε+n
␈β¬≥␈↓ ↓H␈ε"that␈α0␈ε6␈α
∀␈↓ α←␈ε(X␈↓ βH␈ε"<␈α
1,␈αso␈αeach␈αof␈αthe␈ε(␈αA␈ε"'s␈αis␈αa␈αpositiv␈α␈e␈αin␈α␈teger.␈α⊂The␈αde|nition␈α(10)
␈β¬)␈↓ α⎇␈ε+n␈ε%+␈α␈1
␈β¬H␈↓ ↓H␈ε"clearly␈αimplies␈αthat
␈βε*␈↓ ¬~␈ε"1␈↓ π5␈ε"1
␈βεB␈↓ β_␈ε(X␈↓ βD␈ε"=␈↓ βr␈ε(X␈↓ ∧*␈ε"=␈↓ ¬x␈ε"=␈↓ λ`␈ε"=␈↓ 	_␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	R␈ε";
␈βεN␈↓ ∧⊂␈ε%0
␈βεV␈↓ ∧\␈∧εV∧\α↓∞␈↓ ε*␈∧εVε*αα)
␈βε[␈↓ ∧\␈ε(A␈↓ ¬∂␈ε"+␈↓ ¬;␈ε(X␈↓ ε*␈ε(A␈↓ ε]␈ε"+␈αλ1/(␈↓ π9␈ε(A␈↓ πl␈ε"+␈↓ λ_␈ε(X␈↓ λF␈ε")
␈βεh␈↓ ∧v␈ε%1␈↓ ¬Y␈ε%1␈↓ εD␈ε%1␈↓ πS␈ε%2␈↓ λ6␈ε%2
␈βπA␈↓ ↓H␈ε"hence
␈βλ↓␈↓ ∧>␈ε(X␈↓ ∧j␈ε"=␈ε6␈α
?␈↓ ¬*␈ε(A␈↓ ¬U␈ε",␈↓ ¬e␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ε∃␈ε",␈↓ ε%␈ε(A␈↓ π␈ε",␈↓ π⊂␈ε(A␈↓ πF␈ε"+␈↓ πr␈ε(X␈↓ λ$␈ε6?␈↓ 
p␈ε"(11)
␈βλ∞␈↓ ¬D␈ε%1␈↓ ε?␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ π*␈ε+n␈↓ λ⊂␈ε+n
␈βλ[␈↓ ↓H␈ε"for␈α
all␈ε(␈α
n␈ε6␈α
∃␈ε"␈α
1,␈αwhenev␈α␈er␈↓ ∧?␈ε(X␈↓ ∧|␈ε"is␈α
de|ned.␈α⊂In␈α
particular,␈αw␈α␈e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈↓ 	¬␈ε(X␈↓ 	1␈ε"=␈ε6␈α
?␈↓ 	q␈ε(A␈↓ 
≤␈ε",␈↓ 
,␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 
\␈ε",␈↓ 
l␈ε(A␈↓ ~␈ε6?
␈βλg␈↓ ∧]␈ε+n␈↓ 
␈ε%1␈↓ ε␈ε+n
␈β	ε␈↓ ↓H␈ε"when␈↓ α%␈ε(X␈↓ αb␈ε"=␈α
0.␈α⊂If␈↓ β←␈ε(X␈↓ ∧≤␈ε6≤␈ε"␈α
0,␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈↓ ε1␈ε(X␈↓ ε←␈ε"alw␈α␈a␈α␈ys␈αlies␈ε/␈αbet␈α␈w␈α␈een␈ε6␈α?␈↓ 	,␈ε(A␈↓ 	V␈ε",␈↓ 	f␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 
⊗␈ε",␈↓ 
&␈ε(A␈↓ 
U␈ε6?␈ε"␈αand
␈β	∩␈↓ αC␈ε+n␈↓ β⎇␈ε+n␈↓ 	F␈ε%1␈↓ 
@␈ε+n
␈β	1␈↓ ↓H␈ε6?␈↓ ↓Z␈ε(A␈↓ α∧␈ε",␈↓ α∀␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ αD␈ε",␈↓ αT␈ε(A␈↓ βπ␈ε"+␈α∧1␈ε6?␈ε",␈α
since␈α
by␈α
(7)␈α
the␈α
quan␈α␈tit␈α␈y␈↓ εk␈ε(q␈↓ π≠␈ε"=␈↓ πI␈ε(Q␈↓ πy␈ε"(␈↓ λ¬␈ε(A␈↓ λ0␈ε",␈↓ λ@␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λp␈ε",␈↓ 	␈ε(A␈↓ 	2␈ε"+␈↓ 	Z␈ε(X␈↓ 
␈ε")␈α
increases
␈β	=␈↓ ↓t␈ε%1␈↓ αn␈ε+n␈↓ ε|␈ε+n␈↓ πe␈ε+n␈↓ λ∨␈ε%1␈↓ 	~␈ε+n␈↓ 	x␈ε+n
␈β	\␈↓ ↓H␈ε"m␈α↓on␈α↓otonically␈α
from␈↓ ∧␈ε(Q␈↓ ∧<␈ε"(␈↓ ∧H␈ε(A␈↓ ∧s␈ε",␈↓ ¬β␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬3␈ε",␈↓ ¬C␈ε(A␈↓ ¬q␈ε")␈α∞up␈α
to␈↓ εn␈ε(Q␈↓ π∨␈ε"(␈↓ π+␈ε(A␈↓ πU␈ε",␈↓ πe␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λ∃␈ε",␈↓ λ%␈ε(A␈↓ λ]␈ε"+␈α	1)␈α
as␈↓ 	c␈ε(X␈↓ 
"␈ε"increases
␈β	i␈↓ ∧(␈ε+n␈↓ ∧b␈ε%1␈↓ ¬]␈ε+n␈↓ π
␈ε+n␈↓ πE␈ε%1␈↓ λ?␈ε+n␈↓ 
↓␈ε+n
␈β
π␈↓ ↓H␈ε"from␈α∞0␈α∂to␈α∞1,␈α∂and␈α∂by␈α∞(9)␈α∂the␈α∞con␈α␈tin␈α␈ued␈α∂fraction␈α∞increases␈α∂or␈α∞decreases␈α∂when␈↓ ε␈ε(q
␈β
∀␈↓ _␈ε+n
␈β
3␈↓ ↓H␈ε"increases,␈αaccording␈αas␈ε(␈αn␈ε"␈αis␈αev␈α␈en␈αor␈αodd.␈α⊂In␈αfact,
␈β_␈↓ ↓e␈ε6j␈↓ ↓o␈ε(X␈↓ α→␈ε6␈␈αλ?␈↓ αW␈ε(A␈↓ βα␈ε",␈↓ β∩␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ βB␈ε",␈↓ βR␈ε(A␈↓ ∧␈ε6?j␈↓ ∧&␈ε"=␈ε6␈α
j?␈↓ ∧p␈ε(A␈↓ ¬≠␈ε",␈↓ ¬+␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬[␈ε",␈↓ ¬k␈ε(A␈↓ ε!␈ε"+␈↓ εM␈ε(X␈↓ ε␈␈ε6?␈αλ␈␈αλ?␈↓ πW␈ε(A␈↓ λα␈ε",␈↓ λ∩␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λB␈ε",␈↓ λR␈ε(A␈↓ 	␈ε6?j
␈β%␈↓ αq␈ε%1␈↓ βl␈ε+n␈↓ ¬
␈ε%1␈↓ ε¬␈ε+n␈↓ εk␈ε+n␈↓ πq␈ε%1␈↓ λl␈ε+n
␈βN␈↓ ∧&␈ε"=␈ε6␈α
j?␈↓ ∧p␈ε(A␈↓ ¬≠␈ε",␈↓ ¬+␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬[␈ε",␈↓ ¬k␈ε(A␈↓ ε→␈ε",␈αε1/␈↓ εM␈ε(X␈↓ ε␈␈ε6?␈αλ␈␈αλ?␈↓ πW␈ε(A␈↓ λα␈ε",␈↓ λ∩␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λB␈ε",␈↓ λR␈ε(A␈↓ 	␈ε6?j
␈β[␈↓ ¬
␈ε%1␈↓ ε¬␈ε+n␈↓ εk␈ε+n␈↓ πq␈ε%1␈↓ λl␈ε+n
␈βm␈↓ ∧T␈ε↓␈␈↓ 
G␈ε↓␈
␈ββ␈↓ ∧T␈ε↓␈␈↓ 
G␈ε↓␈
␈β	␈↓ ∧z␈ε(Q␈↓ ¬+␈ε"(␈↓ ¬7␈ε(A␈↓ ¬b␈ε",␈↓ ¬r␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ε"␈ε",␈↓ ε2␈ε(A␈↓ ε`␈ε",␈αε1/␈↓ π∀␈ε(X␈↓ πF␈ε")␈↓ λ%␈ε(Q␈↓ 	α␈ε"(␈↓ 	∞␈ε(A␈↓ 	9␈ε",␈↓ 	I␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	y␈ε",␈↓ 
	␈ε(A␈↓ 
7␈ε")
␈β⊗␈↓ ¬↔␈ε+n␈↓ ¬Q␈ε%2␈↓ εL␈ε+n␈↓ π2␈ε+n␈↓ λA␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ 	(␈ε%2␈↓ 
#␈ε+n
␈β_␈↓ ∧T␈ε↓␈␈↓ 
G␈ε↓␈
␈β!␈↓ ∧&␈ε"=␈↓ πu␈ε6␈
␈β.␈↓ ∧T␈ε↓␈␈↓ 
G␈ε↓␈
␈β5␈↓ ∧d␈∧5∧dαβ¬␈↓ λ%␈∧5λ%αα∨
␈β;␈↓ ∧d␈ε(Q␈↓ ¬A␈ε"(␈↓ ¬M␈ε(A␈↓ ¬x␈ε",␈↓ ελ␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ε8␈ε",␈↓ εH␈ε(A␈↓ εv␈ε",␈αε1/␈↓ π*␈ε(X␈↓ π]␈ε")␈↓ λ;␈ε(Q␈↓ λl␈ε"(␈↓ λx␈ε(A␈↓ 	#␈ε",␈↓ 	3␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	c␈ε",␈↓ 	s␈ε(A␈↓ 
!␈ε")
␈βG␈↓ ¬␈ε+n␈ε%+1␈↓ ¬g␈ε%1␈↓ εb␈ε+n␈↓ πH␈ε+n␈↓ λX␈ε+n␈↓ 	∩␈ε%1␈↓ 

␈ε+n
␈β[␈↓ ∧x␈ε↓␈␈↓ 	|␈ε↓↓
␈βy␈↓ ∧&␈ε"=␈α
1/␈↓ ¬ε␈ε(Q␈↓ ¬7␈ε"(␈↓ ¬C␈ε(A␈↓ ¬m␈ε",␈↓ ¬⎇␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ε-␈ε",␈↓ ε=␈ε(A␈↓ εl␈ε")␈↓ εx␈ε(Q␈↓ πU␈ε"(␈↓ πa␈ε(A␈↓ λ␈ε",␈↓ λ≤␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λL␈ε",␈↓ λ\␈ε(A␈↓ 	
␈ε",␈αε1/␈↓ 	>␈ε(X␈↓ 	p␈ε")
␈β
ε␈↓ ¬"␈ε+n␈↓ ¬]␈ε%1␈↓ εW␈ε+n␈↓ π∀␈ε+n␈ε%+␈α␈1␈↓ π{␈ε%1␈↓ λv␈ε+n␈↓ 	\␈ε+n
␈β
⊃␈↓ ∧x␈ε↓␈␈↓ 
↓␈ε↓↓
␈β
/␈↓ ∧&␈ε6∀␈ε"␈α
1/␈↓ ¬ε␈ε(Q␈↓ ¬7␈ε"(␈↓ ¬C␈ε(A␈↓ ¬m␈ε",␈↓ ¬⎇␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ε-␈ε",␈↓ ε=␈ε(A␈↓ εl␈ε")␈↓ εx␈ε(Q␈↓ πU␈ε"(␈↓ πa␈ε(A␈↓ λ␈ε",␈↓ λ≤␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λL␈ε",␈↓ λ\␈ε(A␈↓ 	
␈ε",␈↓ 	~␈ε(A␈↓ 	u␈ε")␈↓ 
p␈ε"(12)
␈β
<␈↓ ¬"␈ε+n␈↓ ¬]␈ε%1␈↓ εW␈ε+n␈↓ π∀␈ε+n␈ε%+␈α␈1␈↓ π{␈ε%1␈↓ λv␈ε+n␈↓ 	4␈ε+n␈ε%+␈α␈1
␈β∞≠␈↓ ↓H␈ε"by␈α
(5),␈α
(7),␈α
(8),␈α
and␈α
(10).␈α∩Therefore␈ε6␈α
?␈↓ ε∃␈ε(A␈↓ ε@␈ε",␈↓ εP␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ π␈ε",␈↓ π⊂␈ε(A␈↓ π>␈ε6?␈ε"␈α
is␈α
an␈α
extremely␈α
close␈αappro␈α␈x-
␈β∞'␈↓ ε/␈ε%1␈↓ π*␈ε+n
␈β∞F␈↓ ↓H␈ε"imation␈α	to␈↓ αq␈ε(X␈↓ β∪␈ε",␈α
unless␈ε(␈α	n␈ε"␈α	is␈αλsmall.␈α∂If␈↓ ¬Y␈ε(X␈↓ ε∧␈ε"is␈α	irrational,␈α
it␈α	is␈α	impossible␈αλto␈α	ha␈α␈v␈α␈e␈↓ 
0␈ε(X␈↓ 
l␈ε"=␈α
0
␈β∞R␈↓ 
N␈ε+n
␈β∞q␈↓ ↓H␈ε"for␈αan␈α␈y␈ε(␈α
n␈ε"␈α␈,␈α
so␈αthe␈α
regular␈αcon␈α␈tin␈α␈ued␈α
fraction␈αexpansion␈α
in␈αthis␈α
case␈αis␈α
an␈↓ 
>␈ε/in|nite
␈β∂≤␈↓ ↓H␈ε/con␈α␈tin␈α␈ued␈αfraction␈ε6␈α?␈↓ ∧∧␈ε(A␈↓ ∧/␈ε",␈↓ ∧?␈ε(A␈↓ ∧i␈ε",␈↓ ∧y␈ε(A␈↓ ¬$␈ε",␈↓ ¬4␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬d␈ε6?␈ε".␈α⊃The␈αv␈α}alue␈αof␈αan␈αin|nite␈αcon␈α␈tin␈α␈ued␈αfraction
␈β∂)␈↓ ∧≡␈ε%1␈↓ ∧Y␈ε%2␈↓ ¬∪␈ε%3
␈β∂G␈↓ ↓H␈ε"is␈α
de|ned␈α
to␈α
be␈↓ β<␈ε"lim␈↓ ∧C␈ε6?␈↓ ∧U␈ε(A␈↓ ¬␈ε",␈↓ ¬⊂␈ε(A␈↓ ¬;␈ε",␈↓ ¬K␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬{␈ε",␈↓ ε␈ε(A␈↓ ε9␈ε6?␈ε",␈αand␈α
from␈α
the␈α
inequalit␈α␈y␈α
(12)␈α
it␈α
is␈α
clear
␈β∂T␈↓ βn␈ε+n␈ε9!␈α␈1␈↓ ∧o␈ε%1␈↓ ¬*␈ε%2␈↓ ε%␈ε+n
␈β∂s␈↓ ↓H␈ε"that␈αthis␈αlimit␈αequals␈↓ ∧≡␈ε(X␈↓ ∧@␈ε".
␈β⊂!␈↓ α␈ε"The␈αregular␈αcon␈α␈tin␈α␈ued␈αfraction␈αexpansion␈αof␈αreal␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αhas␈αsev␈α␈eral␈αprop-
␈β⊂I␈↓ ↓H␈ε"erties␈α
analogous␈α
to␈α
the␈α∞represen␈α␈tation␈α
of␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α∞in␈α
the␈α
decimal␈α
system.␈α∀If␈α
w␈α␈e
␈β⊂p␈↓ ↓H␈ε"use␈αthe␈αform␈α␈ulas␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αto␈αcompute␈αthe␈αregular␈αcon␈α␈tin␈α␈ued␈αfraction␈αexpansions␈αof
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"some␈αfamiliar␈αreal␈αn␈α␈um␈α␈bers,␈αw␈α␈e␈α|nd,␈αfor␈αexample,␈αthat
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"342␈↓ 
b␈ε"4.5.3
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα_␈↓ ↓o␈ε&8
␈βα≠␈↓ α⊃␈ε#=␈ε7␈α	?␈ε#3,␈α¬1,␈αε1,␈α¬1,␈αε2␈ε7␈α␈?␈ε#;
␈βα+␈↓ ↓h␈ε&29
␈βα.␈↓ ↓h␈∧α.↓hα≤
␈βα/␈↓ ↓A␈ε↓p
␈βαM␈↓ ↓e␈∧αM↓eα#
␈βαN␈↓ ↓o␈ε&8
␈βαQ␈↓ α⊃␈ε#=␈ε7␈α	?␈ε#1,␈α¬1,␈αε9,␈α¬2,␈αε2␈α␈,␈αε3,␈αε2␈α␈,␈αε2,␈αε9␈α␈,␈αε1,␈αε2␈α␈,␈αε1,␈α¬9,␈αε2,␈α¬2,␈αε3␈α␈,␈αε2,␈αε2␈α␈,␈αε9,␈αε1␈α␈,␈αε2,␈α¬1,␈αε9,␈α¬2,␈αε2␈α␈,␈αε3,␈αε2␈α␈,␈αε2,␈αε9␈α␈,␈αε1,␈↓ 	|␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ 
(␈ε7?␈ε#;
␈βαa␈↓ ↓h␈ε&29
␈βαd␈↓ ↓h␈∧αd↓hα≤
␈ββ↓␈↓ ↓[␈ε7p␈↓ ↓c␈ε'3
␈ββ∧␈↓ ↓w␈∧β∧↓wα⊃
␈ββπ␈↓ ↓w␈ε#2␈↓ α⊃␈ε#=␈α	1␈απ+␈ε7␈αλ?␈ε#3␈α␈,␈αε1,␈αε5␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈,␈αε4,␈α¬1,␈αε1,␈α¬8,␈αε1␈α␈,␈αε14,␈α¬1,␈αε1␈α␈0,␈αε2,␈α¬1,␈αε4␈α␈,␈αε12,␈α¬2,␈αε3␈α␈,␈αε2,␈αε1␈α␈,␈αε3,␈αε4␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈,␈αε2,␈α¬14,␈αε3␈α␈,␈↓ 
@␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ 
l␈ε7?␈ε#;
␈ββ=␈↓ ↓s␈ε)→␈↓ α⊃␈ε#=␈α	3␈απ+␈ε7␈αλ?␈ε#7␈α␈,␈αε15,␈α¬1,␈αε2␈α␈92,␈αε1␈α␈,␈αε1,␈α¬1,␈αε2,␈α¬1,␈αε3␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈4,␈αε2␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈,␈αε2,␈αε2␈α␈,␈αε2,␈α¬2,␈αε1,␈α¬84,␈α¬2,␈αε1,␈α¬1,␈αε1␈α␈5,␈αε3,␈α¬13,␈↓ 
R␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ 
␈␈ε7?␈ε#;
␈ββs␈↓ ↓y␈ε)e␈↓ α⊃␈ε#=␈α	2␈απ+␈ε7␈αλ?␈ε#1␈α␈,␈αε2,␈αε1␈α␈,␈αε1,␈αε4␈α␈,␈αε1,␈α¬1,␈αε6,␈α¬1,␈αε1␈α␈,␈αε8,␈αε1␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈0,␈αε1␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈2,␈αε1␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈4,␈αε1␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈6,␈αε1␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈8,␈αε1␈α␈,␈↓ 
1␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ 
↑␈ε7?␈ε#␈α␈;
␈β∧)␈↓ ↓t␈ε)␈
␈↓ α⊃␈ε#=␈ε7␈α	?␈ε#1,␈α¬1,␈αε2,␈α¬1,␈αε2␈α␈,␈αε1,␈αε4␈α␈,␈αε3,␈αε1␈α␈3,␈αε5␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈,␈αε8,␈αε1␈α␈,␈αε2,␈α¬4,␈αε1,␈α¬1,␈αε4␈α␈0,␈αε1,␈α¬11,␈α¬3,␈αε7,␈α¬1,␈αε7␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈,␈αε5,␈↓ 	o␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ 
≠␈ε7?␈ε#;
␈β∧]␈↓ 
p␈ε"(13)
␈β∧←␈↓ ↓t␈ε)≡␈↓ α⊃␈ε#=␈α	1␈απ+␈ε7␈αλ?␈ε#1␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈,␈αε1,␈α¬1,␈αε1,␈α¬1,␈↓ ¬(␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬T␈ε7?␈ε#.
␈β¬$␈↓ ↓H␈ε"The␈αn␈α␈um␈α␈bers␈↓ β!␈ε(A␈↓ βL␈ε",␈↓ βa␈ε(A␈↓ ∧␈ε",␈↓ ∧"␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ∧W␈ε"are␈αcalled␈αthe␈↓ ε6␈ε/partial␈αquotien␈α␈ts␈ε"␈αof␈↓ λn␈ε(X␈↓ 	∂␈ε".␈α⊂Note␈αthe␈αregular
␈β¬.␈↓ π7␈ε↓p
␈β¬0␈↓ β;␈ε%1␈↓ β{␈ε%2
␈β¬L␈↓ π[␈∧¬Lπ[αH
␈β¬O␈↓ ↓H␈ε"pattern␈α	that␈α
appears␈α
in␈α
the␈α
partial␈α
quotien␈α␈ts␈α	for␈↓ π[␈ε"8/29␈↓ λ#␈ε",␈ε(␈α≡␈ε",␈α
and␈ε(␈α
e␈ε";␈αthe␈α
reasons␈α	for
␈β¬z␈↓ ↓H␈ε"this␈αbeha␈α␈vior␈αare␈αdiscussed␈αin␈αexercises␈α12␈αand␈α16.␈α⊂There␈αis␈αn␈α↓o␈αapparen␈α␈t␈αpattern
␈βε ␈↓ ¬␈ε'3
␈βε!␈↓ ∧w␈ε6p
␈βε$␈↓ ¬∃␈∧ε$¬∃α∩
␈βε%␈↓ ↓H␈ε"in␈αthe␈αpartial␈αquotien␈α␈ts␈αfor␈↓ ¬∃␈ε"2␈↓ ¬'␈ε",␈↓ ¬=␈ε(→␈↓ ¬S␈ε",␈αor␈↓ ε∃␈ε(␈
␈↓ ε)␈ε".
␈βεP␈↓ α␈ε"It␈α∪is␈α∩in␈α␈teresting␈α∪to␈α∪n␈α↓ote␈α∩that␈α∪the␈α∩ancien␈α␈t␈α∪Greeks'␈↓ λK␈ε"|rst␈α∩de|nition␈α∪of␈α∩real
␈βε|␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈bers,␈α∞once␈α∂they␈α∞had␈α∞disco␈α␈v␈α␈ered␈α∂the␈α∞existence␈α∞of␈α∞irrationals,␈α∂w␈α␈as␈α∞essen␈α␈tially
␈βπ'␈↓ ↓H␈ε"stated␈αλin␈αλterms␈α	of␈αλin|nite␈αλcon␈α␈tin␈α␈ued␈α	fractions.␈α(Later␈αλthey␈α	adopted␈αλthe␈αλsuggestion
␈βπR␈↓ ↓H␈ε"of␈↓ ↓p␈ε"Eudo␈α␈xus␈αthat␈ε(␈αx␈ε"␈α
=␈↓ ∧≠␈ε(y␈↓ ∧9␈ε"sh␈α↓ould␈α
be␈αde|ned␈αinstead␈αas␈α\␈ε(x␈ε"␈α
<␈↓ λX␈ε(r␈↓ λs␈ε"if␈αand␈α
only␈αif␈↓ 
G␈ε(y␈↓ 
d␈ε"<␈↓ ∩␈ε(r␈↓ "␈ε",
␈βπ⎇␈↓ ↓H␈ε"for␈α
all␈α
rational␈↓ β;␈ε(r␈↓ βL␈ε".")␈α∪See␈α
O.␈↓ ∧{␈ε"Beck␈α␈er,␈ε/␈α∞Quellen␈α
und␈α
Studien␈α
zur␈α
Geschich␈α␈te␈α
Math.,
␈βλ(␈↓ ↓H␈ε/Astron.,␈αPh␈α␈ysik␈ε"␈α(B)␈ε2␈α2␈ε"␈α(1933),␈α311↑333.
␈βλ[␈↓ α␈ε"When␈↓ αw␈ε(X␈↓ β(␈ε"is␈α∞a␈α∂rational␈α∂n␈α␈um␈α␈ber,␈α∂the␈α∂regular␈α∂con␈α␈tin␈α␈ued␈α∂fraction␈α∞corresponds
␈β	π␈↓ ↓H␈ε"in␈α∞a␈α∂natural␈α∂w␈α␈a␈α␈y␈α∂to␈α∞Euclid's␈α∂algorithm.␈α_Let␈α∂us␈α∂assume␈α∂that␈↓ 	~␈ε(X␈↓ 	K␈ε"=␈↓ 	⎇␈ε(v␈↓ 
⊂␈ε"/␈ε(u␈ε",␈α∂where
␈β	2␈↓ ↓H␈ε(u␈ε"␈α
>␈↓ α⊗␈ε(v␈↓ α4␈ε6∃␈ε"␈α0.␈α∩The␈αregular␈α
con␈α␈tin␈α␈ued␈αfraction␈α
process␈αstarts␈α
with␈↓ 	4␈ε(X␈↓ 	n␈ε"=␈↓ 
≥␈ε(X␈↓ 
?␈ε";␈α
let␈αus
␈β	>␈↓ 	R␈ε%0
␈β	]␈↓ ↓H␈ε"de|ne␈↓ α0␈ε(U␈↓ αc␈ε"=␈ε(␈α
u␈ε",␈↓ β<␈ε(V␈↓ βm␈ε"=␈↓ ∧≠␈ε(v␈↓ ∧-␈ε".␈α⊂Assuming␈αthat␈↓ ε9␈ε(X␈↓ εv␈ε"=␈↓ π$␈ε(V␈↓ πN␈ε"/␈↓ π`␈ε(U␈↓ λ↔␈ε6≤␈ε"␈α
0,␈α(10)␈αbecomes
␈β	i␈↓ αH␈ε%0␈↓ βR␈ε%0␈↓ εW␈ε+n␈↓ π9␈ε+n␈↓ πx␈ε+n
␈β
#␈↓ ¬)␈ε(A␈↓ ε∞␈ε"=␈ε6␈α
b␈↓ εJ␈ε(U␈↓ εw␈ε"/␈↓ π	␈ε(V␈↓ π3␈ε6c␈ε",
␈β
/␈↓ ¬C␈ε+n␈ε%+␈α␈1␈↓ εc␈ε+n␈↓ π∨␈ε+n
␈β
B␈↓ 
p␈ε"(14)
␈β
`␈↓ βT␈ε(X␈↓ ∧=␈ε"=␈↓ ∧k␈ε(U␈↓ ¬_␈ε"/␈↓ ¬*␈ε(V␈↓ ¬\␈ε6␈␈↓ ελ␈ε(A␈↓ εm␈ε"=␈α
(␈↓ π'␈ε(U␈↓ πZ␈ε"mod␈↓ λ$␈ε(V␈↓ λN␈ε")/␈↓ λl␈ε(V␈↓ 	⊗␈ε".
␈β
l␈↓ βr␈ε+n␈ε%+␈α␈1␈↓ ¬∧␈ε+n␈↓ ¬@␈ε+n␈↓ ε"␈ε+n␈ε%+␈α␈1␈↓ π@␈ε+n␈↓ λ:␈ε+n␈↓ 	α␈ε+n
␈β%␈↓ ↓H␈ε"Therefore,␈αif␈αw␈α␈e␈αde|ne
␈βn␈↓ ∧⊂␈ε(U␈↓ ∧t␈ε"=␈↓ ¬"␈ε(V␈↓ ¬L␈ε",␈↓ ε$␈ε(V␈↓ π¬␈ε"=␈↓ π3␈ε(U␈↓ πf␈ε"mod␈↓ λ0␈ε(V␈↓ λZ␈ε",␈↓ 
p␈ε"(15)
␈βz␈↓ ∧)␈ε+n␈ε%+␈α␈1␈↓ ¬8␈ε+n␈↓ ε:␈ε+n␈ε%␈α␈+1␈↓ πL␈ε+n␈↓ λF␈ε+n
␈β7␈↓ ↓H␈ε"the␈αcondition␈↓ β%␈ε(X␈↓ βb␈ε"=␈↓ ∧⊃␈ε(V␈↓ ∧;␈ε"/␈↓ ∧M␈ε(U␈↓ ¬π␈ε"h␈α↓olds␈α
through␈α↓out␈αthe␈α
process.␈α∩F␈α⎇urtherm␈α↓ore,␈α
(15)␈αis
␈βC␈↓ βC␈ε+n␈↓ ∧'␈ε+n␈↓ ∧f␈ε+n
␈βb␈↓ ↓H␈ε"precisely␈α
the␈α
transformation␈α
made␈α
on␈α
the␈α
v␈α}ariables␈ε(␈α
u␈ε"␈α
and␈↓ λI␈ε(v␈↓ λf␈ε"in␈α
Euclid's␈α
algorithm
␈β
	␈↓ λ␈ε%8
␈β

␈↓ ↓H␈ε"(see␈α
Algorithm␈α
4.5.2A␈↓ ∧~␈ε",␈α
step␈α
A2).␈α∂F␈α⎇or␈α
example,␈αsince␈↓ λ%␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"3,␈αε1,␈αε1,␈αε1,␈αε2␈ε6?␈ε",␈α
w␈α␈e␈α
kn␈α↓o␈α␈w
␈β
≡␈↓ πy␈ε%29
␈β
!␈↓ πy␈∧
!πyα∨
␈β
8␈↓ ↓H␈ε"that␈α∞Euclid's␈α∞algorithm␈α∞applied␈α∞to␈ε(␈α∞u␈ε"␈α∞=␈α
29␈α∂and␈↓ πE␈ε(v␈↓ πe␈ε"=␈α∞8␈α∞will␈α∞require␈α∞exactly␈α∞|v␈α␈e
␈β
c␈↓ ↓H␈ε"division␈αsteps,␈αand␈αthe␈αquotien␈α␈ts␈ε6␈αb␈ε(u␈ε"/␈↓ ε¬␈ε(v␈↓ ε_␈ε6c␈ε"␈αin␈αstep␈αA2␈α
will␈αbe␈αsuccessiv␈α␈ely␈α3,␈α1,␈α1,␈α1,
␈β∞∂␈↓ ↓H␈ε"and␈α2.␈α⊃Note␈αthat␈α
the␈αlast␈α
partial␈αquotien␈α␈t␈↓ εf␈ε(A␈↓ π!␈ε"m␈α␈ust␈αbe␈α
2␈αor␈αm␈α↓ore␈α
when␈↓ 
/␈ε(X␈↓ 
l␈ε"=␈α
0
␈β∞≠␈↓ π␈ε+n␈↓ 
M␈ε+n
␈β∞:␈↓ ↓H␈ε"and␈ε(␈αn␈ε6␈α	∃␈ε"␈α
1,␈αsince␈↓ β[␈ε(X␈↓ ∧F␈ε"is␈αless␈αthan␈αunit␈α␈y.
␈β∞F␈↓ βy␈ε+n␈ε9␈␈ε%1
␈β∞e␈↓ α␈ε"F␈α⎇rom␈αλthis␈α	correspondence␈αλwith␈α	Euclid's␈αλalgorithm␈αλw␈α␈e␈α	can␈αλsee␈α	that␈αλthe␈αλregular
␈β∂⊂␈↓ ↓H␈ε"con␈α␈tin␈α␈ued␈α∞fraction␈α∂for␈↓ ∧1␈ε(X␈↓ ∧b␈ε"terminates␈α∞at␈α∂some␈α∞step␈α∂with␈↓ λE␈ε(X␈↓ 	¬␈ε"=␈α∞0␈α∂if␈α∞and␈α∂only␈α∞if
␈β∂≥␈↓ λc␈ε+n
␈β∂;␈↓ ↓H␈ε(X␈↓ ↓x␈ε"is␈α∞rational;␈α∞for␈α∞it␈α∞is␈α∞obvious␈α∞that␈↓ ε␈ε(X␈↓ εK␈ε"cann␈α↓ot␈α∞be␈α∞zero␈α∞if␈↓ λh␈ε(X␈↓ 	_␈ε"is␈α∞irrational,␈α∞and,
␈β∂H␈↓ ε)␈ε+n
␈β∂g␈↓ ↓H␈ε"con␈α␈v␈α␈ersely,␈α∂w␈α␈e␈α∂kn␈α↓o␈α␈w␈α∂that␈α∂Euclid's␈α∂algorithm␈α∞alw␈α␈a␈α␈ys␈α∂terminates.␈α→If␈α∂the␈α∞partial
␈β⊂∩␈↓ ↓H␈ε"quotien␈α␈ts␈αobtained␈αduring␈αEuclid's␈αalgorithm␈αare␈↓ πL␈ε(A␈↓ πw␈ε",␈↓ λ
␈ε(A␈↓ λ7␈ε",␈↓ λM␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λ⎇␈ε",␈↓ 	∩␈ε(A␈↓ 	@␈ε",␈αthen␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e,
␈β⊂≡␈↓ πf␈ε%1␈↓ λ'␈ε%2␈↓ 	,␈ε+n
␈β⊂=␈↓ ↓H␈ε"by␈α(5),
␈β⊂e␈↓ ∧u␈ε(v␈↓ ¬P␈ε(Q␈↓ ε.␈ε"(␈↓ ε:␈ε(A␈↓ εd␈ε",␈↓ εt␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ π$␈ε",␈↓ π4␈ε(A␈↓ πc␈ε")
␈β⊂q␈↓ ¬m␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ εT␈ε%2␈↓ πN␈ε+n
␈β⊂⎇␈↓ ¬↔␈ε"=␈↓ πz␈ε".␈↓ 
p␈ε"(16)
␈β⊃⊃␈↓ ∧t␈∧⊃⊃∧tα∃␈↓ ¬I␈∧⊃⊃¬Iαα-
␈β⊃⊗␈↓ ∧t␈ε(u␈↓ ¬I␈ε(Q␈↓ ¬z␈ε"(␈↓ εε␈ε(A␈↓ ε1␈ε",␈↓ εA␈ε(A␈↓ εk␈ε",␈↓ ε{␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ π+␈ε",␈↓ π;␈ε(A␈↓ πj␈ε")
␈β⊃#␈↓ ¬f␈ε+n␈↓ ε ␈ε%1␈↓ ε[␈ε%2␈↓ πU␈ε+n
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.3␈↓ λM␈ε"'␈↓ 
v␈ε"343
␈β↓\␈↓ ¬y␈ε∞ANA␈α↓L␈α⎇Y␈α↓S␈α␈IS␈α	OF␈α
E␈α↓UCL␈α↓ID␈↓ λW␈ε∞S␈α	A␈α↓L␈α␈GORIT␈α↓HM
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"This␈α
form␈α␈ula␈α
h␈α↓olds␈αalso␈α
if␈α
Euclid's␈αalgorithm␈α
is␈α
applied␈αfor␈ε(␈α
u␈ε"␈α
<␈↓ 	*␈ε(v␈↓ 	=␈ε",␈α
when␈↓ 
.␈ε(A␈↓ 
b␈ε"=␈α
0␈↓ "␈ε".
␈βα0␈↓ 
H␈ε%1
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"F␈α⎇urtherm␈α↓ore,␈α
because␈α
of␈α
(8),␈↓ ¬
␈ε(Q␈↓ ¬g␈ε"(␈↓ ¬s␈ε(A␈↓ ε≡␈ε",␈↓ ε.␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ε↑␈ε",␈↓ εn␈ε(A␈↓ π≤␈ε")␈α
and␈↓ πv␈ε(Q␈↓ λ'␈ε"(␈↓ λ3␈ε(A␈↓ λ↑␈ε",␈↓ λn␈ε(A␈↓ 	→␈ε",␈↓ 	)␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	Y␈ε",␈↓ 	i␈ε(A␈↓ 
↔␈ε")␈α
are␈α	rela-
␈βα\␈↓ ¬&␈ε+n␈ε9␈␈ε%1␈↓ ε
␈ε%2␈↓ πλ␈ε+n␈↓ λ∪␈ε+n␈↓ λM␈ε%1␈↓ 	λ␈ε%2␈↓ 
β␈ε+n
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"tiv␈α␈ely␈α
prime,␈α
and␈α
the␈α∞fraction␈α
on␈α
the␈α
righ␈α␈t-hand␈α
side␈α∞of␈α
(16)␈α
is␈α
in␈α
lo␈α␈w␈α␈est␈α
terms;
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"therefore
␈ββ}␈↓ β¬␈ε(u␈ε"␈α
=␈↓ βR␈ε(Q␈↓ ∧β␈ε"(␈↓ ∧∂␈ε(A␈↓ ∧:␈ε",␈↓ ∧J␈ε(A␈↓ ∧u␈ε",␈↓ ¬¬␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬5␈ε",␈↓ ¬E␈ε(A␈↓ ¬s␈ε")␈ε(d␈ε",␈↓ εi␈ε(v␈↓ πε␈ε"=␈↓ π4␈ε(Q␈↓ λ⊃␈ε"(␈↓ λ≥␈ε(A␈↓ λH␈ε",␈↓ λX␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	λ␈ε",␈↓ 	_␈ε(A␈↓ 	F␈ε")␈ε(d␈ε"␈α↓,␈↓ 
p␈ε"(17)
␈β∧
␈↓ βo␈ε+n␈↓ ∧)␈ε%1␈↓ ∧d␈ε%2␈↓ ¬←␈ε+n␈↓ πP␈ε+n␈ε9␈␈ε%1␈↓ λ7␈ε%2␈↓ 	2␈ε+n
␈β∧V␈↓ ↓H␈ε"where␈ε(␈αd␈ε"␈α
=␈↓ αz␈ε"gcd␈↓ β0␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ βa␈ε(v␈↓ βt␈ε").
␈β¬≠␈↓ ↓H␈ε2The␈α
w␈α␈orst␈α
case.␈ε"␈α∪W␈α⎇e␈αcan␈α
n␈α↓o␈α␈w␈α
apply␈αthese␈α
observ␈α}ations␈α
to␈αdetermine␈α
the␈α
beha␈α␈vior
␈β¬G␈↓ ↓H␈ε"of␈α∂Euclid's␈α∂algorithm␈α∂in␈α⊂the␈α∂\w␈α␈orst␈α∂case,"␈α⊂or␈α⊂in␈α∂other␈α∂w␈α␈ords␈α⊂to␈α∂giv␈α␈e␈α∂an␈α∂upper
␈β¬r␈↓ ↓H␈ε"bound␈αon␈α
the␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈αdivision␈α
steps.␈α∩The␈α
w␈α␈orst␈α
case␈αoccurs␈α
when␈α
the␈αinputs
␈βε≥␈↓ ↓H␈ε"are␈αconsecutiv␈α␈e␈↓ βB␈ε"Fibonacci␈αn␈α␈um␈α␈bers:
␈βεb␈↓ ↓H␈ε2Theorem␈α
F␈ε"␈α
(G.␈↓ β=␈ε"Lam␈↓ ∧∧␈ε"∞␈↓ ∧¬␈ε"e␈↓ ∧∃␈ε",␈α
1845)␈ε2.␈ε/␈α∪F␈α⎇or␈ε(␈αn␈ε6␈α	∃␈ε"␈α
1␈ε/,␈αlet␈ε(␈α
u␈ε/␈α
and␈↓ πd␈ε(v␈↓ λ↓␈ε/be␈α
in␈α␈tegers␈αwith␈↓ 
β␈ε(u␈ε"␈α
>␈↓ 
P␈ε(v␈↓ 
l␈ε">␈α
0
␈βπ
␈↓ ↓H␈ε/such␈α
that␈α
Euclid's␈α
algorithm␈α
applied␈α
to␈ε(␈α
u␈ε/␈α
and␈↓ π∃␈ε(v␈↓ π2␈ε/requires␈α
exactly␈ε(␈α
n␈ε/␈α
division␈α
steps,
␈βπ9␈↓ ↓H␈ε/and␈α∞such␈α∞that␈ε(␈α∂u␈ε/␈α∞is␈α∞as␈α∞small␈α∞as␈α∂possible␈α∞satisfying␈α∞these␈α∂conditions.␈α↔Then␈ε(␈α∞u␈ε"␈α
=
␈βπd␈↓ ↓H␈ε(F␈↓ α,␈ε/and␈↓ αr␈ε(v␈↓ β∂␈ε"=␈↓ β=␈ε(F␈↓ ∧∃␈ε/.
␈βπp␈↓ ↓←␈ε+n␈ε%␈α␈+2␈↓ βT␈ε+n␈ε%+␈α␈1
␈βλ-␈↓ ↓H␈ε/Pro␈α↓of.␈ε"␈α By␈α⊂(17),␈α⊃w␈α␈e␈α⊂m␈α␈ust␈α⊂ha␈α␈v␈α␈e␈ε(␈α⊂u␈ε"␈α⊂=␈↓ ε!␈ε(Q␈↓ εR␈ε"(␈↓ ε↑␈ε(A␈↓ π	␈ε",␈↓ π→␈ε(A␈↓ πD␈ε",␈↓ πT␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λ∧␈ε",␈↓ λ∀␈ε(A␈↓ λB␈ε")␈ε(d␈ε",␈α⊃where␈↓ 	g␈ε(A␈↓ 
∩␈ε",␈↓ 
-␈ε(A␈↓ 
X␈ε",␈↓ 
r␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ "␈ε",
␈βλ9␈↓ ε>␈ε+n␈↓ εx␈ε%1␈↓ π3␈ε%2␈↓ λ.␈ε+n␈↓ 
↓␈ε%1␈↓ 
G␈ε%2
␈βλX␈↓ ↓H␈ε(A␈↓ ↓v␈ε",␈α⊂and␈ε(␈α⊂d␈ε"␈α⊂are␈α∂positiv␈α␈e␈α⊂in␈α␈tegers␈α∂and␈↓ ε∃␈ε(A␈↓ εS␈ε6∃␈ε"␈α⊂2.␈α≠Since␈↓ λ∨␈ε(Q␈↓ λ`␈ε"is␈α∂a␈α⊂polyn␈α↓omial␈α∂with
␈βλd␈↓ ↓b␈ε+n␈↓ ε/␈ε+n␈↓ λ<␈ε+n
␈β	β␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓onnegativ␈α␈e␈α⊃coe}cien␈α␈ts,␈α∩in␈α␈v␈α␈olving␈α⊃all␈α⊃of␈α∩the␈α⊃v␈α}ariables,␈α∩the␈α⊃minim␈α␈um␈α⊃v␈α}alue␈α⊃is
␈β	.␈↓ ↓H␈ε"achiev␈α␈ed␈α∞only␈α∂when␈↓ ∧∞␈ε(A␈↓ ∧H␈ε"=␈α∞1,␈↓ ¬%␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬U␈ε",␈↓ ¬n␈ε(A␈↓ εX␈ε"=␈α∞1,␈↓ π5␈ε(A␈↓ πr␈ε"=␈α∞2,␈ε(␈α∂d␈ε"␈α∂=␈α∞1.␈α_Putting␈α∞these
␈β	;␈↓ ∧(␈ε%1␈↓ ελ␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ πO␈ε+n
␈β	Y␈↓ ↓H␈ε"v␈α}alues␈αin␈α(17)␈αyields␈αthe␈αdesired␈αresult.
␈β	b␈↓ εK␈∧	bεK≠∂
␈β
∨␈↓ α␈ε"(This␈α
theorem␈α
has␈α
the␈α	historical␈α
claim␈α
of␈α
being␈α
the␈α
|rst␈α
practical␈α	application
␈β
J␈↓ ↓H␈ε"of␈α∩the␈α∪Fibonacci␈α∪sequence;␈α⊗since␈α∪then␈α∩man␈α␈y␈α∪other␈α∪applications␈α∪of␈α∩Fibonacci
␈β
u␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈bers␈αto␈αalgorithms␈αand␈αto␈αthe␈αstudy␈αof␈αalgorithms␈αha␈α␈v␈α␈e␈αbeen␈αdisco␈α␈v␈α␈ered.)
␈β!␈↓ α␈ε"As␈αa␈αconsequence␈αof␈αTheorem␈αF␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈αan␈αimportan␈α␈t␈αcorollary:
␈βf␈↓ ↓H␈ε2Corollary␈α⊂L.␈ε/␈α If␈↓ β[␈ε"0␈ε6␈α⊃∀␈ε(␈α⊃u␈ε"␈α␈,␈↓ ∧W␈ε(v␈↓ ∧{␈ε"<␈↓ ¬0␈ε(N␈↓ ¬S␈ε/,␈α⊃the␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber␈α⊂of␈α∂division␈α⊂steps␈α⊂required␈α⊂when
␈β
␈↓ λA␈ε6p
␈β⊂␈↓ λ←␈∧⊂λ←α∩
␈β⊃␈↓ ↓H␈ε/Algorithm␈α4.5.2A␈αis␈αapplied␈αto␈ε(␈αu␈ε/␈αand␈↓ ε_␈ε(v␈↓ ε7␈ε/is␈αat␈αm␈α↓ost␈ε6␈α∩d␈↓ πt␈ε"log␈↓ λ5␈ε"(␈↓ λ←␈ε"5␈↓ λw␈ε(N␈↓ 	~␈ε")␈ε6e␈αλ␈␈ε"␈αλ2␈ε/.
␈β!␈↓ λ"␈ε+≡
␈βZ␈↓ ↓H␈ε/Pro␈α↓of.␈ε"␈α~By␈αTheorem␈αF␈↓ ∧*␈ε",␈α
the␈αmaxim␈α␈um␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αsteps,␈ε(␈α
n␈ε",␈αoccurs␈α
when␈ε(␈αu␈ε"␈α
=␈↓ ↓␈ε(F
␈βf␈↓ _␈ε+n
␈β
¬␈↓ ↓H␈ε"and␈↓ α⊃␈ε(v␈↓ α4␈ε"=␈↓ αh␈ε(F␈↓ β@␈ε",␈α⊂where␈ε(␈α⊂n␈ε"␈α∂is␈α⊂as␈α∂large␈α⊂as␈α∂possible␈α⊂with␈↓ λ,␈ε(F␈↓ 	∃␈ε"<␈↓ 	H␈ε(N␈↓ 	k␈ε".␈α (The␈α∂|rst
␈β
∩␈↓ α␈␈ε+n␈ε%+␈α␈1␈↓ λD␈ε+n␈ε%␈α␈+1
␈β
0␈↓ ↓H␈ε"division␈α⊃step␈α⊂in␈α⊃this␈α⊃case␈α⊃merely␈α⊃in␈α␈terchanges␈ε(␈α⊃u␈ε"␈α⊃and␈↓ λ,␈ε(v␈↓ λO␈ε"when␈ε(␈α⊃n␈ε"␈α∩>␈α∩1.)␈α"Since
␈β
V␈↓ ∧*␈ε+n␈ε%+1
␈β
W␈↓ ∧⎇␈ε6p␈↓ 
=␈ε6p
␈β
Z␈↓ ¬≠␈∧
Z¬≠α∩␈↓ 
[␈∧
Z
[α∩
␈β
\␈↓ ↓H␈ε(F␈↓ α*␈ε"<␈↓ αX␈ε(N␈↓ α{␈ε",␈αw␈α␈e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈↓ ∧∃␈ε(≡␈↓ ∧k␈ε"/␈↓ ¬≠␈ε"5␈↓ ¬7␈ε"<␈↓ ¬e␈ε(N␈↓ ε∪␈ε"(see␈αEq.␈α
1.2.8↑15),␈αso␈ε(␈αn␈ε"␈α¬+␈α¬1␈α
<␈↓ 	p␈ε"log␈↓ 
1␈ε"(␈↓ 
[␈ε"5␈↓ 
s␈ε(N␈↓ ⊗␈ε").
␈β
h␈↓ ↓←␈ε+n␈ε%␈α␈+1
␈β
k␈↓ 
≡␈ε+≡
␈β∞π␈↓ ↓H␈ε"This␈αcompletes␈αthe␈αpro␈α↓of.
␈β∞⊂␈↓ ¬α␈∧∞⊂¬α≠∂
␈β∞G␈↓ β?␈ε6p
␈β∞J␈↓ β]␈∧∞Jβ]α∩
␈β∞L␈↓ ↓H␈ε"Note␈α∞that␈↓ αr␈ε"log␈↓ β3␈ε"(␈↓ β]␈ε"5␈↓ βu␈ε(N␈↓ ∧_␈ε")␈α∞is␈α∂appro␈α␈ximately␈α∞2.078␈↓ π!␈ε"ln␈↓ πE␈ε(N␈↓ πq␈ε"+␈α
1.672␈ε6␈α
→␈ε"␈α∞4.785␈↓ 
λ␈ε"log␈↓ 
\␈ε(N␈↓ λ␈ε"+
␈β∞\␈↓ β ␈ε+≡␈↓ 
6␈ε%10
␈β∞w␈↓ ↓H␈ε"1.672.␈α⊂See␈αexercises␈α31␈αand␈α36␈αfor␈αextensions␈αof␈αTheorem␈αF.
␈β∂<␈↓ ↓H␈ε2An␈α
appro␈α␈ximate␈α∞m␈α↓odel.␈ε"␈α≥No␈α␈w␈α∞that␈α
w␈α␈e␈α∞kn␈α↓o␈α␈w␈α∞the␈α∞maxim␈α␈um␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α
division
␈β∂h␈↓ ↓H␈ε"steps␈αthat␈αcan␈αoccur,␈αlet␈αus␈αattempt␈αto␈α|nd␈αthe␈ε/␈αa␈α␈v␈α␈erage␈ε"␈αn␈α␈um␈α␈ber.␈α∂Let␈↓ 
ε␈ε(T␈↓ 
 ␈ε"(␈ε(m␈ε"␈α␈,␈ε(␈αεn␈ε")␈αbe
␈β⊂∪␈↓ ↓H␈ε"the␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α∞division␈α∞steps␈α∞that␈α∞occur␈α∞when␈ε(␈α∞u␈ε"␈α
=␈ε(␈α∞m␈ε"␈α∞and␈↓ λw␈ε(v␈↓ 	↔␈ε"=␈ε(␈α
n␈ε"␈α∞are␈α∞input␈α∞to
␈β⊂>␈↓ ↓H␈ε"Euclid's␈αalgorithm.␈α⊂Th␈α␈us
␈β⊃⊗␈↓ α\␈ε(T␈↓ αv␈ε"(␈ε(m␈ε",␈αε0)␈α
=␈α
0;␈↓ ∧r␈ε(T␈↓ ¬␈ε"(␈ε(m␈ε"␈α␈,␈ε(␈αεn␈ε")␈α
=␈α
1␈αλ+␈↓ εg␈ε(T␈↓ π↓␈ε"(␈ε(n␈ε",␈ε(␈αεm␈↓ πX␈ε"mod␈↓ λ"␈ε(n␈ε")␈↓ 	␈ε"if␈↓ 	.␈ε(n␈ε6␈α
∃␈ε"␈α
1.␈↓ 
p␈ε"(18)
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"344␈↓ 
b␈ε"4.5.3
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"Let␈↓ απ␈ε(T␈↓ α9␈ε"be␈α	the␈α
a␈α␈v␈α␈erage␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈α	of␈α
division␈α	steps␈α	when␈↓ π|␈ε(v␈↓ λ_␈ε"=␈ε(␈α
n␈ε"␈α	and␈α
when␈ε(␈α	u␈ε"␈α	is␈α	ch␈α↓osen
␈βα0␈↓ α≤␈ε+n
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"at␈α∞random;␈α∞since␈α∞only␈α∞the␈α∞v␈α}alue␈α∞of␈ε(␈α∞u␈↓ ε⊗␈ε"mod␈↓ ε`␈ε(v␈↓ π↓␈ε"a{ects␈α∞the␈α∞algorithm␈α∞a$er␈α∞the␈α
|rst
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"division␈αstep,␈αw␈α␈e␈αma␈α␈y␈αwrite
␈ββ#␈↓ ε%␈ε↓X
␈ββ-␈↓ ¬i␈ε"1
␈ββE␈↓ ¬α␈ε(T␈↓ ¬5␈ε"=␈↓ ε|␈ε(T␈↓ π⊗␈ε"(␈↓ π"␈ε(k␈↓ π6␈ε",␈ε(␈αεn␈ε").␈↓ 
p␈ε"(19)
␈ββQ␈↓ ¬↔␈ε+n
␈ββY␈↓ ¬g␈∧βY¬gα⊗
␈ββ←␈↓ ¬g␈ε(n
␈ββu␈↓ επ␈ε%0␈ε9∀␈↓ ε4␈ε+k␈↓ εD␈ε%<␈ε+n
␈β∧∨␈↓ ↓H␈ε"F␈α⎇or␈αexample,␈↓ β!␈ε(T␈↓ β:␈ε"(0,␈αε5)␈α
=␈α
1,␈↓ ∧f␈ε(T␈↓ ¬␈ε"(1,␈αε5)␈α
=␈α
2,␈↓ ε,␈ε(T␈↓ εF␈ε"(2,␈αε5)␈α
=␈α
3,␈↓ πr␈ε(T␈↓ λ␈ε"(3,␈αε5)␈α
=␈α
4,␈↓ 	8␈ε(T␈↓ 	Q␈ε"(4,␈αε5)␈α
=␈α
3,␈αso
␈β∧W␈↓ ¬␈ε%1␈↓ λ.␈ε%3
␈β∧[␈↓ ∧)␈ε(T␈↓ ∧Y␈ε"=␈↓ ¬≡␈ε"(1␈αλ+␈αλ2␈αλ+␈αλ3␈αλ+␈αλ4␈αλ+␈αλ3)␈α
=␈α
2␈↓ λA␈ε".
␈β∧h␈↓ ∧>␈ε%5
␈β∧l␈↓ ¬␈ε%5␈↓ λ.␈ε%5
␈β∧p␈↓ ¬␈∧∧p¬α⊂␈↓ λ.␈∧∧pλ.α⊂
␈β¬↔␈↓ α␈ε"In␈αλorder␈αλto␈αλestimate␈↓ ∧B␈ε(T␈↓ ∧s␈ε"for␈αλlarge␈ε(␈αλn␈ε",␈α	let␈αλus␈αλ|rst␈αλtry␈αλan␈αλappro␈α␈ximation␈αλsuggested
␈β¬$␈↓ ∧W␈ε+n
␈β¬C␈↓ ↓H␈ε"by␈α⊂R.␈α⊃W.␈↓ αt␈ε"Flo␈α␈yd:␈α∃W␈α⎇e␈α⊃migh␈α␈t␈α⊃assume␈α⊂that,␈α∩for␈α⊂0␈ε6␈α∩∀␈↓ λ∂␈ε(k␈↓ λ4␈ε"<␈ε(␈α∩n␈ε",␈α⊃the␈α⊃v␈α}alue␈α⊃of␈ε(␈α⊂n␈ε"␈α⊂is
␈β¬n␈↓ ↓H␈ε"essen␈α␈tially␈α\random"␈αm␈α↓odulo␈↓ ¬≥␈ε(k␈↓ ¬1␈ε",␈αso␈αthat␈αw␈α␈e␈αcan␈αset
␈βε ␈↓ ¬=␈ε"1
␈βε8␈↓ ∧⊂␈ε(T␈↓ ∧C␈ε6→␈ε"␈α
1␈αλ+␈↓ ¬[␈ε"(␈↓ ¬g␈ε(T␈↓ ε∃␈ε"+␈↓ εA␈ε(T␈↓ εn␈ε"+␈↓ π~␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πL␈ε"+␈↓ πx␈ε(T␈↓ λN␈ε").
␈βεE␈↓ ∧%␈ε+n␈↓ ¬|␈ε%0␈↓ εU␈ε%1␈↓ λ
␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1
␈βεL␈↓ ¬;␈∧εL¬;α⊗
␈βεR␈↓ ¬;␈ε(n
␈βπ↓␈↓ ↓H␈ε"Then␈↓ α#␈ε(T␈↓ αV␈ε6→␈↓ β∧␈ε(S␈↓ β.␈ε",␈α
where␈α
the␈α	sequence␈ε6␈α
h␈↓ ε↓␈ε(S␈↓ ε+␈ε6i␈ε"␈α	is␈α
the␈α
solution␈α	to␈α
the␈α
recurrence␈α	relation
␈βπ∞␈↓ α8␈ε+n␈↓ β~␈ε+n␈↓ ε↔␈ε+n
␈βπ6␈↓ ¬E␈ε"1
␈βπN␈↓ αO␈ε(S␈↓ α␈␈ε"=␈α
0,␈↓ ∧↔␈ε(S␈↓ ∧K␈ε"=␈α
1␈αλ+␈↓ ¬b␈ε"(␈↓ ¬n␈ε(S␈↓ ε≥␈ε"+␈↓ εI␈ε(S␈↓ εw␈ε"+␈↓ π#␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πU␈ε"+␈↓ λ↓␈ε(S␈↓ λX␈ε"),␈ε(␈↓ 	<n␈ε6␈α	∃␈ε"␈α
1.␈↓ 
p␈ε"(20)
␈βπZ␈↓ αd␈ε%0␈↓ ∧-␈ε+n␈↓ ε∧␈ε%0␈↓ ε↑␈ε%1␈↓ λ↔␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1
␈βπb␈↓ ¬C␈∧πb¬Cα⊗
␈βπg␈↓ ¬C␈ε(n
␈βλ↔␈↓ ↓H␈ε"(This␈α	appro␈α␈ximation␈α	is␈α	analogous␈α	to␈α	the␈α	\␈↓ εK␈ε"lattice-poin␈α␈t␈α	m␈α↓odel"␈α	used␈α	to␈α	in␈α␈v␈α␈estigate
␈βλB␈↓ ↓H␈ε"Algorithm␈αB␈αin␈αSection␈α4.5.2.)
␈βλm␈↓ α␈ε"The␈α
recurrence␈α
(20)␈α
is␈α
readily␈αsolv␈α␈ed␈α
by␈α
the␈α
use␈α
of␈α
generating␈α
functions.␈α∩A
␈β	_␈↓ ↓H␈ε"m␈α↓ore␈αdirect␈αw␈α␈a␈α␈y␈αto␈αsolv␈α␈e␈α
it,␈αanalogous␈αto␈αour␈αsolution␈αof␈αthe␈α
lattice-poin␈α␈t␈αm␈α↓odel,
␈β	C␈↓ ↓H␈ε"is␈αby␈αn␈α↓oting␈αthat
␈β	v␈↓ ¬␈ε"1
␈β
∞␈↓ βα␈ε(S␈↓ βh␈ε"=␈α⊂1␈αλ+␈↓ ¬L␈ε"(␈↓ ¬X␈ε(S␈↓ εε␈ε"+␈↓ ε2␈ε(S␈↓ ε`␈ε"+␈↓ π␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π>␈ε"+␈↓ πj␈ε(S␈↓ λI␈ε"+␈↓ λu␈ε(S␈↓ 	∨␈ε")
␈β
~␈↓ β↔␈ε+n␈ε%+␈α␈1␈↓ ¬m␈ε%0␈↓ εH␈ε%1␈↓ λ␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ 	
␈ε+n
␈β
"␈↓ ∧f␈∧
"∧fα\
␈β
'␈↓ ∧f␈ε(n␈ε"␈αλ+␈αλ1
␈β
X␈↓ ¬L␈ε↓␈␈↓ πU␈ε↓↓
␈β
↑␈↓ ¬␈ε"1␈↓ 	.␈ε"1
␈β
v␈↓ βh␈ε"=␈α⊂1␈αλ+␈↓ ¬Z␈ε(n␈ε"(␈↓ ¬|␈ε(S␈↓ ε-␈ε6␈␈ε"␈αλ1)␈αλ+␈↓ π+␈ε(S␈↓ πs␈ε"=␈↓ λ'␈ε(S␈↓ λY␈ε"+␈↓ 	h␈ε";
␈ββ␈↓ ε⊃␈ε+n␈↓ πA␈ε+n␈↓ λ=␈ε+n
␈β
␈↓ ∧f␈∧
∧fα\␈↓ 		␈∧
		α\
␈β⊂␈↓ ∧f␈ε(n␈ε"␈αλ+␈αλ1␈↓ 		␈ε(n␈ε"␈απ+␈αλ1
␈βB␈↓ βX␈ε%1␈↓ ¬λ␈ε%1
␈βG␈↓ ↓H␈ε"hence␈↓ α.␈ε(S␈↓ αe␈ε"is␈α∞1␈α	+␈↓ βt␈ε"+␈↓ ∧!␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧U␈ε"+␈↓ ¬*␈ε"=␈↓ ¬[␈ε(H␈↓ ε
␈ε",␈α∞a␈α∞harm␈α↓onic␈α∞n␈α␈um␈α␈ber.␈α⊗The␈α
appro␈α␈ximation
␈βS␈↓ αC␈ε+n␈↓ ¬x␈ε+n
␈βX␈↓ βX␈ε%2␈↓ ¬ε␈ε+n
␈β[␈↓ βX␈∧[βXα⊂␈↓ ¬ε␈∧[¬εα∪
␈βr␈↓ ↓H␈ε(T␈↓ ↓{␈ε6→␈↓ α)␈ε(S␈↓ α↑␈ε"n␈α↓o␈α␈w␈αsuggests␈αthat␈↓ ¬∧␈ε(T␈↓ ¬7␈ε6→␈↓ ¬e␈ε"ln␈↓ ε	␈ε(n␈ε"␈αλ+␈↓ εS␈ε(O␈↓ εp␈ε"(1).
␈β␈␈↓ ↓\␈ε+n␈↓ α>␈ε+n␈↓ ¬→␈ε+n
␈β≥␈↓ α␈ε"Comparison␈αof␈αthis␈αappro␈α␈ximation␈αwith␈αtables␈αof␈αthe␈αtrue␈αv␈α}alue␈αof␈↓ 
 ␈ε(T␈↓ 
T␈ε"sh␈α↓o␈α␈w,
␈β*␈↓ 
5␈ε+n
␈βI␈↓ ↓H␈ε"h␈α↓o␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α	that␈↓ β%␈ε"ln␈↓ βI␈ε(n␈ε"␈αλis␈α	to␈α↓o␈αλlarge;␈↓ ¬#␈ε(T␈↓ ¬U␈ε"does␈αλn␈α↓ot␈α	gro␈α␈w␈αλthis␈α	fast.␈α∂One␈α	w␈α␈a␈α␈y␈αλto␈α	accoun␈α␈t␈αλfor
␈βU␈↓ ¬8␈ε+n
␈βt␈↓ ↓H␈ε"the␈αfact␈α
that␈αthis␈αappro␈α␈ximation␈αis␈αto␈α↓o␈αpessimistic␈αis␈αto␈αobserv␈α␈e␈αthat␈αthe␈α
a␈α␈v␈α␈erage
␈β
~␈↓ πY␈ε%1
␈β
∨␈↓ ↓H␈ε"v␈α}alue␈αof␈ε(␈αn␈↓ αj␈ε"mod␈↓ β4␈ε(k␈↓ βU␈ε"is␈αless␈αthan␈αthe␈αa␈α␈v␈α␈erage␈αv␈α}alue␈αof␈↓ πl␈ε(k␈↓ λ␈ε",␈αin␈αthe␈αrange␈α1␈ε6␈α
∀␈↓ 
*␈ε(k␈↓ 
H␈ε6∀␈ε(␈α
n␈ε":
␈β
0␈↓ πY␈ε%2
␈β
3␈↓ πY␈∧
3πYα⊂
␈β
J␈↓ α	␈ε↓X␈↓ ¬.␈ε↓X
␈β
T␈↓ ↓N␈ε"1␈↓ ∧+␈ε"1
␈β
l␈↓ α[␈ε"(␈ε(n␈↓ ββ␈ε"mod␈↓ βM␈ε(k␈↓ βa␈ε")␈↓ βw␈ε"=␈↓ ε?␈ε"(␈ε(n␈ε6␈αλ␈␈↓ π∃␈ε(q␈↓ π(␈ε(k␈↓ π<␈ε")
␈β∞␈↓ ↓L␈∧∞↓Lα⊗␈↓ ∧)␈∧∞∧)α⊗
␈β∞ε␈↓ ↓L␈ε(n␈↓ ∧)␈ε(n
␈β∞≠␈↓ ¬⊂␈ε%1␈ε9␈α↓∀␈↓ ¬=␈ε+q␈↓ ¬M␈ε9∀␈ε+n
␈β∞≥␈↓ ↓l␈ε%1␈ε9∀␈↓ α→␈ε+k␈↓ α)␈ε9∀␈ε+n
␈β∞8␈↓ ∧6␈ε9b␈ε+n␈ε%/(␈↓ ∧o␈ε+q␈↓ ∧}␈ε%+1)␈ε9␈α↓c␈ε%<␈↓ ¬←␈ε+k␈↓ ¬p␈ε9∀␈α␈b␈ε+n␈ε%/␈↓ ε;␈ε+q␈↓ εK␈ε9c
␈β∞b␈↓ ¬0␈ε↓X
␈β∞k␈↓ ε ␈ε↓∩␈↓ ε6␈ε↓∩␈↓ πi␈ε↓∪␈↓ λ3␈ε↓∩␈↓ 
D␈ε↓∪␈↓ 
Z␈ε↓∪
␈β∞m␈↓ ∧u␈ε"1␈↓ εL␈ε6b␈ε(n␈ε"/␈↓ πα␈ε(q␈↓ π∃␈ε6c␈ε"␈αλ+␈αλ1␈↓ λI␈ε6b␈ε(n␈ε"/(␈↓ 	␈ε(q␈↓ 	&␈ε"+␈αλ1)␈ε6c␈ε"␈αλ+␈αλ1
␈β∂¬␈↓ βw␈ε"=␈ε(␈α
n␈ε6␈αλ␈␈↓ επ␈ε(q␈↓ λπ␈ε6␈
␈β∂→␈↓ ∧s␈∧∂→∧sα⊗
␈β∂≡␈↓ ∧s␈ε(n␈↓ π∩␈ε"2␈↓ 	=␈ε"2
␈β∂5␈↓ ¬∩␈ε%1␈ε9␈α↓∀␈↓ ¬?␈ε+q␈↓ ¬O␈ε9∀␈ε+n
␈β∂↑␈↓ ¬0␈ε↓X
␈β∂g␈↓ ε↓␈ε↓∩␈↓ π4␈ε↓∪
␈β∂h␈↓ ∧u␈ε"1␈↓ ε↔␈ε6b␈ε(n␈ε"/␈↓ εM␈ε(q␈↓ ε`␈ε6c␈ε"␈αλ+␈αλ1
␈β⊂␈↓ βw␈ε"=␈ε(␈α
n␈ε6␈αλ␈
␈β⊂∀␈↓ ∧s␈∧⊂∀∧sα⊗
␈β⊂~␈↓ ∧s␈ε(n␈↓ ε\␈ε"2
␈β⊂1␈↓ ¬∩␈ε%1␈ε9␈α↓∀␈↓ ¬?␈ε+q␈↓ ¬O␈ε9∀␈ε+n
␈β⊂←␈↓ ¬≠␈ε%2
␈β⊂d␈↓ ∧%␈ε↓∩␈↓ ¬0␈ε↓∪
␈β⊂e␈↓ ¬¬␈ε(→
␈β⊂⎇␈↓ βw␈ε"=␈↓ ∧;␈ε"1␈ε6␈αλ␈␈↓ ¬L␈ε(n␈ε"␈απ+␈↓ ε∃␈ε(O␈↓ ε2␈ε"(␈↓ ε>␈ε"log␈↓ εr␈ε(n␈ε")␈↓ 
p␈ε"(21)
␈β⊃⊃␈↓ ¬¬␈∧⊃⊃¬¬α'
␈β⊃↔␈↓ ¬ε␈ε"12
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.3␈↓ λM␈ε"'␈↓ 
v␈ε"345
␈β↓\␈↓ ¬y␈ε∞ANA␈α↓L␈α⎇Y␈α↓S␈α␈IS␈α	OF␈α
E␈α↓UCL␈α↓ID␈↓ λW␈ε∞S␈α	A␈α↓L␈α␈GORIT␈α↓HM
␈βα␈↓ ↓H␈ε↓␈␈↓ ∧A␈ε↓↓
␈βα∨␈↓ ↓V␈ε"cf.␈α⊃exercise␈α∩4.5.2↑10(c)␈↓ ∧O␈ε".␈α This␈α⊃is␈α∩only␈α⊃about␈α∩.1775␈ε(n␈ε"␈α␈,␈α∪n␈α↓ot␈α∩.25␈ε(n␈ε"␈α␈;␈α∃so␈α⊃the␈α⊃v␈α}alue
␈βαJ␈↓ ↓H␈ε"of␈ε(␈α⊃n␈↓ α∪␈ε"mod␈↓ α]␈ε(k␈↓ ββ␈ε"tends␈α∩to␈α∩be␈α⊃smaller␈α∩than␈α∩the␈α∩abo␈α␈v␈α␈e␈α∩m␈α↓odel␈α⊃predicts,␈α∀and␈α⊃Euclid's
␈βαu␈↓ ↓H␈ε"algorithm␈αw␈α␈orks␈αfaster␈αthan␈αw␈α␈e␈αmigh␈α␈t␈αexpect.
␈ββH␈↓ ↓H␈ε2A␈αcon␈α␈tin␈α␈uous␈α
m␈α↓odel.␈ε"␈α≠The␈αbeha␈α␈vior␈α
of␈α
Euclid's␈αalgorithm␈α
with␈↓ 	/␈ε(v␈↓ 	M␈ε"=␈↓ 	|␈ε(N␈↓ 
,␈ε"is␈αessen-
␈ββs␈↓ ↓H␈ε"tially␈α
determined␈αby␈α
the␈α
beha␈α␈vior␈αof␈α
the␈αregular␈α
con␈α␈tin␈α␈ued␈αfraction␈α
process␈α
when
␈β∧∨␈↓ ↓H␈ε(X␈↓ ↓w␈ε"=␈α
0/␈↓ αL␈ε(N␈↓ αo␈ε",␈α∞1/␈↓ β+␈ε(N␈↓ βN␈ε",␈↓ βg␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ∧↔␈ε",␈α∞(␈↓ ∧;␈ε(N␈↓ ∧g␈ε6␈␈ε"␈α
1)/␈↓ ¬E␈ε(N␈↓ ¬h␈ε".␈α⊗Assuming␈α
that␈↓ π⎇␈ε(N␈↓ λ.␈ε"is␈α∞v␈α␈ery␈α∞large,␈α∂w␈α␈e␈α∞are␈α
led
␈β∧J␈↓ ↓H␈ε"naturally␈α⊂to␈α⊂a␈α⊂study␈α⊂of␈α⊂regular␈α⊂con␈α␈tin␈α␈ued␈α⊂fractions␈α⊂when␈↓ λn␈ε(X␈↓ 	 ␈ε"is␈α⊂a␈α⊂random␈α⊂real
␈β∧u␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈ber␈α
uniformly␈α
distributed␈α
in␈↓ ¬U␈ε"[␈↓ ¬e␈ε"0,␈αε1).␈α∀Therefore␈α
let␈α
us␈α
de|ne␈α
the␈α
distribution
␈β¬ ␈↓ ↓H␈ε"function
␈β¬S␈↓ β∂␈ε(F␈↓ β;␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ ∧∨␈ε"probabilit␈α␈y␈αthat␈↓ ε%␈ε(X␈↓ εa␈ε6∀␈ε(␈α
x␈ε",␈↓ π{␈ε"for␈↓ λ3␈ε"0␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
x␈ε6␈α
∀␈ε"␈α
1,␈↓ 
p␈ε"(22)
␈β¬`␈↓ β&␈ε+n␈↓ εC␈ε+n
␈βε∨␈↓ ↓H␈ε"giv␈α␈en␈αa␈αuniform␈αdistribution␈αof␈↓ ¬9␈ε(X␈↓ ¬e␈ε"=␈↓ ε∪␈ε(X␈↓ εB␈ε".␈α⊂By␈αthe␈αde|nition␈αof␈αregular␈αcon␈α␈tin␈α␈ued
␈βε,␈↓ ε1␈ε%0
␈βεK␈↓ ↓H␈ε"fractions,␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ βn␈ε(F␈↓ ∧⊗␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈ε(␈α
x␈ε",␈αand
␈βεW␈↓ ∧¬␈ε%0
␈βπ
␈↓ ∧∪␈ε↓X
␈βπ,␈↓ αQ␈ε(F␈↓ β)␈ε"(␈ε(x␈ε")␈↓ β←␈ε"=␈↓ ∧R␈ε"probabilit␈α␈y␈αthat␈↓ εX␈ε"(␈↓ εd␈ε(k␈↓ πβ␈ε6∀␈ε"␈α
1/␈↓ πU␈ε(X␈↓ λ⊃␈ε6∀␈↓ λ?␈ε(k␈↓ λ[␈ε"+␈ε(␈αλx␈ε")
␈βπ9␈↓ αh␈ε+n␈ε%+1␈↓ πs␈ε+n
␈βπ]␈↓ ∧
␈ε+k␈↓ ∧≡␈ε9∃␈ε%1
␈βλε␈↓ ∧∪␈ε↓X
␈βλ
␈↓ εX␈ε↓␈␈↓ 	Y␈ε↓↓
␈βλ(␈↓ β←␈ε"=␈↓ ∧R␈ε"probabilit␈α␈y␈αthat␈↓ εf␈ε"1/(␈↓ π⊗␈ε(k␈↓ π3␈ε"+␈ε(␈αλx␈ε")␈ε6␈α
∀␈↓ λ7␈ε(X␈↓ λs␈ε6∀␈ε"␈α
1/␈↓ 	E␈ε(k
␈βλ5␈↓ λU␈ε+n
␈βλY␈↓ ∧
␈ε+k␈↓ ∧≡␈ε9∃␈ε%1
␈β	α␈↓ ∧∪␈ε↓X
␈β	¬␈↓ ∧L␈ε↓␈␈↓ ε5␈ε↓␈␈↓ π\␈ε↓↓␈↓ πj␈ε↓↓
␈β	$␈↓ β←␈ε"=␈↓ ∧Z␈ε(F␈↓ ¬ε␈ε"(1/␈↓ ¬6␈ε(k␈↓ ¬J␈ε")␈ε6␈αλ␈␈↓ ε
␈ε(F␈↓ εC␈ε"1/(␈↓ εs␈ε(k␈↓ π⊂␈ε"+␈ε(␈αλx␈ε")␈↓ πx␈ε".␈↓ 
p␈ε"(23)
␈β	0␈↓ ∧r␈ε+n␈↓ ε!␈ε+n
␈β	T␈↓ ∧
␈ε+k␈↓ ∧≡␈ε9∃␈ε%1
␈β
'␈↓ ↓H␈ε"If␈αλthe␈αλdistributions␈↓ βp␈ε(F␈↓ ∧_␈ε"(␈ε(x␈ε"),␈↓ ∧X␈ε(F␈↓ ¬␈ε"(␈ε(x␈ε"),␈↓ ¬?␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬q␈ε"de|ned␈αλby␈αλthese␈α	form␈α␈ulas␈αλapproach␈αλa␈αλlimiting
␈β
4␈↓ ∧λ␈ε%0␈↓ ∧o␈ε%1
␈β
S␈↓ ↓H␈ε"distribution␈↓ β␈ε(F␈↓ βB␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ ∧&␈ε(F␈↓ ∧B␈ε"(␈ε(x␈ε"),␈αw␈α␈e␈αwill␈αha␈α␈v␈α␈e
␈β
←␈↓ β#␈ε91
␈β∂␈↓ ¬∃␈ε↓X
␈β∩␈↓ ¬N␈ε↓␈␈↓ π→␈ε↓␈␈↓ λ?␈ε↓↓␈↓ λM␈ε↓↓
␈β1␈↓ ∧∂␈ε(F␈↓ ∧+␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ ¬\␈ε(F␈↓ ¬y␈ε"(1/␈↓ ε)␈ε(k␈↓ ε=␈ε")␈ε6␈αλ␈␈↓ ε⎇␈ε(F␈↓ π'␈ε"1/(␈↓ πW␈ε(k␈↓ πs␈ε"+␈ε(␈αλx␈ε")␈↓ λ[␈ε".␈↓ 
p␈ε"(24)
␈βa␈↓ ¬∂␈ε+k␈↓ ¬ ␈ε9∃␈ε%␈α␈1
␈β.␈↓ ↓H␈ε"One␈α⊂function␈α⊃that␈α⊃satis|es␈α⊂this␈α⊃relation␈α⊃is␈↓ πβ␈ε(F␈↓ π∨␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α∩=␈↓ λ∩␈ε"log␈↓ λO␈ε"(1␈α+␈ε(␈αx␈ε"),␈α∩for␈α⊃an␈α␈y␈α⊂base
␈β=␈↓ λ@␈ε+b
␈βY␈↓ ↓H␈ε(b␈ε"␈α>␈α1;␈α∞see␈α
exercise␈α
19.␈α∪The␈α
further␈α
condition␈↓ π$␈ε(F␈↓ πA␈ε"(1)␈α=␈α1␈α
implies␈α
that␈α
w␈α␈e␈α
sh␈α↓ould
␈β
∧␈↓ ↓H␈ε"tak␈α␈e␈ε(␈αb␈ε"␈α
=␈α
2.␈α⊂Th␈α␈us␈αit␈αis␈αreasonable␈αto␈αmak␈α␈e␈αa␈αguess␈αthat
␈β
b␈↓ ¬.␈ε(F␈↓ ¬J␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ ε.␈ε"lg␈↓ εJ␈ε"(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε"),
␈β∞A␈↓ ↓H␈ε"and␈αthat␈↓ α\␈ε(F␈↓ βπ␈ε"(␈ε(x␈ε")␈αapproaches␈αthis␈αbeha␈α␈vior.
␈β∞M␈↓ αs␈ε+n
␈β∞j␈↓ π4␈ε%1␈↓ λ8␈ε%3
␈β∞n␈↓ α␈ε"W␈α⎇e␈αmigh␈α␈t␈αconjecture,␈α
for␈αexample,␈αthat␈↓ πλ␈ε(F␈↓ π$␈ε"(␈↓ πG␈ε")␈α
=␈↓ λ␈ε"lg␈↓ λ(␈ε"(␈↓ λK␈ε")␈ε6␈α
→␈ε"␈α0.58496;␈αlet␈αus␈αsee
␈β∞␈␈↓ π4␈ε%2␈↓ λ8␈ε%2
␈β∂β␈↓ π4␈∧∂βπ4α⊂␈↓ λ8␈∧∂βλ8α⊂
␈β∂∃␈↓ β%␈ε%1␈↓ 	↔␈ε%1␈↓ 	r␈ε%1
␈β∂~␈↓ ↓H␈ε"h␈α↓o␈α␈w␈αclose␈↓ αj␈ε(F␈↓ β∃␈ε"(␈↓ β8␈ε")␈αcomes␈αto␈αthis␈αv␈α}alue␈αfor␈αsmall␈ε(␈αn␈ε".␈α⊂W␈α⎇e␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ λ←␈ε(F␈↓ 	π␈ε"(␈↓ 	*␈ε")␈α
=␈↓ 
ε␈ε",␈αand
␈β∂&␈↓ β↓␈ε+n␈↓ λv␈ε%0
␈β∂*␈↓ β%␈ε%2␈↓ 	↔␈ε%2␈↓ 	r␈ε%2
␈β∂.␈↓ β%␈∧∂.β%α⊂␈↓ 	↔␈∧∂.	↔α⊂␈↓ 	r␈∧∂.	rα⊂
␈β∂y␈↓ β#␈ε"1␈↓ ∧∃␈ε"1␈↓ ¬π␈ε"1␈↓ ¬x␈ε"1
␈β⊂␈↓ αH␈ε%1
␈β⊂⊃␈↓ α⊂␈ε(F␈↓ α8␈ε"(␈↓ α[␈ε")␈↓ αq␈ε"=␈↓ βA␈ε6␈␈↓ ∧W␈ε"+␈↓ ¬%␈ε6␈␈↓ ε:␈ε"+␈↓ εf␈ε6↓␈αε↓␈αε↓
␈β⊂≥␈↓ α'␈ε%1
␈β⊂"␈↓ αH␈ε%2
␈β⊂%␈↓ αH␈∧⊂%αHα⊂␈↓ β#␈∧⊂%β#α∩␈↓ βq␈∧⊂%βqαZ␈↓ ¬π␈∧⊂%¬πα∩␈↓ ¬U␈∧⊂%¬UαZ
␈β⊂+␈↓ β#␈ε"1␈↓ βq␈ε"1␈αλ+␈↓ ¬π␈ε"2␈↓ ¬U␈ε"2␈αλ+
␈β⊂,␈↓ ∧:␈ε'1␈↓ ε≡␈ε'1
␈β⊂=␈↓ ∧:␈ε'2␈↓ ε≡␈ε'2
␈β⊂?␈↓ ∧:␈∧⊂?∧:α∞␈↓ ε≡␈∧⊂?ε≡α∞
␈β⊂d␈↓ β7␈ε↓∩␈↓ ε/␈ε↓∪
␈β⊂e␈↓ βQ␈ε"1␈↓ ∧∨␈ε"1␈↓ ∧m␈ε"1␈↓ ¬;␈ε"1
␈β⊂⎇␈↓ αq␈ε"=␈α
2␈↓ βo␈ε6␈␈↓ ∧=␈ε"+␈↓ ¬␈ε6␈␈↓ ¬Y␈ε"+␈↓ ε¬␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εO␈ε"=␈α
2(1␈ε6␈αλ␈␈↓ πa␈ε"ln␈↓ λ¬␈ε"2)␈ε6␈α
→␈ε"␈α
0.6137;
␈β⊃⊃␈↓ βQ␈∧⊃⊃βQα∩␈↓ ∧∨␈∧⊃⊃∧∨α∩␈↓ ∧m␈∧⊃⊃∧mα∩␈↓ ¬;␈∧⊃⊃¬;α∩
␈β⊃↔␈↓ βQ␈ε"2␈↓ ∧∨␈ε"3␈↓ ∧m␈ε"4␈↓ ¬;␈ε"5
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"346␈↓ 
b␈ε"4.5.3
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"the␈αnext␈αcase␈αis
␈βαc␈↓ β)␈ε↓X
␈βαl␈↓ ∧≤␈ε↓∩␈↓ 
+␈ε↓∪
␈βαm␈↓ βy␈ε"2␈↓ ∧i␈ε"1␈↓ ε≤␈ε"1␈↓ πP␈ε"1␈↓ 	∧␈ε"1
␈ββ↓␈↓ αH␈ε%1
␈ββ¬␈↓ α⊂␈ε(F␈↓ α8␈ε"(␈↓ α[␈ε")␈↓ αq␈ε"=␈↓ ¬9␈ε6␈␈↓ εm␈ε"+␈↓ λ!␈ε6␈␈↓ 	U␈ε"+␈↓ 
↓␈ε6↓␈αε↓␈αε↓
␈ββ∩␈↓ α'␈ε%2
␈ββ⊗␈↓ αH␈ε%2
␈ββ→␈↓ αH␈∧β→αHα⊂␈↓ βr␈∧β→βrα ␈↓ ∧6␈∧β→∧6αx␈↓ ¬i␈∧β→¬iαx␈↓ π≥␈∧β→π≥αx␈↓ λQ␈∧β→λQαx
␈ββ∨␈↓ βr␈ε(m␈↓ ∧6␈ε"2␈ε(m␈ε"␈απ+␈αλ2␈↓ ¬i␈ε"3␈ε(m␈ε"␈αλ+␈αλ2␈↓ π≥␈ε"4␈ε(m␈ε"␈αλ+␈αλ2␈↓ λQ␈ε"5␈ε(m␈ε"␈αλ+␈αλ2
␈ββ6␈↓ β∨␈ε+m␈ε9␈α␈∃␈ε%1
␈ββZ␈↓ β)␈ε↓X
␈ββc␈↓ ∧,␈ε↓∩␈↓ εV␈ε↓∪
␈ββd␈↓ ∧↓␈ε"2␈↓ ∧F␈ε"1␈↓ ¬∀␈ε"1␈↓ ¬b␈ε"1
␈ββ|␈↓ αq␈ε"=␈↓ ∧d␈ε6␈␈↓ ¬2␈ε"+␈↓ ε␈ε6␈␈↓ ε,␈ε6↓␈αε↓␈αε↓
␈β∧⊂␈↓ βr␈∧∧⊂βrα1␈↓ ∧F␈∧∧⊂∧Fα∩␈↓ ¬∀␈∧∧⊂¬∀α∩␈↓ ¬b␈∧∧⊂¬bα∩
␈β∧∩␈↓ ∧∩␈ε%2
␈β∧⊗␈↓ βr␈ε(m␈↓ ∧F␈ε"2␈↓ ¬∀␈ε"3␈↓ ¬b␈ε"4
␈β∧,␈↓ β∨␈ε+m␈ε9␈α␈∃␈ε%1
␈β∧F␈↓ βm␈ε↓X
␈β∧O␈↓ ∧`␈ε↓∩␈↓ 	≠␈ε↓∪
␈β∧P␈↓ ∧=␈ε"4␈↓ ¬Q␈ε"1␈↓ πO␈ε"1
␈β∧h␈↓ β7␈ε6␈␈↓ εG␈ε6␈␈↓ λE␈ε"+␈↓ λq␈ε6↓␈αε↓␈αε↓
␈β∧|␈↓ ∧6␈∧∧|∧6α ␈↓ ∧z␈∧∧|∧zα↓B␈↓ εw␈∧∧|εwα↓B
␈β¬α␈↓ ∧6␈ε(m␈↓ ∧z␈ε"2␈ε(m␈ε"␈α␈(2␈ε(m␈ε"␈αλ+␈αλ2)␈↓ εw␈ε"3␈ε(m␈ε"(3␈ε(m␈ε"␈αλ+␈αλ2)
␈β¬_␈↓ βc␈ε+m␈ε9␈α␈∃␈ε%1
␈β¬O␈↓ ¬2␈ε↓X
␈β¬Y␈↓ β#␈ε"1␈↓ ¬{␈ε"4␈↓ ε
␈ε(S
␈β¬e␈↓ ε"␈ε+m
␈β¬i␈↓ βO␈ε%2
␈β¬q␈↓ αq␈ε"=␈↓ β9␈ε(→␈↓ β`␈ε"(1␈ε6␈αλ␈␈↓ ∧2␈ε"ln␈↓ ∧V␈ε"2)␈ε6␈αλ␈␈↓ εB␈ε",
␈βε¬␈↓ β#␈∧ε¬β#α∩␈↓ ¬{␈∧ε¬¬{αD
␈βεπ␈↓ ε$␈ε%2
␈βε
␈↓ β#␈ε"3␈↓ ε∧␈ε(m
␈βε!␈↓ ¬(␈ε+m␈ε9␈α␈∃␈ε%1
␈βεj␈↓ ↓H␈ε"where␈↓ α0␈ε(S␈↓ αk␈ε"=␈α
1/(4␈ε(m␈ε"␈αλ+␈αλ4)␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ1/(9␈ε(m␈ε"␈απ+␈αλ6)␈αλ+␈αλ1/(16␈ε(m␈ε"␈αλ+␈αλ8)␈ε6␈αλ␈␈↓ λb␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	∩␈ε".␈α⊂Using␈αthe␈αv␈α}alues
␈βεw␈↓ αE␈ε+m
␈βπ⊗␈↓ ↓H␈ε"of␈↓ ↓r␈ε(H␈↓ α-␈ε"for␈αfractional␈ε(␈αx␈ε"␈αfound␈αin␈αT␈α⎇able␈α3␈αof␈αAppendix␈αB,␈αw␈α␈e␈α|nd␈αthat
␈βπ"␈↓ α∂␈ε+x
␈βπw␈↓ βu␈ε%1␈↓ ¬J␈ε%3␈↓ λ↓␈ε%19
␈βπx␈↓ 	≥␈ε6p
␈βπ{␈↓ 	;␈∧π{	;α∩
␈βπ|␈↓ β␈ε(S␈↓ β;␈ε"=␈↓ ∧∂␈ε",␈↓ ∧g␈ε(S␈↓ ¬_␈ε"=␈↓ ¬e␈ε6␈␈↓ ε⊃␈ε"ln␈↓ ε5␈ε"2,␈↓ π∨␈ε(S␈↓ πO␈ε"=␈↓ λ,␈ε6␈␈↓ λX␈ε(→␈↓ λm␈ε"/(2␈↓ 	;␈ε"3␈↓ 	S␈ε"),
␈βλλ␈↓ β ␈ε%1␈↓ ∧⎇␈ε%2␈↓ π4␈ε%3
␈βλ
␈↓ βm␈ε%12␈↓ ¬J␈ε%4␈↓ λ↓␈ε%20
␈βλ⊂␈↓ βm␈∧λ⊂βmα∨␈↓ ¬J␈∧λ⊂¬Jα⊂␈↓ λ↓␈∧λ⊂λ↓α∨
␈βλ↑␈↓ ε%␈ε%1
␈βλb␈↓ ↓H␈ε"etc.;␈αa␈α
n␈α␈umerical␈αev␈α}aluation␈α
yields␈↓ ¬m␈ε(F␈↓ ε∃␈ε"(␈↓ ε8␈ε")␈ε6␈α→␈ε"␈α0.5748.␈α⊃Alth␈α↓ough␈↓ 	≤␈ε(F␈↓ 	E␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ 
*␈ε(H␈↓ 
Y␈ε",␈α
it␈αis
␈βλo␈↓ ε∧␈ε%2␈↓ 	4␈ε%1␈↓ 
G␈ε+x
␈βλs␈↓ ε%␈ε%2
␈βλw␈↓ ε%␈∧λwε%α⊂
␈β	∞␈↓ ↓H␈ε"clear␈αthat␈↓ αl␈ε(F␈↓ β↔␈ε"(␈ε(x␈ε")␈αis␈αdi}cult␈αto␈αcalculate␈αexactly␈αwhen␈ε(␈αn␈ε"␈αis␈αlarge.
␈β	~␈↓ ββ␈ε+n
␈β	>␈↓ α␈ε"The␈α
distributions␈↓ ∧*␈ε(F␈↓ ∧U␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
w␈α␈ere␈α
|rst␈α
studied␈α
by␈α
K.␈α
F.␈↓ λB␈ε"Gauss,␈α
wh␈α↓o␈α
th␈α↓ough␈α␈t␈α
of
␈β	J␈↓ ∧A␈ε+n
␈β	i␈↓ ↓H␈ε"the␈α	problem␈α
in␈α
1800.␈α∂His␈α
n␈α↓otebo␈α↓ok␈α	for␈α
that␈α
y␈α␈ear␈α	lists␈α
v␈α}arious␈α
recurrence␈α	relations
␈β
⊂␈↓ 
∧␈ε%1
␈β
∀␈↓ ↓H␈ε"and␈α	giv␈α␈es␈α
a␈α
brief␈α	table␈α
of␈α
v␈α}alues,␈α
including␈α	the␈α
four-place␈α
v␈α}alue␈α	for␈↓ 	L␈ε(F␈↓ 	t␈ε"(␈↓ 
↔␈ε")␈α
that␈α	has
␈β
!␈↓ 	c␈ε%2
␈β
%␈↓ 
∧␈ε%2
␈β
)␈↓ 
∧␈∧
)
∧α⊂
␈β
@␈↓ ↓H␈ε"just␈α∞been␈α∞men␈α␈tioned.␈α↔A$er␈α∂performing␈α∞these␈α∞calculations,␈α∂Gauss␈α∂wrote,␈α∞\␈ε/T␈α⎇am
␈β
k␈↓ ↓H␈ε/complicat≤␈α
ev␈α}adun␈α␈t,␈α
ut␈α
n␈α␈ulla␈α∞spes␈α
superesse␈α
videatur␈ε","␈α
i.e.,␈α∞\They␈α
come␈α
out␈α
so
␈β⊗␈↓ ↓H␈ε"complicated␈α
that␈α
n␈α↓o␈α
h␈α↓ope␈α
appears␈αto␈α
be␈α
le$."␈α∪Tw␈α␈elv␈α␈e␈α
y␈α␈ears␈α
later,␈α
Gauss␈α
wrote
␈βA␈↓ ↓H␈ε"a␈αletter␈αto␈↓ αo␈ε"Laplace␈αin␈αwhich␈αhe␈αposed␈αthe␈αproblem␈αas␈αone␈α
he␈αcould␈αn␈α↓ot␈αresolv␈α␈e␈αto
␈βl␈↓ ↓H␈ε"his␈αsatisfaction.␈α∩He␈α
said,␈α
\I␈α
found␈α
by␈αv␈α␈ery␈α
simple␈α
reasoning␈αthat,␈α
for␈ε(␈α
n␈ε"␈αin|nite,
␈β_␈↓ ↓H␈ε(F␈↓ ↓s␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ αW␈ε"log␈↓ β¬␈ε"(1␈απ+␈ε(␈απx␈ε")/␈↓ ∧π␈ε"log␈↓ ∧;␈ε"2.␈α⊂But␈αthe␈αe{orts␈αthat␈αI␈αmade␈αsince␈αthen␈αin␈αm␈α␈y␈αinquiries
␈β$␈↓ ↓←␈ε+n
␈βC␈↓ ↓H␈ε"to␈α⊂assign␈↓ αf␈ε(F␈↓ β⊃␈ε"(␈ε(x␈ε")␈ε6␈α␈␈↓ βw␈ε"log␈↓ ∧%␈ε"(1␈α+␈ε(␈α
x␈ε")/␈↓ ¬.␈ε"log␈↓ ¬b␈ε"2␈α⊃for␈α⊂v␈α␈ery␈α⊂large␈α⊂but␈α⊂n␈α↓ot␈α⊂in|nite␈α⊂v␈α}alues␈α⊃of␈ε(␈α⊂n
␈βO␈↓ α⎇␈ε+n
␈βn␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈ere␈α∞fruitless."␈α≡He␈α∞nev␈α␈er␈α∂published␈α∞his␈α∂\v␈α␈ery␈α∞simple␈α∂reasoning,"␈α∂and␈α∞it␈α∂is␈α∞n␈α↓ot
␈β
→␈↓ ↓H␈ε"completely␈αclear␈αthat␈αhe␈αhad␈α
found␈αa␈αrigorous␈αpro␈α↓of.␈α⊃More␈αthan␈α100␈αy␈α␈ears␈αw␈α␈en␈α␈t
␈β
D␈↓ ↓H␈ε"by␈α
before␈α∞a␈α
pro␈α↓of␈α∞w␈α␈as␈α
|nally␈α∞published,␈α∞by␈α∞R.␈α
O.␈↓ πi␈ε"Kuz'min␈α
[␈ε/A␈α␈tti␈α∞del␈α
Congresso
␈β
p␈↓ ↓H␈ε/in␈α␈ternazionale␈αdei␈αmatematici␈ε2␈α6␈ε"␈α(Bologna,␈α1928),␈α83↑89],␈αwh␈α↓o␈αsh␈α↓o␈α␈w␈α␈ed␈αthat
␈β∞U␈↓ πy␈ε9p
␈β∞V␈↓ πF␈ε9␈␈ε+A␈↓ λ∩␈ε+n
␈β∞Y␈↓ λ∩␈∧∞Yλ∩α∪
␈β∞↑␈↓ ∧=␈ε(F␈↓ ∧h␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ ¬L␈ε"lg␈↓ ¬h␈ε"(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε")␈αλ+␈↓ π∞␈ε(O␈↓ π+␈ε"(␈↓ π7␈ε(e␈↓ λ+␈ε")
␈β∞j␈↓ ∧T␈ε+n
␈β∂>␈↓ 	T␈ε9␈␈ε+An
␈β∂D␈↓ ↓H␈ε"for␈α
some␈αpositiv␈α␈e␈αconstan␈α␈t␈ε(␈αA␈ε".␈α⊂The␈α
error␈αterm␈αw␈α␈as␈αimpro␈α␈v␈α␈ed␈αto␈↓ 	≥␈ε(O␈↓ 	9␈ε"(␈↓ 	E␈ε(e␈↓ 
≤␈ε")␈αby␈α
Paul
␈β∂p␈↓ ↓H␈ε"L␈↓ ↓←␈ε"∞␈↓ ↓`␈ε"e␈↓ ↓p␈ε"vy␈α∂sh␈α↓ortly␈α∂a$erw␈α␈ard␈α⊂[␈ε/Bull.␈α∂Soc.␈α∂Math.␈α∂de␈α⊂F␈α⎇rance␈ε2␈α∂57␈ε"␈α∂(1929),␈α⊂178↑194]*;␈α⊃but
␈β⊂≠␈↓ ↓H␈ε"Gauss's␈αproblem,␈α
namely␈αto␈α
|nd␈αthe␈αasymptotic␈α
beha␈α␈vior␈αof␈↓ 	λ␈ε(F␈↓ 	3␈ε"(␈ε(x␈ε")␈ε6␈α	␈␈↓ 
∀␈ε"lg␈↓ 
0␈ε"(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε"),
␈β⊂'␈↓ 	∨␈ε+n
␈β⊂F␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈as␈α
n␈α↓ot␈α
really␈α∞resolv␈α␈ed␈α
un␈α␈til␈α
1974,␈α∞when␈α
Eduard␈↓ πV␈ε"Wirsing␈α∞published␈α
a␈α
beautiful
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈∧⊃⊗↓Hα↓X
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈ε$*An␈α
exposit␈α␈ion␈α
o␈α↓f␈α
L␈↓ βR␈ε$∞␈↓ βS␈ε$e␈↓ β`␈ε$vy's␈α
in␈α␈te␈α␈rest␈α␈ing␈αpr␈α␈o␈ααof␈α
a␈α↓ppe␈α␈ared␈α
in␈α
the␈α
|r␈α␈st␈α
edit␈α␈ion␈α
o␈α↓f␈α
this␈α
bo␈α↓ok.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.3␈↓ λM␈ε"'␈↓ 
v␈ε"347
␈β↓\␈↓ ¬y␈ε∞ANA␈α↓L␈α⎇Y␈α↓S␈α␈IS␈α	OF␈α
E␈α↓UCL␈α↓ID␈↓ λW␈ε∞S␈α	A␈α↓L␈α␈GORIT␈α↓HM
␈βα"␈↓ ↓H␈ε"analysis␈αof␈α
the␈αsituation␈α
[␈ε/Acta␈α
Arithmetica␈ε2␈α24␈ε"␈α
(1974),␈α507↑528].␈α∩W␈α⎇e␈α
shall␈αstudy
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"the␈αλsimplest␈αλaspects␈αλof␈α	Wirsing's␈αλapproach␈αλhere,␈α	since␈αλhis␈α	meth␈α↓od␈αλis␈αλan␈αλinstructiv␈α␈e
␈βαy␈↓ ↓H␈ε"use␈αof␈↓ α0␈ε"linear␈αoperators.
␈ββ.␈↓ α␈ε"If␈ε(␈α∂G␈ε"␈α∂is␈α∂an␈α␈y␈α∂function␈α∂of␈ε(␈α∂x␈ε"␈α∂de|ned␈α∂for␈α∞0␈ε6␈α∂∀␈ε(␈α∂x␈ε6␈α∂∀␈ε"␈α∂1,␈α∂let␈↓ λr␈ε(S␈↓ 	␈ε(G␈ε"␈α⊂be␈α∂the␈α∞function
␈ββY␈↓ ↓H␈ε"de|ned␈αby
␈β∧∀␈↓ ¬,␈ε↓X
␈β∧≥␈↓ ¬l␈ε↓∩␈↓ ε≡␈ε↓∩␈↓ εP␈ε↓∪␈↓ π7␈ε↓∩␈↓ λ1␈ε↓∪␈↓ λG␈ε↓∪
␈β∧∨␈↓ ε9␈ε"1␈↓ πv␈ε"1
␈β∧7␈↓ ∧
␈ε(S␈↓ ∧&␈ε(G␈ε"␈α↓(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ εα␈ε(G␈↓ εn␈ε6␈␈ε(␈αλG␈↓ λ]␈ε".␈↓ 
p␈ε"(25)
␈β∧K␈↓ ε8␈∧∧Kε8α∃␈↓ πQ␈∧∧KπQα]
␈β∧P␈↓ ε8␈ε(k␈↓ πQ␈ε(k␈↓ πm␈ε"+␈ε(␈αλx
␈β∧g␈↓ ¬'␈ε+k␈↓ ¬7␈ε9∃␈ε%1
␈β¬6␈↓ ↓H␈ε"Th␈α␈us,␈↓ α0␈ε(S␈↓ αX␈ε"is␈α∞an␈α∂operator␈α∞that␈α∂changes␈α∞one␈α∂function␈α∂in␈α␈to␈α∞an␈α↓other.␈α_In␈α∞particular,
␈β¬a␈↓ ↓H␈ε"by␈α(23)␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ βK␈ε(F␈↓ ∧#␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ ¬π␈ε(S␈↓ ¬ ␈ε(F␈↓ ¬K␈ε"(␈ε(x␈ε"),␈α
hence
␈β¬n␈↓ βb␈ε+n␈ε%+␈α␈1␈↓ ¬7␈ε+n
␈βεO␈↓ εU␈ε+n
␈βεV␈↓ ¬Y␈ε(F␈↓ ε∞␈ε"=␈↓ ε<␈ε(S␈↓ εi␈ε(F␈↓ π⊃␈ε".␈↓ 
p␈ε"(26)
␈βεc␈↓ ¬p␈ε+n␈↓ π↓␈ε%0
␈βπK␈↓ ↓H␈ε"(In␈α⊂this␈α⊃discussion␈↓ β{␈ε(F␈↓ ∧7␈ε"stands␈α⊂for␈α⊃a␈α⊂distribution␈α⊃function,␈ε/␈α⊃n␈α↓ot␈ε"␈α⊃for␈α⊂a␈α⊂Fibonacci
␈βπX␈↓ ∧∩␈ε+n
␈βπw␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈ber.)␈α↔Note␈α∞that␈↓ ∧⊗␈ε(S␈↓ ∧=␈ε"is␈α∂a␈α∞\linear␈α∂operator";␈α∂i.e.,␈↓ πs␈ε(S␈↓ λ␈ε"(␈ε(c␈α↓G␈ε")␈α∞=␈ε(␈α∞c␈ε"␈α↓(␈↓ 	,␈ε(S␈↓ 	E␈ε(G␈ε")␈α∂for␈α∞all␈α∞con-
␈βλ"␈↓ ↓H␈ε"stan␈α␈ts␈ε(␈αc␈ε",␈αand␈↓ β≤␈ε(S␈↓ β5␈ε"(␈↓ βA␈ε(G␈↓ βv␈ε"+␈↓ ∧"␈ε(G␈↓ ∧P␈ε")␈α
=␈↓ ¬∀␈ε(S␈↓ ¬-␈ε(G␈↓ ¬b␈ε"+␈↓ ε∞␈ε(S␈↓ ε'␈ε(G␈↓ εT␈ε".
␈βλ.␈↓ β]␈ε%1␈↓ ∧?␈ε%2␈↓ ¬I␈ε%1␈↓ εD␈ε%2
␈βλW␈↓ α␈ε"No␈α␈w␈α∞if␈ε(␈α
G␈ε"␈α∂has␈α
a␈α∞bounded␈α∞|rst␈α∞deriv␈α}ativ␈α␈e,␈α∞w␈α␈e␈α∞can␈α
di{eren␈α␈tiate␈α∞(25)␈α∞term␈α
by
␈β	α␈↓ ↓H␈ε"term␈αto␈αsh␈α↓o␈α␈w␈αthat
␈β	b␈↓ ¬T␈ε↓X
␈β	k␈↓ πG␈ε↓∩␈↓ λA␈ε↓∪
␈β	l␈↓ εQ␈ε"1␈↓ λε␈ε"1
␈β	|␈↓ ∧a␈ε90␈↓ π=␈ε90
␈β
∧␈↓ ∧∪␈ε"(␈↓ ∧∨␈ε(S␈↓ ∧8␈ε(G␈↓ ∧U␈ε")␈↓ ∧k␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ π ␈ε(G␈↓ λW␈ε";␈↓ 
p␈ε"(27)
␈β
_␈↓ ε_␈∧
_ε_α↓¬␈↓ πa␈∧
_πaα]
␈β
~␈↓ π␈ε%2
␈β
≡␈↓ ε_␈ε"(␈↓ ε$␈ε(k␈↓ ε@␈ε"+␈ε(␈αλx␈↓ π␈ε")␈↓ πa␈ε(k␈↓ π⎇␈ε"+␈ε(␈αλx
␈β
4␈↓ ¬O␈ε+k␈↓ ¬←␈ε9∃␈ε%1
␈β
⎇␈↓ πV␈ε↓␈
␈β≠␈↓ ↓H␈ε"hence␈↓ α1␈ε(S␈↓ αJ␈ε(G␈ε"␈α∩also␈α⊃has␈α⊃a␈α⊃bounded␈α⊃|rst␈α∩deriv␈α}ativ␈α␈e.␈↓ πd␈ε"T␈α⎇erm-by-term␈α⊃di{eren␈α␈tiation
␈βF␈↓ ↓H␈ε"of␈α⊃a␈α∩con␈α␈v␈α␈ergen␈α␈t␈α∩series␈α∩is␈α⊃justi|ed␈α∩when␈α∩the␈α∩series␈α⊃of␈α∩deriv␈α}ativ␈α␈es␈α∩is␈α⊃uniformly
␈βr␈↓ ↓H␈ε"con␈α␈v␈α␈ergen␈α␈t;␈α⊂cf.␈α∂K.␈↓ βs␈ε"Kn␈α↓opp,␈ε/␈α⊂Theory␈α∂and␈α∞Application␈α∂of␈α∂In|nite␈α∂series␈ε"␈α∞(Glasgo␈α␈w:
␈β}␈↓ βx␈ε↓↓
␈β≥␈↓ ↓H␈ε"Blackie,␈α1951),␈ε6␈αx␈ε"47.
␈βL␈↓ εs␈ε90␈↓ 	K␈ε90
␈βR␈↓ α␈ε"Let␈↓ αN␈ε(H␈↓ αy␈ε"=␈↓ β(␈ε(S␈↓ βA␈ε(G␈ε",␈αand␈α
let␈↓ ∧n␈ε(g␈↓ ¬␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈α
(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε")␈↓ εV␈ε(G␈↓ ε|␈ε"(␈ε(x␈ε"),␈ε(␈α
h␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈α
(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε")␈↓ 	*␈ε(H␈↓ 	U␈ε"(␈ε(x␈ε").␈α⊂It␈αfollo␈α␈ws
␈β⎇␈↓ ↓H␈ε"that
␈β
7␈↓ πl␈ε9␈␈ε%1
␈β
9␈↓ ∧6␈ε↓X
␈β
B␈↓ ε⊗␈ε↓∩␈↓ πV␈ε↓∪␈↓ λ-␈ε↓∩␈↓ 	'␈ε↓∪
␈β
C␈↓ ¬→␈ε"1␈αλ+␈ε(␈αλx␈↓ π≠␈ε"1␈↓ λl␈ε"1
␈β
[␈↓ β7␈ε(h␈ε"(␈ε(x␈ε")␈↓ ∧α␈ε"=␈↓ ε,␈ε"1␈αλ+␈↓ λ≠␈ε(g
␈β
o␈↓ ¬β␈∧
o¬βα↓¬␈↓ εv␈∧
oεvα]␈↓ λG␈∧
oλGα]
␈β
q␈↓ ¬w␈ε%2
␈β
u␈↓ ¬β␈ε"(␈↓ ¬∂␈ε(k␈↓ ¬+␈ε"+␈ε(␈αλx␈↓ ¬k␈ε")␈↓ εv␈ε(k␈↓ π∩␈ε"+␈ε(␈αλx␈↓ λG␈ε(k␈↓ λc␈ε"+␈ε(␈αλx
␈β∞␈↓ ∧0␈ε+k␈↓ ∧A␈ε9∃␈ε%␈α␈1
␈β∞<␈↓ ∧6␈ε↓X
␈β∞E␈↓ ∧u␈ε↓∩␈↓ πN␈ε↓∪␈↓ π{␈ε↓∩␈↓ λv␈ε↓∪
␈β∞F␈↓ ¬V␈ε(k␈↓ εn␈ε(k␈↓ π␈ε6␈␈ε"␈αλ1␈↓ λ;␈ε"1
␈β∞↑␈↓ ∧α␈ε"=␈↓ ε=␈ε6␈␈↓ πj␈ε(g␈↓ 	␈ε".
␈β∞r␈↓ ¬∂␈∧∞r¬∂α↓#␈↓ εm␈∧∞rεmα]␈↓ λ∃␈∧∞rλ∃α]
␈β∞x␈↓ ¬∂␈ε(k␈↓ ¬+␈ε"+␈αλ1␈αλ+␈ε(␈αλx␈↓ εm␈ε(k␈↓ π
␈ε"+␈ε(␈αλx␈↓ λ∃␈ε(k␈↓ λ2␈ε"+␈ε(␈αλx
␈β∂∞␈↓ ∧0␈ε+k␈↓ ∧A␈ε9∃␈ε%␈α␈1
␈β∂d␈↓ ↓H␈ε"In␈αother␈αw␈α␈ords,␈ε(␈αh␈ε"␈α
=␈↓ ∧⊂␈ε(T␈↓ ∧)␈ε(g␈↓ ∧;␈ε",␈αwhere␈↓ ¬9␈ε(T␈↓ ¬←␈ε"is␈αthe␈αlinear␈αoperator␈αde|ned␈αby
␈β⊂K␈↓ ∧U␈ε↓X
␈β⊂T␈↓ ¬∀␈ε↓∩␈↓ πl␈ε↓∪␈↓ λ~␈ε↓∩␈↓ 	∃␈ε↓∪
␈β⊂U␈↓ ¬u␈ε(k␈↓ π
␈ε(k␈↓ π)␈ε6␈␈ε"␈αλ1␈↓ λY␈ε"1
␈β⊂m␈↓ β@␈ε(T␈↓ βY␈ε(g␈↓ βk␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ ε\␈ε6␈␈↓ λλ␈ε(g␈↓ 	+␈ε".␈↓ 
p␈ε"(28)
␈β⊃↓␈↓ ¬.␈∧⊃↓¬.α↓#␈↓ π␈∧⊃↓πα]␈↓ λ4␈∧⊃↓λ4α]
␈β⊃ε␈↓ ¬.␈ε(k␈↓ ¬J␈ε"+␈αλ1␈αλ+␈ε(␈αλx␈↓ π␈ε(k␈↓ π(␈ε"+␈ε(␈αλx␈↓ λ4␈ε(k␈↓ λQ␈ε"+␈ε(␈αλx
␈β⊃≥␈↓ ∧O␈ε+k␈↓ ∧`␈ε9∃␈ε%␈α␈1
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"348␈↓ 
b␈ε"4.5.3
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ α␈ε"Con␈α␈tin␈α␈uing,␈αw␈α␈e␈αsee␈αthat␈αif␈↓ ¬/␈ε(g␈↓ ¬M␈ε"has␈αa␈αbounded␈α|rst␈αderiv␈α}ativ␈α␈e,␈αw␈α␈e␈αcan␈αdi{eren-
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"tiate␈αterm␈αby␈αterm␈αto␈αsh␈α↓o␈α␈w␈αthat␈↓ ¬O␈ε(T␈↓ ¬h␈ε(g␈↓ εε␈ε"does␈αalso:
␈ββ␈↓ ∧E␈ε↓␈ 
␈ββ∞␈↓ ∧␈ε↓X
␈ββ↔␈↓ ∧\␈ε↓∩␈↓ λε␈ε↓∪␈↓ λ3␈ε↓∩␈↓ 	.␈ε↓∪
␈ββ_␈↓ ¬Q␈ε(k␈↓ π∩␈ε(k␈↓ π.␈ε6␈␈ε"␈αλ1␈↓ λs␈ε"1
␈ββ(␈↓ αn␈ε90
␈ββ0␈↓ α*␈ε"(␈↓ α6␈ε(T␈↓ αP␈ε(g␈↓ αb␈ε")␈↓ αx␈ε"(␈ε(x␈ε")␈↓ β.␈ε"=␈ε6␈α
␈␈↓ εM␈ε6␈␈↓ λ"␈ε(g
␈ββD␈↓ ∧v␈∧βD∧vα↓K␈↓ ε⎇␈∧βDε⎇α↓¬␈↓ λM␈∧βDλMα]
␈ββF␈↓ ε0␈ε%2␈↓ πq␈ε%2
␈ββJ␈↓ ∧v␈ε"(␈↓ ¬α␈ε(k␈↓ ¬≡␈ε"+␈αλ1␈αλ+␈ε(␈αλx␈↓ ε$␈ε")␈↓ ε⎇␈ε"(␈↓ π	␈ε(k␈↓ π%␈ε"+␈ε(␈αλx␈↓ πe␈ε")␈↓ λM␈ε(k␈↓ λj␈ε"+␈ε(␈αλx
␈ββa␈↓ ∧ε␈ε+k␈↓ ∧⊗␈ε9∃␈ε%1
␈β∧λ␈↓ 
3␈ε↓!
␈β∧∪␈↓ ¬␈ε↓∩␈↓ πd␈ε↓∪␈↓ 	"␈ε↓∩␈↓ 
≥␈ε↓∪
␈β∧∀␈↓ ¬m␈ε(k␈↓ π¬␈ε(k␈↓ π!␈ε6␈␈ε"␈αλ1␈↓ λ7␈ε"1␈↓ 	b␈ε"1
␈β∧$␈↓ 	→␈ε90
␈β∧,␈↓ ∧`␈ε"+␈↓ εT␈ε6␈␈↓ 	π␈ε(g
␈β∧@␈↓ ¬&␈∧∧@¬&α↓#␈↓ π∧␈∧∧@π∧α]␈↓ π}␈∧∧@π}α↓¬␈↓ 	<␈∧∧@	<α]
␈β∧B␈↓ λr␈ε%2
␈β∧E␈↓ ¬&␈ε(k␈↓ ¬B␈ε"+␈αλ1␈αλ+␈ε(␈αλx␈↓ π∧␈ε(k␈↓ π ␈ε"+␈ε(␈αλx␈↓ π}␈ε"(␈↓ λ
␈ε(k␈↓ λ&␈ε"+␈ε(␈αλx␈↓ λf␈ε")␈↓ 	<␈ε(k␈↓ 	Y␈ε"+␈ε(␈αλx
␈β¬
␈↓ ∧E␈ε↓␈ 
␈β¬∂␈↓ ∧␈ε↓X
␈β¬_␈↓ ε/␈ε↓∩␈↓ εW␈ε↓∩␈↓ πQ␈ε↓∪␈↓ λ-␈ε↓∩␈↓ 	m␈ε↓∪␈↓ 
β␈ε↓∪
␈β¬→␈↓ ¬;␈ε(k␈↓ π⊗␈ε"1␈↓ 	∂␈ε"1
␈β¬1␈↓ β.␈ε"=␈ε6␈α
␈␈↓ εE␈ε(g␈↓ πo␈ε6␈␈↓ λ≠␈ε(g
␈β¬E␈↓ ∧`␈∧¬E∧`α↓K␈↓ εq␈∧¬Eεqα]␈↓ λG␈∧¬EλGα↓#
␈β¬G␈↓ ε~␈ε%2
␈β¬K␈↓ ∧`␈ε"(␈↓ ∧l␈ε(k␈↓ ¬λ␈ε"+␈αλ1␈αλ+␈ε(␈αλx␈↓ ε∞␈ε")␈↓ εq␈ε(k␈↓ π
␈ε"+␈ε(␈αλx␈↓ λG␈ε(k␈↓ λc␈ε"+␈αλ1␈αλ+␈ε(␈αλx
␈β¬a␈↓ ∧ε␈ε+k␈↓ ∧⊗␈ε9∃␈ε%1
␈βε	␈↓ λ}␈ε↓!
␈βε∀␈↓ πn␈ε↓∩␈↓ λh␈ε↓∪
␈βε∃␈↓ εα␈ε"1␈αλ+␈ε(␈αλx␈↓ λ-␈ε"1
␈βε%␈↓ πe␈ε90
␈βε-␈↓ ∧`␈ε"+␈↓ πS␈ε(g␈↓ 	≠␈ε".
␈βεA␈↓ ¬⊂␈∧εA¬⊂αα@␈↓ λλ␈∧εAλλα]
␈βεC␈↓ ε∧␈ε%3
␈βεF␈↓ ¬⊂␈ε"(␈↓ ¬≤␈ε(k␈↓ ¬8␈ε"+␈ε(␈αλx␈↓ ¬x␈ε")␈↓ ε∃␈ε"(␈↓ ε!␈ε(k␈↓ ε=␈ε"+␈αλ1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε")␈↓ λλ␈ε(k␈↓ λ$␈ε"+␈ε(␈αλx
␈βπ
␈↓ 	←␈ε90␈↓ 
␈ε90
␈βπ⊂␈↓ ↓H␈ε"There␈α⊂is␈α⊂consequen␈α␈tly␈α⊂a␈α⊂third␈α⊂linear␈α⊂operator,␈↓ π;␈ε(U␈↓ πX␈ε",␈α⊃such␈α⊂that␈α⊂(␈↓ 	'␈ε(T␈↓ 	A␈ε(g␈↓ 	S␈ε")␈↓ 	y␈ε"=␈ε6␈α⊃␈␈↓ 
R␈ε(U␈↓ 
o␈ε"(␈↓ 
{␈ε(g␈↓ ⊗␈ε"),
␈βπ;␈↓ ↓H␈ε"namely
␈βπq␈↓ ¬6␈ε↓Z
␈βπw␈↓ ¬Z␈ε%1/(␈↓ εα␈ε+k␈↓ ε∪␈ε%+␈ε+x␈ε%)
␈βπy␈↓ βF␈ε↓␈ 
␈βπ{␈↓ β␈ε↓X
␈βλ¬␈↓ ∧<␈ε(k
␈βλ≥␈↓ ↓l␈ε(U␈↓ α	␈ε(⎇␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ εp␈ε(⎇␈ε"␈α␈(␈ε(t␈ε"␈α↓)␈ε(␈αεdt
␈βλ1␈↓ βa␈∧λ1βaα↓K
␈βλ3␈↓ ¬≠␈ε%2
␈βλ7␈↓ βa␈ε"(␈↓ βm␈ε(k␈↓ ∧	␈ε"+␈αλ1␈αλ+␈ε(␈αλx␈↓ ¬∂␈ε")
␈βλ@␈↓ ¬J␈ε%1/(␈↓ ¬r␈ε+k␈↓ εβ␈ε%+1+␈ε+␈α␈x␈ε%␈α↓)
␈βλM␈↓ βπ␈ε+k␈↓ β↔␈ε9∃␈ε%1
␈βλm␈↓ 
π␈ε↓!
␈βλx␈↓ λw␈ε↓∩␈↓ 	q␈ε↓∪
␈βλy␈↓ π
␈ε"1␈αλ+␈ε(␈αλx␈↓ 	6␈ε"1
␈β	⊃␈↓ ¬j␈ε"+␈↓ λ↑␈ε(⎇␈↓ 
≡␈ε".␈↓ 
p(29)
␈β	&␈↓ ε~␈∧	&ε~αα@␈↓ 	⊃␈∧	&	⊃α]
␈β	(␈↓ π∂␈ε%3
␈β	+␈↓ ε~␈ε"(␈↓ ε&␈ε(k␈↓ εC␈ε"+␈ε(␈αλx␈↓ πβ␈ε")␈↓ π∨␈ε"(␈↓ π+␈ε(k␈↓ πH␈ε"+␈αλ1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε")␈↓ 	⊃␈ε(k␈↓ 	-␈ε"+␈ε(␈αλx
␈β	r␈↓ α␈ε"What␈αis␈αthe␈αrelev␈α}ance␈αof␈αall␈αthis␈αto␈αour␈αproblem?␈α⊂W␈α⎇ell,␈αif␈αw␈α␈e␈αset
␈β
∀␈↓ λ∧␈ε↓␈␈↓ 	 ␈ε↓↓
␈β
3␈↓ ¬α␈ε(F␈↓ ¬.␈ε"(␈ε(x␈ε")␈↓ ¬d␈ε"=␈↓ ε∩␈ε"lg␈↓ ε.␈ε"(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε")␈αλ+␈↓ πT␈ε(R␈↓ λ∩␈ε"lg␈↓ λ.␈ε"(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε")␈↓ 	.␈ε",␈↓ 
p␈ε"(30)
␈β
?␈↓ ¬~␈ε+n␈↓ πp␈ε+n
␈β
i␈↓ εP␈ε↓␈␈↓ πV␈ε↓␈␈↓ λr␈ε↓↓␈↓ 	␈ε↓↓
␈β
p␈↓ ε(␈ε"1
␈β␈↓ ¬≡␈ε90␈↓ πA␈ε90
␈βλ␈↓ β␈ε(f␈↓ β&␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈α
(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε")␈↓ ¬α␈ε(F␈↓ ¬.␈ε"(␈ε(x␈ε")␈↓ ¬d␈ε"=␈↓ ε↑␈ε"1␈αλ+␈↓ π$␈ε(R␈↓ πd␈ε"lg␈↓ λ␈ε"(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε")␈↓ 	∞␈ε",␈↓ 
p␈ε"(31)
␈β∀␈↓ β∩␈ε+n
␈β→␈↓ ¬~␈ε+n␈↓ πA␈ε+n
␈β≤␈↓ ε⊗␈∧≤ε⊗α6
␈β"␈↓ ε⊗␈ε"ln␈↓ ε:␈ε"2
␈βU␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈βb␈↓ ¬=␈ε↓␈␈↓ εY␈ε↓↓␈↓ εg␈ε↓∞␈↓ ε{␈ε↓␈␈↓ λZ␈ε↓↓
␈βy␈↓ ∧↔␈ε90␈↓ ¬(␈ε900␈↓ πW␈ε%2
␈β↓␈↓ ∧α␈ε(f␈↓ ∧'␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ ¬␈ε(R␈↓ ¬K␈ε"lg␈↓ ¬g␈ε"(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε")␈↓ π	␈ε"(␈↓ π∃␈ε"ln␈↓ π9␈ε"2␈↓ πK␈ε")␈↓ πh␈ε"(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε")␈↓ λh␈ε";␈↓ 
p␈ε"(32)
␈β⊃␈↓ ∧∪␈ε+n␈↓ ¬(␈ε+n
␈β<␈↓ ↓H␈ε"the␈α
e{ect␈αof␈αthe␈↓ βG␈ε"lg␈↓ βc␈ε"(1␈α¬+␈ε(␈αεx␈ε")␈αterm␈α
disappears,␈αa$er␈αthese␈αtransformations.␈α∂F␈α⎇urther-
␈βa␈↓ ∧β␈ε+n␈↓ εZ␈ε+n␈↓ π⎇␈ε90␈↓ 	~␈ε+n␈↓ 	K␈ε+n␈↓ 	u␈ε90
␈βg␈↓ ↓H␈ε"m␈α↓ore␈α∞since␈↓ α␈␈ε(F␈↓ β9␈ε"=␈↓ βj␈ε(S␈↓ ∧_␈ε(F␈↓ ∧N␈ε"w␈α␈e␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈↓ ¬[␈ε(f␈↓ ε∞␈ε"=␈↓ ε@␈ε(T␈↓ εn␈ε(f␈↓ π∨␈ε"and␈↓ πg␈ε(f␈↓ λ~␈ε"=␈α∞(␈ε6␈␈ε"1␈↓ 	∞␈ε")␈↓ 	.␈ε(U␈↓ 	`␈ε(f␈↓ 
ε␈ε".␈α↔Both␈↓ ↓␈ε(F
␈βt␈↓ β↔␈ε+n␈↓ ∧/␈ε%0␈↓ ¬l␈ε+n␈↓ π␈ε%0␈↓ _␈ε+n
␈βx␈↓ πx␈ε+n␈↓ 	u␈ε%0
␈β
∪␈↓ ↓H␈ε"and␈↓ α∞␈ε(f␈↓ α@␈ε"ha␈α␈v␈α␈e␈αbounded␈αderiv␈α}ativ␈α␈es,␈αby␈αinduction␈αon␈ε(␈αn␈ε"␈α␈.␈α⊂Th␈α␈us␈α(32)␈αbecomes
␈β
∨␈↓ α∨␈ε+n
␈β
7␈↓ ∧a␈ε↓␈␈↓ ¬⎇␈ε↓↓
␈β
M␈↓ ∧≠␈ε+n␈↓ ∧M␈ε900␈↓ λβ␈ε%2␈↓ λ7␈ε+n␈↓ λ`␈ε90
␈β
U␈↓ βM␈ε"(␈ε6␈␈ε"1␈↓ ∧∂␈ε")␈↓ ∧/␈ε(R␈↓ ∧o␈ε"lg␈↓ ¬␈ε"(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε")␈↓ ε∃␈ε"=␈α
(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε")(␈↓ πA␈ε"ln␈↓ πe␈ε"2␈↓ πw␈ε")␈↓ λ~␈ε(U␈↓ λK␈ε(f␈↓ λq␈ε"(␈ε(x␈ε").␈↓ 
p␈ε"(33)
␈β
f␈↓ ∧M␈ε+n␈↓ λ`␈ε%0
␈β∞∩␈↓ ε9␈ε90
␈β∞_␈↓ ↓H␈ε"No␈α␈w␈↓ α≤␈ε(F␈↓ αE␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈ε(␈α
x␈ε",␈↓ β[␈ε(f␈↓ β⎇␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈α
1␈α
+␈ε(␈α	x␈ε",␈α∞and␈↓ ε$␈ε(f␈↓ εJ␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α∞is␈α∞the␈α∞constan␈α␈t␈α
function␈α∞1.␈α⊗W␈α⎇e␈α
are
␈β∞$␈↓ α4␈ε%0␈↓ βm␈ε%0
␈β∞(␈↓ ε9␈ε%0
␈β∞=␈↓ ¬h␈ε+n
␈β∞C␈↓ ↓H␈ε"going␈αto␈αsh␈α↓o␈α␈w␈αthat␈αthe␈α
operator␈↓ ¬K␈ε(U␈↓ ελ␈ε"tak␈α␈es␈α
the␈αconstan␈α␈t␈αfunction␈αin␈α␈to␈αa␈αfunction
␈β∞h␈↓ ¬@␈ε900
␈β∞n␈↓ ↓H␈ε"with␈α
v␈α␈ery␈αsmall␈α
v␈α}alues,␈αhence␈ε6␈αj␈↓ ¬#␈ε(R␈↓ ¬U␈ε"(␈ε(x␈ε")␈ε6j␈ε"␈α
m␈α␈ust␈αbe␈α
v␈α␈ery␈αsmall␈α
for␈α0␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
x␈ε6␈α
∀␈ε"␈α
1.␈α∂Finally
␈β∞␈␈↓ ¬@␈ε+n
␈β∂→␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈e␈αcan␈αclinch␈αthe␈αargumen␈α␈t␈αby␈αsh␈α↓o␈α␈wing␈αthat␈↓ π
␈ε(R␈↓ π;␈ε"(␈ε(x␈ε")␈αitself␈αis␈αsmall:␈αSince␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈β∂&␈↓ π&␈ε+n
␈β∂E␈↓ ↓H␈ε(R␈↓ ↓x␈ε"(0)␈α⊃=␈↓ αh␈ε(R␈↓ β_␈ε"(1)␈α∩=␈α⊃1,␈α⊃it␈α⊃follo␈α␈ws␈α⊂from␈α⊂a␈α⊂w␈α␈ell-kn␈α↓o␈α␈wn␈α⊃in␈α␈terpolation␈α⊂form␈α␈ula␈α⊂(cf.
␈β∂Q␈↓ ↓d␈ε+n␈↓ β∧␈ε+n
␈β∂p␈↓ ↓H␈ε"exercise␈α4.6.4↑15␈αwith␈↓ ∧,␈ε(x␈↓ ∧Z␈ε"=␈α
0,␈↓ ¬0␈ε(x␈↓ ¬←␈ε"=␈ε(␈α
x␈ε",␈↓ ε7␈ε(x␈↓ εf␈ε"=␈α
1)␈αthat
␈β∂|␈↓ ∧@␈ε%0␈↓ ¬D␈ε%1␈↓ εK␈ε%2
␈β⊂(␈↓ πN␈ε↓␈␈↓ λ≤␈ε↓↓
␈β⊂/␈↓ ε␈ε(x␈ε"(1␈ε6␈αλ␈␈ε(␈αλx␈ε")
␈β⊂?␈↓ π:␈ε900
␈β⊂G␈↓ ∧J␈ε(R␈↓ ∧z␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈ε6␈α
␈␈↓ π≤␈ε(R␈↓ π\␈ε(_␈↓ πp␈ε"(␈ε(x␈ε")␈↓ 
p␈ε"(34)
␈β⊂S␈↓ ∧f␈ε+n
␈β⊂W␈↓ π:␈ε+n
␈β⊂[␈↓ ε␈∧⊂[εα↓ε
␈β⊂`␈↓ εF␈ε"2
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε"for␈αsome␈αfunction␈↓ βh␈ε(_␈↓ β{␈ε"(␈ε(x␈ε"),␈αwhere␈α0␈ε6␈α
∀␈↓ ¬o␈ε(_␈↓ εβ␈ε"(␈ε(x␈ε")␈ε6␈α
∀␈ε"␈α
1␈αwhen␈α0␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
x␈ε6␈α
∀␈ε"␈α
1.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.3␈↓ λM␈ε"'␈↓ 
v␈ε"349
␈β↓\␈↓ ¬y␈ε∞ANA␈α↓L␈α⎇Y␈α↓S␈α␈IS␈α	OF␈α
E␈α↓UCL␈α↓ID␈↓ λW␈ε∞S␈α	A␈α↓L␈α␈GORIT␈α↓HM
␈βα≡␈↓ 	#␈ε+n
␈βα$␈↓ α␈ε"Th␈α␈us␈α
ev␈α␈erything␈αhinges␈α
on␈α
our␈αbeing␈α
able␈α
to␈αpro␈α␈v␈α␈e␈α
that␈↓ 	ε␈ε(U␈↓ 	D␈ε"produces␈αsmall
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"function␈α
v␈α}alues,␈α∞where␈↓ ∧7␈ε(U␈↓ ∧b␈ε"is␈α
the␈α∞linear␈α
operator␈α∞de|ned␈α
in␈α∞(29).␈α∀Note␈α
that␈↓ 
j␈ε(U␈↓ ∀␈ε"is
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"a␈ε/␈αpositiv␈α␈e␈ε"␈α
operator,␈α
in␈αthe␈α
sense␈α
that␈↓ ε~␈ε(U␈↓ ε8␈ε(⎇␈ε"␈α␈(␈ε(x␈ε")␈ε6␈α∃␈ε"␈α0␈α
for␈α
all␈ε(␈αx␈ε"␈α
if␈ε(␈α
⎇␈ε"␈α␈(␈ε(x␈ε")␈ε6␈α∃␈ε"␈α0␈αfor␈α
all␈ε(␈αx␈ε".
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"It␈α∞follo␈α␈ws␈α∂that␈↓ β:␈ε(U␈↓ βf␈ε"is␈α∞order-preserving:␈α⊃If␈↓ εL␈ε(⎇␈↓ εw␈ε"(␈ε(x␈ε")␈ε6␈α∞∀␈↓ πc␈ε(⎇␈↓ λ∞␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α∞for␈α∂all␈ε(␈α∞x␈ε"␈α∂then␈α∞w␈α␈e␈α∞ha␈α␈v␈α␈e
␈ββ2␈↓ εf␈ε%1␈↓ π⎇␈ε%2
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε(U␈↓ ↓e␈ε(⎇␈↓ α∂␈ε"(␈ε(x␈ε")␈ε6␈α
∀␈↓ αs␈ε(U␈↓ β⊃␈ε(⎇␈↓ β;␈ε"(␈ε(x␈ε")␈αfor␈αall␈ε(␈αx␈ε".
␈ββ]␈↓ ↓␈␈ε%1␈↓ β*␈ε%2
␈ββ|␈↓ α␈ε"One␈α∞w␈α␈a␈α␈y␈α∞to␈α
exploit␈α∞this␈α∞propert␈α␈y␈α∞is␈α
to␈α∞|nd␈α∞a␈α∞function␈ε(␈α∞⎇␈ε"␈α
for␈α∞which␈α∞w␈α␈e␈α
can
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε"calculate␈↓ α\␈ε(U␈↓ αy␈ε(⎇␈ε"␈α
exactly␈α
and␈α
to␈αuse␈α
constan␈α␈t␈α
m␈α␈ultiples␈α
of␈αthis␈α
function␈α
to␈α
bound␈α
the
␈β∧R␈↓ ↓H␈ε"ones␈αthat␈αw␈α␈e␈αare␈αreally␈αin␈α␈terested␈αin.␈α⊂First␈αlet␈αus␈αlo␈α↓ok␈αfor␈αa␈αfunction␈↓ 	|␈ε(g␈↓ 
→␈ε"such␈αthat
␈β∧}␈↓ ↓H␈ε(T␈↓ ↓a␈ε(g␈↓ ↓␈␈ε"is␈αeasy␈αto␈αcompute.␈α⊂If␈αw␈α␈e␈αconsider␈αfunctions␈αde|ned␈αfor␈αall␈ε(␈αx␈ε6␈α
∃␈ε"␈α
0,␈αinstead␈αof
␈β¬)␈↓ ↓H␈ε"only␈αon␈↓ αI␈ε"[␈↓ αS␈ε"0,␈αε1],␈αit␈αis␈αeasy␈αto␈αrem␈α↓o␈α␈v␈α␈e␈αthe␈αsummation␈αfrom␈α(25)␈αby␈αobserving␈αthat
␈β¬y␈↓ ∧C␈ε↓∩␈↓ ¬;␈ε↓∪␈↓ εj␈ε↓∩␈↓ πd␈ε↓∪␈↓ λO␈ε↓∩␈↓ 	G␈ε↓∪
␈β¬z␈↓ ¬↓␈ε"1␈↓ π)␈ε"1␈↓ 	
␈ε"1
␈βε∩␈↓ ↓H␈ε(S␈↓ ↓a␈ε(G␈ε"(␈ε(x␈ε"␈αβ+␈αα1)␈ε6␈αβ␈␈↓ β
␈ε(S␈↓ β&␈ε(G␈ε"␈α↓(␈ε(x␈ε")␈α
=␈ε(␈α
G␈↓ ¬T␈ε6␈␈↓ ελ␈ε"lim␈↓ εN␈ε(G␈↓ λ∧␈ε"=␈ε(␈α
G␈↓ 	←␈ε6␈␈ε(␈αβG␈ε"(0)␈↓ 
p␈ε"(35)
␈βε'␈↓ ∧]␈∧ε'∧]α[␈↓ π∧␈∧ε'π∧α]␈↓ λi␈∧ε'λiα[
␈βε,␈↓ ∧]␈ε"1␈αλ+␈ε(␈αλx␈↓ π∧␈ε(k␈↓ π ␈ε"+␈ε(␈αλx␈↓ λi␈ε"1␈αλ+␈ε(␈αλx
␈βε3␈↓ ¬z␈ε+k␈↓ ε␈ε9!1
␈βεa␈↓ ¬U␈ε↓␈␈↓ πβ␈ε↓↓
␈βεy␈↓ εz␈ε90␈↓ 	%␈ε90
␈βε␈␈↓ ↓H␈ε"when␈ε(␈α∩G␈ε"␈α∩is␈α∩con␈α␈tin␈α␈uous.␈α"Since␈↓ ¬<␈ε(T␈↓ ¬c␈ε"(1␈α+␈ε(␈αx␈ε")␈↓ ε]␈ε(G␈↓ π%␈ε"=␈α∀(1␈α+␈ε(␈αx␈ε")(␈↓ λc␈ε(S␈↓ λ|␈ε(G␈↓ 	→␈ε")␈↓ 	.␈ε",␈α∀it␈α∩follo␈α␈ws␈α⊃(see
␈βπ+␈↓ ↓H␈ε"exercise␈α20)␈αthat
␈βπ{␈↓ ε
␈ε↓∩␈↓ λ≠␈ε↓∪␈↓ λC␈ε↓∩␈↓ 	;␈ε↓∪
␈βπ|␈↓ β≡␈ε(T␈↓ β8␈ε(g␈↓ βJ␈ε"(␈ε(x␈ε")␈↓ ∧3␈ε(T␈↓ ∧M␈ε(g␈↓ ∧←␈ε"(␈ε(x␈ε"␈αλ+␈αλ1)␈↓ εK␈ε"1␈↓ πa␈ε"1␈↓ 	↓␈ε"1
␈βλ∀␈↓ ∧β␈ε6␈␈↓ ¬←␈ε"=␈↓ π
␈ε6␈␈↓ λ1␈ε(g␈↓ 	Q␈ε".␈↓ 
p␈ε"(36)
␈βλ(␈↓ β≥␈∧λ(β≥αZ␈↓ ∧3␈∧λ(∧3α↓≡␈↓ ε'␈∧λ(ε'αZ␈↓ π=␈∧λ(π=αZ␈↓ λ]␈∧λ(λ]α[
␈βλ.␈↓ β≥␈ε(x␈ε"␈αλ+␈αλ1␈↓ ∧U␈ε(x␈ε"␈αλ+␈αλ2␈↓ ε'␈ε(x␈ε"␈αλ+␈αλ1␈↓ π=␈ε(x␈ε"␈αλ+␈αλ2␈↓ λ]␈ε"1␈αλ+␈ε(␈αλx
␈βλ}␈↓ ↓H␈ε"If␈α∂w␈α␈e␈α⊂set␈↓ αd␈ε(T␈↓ α}␈ε(g␈↓ β⊂␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α⊂=␈α⊂1/(␈ε(x␈ε"␈α+␈α
1),␈α⊃w␈α␈e␈α⊂|nd␈α⊂that␈α⊂the␈α∂corresponding␈α⊂v␈α}alue␈α⊂of␈↓ 
G␈ε(g␈↓ 
Y␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α∂is
␈β	#␈↓ εα␈ε90␈↓ λf␈ε%2
␈β	)␈↓ ↓H␈ε"1␈αλ+␈ε(␈αλx␈↓ α-␈ε6␈␈ε"␈α
1/(1␈α+␈ε(␈αx␈ε").␈α≥Let␈ε(␈α⊂⎇␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α⊃=␈↓ ¬p␈ε(g␈↓ ε␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α⊃=␈α⊃1␈α+␈α1/(1␈α+␈ε(␈αx␈↓ λZ␈ε")␈↓ λv␈ε",␈α∩so␈α⊂that␈↓ 
∀␈ε(U␈↓ 
2␈ε(⎇␈ε"␈α␈(␈ε(x␈ε")␈α⊃=
␈β	N␈↓ α/␈ε90␈↓ ∧3␈ε%2
␈β	T␈↓ ↓H␈ε6␈␈ε"(␈↓ ↓x␈ε(T␈↓ α⊃␈ε(g␈↓ α#␈ε")␈↓ α9␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈α
1/(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈↓ ∧'␈ε")␈↓ ∧D␈ε";␈αthis␈αis␈αthe␈αfunction␈ε(␈α⎇␈ε"␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈αbeen␈αlo␈α↓oking␈αfor.
␈β	y␈↓ 	>␈ε%2
␈β	␈␈↓ α␈ε"F␈α⎇or␈α⊂this␈α⊂ch␈α↓oice␈α∂of␈ε(␈α⊂⎇␈ε"␈α∂w␈α␈e␈α⊂ha␈α␈v␈α␈e␈α⊂2␈ε6␈α⊂∀␈ε(␈α⊂⎇␈ε"(␈ε(x␈ε")/␈↓ π ␈ε(U␈↓ π=␈ε(⎇␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α⊂=␈α⊃(1␈α
+␈ε(␈α
x␈↓ 	2␈ε")␈↓ 	Z␈ε"+␈α
1␈ε6␈α⊂∀␈ε"␈α⊃5␈α∂for
␈β
+␈↓ ↓H␈ε"0␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
x␈ε6␈α
∀␈ε"␈α
1,␈αhence
␈β
Q␈↓ ¬5␈ε%1␈↓ π
␈ε%1
␈β
V␈↓ ¬H␈ε(⎇␈ε6␈α
∀␈↓ ε~␈ε(U␈↓ ε7␈ε(⎇␈ε6␈α
∀␈↓ π ␈ε(⎇␈ε"␈α␈.
␈β
g␈↓ ¬5␈ε%5␈↓ π
␈ε%2
␈β
j␈↓ ¬5␈∧
j¬5α⊂␈↓ π
␈∧
jπ
α⊂
␈β→␈↓ ↓H␈ε"By␈αthe␈αpositivit␈α␈y␈αof␈↓ ∧∧␈ε(U␈↓ ∧,␈ε"and␈ε(␈α⎇␈ε"␈αw␈α␈e␈αcan␈αapply␈↓ εp␈ε(U␈↓ π_␈ε"to␈αthis␈αinequalit␈α␈y␈αagain,␈αobtaining
␈β>␈↓ βc␈ε%2
␈β@␈↓ ↓S␈ε%1␈↓ αD␈ε%1␈↓ ∧J␈ε%1␈↓ ¬P␈ε%1
␈βD␈↓ ↓n␈ε(⎇␈ε6␈α
∀␈↓ αW␈ε(U␈↓ αt␈ε(⎇␈ε6␈α
∀␈↓ βF␈ε(U␈↓ βt␈ε(⎇␈ε6␈α
∀␈↓ ∧]␈ε(U␈↓ ∧z␈ε(⎇␈ε6␈α
∀␈↓ ¬c␈ε(⎇␈ε";␈αand␈αa$er␈ε(␈αn␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ1␈αapplications␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈βU␈↓ ↓L␈ε%25␈↓ αD␈ε%5␈↓ ∧J␈ε%2␈↓ ¬P␈ε%4
␈βX␈↓ ↓L␈∧X↓Lα∨␈↓ αD␈∧XαDα⊂␈↓ ∧J␈∧X∧Jα⊂␈↓ ¬P␈∧X¬Pα⊂
␈β⊂␈↓ ¬⊃␈ε9␈␈ε+n␈↓ ε2␈ε+n␈↓ π*␈ε9␈␈ε+␈α␈n
␈β_␈↓ ∧␈␈ε"5␈↓ ¬C␈ε(⎇␈ε6␈α	∀␈↓ ε∀␈ε(U␈↓ εF␈ε(⎇␈ε6␈α
∀␈↓ π_␈ε"2␈↓ π[␈ε(⎇␈↓ 
p␈ε"(37)
␈βf␈↓ ¬{␈ε90
␈βl␈↓ ↓H␈ε"for␈α
this␈α
particular␈ε(␈α⎇␈ε".␈α∪Let␈ε(␈α
∨␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α=␈↓ ¬f␈ε(f␈↓ ε␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α=␈α1␈α
be␈α
the␈α
constan␈α␈t␈α
function;␈α∞then␈αfor
␈β⎇␈↓ ¬{␈ε%0
␈β
∪␈↓ ∧λ␈ε%5
␈β
↔␈↓ ↓H␈ε"0␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
x␈ε6␈α
∀␈ε"␈α
1␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ ∧≠␈ε(∨␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
⎇␈ε6␈α
∀␈ε"␈α
2␈ε(∨␈ε",␈αhence
␈β
(␈↓ ∧λ␈ε%4
␈β
+␈↓ ∧λ␈∧
+∧λα⊂
␈β
e␈↓ αI␈ε9␈␈ε+n␈↓ βs␈ε9␈␈ε+n␈↓ ¬+␈ε+n␈↓ ε.␈ε+n␈↓ πF␈ε+n␈↓ λU␈ε9␈␈ε+␈α␈n␈↓ 
α␈ε9␈␈ε+␈α␈n
␈β
g␈↓ α$␈ε%5␈↓ βN␈ε%1␈↓ ∧z␈ε%1␈↓ π∃␈ε%4␈↓ λ0␈ε%4␈↓ 	\␈ε%8
␈β
k␈↓ α7␈ε"5␈↓ α{␈ε(∨␈ε6␈α
∀␈↓ βa␈ε"5␈↓ ∧%␈ε(⎇␈ε6␈α	∀␈↓ ¬∞␈ε(U␈↓ ¬?␈ε(⎇␈ε6␈α
∀␈↓ ε⊃␈ε(U␈↓ εB␈ε(∨␈ε6␈α
∀␈↓ π(␈ε(U␈↓ πZ␈ε(⎇␈ε6␈α
∀␈↓ λC␈ε"2␈↓ 	π␈ε(⎇␈ε6␈α	∀␈↓ 	p␈ε"2␈↓ 
3␈ε(∨␈ε".
␈β
|␈↓ α$␈ε%8␈↓ βN␈ε%2␈↓ ∧z␈ε%2␈↓ π∃␈ε%5␈↓ λ0␈ε%5␈↓ 	\␈ε%5
␈β
␈␈↓ α$␈∧
␈α$α⊂␈↓ βN␈∧
␈βNα⊂␈↓ ∧z␈∧
␈∧zα⊂␈↓ π∃␈∧
␈π∃α⊂␈↓ λ0␈∧
␈λ0α⊂␈↓ 	\␈∧
␈	\α⊂
␈β∞?␈↓ ↓H␈ε"It␈αfollo␈α␈ws␈αby␈α(33)␈αthat
␈β∂␈↓ β%␈ε%2␈↓ βH␈ε9␈␈ε+␈α␈n␈↓ ∧␈␈ε+n␈↓ ¬1␈ε900␈↓ π≡␈ε%2␈↓ πA␈ε9␈␈ε+␈α␈n
␈β∂∞␈↓ αD␈ε%5␈↓ ε-␈ε%1␈α↓6
␈β∂∪␈↓ αW␈ε"(␈↓ αc␈ε"ln␈↓ βπ␈ε"2␈↓ β→␈ε")␈↓ β6␈ε"5␈↓ ∧β␈ε6∀␈ε"␈α
(␈ε6␈␈ε"1␈↓ ∧s␈ε")␈↓ ¬∀␈ε(R␈↓ ¬E␈ε"(␈ε(x␈ε")␈ε6␈α
∀␈↓ εP␈ε"(␈↓ ε\␈ε"ln␈↓ π␈ε"2␈↓ π∩␈ε")␈↓ π/␈ε"2␈↓ πr␈ε",␈↓ λJ␈ε"for␈↓ 	α␈ε"0␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
x␈ε6␈α
∀␈ε"␈α
1;
␈β∂$␈↓ αD␈ε%8␈↓ ¬1␈ε+n␈↓ ε5␈ε%5
␈β∂'␈↓ αD␈∧∂'αDα⊂␈↓ ε-␈∧∂'ε-α∨
␈β∂g␈↓ ↓H␈ε"hence␈αby␈α(30)␈αand␈α(34)␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈αpro␈α␈v␈α␈ed␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αresult:
␈β⊂(␈↓ 	ε␈ε9␈␈ε+n
␈β⊂.␈↓ ↓H␈ε2Theorem␈αW.␈ε/␈α~The␈α
distribution␈↓ ¬8␈ε(F␈↓ ¬c␈ε"(␈ε(x␈ε")␈ε/␈α
equals␈↓ πλ␈ε"lg␈↓ π$␈ε"(1␈α	+␈ε(␈αλx␈ε")␈αλ+␈↓ λL␈ε(O␈↓ λh␈ε"(␈↓ λt␈ε"2␈↓ 	8␈ε")␈ε/␈α
as␈ε(␈αn␈ε6␈α!␈α1␈ε/.␈α⊃In
␈β⊂:␈↓ ¬O␈ε+n
␈β⊂B␈↓ πp␈ε↓␈␈↓ 	λ␈ε↓↓␈↓ 	⊗␈ε↓␈␈↓ 
X␈ε↓↓
␈β⊂Z␈↓ εk␈ε+n␈ε%␈α␈+1␈↓ π>␈ε9␈␈ε+␈α␈n
␈β⊂\␈↓ εα␈ε%5
␈β⊂`␈↓ ↓H␈ε/fact,␈↓ α→␈ε(F␈↓ αD␈ε"(␈ε(x␈ε")␈ε6␈α¬␈␈↓ β≡␈ε"lg␈↓ β:␈ε"(1␈α¬+␈ε(␈αεx␈ε")␈ε/␈α
lies␈αbet␈α␈w␈α␈een␈↓ ε≥␈ε"(␈ε6␈␈ε"1␈↓ ε←␈ε")␈↓ π,␈ε"5␈↓ π}␈ε"ln␈↓ λ≤␈ε"(1␈α¬+␈ε(␈α¬x␈ε")␈↓ 	$␈ε"ln␈↓ 	H␈ε"2/(1␈α¬+␈ε(␈α¬x␈ε")␈↓ 
q␈ε/and
␈β⊂m␈↓ α0␈ε+n
␈β⊂q␈↓ ¬z␈ε%1␈α↓6
␈β⊂t␈↓ β2␈ε↓␈␈↓ ∧P␈ε↓↓␈↓ ∧↑␈ε↓␈␈↓ ¬z␈∧⊂t¬zα∨␈↓ ε&␈ε↓↓
␈β⊃
␈↓ α-␈ε+n␈ε%␈α␈+1␈↓ β␈ε9␈␈ε+␈α␈n
␈β⊃∞␈↓ ↓L␈ε%8
␈β⊃∪␈↓ ↓←␈ε"(␈ε6␈␈ε"1␈↓ α!␈ε")␈↓ αn␈ε"2␈↓ β@␈ε"ln␈↓ β↑␈ε"(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε")␈↓ ∧l␈ε"ln␈↓ ¬⊂␈ε"2/(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε")␈↓ ε4␈ε/,␈αfor␈ε"␈α0␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
x␈ε6␈α
∀␈ε"␈α
1.
␈β⊃≤␈↓ λ[␈∧⊃≤λ[≠∂
␈β⊃#␈↓ ↓L␈ε%5
␈β⊃'␈↓ ↓L␈∧⊃'↓Lα⊂
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"350␈↓ 
b␈ε"4.5.3
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα"␈↓ α␈ε"With␈α
a␈αsligh␈α␈tly␈α
di{eren␈α␈t␈αch␈α↓oice␈α
of␈ε(␈α⎇␈ε",␈αw␈α␈e␈α
can␈αobtain␈α
tigh␈α␈ter␈αbounds␈α
(see␈αex-
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"ercise␈α21).␈α⊂In␈αfact,␈↓ βr␈ε"Wirsing␈αw␈α␈en␈α␈t␈αm␈α␈uch␈αfurther␈αin␈αhis␈αpaper,␈αpro␈α␈ving␈αthat
␈ββπ␈↓ π(␈ε↓␈␈↓ 
β␈ε↓↓
␈ββ≥␈↓ ¬{␈ε+n␈↓ 	o␈ε+n
␈ββ%␈↓ αY␈ε(F␈↓ β∧␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ βh␈ε"lg␈↓ ∧∧␈ε"(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε")␈αλ+␈αλ(␈ε6␈␈ε(∃␈↓ ¬o␈ε")␈↓ ε⊂␈ε"␈	(␈ε(x␈ε")␈αλ+␈↓ π␈ε(O␈↓ π6␈ε(x␈ε"(1␈ε6␈αλ␈␈ε(␈αλx␈ε")(␈ε(∃␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ0.031␈↓ 	c␈ε")␈↓ 
⊃␈ε",␈↓ 
p␈ε"(38)
␈ββ2␈↓ αp␈ε+n
␈ββ⎇␈↓ ↓H␈ε"where
␈β∧≠␈↓ α{␈ε(∃␈↓ β~␈ε"=␈α
0.30366␈αλ30028␈αλ98732␈αλ65860␈↓ εl␈ε".␈αε.␈αε.
␈β∧7␈↓ 
p␈ε"(39)
␈β∧Q␈↓ β~␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"3,␈αε3,␈αε2,␈αε2,␈αε3,␈αε13,␈αε1,␈αε174,␈αε1,␈αε1,␈αε1,␈αε2,␈αε2,␈αε2,␈αε1,␈αε1,␈αε1,␈αε2,␈αε2,␈αε1,␈↓ 	8␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	h␈ε6?
␈β¬∪␈↓ ↓H␈ε"is␈α	a␈α	fundamen␈α␈tal␈α	constan␈α␈t␈α
(apparen␈α␈tly␈α	unrelated␈α	to␈α	m␈α↓ore␈α	familiar␈α
constan␈α␈ts),␈α	and
␈β¬>␈↓ ↓H␈ε"where␈α
␈	␈α∞is␈α∞an␈α
in␈α␈teresting␈α∞function␈α∞that␈α
is␈α∞analytic␈α∞in␈α
the␈α∞en␈α␈tire␈α∞complex␈α
plane
␈β¬i␈↓ ↓H␈ε"except␈α
for␈α∞the␈α
negativ␈α␈e␈α∞real␈α
axis␈α∞from␈ε6␈α
␈␈ε"1␈α∞to␈ε6␈α
␈1␈ε".␈α∀Wirsing's␈α∞function␈α
satis|es
␈βε∂␈↓ ∧"␈ε90
␈βε∃␈↓ ↓H␈ε"␈	(0)␈α∂=␈α⊂␈	(1)␈α⊂=␈α∂0,␈↓ ∧ε␈ε"␈	␈↓ ∧,␈ε"(0)␈α⊂<␈α∂0,␈α⊃and␈↓ ε∂␈ε(S␈↓ ε(␈ε"␈	␈α⊂=␈ε6␈α∂␈␈ε(∃␈ε"␈	;␈α⊃th␈α␈us␈α⊂by␈α∂(35)␈α⊂it␈α∂satis|es␈α∂the
␈βε@␈↓ ↓H␈ε"iden␈α␈tit␈α␈y
␈βεg␈↓ π+␈ε↓∩␈↓ λ"␈ε↓∪
␈βεh␈↓ εw␈ε"1␈↓ πh␈ε"1
␈βπ␈↓ ∧2␈ε"␈	(␈↓ ∧Z␈ε(z␈↓ ∧m␈ε")␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ␈	(␈↓ ¬U␈ε(z␈↓ ¬p␈ε"+␈αλ1)␈α
=␈↓ π∂␈ε"␈	␈↓ λ8␈ε".␈↓ 
p␈ε"(40)
␈βπ∀␈↓ εv␈∧π∀εvα∃␈↓ πE␈∧π∀πEαY
␈βπ~␈↓ εv␈ε(∃␈↓ πE␈ε"1␈αλ+␈↓ λ␈ε(z
␈βπY␈↓ ↓H␈ε"F␈α⎇urtherm␈α↓ore,␈αWirsing␈αdem␈α↓onstrated␈αthat
␈βλ+␈↓ β1␈ε↓∩␈↓ ∧g␈ε↓∪
␈βλ-␈↓ βo␈ε(u␈↓ ∧K␈ε(i
␈βλ=␈↓ ¬Y␈ε9␈␈ε+n
␈βλE␈↓ β∃␈ε"␈	␈↓ βG␈ε6␈␈↓ ∧⊂␈ε"+␈↓ ¬π␈ε"=␈ε(␈α
c␈↓ ¬D␈ε(∃␈↓ ε⊃␈ε"log␈↓ εE␈ε(N␈↓ εp␈ε"+␈↓ π≤␈ε(O␈↓ π8␈ε"(1)␈↓ λ*␈ε"as␈↓ λV␈ε(N␈↓ 	β␈ε6!␈α
1␈ε",␈↓ 
p␈ε"(41)
␈βλY␈↓ βo␈∧λYβoα∃␈↓ ∧@␈∧λY∧@α#
␈βλ↑␈↓ βp␈ε(v␈↓ ∧@␈ε(N
␈β	2␈↓ ↓H␈ε"where␈ε(␈αc␈ε"␈αis␈αa␈αconstan␈α␈t␈αand␈ε(␈αn␈ε"␈α	=␈↓ ¬0␈ε(T␈↓ ¬J␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ ¬{␈ε(v␈↓ ε∞␈ε")␈αis␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αiterations␈αwhen␈αEuclid's
␈β	]␈↓ ↓H␈ε"algorithm␈αis␈αapplied␈αto␈αthe␈αin␈α␈tegers␈ε(␈αu␈ε"␈α	>␈↓ εI␈ε(v␈↓ εf␈ε">␈α
0.
␈β
	␈↓ α␈ε"A␈α
complete␈αsolution␈α
to␈αGauss's␈α
problem␈αw␈α␈as␈α
found␈αa␈α
few␈αy␈α␈ears␈α
later␈αby␈α
K.␈α
I.
␈β
4␈↓ ↓H␈ε"Babenk␈α␈o␈α
[␈ε/Doklady␈α	Ak␈α}ad.␈α
Nauk␈α
SSSR␈↓ ε↔␈ε2238␈ε"␈α
(1978),␈α
1021↑1024],␈αwh␈α↓o␈α
used␈α	po␈α␈w␈α␈erful
␈β
←␈↓ ↓H␈ε"techniques␈αof␈αfunctional␈αanalysis␈αto␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αthat
␈β∃␈↓ πβ␈ε↓X
␈β/␈↓ πV␈ε+n
␈β7␈↓ ∧-␈ε(F␈↓ ∧Y␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ ¬=␈ε"lg␈↓ ¬Y␈ε"(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε")␈αλ+␈↓ πA␈ε(∃␈↓ πp␈ε"␈	␈↓ λ≠␈ε"(␈ε(x␈ε")␈↓ 
p␈ε"(42)
␈βC␈↓ ∧D␈ε+n␈↓ λ␈ε+j
␈βH␈↓ πV␈ε+j
␈βg␈↓ ε␈␈ε+j␈↓ π␈ε9∃␈ε%2
␈β#␈↓ ↓H␈ε"for␈α∞all␈α∞0␈ε6␈α
∀␈ε(␈α∞x␈ε6␈α
∀␈ε"␈α∞1,␈ε(␈α∞n␈ε6␈α∞∃␈ε"␈α
1.␈α⊗Here␈ε6␈α∞j␈↓ ¬k␈ε(∃␈↓ ε⊃␈ε6j␈ε"␈α∞>␈ε6␈α
j␈↓ εd␈ε(∃␈↓ π
␈ε6j␈α
∃␈α∞j␈↓ π]␈ε(∃␈↓ λβ␈ε6j␈α
∃␈↓ λL␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ|␈ε",␈α∞and␈α∞each␈↓ 
0␈ε"␈	␈↓ 
\␈ε"(␈↓ 
h␈ε(z␈↓ 
z␈ε")␈α∞is
␈β/␈↓ ε␈ε%2␈↓ εy␈ε%3␈↓ πr␈ε%4␈↓ 
L␈ε+j
␈βN␈↓ ↓H␈ε"an␈α
analytic␈α∞function␈α∞in␈α
the␈α∞complex␈α∞plane␈α∞except␈α
for␈α∞a␈α∞cut␈α
at␈↓ 	-␈ε"[␈↓ 	7␈ε6␈1␈ε",␈ε6␈αε␈␈ε"1].␈α∃The
␈βy␈↓ ↓H␈ε"function␈↓ αW␈ε"␈	␈↓ β⊂␈ε"is␈α
Wirsing's␈α
␈	,␈α
and␈↓ ¬N␈ε(∃␈↓ ¬␈␈ε"=␈ε6␈α␈␈ε(∃␈ε",␈α
while␈↓ π↑␈ε(∃␈↓ λ∂␈ε"=␈α0.1009,␈↓ 	:␈ε(∃␈↓ 	k␈ε"=␈ε6␈α␈␈ε"0.0408,
␈β
¬␈↓ αs␈ε%2␈↓ ¬c␈ε%2␈↓ πs␈ε%3␈↓ 	O␈ε%4
␈β
$␈↓ ↓H␈ε(∃␈↓ ↓w␈ε"=␈ε6␈α
␈␈ε"0.0355,␈↓ βC␈ε(∃␈↓ βs␈ε"=␈α
0.0128.␈α⊂Babenk␈α␈o␈αalso␈↓ εy␈ε"established␈αfurther␈αproperties␈αof␈αthe
␈β
1␈↓ ↓]␈ε%5␈↓ βX␈ε%6
␈β
O␈↓ ↓H␈ε"eigen␈α␈v␈α}alues␈↓ α␈␈ε(∃␈↓ β#␈ε",␈α
pro␈α␈ving␈α
in␈α	particular␈α
that␈α	they␈α
are␈α	exponen␈α␈tially␈α
small␈α	as␈↓ 
5␈ε(j␈↓ 
P␈ε6!␈α
1␈↓ "␈ε",
␈β
\␈↓ β∀␈ε+j
␈β
t␈↓ λ
␈ε%2␈↓ 		␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1
␈β
{␈↓ ↓H␈ε"and␈αthat␈α
the␈α
sum␈αfor␈↓ ∧!␈ε(j␈↓ ∧=␈ε6∃␈↓ ∧l␈ε(k␈↓ ¬
␈ε"in␈α(42)␈α
is␈α
bounded␈αby␈α
(␈↓ πw␈ε(→␈↓ λ≥␈ε"/6)␈ε6j␈↓ λW␈ε(∃␈↓ λ␈␈ε6j␈↓ 	P␈ε"min␈↓ 
␈ε"(␈ε(x␈ε",␈αε1␈ε6␈αλ␈␈ε(␈αλx␈ε").
␈β∞π␈↓ λl␈ε+k
␈β∞≡␈↓ λR␈ε"~
␈β∞&␈↓ ↓H␈ε"[F␈α⎇urther␈αinformation␈αappears␈αin␈αa␈αpaper␈αby␈αBabenk␈α␈o␈αand␈↓ λQ␈ε"I␈↓ λ]␈ε"ur'ev,␈ε/␈αDoklady␈αAk␈α}ad.
␈β∞Q␈↓ ↓H␈ε/Nauk␈αSSSR␈↓ β∞␈ε2240␈ε"␈α(1978),␈α1273↑1276.]
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε2F␈α⎇rom␈α∩con␈α␈tin␈α␈uous␈α∩to␈α∩discrete.␈ε"␈α$W␈α⎇e␈α∩ha␈α␈v␈α␈e␈α∩n␈α↓o␈α␈w␈α∩deriv␈α␈ed␈α⊃results␈α∩about␈α∩the␈α∩prob-
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"abilit␈α␈y␈αdistributions␈αfor␈α
con␈α␈tin␈α␈ued␈αfractions␈αwhen␈↓ πZ␈ε(X␈↓ λλ␈ε"is␈αa␈α
real␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αuniformly
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"distributed␈αin␈αthe␈α
in␈α␈terv␈α}al␈↓ ∧k␈ε"[␈↓ ∧{␈ε"0,␈αε1).␈α⊃But␈α
a␈αreal␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αis␈α
rational␈αwith␈αprobabilit␈α␈y
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"zero␈α∞(alm␈α↓ost␈α∂all␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α∂are␈α∞irrational),␈α∂so␈α∂these␈α∞results␈α∂do␈α∞n␈α↓ot␈α∂apply␈α∞directly
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"to␈α∞Euclid's␈α∞algorithm.␈α⊗Before␈α∞w␈α␈e␈α∞can␈α∞apply␈α∞Theorem␈α∞W␈α∞to␈α∞our␈α∞problem,␈α∞some
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"technicalities␈α∂m␈α␈ust␈α∂be␈α∂o␈α␈v␈α␈ercome.␈α~Consider␈α∂the␈α∂follo␈α␈wing␈α∂observ␈α}ation␈α∂based␈α∂on
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"elemen␈α␈tary␈↓ β␈ε"measure␈αtheory:
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.3␈↓ λM␈ε"'␈↓ 
v␈ε"351
␈β↓\␈↓ ¬y␈ε∞ANA␈α↓L␈α⎇Y␈α↓S␈α␈IS␈α	OF␈α
E␈α↓UCL␈α↓ID␈↓ λW␈ε∞S␈α	A␈α↓L␈α␈GORIT␈α↓HM
␈βα$␈↓ ↓H␈ε2Lemma␈αM.␈ε/␈α⊗Let␈↓ βJ␈ε(I␈↓ βi␈ε/,␈↓ β␈␈ε(I␈↓ ∧≡␈ε/,␈↓ ∧3␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ∧c␈ε/,␈↓ ∧y␈ε(J␈↓ ¬≡␈ε/,␈↓ ¬3␈ε(J␈↓ ¬Y␈ε/,␈↓ ¬n␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ε#␈ε/be␈αpairwise␈αdisjoin␈α␈t␈αin␈α␈terv␈α}als␈αcon␈α␈tained␈αin
␈βα0␈↓ βY␈ε%1␈↓ ∧
␈ε%2␈↓ ¬
␈ε%1␈↓ ¬H␈ε%2
␈βαO␈↓ ↓H␈ε/the␈αin␈α␈terv␈α}al␈↓ βλ␈ε"[␈↓ β_␈ε"0,␈αε1)␈ε/,␈αand␈αlet
␈ββ	␈↓ βh␈ε↓[␈↓ ¬t␈ε↓[
␈ββ+␈↓ β␈ε6I␈↓ β.␈ε"=␈↓ ∧!␈ε(I␈↓ ∧B␈ε",␈↓ ¬~␈ε6J␈↓ ¬;␈ε"=␈↓ ε.␈ε(J␈↓ εU␈ε",␈↓ π-␈ε6K␈↓ πU␈ε"=␈↓ λβ␈ε"[␈↓ λ
␈ε"0,␈αε1]␈ε6␈αλ∧␈ε"␈αλ(␈↓ λy␈ε6I␈↓ 	→␈ε6[␈↓ 	;␈ε6J␈↓ 	R␈ε").
␈ββ7␈↓ ∧0␈ε+k␈↓ εB␈ε+k
␈ββ[␈↓ β\␈ε+k␈↓ βm␈ε9∃␈ε%1␈↓ ¬i␈ε+k␈↓ ¬y␈ε9∃␈ε%1
␈β∧,␈↓ ↓H␈ε/Assume␈αthat␈↓ β≠␈ε6K␈↓ βE␈ε/has␈α
measure␈αzero.␈α∩Let␈↓ ε0␈ε(P␈↓ εg␈ε/be␈α
the␈αset␈ε6␈α
f␈ε"0/␈ε(n␈ε",␈αε1/␈ε(n␈ε"␈α␈,␈↓ 	4␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	d␈ε",␈αε(␈ε(n␈ε6␈αλ␈␈ε"␈α	1)/␈ε(n␈ε6␈α␈g␈ε/.
␈β∧9␈↓ εG␈ε+n
␈β∧W␈↓ ↓H␈ε/Then
␈β∧{␈↓ ¬X␈ε6k␈↓ ¬j␈ε6I␈↓ ε␈ε6\␈↓ ε-␈ε(P␈↓ εW␈ε6k
␈β¬λ␈↓ εC␈ε+n
␈β¬∪␈↓ ¬∞␈ε"lim␈↓ εw␈ε"=␈ε(␈α
⊗␈ε"(␈↓ πG␈ε6I␈↓ π←␈ε").␈↓ 
p␈ε"(43)
␈β¬'␈↓ ¬X␈∧¬'¬Xα↓⊃
␈β¬-␈↓ ε⊗␈ε(n
␈β¬4␈↓ ∧␈␈ε+n␈ε9!␈α␈1
␈β¬R␈↓ π>␈ε↓P
␈β¬m␈↓ ↓H␈ε"Here␈ε(␈α	⊗␈ε"(␈↓ α;␈ε6I␈↓ αS␈ε")␈α	is␈α	the␈α	Lebesgue␈α	measure␈α
of␈↓ ε∞␈ε6I␈↓ ε&␈ε",␈α
namely,␈↓ λ)␈ε"length␈↓ 	␈ε"(␈↓ 	↔␈ε(I␈↓ 	8␈ε");␈α
and␈↓ 
≤␈ε6k␈↓ 
.␈ε6I␈↓ 
N␈ε6\␈↓ 
p␈ε(P␈↓ ~␈ε6k
␈β¬z␈↓ 	&␈ε+k␈↓ ε␈ε+n
␈β¬␈␈↓ πd␈ε+k␈↓ πu␈ε9∃␈ε%1
␈βε_␈↓ ↓H␈ε"den␈α↓otes␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αelemen␈α␈ts␈αin␈αthe␈αset␈↓ εh␈ε6I␈↓ πλ␈ε6\␈↓ π*␈ε(P␈↓ πU␈ε".
␈βε%␈↓ π@␈ε+n
␈βεV␈↓ βx␈ε↓S␈↓ εy␈ε↓S
␈βεq␈↓ ↓H␈ε/Pro␈α↓of.␈ε"␈α≥Let␈↓ β
␈ε6I␈↓ βG␈ε"=␈↓ ¬∃␈ε(I␈↓ ¬D␈ε"and␈↓ ε␈ε6J␈↓ εH␈ε"=␈↓ λ∃␈ε(J␈↓ λ<␈ε".␈α↔Giv␈α␈en␈ε(␈α∞∂␈ε"␈α
>␈α∞0,␈α∞|nd␈↓ 	␈ε(N
␈βε⎇␈↓ β≤␈ε+N␈↓ ¬#␈ε+k␈↓ ε≥␈ε+N␈↓ λ*␈ε+k
␈βπα␈↓ ∧⊗␈ε%1␈ε9∀␈↓ ∧C␈ε+k␈↓ ∧T␈ε9∀␈↓ ∧q␈ε+N␈↓ π↔␈ε%1␈ε9∀␈↓ πD␈ε+k␈↓ πU␈ε9∀␈↓ πr␈ε+N
␈βπ%␈↓ ↓H␈ε"large␈αen␈α↓ough␈αso␈αthat␈ε(␈α⊗␈ε"␈α␈(␈↓ ∧8␈ε6I␈↓ ∧h␈ε")␈αλ+␈ε(␈αλ⊗␈ε"␈α␈(␈↓ ¬I␈ε6J␈↓ ¬x␈ε")␈ε6␈α
∃␈ε"␈α
1␈ε6␈αλ␈␈ε(␈αλ∂␈ε",␈αand␈αlet
␈βπ1␈↓ ∧J␈ε+N␈↓ ¬[␈ε+N
␈βπ↑␈↓ ε∪␈ε↓[␈↓ πD␈ε↓[
␈βλ↓␈↓ ∧@␈ε6K␈↓ ¬↓␈ε"=␈↓ ¬/␈ε6K␈↓ ¬`␈ε6[␈↓ εS␈ε(I␈↓ π⊂␈ε6[␈↓ λβ␈ε(J␈↓ λ*␈ε".
␈βλ
␈↓ ∧Z␈ε+N␈↓ εb␈ε+k␈↓ λ_␈ε+k
␈βλ1␈↓ εα␈ε+k␈↓ ε∩␈ε%>␈↓ ε0␈ε+N␈↓ π2␈ε+k␈↓ πB␈ε%>␈↓ π`␈ε+N
␈β	␈↓ ↓H␈ε"If␈↓ ↓m␈ε(I␈↓ α
␈ε"is␈α∞an␈α
in␈α␈terv␈α}al,␈α∂ha␈α␈ving␈α∞an␈α␈y␈α
of␈α∞the␈α∞forms␈α∞(␈ε(a␈ε",␈ε(␈αεb␈ε")␈α∞or␈↓ λλ␈ε"[␈↓ λ∩␈ε(a␈ε",␈ε(␈αεb␈ε")␈α∞or␈α∞(␈ε(a␈ε",␈ε(␈αεb␈ε"]␈α∞or␈↓ 
⊂␈ε"[␈↓ 
~␈ε(a␈ε",␈ε(␈αεb␈ε"],␈α∂it␈α
is
␈β	+␈↓ ↓H␈ε"clear␈αthat␈ε(␈α⊗␈ε"␈α␈(␈↓ β
␈ε(I␈↓ β∨␈ε")␈α
=␈ε(␈α
b␈ε6␈αλ␈␈ε(␈αλa␈ε"␈αand
␈β
π␈↓ ∧≥␈ε(n⊗␈ε"␈α␈(␈↓ ∧T␈ε(I␈↓ ∧f␈ε")␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ1␈ε6␈α
∀␈α
k␈↓ εα␈ε(I␈↓ ε≠␈ε6\␈↓ ε=␈ε(P␈↓ εh␈ε6k␈α
∀␈ε(␈α
n⊗␈ε"(␈↓ πj␈ε(I␈↓ π{␈ε")␈αλ+␈αλ1.
␈β
∪␈↓ εT␈ε+n
␈β
b␈↓ ↓H␈ε"No␈α␈w␈αlet␈↓ αO␈ε(r␈↓ α|␈ε"=␈ε6␈α
k␈↓ β<␈ε6I␈↓ βt␈ε6\␈↓ ∧⊗␈ε(P␈↓ ∧@␈ε6k␈ε",␈↓ ∧h␈ε(s␈↓ ¬_␈ε"=␈ε6␈α
k␈↓ ¬X␈ε6J␈↓ ε∞␈ε6\␈↓ ε0␈ε(P␈↓ ε[␈ε6k␈ε",␈↓ πβ␈ε(t␈↓ π.␈ε"=␈ε6␈α
k␈↓ πn␈ε6K␈↓ λ-␈ε6\␈↓ λO␈ε(P␈↓ λz␈ε6k␈ε";␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈β
o␈↓ α↑␈ε+n␈↓ βN␈ε+N␈↓ ∧,␈ε+n␈↓ ∧y␈ε+n␈↓ ¬i␈ε+N␈↓ εF␈ε+n␈↓ π⊂␈ε+n␈↓ λλ␈ε+N␈↓ λf␈ε+n
␈β9␈↓ ¬∧␈ε(r␈↓ ¬0␈ε"+␈↓ ¬\␈ε(s␈↓ ε	␈ε"+␈↓ ε5␈ε(t␈↓ ε`␈ε"=␈ε(␈α
n␈ε";
␈βE␈↓ ¬∪␈ε+n␈↓ ¬m␈ε+n␈↓ εB␈ε+n
␈βr␈↓ ∧!␈ε(n␈α␈⊗␈ε"(␈↓ ∧X␈ε6I␈↓ ¬π␈ε")␈ε6␈αλ␈␈↓ ¬G␈ε(N␈↓ ¬t␈ε6∀␈↓ ε"␈ε(r␈↓ εR␈ε6∀␈ε(␈α
n␈α␈⊗␈ε"(␈↓ π7␈ε6I␈↓ πf␈ε")␈αλ+␈↓ λ&␈ε(N␈↓ λI␈ε";
␈β␈␈↓ ∧j␈ε+N␈↓ ε2␈ε+n␈↓ πI␈ε+N
␈β%␈↓ ∧!␈ε(n␈α␈⊗␈ε"(␈↓ ∧X␈ε6I␈↓ ¬π␈ε")␈ε6␈αλ␈␈↓ ¬G␈ε(N␈↓ ¬t␈ε6∀␈↓ ε"␈ε(s␈↓ εR␈ε6∀␈ε(␈α
n␈α␈⊗␈ε"(␈↓ π7␈ε6J␈↓ πe␈ε")␈αλ+␈↓ λ%␈ε(N␈↓ λH␈ε".
␈β1␈↓ ∧j␈ε+N␈↓ ε3␈ε+n␈↓ πH␈ε+N
␈β
␈↓ ↓H␈ε"Hence
␈β
N␈↓ αj␈ε(N␈↓ ¬ ␈ε(N␈↓ εβ␈ε(r␈↓ εg␈ε(r␈↓ π∪␈ε"+␈↓ π?␈ε(t
␈β
Z␈↓ ε∪␈ε+n␈↓ εv␈ε+n␈↓ πL␈ε+n
␈β
e␈↓ ↓l␈ε(⊗␈ε"␈α␈(␈↓ α
␈ε6I␈↓ α&␈ε")␈ε6␈αλ␈␈↓ β→␈ε6␈␈ε(␈αλ∂␈ε6␈α	∀␈ε(␈α
⊗␈ε"(␈↓ ∧-␈ε6I␈↓ ∧\␈ε")␈ε6␈αλ␈␈↓ ¬Q␈ε6∀␈↓ ε5␈ε6∀
␈β
r␈↓ ∧?␈ε+N
␈β
z␈↓ αj␈∧
zαjα#␈↓ ¬ ␈∧
z¬ α#␈↓ εβ␈∧
zεβα$␈↓ εg␈∧
zεgαz
␈β
␈␈↓ αp␈ε(n␈↓ ¬'␈ε(n␈↓ ε
␈ε(n␈↓ π→␈ε(n
␈β∞&␈↓ ¬⎇␈ε(s␈↓ λ8␈ε(N␈↓ 
∃␈ε(N
␈β∞2␈↓ ε∞␈ε+n
␈β∞>␈↓ ¬¬␈ε"=␈α
1␈ε6␈αλ␈␈↓ ε0␈ε6∀␈ε"␈α
1␈ε6␈αλ␈␈ε(␈αλ⊗␈ε"␈α␈(␈↓ πE␈ε6J␈↓ πt␈ε")␈αλ+␈↓ λi␈ε6∀␈ε(␈α
⊗␈ε"(␈↓ 	9␈ε6I␈↓ 	Q␈ε")␈αλ+␈↓ 
D␈ε"+␈ε(␈αλ∂␈ε"␈α␈.
␈β∞J␈↓ πW␈ε+N
␈β∞R␈↓ ¬⎇␈∧∞R¬⎇α&␈↓ λ8␈∧∞Rλ8α#␈↓ 
∃␈∧∞R
∃α#
␈β∞X␈↓ ε∧␈ε(n␈↓ λ>␈ε(n␈↓ 
≠␈ε(n
␈β∂'␈↓ ↓H␈ε"This␈αh␈α↓olds␈αfor␈αall␈ε(␈αn␈ε"␈αand␈αfor␈αall␈ε(␈α∂␈ε";␈αhence␈↓ ε=␈ε"lim␈↓ πE␈ε(r␈↓ πh␈ε"/␈ε(n␈ε"␈α
=␈ε(␈α
⊗␈ε"(␈↓ λj␈ε6I␈↓ 	α␈ε").
␈β∂0␈↓ 	@␈∧∂0	@≠∂
␈β∂3␈↓ εo␈ε+n␈ε9!␈α␈1␈↓ πT␈ε+n
␈β∂t␈↓ α␈ε"Exercise␈α	25␈α	sh␈α↓o␈α␈ws␈α	that␈α
Lemma␈α	M␈α	is␈α	n␈α↓ot␈α	trivial,␈α
in␈α	the␈α	sense␈α	that␈α	some␈α	rather
␈β⊂∨␈↓ ↓H␈ε"restrictiv␈α␈e␈αh␈α␈ypotheses␈αare␈αneeded␈αto␈αpro␈α␈v␈α␈e␈α(43).
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε2Distribution␈α
of␈↓ β>␈ε2partial␈α
quotien␈α␈ts.␈ε"␈α≠No␈α␈w␈α
w␈α␈e␈α∞can␈α
put␈α
Theorem␈α
W␈α
and␈α
Lemma␈α
M
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"together␈αto␈αderiv␈α␈e␈αsome␈αsolid␈αfacts␈αabout␈αEuclid's␈αalgorithm.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"352␈↓ 
b␈ε"4.5.3
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα"␈↓ ↓H␈ε2Theorem␈αE.␈ε/␈α∃Let␈ε(␈αn␈ε/␈αand␈↓ ∧=␈ε(k␈↓ ∧\␈ε/be␈αpositiv␈α␈e␈αin␈α␈tegers,␈αand␈αlet␈↓ λ∀␈ε(p␈↓ λ9␈ε"(␈ε(a␈ε",␈ε(␈αεn␈ε"␈α␈)␈ε/␈αbe␈αthe␈αprobabilit␈α␈y
␈βα/␈↓ λ&␈ε+k
␈βαM␈↓ ↓H␈ε/that␈α
the␈ε"␈α
(␈↓ α\␈ε(k␈↓ αt␈ε"+␈α¬1)␈ε/st␈α
quotien␈α␈t␈↓ ∧l␈ε(A␈↓ ¬O␈ε/in␈α
Euclid's␈αalgorithm␈α
is␈α
equal␈α
to␈ε(␈α
a␈ε/,␈αwhen␈↓ 
L␈ε(v␈↓ 
i␈ε"=␈ε(␈α
n
␈βαZ␈↓ ¬ε␈ε+k␈↓ ¬↔␈ε%+␈α␈1
␈βαy␈↓ ↓H␈ε/and␈ε(␈αu␈ε/␈αis␈αch␈α↓osen␈αat␈αrandom.␈α⊂Then
␈ββE␈↓ ε2␈ε↓∩␈↓ εc␈ε↓∪␈↓ πW␈ε↓∩␈↓ λN␈ε↓∪
␈ββF␈↓ εM␈ε"1␈↓ λ∀␈ε"1
␈ββ↑␈↓ ∧∃␈ε"lim␈↓ ∧\␈ε(p␈↓ ¬␈ε"(␈ε(a␈ε",␈ε(␈αεn␈ε")␈α
=␈↓ ε	␈ε(F␈↓ π↓␈ε6␈␈↓ π-␈ε(F␈↓ λd␈ε",
␈ββj␈↓ ∧n␈ε+k␈↓ ε ␈ε+k␈↓ πD␈ε+k
␈ββr␈↓ εL␈∧βrεLα∪␈↓ πq␈∧βrπqαY
␈ββx␈↓ εL␈ε(a␈↓ πq␈ε(a␈ε"␈αλ+␈αλ1
␈ββ}␈↓ ∧ε␈ε+n␈ε9!1
␈β∧L␈↓ ↓H␈ε/where␈↓ α0␈ε(F␈↓ αY␈ε"(␈ε(x␈ε")␈ε/␈αis␈αthe␈αdistribution␈αfunction␈ε"␈α(21).
␈β∧Y␈↓ αG␈ε+k
␈β¬↔␈↓ ↓H␈ε/Pro␈α↓of.␈ε"␈α≤The␈α
set␈↓ βJ␈ε6I␈↓ βo␈ε"of␈α∞all␈↓ ∧O␈ε(X␈↓ ∧}␈ε"in␈↓ ¬*␈ε"[␈↓ ¬:␈ε"0,␈αε1)␈α
for␈α∞which␈↓ π+␈ε(A␈↓ λ⊂␈ε"=␈ε(␈α
a␈ε"␈α
is␈α∞a␈α
union␈α∞of␈α
disjoin␈α␈t
␈β¬#␈↓ πE␈ε+k␈↓ πU␈ε%+1
␈β¬B␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈terv␈α}als,␈αand␈αso␈αis␈αthe␈αset␈↓ ∧k␈ε6J␈↓ ¬∞␈ε"of␈αall␈↓ ¬i␈ε(X␈↓ ε⊗␈ε"for␈αwhich␈↓ π5␈ε(A␈↓ λ_␈ε6≤␈ε(␈α
a␈ε".␈α⊂Lemma␈αM␈αtherefore
␈β¬O␈↓ πO␈ε+k␈↓ π`␈ε%+1
␈β¬m␈↓ ↓H␈ε"applies,␈α⊃with␈↓ β$␈ε6K␈↓ βS␈ε"the␈α∂set␈α⊂of␈α⊂all␈↓ ¬4␈ε(X␈↓ ¬f␈ε"for␈α⊂which␈↓ π∞␈ε(A␈↓ πw␈ε"is␈α⊂unde|ned.␈α≠F␈α⎇urtherm␈α↓ore,
␈β¬z␈↓ β≡␈ε↓␈␈↓ ∧B␈ε↓↓␈↓ π(␈ε+k␈↓ π8␈ε%+1
␈βε→␈↓ ↓H␈ε(F␈↓ ↓q␈ε"(1/␈ε(a␈ε")␈ε6␈α	␈␈↓ αu␈ε(F␈↓ β,␈ε"1/(␈ε(a␈ε"␈α	+␈αλ1)␈↓ ∧]␈ε"is␈α
the␈αprobabilit␈α␈y␈α
that␈α
1/(␈ε(a␈ε"␈αλ+␈α	1)␈α<␈↓ 	_␈ε(X␈↓ 	S␈ε6∀␈ε"␈α1/␈ε(a␈ε",␈αwhich
␈βε%␈↓ ↓←␈ε+k␈↓ β␈ε+k␈↓ 	6␈ε+k
␈βεD␈↓ ↓H␈ε"is␈ε(␈α⊗␈ε"␈α␈(␈↓ α
␈ε6I␈↓ α&␈ε"),␈αthe␈αprobabilit␈α␈y␈αthat␈↓ ¬␈ε(A␈↓ ¬o␈ε"=␈ε(␈α
a␈ε".
␈βεM␈↓ εa␈∧εMεa≠∂
␈βεP␈↓ ¬&␈ε+k␈↓ ¬6␈ε%+1
␈βπ
␈↓ α␈ε"As␈α
a␈α
consequence␈α
of␈α∞Theorems␈α
E␈α
and␈α
W␈↓ π∞␈ε",␈α∞w␈α␈e␈α
can␈α
sa␈α␈y␈α
that␈α
a␈α
quotien␈α␈t␈α
equal
␈βπ5␈↓ ↓H␈ε"to␈ε(␈αa␈ε"␈αoccurs␈αwith␈αthe␈αappro␈α␈ximate␈αprobabilit␈α␈y
␈βπo␈↓ ∧F␈ε↓␈␈↓ ε/␈ε↓↓␈↓ π⊃␈ε↓␈␈↓ λ3␈ε↓␈␈↓ 
	␈ε↓↓␈↓ 
↔␈ε↓↓
␈βλε␈↓ λ⊂␈ε%2␈↓ 	2␈ε%2
␈βλ∞␈↓ αE␈ε"lg␈↓ αa␈ε"(1␈αλ+␈αλ1/␈ε(a␈ε")␈ε6␈αλ␈␈↓ ∧*␈ε"lg␈↓ ∧T␈ε"1␈αλ+␈αλ1/(␈ε(a␈ε"␈αλ+␈αλ1)␈↓ εG␈ε"=␈↓ εu␈ε"lg␈↓ π∨␈ε"(␈ε(a␈ε"␈αλ+␈αλ1␈↓ λ∧␈ε")␈↓ λ!␈ε"/␈↓ λA␈ε"(␈ε(a␈ε"␈αλ+␈αλ1␈↓ 	&␈ε")␈↓ 	K␈ε6␈␈ε"␈αλ1␈↓ 
%␈ε".
␈βλg␈↓ ↓H␈ε"Th␈α␈us
␈β	/␈↓ ε-␈ε%4
␈β	4␈↓ α:␈ε"a␈αquotien␈α␈t␈αof␈α1␈↓ ∧-␈ε"occurs␈αabout␈↓ ε↓␈ε"lg␈↓ ε≥␈ε"(␈↓ ε@␈ε")␈↓ εe␈ε"=␈α
41.504␈αpercen␈α␈t␈αof␈αthe␈αtime␈↓ 
0␈ε";
␈β	D␈↓ ε-␈ε%3
␈β	H␈↓ ε-␈∧	Hε-α⊂
␈β	a␈↓ ε-␈ε%9
␈β	f␈↓ α:␈ε"a␈αquotien␈α␈t␈αof␈α2␈↓ ∧-␈ε"occurs␈αabout␈↓ ε↓␈ε"lg␈↓ ε≥␈ε"(␈↓ ε@␈ε")␈↓ εe␈ε"=␈α
16.992␈αpercen␈α␈t␈αof␈αthe␈αtime␈↓ 
0␈ε";
␈β	w␈↓ ε-␈ε%8
␈β	z␈↓ ε-␈∧	zε-α⊂
␈β
∀␈↓ ε-␈ε%16
␈β
_␈↓ α:␈ε"a␈αquotien␈α␈t␈αof␈α3␈↓ ∧-␈ε"occurs␈αabout␈↓ ε↓␈ε"lg␈↓ ε≥␈ε"(␈↓ εO␈ε")␈↓ εe␈ε"=␈α≤9.311␈αpercen␈α␈t␈αof␈αthe␈αtime␈↓ 
0␈ε";
␈β
)␈↓ ε-␈ε%15
␈β
,␈↓ ε-␈∧
,ε-α∨
␈β
F␈↓ ε-␈ε%25
␈β
K␈↓ α:␈ε"a␈αquotien␈α␈t␈αof␈α4␈↓ ∧-␈ε"occurs␈αabout␈↓ ε↓␈ε"lg␈↓ ε≥␈ε"(␈↓ εO␈ε")␈↓ εe␈ε"=␈α≤5.890␈αpercen␈α␈t␈αof␈αthe␈αtime␈↓ 
0␈ε".
␈β
\␈↓ ε-␈ε%24
␈β
←␈↓ ε-␈∧
←ε-α∨
␈β#␈↓ ↓H␈ε"Actually,␈α∀if␈α∪Euclid's␈α∀algorithm␈α∪produces␈α∪the␈α∪quotien␈α␈ts␈↓ λS␈ε(A␈↓ λ⎇␈ε",␈↓ 	≤␈ε(A␈↓ 	G␈ε",␈↓ 	f␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 
⊗␈ε",␈↓ 
5␈ε(A␈↓ 
\␈ε",␈α∀the
␈β0␈↓ λm␈ε%1␈↓ 	6␈ε%2␈↓ 
O␈ε+t
␈βO␈↓ ↓H␈ε"nature␈α∞of␈α∂the␈α∞pro␈α↓ofs␈α∞abo␈α␈v␈α␈e␈α∂will␈α∞guaran␈α␈tee␈α∂this␈α∞beha␈α␈vior␈α∂only␈α∞for␈↓ 	W␈ε(A␈↓ 
⊃␈ε"when␈↓ 
r␈ε(k␈↓ ∀␈ε"is
␈β[␈↓ 	q␈ε+k
␈βz␈↓ ↓H␈ε"comparativ␈α␈ely␈α	small␈α	with␈α	respect␈α
to␈ε(␈α	t␈ε";␈α
the␈α	v␈α}alues␈↓ π>␈ε(A␈↓ λ⊃␈ε",␈↓ λ%␈ε(A␈↓ λy␈ε",␈↓ 	
␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	@␈ε"are␈α	n␈α↓ot␈α	co␈α␈v␈α␈ered
␈βε␈↓ πX␈ε+t␈ε9␈␈ε%1␈↓ λ?␈ε+t␈ε9␈α↓␈␈ε%␈α␈2
␈β%␈↓ ↓H␈ε"by␈α
this␈αpro␈α↓of.␈α∂But␈αw␈α␈e␈α
can␈αin␈α
fact␈αsh␈α↓o␈α␈w␈α
that␈αthe␈α
distribution␈αof␈α
the␈αlast␈α
quotien␈α␈ts
␈βP␈↓ ↓H␈ε(A␈↓ α≠␈ε",␈↓ α1␈ε(A␈↓ β¬␈ε",␈↓ β≠␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ βQ␈ε"is␈αessen␈α␈tially␈αthe␈αsame␈αas␈αthe␈α|rst.
␈β]␈↓ ↓b␈ε+t␈ε9␈␈ε%1␈↓ αK␈ε+t␈ε9␈α↓␈␈ε%␈α␈2
␈β|␈↓ α␈ε"F␈α⎇or␈αexample,␈αconsider␈αthe␈↓ ¬0␈ε"regular␈αcon␈α␈tin␈α␈ued␈αfraction␈αexpansions␈αfor␈αthe␈αset
␈β
'␈↓ ↓H␈ε"of␈αall␈αproper␈αfractions␈αwh␈α↓ose␈αden␈α↓ominator␈αis␈α29:
␈β
w␈↓ ↓S␈ε%1␈↓ βf␈ε%8␈↓ ε5␈ε%1␈α↓5␈↓ 	.␈ε%22
␈β
{␈↓ ↓x␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε29␈ε6␈αα?␈↓ ∧␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε3,␈αε1,␈αε1,␈αε1,␈αε2␈ε6␈αα?␈↓ εb␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε1,␈αε1,␈αε14␈ε6␈αα?␈↓ 	[␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε1,␈αε3,␈αε7␈ε6␈α}?
␈β∞␈↓ ↓L␈ε%29␈↓ β←␈ε%29␈↓ ε5␈ε%2␈α↓9␈↓ 	.␈ε%29
␈β∞∂␈↓ ↓L␈∧∞∂↓Lα∨␈↓ β←␈∧∞∂β←α∨␈↓ ε5␈∧∞∂ε5α∨␈↓ 	.␈∧∞∂	.α∨
␈β∞-␈↓ ↓S␈ε%2␈↓ βf␈ε%9␈↓ ε5␈ε%1␈α↓6␈↓ 	.␈ε%23
␈β∞1␈↓ ↓x␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε14,␈αε2␈ε6␈αα?␈↓ ∧␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε3,␈αε4,␈αε2␈ε6␈αα?␈↓ εb␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε1,␈αε1,␈αε4,␈αε3␈ε6␈αα?␈↓ 	[␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε1,␈αε3,␈αε1,␈αε5␈ε6␈α↓?
␈β∞B␈↓ ↓L␈ε%29␈↓ β←␈ε%29␈↓ ε5␈ε%2␈α↓9␈↓ 	.␈ε%29
␈β∞E␈↓ ↓L␈∧∞E↓Lα∨␈↓ β←␈∧∞Eβ←α∨␈↓ ε5␈∧∞Eε5α∨␈↓ 	.␈∧∞E	.α∨
␈β∞c␈↓ ↓S␈ε%3␈↓ β←␈ε%10␈↓ ε5␈ε%1␈α↓7␈↓ 	.␈ε%24
␈β∞g␈↓ ↓x␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε9,␈αε1,␈αε2␈ε6␈αα?␈↓ ∧␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε2,␈αε1,␈αε9␈ε6␈αα?␈↓ εb␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε1,␈αε1,␈αε2,␈αε2,␈αε2␈ε6␈αα?␈↓ 	[␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε1,␈αε4,␈αε1,␈αε4␈ε6␈α↓?
␈β∞x␈↓ ↓L␈ε%29␈↓ β←␈ε%29␈↓ ε5␈ε%2␈α↓9␈↓ 	.␈ε%29
␈β∞{␈↓ ↓L␈∧∞{↓Lα∨␈↓ β←␈∧∞{β←α∨␈↓ ε5␈∧∞{ε5α∨␈↓ 	.␈∧∞{	.α∨
␈β∂→␈↓ ↓S␈ε%4␈↓ β←␈ε%11␈↓ ε5␈ε%1␈α↓8␈↓ 	.␈ε%25
␈β∂≥␈↓ ↓x␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε7,␈αε4␈ε6␈αα?␈↓ ∧␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε2,␈αε1,␈αε1,␈αε1,␈αε3␈ε6␈αα?␈↓ εb␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε1,␈αε1,␈αε1,␈αε1,␈αε1,␈αε3␈ε6␈αα?␈↓ 	[␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε1,␈αε6,␈αε4␈ε6␈α↓?
␈β∂.␈↓ ↓L␈ε%29␈↓ β←␈ε%29␈↓ ε5␈ε%2␈α↓9␈↓ 	.␈ε%29
␈β∂1␈↓ ↓L␈∧∂1↓Lα∨␈↓ β←␈∧∂1β←α∨␈↓ ε5␈∧∂1ε5α∨␈↓ 	.␈∧∂1	.α∨
␈β∂O␈↓ ↓S␈ε%5␈↓ β←␈ε%12␈↓ ε5␈ε%1␈α↓9␈↓ 	.␈ε%26
␈β∂S␈↓ ↓x␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε5,␈αε1,␈αε4␈ε6␈αα?␈↓ ∧␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε2,␈αε2,␈αε2,␈αε2␈ε6␈αα?␈↓ εb␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε1,␈αε1,␈αε1,␈αε9␈ε6␈αα?␈↓ 	[␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε1,␈αε8,␈αε1,␈αε2␈ε6␈α↓?
␈β∂d␈↓ ↓L␈ε%29␈↓ β←␈ε%29␈↓ ε5␈ε%2␈α↓9␈↓ 	.␈ε%29
␈β∂g␈↓ ↓L␈∧∂g↓Lα∨␈↓ β←␈∧∂gβ←α∨␈↓ ε5␈∧∂gε5α∨␈↓ 	.␈∧∂g	.α∨
␈β⊂¬␈↓ ↓S␈ε%6␈↓ β←␈ε%13␈↓ ε5␈ε%2␈α↓0␈↓ 	.␈ε%27
␈β⊂	␈↓ ↓x␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε4,␈αε1,␈αε5␈ε6␈αα?␈↓ ∧␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε2,␈αε4,␈αε3␈ε6␈αα?␈↓ εb␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε1,␈αε2,␈αε4,␈αε2␈ε6␈αα?␈↓ 	[␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε1,␈αε13,␈αε2␈ε6␈α↓?
␈β⊂~␈↓ ↓L␈ε%29␈↓ β←␈ε%29␈↓ ε5␈ε%2␈α↓9␈↓ 	.␈ε%29
␈β⊂≥␈↓ ↓L␈∧⊂≥↓Lα∨␈↓ β←␈∧⊂≥β←α∨␈↓ ε5␈∧⊂≥ε5α∨␈↓ 	.␈∧⊂≥	.α∨
␈β⊂;␈↓ ↓S␈ε%7␈↓ β←␈ε%14␈↓ ε5␈ε%2␈α↓1␈↓ 	.␈ε%28
␈β⊂?␈↓ ↓x␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε4,␈αε7␈ε6␈α}?␈↓ ∧␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε2,␈αε14␈ε6␈αα?␈↓ εb␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε1,␈αε2,␈αε1,␈αε1,␈αε1,␈αε2␈ε6␈αα?␈↓ 	[␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε1,␈αε28␈ε6␈α↓?
␈β⊂P␈↓ ↓L␈ε%29␈↓ β←␈ε%29␈↓ ε5␈ε%2␈α↓9␈↓ 	.␈ε%29
␈β⊂S␈↓ ↓L␈∧⊂S↓Lα∨␈↓ β←␈∧⊂Sβ←α∨␈↓ ε5␈∧⊂Sε5α∨␈↓ 	.␈∧⊂S	.α∨
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"Sev␈α␈eral␈αthings␈αcan␈αbe␈αobserv␈α␈ed␈αin␈αthis␈αtable.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.3␈↓ λM␈ε"'␈↓ 
v␈ε"353
␈β↓\␈↓ ¬y␈ε∞ANA␈α↓L␈α⎇Y␈α↓S␈α␈IS␈α	OF␈α
E␈α↓UCL␈α↓ID␈↓ λW␈ε∞S␈α	A␈α↓L␈α␈GORIT␈α↓HM
␈βα"␈↓ ↓b␈ε"a)␈↓ α␈ε"As␈α∞men␈α␈tioned␈α∞earlier,␈α∂the␈α∞last␈α∞quotien␈α␈t␈α∞is␈α∂alw␈α␈a␈α␈ys␈α∞2␈α∞or␈α∞m␈α↓ore.␈α⊗F␈α⎇urtherm␈α↓ore,
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈αthe␈αobvious␈αiden␈α␈tit␈α␈y
␈ββ≥␈↓ β?␈ε6?␈↓ βQ␈ε(x␈↓ βv␈ε",␈↓ ∧ε␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ∧6␈ε",␈↓ ∧F␈ε(x␈↓ ¬≠␈ε",␈↓ ¬+␈ε(x␈↓ ¬[␈ε"+␈αλ1␈ε6?␈ε"␈α
=␈ε6␈α
?␈↓ εu␈ε(x␈↓ π~␈ε",␈↓ π*␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ πZ␈ε",␈↓ πj␈ε(x␈↓ λ?␈ε",␈↓ λO␈ε(x␈↓ λw␈ε",␈αε1␈ε6?␈ε",␈↓ 
p␈ε"(44)
␈ββ*␈↓ βe␈ε%1␈↓ ∧Z␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ ¬?␈ε+n␈↓ π	␈ε%1␈↓ π}␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ λc␈ε+n
␈ββm␈↓ ↓H␈ε"and␈αthis␈α
sh␈α↓o␈α␈ws␈α
h␈α↓o␈α␈w␈α
partial␈α
fractions␈α
wh␈α↓ose␈αlast␈α
quotien␈α␈t␈α
is␈α
unit␈α␈y␈α
are␈α
related␈αto
␈β∧_␈↓ ↓H␈ε"regular␈αcon␈α␈tin␈α␈ued␈αfractions.
␈β∧D␈↓ ↓`␈ε"b)␈↓ α␈ε"The␈α	v␈α}alues␈αλin␈α	the␈α	righ␈α␈t-hand␈α	columns␈αλha␈α␈v␈α␈e␈α	a␈α	simple␈αλrelationship␈α	to␈α	the␈αλv␈α}alues
␈β∧o␈↓ ↓H␈ε"in␈α
the␈α
le$-hand␈α
columns;␈α∞can␈α
the␈α
reader␈α
see␈α
the␈α
correspondence␈α
before␈α
reading
␈β¬~␈↓ ↓H␈ε"an␈α␈y␈αfurther?␈α⊂The␈αrelev␈α}an␈α␈t␈αiden␈α␈tit␈α␈y␈αis
␈β¬j␈↓ βL␈ε"1␈ε6␈αλ␈␈αλ?␈↓ ∧$␈ε(x␈↓ ∧I␈ε",␈↓ ∧Y␈ε(x␈↓ ∧}␈ε",␈↓ ¬∞␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬>␈ε",␈↓ ¬N␈ε(x␈↓ ¬v␈ε6?␈ε"␈α
=␈ε6␈α
?␈ε"1,␈↓ εt␈ε(x␈↓ π!␈ε6␈␈ε"␈αλ1,␈↓ πo␈ε(x␈↓ λ∀␈ε",␈↓ λ$␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λT␈ε",␈↓ λd␈ε(x␈↓ 	␈ε6?␈ε";␈↓ 
p␈ε"(45)
␈β¬v␈↓ ∧8␈ε%1␈↓ ∧m␈ε%2␈↓ ¬b␈ε+n␈↓ πλ␈ε%1␈↓ λβ␈ε%2␈↓ λx␈ε+n
␈βε:␈↓ ↓H␈ε"see␈αexercise␈α9.
␈βεe␈↓ ↓d␈ε"c)␈↓ α␈ε"There␈α∀is␈α∪symmetry␈α∀bet␈α␈w␈α␈een␈α∪le$␈α∀and␈α∪righ␈α␈t␈α∪in␈α∀the␈α∪|rst␈α∀t␈α␈w␈α␈o␈α∪columns:␈α≠If
␈βπ⊂␈↓ ↓H␈ε6?␈↓ ↓Z␈ε(A␈↓ α∧␈ε",␈↓ α∀␈ε(A␈↓ α?␈ε",␈↓ αO␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ α␈␈ε",␈↓ β∂␈ε(A␈↓ β6␈ε6?␈ε"␈α∞occurs,␈α∞so␈α
does␈ε6␈α∞?␈↓ ¬a␈ε(A␈↓ ελ␈ε",␈↓ ε_␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ εH␈ε",␈↓ εX␈ε(A␈↓ πα␈ε",␈↓ π∩␈ε(A␈↓ π=␈ε6?␈ε".␈α∃This␈α
will␈α∞alw␈α␈a␈α␈ys␈α
be␈α∞the␈α
case
␈βπ≤␈↓ ↓t␈ε%1␈↓ α.␈ε%2␈↓ β)␈ε+t␈↓ ¬{␈ε+t␈↓ εr␈ε%2␈↓ π,␈ε%1
␈βπ;␈↓ ↓H␈ε"(see␈αexercise␈α26).
␈βπf␈↓ ↓`␈ε"d)␈↓ α␈ε"If␈αw␈α␈e␈α
examine␈αall␈α
of␈αthe␈α
quotien␈α␈ts␈αin␈α
the␈αtable,␈α
w␈α␈e␈α|nd␈α
that␈αthere␈α
are␈α96␈αin
␈βλ
␈↓ β⊗␈ε%3␈α↓9␈↓ π)␈ε%21
␈βλ∩␈↓ ↓H␈ε"all,␈αof␈αwhich␈↓ βD␈ε"=␈α40.6␈α
percen␈α␈t␈αare␈αequal␈αto␈α1,␈↓ πV␈ε"=␈α21.9␈αpercen␈α␈t␈αare␈αequal␈αto␈α
2,
␈βλ"␈↓ β⊗␈ε%9␈α↓6␈↓ π)␈ε%96
␈βλ&␈↓ β⊗␈∧λ&β⊗α∨␈↓ π)␈∧λ&π)α∨
␈βλ8␈↓ ↓S␈ε%8
␈βλ=␈↓ ↓w␈ε"=␈α
8.3␈α	percen␈α␈t␈α	are␈α
equal␈α	to␈α	3;␈αthis␈α	agrees␈α	reasonably␈α	w␈α␈ell␈α
with␈α	the␈α	probabilities
␈βλN␈↓ ↓L␈ε%96
␈βλQ␈↓ ↓L␈∧λQ↓Lα∨
␈βλh␈↓ ↓H␈ε"listed␈αabo␈α␈v␈α␈e.
␈β	&␈↓ ↓H␈ε2The␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α∞division␈α∞steps.␈ε"␈α≥Let␈α∞us␈α∞n␈α↓o␈α␈w␈α∞return␈α∞to␈α∞our␈α∞original␈α∞problem␈α
and
␈β	2␈↓ 	N␈ε↓␈␈↓ ≡␈ε↓↓
␈β	Q␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈v␈α␈estigate␈↓ αy␈ε(T␈↓ β"␈ε",␈α
the␈α
a␈α␈v␈α␈erage␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈αof␈α
division␈α
steps␈α
when␈↓ λQ␈ε(v␈↓ λn␈ε"=␈ε(␈α
n␈ε".␈↓ 	\␈ε"See␈α
Eq.␈α
(19).
␈β	]␈↓ β∞␈ε+n
␈β	|␈↓ ↓H␈ε"Here␈αare␈αsome␈αsample␈αv␈α}alues␈αof␈↓ ¬?␈ε(T␈↓ ¬h␈ε":
␈β
	␈↓ ¬S␈ε+n
␈β
=␈↓ α'␈ε(n␈ε"␈α
=
␈β
C␈↓ β∀␈ε"95␈↓ βf␈ε"96␈↓ ∧8␈ε"97␈↓ ¬
␈ε"98␈↓ ¬\␈ε"99␈↓ ε)␈ε"100␈↓ πβ␈ε"101␈↓ π]␈ε"102␈↓ λ7␈ε"103␈↓ 	⊃␈ε"104␈↓ 	k␈ε"105
␈β
h␈↓ α∀␈ε(T␈↓ αG␈ε"=
␈β
n␈↓ β∂␈ε"5.0␈↓ βa␈ε"4.4␈↓ ∧3␈ε"5.3␈↓ ¬¬␈ε"4.8␈↓ ¬W␈ε"4.7␈↓ ε-␈ε"4.6␈↓ ππ␈ε"5.3␈↓ πa␈ε"4.6␈↓ λ;␈ε"5.3␈↓ 	∃␈ε"4.7␈↓ 	o␈ε"4.6
␈β
t␈↓ α(␈ε+n
␈β_␈↓ πO␈ε".␈αε.␈αε.
␈β≤␈↓ α'␈ε(n␈ε"␈α
=
␈β"␈↓ β∂␈ε"996␈↓ βi␈ε"997␈↓ ∧C␈ε"998␈↓ ¬≥␈ε"999␈↓ ¬w␈ε"1000␈↓ εc␈ε"1001␈↓ λ≥␈ε"9999␈↓ 		␈ε"10000␈↓ 
π␈ε"10001
␈βD␈↓ πO␈ε".␈αε.␈αε.
␈βG␈↓ α∀␈ε(T␈↓ αG␈ε"=
␈βM␈↓ β∪␈ε"6.5␈↓ βm␈ε"7.3␈↓ ∧G␈ε"7.0␈↓ ¬!␈ε"6.8␈↓ ε∧␈ε"6.4␈↓ εp␈ε"6.7␈↓ λ*␈ε"8.6␈↓ 	∨␈ε"8.3␈↓ 
≥␈ε"9.1
␈βS␈↓ α(␈ε+n
␈βx␈↓ ε	␈ε".␈αε.␈αε.
␈β{␈↓ α'␈ε(n␈ε"␈α
=
␈β↓␈↓ β∂␈ε"49999␈↓ ∧
␈ε"50000␈↓ ¬␈ε"50001␈↓ εW␈ε"99999␈↓ πU␈ε"100000␈↓ λe␈ε"100001
␈β#␈↓ ε	␈ε".␈αε.␈αε.
␈β&␈↓ α∀␈ε(T␈↓ αG␈ε"=
␈β,␈↓ β≤␈ε"10.6␈↓ ∧#␈ε"9.7␈↓ ¬_␈ε"10.0␈↓ εd␈ε"10.7␈↓ πk␈ε"10.3␈↓ λ{␈ε"11.0
␈β3␈↓ α(␈ε+n
␈βn␈↓ ↓H␈ε"Note␈α∞the␈α∂somewhat␈α∞erratic␈α∂beha␈α␈vior;␈↓ ε!␈ε(T␈↓ εY␈ε"tends␈α∞to␈α∂be␈α∞higher␈α∂than␈α∞its␈α∞neigh␈α␈bors
␈βz␈↓ ε6␈ε+n
␈β
→␈↓ ↓H␈ε"when␈ε(␈αn␈ε"␈αis␈αprime,␈αand␈αit␈αis␈αcorrespondingly␈αlo␈α␈w␈α␈er␈αwhen␈ε(␈αn␈ε"␈αhas␈αman␈α␈y␈αdivisors.␈α↔(In
␈β
D␈↓ ↓H␈ε"this␈α∞list,␈α∂97,␈α∂101,␈α⊂103,␈α∂997,␈α∂and␈α∞49999␈α∂are␈α∂primes;␈α∂10001␈α∂=␈α∞73␈ε6␈α	↓␈ε"␈α
137,␈α∂50001␈α∞=
␈β
o␈↓ ↓H␈ε"3␈ε6␈αλ↓␈ε"␈α	7␈ε6␈α	↓␈ε"␈αλ2381,␈α∞99999␈α=␈α3␈ε6␈α	↓␈ε"␈α	3␈ε6␈α	↓␈ε"␈αλ41␈ε6␈α	↓␈ε"␈α	271,␈α
and␈α
100001␈α=␈α11␈ε6␈αλ↓␈ε"␈α	9091.)␈α≠It␈α
is␈α
n␈α↓ot␈α
di}cult
␈β∞~␈↓ ↓H␈ε"to␈α∂understand␈α⊂wh␈α␈y␈α∂this␈α∂happens:␈α∪if␈↓ ε∩␈ε"gcd␈↓ εH␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ εy␈ε(v␈↓ π␈ε")␈α⊂=␈ε(␈α⊂d␈ε",␈α⊃Euclid's␈α∂algorithm␈α∂applied
␈β∞F␈↓ ↓H␈ε"to␈ε(␈α∂u␈ε"␈α∞and␈↓ αc␈ε(v␈↓ β¬␈ε"beha␈α␈v␈α␈es␈α∂essen␈α␈tially␈α∂the␈α∂same␈α∂as␈α∂if␈α∂it␈α∂w␈α␈ere␈α∂applied␈α∞to␈ε(␈α∂u␈ε"/␈ε(d␈ε"␈α∂and␈↓ 
k␈ε(v␈↓ 
}␈ε"/␈ε(d␈ε".
␈β∞q␈↓ ↓H␈ε"Therefore,␈α⊂when␈↓ β\␈ε(v␈↓ ∧␈ε"=␈ε(␈α⊂n␈ε"␈α⊂has␈α⊂sev␈α␈eral␈α⊂divisors,␈α⊂there␈α⊂are␈α⊂man␈α␈y␈α⊂ch␈α↓oices␈α⊂of␈ε(␈α⊂u␈ε"␈α∂for
␈β∂≤␈↓ ↓H␈ε"which␈ε(␈αn␈ε"␈αbeha␈α␈v␈α␈es␈αas␈αif␈αit␈αw␈α␈ere␈αsmaller.
␈β∂G␈↓ α␈ε"Accordingly␈αlet␈αus␈αconsider␈ε/␈αan␈α↓other␈ε"␈αquan␈α␈tit␈α␈y,␈↓ π[␈ε(≤␈↓ π⎇␈ε",␈αwhich␈αis␈αthe␈αa␈α␈v␈α␈erage␈αn␈α␈um-
␈β∂T␈↓ πi␈ε+n
␈β∂r␈↓ ↓H␈ε"ber␈αof␈αdivision␈αsteps␈αwhen␈↓ ∧m␈ε(v␈↓ ¬
␈ε"=␈ε(␈α
n␈ε"␈αand␈αwhen␈ε(␈αu␈ε"␈αis␈ε/␈αrelativ␈α␈ely␈αprime␈ε"␈αto␈ε(␈αn␈ε".␈α⊂Th␈α␈us
␈β⊂/␈↓ ε4␈ε↓X
␈β⊂9␈↓ ¬A␈ε"1
␈β⊂Q␈↓ ∧H␈ε(≤␈↓ ∧t␈ε"=␈↓ π+␈ε(T␈↓ πD␈ε"(␈ε(m␈ε",␈ε(␈αεn␈ε").␈↓ 
p␈ε"(46)
␈β⊂]␈↓ ∧V␈ε+n
␈β⊂e␈↓ ¬&␈∧⊂e¬&αH
␈β⊂j␈↓ ¬&␈ε(⎇␈ε"(␈ε(n␈ε")
␈β⊂␈␈↓ ε∩␈ε%0␈ε9∀␈ε+␈α␈m␈ε%<␈ε+n
␈β⊃≤␈↓ ¬{␈ε%gcd␈↓ ε(␈ε%(␈ε+␈α↓m␈ε%␈α␈,␈ε+n␈ε%)=1
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"354␈↓ 
b␈ε"4.5.3
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"It␈αfollo␈α␈ws␈αthat
␈βα5␈↓ ε)␈ε↓X
␈βα?␈↓ ε␈ε"1
␈βαW␈↓ ¬$␈ε(T␈↓ ¬W␈ε"=␈↓ εc␈ε(⎇␈ε"(␈ε(d␈ε")␈↓ π'␈ε(≤␈↓ πF␈ε".␈↓ 
p␈ε"(47)
␈βαc␈↓ ¬9␈ε+n␈↓ π5␈ε+d
␈βαk␈↓ ε	␈∧αkε	α⊗
␈βαp␈↓ ε	␈ε(n
␈ββπ␈↓ ε*␈ε+d␈ε9∧␈ε+n
␈ββ<␈↓ ↓H␈ε"Here␈αis␈αa␈αtable␈αof␈↓ βb␈ε(≤␈↓ ∧⊂␈ε"for␈αthe␈αsame␈αv␈α}alues␈αof␈ε(␈αn␈ε"␈αconsidered␈αabo␈α␈v␈α␈e:
␈ββH␈↓ βo␈ε+n
␈ββx␈↓ α#␈ε(n␈ε"␈α
=
␈ββ}␈↓ β⊂␈ε"95␈↓ βb␈ε"96␈↓ ∧4␈ε"97␈↓ ¬ε␈ε"98␈↓ ¬X␈ε"99␈↓ ε%␈ε"100␈↓ ε␈␈ε"101␈↓ πY␈ε"102␈↓ λ3␈ε"103␈↓ 	
␈ε"104␈↓ 	g␈ε"105
␈β∧#␈↓ α↔␈ε(≤␈↓ αC␈ε"=
␈β∧)␈↓ β␈ε"5.4␈↓ β]␈ε"5.3␈↓ ∧/␈ε"5.3␈↓ ¬↓␈ε"5.6␈↓ ¬S␈ε"5.2␈↓ ε)␈ε"5.2␈↓ πβ␈ε"5.4␈↓ π]␈ε"5.3␈↓ λ7␈ε"5.4␈↓ 	⊃␈ε"5.3␈↓ 	k␈ε"5.6
␈β∧/␈↓ α%␈ε+n
␈β∧S␈↓ πK␈ε".␈αε.␈αε.
␈β∧W␈↓ α#␈ε(n␈ε"␈α
=
␈β∧]␈↓ β␈ε"996␈↓ βe␈ε"997␈↓ ∧?␈ε"998␈↓ ¬→␈ε"999␈↓ ¬s␈ε"1000␈↓ ε←␈ε"1001␈↓ λ→␈ε"9999␈↓ 	¬␈ε"10000␈↓ 
β␈ε"10001
␈β∧}␈↓ πK␈ε".␈αε.␈αε.
␈β¬α␈↓ α↔␈ε(≤␈↓ αC␈ε"=
␈β¬λ␈↓ β∂␈ε"7.2␈↓ βi␈ε"7.3␈↓ ∧C␈ε"7.3␈↓ ¬≥␈ε"7.3␈↓ ε␈ε"7.3␈↓ εl␈ε"7.4␈↓ λ≥␈ε"9.21␈↓ 	∩␈ε"9.21␈↓ 
⊂␈ε"9.22
␈β¬∞␈↓ α%␈ε+n
␈β¬2␈↓ ε¬␈ε".␈αε.␈αε.
␈β¬6␈↓ α#␈ε(n␈ε"␈α
=
␈β¬<␈↓ β␈ε"49999␈↓ ∧	␈ε"50000␈↓ ¬π␈ε"50001␈↓ εX␈ε"99999␈↓ π[␈ε"100000␈↓ λk␈ε"100001
␈β¬↑␈↓ ε¬␈ε".␈αε.␈αε.
␈β¬a␈↓ α↔␈ε(≤␈↓ αC␈ε"=
␈β¬g␈↓ β∂␈ε"10.58␈↓ ∧
␈ε"10.57␈↓ ¬␈ε"10.59␈↓ εS␈ε"11.170␈↓ π←␈ε"11.172␈↓ λo␈ε"11.172
␈β¬n␈↓ α%␈ε+n
␈βε%␈↓ ↓H␈ε"Clearly␈↓ αB␈ε(≤␈↓ αn␈ε"is␈α	m␈α␈uch␈α
m␈α↓ore␈α	w␈α␈ell-beha␈α␈v␈α␈ed␈α
than␈↓ εj␈ε(T␈↓ π∪␈ε",␈α
and␈α	it␈α
sh␈α↓ould␈α	be␈α
m␈α↓ore␈α	susceptible
␈βε2␈↓ αP␈ε+n␈↓ ε}␈ε+n
␈βεQ␈↓ ↓H␈ε"to␈αλanalysis.␈α∂Inspection␈α	of␈α	a␈α	table␈αλof␈↓ ¬l␈ε(≤␈↓ ε↔␈ε"for␈α	small␈ε(␈α	n␈ε"␈αλrev␈α␈eals␈α	some␈α	curious␈αλan␈α↓omalies;
␈βε]␈↓ ¬z␈ε+n
␈βε|␈↓ ↓H␈ε"for␈αexample,␈↓ β⊗␈ε(≤␈↓ βN␈ε"=␈↓ β|␈ε(≤␈↓ ∧D␈ε"and␈↓ ¬	␈ε(≤␈↓ ¬@␈ε"=␈↓ ¬n␈ε(≤␈↓ ε+␈ε".␈α⊂But␈αas␈ε(␈αn␈ε"␈αgro␈α␈ws,␈αthe␈αv␈α}alues␈αof␈↓ 
∀␈ε(≤␈↓ 
A␈ε"beha␈α␈v␈α␈e
␈βπλ␈↓ β$␈ε%50␈↓ ∧	␈ε%1␈α↓00␈↓ ¬⊗␈ε%6␈α↓0␈↓ ¬|␈ε%12␈α↓0␈↓ 
"␈ε+n
␈βπ'␈↓ ↓H␈ε"quite␈α
regularly␈α
indeed,␈αas␈α
the␈α
abo␈α␈v␈α␈e␈αtable␈α
indicates,␈α
and␈αthey␈α
sh␈α↓o␈α␈w␈α
n␈α↓o␈α
signi|can␈α␈t
␈βπR␈↓ ↓H␈ε"relation␈αto␈αthe␈αfactorization␈αproperties␈αof␈ε(␈αn␈ε".␈α∂If␈αthe␈αreader␈αwill␈αplot␈αthe␈αv␈α}alues␈αof
␈βπ⎇␈↓ ↓H␈ε(≤␈↓ ↓v␈ε"v␈α␈ersus␈↓ αc␈ε"ln␈↓ βπ␈ε(n␈ε"␈αon␈α
graph␈αpaper,␈α
for␈αthe␈α
v␈α}alues␈αof␈↓ π>␈ε(≤␈↓ πm␈ε"giv␈α␈en␈αabo␈α␈v␈α␈e,␈α
he␈αwill␈α
see␈αthat
␈βλ
␈↓ ↓U␈ε+n␈↓ πL␈ε+n
␈βλ)␈↓ ↓H␈ε"the␈αv␈α}alues␈αlie␈αv␈α␈ery␈αnearly␈αon␈αa␈αstraigh␈α␈t␈αline,␈αand␈αthat␈αthe␈αform␈α␈ula
␈βλv␈↓ ¬
␈ε(≤␈↓ ¬6␈ε6→␈ε"␈α
0.843␈↓ ε<␈ε"ln␈↓ ε`␈ε(n␈ε"␈αλ+␈αλ1.47␈↓ 
p␈ε"(48)
␈β	α␈↓ ¬_␈ε+n
␈β	B␈↓ ↓H␈ε"is␈αa␈αv␈α␈ery␈αgo␈α↓od␈αappro␈α␈ximation.
␈β	n␈↓ α␈ε"W␈α⎇e␈αcan␈αaccoun␈α␈t␈αfor␈αthis␈αbeha␈α␈vior␈αif␈αw␈α␈e␈αstudy␈αthe␈αregular␈αcon␈α␈tin␈α␈ued␈αfraction
␈β
→␈↓ ↓H␈ε"process␈αa␈α
little␈αfurther.␈α∩Note␈αthat␈α
in␈αEuclid's␈α
algorithm␈αas␈α
expressed␈αin␈α
(15)␈αw␈α␈e
␈β
D␈↓ ↓H␈ε"ha␈α␈v␈α␈e
␈β
`␈↓ ∧v␈ε(V␈↓ ¬-␈ε(V␈↓ ε∃␈ε(V␈↓ π&␈ε(V
␈β
m␈↓ ¬␈ε%0␈↓ ¬C␈ε%1␈↓ ε+␈ε+t␈ε9␈␈ε%1␈↓ π<␈ε+t␈ε9␈␈ε%1
␈β
x␈↓ ¬`␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ εt␈ε"=␈↓ πz␈ε",
␈β␈↓ ∧t␈∧∧tα*␈↓ ¬,␈∧¬,α*␈↓ ε∀␈∧ε∀αS␈↓ π&␈∧π&αP
␈β∩␈↓ ∧t␈ε(U␈↓ ¬,␈ε(U␈↓ ε∀␈ε(U␈↓ π9␈ε(U
␈β≡␈↓ ¬
␈ε%0␈↓ ¬E␈ε%1␈↓ ε,␈ε+t␈ε9␈α↓␈␈ε%␈α␈1␈↓ πR␈ε%0
␈βI␈↓ ↓H␈ε"since␈↓ α ␈ε(U␈↓ βα␈ε"=␈↓ β1␈ε(V␈↓ βY␈ε";␈αtherefore␈α
if␈↓ ¬*␈ε(U␈↓ ¬R␈ε"=␈↓ ε␈ε(U␈↓ ε6␈ε"and␈↓ ε|␈ε(V␈↓ π%␈ε"=␈↓ πS␈ε(V␈↓ λε␈ε"are␈αrelativ␈α␈ely␈α
prime,␈αand␈αif
␈βU␈↓ α9␈ε+k␈↓ αI␈ε%+1␈↓ βG␈ε+k␈↓ ε→␈ε%0␈↓ πi␈ε%0
␈βt␈↓ ↓H␈ε"there␈αare␈ε(␈αt␈ε"␈αdivision␈αsteps,␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈βA␈↓ ¬β␈ε(X␈↓ ¬2␈ε(X␈↓ ¬f␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ε⊗␈ε(X␈↓ εx␈ε"=␈α
1/␈↓ πJ␈ε(U␈↓ πg␈ε".
␈βM␈↓ ¬!␈ε%0␈↓ ¬P␈ε%1␈↓ ε4␈ε+t␈ε9␈α↓␈␈ε%␈α␈1
␈β
∞␈↓ ↓H␈ε"Setting␈↓ αD␈ε(U␈↓ αk␈ε"=␈↓ β→␈ε(N␈↓ βH␈ε"and␈↓ ∧∞␈ε(V␈↓ ∧6␈ε"=␈ε(␈α
m␈ε"␈α	<␈↓ ¬;␈ε(N␈↓ ¬↑␈ε",␈αw␈α␈e␈α|nd␈αthat
␈β
[␈↓ βm␈ε"ln␈↓ ∧⊃␈ε(X␈↓ ∧H␈ε"+␈↓ ∧t␈ε"ln␈↓ ¬_␈ε(X␈↓ ¬N␈ε"+␈↓ ¬z␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε,␈ε"+␈↓ εX␈ε"ln␈↓ ε|␈ε(X␈↓ π↑␈ε"=␈ε6␈α
␈␈↓ λ6␈ε"ln␈↓ λZ␈ε(N␈↓ λ⎇␈ε".␈↓ 
p␈ε"(49)
␈β
g␈↓ ∧/␈ε%0␈↓ ¬6␈ε%1␈↓ π~␈ε+t␈ε9␈α↓␈␈ε%␈α␈1
␈β∞(␈↓ ↓H␈ε"W␈α⎇e␈α
kn␈α↓o␈α␈w␈α∞the␈α∞appro␈α␈ximate␈α∞distribution␈α∞of␈↓ εm␈ε(X␈↓ π≠␈ε",␈↓ π4␈ε(X␈↓ πb␈ε",␈↓ π{␈ε(X␈↓ λ*␈ε",␈↓ λB␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λr␈ε",␈α∞so␈α∞w␈α␈e␈α∞can␈α∞use␈α
this
␈β∞4␈↓ π␈ε%0␈↓ πR␈ε%1␈↓ λ→␈ε%2
␈β∞S␈↓ ↓H␈ε"equation␈αto␈αestimate
␈β∂ ␈↓ ∧O␈ε(t␈ε"␈α
=␈↓ ¬∀␈ε(T␈↓ ¬.␈ε"(␈↓ ¬:␈ε(N␈↓ ¬]␈ε",␈ε(␈αεm␈ε")␈α
=␈↓ εQ␈ε(T␈↓ εj␈ε"(␈ε(m␈ε",␈↓ π&␈ε(N␈↓ πI␈ε")␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ1.
␈β∂m␈↓ α␈ε"Returning␈α
to␈αthe␈αform␈α␈ulas␈α
preceding␈αTheorem␈α
W␈↓ λ⊗␈ε",␈α
w␈α␈e␈α|nd␈αthat␈α
the␈αa␈α␈v␈α␈erage
␈β⊂_␈↓ ↓H␈ε"v␈α}alue␈αof␈↓ αO␈ε"ln␈↓ αs␈ε(X␈↓ β%␈ε",␈αwhen␈↓ ∧→␈ε(X␈↓ ∧T␈ε"is␈αa␈αreal␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αuniformly␈αdistributed␈αin␈↓ 	e␈ε"[␈↓ 	u␈ε"0,␈αε1),␈αis
␈β⊂$␈↓ β⊃␈ε+n␈↓ ∧7␈ε%0
␈β⊂W␈↓ β]␈ε↓Z␈↓ ε∩␈ε↓Z
␈β⊂]␈↓ ∧↓␈ε%1␈↓ ε6␈ε%1
␈β⊂|␈↓ ∧r␈ε90
␈β⊃β␈↓ ∧_␈ε"ln␈↓ ∧<␈ε(x␈↓ ∧V␈ε(F␈↓ ¬α␈ε"(␈ε(x␈ε")␈ε(␈αεdx␈ε"␈α
=␈↓ εM␈ε"ln␈↓ εq␈ε(x␈↓ π␈ε(f␈↓ π1␈ε"(␈ε(x␈ε")␈ε(␈αεdx␈ε"/(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε"),␈↓ 
p␈ε"(50)
␈β⊃⊂␈↓ π≤␈ε+n
␈β⊃∀␈↓ ∧m␈ε+n
␈β⊃&␈↓ βq␈ε%0␈↓ ε&␈ε%0
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.3␈↓ λM␈ε"'␈↓ 
v␈ε"355
␈β↓\␈↓ ¬y␈ε∞ANA␈α↓L␈α⎇Y␈α↓S␈α␈IS␈α	OF␈α
E␈α↓UCL␈α↓ID␈↓ λW␈ε∞S␈α	A␈α↓L␈α␈GORIT␈α↓HM
␈βα"␈↓ ↓H␈ε"where␈↓ α0␈ε(f␈↓ αV␈ε"(␈ε(x␈ε")␈αis␈αde|ned␈αin␈α(31).␈α⊂No␈α␈w
␈βα/␈↓ αA␈ε+n
␈βαu␈↓ ε≠␈ε"1
␈ββ¬␈↓ π1␈ε9␈␈ε+n
␈ββ
␈↓ ∧{␈ε(f␈↓ ¬!␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ εK␈ε"+␈↓ εw␈ε(O␈↓ π∪␈ε"(␈↓ π∨␈ε"2␈↓ πc␈ε"),␈↓ 
p␈ε"(51)
␈ββ~␈↓ ¬
␈ε+n
␈ββ!␈↓ ε	␈∧β!ε	α6
␈ββ'␈↓ ε	␈ε"ln␈↓ ε-␈ε"2
␈ββu␈↓ ↓H␈ε"using␈αthe␈αfacts␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈αderiv␈α␈ed␈αearlier␈α(see␈αexercise␈α23);␈αhence␈αthe␈αa␈α␈v␈α␈erage␈αv␈α}alue
␈β∧ ␈↓ ↓H␈ε"of␈↓ ↓r␈ε"ln␈↓ α⊗␈ε(X␈↓ αT␈ε"is␈αv␈α␈ery␈αw␈α␈ell␈αappro␈α␈ximated␈αby
␈β∧,␈↓ α4␈ε+n
␈β∧k␈↓ α7␈ε↓Z␈↓ ¬ ␈ε↓Z
␈β∧q␈↓ α[␈ε%1␈↓ ¬D␈ε91
␈β∧y␈↓ ε"␈ε9␈␈ε+u
␈β∧␈␈↓ α	␈ε"1␈↓ βε␈ε"ln␈↓ β*␈ε(x␈↓ ∧r␈ε"1␈↓ ¬}␈ε(u␈↓ ε∪␈ε(e
␈β¬↔␈↓ βY␈ε(d␈α↓x␈↓ ∧
␈ε"=␈ε6␈α
␈␈↓ εv␈ε(d␈↓ π
␈ε(u
␈β¬+␈↓ ↓w␈∧¬+↓wα6␈↓ αu␈∧¬+αuα[␈↓ ∧`␈∧¬+∧`α6␈↓ ¬f␈∧¬+¬fα↓π
␈β¬-␈↓ ε;␈ε9␈␈ε+␈α␈u
␈β¬1␈↓ ↓w␈ε"ln␈↓ α≠␈ε"2␈↓ αu␈ε"1␈αλ+␈ε(␈αλx␈↓ ∧`␈ε"ln␈↓ ¬∧␈ε"2␈↓ ¬f␈ε"1␈αλ+␈↓ ε,␈ε(e
␈β¬:␈↓ αK␈ε%0␈↓ ¬4␈ε%0
␈β¬L␈↓ ε|␈ε↓Z
␈β¬R␈↓ π ␈ε91
␈β¬V␈↓ ¬%␈ε↓X
␈β¬a␈↓ ∧r␈ε"1
␈β¬q␈↓ ε7␈ε+k␈↓ εG␈ε%+1␈↓ πi␈ε9␈␈↓ λε␈ε+k␈↓ λ↔␈ε+u
␈β¬x␈↓ ∧
␈ε"=␈ε6␈α
␈␈↓ ¬i␈ε"(␈ε6␈␈ε"1␈↓ ε+␈ε")␈↓ πE␈ε(u␈↓ πY␈ε(e␈↓ λ0␈ε(d␈↓ λD␈ε(u
␈βε
␈↓ ∧`␈∧ε
∧`α6
␈βε∩␈↓ ∧`␈ε"ln␈↓ ¬∧␈ε"2
␈βε≠␈↓ π⊂␈ε%0
␈βε)␈↓ ¬ ␈ε+k␈↓ ¬0␈ε9∃␈ε%1
␈βεI␈↓ ¬~␈ε↓∩␈↓ 	α␈ε↓∪
␈βεJ␈↓ ∧r␈ε"1␈↓ ¬z␈ε"1␈↓ εH␈ε"1␈↓ π∨␈ε"1␈↓ π␈␈ε"1
␈βεb␈↓ ∧
␈ε"=␈ε6␈α
␈␈↓ ¬0␈ε"1␈ε6␈αλ␈␈↓ ε_␈ε"+␈↓ εf␈ε6␈␈↓ πF␈ε"+␈↓ λ&␈ε6␈␈↓ λR␈ε6↓␈αε↓␈αε↓
␈βεv␈↓ ∧`␈∧εv∧`α6␈↓ ¬z␈∧εv¬zα∩␈↓ εH␈∧εvεHα∩␈↓ π⊗␈∧εvπ⊗α$␈↓ πv␈∧εvπvα$
␈βε|␈↓ ∧`␈ε"ln␈↓ ¬∧␈ε"2␈↓ ¬z␈ε"4␈↓ εH␈ε"9␈↓ π⊗␈ε"16␈↓ πv␈ε"25
␈βπ*␈↓ ¬~␈ε↓∩␈↓ λα␈ε↓∩␈↓ 
V␈ε↓∪␈↓ 
l␈ε↓∪
␈βπ+␈↓ ∧r␈ε"1␈↓ ¬z␈ε"1␈↓ εH␈ε"1␈↓ λ≤␈ε"1␈↓ λs␈ε"1␈↓ 	S␈ε"1
␈βπC␈↓ ∧
␈ε"=␈ε6␈α
␈␈↓ ¬0␈ε"1␈αλ+␈↓ ε_␈ε"+␈↓ εf␈ε"+␈↓ π∩␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πD␈ε6␈␈ε"␈αλ2␈↓ λ:␈ε"+␈↓ 	~␈ε"+␈↓ 	z␈ε"+␈↓ 
&␈ε6↓␈αε↓␈αε↓
␈βπX␈↓ ∧`␈∧πX∧`α6␈↓ ¬z␈∧πX¬zα∩␈↓ εH␈∧πXεHα∩␈↓ λ≤␈∧πXλ≤α∩␈↓ λj␈∧πXλjα$␈↓ 	J␈∧πX	Jα$
␈βπ]␈↓ ∧`␈ε"ln␈↓ ¬∧␈ε"2␈↓ ¬z␈ε"4␈↓ εH␈ε"9␈↓ λ≤␈ε"4␈↓ λj␈ε"16␈↓ 	J␈ε"36
␈βλ␈↓ ¬2␈ε↓∩␈↓ πZ␈ε↓∪
␈βλ
␈↓ ∧}␈ε"1␈↓ ε∩␈ε"1␈↓ ε`␈ε"1
␈βλ%␈↓ ∧
␈ε"=␈ε6␈α
␈␈↓ ¬H␈ε"1␈αλ+␈↓ ε0␈ε"+␈↓ ε}␈ε"+␈↓ π*␈ε6↓␈αε↓␈αε↓
␈βλ9␈↓ ∧`␈∧λ9∧`αN␈↓ ε∩␈∧λ9ε∩α∩␈↓ ε`␈∧λ9ε`α∩
␈βλ>␈↓ ∧`␈ε"2␈↓ ∧x␈ε"ln␈↓ ¬≤␈ε"2␈↓ ε∩␈ε"4␈↓ ε`␈ε"9
␈βλ}␈↓ ∧q␈ε%2
␈β	ε␈↓ ∧
␈ε"=␈ε6␈α
␈␈↓ ∧\␈ε(→␈↓ ¬α␈ε"/(12␈↓ ¬J␈ε"ln␈↓ ¬n␈ε"2).
␈β	]␈↓ ↓H␈ε"By␈α(49)␈αw␈α␈e␈αtherefore␈αexpect␈αto␈αha␈α␈v␈α␈e␈αthe␈αappro␈α␈ximate␈αform␈α␈ula
␈β
/␈↓ ¬7␈ε%2
␈β
7␈↓ ∧p␈ε6␈␈ε(t␈↓ ¬!␈ε(→␈↓ ¬H␈ε"/(12␈↓ ε⊂␈ε"ln␈↓ ε4␈ε"2)␈ε6␈α
→␈α
␈␈↓ π4␈ε"ln␈↓ πX␈ε(N␈↓ πz␈ε";
␈β
s␈↓ π∀␈ε↓␈␈↓ λS␈ε↓↓
␈β␈↓ λB␈ε%2
␈β∩␈↓ ↓H␈ε"that␈α∂is,␈ε(␈α⊂t␈ε"␈α⊂sh␈α↓ould␈α∂be␈α⊂appro␈α␈ximately␈α∂equal␈α⊂to␈↓ π"␈ε"(12␈↓ πX␈ε"ln␈↓ π|␈ε"2)/␈↓ λ,␈ε(→␈↓ λg␈ε"ln␈↓ 	␈ε(N␈↓ 	.␈ε".␈α~This␈α∂constan␈α␈t
␈β7␈↓ αh␈ε%2
␈β=␈↓ ↓H␈ε"(12␈↓ ↓}␈ε"ln␈↓ α"␈ε"2)/␈↓ αR␈ε(→␈↓ βε␈ε"=␈α
0.842765913␈↓ ∧{␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬3␈ε"agrees␈α∞perfectly␈α∞with␈α∞the␈α∞empirical␈α
form␈α␈ula␈α∞(48)
␈βh␈↓ ↓H␈ε"obtained␈αearlier,␈αso␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈αgo␈α↓od␈αreason␈αto␈αbeliev␈α␈e␈αthat␈αthe␈αform␈α␈ula
␈β;␈↓ ¬Z␈ε"12␈↓ ε∧␈ε"ln␈↓ ε(␈ε"2
␈βS␈↓ ∧|␈ε(≤␈↓ ¬(␈ε6→␈↓ εJ␈ε"ln␈↓ εn␈ε(n␈ε"␈αλ+␈αλ1.47␈↓ 
p␈ε"(52)
␈β←␈↓ ¬
␈ε+n
␈βg␈↓ ¬Z␈∧g¬Zα`
␈βi␈↓ ε
␈ε%2
␈βm␈↓ ¬w␈ε(→
␈β
9␈↓ ↓H␈ε"indicates␈αthe␈αtrue␈αasymptotic␈αbeha␈α␈vior␈αof␈↓ ε]␈ε(≤␈↓ π␈ε"as␈ε(␈αn␈ε6␈α	!␈α
1␈ε".
␈β
E␈↓ εj␈ε+n
␈β
e␈↓ α␈ε"If␈αw␈α␈e␈αassume␈αthat␈α(52)␈αis␈αv␈α}alid,␈αw␈α␈e␈αobtain␈αthe␈αform␈α␈ula
␈β∞3␈↓ εG␈ε↓X
␈β∞<␈↓ ¬C␈ε↓∩␈↓ πf␈ε↓∪
␈β∞=␈↓ ∧←␈ε"12␈↓ ¬	␈ε"ln␈↓ ¬-␈ε"2
␈β∞U␈↓ βz␈ε(T␈↓ ∧-␈ε6→␈↓ ¬Y␈ε"ln␈↓ ¬⎇␈ε(n␈ε6␈αλ␈␈↓ π↓␈ε"β(␈ε(d␈ε")/␈ε(d␈↓ λ∧␈ε"+␈αλ1.47,␈↓ 
p␈ε"(53)
␈β∞b␈↓ ∧∂␈ε+n
␈β∞i␈↓ ∧←␈∧∞i∧←α`
␈β∞k␈↓ ¬∩␈ε%2
␈β∞o␈↓ ∧|␈ε(→
␈β∂ε␈↓ εH␈ε+d␈ε9∧␈ε+n
␈β∂V␈↓ ↓H␈ε"where␈αβ(␈ε(d␈ε")␈αis␈↓ β ␈ε/v␈α␈on␈αMangoldt's␈αfunction␈ε"␈αde|ned␈αby␈αthe␈αrules
␈β⊂%␈↓ εE␈ε+r
␈β⊂,␈↓ ∧;␈ε"ln␈↓ ∧←␈ε(p␈ε",␈↓ ¬C␈ε"if␈ε(␈αn␈ε"␈α
=␈↓ ε3␈ε(p␈↓ ε`␈ε"for␈ε(␈αp␈ε"␈αprime␈αand␈↓ λb␈ε(r␈↓ λ⎇␈ε6∃␈ε"␈α
1;
␈β⊂-␈↓ ∧%␈ε↓~
␈β⊂G␈↓ β)␈ε"β(␈ε(n␈ε")␈α
=␈↓ 
p␈ε"(54)
␈β⊂b␈↓ ∧;␈ε"0,␈↓ ¬C␈ε"otherwise.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"356␈↓ 
b␈ε"4.5.3
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"F␈α⎇or␈αexample,
␈βαv␈↓ ∧0␈ε↓∩␈↓ λh␈ε↓∪
␈βαw␈↓ βL␈ε"12␈↓ βv␈ε"ln␈↓ ∧~␈ε"2␈↓ ¬X␈ε"ln␈↓ ¬|␈ε"2␈↓ εJ␈ε"ln␈↓ εn␈ε"2␈↓ π<␈ε"ln␈↓ π`␈ε"2␈↓ λ.␈ε"ln␈↓ λR␈ε"5
␈ββ∂␈↓ αL␈ε(T␈↓ β~␈ε6→␈↓ ∧F␈ε"ln␈↓ ∧j␈ε"100␈ε6␈αλ␈␈↓ ε~␈ε6␈␈↓ π␈ε6␈␈↓ π}␈ε6␈␈↓ 	ε␈ε"+␈αλ1.47
␈ββ≠␈↓ αa␈ε%100
␈ββ#␈↓ βL␈∧β#βLα`␈↓ ¬X␈∧β#¬Xα6␈↓ εJ␈∧β#εJα6␈↓ π<␈∧β#π<α6␈↓ λ.␈∧β#λ.α6
␈ββ%␈↓ β␈␈ε%2
␈ββ(␈↓ βi␈ε(→␈↓ ¬j␈ε"2␈↓ ε\␈ε"4␈↓ πN␈ε"5␈↓ λ7␈ε"25
␈ββb␈↓ β~␈ε6→␈ε"␈α
(0.843)(4.605␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ0.347␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ0.173␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ0.322␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ0.064)␈αλ+␈αλ1.47
␈β∧_␈↓ β~␈ε6→␈ε"␈α
4.59;
␈β∧g␈↓ ↓H␈ε"the␈αexact␈αv␈α}alue␈αof␈↓ βm␈ε(T␈↓ ∧=␈ε"is␈α4.56.
␈β∧t␈↓ ∧↓␈ε%1␈α↓00
␈β¬∪␈↓ α␈ε"W␈α⎇e␈αcan␈α
also␈αestimate␈α
the␈αa␈α␈v␈α␈erage␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈αof␈α
division␈αsteps␈αwhen␈ε(␈α
u␈ε"␈α
and␈↓ 
←␈ε(v␈↓ 
|␈ε"are
␈β¬>␈↓ ↓H␈ε"both␈αuniformly␈αdistributed␈αbet␈α␈w␈α␈een␈α1␈αand␈↓ εg␈ε(N␈↓ π
␈ε",␈αby␈αcalculating
␈βεα␈↓ ε≤␈ε↓X
␈βε␈↓ ¬T␈ε"1
␈βε$␈↓ εy␈ε(T␈↓ π"␈ε".␈↓ 
p␈ε"(55)
␈βε0␈↓ π∞␈ε+n
␈βε8␈↓ ¬L␈∧ε8¬Lα#
␈βε=␈↓ ¬L␈ε(N
␈βεT␈↓ ¬y␈ε%1␈ε9∀␈ε+n␈ε9␈α␈∀␈↓ εV␈ε+N
␈βπ ␈↓ ↓H␈ε"Assuming␈αform␈α␈ula␈α(53),␈αexercise␈α27␈αsh␈α↓o␈α␈ws␈αthat␈αthis␈αsum␈αhas␈αthe␈αform
␈βπr␈↓ ¬!␈ε"12␈↓ ¬K␈ε"ln␈↓ ¬o␈ε"2
␈βλ
␈↓ ε␈ε"ln␈↓ ε/␈ε(N␈↓ εZ␈ε"+␈↓ πε␈ε(O␈↓ π#␈ε"(1),␈↓ 
p␈ε"(56)
␈βλ≡␈↓ ¬!␈∧λ≡¬!α`
␈βλ ␈↓ ¬T␈ε%2
␈βλ$␈↓ ¬>␈ε(→
␈βλl␈↓ ↓H␈ε"and␈α∞empirical␈α∂calculations␈α∞with␈α∂the␈α∂same␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α∂used␈α∂to␈α∞deriv␈α␈e␈α∂Eq.␈α∞4.5.2↑45
␈β	↔␈↓ ↓H␈ε"sh␈α↓o␈α␈w␈αgo␈α↓od␈αagreemen␈α␈t␈αwith␈αthe␈αform␈α␈ula
␈β	g␈↓ ¬%␈ε"12␈↓ ¬O␈ε"ln␈↓ ¬s␈ε"2
␈β	␈␈↓ ε∂␈ε"ln␈↓ ε3␈ε(N␈↓ ε↑␈ε"+␈αλ0.06.␈↓ 
p␈ε"(57)
␈β
∪␈↓ ¬%␈∧
∪¬%α`
␈β
∃␈↓ ¬W␈ε%2
␈β
→␈↓ ¬A␈ε(→
␈β
a␈↓ ↓H␈ε"Of␈α
course␈α
w␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈α
n␈α↓ot␈αy␈α␈et␈ε/␈α
pro␈α␈v␈α␈ed␈ε"␈α
an␈α␈ything␈αabout␈↓ πQ␈ε(T␈↓ λ¬␈ε"and␈↓ λI␈ε(≤␈↓ λu␈ε"in␈αgeneral;␈αso␈α
far␈α
w␈α␈e
␈β
n␈↓ πf␈ε+n␈↓ λW␈ε+n
␈β␈↓ ↓H␈ε"ha␈α␈v␈α␈e␈α∞only␈α∞been␈α∞considering␈α∞plausible␈α∞reasons␈α∂wh␈α␈y␈α∞the␈α∞abo␈α␈v␈α␈e␈α∞form␈α␈ulas␈α∞ough␈α␈t␈α∞to
␈β8␈↓ ↓H␈ε"h␈α↓old.␈α∂F␈α⎇ortunately␈α
it␈α
is␈αn␈α↓o␈α␈w␈α
possible␈α
to␈α
supply␈α
rigorous␈α
pro␈α↓ofs,␈αbased␈α
on␈α
a␈α
careful
␈βc␈↓ ↓H␈ε"analysis␈αby␈αsev␈α␈eral␈αmathematicians.
␈βλ␈↓ ε%␈ε%2
␈β∞␈↓ α␈ε"The␈α⊂leading␈α⊂coe}cien␈α␈t␈α⊃(12␈↓ ¬<␈ε"ln␈↓ ¬`␈ε"2)/␈↓ ε⊂␈ε(→␈↓ εF␈ε"in␈α⊃the␈α⊂abo␈α␈v␈α␈e␈α⊂form␈α␈ulas␈α⊂w␈α␈as␈α⊂established
␈β9␈↓ ↓H␈ε"|rst,␈α∞in␈α
independen␈α␈t␈α∞studies␈α
by␈α∞John␈α
D.␈↓ εO␈ε"Dixon␈α
and␈α∞Hans␈α
A.␈↓ 	∂␈ε"Heilbronn.␈α≠Dixon
␈βe␈↓ ↓H␈ε"[␈ε/J.␈α∂Num␈α␈ber␈α⊂Theory␈ε2␈α∂2␈ε"␈α∂(1970),␈α⊃414↑422]␈α∂dev␈α␈eloped␈α⊂the␈α∂theory␈α⊂of␈α∂the␈↓ 
∞␈ε(F␈↓ 
9␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α∂dis-
␈βq␈↓ 
%␈ε+n
␈β
⊂␈↓ ↓H␈ε"tributions␈α
to␈α
sh␈α↓o␈α␈w␈α∞that␈α
individual␈α
partial␈α∞quotien␈α␈ts␈α
are␈α
essen␈α␈tially␈α
independen␈α␈t
␈β
;␈↓ ↓H␈ε"of␈αeach␈αother␈αin␈αan␈αappropriate␈αsense,␈αand␈αpro␈α␈v␈α␈ed␈αthat␈αfor␈αall␈αpositiv␈α␈e␈ε(␈α∂␈ε"␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈β
H␈↓ ↓H␈ε↓␈␈↓ α{␈ε↓␈␈↓ ∧:␈ε↓↓␈↓ ¬λ␈ε↓␈␈↓ λg␈ε↓␈␈↓ 
k␈ε↓↓
␈β
]␈↓ ↓H␈ε↓␈␈↓ ¬λ␈ε↓␈
␈β
`␈↓ ∧)␈ε%2␈↓ ε↔␈ε%(1␈α↓/2)+␈ε+∂␈↓ 
>␈ε+∂␈ε%␈α↓/2␈↓ ≤␈ε%2
␈β
f␈↓ ↓T␈ε(T␈↓ ↓m␈ε"(␈ε(m␈ε",␈ε(␈αεn␈ε")␈ε6␈αε␈␈↓ β	␈ε"(12␈↓ β?␈ε"ln␈↓ βc␈ε"2)/␈↓ ∧∪␈ε(→␈↓ ∧N␈ε"ln␈↓ ∧r␈ε(n␈↓ ¬~␈ε"<␈απ(␈↓ ¬Q␈ε"ln␈↓ ¬u␈ε(n␈↓ ε␈ε")␈↓ π
␈ε"except␈αλfor␈↓ λ/␈ε"e␈↓ λ?␈ε"x␈↓ λS␈ε"p␈↓ λu␈ε6␈␈ε(c␈ε"␈α↓(␈ε(∂␈ε"␈α␈)(␈↓ 	[␈ε"log␈↓ 
∂␈ε(N␈↓ 
2␈ε")␈↓ 
y␈ε(N
␈β∞⊃␈↓ ↓H␈ε"v␈α}alues␈αof␈ε(␈α
m␈ε"␈α
and␈ε(␈α
n␈ε"␈αin␈α
the␈α
range␈α
1␈ε6␈α∀␈ε(␈αm␈ε"␈α<␈ε(␈αn␈ε6␈α∀␈↓ π8␈ε(N␈↓ π[␈ε",␈α
where␈ε(␈α
c␈ε"(␈ε(∂␈ε")␈α>␈α0.␈α∩Heilbronn's
␈β∞=␈↓ ↓H␈ε"approach␈α
w␈α␈as␈α
completely␈α
di{eren␈α␈t,␈αw␈α␈orking␈α
en␈α␈tirely␈α
with␈α
in␈α␈tegers␈α
instead␈α
of␈α
con-
␈β∞h␈↓ ↓H␈ε"tin␈α␈uous␈αv␈α}ariables.␈α⊂His␈αidea,␈αwhich␈αis␈αpresen␈α␈ted␈αin␈αsligh␈α␈tly␈αm␈α↓odi|ed␈αform␈αin␈αexer-
␈β∂∪␈↓ ↓H␈ε"cises␈α
33␈α
and␈α
34,␈α
is␈α
based␈α
on␈α
the␈α
fact␈α
that␈↓ εD␈ε(≤␈↓ εp␈ε"can␈α
be␈α
related␈α
to␈α
the␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α	of␈α
w␈α␈a␈α␈ys
␈β∂∨␈↓ εQ␈ε+n
␈β∂>␈↓ ↓H␈ε"to␈α	represen␈α␈t␈ε(␈α
n␈ε"␈α
in␈α
a␈α
certain␈α	manner.␈α⊂F␈α⎇urtherm␈α↓ore,␈α
his␈α
paper␈α
[␈ε/Num␈α␈ber␈α
Theory␈α	and
␈β∂i␈↓ ↓H␈ε/Analysis␈ε",␈α
ed.␈α∞by␈α
Paul␈α
T␈α⎇ur␈↓ ∧`␈ε"∞␈↓ ∧`␈ε"a␈↓ ∧r␈ε"n␈α
(New␈α∞Y␈α⎇ork:␈α∞Plen␈α␈um,␈α∞1969),␈α∞87↑96]␈α
sh␈α↓o␈α␈ws␈α
that␈α
the
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈ε"distribution␈α
of␈αindividual␈α
partial␈α
quotien␈α␈ts␈α1,␈α2,␈↓ π3␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ πh␈ε"that␈α
w␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈α
discussed␈α
abo␈α␈v␈α␈e
␈β⊂@␈↓ ↓H␈ε"actually␈α
applies␈α
to␈α
the␈α
en␈α␈tire␈α
collection␈α
of␈α
partial␈α
quotien␈α␈ts␈α	belonging␈α
to␈α
the␈α
frac-
␈β⊂k␈↓ ↓H␈ε"tions␈αha␈α␈ving␈α
a␈α
giv␈α␈en␈α
den␈α↓ominator;␈α
this␈α
is␈α
a␈α
sharper␈α
form␈αof␈α
Theorem␈α
E␈↓ 
/␈ε".␈α∪A␈αstill
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε"sharper␈αresult␈α
w␈α␈as␈αobtained␈αsev␈α␈eral␈αy␈α␈ears␈αlater␈αby␈αJ.␈αW.␈↓ λ5␈ε"Porter␈α[␈ε/Mathematik␈α}a␈ε2␈α
22
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.3␈↓ λM␈ε"'␈↓ 
v␈ε"357
␈β↓\␈↓ ¬y␈ε∞ANA␈α↓L␈α⎇Y␈α↓S␈α␈IS␈α	OF␈α
E␈α↓UCL␈α↓ID␈↓ λW␈ε∞S␈α	A␈α↓L␈α␈GORIT␈α↓HM
␈βα"␈↓ ↓H␈ε"(1975),␈α20↑28],␈αwh␈α↓o␈αestablished␈αthat
␈βαm␈↓ ∧o␈ε"12␈↓ ¬→␈ε"ln␈↓ ¬=␈ε"2
␈βα}␈↓ πV␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈α↓/6+␈ε+∂
␈ββ¬␈↓ ∧∩␈ε(≤␈↓ ∧=␈ε"=␈↓ ¬Y␈ε"ln␈↓ ¬⎇␈ε(n␈ε"␈αλ+␈↓ εG␈ε(C␈↓ εl␈ε"+␈↓ π_␈ε(O␈↓ π4␈ε"(␈↓ π@␈ε(n␈↓ λM␈ε"),␈↓ 
p␈ε"(58)
␈ββ∩␈↓ ∧∨␈ε+n
␈ββ~␈↓ ∧o␈∧β~∧oα`
␈ββ≤␈↓ ¬"␈ε%2
␈ββ∨␈↓ ¬␈ε(→
␈ββa␈↓ ↓H␈ε"where␈↓ α0␈ε(C␈↓ αV␈ε"=␈α
1.4670780794␈↓ ∧Z␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬⊂␈ε"is␈αthe␈αconstan␈α␈t
␈β∧∪␈↓ βK␈ε↓␈␈↓ ∧x␈ε↓↓␈↓ ¬ε␈ε↓␈␈↓ λE␈ε↓↓
␈β∧,␈↓ ∧g␈ε%2␈↓ π+␈ε%2␈↓ πL␈ε90
␈β∧-␈↓ 	␈ε%1
␈β∧2␈↓ βY␈ε"(6␈↓ β⎇␈ε"ln␈↓ ∧!␈ε"2)/␈↓ ∧Q␈ε(→␈↓ ¬∀␈ε"3␈↓ ¬,␈ε"ln␈↓ ¬P␈ε"2␈αλ+␈αλ4␈↓ ε(␈ε(␈
␈↓ εE␈ε6␈␈ε"␈αλ24␈↓ π∃␈ε(→␈↓ π<␈ε(⊂␈↓ πU␈ε"(2)␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ2␈↓ λ[␈ε6␈␈↓ 	∨␈ε";
␈β∧C␈↓ 	␈ε%2
␈β∧F␈↓ 	␈∧∧F	α⊂
␈β¬β␈↓ ↓H␈ε"see␈α∞D.␈α∞E.␈↓ αf␈ε"Kn␈α␈uth,␈ε/␈α∂Computers␈α∂and␈α∞Math.␈α∞with␈α∞Applic.␈ε2␈α∂2␈ε"␈α∞(1976),␈α∂137↑139.␈α⊗Th␈α␈us
␈β¬.␈↓ ↓H␈ε"the␈αconjecture␈α(48)␈αis␈αfully␈αpro␈α␈v␈α␈ed.
␈β¬Y␈↓ α␈ε"The␈α∂a␈α␈v␈α␈erage␈α∂running␈α∂time␈α∂for␈α∂Euclid's␈α∂algorithm␈α∂on␈α∂m␈α␈ultiple-precision␈α∞in-
␈βε∧␈↓ ↓H␈ε"tegers,␈αusing␈αclassical␈αalgorithms␈αfor␈αarithmetic,␈αw␈α␈as␈αsh␈α↓o␈α␈wn␈αto␈αbe␈αof␈αorder
␈βε6␈↓ βl␈ε↓␈␈↓ ∧n␈ε↓␈␈↓ π'␈ε↓↓␈↓ π5␈ε↓↓
␈βεU␈↓ βz␈ε"1␈αλ+␈↓ ∧@␈ε"log␈↓ ∧|␈ε"ma␈↓ ¬,␈ε"x␈↓ ¬@␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ ¬p␈ε(v␈↓ εβ␈ε")/␈↓ ε!␈ε"gcd␈↓ εW␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ πλ␈ε(v␈↓ π≠␈ε")␈↓ πI␈ε"log␈↓ π⎇␈ε"min␈↓ λ9␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ λj␈ε(v␈↓ λ⎇␈ε")
␈βπ&␈↓ ↓H␈ε"by␈αG.␈αE.␈↓ α[␈ε"Collins,␈αin␈ε/␈αSIAM␈αJ.␈αComputing␈ε2␈α3␈ε"␈α(1974),␈α1↑10.
␈βπd␈↓ ↓H␈ε2Summary.␈ε"␈α∩W␈α⎇e␈αha␈α␈v␈α␈e␈α
found␈α
that␈α
the␈α
w␈α␈orst␈α
case␈αof␈α
Euclid's␈α
algorithm␈α
occurs␈α
when
␈βλ∂␈↓ ↓H␈ε"its␈αinputs␈ε(␈αu␈ε"␈αand␈↓ βN␈ε(v␈↓ βm␈ε"are␈αconsecutiv␈α␈e␈αFibonacci␈αn␈α␈um␈α␈bers␈α(Theorem␈αF␈↓ 	W␈ε");␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber
␈βλ;␈↓ ↓H␈ε"of␈α∞division␈α∞steps␈α
when␈↓ ∧6␈ε(v␈↓ ∧V␈ε"=␈ε(␈α∞n␈ε"␈α
will␈α∞nev␈α␈er␈α∞exceed␈ε6␈α∞d␈ε"4.8␈↓ λ␈ε"log␈↓ λ←␈ε(N␈↓ 	␈ε6␈␈ε"␈α
0.32␈ε6e␈ε".␈α⊗W␈α⎇e␈α
ha␈α␈v␈α␈e
␈βλJ␈↓ λ9␈ε%10
␈βλf␈↓ ↓H␈ε"determined␈αthe␈αfrequency␈αof␈αthe␈αv␈α}alues␈αof␈αv␈α}arious␈αpartial␈αquotien␈α␈ts,␈αsh␈α↓o␈α␈wing,␈αfor
␈β	⊃␈↓ ↓H␈ε"example,␈α∂that␈α∂the␈α∂division␈α∞step␈α∂|nds␈ε6␈α∂b␈ε(u␈ε"/␈↓ εY␈ε(v␈↓ εl␈ε6c␈ε"␈α∞=␈α∂1␈α∂about␈α∞41␈α∂percen␈α␈t␈α∂of␈α∂the␈α∞time
␈β	<␈↓ ↓H␈ε"(Theorem␈αE␈↓ ββ␈ε").␈α∂And,␈α|nally,␈αthe␈αtheorems␈αof␈αHeilbronn␈αand␈αPorter␈α
pro␈α␈v␈α␈e␈αthat␈αthe
␈β	g␈↓ ↓H␈ε"a␈α␈v␈α␈erage␈αn␈α␈um␈α␈ber␈↓ βK␈ε(T␈↓ ∧␈ε"of␈αdivision␈αsteps␈αwhen␈↓ εg␈ε(v␈↓ πβ␈ε"=␈ε(␈αn␈ε"␈αis␈αappro␈α␈ximately
␈β	t␈↓ β←␈ε+n
␈β
~␈↓ ∧)␈ε↓␈␈↓ ¬h␈ε↓↓
␈β
0␈↓ ¬W␈ε%2
␈β
8␈↓ ∧7␈ε"(12␈↓ ∧m␈ε"ln␈↓ ¬⊃␈ε"2)/␈↓ ¬A␈ε(→␈↓ ¬|␈ε"ln␈↓ ε ␈ε(n␈ε6␈α	→␈ε"␈α
1.9405␈↓ πW␈ε"log␈↓ λ+␈ε(n␈ε",
␈β
H␈↓ λ¬␈ε%1␈α↓0
␈β	␈↓ ↓H␈ε"min␈α␈us␈αa␈αcorrection␈αterm␈αbased␈αon␈αthe␈αdivisors␈αof␈ε(␈αn␈ε"␈αas␈αsh␈α↓o␈α␈wn␈αin␈αEq.␈α(53).
␈βπ␈↓ ↓H␈ε=E␈α␈XERCISES
␈βR␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βT␈↓ ↓g␈ε31.␈↓ α␈ε#[␈ε)20␈↓ α;␈ε#]␈α⊗S␈α␈ince␈α∂th␈α␈e␈α⊂q␈α␈uo␈α␈ti␈α↓e␈α␈n␈α␈t␈ε7␈α∂b␈ε)u␈ε#␈α↓/␈↓ ¬*␈ε)v␈↓ ¬<␈ε7c␈ε#␈α∂i␈α↓s␈α∂equ␈α␈al␈α∂to␈α∂un␈α␈i␈α↓t␈α␈y␈α∂o␈α}v␈α␈er␈α∂40␈α∂p␈α␈ercen␈α}t␈α⊂o␈α␈f␈α⊂th␈α␈e␈α⊂t␈α␈i␈α↓m␈α␈e␈α⊂in
␈β|␈↓ ↓H␈ε#Algo␈α␈rithm␈α4.5.2A␈↓ βD␈ε#,␈αit␈αma␈α}y␈αb␈α␈e␈αa␈α␈dv␈α}a␈α␈n␈α␈ta␈α␈geo␈α␈us␈αo␈α␈n␈αsome␈αcomp␈α␈ut␈α␈ers␈αto␈αmak␈α}e␈αa␈αtest␈αfor␈αth␈α␈is
␈β
#␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈ase␈α
a␈α␈nd␈α	to␈α
a␈α}v␈α␈oid␈α	the␈α
d␈α␈ivision␈α	when␈α	the␈α	qu␈α␈otien␈α␈t␈α	i␈α↓s␈α
u␈α␈nit␈α␈y␈α␈.␈α∂Is␈α
th␈α␈e␈α
follo␈α␈wing␈↓ 
2␈ε#pro␈α␈gram
␈β
%␈↓ 	u␈ε∃MIX
␈β
K␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈r␈αE␈α↓u␈α␈clid's␈αalgo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αm␈α↓o␈α␈re␈αe}c␈α␈i␈α↓en␈α}t␈αtha␈α␈n␈αProg␈α␈ram␈α4␈α␈.␈α↓5␈α␈.␈α↓2␈α␈A?
␈β∞∞␈↓ ε~␈ε#r␈α␈X␈↓ εH␈ε7␈ ␈ε)␈α	u␈ε#␈α↓.
␈β∞⊂␈↓ ∧o␈ε∃LDX␈↓ ¬D␈ε∃U
␈β∞7␈↓ ∧o␈ε∃JMP␈↓ ¬D␈ε∃2F
␈β∞]␈↓ ε~␈ε)v␈↓ ε4␈ε7␈ ␈↓ ε←␈ε#rX␈↓ π∧␈ε#.
␈β∞←␈↓ ∧<␈ε∃1H␈↓ ∧o␈ε∃STX␈↓ ¬D␈ε∃V
␈β∂∧␈↓ ε~␈ε#r␈α␈A␈↓ εH␈ε7␈ ␈ε)␈α	u␈ε7␈αλ␈␈↓ π6␈ε)v␈↓ πH␈ε#.
␈β∂ε␈↓ ∧o␈ε∃SUB␈↓ ¬D␈ε∃V
␈β∂.␈↓ ∧o␈ε∃CMPA␈↓ ¬D␈ε∃V
␈β∂T␈↓ ε~␈ε#r␈α␈A␈α↓X␈↓ ε`␈ε7␈ ␈↓ π
␈ε#rA␈↓ π/␈ε#.
␈β∂V␈↓ ∧o␈ε∃SRAX␈↓ ¬D␈ε∃5
␈β∂{␈↓ ε~␈ε#Is␈ε)␈αu␈ε7␈αλ␈␈↓ π␈ε)v␈↓ π≠␈ε#<␈↓ πF␈ε)v␈↓ πW␈ε#?
␈β∂⎇␈↓ ∧o␈ε∃JL␈↓ ¬D␈ε∃2F
␈β⊂#␈↓ ε~␈ε#r␈α␈X␈↓ εH␈ε7␈ ␈↓ εr␈ε#rAX␈↓ π5␈ε#mo␈α␈d␈↓ πy␈ε)v␈↓ λ␈ε#.
␈β⊂%␈↓ ∧o␈ε∃DIV␈↓ ¬D␈ε∃V
␈β⊂J␈↓ ε~␈ε#r␈α␈A␈↓ εH␈ε7␈ ␈↓ εr␈ε)v␈↓ π∧␈ε#.
␈β⊂L␈↓ ∧<␈ε∃2H␈↓ ∧o␈ε∃LDA␈↓ ¬D␈ε∃V
␈β⊂r␈↓ ε~␈ε#Do␈α␈ne␈αif␈↓ π∞␈ε#rX␈↓ π<␈ε#=␈α
0.
␈β⊂t␈↓ ∧o␈ε∃JXNZ␈↓ ¬D␈ε∃1B
␈β⊂y␈↓ λ&␈∧⊂yλ&≠∂
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"358␈↓ 
b␈ε"4.5.3
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα%␈↓ ↓g␈ε32.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈1␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Ev␈α}alua␈α␈te␈αthe␈α
matrix␈αp␈α␈rod␈α␈uct
␈βαY␈↓ ∧Q␈ε↓⊂␈↓ ¬F␈ε↓⊃␈↓ ¬X␈ε↓⊂␈↓ εL␈ε↓⊃␈↓ π⊂␈ε↓⊂␈↓ λλ␈ε↓⊃
␈βαm␈↓ ∧g␈ε)x␈↓ ¬1␈ε#1␈↓ ¬m␈ε)x␈↓ ε8␈ε#1␈↓ π&␈ε)x␈↓ πs␈ε#1
␈βαy␈↓ ∧y␈ε&1␈↓ ε␈ε&2␈↓ π8␈ε,n
␈βββ␈↓ εd␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ λ~␈ε#.
␈ββ~␈↓ ∧o␈ε#1␈↓ ¬1␈ε#0␈↓ ¬v␈ε#1␈↓ ε8␈ε#0␈↓ π0␈ε#1␈↓ πs␈ε#0
␈ββj␈↓ ↓g␈ε33.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈1␈↓ α\␈ε#]␈α⊗W␈α↓h␈α␈at␈αis␈αthe␈α
v␈α}alue␈α
of
␈β∧≤␈↓ ∧1␈ε↓0␈↓ λL␈ε↓1
␈β∧2␈↓ ∧k␈ε)x␈↓ ¬W␈ε#1␈↓ ε>␈ε#0␈↓ π≥␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ λ⊂␈ε#0
␈β∧=␈↓ ∧⎇␈ε&1
␈β∧Y␈↓ ∧R␈ε7␈␈↓ ∧s␈ε#1␈↓ ¬O␈ε)x␈↓ ε>␈ε#1␈↓ λ⊂␈ε#0
␈β∧]␈↓ ∧1␈ε↓B␈↓ λL␈ε↓C
␈β∧e␈↓ ¬a␈ε&2
␈β∧s␈↓ ∧1␈ε↓B␈↓ λL␈ε↓C
␈β∧z␈↓ λ∀␈ε#.
␈β¬↓␈↓ ∧s␈ε#0␈↓ ¬6␈ε7␈␈↓ ¬W␈ε#1␈↓ ε6␈ε)x␈↓ π(␈ε#1
␈β¬λ␈↓ ∧1␈ε↓B␈↓ λ∀␈ε#.␈↓ λL␈ε↓C
␈β¬␈↓ εH␈ε&3
␈β¬∩␈↓ β⎇␈ε#det␈↓ λj␈ε#?
␈β¬⊗␈↓ λ∀␈ε#.
␈β¬≡␈↓ ∧1␈ε↓B␈↓ λL␈ε↓C
␈β¬(␈↓ ε≥␈ε7␈␈↓ ε>␈ε#1
␈β¬0␈↓ ∧w␈ε#.
␈β¬3␈↓ ∧1␈ε↓@␈↓ λL␈ε↓A
␈β¬7␈↓ π≥␈ε#.
␈β¬>␈↓ ∧w␈ε#.
␈β¬B␈↓ π+␈ε#.
␈β¬M␈↓ ∧w␈ε#.␈↓ π:␈ε#.␈↓ λ⊂␈ε#1
␈β¬t␈↓ ∧s␈ε#0␈↓ ¬W␈ε#0␈↓ ε3␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ πε␈ε7␈␈↓ π(␈ε#1␈↓ λε␈ε)x
␈βε␈↓ λ→␈ε,n
␈βεF␈↓ ↓g␈ε34.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈αEq.␈α(8).
␈βεx␈↓ ↓g␈ε35.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈25␈↓ αt␈ε#]␈α⊗Let␈↓ βP␈ε)x␈↓ βr␈ε#,␈↓ ∧ε␈ε)x␈↓ ∧(␈ε#,␈↓ ∧<␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ∧n␈ε#be␈αa␈αseq␈α␈ue␈α␈nce␈αo␈α␈f␈αrea␈α␈l␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈αth␈α␈at␈αare␈αea␈α␈ch␈αgr␈α␈eater␈αth␈α␈an
␈βπ∧␈↓ βb␈ε&1␈↓ ∧→␈ε&2
␈βπ ␈↓ ↓H␈ε#so␈α␈me␈α
positiv␈α␈e␈α
real␈αn␈α}um␈α}ber␈ε)␈α
∂␈ε#.␈α∂Pro␈α␈v␈α␈e␈α
tha␈α␈t␈αth␈α␈e␈αin|␈α␈nite␈α
con␈α}ti␈α↓n␈α}ue␈α␈d␈αfra␈α␈ction␈ε7␈α
?␈↓ 	d␈ε)x␈↓ 
ε␈ε#,␈↓ 
∀␈ε)x␈↓ 
6␈ε#,␈↓ 
E␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ 
q␈ε7?␈ε#␈α	=
␈βπ+␈↓ 	v␈ε&1␈↓ 
'␈ε&2
␈βπG␈↓ ↓H␈ε#lim␈↓ αB␈ε7?␈↓ αS␈ε)x␈↓ αu␈ε#,␈↓ β∧␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ β0␈ε#,␈↓ β?␈ε)x␈↓ βc␈ε7?␈ε#␈α
ex␈α␈ists.␈α∀Sho␈α␈w␈α
a␈α␈lso␈α
th␈α␈at␈ε7␈α
?␈↓ εh␈ε)x␈↓ π
␈ε#,␈↓ π→␈ε)x␈↓ π:␈ε#,␈↓ πI␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ πv␈ε7?␈ε#␈αn␈α␈eed␈αn␈α↓o␈α␈t␈α
ex␈α␈i␈α↓s␈α␈t␈α
if␈α
w␈α␈e␈α
a␈α␈ssume
␈βπS␈↓ ↓v␈ε,n␈ε:!1␈↓ αf␈ε&1␈↓ βQ␈ε,n␈↓ ε{␈ε&1␈↓ π+␈ε&2
␈βπo␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈nly␈αth␈α␈at␈↓ αY␈ε)x␈↓ βα␈ε#>␈α
0␈αfor␈αa␈α␈ll␈↓ ∧+␈ε)j␈↓ ∧:␈ε#.
␈βπ{␈↓ αk␈ε,j
␈βλ!␈↓ ↓g␈ε36.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈3␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈α
th␈α␈at␈α
th␈α␈e␈↓ ∧W␈ε#regu␈α␈l␈α↓a␈α␈r␈α
con␈α}ti␈α↓n␈α}ued␈α	fraction␈α	exp␈α␈an␈α␈sion␈α
o␈α␈f␈αa␈α
n␈α}um␈α}ber␈α
is␈ε0␈α
un␈α␈ique
␈βλI␈↓ ↓H␈ε#in␈αth␈α␈e␈α
fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈α
se␈α␈nse:␈α∞If␈↓ ∧=␈ε)B␈↓ ∧d␈ε#,␈↓ ∧{␈ε)B␈↓ ¬"␈ε#,␈↓ ¬8␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬k␈ε#are␈αpo␈α␈siti␈α↓v␈α}e␈α
in␈α}teger␈α␈s,␈α∞th␈α␈en␈αth␈α␈e␈α
in␈α␈|n␈α␈i␈α↓te␈αco␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed
␈βλU␈↓ ∧U␈ε&1␈↓ ¬∩␈ε&2
␈βλq␈↓ ↓H␈ε#fra␈α␈ction␈ε7␈α?␈↓ αV␈ε)B␈↓ α⎇␈ε#,␈↓ β␈ε)B␈↓ β3␈ε#,␈↓ βB␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ βn␈ε7?␈ε#␈α
is␈α
a␈α␈n␈α
irratio␈α␈nal␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈↓ εm␈ε)X␈↓ π→␈ε#b␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α0␈α
a␈α␈nd␈α1␈α
whose␈α
re␈α␈gular␈αcon␈α␈-
␈βλ|␈↓ αn␈ε&1␈↓ β$␈ε&2
␈β	_␈↓ ↓H␈ε#tin␈α}ued␈αfraction␈αha␈α␈s␈↓ βk␈ε)A␈↓ ∧"␈ε#=␈↓ ∧P␈ε)B␈↓ ¬π␈ε#for␈α
a␈α␈l␈α↓l␈ε)␈α
n␈ε7␈α
∃␈ε#␈α
1␈α␈;␈α∂a␈α␈nd␈αi␈α↓f␈↓ πH␈ε)B␈↓ πo␈ε#,␈↓ λε␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ λ2␈ε#,␈↓ λI␈ε)B␈↓ 	π␈ε#are␈αpositiv␈α␈e␈α
in␈α}teger␈α␈s
␈β	$␈↓ ∧β␈ε,n␈↓ ∧h␈ε,n␈↓ π`␈ε&1␈↓ λa␈ε,m
␈β	@␈↓ ↓H␈ε#with␈↓ α∩␈ε)B␈↓ αL␈ε#>␈α	1,␈α
th␈α␈en␈α	th␈α␈e␈α	regu␈α␈lar␈α	con␈α}tin␈α␈u␈α␈ed␈α	frac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α	for␈↓ πL␈ε)X␈↓ πt␈ε#=␈ε7␈α
?␈↓ λ/␈ε)B␈↓ λV␈ε#,␈↓ λe␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ 	⊃␈ε#,␈↓ 	 ␈ε)B␈↓ 	Q␈ε7?␈ε#␈α	ha␈α␈s␈↓ 
$␈ε)A␈↓ 
X␈ε#=␈↓ α␈ε)B
␈β	K␈↓ α)␈ε,m␈↓ λG␈ε&1␈↓ 	8␈ε,m␈↓ 
<␈ε,n␈↓ ~␈ε,n
␈β	g␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈r␈α1␈ε7␈α	∀␈ε)␈α
n␈ε7␈α
∀␈ε)␈α	m␈ε#.
␈β
~␈↓ ↓g␈ε37.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈6␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Fi␈α↓n␈α␈d␈απall␈αλperm␈α}utat␈α␈i␈α↓o␈α␈ns␈ε)␈αλp␈ε#␈α␈(␈α↓1␈α␈)␈ε)p␈ε#(2)␈↓ ε/␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ ε[␈ε)p␈ε#(␈ε)n␈ε#)␈↓ π≡␈ε#of␈αλth␈α␈e␈αλin␈α␈t␈α␈egers␈ε7␈απf␈ε#1,␈α¬2,␈↓ 	?␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ 	k␈ε#,␈ε)␈αεn␈ε7g␈ε#␈αλsu␈α␈ch␈απtha␈α␈t
␈β
A␈↓ ↓H␈ε)Q␈↓ ↓t␈ε#(␈↓ ↓␈␈ε)x␈↓ α!␈ε#,␈↓ α0␈ε)x␈↓ αR␈ε#,␈↓ α`␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ β
␈ε#,␈↓ β≤␈ε)x␈↓ β@␈ε#)␈α
=␈↓ β␈␈ε)Q␈↓ ∧,␈ε#(␈↓ ∧7␈ε)x␈↓ ∧z␈ε#,␈↓ ¬λ␈ε)x␈↓ ¬K␈ε#,␈↓ ¬Z␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ επ␈ε#,␈↓ ε∃␈ε)x␈↓ ε[␈ε#)␈αh␈α↓old␈α␈s␈αfor␈αall␈↓ λ+␈ε)x␈↓ λM␈ε#,␈↓ λa␈ε)x␈↓ 	β␈ε#,␈↓ 	_␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ 	D␈ε#,␈↓ 	X␈ε)x␈↓ 	⎇␈ε#.
␈β
M␈↓ ↓b␈ε,n␈↓ α∩␈ε&1␈↓ αB␈ε&2␈↓ β.␈ε,n␈↓ ∧→␈ε,n␈↓ λ>␈ε&1␈↓ λt␈ε&2␈↓ 	k␈ε,n
␈β
N␈↓ ∧I␈ε,p␈ε&(1)␈↓ ¬≠␈ε,p␈ε&(2␈α␈)␈↓ ε(␈ε,p␈ε&(␈ε,␈α␈n␈ε&)
␈β
t␈↓ ↓g␈ε38.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Sho␈α␈w␈αtha␈α␈t␈ε7␈α
␈␈ε#1/␈↓ ∧a␈ε)X␈↓ ¬~␈ε#=␈ε7␈α?␈↓ ¬X␈ε)A␈↓ εα␈ε#,␈↓ ε⊃␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ ε=␈ε#,␈↓ εL␈ε)A␈↓ εs␈ε#,␈ε7␈αε␈␈↓ π#␈ε)X␈↓ πB␈ε7?␈ε#,␈α
wh␈α␈ene␈α␈v␈α␈er␈↓ λ|␈ε)X␈↓ 	6␈ε#is␈α
d␈α␈e|␈α␈ned␈α␈,␈α
in␈αthe
␈β
␈␈↓ ∧⎇␈ε,n␈↓ ¬p␈ε,n␈↓ εd␈ε&1␈↓ 	_␈ε,n
␈β≠␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈gula␈α␈r␈αc␈α␈on␈α␈t␈α␈i␈α↓n␈α}ued␈α
fraction␈α
pro␈α␈cess.
␈βN␈↓ ↓g␈ε39.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈1␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Sho␈α␈w␈αtha␈α␈t␈αcon␈α}tin␈α␈ue␈α␈d␈αfrac␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αsa␈α␈ti␈α↓sfy␈α
the␈αfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈αiden␈α}ti␈α↓ties:
␈β}␈↓ α␈ε6?␈↓ β.␈ε6?␈↓ βt␈ε6?␈↓ π ␈ε6?
␈β␈↓ ↓e␈ε#a)␈↓ α≡␈ε)x␈↓ α@␈ε#,␈↓ αO␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ α{␈ε#,␈↓ β
␈ε)x␈↓ βJ␈ε#=␈↓ ∧ε␈ε)x␈↓ ∧(␈ε#,␈↓ ∧7␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ ∧c␈ε#,␈↓ ∧r␈ε)x␈↓ ¬≤␈ε#+␈ε7␈αλ?␈↓ ¬U␈ε)x␈↓ ε ␈ε#,␈↓ ε/␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ε[␈ε#,␈↓ εj␈ε)x␈↓ π∂␈ε7?␈↓ π2␈ε#,␈↓ π⎇1␈ε7␈α	∀␈↓ λB␈ε)k␈↓ λ↑␈ε7∀␈ε)␈α	n␈ε#␈α↓;
␈β␈↓ α1␈ε&1␈↓ β≤␈ε,n␈↓ ∧→␈ε&1␈↓ ¬∧␈ε,k␈↓ ¬h␈ε,k␈↓ ¬w␈ε&+1␈↓ ε⎇␈ε,n
␈β/␈↓ ↓c␈ε#b)␈↓ α␈ε7?␈ε#0␈α␈,␈↓ α<␈ε)x␈↓ α↑␈ε#,␈↓ αm␈ε)x␈↓ β∞␈ε#,␈↓ β≥␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ βJ␈ε#,␈↓ βX␈ε)x␈↓ β⎇␈ε7?␈ε#␈α	=␈↓ ∧B␈ε)x␈↓ ∧k␈ε#+␈ε7␈απ?␈↓ ¬$␈ε)x␈↓ ¬F␈ε#,␈↓ ¬T␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ε↓␈ε#,␈↓ ε⊂␈ε)x␈↓ ε4␈ε7?␈ε#,␈ε)␈↓ π⊃n␈ε7␈α	∃␈ε#␈α
1;
␈β:␈↓ αO␈ε&1␈↓ α␈␈ε&2␈↓ βk␈ε,n␈↓ ∧T␈ε&1␈↓ ¬6␈ε&2␈↓ ε"␈ε,n
␈β↑␈↓ ↓g␈ε#c)␈↓ α␈ε7?␈↓ α≥␈ε)x␈↓ α>␈ε#,␈↓ αM␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ αz␈ε#,␈↓ βλ␈ε)x␈↓ βS␈ε#,␈↓ βb␈ε)x␈↓ ∧¬␈ε#,␈α¬0,␈↓ ∧3␈ε)x␈↓ ∧}␈ε#,␈↓ ¬
␈ε)x␈↓ ¬W␈ε#,␈↓ ¬f␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ε∪␈ε#,␈↓ ε!␈ε)x␈↓ εF␈ε7?
␈βi␈↓ α/␈ε&1␈↓ β≠␈ε,k␈↓ β*␈ε:␈␈ε&1␈↓ βu␈ε,k␈↓ ∧E␈ε,k␈↓ ∧T␈ε&+␈α↓1␈↓ ¬∨␈ε,k␈↓ ¬.␈ε&+2␈↓ ε4␈ε,n
␈β
¬␈↓ ∧A␈ε#=␈ε7␈α
?␈↓ ∧|␈ε)x␈↓ ¬≡␈ε#,␈↓ ¬-␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬Y␈ε#,␈↓ ¬h␈ε)x␈↓ ε3␈ε#,␈↓ εB␈ε)x␈↓ εl␈ε#+␈↓ π∀␈ε)x␈↓ π←␈ε#,␈↓ πn␈ε)x␈↓ λ9␈ε#,␈↓ λH␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ λt␈ε#,␈↓ 	β␈ε)x␈↓ 	(␈ε7?␈ε#␈α␈,␈↓ 
∧1␈ε7␈α	∀␈↓ 
H␈ε)k␈↓ 
d␈ε#<␈ε)␈α
n␈ε#;
␈β
⊃␈↓ ¬∂␈ε&1␈↓ ¬z␈ε,k␈↓ ε	␈ε:␈␈ε&␈α↓1␈↓ εT␈ε,k␈↓ π'␈ε,k␈↓ π6␈ε&+1␈↓ λ␈ε,k␈↓ λ∂␈ε&+␈α↓2␈↓ 	∃␈ε,n
␈β
4␈↓ ↓c␈ε#d)␈↓ α␈ε#1␈ε7␈απ␈␈αλ?␈↓ α]␈ε)x␈↓ α␈␈ε#,␈↓ β∞␈ε)x␈↓ β0␈ε#,␈↓ β>␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ βk␈ε#,␈↓ βz␈ε)x␈↓ ∧≡␈ε7?␈ε#␈α	=␈ε7␈α
?␈ε#␈α␈1,␈↓ ¬∪␈ε)x␈↓ ¬<␈ε7␈␈ε#␈αλ1␈α␈,␈↓ ε∧␈ε)x␈↓ ε&␈ε#,␈↓ ε5␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ εa␈ε#,␈↓ εp␈ε)x␈↓ π∃␈ε7?␈ε#␈α␈,␈ε)␈↓ πqn␈ε7␈α
∃␈ε#␈α	1.
␈β
@␈↓ αp␈ε&1␈↓ β ␈ε&2␈↓ ∧␈ε,n␈↓ ¬%␈ε&1␈↓ ε↔␈ε&2␈↓ πα␈ε,n
␈β
f␈↓ ↓V␈ε310.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈8␈↓ α\␈ε#]␈α⊗By␈α
the␈α
res␈α␈ult␈α
of␈α
exe␈α␈rcise␈α
6,␈α∞ev␈α␈e␈α␈ry␈α
irration␈α␈al␈α
real␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈↓ 	E␈ε)X␈↓ 	q␈ε#ha␈α␈s␈α
a␈α
un␈α␈ique
␈β∞∞␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈gula␈α␈r␈αcon␈α␈t␈α␈i␈α↓n␈α}ued␈α
fraction␈α
rep␈α␈resen␈α}tation␈αo␈α␈f␈αthe␈αfor␈α␈m
␈β∞]␈↓ ∧h␈ε)X␈↓ ¬⊃␈ε#=␈↓ ¬;␈ε)A␈↓ ¬j␈ε#+␈ε7␈αλ?␈↓ ε#␈ε)A␈↓ εK␈ε#,␈↓ εY␈ε)A␈↓ π↓␈ε#,␈↓ π∂␈ε)A␈↓ π7␈ε#,␈↓ πE␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ πr␈ε7?␈ε#␈α␈,
␈β∞i␈↓ ¬S␈ε&0␈↓ ε;␈ε&1␈↓ εq␈ε&2␈↓ π'␈ε&3
␈β∂,␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ere␈↓ α)␈ε)A␈↓ α]␈ε#is␈α
a␈α␈n␈αin␈α␈teg␈α␈er␈α
a␈α␈nd␈↓ ∧a␈ε)A␈↓ ¬λ␈ε#,␈↓ ¬≡␈ε)A␈↓ ¬E␈ε#,␈↓ ¬[␈ε)A␈↓ εβ␈ε#,␈↓ ε→␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ εL␈ε#are␈αp␈α␈ositiv␈α␈e␈αi␈α↓n␈α}teg␈α␈ers.␈α∪Sho␈α␈w␈αthat␈αif␈↓ 
Q␈ε)X␈↓ 
|␈ε#ha␈α␈s
␈β∂8␈↓ αA␈ε&0␈↓ ∧y␈ε&1␈↓ ¬6␈ε&2␈↓ ¬s␈ε&3
␈β∂T␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈is␈αrepre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αth␈α␈en␈αth␈α␈e␈αreg␈α␈ular␈αco␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈αfra␈α␈ction␈α
f␈α↓o␈α␈r␈α1/␈↓ λA␈ε)X␈↓ λk␈ε#is
␈β⊂#␈↓ ∧∨␈ε#1/␈↓ ∧@␈ε)X␈↓ ∧i␈ε#=␈↓ ¬∪␈ε)B␈↓ ¬B␈ε#+␈ε7␈απ?␈↓ ¬{␈ε)B␈↓ ε"␈ε#,␈↓ ε1␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ ε]␈ε#,␈↓ εl␈ε)B␈↓ π≥␈ε#,␈↓ π,␈ε)A␈↓ πS␈ε#,␈↓ πb␈ε)A␈↓ λ	␈ε#,␈↓ λ_␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ λD␈ε7?
␈β⊂.␈↓ ¬+␈ε&0␈↓ ε∪␈ε&1␈↓ π∧␈ε,m␈↓ πD␈ε&5␈↓ πz␈ε&6
␈β⊂r␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈r␈α⊂suitab␈α␈le␈α⊂i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈↓ ∧↓␈ε)B␈↓ ∧(␈ε#,␈↓ ∧C␈ε)B␈↓ ∧j␈ε#,␈↓ ¬¬␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬1␈ε#,␈↓ ¬L␈ε)B␈↓ ¬⎇␈ε#.␈α#(Th␈α␈e␈α⊂case␈↓ πI␈ε)A␈↓ λ↓␈ε#<␈α∩0␈α⊂is,␈α∩o␈α␈f␈α⊃c␈α␈ours␈α␈e,␈α∩th␈α␈e␈α⊂m␈α↓os␈α␈t
␈β⊂⎇␈↓ ∧→␈ε&0␈↓ ∧[␈ε&1␈↓ ¬c␈ε,m␈↓ πa␈ε&0
␈β⊃→␈↓ ↓H␈ε#in␈α}teresting␈α␈.␈α↓)␈α→Exp␈α␈lain␈αho␈α␈w␈αto␈αd␈α␈etermin␈α␈e␈αthe␈↓ εN␈ε)B␈↓ εg␈ε#'s␈αi␈α↓n␈α
terms␈αo␈α␈f␈↓ λ2␈ε)A␈↓ λZ␈ε#,␈↓ λn␈ε)A␈↓ 	∃␈ε#,␈↓ 	*␈ε)A␈↓ 	Q␈ε#,␈↓ 	e␈ε)A␈↓ 

␈ε#,␈αan␈α␈d␈↓ 
b␈ε)A␈↓ 	␈ε#.
␈β⊃%␈↓ λK␈ε&0␈↓ 	ε␈ε&1␈↓ 	B␈ε&2␈↓ 	⎇␈ε&3␈↓ 
z␈ε&4
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.3␈↓ λM␈ε"'␈↓ 
v␈ε"359
␈β↓\␈↓ ¬y␈ε∞ANA␈α↓L␈α⎇Y␈α↓S␈α␈IS␈α	OF␈α
E␈α↓UCL␈α↓ID␈↓ λW␈ε∞S␈α	A␈α↓L␈α␈GORIT␈α↓HM
␈βα%␈↓ ↓V␈ε311.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(J.␈↓ β/␈ε#Lagra␈α␈ng␈α␈e.␈α↓)␈α L␈α↓e␈α␈t␈↓ ¬,␈ε)X␈↓ ¬[␈ε#=␈↓ ε␈ε)A␈↓ ε=␈ε#+␈ε7␈α?␈↓ εy␈ε)A␈↓ π ␈ε#,␈↓ π/␈ε)A␈↓ πW␈ε#,␈↓ πe␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ λ∩␈ε7?␈ε#␈α␈,␈↓ λ<␈ε)Y␈↓ λf␈ε#=␈↓ 	↔␈ε)B␈↓ 	H␈ε#+␈ε7␈α
?␈↓ 
∧␈ε)B␈↓ 
+␈ε#,␈↓ 
:␈ε)B␈↓ 
a␈ε#,␈↓ 
o␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ≤␈ε7?
␈βα1␈↓ ε$␈ε&0␈↓ π⊃␈ε&1␈↓ πG␈ε&2␈↓ 	/␈ε&0␈↓ 
≤␈ε&1␈↓ 
Q␈ε&2
␈βαM␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈e␈α∂th␈α␈e␈α∂reg␈α␈ular␈α∂co␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈α∞fraction␈α∞rep␈α␈resen␈α}tation␈α␈s␈α∂of␈α∂t␈α␈w␈α␈o␈α∂re␈α␈al␈α∂n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈↓ 	j␈ε)X␈↓ 
_␈ε#and␈↓ 
]␈ε)Y␈↓ 
x␈ε#,␈α⊂in
␈βαt␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈α∞sen␈α␈se␈α∞o␈α␈f␈α∞exe␈α␈rcise␈α∞10␈α␈.␈α_S␈α␈h␈α↓o␈α␈w␈α∞th␈α␈at␈α∞t␈α␈hese␈α
repre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈α∞\␈α␈ev␈α␈e␈α␈n␈α␈tua␈α␈ll␈α↓y␈α
ag␈α␈ree,"␈α∂in␈α
the
␈ββ≤␈↓ ↓H␈ε#se␈α␈nse␈α∞tha␈α␈t␈↓ αl␈ε)A␈↓ βU␈ε#=␈↓ ∧¬␈ε)B␈↓ ∧g␈ε#for␈α∞some␈ε)␈α∞m␈ε#␈α∞an␈α␈d␈ε)␈α∞n␈ε#␈α∂an␈α␈d␈α∞for␈α∞all␈↓ λ5␈ε)k␈↓ λW␈ε7∃␈ε#␈α∂0␈α␈,␈α⊂if␈α∂an␈α␈d␈α∞on␈α␈l␈α↓y␈α∞if␈α∂w␈α␈e
␈ββ(␈↓ β∧␈ε,m␈ε&+␈↓ β6␈ε,k␈↓ ∧≥␈ε,n␈ε&+␈↓ ∧H␈ε,k
␈ββD␈↓ ↓H␈ε#h␈α␈a␈α␈v␈α␈e␈↓ α⊗␈ε)X␈↓ αA␈ε#=␈α(␈↓ αy␈ε)q␈↓ β␈ε)Y␈↓ β.␈ε#+␈↓ βX␈ε)r␈↓ βg␈ε#)/(␈ε)s␈↓ ∧≡␈ε)Y␈↓ ∧A␈ε#+␈ε)␈αλt␈ε#␈α↓)␈α
fo␈α␈r␈α
so␈α␈me␈α
in␈α␈t␈α␈egers␈↓ π∃␈ε)q␈↓ π'␈ε#,␈↓ π=␈ε)r␈↓ πM␈ε#,␈ε)␈α
s␈ε#,␈ε)␈α
t␈ε#␈α
with␈ε7␈α
j␈↓ λy␈ε)q␈↓ 	␈ε)t␈ε7␈α	␈␈↓ 	I␈ε)r␈↓ 	Y␈ε)s␈ε7␈α␈j␈ε#␈α=␈α1.␈α≥(Th␈α␈is
␈ββk␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈eor␈α␈em␈αis␈αth␈α␈e␈αan␈α␈alog,␈αfo␈α␈r␈αcon␈α}ti␈α↓n␈α}ue␈α␈d␈αfra␈α␈ction␈αr␈α␈epres␈α␈en␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns,␈αof␈αth␈α␈e␈αsimp␈α␈le␈αresu␈α␈l␈α↓t␈α
tha␈α␈t
␈β∧∪␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αrep␈α␈resen␈α}tation␈α␈s␈α
o␈α␈f␈↓ ∧∩␈ε)X␈↓ ∧=␈ε#an␈α␈d␈↓ ∧␈␈ε)Y␈↓ ¬&␈ε#in␈αth␈α␈e␈↓ ελ␈ε#dec␈α␈i␈α↓m␈α␈al␈α
sy␈α␈stem␈αev␈α}en␈α␈tu␈α␈ally␈αag␈α␈ree␈αi␈α↓f␈αan␈α␈d␈αo␈α␈nly␈αif
␈β∧5␈↓ αG␈ε,q␈↓ βn␈ε,s
␈β∧:␈↓ ↓H␈ε)X␈↓ ↓p␈ε#=␈α
(1␈↓ α6␈ε#0␈↓ αW␈ε)Y␈↓ αy␈ε#+␈↓ β"␈ε)r␈↓ β1␈ε#)/1␈↓ β]␈ε#0␈↓ ∧π␈ε#for␈αsom␈α␈e␈αin␈α␈teg␈α␈ers␈↓ ε	␈ε)q␈↓ ε≠␈ε#,␈↓ ε/␈ε)r␈↓ ε?␈ε#,␈αan␈α␈d␈ε)␈αs␈ε#.)
␈β∧m␈↓ λ[␈ε7p
␈β∧p␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∧q␈↓ λw␈∧∧qλwα≤
␈β∧r␈↓ ↓V␈ε312.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗A␈↓ β≡␈ε0qua␈α␈dra␈α␈tic␈αi␈α↓rr␈α␈ation␈α␈ali␈α↓t␈α␈y␈ε#␈α
is␈αa␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αof␈αthe␈α
f␈α↓o␈α␈rm␈α(␈↓ λw␈ε)D␈↓ 	→␈ε7␈␈↓ 	B␈ε)U␈↓ 	\␈ε#)␈α↓/␈↓ 	x␈ε)V␈↓ 
∀␈ε#,␈αwhe␈α␈re␈ε)␈αD␈ε#,
␈β¬~␈↓ ↓H␈ε)U␈↓ ↓b␈ε#,␈αa␈α␈nd␈↓ α7␈ε)V␈↓ α↑␈ε#a␈α␈re␈αin␈α␈teg␈α␈ers,␈ε)␈αD␈ε#␈α
>␈α	0,␈↓ ¬
␈ε)V␈↓ ¬2␈ε7≤␈ε#␈α	0,␈αand␈ε)␈α
D␈ε#␈αis␈αn␈α↓o␈α␈t␈αa␈αpe␈α␈rfect␈αsqu␈α␈are␈α␈.␈α∂W␈α}e␈αma␈α}y␈αa␈α␈ssume
␈β¬;␈↓ πX␈ε&2
␈β¬A␈↓ ↓H␈ε#withou␈α␈t␈α
l␈α↓o␈α␈ss␈α
of␈α
g␈α␈ene␈α␈rali␈α↓t␈α␈y␈α	tha␈α␈t␈↓ ¬ε␈ε)V␈↓ ¬,␈ε#is␈α
a␈α	diviso␈α␈r␈α
of␈ε)␈α
D␈ε7␈α¬␈␈↓ π=␈ε)U␈↓ πg␈ε#,␈αfo␈α␈r␈α
oth␈α␈erwise␈α
the␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α	ma␈α␈y
␈β¬c␈↓ β8␈ε7p
␈β¬g␈↓ βT␈∧¬gβTαF␈↓ ∧
␈ε&2
␈β¬i␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈e␈αrewritten␈α
as␈α(␈↓ βT␈ε)D␈↓ βo␈ε)V␈↓ ∧!␈ε7␈␈↓ ∧J␈ε)U␈↓ ∧d␈ε7j␈↓ ∧n␈ε)V␈↓ ¬	␈ε7j␈ε#␈α↓)/␈↓ ¬.␈ε)V␈↓ ¬J␈ε7j␈↓ ¬S␈ε)V␈↓ ¬o␈ε7j␈ε#.
␈βε ␈↓ ↓e␈ε#a)␈↓ α␈ε#Pro␈α␈v␈α␈e␈α	th␈α␈at␈α	the␈α	regu␈α␈lar␈α	con␈α}ti␈α↓n␈α}ue␈α␈d␈α	f␈α↓ra␈α␈ction␈α	ex␈α␈pa␈α␈nsion␈α	(in␈α	th␈α␈e␈α
se␈α␈nse␈α	of␈α	exerc␈α␈i␈α↓se␈α	1␈α␈0)␈α
o␈α␈f
␈βεC␈↓ ¬O␈ε7p
␈βεG␈↓ ¬k␈∧εG¬kα≤
␈βεH␈↓ α␈ε#a␈α
q␈α␈ua␈α␈dra␈α␈ti␈α↓c␈α	irration␈α␈ali␈α↓t␈α␈y␈↓ ∧q␈ε)X␈↓ ¬→␈ε#=␈α
(␈↓ ¬k␈ε)D␈↓ ε␈ε7␈␈↓ ε1␈ε)U␈↓ εK␈ε#)/␈↓ εg␈ε)V␈↓ π␈ε#i␈α↓s␈α	obta␈α␈ined␈α	by␈α	th␈α␈e␈α
follo␈α␈wing␈α	form␈α␈u␈α␈l␈α↓a␈α␈s:
␈βπ_␈↓ ∧∂␈ε)V␈↓ ∧<␈ε#=␈↓ ∧f␈ε)V␈↓ ¬α␈ε#,␈↓ ¬S␈ε)A␈↓ ε∧␈ε#=␈ε7␈α	b␈↓ ε;␈ε)X␈↓ εZ␈ε7c␈ε#,␈↓ π9␈ε)U␈↓ πh␈ε#=␈↓ λ∩␈ε)U␈↓ λ4␈ε#+␈↓ λ]␈ε)A␈↓ 	∧␈ε)V␈↓ 	 ␈ε#;
␈βπ#␈↓ ∧#␈ε&0␈↓ ¬k␈ε&0␈↓ πO␈ε&0␈↓ λu␈ε&0
␈βπD␈↓ ¬-␈ε&2
␈βπE␈↓ πn␈ε7p
␈βπI␈↓ λ
␈∧πIλ
α≤
␈βπJ␈↓ β:␈ε)V␈↓ ∧∩␈ε#=␈α	(␈ε)D␈ε7␈αλ␈␈↓ ¬∪␈ε)U␈↓ ¬<␈ε#)␈α↓/␈↓ ¬X␈ε)V␈↓ ¬␈␈ε#,␈↓ εP␈ε)A␈↓ π,␈ε#=␈ε7␈α	b␈ε#(␈↓ λ
␈ε)D␈↓ λ,␈ε#+␈↓ λU␈ε)U␈↓ λ}␈ε#)/␈↓ 	~␈ε)V␈↓ 	h␈ε7c␈ε#,
␈βπV␈↓ βN␈ε,n␈ε&+1␈↓ ¬l␈ε,n␈↓ εh␈ε,n␈ε&+1␈↓ λl␈ε,n␈↓ 	.␈ε,n␈ε&+1
␈βπX␈↓ ¬)␈ε,n
␈βπ|␈↓ ¬_␈ε)U␈↓ ¬s␈ε#=␈↓ ε≥␈ε)A␈↓ εp␈ε)V␈↓ πE␈ε7␈␈↓ πn␈ε)U␈↓ λ↔␈ε#.
␈βλλ␈↓ ¬/␈ε,n␈ε&+1␈↓ ε5␈ε,n␈ε&+1␈↓ π∧␈ε,n␈ε&␈α␈+␈α↓1␈↓ λ¬␈ε,n
␈βλL␈↓ α␈ε#[␈ε0Note:␈ε#␈α
An␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈αbas␈α␈ed␈αon␈αthis␈αp␈α␈rocess␈αh␈α␈as␈αma␈α␈n␈α␈y␈αa␈α␈pp␈α␈l␈α↓ica␈α␈tions␈αto␈αthe␈αso␈α␈l␈α↓u␈α␈tion
␈βλs␈↓ α␈ε#of␈α∞qua␈α␈dra␈α␈tic␈α∂eq␈α␈uat␈α␈i␈α↓o␈α␈ns␈α∞i␈α↓n␈α∞in␈α␈te␈α␈gers;␈α⊂see,␈α⊂fo␈α␈r␈α∂ex␈α␈amp␈α␈le,␈α⊂H.␈↓ λU␈ε#Da␈α␈v␈α}enp␈α␈ort,␈ε0␈α∂The␈α∞Hi␈α↓g␈α␈he␈α␈r
␈β	≠␈↓ α␈ε0Arithm␈α␈etic␈ε#␈α	(Lond␈α␈on␈α␈:␈α
Hutch␈α␈inson␈α␈,␈α
1␈α␈952␈α␈);␈α
W.␈α
J␈α␈.␈↓ π-␈ε#LeV␈α}e␈α␈qu␈α␈e,␈ε0␈α
T␈α⎇op␈α␈ics␈α	in␈α	Nu␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α	Th␈α␈eory
␈β	B␈↓ α␈ε#(Rea␈α␈ding␈α␈,␈α∞Ma␈α␈ss.:␈α∂Add␈α␈i␈α↓so␈α␈n-W␈α⎇esley,␈α
195␈α␈6);␈α∞an␈α␈d␈α
se␈α␈e␈α
also␈α
S␈α␈ection␈α4.5.4␈α␈.␈α∃By␈α
e␈α␈xerc␈α␈i␈α↓se
␈β	e␈↓ ¬G␈ε7p
␈β	i␈↓ ¬b␈∧	i¬bα≤
␈β	j␈↓ α␈ε#1.2.4␈α␈↑35␈↓ βα␈ε#,␈α
w␈α␈e␈αha␈α}v␈α␈e␈↓ ∧_␈ε)A␈↓ ∧u␈ε#=␈ε7␈αb␈ε#(␈ε7b␈↓ ¬b␈ε)D␈↓ ¬⎇␈ε7c␈ε#␈αλ+␈↓ ε<␈ε)U␈↓ εe␈ε#)/␈↓ π␈ε)V␈↓ πO␈ε7c␈ε#␈αwhe␈α␈n␈↓ λ@␈ε)V␈↓ 	→␈ε#>␈α0␈α␈,␈α
an␈α␈d␈↓ 
.␈ε)A␈↓ ␈ε#=
␈β	v␈↓ ∧0␈ε,n␈ε&+1␈↓ εR␈ε,n␈↓ π∃␈ε,n␈ε&␈α␈+␈α↓1␈↓ λT␈ε,n␈ε&+1␈↓ 
F␈ε,n␈ε&+1
␈β
⊃␈↓ α1␈ε7p
␈β
∃␈↓ αM␈∧
∃αMα≤
␈β
⊗␈↓ α␈ε7b␈ε#(␈ε7b␈↓ αM␈ε)D␈↓ αh␈ε7c␈ε#␈απ+␈αλ1␈απ+␈↓ βf␈ε)U␈↓ ∧∂␈ε#)/␈↓ ∧*␈ε)V␈↓ ∧y␈ε7c␈↓ ¬∀␈ε#wh␈α␈en␈↓ ¬n␈ε)V␈↓ εK␈ε#<␈α∞0;␈α⊂h␈α␈en␈α␈ce␈α∞su␈α␈ch␈α∞a␈α␈n␈α∞algo␈α␈rithm␈α∞n␈α␈eed␈α
only
␈β
"␈↓ β|␈ε,n␈↓ ∧>␈ε,n␈ε&+␈α↓1␈↓ εα␈ε,n␈ε&+1
␈β
9␈↓ ¬Y␈ε7p
␈β
=␈↓ ¬t␈∧
=¬tα≤
␈β
>␈↓ α␈ε#w␈α␈ork␈α
wi␈α↓th␈α
the␈αp␈α␈ositiv␈α␈e␈αin␈α␈t␈α␈eger␈ε7␈αb␈↓ ¬t␈ε)D␈↓ ε⊂␈ε7c␈ε#␈α␈.␈α↓]
␈β
b␈↓ ∧W␈ε7p␈↓ εV␈ε7p
␈β
f␈↓ ∧s␈∧
f∧sα≤␈↓ εr␈∧
fεrα≤
␈β
g␈↓ ↓c␈ε#b)␈↓ α␈ε#Pro␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈at␈α0␈α	<␈↓ βy␈ε)U␈↓ ∧,␈ε#<␈↓ ∧s␈ε)D␈↓ ¬∞␈ε#,␈α0␈α
<␈↓ ¬i␈ε)V␈↓ ε~␈ε#<␈α
2␈↓ εr␈ε)D␈↓ π
␈ε#,␈αfo␈α␈r␈αall␈ε)␈αn␈ε#␈α
>␈↓ λO␈ε)N␈↓ λo␈ε#,␈αwh␈α␈ere␈↓ 	d␈ε)N␈↓ 
⊂␈ε#is␈αso␈α␈me␈αin␈α␈-
␈β
r␈↓ ∧⊂␈ε,n␈↓ ¬⎇␈ε,n
␈β∞␈↓ α␈ε#teg␈α␈er␈α	d␈α␈epe␈α␈nd␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αλon␈↓ ∧%␈ε)X␈↓ ∧D␈ε#;␈α
h␈α␈enc␈α␈e␈α	th␈α␈e␈α	re␈α␈gu␈α␈l␈α↓a␈α␈r␈α	co␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈αλfractio␈α␈n␈αλrepre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αλof␈α	e␈α␈v␈α␈ery
␈β1␈↓ 	E␈ε7p
␈β5␈↓ 	a␈∧5	aα≤
␈β6␈↓ α␈ε#qu␈α␈ad␈α␈ratic␈αi␈α↓rra␈α␈tiona␈α␈li␈α↓t␈α␈y␈αis␈αev␈α␈en␈α}tua␈α␈ll␈α↓y␈↓ ε∨␈ε#p␈α␈eriod␈α␈i␈α↓c␈α␈.␈α≤[␈ε0␈α↓Hin␈α␈t␈α␈:␈ε#␈α∞Sho␈α␈w␈α
t␈α␈hat␈α(␈↓ 	a␈ε)D␈↓ 
∧␈ε7␈␈↓ 
.␈ε)U␈↓ 
H␈ε#)␈α↓/␈↓ 
d␈ε)V␈↓ ␈ε#=
␈βY␈↓ ∧z␈ε7p␈↓ 	b␈ε7p
␈β\␈↓ ¬⊗␈∧\¬⊗α≤␈↓ 	}␈∧\	}α≤
␈β↑␈↓ α␈ε)A␈↓ α7␈ε#+␈ε7␈α∧?␈↓ αm␈ε)A␈↓ β∀␈ε#,␈↓ β#␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ βO␈ε#,␈↓ β↑␈ε)A␈↓ ∧λ␈ε#,␈ε7␈αε␈␈↓ ∧8␈ε)V␈↓ ∧←␈ε#/␈α␈(␈↓ ¬⊗␈ε)D␈↓ ¬5␈ε#+␈↓ ¬Z␈ε)U␈↓ εβ␈ε#)␈ε7?␈ε#,␈α
a␈α␈nd␈α	u␈α␈se␈α	Eq.␈α	(␈α↓5␈α␈)␈α
to␈α	p␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈α	that␈α	(␈↓ 	}␈ε)D␈↓ 
≤␈ε#+␈↓ 
B␈ε)U␈↓ 
j␈ε#)/␈↓ ε␈ε)V
␈βi␈↓ α$␈ε&0␈↓ β¬␈ε&1␈↓ βv␈ε,n␈↓ ∧M␈ε,n␈↓ ¬q␈ε,n␈↓ 
X␈ε,n␈↓ ~␈ε,n
␈β¬␈↓ α␈ε#is␈αpos␈α␈i␈α↓tiv␈α␈e␈α
w␈α↓h␈α␈en␈ε)␈α
n␈ε#␈αis␈αlarge.]
␈β.␈↓ ↓g␈ε#c)␈↓ α␈ε#Letting␈↓ βα␈ε)p␈↓ β/␈ε#=␈↓ βY␈ε)Q␈↓ ∧.␈ε#(␈↓ ∧9␈ε)A␈↓ ∧`␈ε#,␈↓ ∧o␈ε)A␈↓ ¬⊗␈ε#,␈↓ ¬%␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ¬Q␈ε#,␈↓ ¬`␈ε)A␈↓ ε
␈ε#)␈αand␈↓ εa␈ε)q␈↓ π
␈ε#=␈↓ π8␈ε)Q␈↓ πd␈ε#(␈↓ πo␈ε)A␈↓ λ⊗␈ε#,␈↓ λ%␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ λR␈ε#,␈↓ λ`␈ε)A␈↓ 	␈ε#),␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α
the␈αid␈α␈en␈α␈tit␈α␈y
␈β:␈↓ β∪␈ε,n␈↓ βs␈ε,n␈ε&+␈α↓1␈↓ ∧Q␈ε&0␈↓ ¬π␈ε&1␈↓ ¬x␈ε,n␈↓ εr␈ε,n␈↓ πR␈ε,n␈↓ λπ␈ε&1␈↓ λy␈ε,n
␈βP␈↓ α8␈ε&2␈↓ ∧N␈ε&2␈↓ ¬⎇␈ε&2␈↓ π␈ε,n␈ε&␈α␈+␈α↓1
␈βT␈↓ ∧≤␈ε"(␈↓ ¬`␈ε")
␈βV␈↓ α␈ε)V␈↓ α(␈ε)p␈↓ αR␈ε#+␈αλ2␈↓ β␈ε)U␈↓ β&␈ε)p␈↓ βI␈ε)q␈↓ βs␈ε#+␈↓ ∧(␈ε#(␈↓ ∧3␈ε)U␈↓ ∧e␈ε7␈␈ε)␈απD␈ε#)/␈↓ ¬D␈ε)V␈↓ ¬l␈ε)q␈↓ ε→␈ε#=␈α	(␈ε7␈α↓␈␈ε#1␈↓ π␈ε#)␈↓ πF␈ε)V␈↓ λ∃␈ε#.
␈βa␈↓ β7␈ε,n␈↓ βZ␈ε,n␈↓ πZ␈ε,n␈ε&+1
␈βd␈↓ α8␈ε,n␈↓ ¬⎇␈ε,n
␈β␈␈↓ ↓c␈ε#d)␈↓ α␈ε#Pro␈α␈v␈α␈e␈αλth␈α␈at␈α	th␈α␈e␈α	re␈α␈gula␈α␈r␈α	co␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈αλfraction␈αλrep␈α␈resen␈α}tation␈αλo␈α␈f␈α	an␈αλirration␈α␈al␈α	n␈α}um␈α}ber␈↓ 
␈ε)X
␈β
&␈↓ α␈ε#is␈α∞ev␈α}en␈α␈tu␈α␈ally␈α∞p␈α␈eriod␈α␈i␈α↓c␈α
if␈α∞an␈α␈d␈α∞o␈α␈nly␈α
i␈α↓f␈↓ ε%␈ε)X␈↓ εR␈ε#is␈α∞a␈α∞q␈α␈ua␈α␈dra␈α␈ti␈α↓c␈α
irration␈α␈ality␈α␈.␈α∨(Th␈α␈i␈α↓s␈α
i␈α↓s␈α
the
␈β
N␈↓ α␈ε#co␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈απfraction␈απa␈α␈na␈α␈l␈α↓o␈α␈g␈αλo␈α␈f␈αλth␈α␈e␈αλfac␈α␈t␈αλth␈α␈at␈αλt␈α␈he␈απdec␈α␈i␈α↓m␈α␈al␈αλex␈α␈pa␈α␈nsion␈απo␈α␈f␈αλa␈απreal␈αλn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈↓ 
␈ε)X
␈β
u␈↓ α␈ε#is␈αev␈α␈en␈α}tua␈α␈l␈α↓ly␈α
period␈α␈ic␈αi␈α↓f␈αa␈α␈nd␈α
only␈αif␈↓ ε∪␈ε)X␈↓ ε=␈ε#is␈αr␈α␈ation␈α␈al.␈α↓)
␈β∞'␈↓ π∞␈ε,n
␈β∞-␈↓ ↓V␈ε313.␈↓ α␈ε#[␈ε)M4␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(J.␈α	L␈α↓a␈α␈gran␈α␈ge,␈α	179␈α␈7.)␈α∩Let␈↓ ¬g␈ε)f␈↓ ¬{␈ε#(␈ε)x␈ε#)␈α	=␈↓ εW␈ε)a␈↓ ε{␈ε)x␈↓ π$␈ε#+␈↓ πI␈ε7↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ πs␈ε#+␈↓ λ_␈ε)a␈↓ λ9␈ε#,␈↓ λL␈ε)a␈↓ λy␈ε#>␈α
0␈α␈,␈α
be␈α	a␈αλpoly␈α␈n␈α↓om␈α␈i␈α↓a␈α␈l
␈β∞9␈↓ εi␈ε,n␈↓ λ*␈ε&0␈↓ λ↑␈ε,n
␈β∞U␈↓ ↓H␈ε#with␈α∞in␈α␈teg␈α␈er␈α∂co␈α␈e}cien␈α}ts,␈α⊂h␈α␈a␈α␈vin␈α␈g␈α∂no␈α∂r␈α␈ation␈α␈al␈α∂ro␈α↓o␈α␈ts,␈α⊂an␈α␈d␈α∞ha␈α}ving␈α∞ex␈α␈actly␈α∞one␈α∞rea␈α␈l␈α∂ro␈α↓o␈α␈t
␈β∞|␈↓ ↓H␈ε)_␈↓ ↓c␈ε#>␈α
1␈↓ α≡␈ε#.␈α∃De␈α␈si␈α↓g␈α␈n␈α
a␈αcom␈α␈pu␈α␈ter␈α
p␈α␈rogra␈α␈m␈α
to␈α|n␈α␈d␈α
th␈α␈e␈α
|␈α␈rst␈α
th␈α↓o␈α␈usa␈α␈nd␈αor␈α
so␈αpa␈α␈rtial␈α
qu␈α␈otien␈α␈t␈α␈s
␈β∂$␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈↓ ↓n␈ε)_␈↓ α↓␈ε#,␈αu␈α␈si␈α↓n␈α␈g␈αth␈α␈e␈αfollo␈α␈wi␈α↓n␈α␈g␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α
(␈α↓wh␈α␈ich␈αess␈α␈en␈α␈tially␈αin␈α␈v␈α}olv␈α␈es␈αo␈α␈nly␈αa␈α␈dd␈α␈i␈α↓tion␈α␈):
␈β∂\␈↓ α∩␈ε3L1␈α␈.␈↓ αP␈ε#Set␈ε)␈αA␈ε7␈α	␈ ␈ε#␈α
1␈α␈.
␈β⊂∪␈↓ α∩␈ε3L2␈α␈.␈↓ αP␈ε#F␈α}or␈↓ β∂␈ε)k␈↓ β.␈ε#=␈α
0␈α␈,␈α∞1,␈↓ ∧+␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ∧W␈ε#,␈ε)␈α∞n␈ε7␈α	␈␈ε#␈α	1␈α
(i␈α↓n␈αthis␈α
ord␈α␈er)␈α
an␈α␈d␈α
for␈↓ λ'␈ε)j␈↓ λC␈ε#=␈ε)␈α
n␈ε7␈α	␈␈ε#␈α	1,␈↓ 	`␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ 
␈ε#,␈↓ 
#␈ε)k␈↓ 
C␈ε#(in␈α
th␈α␈is
␈β⊂;␈↓ αP␈ε#orde␈α␈r),␈α
se␈α␈t␈↓ βq␈ε)a␈↓ ∧≠␈ε7␈ ␈↓ ∧G␈ε)a␈↓ ¬↔␈ε#+␈↓ ¬@␈ε)a␈↓ ¬`␈ε#.␈α~(␈α↓Th␈α␈is␈αstep␈αrep␈α␈l␈α↓a␈α␈ces␈↓ λ!␈ε)f␈↓ λ4␈ε#(␈ε)␈α↓x␈ε#␈α␈)␈αb␈α␈y␈↓ 	→␈ε)g␈↓ 	)␈ε#(␈ε)x␈ε#)␈α=␈↓ 
λ␈ε)f␈↓ 
≤␈ε#(␈ε)x␈ε#␈αλ+␈αλ1␈α␈)␈α↓,␈αa
␈β⊂F␈↓ ∧β␈ε,j␈↓ ∧Y␈ε,j␈↓ ∧e␈ε&+␈α↓1␈↓ ¬R␈ε,j
␈β⊂b␈↓ αP␈ε#poly␈α␈n␈α↓o␈α␈mial␈αw␈α↓hose␈α
ro␈α↓ots␈αa␈α␈re␈αon␈α␈e␈αless␈αtha␈α␈n␈αthose␈αof␈↓ λ2␈ε)f␈↓ λE␈ε#.␈α↓)
␈β⊃~␈↓ α∩␈ε3L3␈α␈.␈↓ αP␈ε#I␈α↓f␈↓ αr␈ε)a␈↓ β≥␈ε#+␈↓ βF␈ε)a␈↓ ∧→␈ε#+␈↓ ∧B␈ε7↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧p␈ε#+␈↓ ¬→␈ε)a␈↓ ¬C␈ε#<␈α
0,␈αset␈ε)␈αA␈ε7␈α	␈ ␈ε)␈α
A␈ε#␈απ+␈αλ1␈αa␈α␈nd␈α
retu␈α␈rn␈αto␈αL2.
␈β⊃&␈↓ β∧␈ε,n␈↓ βX␈ε,n␈ε:␈α␈␈␈ε&␈α↓1␈↓ ¬+␈ε&0
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"360␈↓ 
b␈ε"4.5.3
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα%␈↓ α∩␈ε3L4␈α␈.␈↓ αP␈ε#Outp␈α␈ut␈ε)␈αA␈ε#␈α
(wh␈α␈ich␈αis␈α
th␈α␈e␈αv␈α}alu␈α␈e␈α
o␈α␈f␈α
th␈α␈e␈αnex␈α␈t␈αpar␈α␈ti␈α↓a␈α␈l␈α
qu␈α␈otien␈α}t).␈α∪Rep␈α␈l␈α↓a␈α␈ce␈αthe␈αco␈α␈-
␈βαM␈↓ αP␈ε#e}cien␈α}ts␈α
(␈↓ βb␈ε)a␈↓ ∧ε␈ε#,␈↓ ∧∃␈ε)a␈↓ ∧a␈ε#,␈↓ ∧p␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ¬≤␈ε#,␈↓ ¬+␈ε)a␈↓ ¬L␈ε#)␈α
by␈α	(␈ε7␈␈↓ ε;␈ε)a␈↓ ε\␈ε#,␈ε7␈αε␈␈↓ π␈ε)a␈↓ π-␈ε#,␈↓ π<␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ πi␈ε#,␈ε7␈α¬␈␈↓ λ→␈ε)a␈↓ λ=␈ε#)␈α	and␈α	retu␈α␈rn␈α	to␈α
L1␈α␈.␈α∃(Th␈α␈is
␈βαX␈↓ βt␈ε,n␈↓ ∧'␈ε,n␈ε:␈␈ε&1␈↓ ¬=␈ε&0␈↓ εM␈ε&0␈↓ π≡␈ε&1␈↓ λ*␈ε,n
␈βαt␈↓ αP␈ε#step␈α
rep␈α␈l␈α↓a␈α␈ces␈↓ ∧∪␈ε)f␈↓ ∧'␈ε#(␈ε)x␈ε#)␈α
by␈α
a␈α
po␈α␈lynomial␈αwhose␈α
roots␈αa␈α␈re␈α
recipro␈α␈cals␈αo␈α␈f␈αthose␈α
of␈↓ ∧␈ε)f␈↓ _␈ε#.)
␈ββ ␈↓ ε↔␈ε&3
␈ββ$␈↓ 
∨␈ε"(
␈ββ&␈↓ α␈ε#F␈α⎇or␈α	ex␈α␈amp␈α␈le,␈α
sta␈α␈rting␈αλwi␈α↓th␈↓ ¬∀␈ε)f␈↓ ¬(␈ε#(␈ε)x␈ε#␈α␈)␈α
=␈↓ ε∧␈ε)x␈↓ ε)␈ε7␈␈ε#␈αβ2,␈α	the␈αλalgo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈α	will␈α	ou␈α␈tpu␈α␈t␈α	\1␈α␈"␈↓ 
+␈ε#ch␈α␈an␈α␈ging
␈ββH␈↓ αJ␈ε&3␈↓ β-␈ε&2␈↓ λ6␈ε&3␈↓ 	_␈ε&2
␈ββL␈↓ ∧P␈ε")␈↓ ¬y␈ε"(␈↓ 
<␈ε")
␈ββN␈↓ ↓H␈ε)f␈↓ ↓[␈ε#(␈ε)x␈ε#)␈αto␈↓ α8␈ε)x␈↓ αa␈ε7␈␈ε#␈αλ3␈↓ β~␈ε)x␈↓ βC␈ε7␈␈ε#␈αλ3␈ε)x␈ε7␈απ␈␈ε#␈απ1␈↓ ∧\␈ε#;␈αthen␈α
\3"␈↓ ε¬␈ε#cha␈α␈ng␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈↓ π∩␈ε)f␈↓ π&␈ε#(␈ε)x␈ε#␈α␈)␈αto␈α10␈↓ λ#␈ε)x␈↓ λL␈ε7␈␈ε#␈αλ6␈↓ 	ε␈ε)x␈↓ 	/␈ε7␈␈ε#␈αλ6␈ε)␈α␈x␈ε7␈απ␈␈ε#␈αλ1␈↓ 
H␈ε#;␈αetc␈α␈.
␈β∧␈↓ ↓V␈ε314.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈2␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(A.␈↓ β2␈ε#Hu␈α␈rwi␈α↓tz␈α␈,␈α18␈α␈91.)␈α⊗Sho␈α␈w␈α
tha␈α␈t␈α
the␈α
follo␈α␈wing␈α
ru␈α␈les␈α
mak␈α}e␈α
i␈α↓t␈α
p␈α␈ossible␈α
to␈α
|␈α␈nd
␈β∧(␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αreg␈α␈ular␈αco␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈↓ ∧
␈ε#fra␈α␈ction␈α
exp␈α␈an␈α␈si␈α↓o␈α␈n␈αof␈α2␈↓ εX␈ε)X␈↓ εw␈ε#,␈αg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈αth␈α␈e␈αpa␈α␈rtial␈αquo␈α␈tien␈α␈ts␈αo␈α␈f␈↓ 
>␈ε)X␈↓ 
]␈ε#:
␈β∧p␈↓ ∧$␈ε6?␈↓ ¬T␈ε6?␈↓ ε~␈ε6?␈↓ λ≤␈ε6?
␈β∧r␈↓ ∧∀␈ε#2␈↓ ∧<␈ε#2␈ε)a␈ε#␈α␈,␈ε)␈αεb␈ε#␈α↓,␈ε)␈α¬c␈ε#␈α↓,␈↓ ¬'␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ¬o␈ε#=␈↓ ε1␈ε)a␈ε#,␈αε2␈ε)␈α␈b␈ε#␈αλ+␈αλ2␈ε7?␈ε)␈α␈c␈ε#␈α↓,␈↓ π←␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ λ␈ε7?␈↓ λ.␈ε#;
␈β¬&␈↓ β↑␈ε6?␈↓ ¬T␈ε6?␈↓ ε~␈ε6?␈↓ 	␈ε6?
␈β¬(␈↓ βM␈ε#2␈↓ βv␈ε#2␈ε)␈α␈a␈ε#␈απ+␈αλ1,␈ε)␈αεb␈ε#,␈ε)␈αεc␈ε#,␈↓ ¬'␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ¬o␈ε#=␈↓ ε1␈ε)a␈ε#,␈αε1␈α␈,␈αε1␈απ+␈αλ2␈ε7?␈ε)␈α␈b␈ε7␈αλ␈␈ε#␈αλ1␈α␈,␈ε)␈αεc␈ε#␈α↓,␈↓ λN␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ λ{␈ε7?␈↓ 	≥␈ε#.
␈β¬p␈↓ λ←␈ε&1
␈β¬s␈↓ ↓H␈ε#Use␈αλth␈α␈i␈α↓s␈αλide␈α␈a␈α	t␈α␈o␈α	|␈α␈nd␈απthe␈αλregu␈α␈lar␈αλcon␈α}ti␈α↓n␈α}ue␈α␈d␈αλfraction␈αλe␈α␈xp␈α␈ans␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αλof␈↓ λq␈ε)e␈ε#,␈α	giv␈α␈en␈απthe␈αλex␈α␈pan␈α␈sion
␈βεβ␈↓ λ←␈ε&2
␈βεε␈↓ λ←␈∧εελ←α∞
␈βε~␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈ε)␈αe␈ε#␈αin␈α(13␈α␈).
␈βεK␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βεM␈↓ ↓V␈ε315.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈1␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(R.␈αW.␈↓ βk␈ε#Go␈α␈sper.)␈α~G␈α␈ener␈α␈ali␈α↓z␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αex␈α␈ercise␈α14,␈αdesig␈α␈n␈αan␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈αth␈α␈at␈αcom␈α␈-
␈βεt␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈ute␈α␈s␈αt␈α␈he␈αco␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈αfra␈α␈ction␈↓ ∧n␈ε)X␈↓ ¬ ␈ε#+␈ε7␈αλ?␈↓ ¬Y␈ε)X␈↓ ε∧␈ε#,␈↓ ε∪␈ε)X␈↓ ε>␈ε#,␈↓ εL␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ εy␈ε7?␈ε#␈αfo␈α␈r␈α(␈ε)␈α↓a␈α␈x␈ε#␈απ+␈ε)␈αλb␈ε#)/(␈ε)c␈α↓x␈ε#␈απ+␈ε)␈απd␈ε#),␈αgiv␈α}en␈αth␈α␈e␈αcon␈α␈-
␈βπ␈↓ ¬	␈ε&0␈↓ ¬u␈ε&1␈↓ ε.␈ε&2
␈βπ≤␈↓ ↓H␈ε#tin␈α}ued␈αλfractio␈α␈n␈↓ β&␈ε)x␈↓ βK␈ε#+␈ε7␈αβ?␈↓ β␈␈ε)x␈↓ ∧!␈ε#,␈↓ ∧0␈ε)x␈↓ ∧R␈ε#,␈↓ ∧`␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ¬
␈ε7?␈ε#␈αλf␈α↓o␈α␈r␈ε)␈α	x␈ε#,␈α	an␈α␈d␈α	g␈α␈i␈α↓v␈α}en␈αλi␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈ε)␈α	a␈ε#,␈ε)␈α
b␈ε#,␈ε)␈α
c␈ε#,␈ε)␈α	d␈ε#␈α	w␈α↓ith␈ε)␈αλad␈ε7␈α	≤␈ε)␈α
bc␈ε#␈α↓.␈α∞M␈α␈ak␈α␈e
␈βπ'␈↓ β8␈ε&0␈↓ ∧∩␈ε&1␈↓ ∧B␈ε&2
␈βπC␈↓ ↓H␈ε#y␈α}ou␈α␈r␈αalgo␈α␈rithm␈αan␈α\o␈α␈n-line␈↓ ∧Y␈ε#coro␈α␈utine␈α␈"␈αth␈α␈at␈αou␈α␈tpu␈α␈ts␈αas␈αma␈α␈n␈α␈y␈↓ λD␈ε)X␈↓ λ|␈ε#a␈α␈s␈αp␈α␈ossible␈αbe␈α␈f␈α↓o␈α␈re␈αin␈α␈-
␈βπO␈↓ λ`␈ε,k
␈βπk␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈uttin␈α␈g␈αea␈α␈ch␈↓ β
␈ε)x␈↓ β*␈ε#.␈α∂Dem␈α↓o␈α␈nstra␈α␈te␈αho␈α␈w␈αy␈α␈o␈α␈ur␈αalg␈α␈orithm␈αc␈α␈omp␈α␈ute␈α␈s␈α(␈α↓9␈α␈7␈ε)x␈ε#␈απ+␈απ39␈α␈)/(␈ε7␈␈ε#␈α↓6␈α␈2␈ε)x␈ε7␈απ␈␈ε#␈απ25␈α␈)
␈βπw␈↓ β≤␈ε,j
␈βλ∪␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈en␈ε)␈αx␈ε#␈αλ=␈ε7␈α
␈␈ε#1␈απ+␈ε7␈αλ?␈ε#␈αβ5,␈αε1␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈,␈αε2,␈αε1␈α␈,␈αε2␈ε7?␈ε#␈α␈.
␈βλ?␈↓ εq␈ε,z␈↓ π@␈ε:␈␈↓ πZ␈ε,z␈↓ λ≡␈ε,z␈↓ λm␈ε:␈␈↓ 	π␈ε,z
␈βλE␈↓ ↓V␈ε316.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈30␈↓ αt␈ε#]␈α⊗(L.␈↓ βI␈ε#Euler,␈α1␈α␈731␈α␈.␈α↓)␈α~Let␈↓ ¬[␈ε)f␈↓ ¬z␈ε#(␈↓ ε¬␈ε)z␈↓ ε↔␈ε#)␈α
=␈α(␈↓ εc␈ε)e␈↓ πλ␈ε7␈␈↓ π1␈ε)e␈↓ πi␈ε#)/(␈↓ λ⊂␈ε)e␈↓ λ6␈ε#+␈↓ λ←␈ε)e␈↓ 	↔␈ε#)␈α
=␈↓ 	X␈ε#ta␈α␈nh␈↓ 
 ␈ε)z␈↓ 
1␈ε#,␈αan␈α␈d␈αl␈α↓e␈α␈t
␈βλP␈↓ ¬k␈ε&0
␈βλl␈↓ ↓H␈ε)f␈↓ α∩␈ε#(␈↓ α≡␈ε)z␈↓ α/␈ε#)␈α	=␈α
1␈α␈/␈↓ β∂␈ε)f␈↓ β2␈ε#(␈↓ β=␈ε)z␈↓ βN␈ε#)␈ε7␈αε␈␈ε#␈αε(2␈ε)n␈ε#␈αε+␈αε1␈α␈)␈α↓/␈↓ ¬∂␈ε)z␈↓ ¬ ␈ε#.␈α∂Pro␈α␈v␈α␈e␈α
th␈α␈at,␈αfo␈α␈r␈αa␈α␈ll␈ε)␈αn␈ε#,␈↓ πn␈ε)f␈↓ λ⊃␈ε#(␈↓ λ≤␈ε)z␈↓ λ-␈ε#)␈α
i␈α↓s␈α
an␈α	an␈α␈alytic␈α
fun␈α␈ction␈α
o␈α␈f
␈βλx␈↓ ↓X␈ε,n␈ε&+1␈↓ β∨␈ε,n␈↓ π}␈ε,n
␈β	∀␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αcom␈α␈plex␈αv␈α}a␈α␈ri␈α↓a␈α␈ble␈↓ ∧α␈ε)z␈↓ ∧∨␈ε#in␈αa␈αne␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈b␈α␈orho␈α↓od␈α
of␈αth␈α␈e␈αorigin,␈↓ π{␈ε#an␈α␈d␈αi␈α↓t␈αsat␈α␈i␈α↓s|␈α␈es␈αthe␈αd␈α␈i␈α↓{␈α␈eren␈α}ti␈α↓a␈α␈l
␈β	6␈↓ αb␈ε:0␈↓ ∧W␈ε&2
␈β	<␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈qua␈α␈tion␈↓ αO␈ε)f␈↓ αp␈ε#(␈↓ α|␈ε)z␈↓ β
␈ε#)␈α	=␈α
1␈ε7␈απ␈␈↓ ∧␈ε)f␈↓ ∧/␈ε#(␈↓ ∧:␈ε)z␈↓ ∧K␈ε#)␈↓ ∧m␈ε7␈␈ε#␈αλ2␈ε)n␈↓ ¬;␈ε)f␈↓ ¬]␈ε#(␈↓ ¬i␈ε)z␈↓ ¬z␈ε#)/␈↓ ε⊗␈ε)z␈↓ ε'␈ε#.␈α∂Use␈αth␈α␈i␈α↓s␈αfa␈α␈ct␈αto␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈at
␈β	G␈↓ ∧≥␈ε,n␈↓ ¬K␈ε,n
␈β	J␈↓ α↑␈ε,n
␈β
↓␈↓ ¬K␈ε:␈␈ε&1␈↓ ε%␈ε:␈␈ε&␈α↓1␈↓ ε␈␈ε:␈␈ε&␈α↓1␈↓ πZ␈ε:␈␈ε&1
␈β
	␈↓ ∧≤␈ε#ta␈α␈nh␈↓ ∧d␈ε)z␈↓ ∧}␈ε#=␈ε7␈α
?␈↓ ¬:␈ε)z␈↓ ¬t␈ε#,␈αε3␈↓ ε∀␈ε)z␈↓ εO␈ε#,␈αε5␈↓ εn␈ε)z␈↓ π)␈ε#,␈αε7␈↓ πH␈ε)z␈↓ λβ␈ε#,␈↓ λ∩␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ λ?␈ε7?␈ε#␈α␈.
␈β
V␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈en␈αa␈α␈pp␈α␈ly␈αHurwitz's␈αru␈α␈l␈α↓e␈α(ex␈α␈ercise␈α1␈α␈4)␈αto␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈at
␈β!␈↓ ∧β␈ε:␈␈ε&␈α↓1/␈ε,␈α␈n
␈β&␈↓ ∧␈␈ε6?␈↓ π0␈ε6?
␈β'␈↓ ¬↔␈∧'¬↔αα~
␈β(␈↓ βu␈ε)e␈↓ ∧U␈ε#=␈↓ ¬↔␈ε#1,␈α¬(␈α↓2␈ε)␈α␈m␈ε#␈απ+␈αλ1)␈ε)n␈ε7␈απ␈␈ε#␈αλ1,␈αε1␈↓ πB␈ε#,␈ε)␈↓ λ∀m␈ε7␈αλ∃␈ε#␈α
0.
␈βs␈↓ ↓H␈ε"(
␈βu␈↓ ↓T␈ε#Th␈α␈is␈α∞notat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α
denote␈α␈s␈α∞th␈α␈e␈α
i␈α↓n␈α␈|n␈α␈ite␈α∞c␈α␈on␈α␈tin␈α}ued␈α
fra␈α␈ction␈ε7␈α
?␈ε#␈α¬1,␈ε)␈α∞n␈ε7␈α	␈␈ε#␈α
1␈α␈,␈α∂1␈α␈,␈α∂1␈α␈,␈α∞3␈ε)n␈ε7␈α	␈␈ε#␈α
1␈α␈,␈α∂1␈α␈,␈α∂1␈α␈,
␈β↔␈↓ 

␈ε:␈␈ε&2/␈ε,n
␈β≠␈↓ β:␈ε")
␈β≥␈↓ ↓H␈ε#5␈ε)␈α␈n␈ε7␈α
␈␈ε#␈α
1,␈α∂1,␈↓ αt␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ β ␈ε7?␈ε#.␈↓ βT␈ε#Al␈α↓so␈α∞|␈α␈nd␈α∞t␈α␈he␈α∞regu␈α␈lar␈α∞con␈α}ti␈α↓n␈α}ue␈α␈d␈α∞f␈α↓r␈α␈action␈α∞ex␈α␈pa␈α␈nsion␈α
of␈↓ 	|␈ε)e␈↓ 
a␈ε#wh␈α␈en
␈βE␈↓ ↓H␈ε)n␈ε#␈α	>␈α
0␈αis␈αod␈α␈d.
␈βu␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βw␈↓ ↓V␈ε317.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈3␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(a)␈α⊃Pro␈α␈v␈α␈e␈α⊃th␈α␈at␈ε7␈α⊃?␈↓ ∧u␈ε)x␈↓ ¬↔␈ε#,␈ε7␈αε␈␈↓ ¬G␈ε)x␈↓ ¬i␈ε7?␈ε#␈α∪=␈ε7␈α∀?␈↓ εR␈ε)x␈↓ ε␈␈ε7␈␈ε#␈α1,␈α¬1,␈↓ πk␈ε)x␈↓ λ_␈ε7␈␈ε#␈α1␈ε7␈α␈?␈ε#.␈α%(b)␈α⊃Gen␈α␈eralize␈α⊃th␈α␈is
␈β
α␈↓ ¬λ␈ε&1␈↓ ¬Z␈ε&2␈↓ εe␈ε&1␈↓ π⎇␈ε&2
␈β
≡␈↓ ↓H␈ε#id␈α␈en␈α␈tit␈α␈y,␈α∩ob␈α␈tain␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α⊃a␈α⊂form␈α}ula␈α⊃fo␈α␈r␈ε7␈α⊃?␈↓ ¬Y␈ε)x␈↓ ¬z␈ε#,␈ε7␈αε␈␈↓ ε*␈ε)x␈↓ εL␈ε#,␈↓ ε[␈ε)x␈↓ ε⎇␈ε#,␈ε7␈α¬␈␈↓ π-␈ε)x␈↓ πN␈ε#,␈↓ π]␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ λ
␈ε#,␈↓ λ_␈ε)x␈↓ λs␈ε#,␈ε7␈αε␈␈↓ 	#␈ε)x␈↓ 	V␈ε7?␈ε#␈α⊂in␈α⊂w␈α↓h␈α␈ich␈α⊂all
␈β
*␈↓ ¬k␈ε&1␈↓ ε=␈ε&2␈↓ εm␈ε&3␈↓ π?␈ε&4␈↓ λ+␈ε&2␈ε,n␈ε:␈α␈␈␈ε&␈α↓1␈↓ 	6␈ε&2␈ε,␈α␈n
␈β
F␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈artial␈α⊂q␈α␈uotien␈α}ts␈α⊂are␈α∂positiv␈α␈e␈α∂i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈α⊂when␈α∂the␈ε)␈α∂x␈ε#'s␈α⊂are␈α∂l␈α↓a␈α␈rge␈α⊂p␈α␈ositiv␈α␈e␈α⊂in␈α}tegers.␈α"(␈α↓c␈α␈)
␈β
m␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈α∞resu␈α␈lt␈α∞of␈α∞ex␈α␈ercise␈α∞16␈α
i␈α↓m␈α␈plies␈α∞tha␈α␈t␈↓ ε¬␈ε#tan␈↓ ε;␈ε#1␈α∞=␈ε7␈α∞?␈ε#1␈α␈,␈ε7␈αε␈␈ε#3,␈αε5,␈ε7␈α¬␈␈ε#␈α↓7␈α␈,␈↓ λZ␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ 	ε␈ε7?␈ε#.␈α_Find␈α
the␈α∞re␈α␈gula␈α␈r
␈β∞∃␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈on␈α␈tin␈α}ued␈α
fraction␈α
exp␈α␈an␈α␈sion␈αo␈α␈f␈↓ ¬≡␈ε#ta␈α␈n␈↓ ¬S␈ε#1.
␈β∞G␈↓ ↓V␈ε318.␈↓ α␈ε#[␈ε)M4␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Dev␈α␈elo␈α␈p␈α∂a␈α∂comp␈α␈ut␈α␈er␈α⊂p␈α␈rog␈α␈ram␈α∂to␈α∂|␈α␈nd␈α∂a␈α␈s␈α⊂ma␈α␈n␈α␈y␈α∂p␈α␈artial␈α∂qu␈α␈otien␈α␈ts␈α∂of␈ε)␈α∂x␈ε#␈α∂a␈α␈s
␈β∞o␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈ossib␈α␈l␈α↓e␈α␈,␈α⊃whe␈α␈n␈ε)␈α∂x␈ε#␈α∂is␈α∂a␈α∂rea␈α␈l␈α⊂n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α∂giv␈α␈en␈α∞wi␈α↓th␈α∞high␈α∞precision␈α␈.␈α≤Use␈α∂y␈α}ou␈α␈r␈α⊂p␈α␈rog␈α␈ram␈α∂to
␈β∂⊗␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈alculat␈α␈e␈αthe␈α|␈α␈rst␈αon␈α␈e␈αthou␈α␈san␈α␈d␈αor␈αso␈α
pa␈α␈rtial␈αquo␈α␈tien␈α␈ts␈αo␈α␈f␈↓ λ⊂␈ε#E␈α↓u␈α␈ler's␈αcon␈α␈stan␈α}t␈↓ 
¬␈ε)␈
␈↓ 
→␈ε#,␈αb␈α␈ased␈α
on
␈β∂<␈↓ 	d␈ε"(
␈β∂>␈↓ ↓H␈ε#D.␈α
W.␈↓ α.␈ε#S␈α␈w␈α␈een␈α␈ey's␈α
3␈α␈566␈α␈-␈α↓p␈α␈lace␈α
v␈α⎇alue␈α[␈ε0␈α↓M␈α␈ath␈α␈.␈α∞Co␈α␈mp.␈ε3␈α
17␈ε#␈α(196␈α␈3),␈α∞1␈α␈70↑␈α␈178␈α␈]␈α↓.␈↓ 	p␈ε#Acc␈α␈ord␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
to
␈β∂f␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αth␈α␈eo␈α␈ry␈αin␈α
the␈α
tex␈α␈t,␈αw␈α␈e␈αex␈α␈pe␈α␈ct␈αto␈α
get␈α
ab␈α␈out␈α
0.97␈α
pa␈α␈rtial␈αqu␈α␈otien␈α}ts␈αp␈α␈er␈αd␈α␈ecimal␈αd␈α␈igit.
␈β⊂
␈↓ ↓H␈ε#Cf.␈α	Algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈α	4␈α␈.␈α↓5␈α␈.␈α↓2␈α␈L␈α	an␈α␈d␈α	th␈α␈e␈α	a␈α␈rti␈α↓c␈α␈l␈α↓e␈αλby␈αλJ.␈α	W.␈↓ εY␈ε#W␈α}ren␈α␈ch␈α␈,␈α
Jr.␈α	a␈α␈nd␈αλD.␈↓ λr␈ε#Sh␈α␈an␈α␈ks,␈ε0␈α	Math␈α␈.␈α	Comp␈α␈.
␈β⊂3␈↓ β←␈ε")
␈β⊂5␈↓ ↓H␈ε32␈α␈0␈ε#␈α(19␈α␈66),␈α444␈α␈↑4␈α␈47.
␈β⊂g␈↓ ↓V␈ε319.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈at␈↓ ∧!␈ε)F␈↓ ∧;␈ε#(␈ε)x␈ε#␈α␈)␈α
=␈↓ ¬↔␈ε#l␈α↓o␈α␈g␈↓ ¬O␈ε#(1␈απ+␈ε)␈αλx␈ε#␈α␈)␈αsa␈α␈tis|es␈αEq.␈α(24␈α␈).
␈β⊂w␈↓ ¬B␈ε,b
␈β⊃→␈↓ ↓V␈ε320.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈20␈↓ αt␈ε#]␈α⊗Deriv␈α}e␈α(36)␈αfrom␈α(3␈α␈5).
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.3␈↓ λM␈ε"'␈↓ 
v␈ε"361
␈β↓\␈↓ ¬y␈ε∞ANA␈α↓L␈α⎇Y␈α↓S␈α␈IS␈α	OF␈α
E␈α↓UCL␈α↓ID␈↓ λW␈ε∞S␈α	A␈α↓L␈α␈GORIT␈α↓HM
␈βα%␈↓ ↓V␈ε321.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈29␈↓ αt␈ε#]␈α⊗(E.␈↓ βF␈ε#Wirsing␈α␈.␈α↓)␈α∞Th␈α␈e␈αλbou␈α␈nd␈α␈s␈αλ(37)␈αλw␈α␈ere␈αλob␈α␈tain␈α␈ed␈αλfor␈αλa␈αλfu␈α␈nction␈ε)␈απ⎇␈ε#␈αλcor␈α␈respo␈α␈nd␈α␈-
␈βαM␈↓ ↓H␈ε#in␈α␈g␈α
to␈↓ α+␈ε)g␈↓ αH␈ε#wi␈α↓th␈↓ β⊗␈ε)T␈↓ β-␈ε)g␈↓ β>␈ε#(␈ε)x␈ε#␈α␈)␈α
=␈α1␈α␈/(␈ε)x␈ε#␈αλ+␈α	1).␈α∀S␈α␈h␈α↓o␈α}w␈α
th␈α␈at␈α
th␈α␈e␈α
fu␈α␈nctio␈α␈n␈α
co␈α␈rresp␈α␈on␈α␈ding␈αto␈↓ 
.␈ε)T␈↓ 
F␈ε)g␈↓ 
V␈ε#(␈ε)␈α↓x␈ε#␈α␈)␈α=
␈βαt␈↓ ↓H␈ε#1␈α␈/(␈ε)x␈ε#␈απ+␈ε)␈αλc␈ε#)␈αyields␈αb␈α␈etter␈αb␈α␈ou␈α␈nd␈α␈s,␈αwh␈α␈en␈ε)␈αc␈ε#␈α	>␈α
0␈α
i␈α↓s␈αa␈α␈n␈αap␈α␈pro␈α␈priate␈α
con␈α␈stan␈α␈t.
␈ββ-␈↓ ↓V␈ε322.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈46␈↓ αt␈ε#]␈α⊗(K.␈αλI.␈↓ βe␈ε#Bab␈α␈enk␈α}o.)␈α
Dev␈α}el␈α↓o␈α␈p␈αλe␈α␈}cien␈α␈t␈απmean␈α␈s␈αλto␈απcalcu␈α␈l␈α↓a␈α␈te␈αλac␈α␈cura␈α␈te␈αλap␈α␈pr␈α␈o␈α␈xima␈α␈-
␈ββT␈↓ ↓H␈ε#tio␈α␈ns␈αto␈αth␈α␈e␈αqu␈α␈an␈α}ti␈α↓ties␈↓ ∧∀␈ε)∃␈↓ ∧@␈ε#an␈α␈d␈↓ ¬↓␈ε#␈	␈↓ ¬(␈ε#(␈ε)␈α↓x␈ε#␈α␈)␈αi␈α↓n␈α
(42),␈αfor␈αsm␈α␈all␈↓ πZ␈ε)j␈↓ πs␈ε7∃␈ε#␈α	3␈αan␈α␈d␈αfo␈α␈r␈α0␈ε7␈α	∀␈ε)␈α
x␈ε7␈α	∀␈ε#␈α	1.
␈ββ`␈↓ ∧'␈ε,j␈↓ ¬≠␈ε,j
␈β∧
␈↓ ↓V␈ε323.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈23␈↓ αt␈ε#]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈α(51),␈αus␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αresu␈α␈lts␈αf␈α↓r␈α␈om␈αth␈α␈e␈αproof␈αof␈αThe␈α␈orem␈αW.
␈β∧E␈↓ ↓V␈ε324.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈2␈↓ α\␈ε#]␈α⊗W␈α↓h␈α␈at␈α	is␈α
th␈α␈e␈α	a␈α␈v␈α␈e␈α␈rage␈α	v␈α⎇alue␈α	of␈α	a␈α	pa␈α␈rtial␈α
q␈α␈uot␈α␈i␈α↓en␈α}t␈↓ λ ␈ε)A␈↓ λT␈ε#in␈α	the␈α	re␈α␈gular␈α	co␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed
␈β∧Q␈↓ λ8␈ε,n
␈β∧m␈↓ ↓H␈ε#fra␈α␈ction␈αe␈α␈xp␈α␈ansio␈α␈n␈αof␈αa␈αra␈α␈nd␈α␈om␈αre␈α␈al␈αn␈α␈um␈α}ber?
␈β¬%␈↓ ↓V␈ε325.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈25␈↓ αt␈ε#]␈α⊗Find␈αa␈α␈n␈αexa␈α␈mp␈α␈l␈α↓e␈αof␈αa␈αset␈↓ ε∩␈ε7I␈↓ ε4␈ε#=␈↓ εa␈ε)I␈↓ πε␈ε7[␈↓ π'␈ε)I␈↓ πL␈ε7[␈↓ πl␈ε)I␈↓ λ⊃␈ε7[␈↓ λ2␈ε7↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ λd␈ε7∩␈↓ 	⊃␈ε#[␈↓ 	~␈ε#0,␈αε1␈α␈]␈α↓,␈α
wh␈α␈ere␈αthe␈↓ ε␈ε)I␈↓ ⊗␈ε#'s
␈β¬1␈↓ εo␈ε&1␈↓ π4␈ε&2␈↓ πz␈ε&3
␈β¬M␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈re␈αdisjoin␈α}t␈αi␈α↓n␈α}terv␈α}a␈α␈l␈α↓s,␈αfor␈αwh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈α(43␈α␈)␈αd␈α␈oes␈αnot␈αhold.
␈βε¬␈↓ ↓V␈ε326.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈3␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Sho␈α␈w␈α	that␈α	if␈α
th␈α␈e␈α
n␈α}um␈α}bers␈ε7␈α	f␈ε#1␈α␈/␈ε)n␈ε#,␈αε2/␈ε)␈α␈n␈ε#␈α↓,␈↓ π␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ π8␈ε#,␈ε7␈αεb␈ε)n␈ε#/2␈ε7␈α␈c␈ε#/␈ε)n␈ε7g␈ε#␈α
a␈α␈re␈α	exp␈α␈ressed␈α	a␈α␈s␈α
re␈α␈gula␈α␈r
␈βε-␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈on␈α␈tin␈α}ued␈αfraction␈α␈s,␈α∞th␈α␈e␈α
resu␈α␈l␈α↓t␈α
is␈α
sy␈α␈mmetric␈α
b␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈αl␈α↓e␈α␈$␈α
and␈αrigh␈α␈t␈α␈,␈α∞i␈α↓n␈αthe␈αsense␈αtha␈α␈t
␈βεU␈↓ ↓H␈ε7?␈↓ ↓X␈ε)A␈↓ ↓|␈ε#,␈↓ α␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ α8␈ε#,␈↓ αF␈ε)A␈↓ αn␈ε#,␈↓ α|␈ε)A␈↓ β$␈ε7?␈ε#␈α
app␈α␈ears␈αwh␈α␈en␈α␈ev␈α␈er␈ε7␈α?␈↓ ¬\␈ε)A␈↓ ε∧␈ε#,␈↓ ε∩␈ε)A␈↓ ε:␈ε#,␈↓ εH␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ εu␈ε#,␈↓ π∧␈ε)A␈↓ π(␈ε7?␈ε#␈αd␈α␈oes␈α␈.
␈βε`␈↓ ↓p␈ε,t␈↓ α↑␈ε&2␈↓ β∃␈ε&1␈↓ ¬t␈ε&1␈↓ ε*␈ε&2␈↓ π≤␈ε,t
␈βπ
␈↓ ↓V␈ε327.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈1␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Deriv␈α␈e␈α(53␈α␈)␈αf␈α↓ro␈α␈m␈α(47␈α␈)␈αa␈α␈nd␈α
(␈α↓5␈α␈2).
␈βπE␈↓ ↓V␈ε328.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈3␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈α
the␈α
follo␈α␈wing␈α
ide␈α␈n␈α␈tities␈α∞in␈α␈v␈α}olvin␈α␈g␈α∞th␈α␈e␈↓ λ¬␈ε#three␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er-the␈α␈oretic␈α
f␈α↓u␈α␈nc␈α␈-
␈βπm␈↓ ↓H␈ε#tio␈α␈ns␈ε)␈α⎇␈ε#(␈ε)n␈ε#),␈ε)␈α⊗␈ε#(␈ε)n␈ε#),␈αβ(␈ε)n␈ε#):
␈βλ#␈↓ α7␈ε↓X␈↓ εe␈ε↓X␈↓ λt␈ε↓X
␈βλF␈↓ α
␈ε#a)␈↓ αp␈ε)⊗␈ε#(␈ε)d␈ε#␈α↓)␈α	=␈↓ β←␈ε)∞␈↓ ∧
␈ε#.␈↓ ¬M␈ε#b)␈↓ ¬|␈ε#ln␈↓ ε≥␈ε)n␈ε#␈α
=␈↓ π∨␈ε#β(␈ε)d␈ε#),␈ε)␈↓ λ,n␈ε#␈α	=␈↓ 	-␈ε)⎇␈ε#(␈ε)d␈ε#).
␈βλR␈↓ βm␈ε,n␈ε&1
␈βλx␈↓ α:␈ε,d␈ε:∧␈ε,␈α␈n␈↓ εh␈ε,d␈ε:∧␈ε,n␈↓ λw␈ε,d␈ε:∧␈ε,n
␈βλ{␈↓ βp␈ε↓⊂␈↓ ∧≥␈ε↓⊃␈↓ ε|␈ε↓⊂␈↓ π*␈ε↓⊃
␈β	α␈↓ β"␈ε↓X␈↓ ε/␈ε↓X
␈β	∂␈↓ ∧¬␈ε)n␈↓ π∩␈ε)n
␈β	&␈↓ α
␈ε#c)␈↓ α/␈ε#β␈α↓(␈ε)n␈ε#)␈α	=␈↓ β[␈ε)⊗␈↓ ∧5␈ε#ln␈↓ ∧V␈ε)d␈ε#,␈ε)␈↓ ¬9⎇␈ε#␈α␈(␈ε)n␈ε#␈α↓)␈α	=␈↓ εh␈ε)⊗␈↓ πB␈ε)d␈ε#.
␈β	9␈↓ ∧¬␈∧	9∧¬α∃␈↓ π∩␈∧	9π∩α∃
␈β	<␈↓ ∧π␈ε)d␈↓ π∀␈ε)d
␈β	X␈↓ β%␈ε,d␈ε:∧␈ε,n␈↓ ε2␈ε,d␈ε:∧␈ε,␈α␈n
␈β
2␈↓ ↓V␈ε329.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈3␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Assum␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αth␈α␈at␈↓ ∧[␈ε)T␈↓ ¬␈ε#i␈α↓s␈αg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈αb␈α␈y␈α(53␈α␈),␈αsho␈α␈w␈αth␈α␈at␈α(55␈α␈)␈αe␈α␈qua␈α␈l␈α↓s␈α(5␈α␈6).
␈β
=␈↓ ∧n␈ε,n
␈β
h␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β
j␈↓ ↓V␈ε330.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈32␈↓ αt␈ε#]␈α⊗Th␈α␈e␈α∞follo␈α␈wing␈α
v␈α}aria␈α␈n␈α␈t␈α∞o␈α␈f␈α∞E␈α↓u␈α␈clid's␈α∞algo␈α␈rithm␈↓ λ"␈ε#i␈α↓s␈α∞o␈α␈$en␈α
sug␈α␈gested␈α␈:␈α⊃Inst␈α␈ead
␈β∩␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈α⊂rep␈α␈lacing␈↓ βε␈ε)v␈↓ β'␈ε#by␈ε)␈α∂u␈↓ βt␈ε#mo␈α␈d␈↓ ∧8␈ε)v␈↓ ∧Z␈ε#d␈α␈urin␈α␈g␈α⊂t␈α␈he␈α∂division␈α∂step␈α␈,␈α⊃rep␈α␈l␈α↓a␈α␈ce␈α∂i␈α↓t␈α∂by␈ε7␈α∂j␈ε#(␈ε)u␈↓ 	V␈ε#mod␈↓ 
≠␈ε)v␈↓ 
,␈ε#)␈ε7␈α␈␈↓ 
n␈ε)v␈↓ 
␈␈ε7j␈ε#␈α⊂if
␈β7␈↓ α}␈ε&1
␈β9␈↓ ↓H␈ε)u␈↓ ↓a␈ε#m␈α␈od␈↓ α%␈ε)v␈↓ αH␈ε#>␈↓ β⊂␈ε)v␈↓ β!␈ε#.␈α≡Th␈α␈u␈α␈s,␈α⊃for␈α⊂ex␈α␈amp␈α␈le,␈α∩if␈ε)␈α⊂u␈ε#␈α∩=␈α⊃26␈α∂and␈↓ πi␈ε)v␈↓ λ␈ε#=␈α⊃7,␈α∩w␈α␈e␈α∂ha␈α␈v␈α}e␈↓ 	q␈ε#gc␈α␈d␈↓ 
#␈ε#(26␈α␈,␈αε7)␈α⊃=
␈βJ␈↓ α}␈ε&2
␈βL␈↓ α}␈∧Lα}α∞
␈βa␈↓ ↓H␈ε#g␈α␈cd␈↓ ↓z␈ε#(␈ε7␈␈ε#2,␈α¬7)␈α	=␈↓ β∃␈ε#gc␈α␈d␈↓ βG␈ε#(7,␈α¬2);␈ε7␈α
␈␈ε#␈α↓2␈α	is␈α	the␈ε0␈α	re␈α␈maind␈α␈er␈α	of␈α	smallest␈α	mag␈α␈nitu␈α␈de␈ε#␈α	whe␈α␈n␈α	m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e␈α␈s␈α
o␈α␈f␈α
7
␈β	␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈re␈α
sub␈α␈tracte␈α␈d␈α
from␈α
26.␈α∞Comp␈α␈are␈α
this␈α
pro␈α␈ced␈α␈ure␈α
with␈α
Euclid's␈α
algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m;␈αe␈α␈sti␈α↓m␈α␈ate␈α
the
␈β0␈↓ ↓H␈ε#n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈isi␈α↓o␈α␈n␈αste␈α␈ps␈αth␈α␈i␈α↓s␈αme␈α␈th␈α↓o␈α␈d␈αsa␈α␈v␈α}es,␈αon␈αth␈α␈e␈αa␈α␈v␈α}erag␈α␈e.
␈βg␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βi␈↓ ↓V␈ε331.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈5␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Fi␈α↓n␈α␈d␈αth␈α␈e␈α\w␈α␈orst␈αc␈α␈ase"␈αo␈α␈f␈αthe␈αmodi|␈α␈cation␈α
of␈αEuclid's␈αalgo␈α␈rithm␈αsu␈α␈gg␈α␈ested
␈β
⊂␈↓ ↓H␈ε#in␈α
exerc␈α␈i␈α↓se␈α
30;␈αwha␈α␈t␈αare␈αth␈α␈e␈αsmallest␈αinp␈α␈uts␈ε)␈αu␈ε#␈α	>␈↓ π⊃␈ε)v␈↓ π,␈ε#>␈α	0␈αth␈α␈at␈αrequ␈α␈ire␈ε)␈αn␈ε#␈αd␈α␈ivision␈αste␈α␈ps?
␈β
I␈↓ ↓V␈ε332.␈↓ α␈ε#[␈ε)20␈↓ α;␈ε#]␈α⊗(a␈α␈)␈α∂A␈↓ β5␈ε#Mo␈α␈rse␈α∞cod␈α␈e␈α∞sequ␈α␈enc␈α␈e␈α∂o␈α␈f␈α∂len␈α␈gth␈ε)␈α
n␈ε#␈α∂is␈α∂a␈α
stri␈α↓n␈α␈g␈α∞of␈↓ λz␈ε)r␈↓ 	_␈ε#d␈α␈ots␈α∞an␈α␈d␈ε)␈α∞s␈ε#␈α∞d␈α␈ash␈α␈es,
␈β
p␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ere␈↓ α(␈ε)r␈↓ α?␈ε#+␈απ2␈ε)s␈ε#␈α	=␈ε)␈α	n␈ε#␈α↓.␈α∂F␈α⎇or␈αex␈α␈amp␈α␈le,␈αt␈α␈he␈αM␈α␈orse␈αco␈α␈de␈αseq␈α␈ue␈α␈nces␈αo␈α␈f␈αl␈α↓en␈α␈gth␈α
4␈αare
␈β∞C␈↓ ¬;␈ε#←␈↓ ε≤␈ε#←␈↓ ε|␈ε#←␈↓ πk␈ε#←␈↓ λ∩␈ε#←
␈β∞D␈↓ ∧8␈ε7↓␈αε↓␈αε↓␈α¬↓␈ε#␈α↓,␈ε7␈α'↓␈αε↓␈↓ ¬]␈ε#,␈ε7␈α'↓␈↓ εB␈ε7↓␈ε#␈α↓,␈↓ π#␈ε7↓␈α¬↓␈ε#␈α↓,␈↓ λ3␈ε#.
␈β∂_␈↓ ↓H␈ε#No␈α␈ting␈αth␈α␈at␈αt␈α␈he␈αcon␈α}tin␈α␈ua␈α␈n␈α␈t␈↓ ∧←␈ε)Q␈↓ ¬	␈ε#(␈↓ ¬∀␈ε)x␈↓ ¬6␈ε#,␈↓ ¬D␈ε)x␈↓ ¬f␈ε#,␈↓ ¬u␈ε)x␈↓ ε↔␈ε#,␈↓ ε%␈ε)x␈↓ εG␈ε#)␈αis␈↓ ε␈␈ε)x␈↓ π!␈ε)x␈↓ πC␈ε)x␈↓ πd␈ε)x␈↓ λ∞␈ε#+␈↓ λ7␈ε)x␈↓ λX␈ε)x␈↓ 	α␈ε#+␈↓ 	+␈ε)x␈↓ 	L␈ε)x␈↓ 	v␈ε#+␈↓ 
∨␈ε)x␈↓ 
@␈ε)x␈↓ 
j␈ε#+␈αλ1␈α␈,
␈β∂#␈↓ ∧z␈ε&4␈↓ ¬&␈ε&1␈↓ ¬W␈ε&2␈↓ επ␈ε&3␈↓ ε8␈ε&4␈↓ π∩␈ε&1␈↓ π3␈ε&2␈↓ πU␈ε&3␈↓ πw␈ε&4␈↓ λI␈ε&1␈↓ λk␈ε&2␈↓ 	=␈ε&1␈↓ 	←␈ε&4␈↓ 
1␈ε&3␈↓ 
S␈ε&4
␈β∂?␈↓ ↓H␈ε#|␈α␈nd␈αan␈α␈d␈αpr␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈αa␈αs␈α␈i␈α↓m␈α␈ple␈αrelation␈αbet␈α␈w␈α␈e␈α␈en␈↓ ε)␈ε)Q␈↓ εU␈ε#(␈↓ εa␈ε)x␈↓ πα␈ε#,␈↓ π⊃␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ π=␈ε#,␈↓ πL␈ε)x␈↓ πq␈ε#)␈αan␈α␈d␈αMo␈α␈rse␈αco␈α␈de␈αseq␈α␈uen␈α␈ces␈αo␈α␈f
␈β∂K␈↓ εC␈ε,n␈↓ εs␈ε&1␈↓ π←␈ε,n
␈β∂g␈↓ ↓H␈ε#len␈α␈gth␈ε)␈α
n␈ε#␈α↓.␈α→(b)␈α(L.␈↓ βN␈ε#Eu␈α␈l␈α↓e␈α␈r,␈ε0␈αNo␈α}vi␈αComm␈α␈.␈αAca␈α␈d.␈αSc␈α␈i␈α↓.␈αPet.␈ε3␈α9␈ε#␈α(176␈α␈2),␈α53↑␈α␈69.)␈α→Pro␈α␈v␈α␈e␈α
that
␈β⊂7␈↓ ↓i␈ε)Q␈↓ αH␈ε#(␈↓ αS␈ε)x␈↓ αu␈ε#,␈↓ ββ␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ β0␈ε#,␈↓ β?␈ε)x␈↓ ∧∃␈ε#)␈α
=␈↓ ∧T␈ε)Q␈↓ ¬λ␈ε#(␈↓ ¬∪␈ε)x␈↓ ¬5␈ε#,␈↓ ¬C␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ¬p␈ε#,␈↓ ¬␈␈ε)x␈↓ ε*␈ε#)␈↓ ε5␈ε)Q␈↓ εb␈ε#(␈↓ εm␈ε)x␈↓ πA␈ε#,␈↓ πP␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ π|␈ε#,␈↓ λ␈ε)x␈↓ λb␈ε#)
␈β⊂C␈↓ αβ␈ε,m␈ε&+␈ε,␈α↓n␈↓ αe␈ε&1␈↓ βQ␈ε,m␈ε&+␈ε,n␈↓ ∧o␈ε,m␈↓ ¬%␈ε&1␈↓ ε⊃␈ε,m␈↓ εP␈ε,n␈↓ π␈ε,m␈ε&␈α␈+␈α↓1␈↓ λ≡␈ε,m␈ε&␈α␈+␈ε,␈α↓n
␈β⊂f␈↓ ¬H␈ε#+␈↓ ¬q␈ε)Q␈↓ εL␈ε#(␈↓ εW␈ε)x␈↓ εy␈ε#,␈↓ πλ␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ π4␈ε#,␈↓ πC␈ε)x␈↓ λ↔␈ε#)␈↓ λ"␈ε)Q␈↓ λw␈ε#(␈↓ 	α␈ε)x␈↓ 	V␈ε#,␈↓ 	e␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ 
⊃␈ε#,␈↓ 
 ␈ε)x␈↓ 
w␈ε#).
␈β⊂q␈↓ ε␈ε,m␈ε:␈␈ε&1␈↓ εj␈ε&1␈↓ πV␈ε,m␈ε:␈α␈␈␈ε&␈α↓1␈↓ λ<␈ε,n␈ε:␈␈ε&␈α↓1␈↓ 	∀␈ε,m␈ε&+␈α↓2␈↓ 
2␈ε,m␈ε&+␈ε,␈α↓n
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"362␈↓ 
b␈ε"4.5.3
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα%␈↓ ↓V␈ε333.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈2␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Let␈ε)␈αh␈ε#␈α↓(␈ε)n␈ε#)␈αbe␈αth␈α␈e␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αof␈αrepr␈α␈esen␈α␈ta␈α␈tions␈αo␈α␈f␈ε)␈αn␈ε#␈αin␈αth␈α␈e␈αform
␈βαs␈↓ αV␈ε:0␈↓ β2␈ε:0␈↓ ¬Q␈ε:0␈↓ ε∨␈ε:0␈↓ 
/␈ε:0␈↓ 
y␈ε:0
␈βαy␈↓ ↓i␈ε)n␈ε#␈α
=␈ε)␈α	x␈↓ αD␈ε)x␈↓ αf␈ε#+␈↓ β∂␈ε)y␈↓ β!␈ε)y␈↓ β;␈ε#,␈ε)␈α+x␈ε#␈αλ>␈↓ ∧5␈ε)y␈↓ ∧P␈ε#>␈α	0,␈↓ ¬>␈ε)x␈↓ ¬c␈ε#>␈↓ ε∞␈ε)y␈↓ ε1␈ε#>␈α
0,␈↓ π ␈ε#gc␈α␈d␈↓ πR␈ε#(␈ε)x␈ε#,␈↓ π}␈ε)y␈↓ λ⊂␈ε#)␈α	=␈α
1,␈α$i␈α↓n␈α}tege␈α␈r␈ε)␈αx␈ε#,␈↓ 
≥␈ε)x␈↓ 
8␈ε#,␈↓ 
G␈ε)y␈↓ 
Y␈ε#,␈↓ 
g␈ε)y␈↓ α␈ε#.
␈ββF␈↓ πv␈ε:0␈↓ λQ␈ε:0
␈ββL␈↓ ↓H␈ε#(a␈α␈)␈α∂Sho␈α␈w␈α∂tha␈α␈t␈α∂if␈α∂the␈α∂c␈α␈ond␈α␈itions␈α∞are␈α∂rela␈α␈xed␈α∞to␈α∂a␈α␈l␈α↓lo␈α␈w␈↓ πd␈ε)x␈↓ λ∂␈ε#=␈↓ λ@␈ε)y␈↓ λZ␈ε#,␈α⊂the␈α∂n␈α}um␈α}ber␈α∂o␈α␈f␈α∂repre␈α␈-
␈ββt␈↓ ↓H␈ε#se␈α␈n␈α␈tatio␈α␈ns␈α∂is␈ε)␈α∞h␈ε#␈α↓(␈ε)n␈ε#)␈α
+␈ε7␈α
b␈ε#(␈ε)n␈ε7␈α
␈␈ε#␈α1␈α␈)/2␈ε7c␈ε#.␈α (b)␈α∞Sho␈α␈w␈α∂th␈α␈at␈α∞f␈α↓o␈α␈r␈α∂|␈α␈xed␈↓ λ@␈ε)y␈↓ λa␈ε#>␈α∂0␈α∂a␈α␈nd␈α∞0␈α∂<␈ε)␈α∂t␈ε7␈α⊂∀␈↓ ∩␈ε)y␈↓ #␈ε#,
␈β∧∃␈↓ ε"␈ε:0␈↓ λM␈ε:0
␈β∧≠␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ere␈↓ α)␈ε#g␈α␈cd␈↓ α[␈ε#(␈ε)t␈ε#,␈↓ β↓␈ε)y␈↓ β∪␈ε#)␈α
=␈α1,␈αan␈α␈d␈αfo␈α␈r␈αeac␈α␈h␈α|␈α␈xed␈↓ ε∂␈ε)x␈↓ ε6␈ε#i␈α↓n␈αth␈α␈e␈αran␈α␈ge␈α0␈α
<␈↓ λ;␈ε)x␈↓ λa␈ε#<␈ε)␈α
n␈ε#␈α↓/␈α␈(␈↓ 	<␈ε)y␈↓ 	V␈ε#+␈ε)␈αλt␈ε#␈α↓)␈αsu␈α␈ch␈αtha␈α␈t
␈β∧=␈↓ ↓Z␈ε:0
␈β∧C␈↓ ↓H␈ε)x␈↓ ↓c␈ε)t␈ε7␈α
⊃␈ε)␈α	n␈ε#␈α
(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ βB␈ε)y␈↓ βT␈ε#)␈↓ β←␈ε#,␈αth␈α␈ere␈αi␈α↓s␈αex␈α␈actly␈αo␈α␈ne␈αrep␈α␈resen␈α}tation␈αo␈α␈f␈ε)␈αn␈ε#␈αsa␈α␈tisfying␈αth␈α␈e␈αrestriction␈α␈s
␈β∧j␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈α(␈α↓a␈α␈)␈αand␈α
the␈αc␈α␈ond␈α␈ition␈ε)␈αx␈ε7␈αλ⊃␈ε)␈α
t␈ε#␈α
(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ ε
␈ε)y␈↓ ε≤␈ε#).␈α~(c␈α␈)␈αCo␈α␈nseq␈α␈uen␈α}tly
␈β¬2␈↓ ∧c␈ε↓X
␈β¬;␈↓ ¬≥␈ε↓_␈↓ ¬-␈ε↓∩␈↓ ε↑␈ε↓∪␈↓ π∪␈ε↓→
␈β¬?␈↓ ¬d␈ε)n␈↓ ε}␈ε#1
␈β¬N␈↓ εU␈ε:0
␈β¬U␈↓ βr␈ε)h␈ε#(␈ε)n␈ε#)␈α
=␈↓ ε ␈ε7␈␈↓ εI␈ε)t␈↓ π*␈ε7␈␈αλb␈ε#(␈ε)n␈ε7␈αλ␈␈ε#␈απ1)/2␈ε7␈α␈c␈ε#,
␈β¬h␈↓ ¬G␈∧¬h¬GαO␈↓ ε⎇␈∧¬hε⎇α∩
␈β¬l␈↓ ¬G␈ε)y␈↓ ¬`␈ε#+␈ε)␈απt␈↓ ε⎇␈ε)y
␈βε<␈↓ εu␈ε:0␈↓ 
U␈ε:0
␈βεA␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ere␈α	th␈α␈e␈α	sum␈α	is␈α	o␈α␈v␈α␈e␈α␈r␈α
a␈α␈l␈α↓l␈α	po␈α␈siti␈α↓v␈α}e␈α	i␈α↓n␈α}teg␈α␈ers␈↓ ε$␈ε)y␈↓ ε6␈ε#,␈ε)␈α
t␈ε#,␈↓ εh␈ε)t␈↓ ππ␈ε#su␈α␈ch␈α	th␈α␈at␈↓ λ↔␈ε#gcd␈↓ λI␈ε#(␈ε)t␈ε#␈α↓,␈↓ λo␈ε)y␈↓ 	↓␈ε#)␈α	=␈α
1,␈ε)␈α
t␈ε7␈α	∀␈↓ 
$␈ε)y␈↓ 
5␈ε#,␈↓ 
H␈ε)t␈↓ 
g␈ε7∀␈↓ ∩␈ε)y␈↓ #␈ε#,
␈βεc␈↓ ↓a␈ε:0
␈βεi␈↓ ↓H␈ε)t␈↓ ↓T␈ε)t␈↓ ↓t␈ε7⊃␈ε)␈αn␈ε#␈α(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ β@␈ε)y␈↓ βR␈ε#).␈α≠(d␈α␈)␈αSho␈α␈w␈αth␈α␈at␈αe␈α␈ach␈αof␈αth␈α␈e␈ε)␈αh␈ε#(␈ε)n␈ε#␈α↓)␈αre␈α␈prese␈α␈n␈α␈tatio␈α␈ns␈αca␈α␈n␈αb␈α␈e␈αe␈α␈xp␈α␈ressed
␈βπ⊃␈↓ ↓H␈ε#u␈α␈niqu␈α␈ely␈αin␈αth␈α␈e␈αform
␈βπ←␈↓ αk␈ε)x␈↓ βπ␈ε#=␈↓ β2␈ε)Q␈↓ βe␈ε#(␈↓ βp␈ε)x␈↓ ∧∩␈ε#,␈↓ ∧!␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ ∧M␈ε#,␈↓ ∧\␈ε)x␈↓ ¬λ␈ε#),␈↓ εQ␈ε)y␈↓ εk␈ε#=␈↓ π⊗␈ε)Q␈↓ πr␈ε#(␈↓ π⎇␈ε)x␈↓ λ∨␈ε#,␈↓ λ-␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ λZ␈ε#,␈↓ λi␈ε)x␈↓ 	<␈ε#)␈α↓,
␈βπj␈↓ βL␈ε,m␈↓ ∧β␈ε&1␈↓ ∧o␈ε,m␈↓ π0␈ε,m␈ε:␈␈ε&␈α↓1␈↓ λ∂␈ε&1␈↓ λ{␈ε,m␈ε:␈␈ε&1
␈βλ
␈↓ αu␈ε:0␈↓ εY␈ε:0
␈βλ∃␈↓ αb␈ε)x␈↓ βπ␈ε#=␈↓ β2␈ε)Q␈↓ β\␈ε#(␈↓ βg␈ε)x␈↓ ∧;␈ε#,␈↓ ∧J␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ∧v␈ε#,␈↓ ¬¬␈ε)x␈↓ ¬Z␈ε#)␈ε)␈αεd␈ε#,␈↓ εH␈ε)y␈↓ εk␈ε#=␈↓ π⊗␈ε)Q␈↓ πi␈ε#(␈↓ πt␈ε)x␈↓ λH␈ε#,␈↓ λW␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ 	β␈ε#,␈↓ 	∩␈ε)x␈↓ 	g␈ε#)␈ε)␈α¬d␈ε#,
␈βλ ␈↓ βL␈ε,k␈↓ βz␈ε,m␈ε&+1␈↓ ¬_␈ε,m␈ε&+␈↓ ¬J␈ε,k␈↓ π0␈ε,k␈↓ π?␈ε:␈␈ε&␈α↓1␈↓ λε␈ε,m␈ε&+␈α↓2␈↓ 	$␈ε,m␈ε&+␈↓ 	V␈ε,k
␈βλc␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ere␈ε)␈α
m␈ε#,␈↓ α↑␈ε)k␈↓ αq␈ε#,␈ε)␈α∞d␈ε#,␈α∞an␈α␈d␈α
th␈α␈e␈↓ ∧.␈ε)x␈↓ ∧\␈ε#a␈α␈re␈α
po␈α␈siti␈α↓v␈α}e␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈α
wi␈α↓th␈↓ π\␈ε)x␈↓ λ␈ε7∃␈ε#␈α
2␈α␈,␈↓ λ`␈ε)x␈↓ 	B␈ε7∃␈ε#␈α
2␈α␈,␈α∞an␈α␈d␈ε)␈α
d␈ε#␈α
i␈α↓s␈α
a
␈βλn␈↓ ∧A␈ε,j␈↓ πo␈ε&1␈↓ λs␈ε,m␈ε&+␈↓ 	%␈ε,k
␈β	
␈↓ ↓H␈ε#d␈α␈ivisor␈α	of␈ε)␈α
n␈ε#.␈α∂Th␈α␈e␈α
id␈α␈en␈α␈tit␈α␈y␈α	of␈α
e␈α␈xerc␈α␈i␈α↓se␈α	32␈α	no␈α␈w␈α
imp␈α␈l␈α↓ies␈α	tha␈α␈t␈ε)␈α
n␈ε#/␈ε)d␈ε#␈α	=␈↓ λp␈ε)Q␈↓ 	L␈ε#(␈↓ 	X␈ε)x␈↓ 	y␈ε#,␈↓ 
λ␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ 
4␈ε#,␈↓ 
C␈ε)x␈↓ _␈ε#).
␈β	⊗␈↓ 	
␈ε,m␈ε&+␈↓ 	<␈ε,k␈↓ 	j␈ε&1␈↓ 
V␈ε,m␈ε&+␈↓ λ␈ε,k
␈β	2␈↓ ↓H␈ε#Co␈α␈n␈α␈v␈α␈e␈α␈rsely,␈α∞a␈α␈n␈α␈y␈αgiv␈α␈en␈αsequ␈α␈en␈α␈ce␈α
of␈α
p␈α␈ositiv␈α␈e␈α
in␈α␈te␈α␈gers␈↓ πB␈ε)x␈↓ πc␈ε#,␈↓ πz␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ λ&␈ε#,␈↓ λ=␈ε)x␈↓ 	∨␈ε#su␈α␈ch␈α
th␈α␈at␈↓ 
7␈ε)x␈↓ 
e␈ε7∃␈ε#␈α
2␈α␈,
␈β	=␈↓ πT␈ε&1␈↓ λP␈ε,m␈ε&␈α␈+␈↓ 	α␈ε,k␈↓ 
I␈ε&1
␈β	Y␈↓ ↓H␈ε)x␈↓ α&␈ε7∃␈ε#␈α	2,␈αa␈α␈nd␈↓ β5␈ε)Q␈↓ ∧∩␈ε#(␈↓ ∧≥␈ε)x␈↓ ∧>␈ε#,␈↓ ∧M␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ∧z␈ε#,␈↓ ¬λ␈ε)x␈↓ ¬]␈ε#)␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈ides␈ε)␈α
n␈ε#␈α↓,␈α
corres␈α␈pon␈α␈ds␈α
in␈α
this␈α
wa␈α}y␈α
to␈ε)␈α
m␈ε#␈αε+␈↓ 
\␈ε)k␈↓ 
t␈ε7␈␈ε#␈απ1
␈β	e␈↓ ↓Z␈ε,m␈ε&+␈↓ α␈ε,k␈↓ βO␈ε,m␈ε&+␈↓ ∧↓␈ε,k␈↓ ∧/␈ε&1␈↓ ¬≠␈ε,m␈ε&+␈↓ ¬M␈ε,k
␈β
↓␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈prese␈α␈n␈α␈tatio␈α␈ns␈αof␈ε)␈αn␈ε#.␈α~(e)␈αTh␈α␈erefore␈ε)␈α
n␈↓ ¬h␈ε)T␈↓ ε⊗␈ε#=␈ε7␈α
b␈ε#(5␈ε)␈α␈n␈ε7␈αλ␈␈ε#␈αλ3)/␈α␈2␈ε7c␈ε#␈απ+␈αλ2␈ε)h␈ε#(␈ε)n␈ε#␈α↓).
␈β

␈↓ ¬{␈ε,n
␈β
9␈↓ ↓V␈ε334.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈40␈↓ αt␈ε#]␈α⊗(H.␈↓ βI␈ε#Heilbro␈α␈nn␈α␈.)␈α∀(a)␈α
Let␈↓ ¬k␈ε)h␈↓ ε∞␈ε#(␈ε)n␈ε#)␈α
be␈α	the␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α
o␈α␈f␈α
rep␈α␈resen␈α␈t␈α␈ation␈α␈s␈α
of␈ε)␈α	n␈ε#␈α
as␈α
in
␈β
E␈↓ ¬␈␈ε,d
␈β
[␈↓ ∧v␈ε:0␈↓ ~␈ε:0
␈β
a␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈xerc␈α␈i␈α↓se␈α3␈α␈3␈αsuch␈αtha␈α␈t␈ε)␈α
x␈α␈d␈ε#␈α<␈↓ ∧d␈ε)x␈↓ ∧␈␈ε#,␈α
p␈α␈l␈α↓u␈α␈s␈αha␈α␈l␈α↓f␈αthe␈αn␈α}um␈α}ber␈αof␈αrep␈α␈resen␈α}tation␈α␈s␈αwi␈α↓th␈↓ 
0␈ε)xd␈ε#␈α	=␈↓ λ␈ε)x␈↓ #␈ε#.
␈βλ␈↓ ↓H␈ε#Let␈↓ α∧␈ε)g␈↓ α∀␈ε#(␈ε)n␈ε#␈α↓)␈α
be␈α
th␈α␈e␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α
o␈α␈f␈αrep␈α␈resen␈α}tation␈α␈s␈α
wi␈α↓thou␈α␈t␈α
the␈α
req␈α␈uireme␈α␈n␈α␈t␈α
tha␈α␈t␈↓ 	d␈ε#g␈α␈cd␈↓ 
⊗␈ε#(␈ε)x␈ε#␈α␈,␈↓ 
B␈ε)y␈↓ 
T␈ε#)␈α	=␈α
1␈α␈.
␈β0␈↓ ↓H␈ε#Pro␈α␈v␈α}e␈αtha␈α␈t
␈β5␈↓ ¬X␈ε↓⊂␈↓ εε␈ε↓⊃␈↓ λJ␈ε↓⊂␈↓ λx␈ε↓⊃
␈β=␈↓ ∧R␈ε↓X␈↓ πn␈ε↓X
␈βJ␈↓ ¬n␈ε)n␈↓ λ`␈ε)n
␈β`␈↓ βa␈ε)h␈ε#(␈ε)n␈ε#␈α↓)␈α	=␈↓ ¬␈ε)⊗␈ε#(␈ε)d␈ε#)␈↓ ¬G␈ε)g␈↓ ε_␈ε#,␈↓ εi␈ε)g␈↓ εz␈ε#(␈ε)n␈ε#)␈α	=␈α
2␈↓ λ(␈ε)h␈↓ 	
␈ε#.
␈βl␈↓ λ;␈ε,d
␈βs␈↓ ¬n␈∧s¬nα∃␈↓ λ`␈∧sλ`α∃
␈βw␈↓ ¬o␈ε)d␈↓ λb␈ε)d
␈β∩␈↓ ∧U␈ε,d␈ε:∧␈ε,n␈↓ πq␈ε,d␈ε:∧␈ε,n
␈β1␈↓ λG␈ε↓P
␈βK␈↓ λm␈ε"(␈↓ 	≡␈ε"(␈↓ 
≠␈ε"))
␈βM␈↓ ↓H␈ε#(b␈α␈)␈α
Gen␈α␈eralizing␈α	exe␈α␈rcise␈α
33␈α␈(b),␈α
sh␈α↓o␈α␈w␈α	that␈α	for␈ε)␈α
d␈ε7␈α	∃␈ε#␈α
1␈α␈,␈↓ πF␈ε)h␈↓ πi␈ε#(␈ε)n␈ε#)␈α	=␈↓ λy␈ε)n␈ε#/␈↓ 	*␈ε)y␈↓ 	<␈ε#(␈↓ 	G␈ε)y␈↓ 	]␈ε#+␈ε)␈αεt␈ε#)␈↓ 
8␈ε#+␈↓ 
↑␈ε)O␈↓ 
y␈ε#(␈ε)n␈ε#),
␈βY␈↓ πY␈ε,d
␈β|␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ere␈αthe␈αsu␈α␈m␈α
is␈αo␈α␈v␈α␈er␈αall␈α
in␈α}tegers␈↓ ¬C␈ε)y␈↓ ¬a␈ε#an␈α␈d␈ε)␈αt␈ε#␈α
such␈αt␈α␈hat␈↓ πS␈ε#gcd␈↓ λ¬␈ε#(␈ε)t␈ε#␈α↓,␈↓ λ+␈ε)y␈↓ λ=␈ε#)␈α=␈α1␈αa␈α␈nd␈α0␈α<␈ε)␈αt␈ε7␈α∀␈↓ 
n␈ε)y␈↓ ␈ε#<
␈β
	␈↓ ↓H␈ε↓p
␈β
∂␈↓ ∧⊃␈ε↓P
␈β
'␈↓ ↓l␈∧
'↓lα7
␈β
)␈↓ ¬~␈ε"(␈↓ ε*␈ε")␈↓ λ)␈ε"(␈↓ 	→␈ε")
␈β
+␈↓ ↓l␈ε)n␈ε#/␈ε)d␈↓ α"␈ε#.␈α↔(c)␈α
Sho␈α␈w␈α
tha␈α␈t␈↓ ¬&␈ε)y␈↓ ¬8␈ε#/␈α␈(␈↓ ¬S␈ε)y␈↓ ¬k␈ε#+␈ε)␈αεt␈ε#␈α↓)␈↓ ε?␈ε#=␈ε)␈α
⎇␈ε#␈α␈(␈↓ π
␈ε)y␈↓ π≡␈ε#)␈↓ π/␈ε#ln␈↓ πP␈ε#2␈αε+␈↓ λ∞␈ε)O␈↓ λ5␈ε)≠␈↓ λq␈ε#(␈↓ λ|␈ε)y␈↓ 	
␈ε#)␈↓ 	%␈ε#,␈α
where␈α
th␈α␈e␈αsu␈α␈m␈α
is
␈β
6␈↓ λG␈ε:␈␈ε&␈α↓1
␈β
=␈↓ λk␈ε↓P
␈β
>␈↓ ∧7␈ε&1␈ε:␈α␈∀␈↓ ∧←␈ε,y␈↓ ∧m␈ε:∀␈ε,␈α↓n
␈β
Y␈↓ ↓H␈ε#o␈α}v␈α␈er␈αth␈α␈e␈αran␈α␈ge␈α0␈α<␈ε)␈αt␈ε7␈α∀␈↓ ∧2␈ε)y␈↓ ∧D␈ε#,␈↓ ∧Y␈ε#gcd␈↓ ¬␈ε#(␈ε)t␈ε#␈α↓,␈↓ ¬2␈ε)y␈↓ ¬C␈ε#)␈α=␈α1;␈α
a␈α␈nd␈αwhere␈↓ πP␈ε)≠␈↓ λ␈ε#(␈↓ λ↔␈ε)y␈↓ λ)␈ε#)␈α=␈↓ 	=␈ε#(1␈α␈/␈ε)d␈ε#).␈α≤(d␈α␈)␈α
S␈α␈h␈α↓o␈α}w
␈β
e␈↓ πb␈ε:␈␈ε&␈α↓1
␈β
l␈↓ α⊂␈ε↓P␈↓ ∧E␈ε↓P
␈β
m␈↓ 	⊃␈ε,d␈ε:∧␈↓ 	-␈ε,y
␈β∞β␈↓ ∧↓␈ε&2␈↓ π∂␈ε&2
␈β∞λ␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈at␈↓ β∨␈ε)⎇␈ε#(␈↓ βB␈ε)y␈↓ βS␈ε#)/␈↓ βo␈ε)y␈↓ ∧~␈ε#=␈↓ ¬S␈ε)⊗␈ε#(␈ε)d␈ε#)␈↓ ε∞␈ε)H␈↓ εn␈ε#/␈↓ ε}␈ε)d␈↓ π∨␈ε#.␈α~(e␈α␈)␈αHen␈α␈ce␈αw␈α␈e␈αh␈α␈a␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈e␈αasym␈α␈pto␈α␈ti␈α↓c
␈β∞∃␈↓ ε*␈ε:b␈ε,n␈ε&␈α␈/␈ε,d␈ε:c
␈β∞≠␈↓ ¬H␈ε↓P
␈β∞≤␈↓ α6␈ε&1␈ε:∀␈↓ α↑␈ε,y␈↓ αm␈ε:∀␈ε,n␈↓ ∧k␈ε&1␈ε:∀␈ε,d␈ε:∀␈ε,n
␈β∞1␈↓ ∧<␈ε&2␈↓ λI␈ε&2
␈β∞5␈↓ β≤␈ε"(␈↓ ∧K␈ε")(␈↓ ε␈␈ε")␈↓ πV␈ε"(␈↓ λX␈ε")
␈β∞7␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈rm␈α␈ula␈↓ αC␈ε)T␈↓ αq␈ε#=␈↓ β(␈ε#(1␈α␈2␈↓ βZ␈ε#ln␈↓ β{␈ε#2)/␈↓ ∧'␈ε)→␈↓ ∧c␈ε#ln␈↓ ¬∧␈ε)n␈ε7␈αλ␈␈↓ ε"␈ε#β(␈ε)d␈ε#␈α↓)/␈ε)␈α␈d␈↓ π∪␈ε#+␈↓ π<␈ε)O␈↓ πb␈ε)≠␈↓ λ≡␈ε#(␈ε)n␈↓ λ=␈ε#)␈↓ λd␈ε#.
␈β∞C␈↓ αV␈ε,n␈↓ πt␈ε:␈␈ε&␈α↓1
␈β∞K␈↓ ¬n␈ε,d␈ε:∧␈ε,n
␈β∞t␈↓ ↓V␈ε335.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈41␈↓ αt␈ε#]␈α⊗(A.␈α
C.␈↓ βt␈ε#Y␈α⎇ao␈α	an␈α␈d␈α	D.␈α
E.␈↓ ¬G␈ε#Kn␈α␈u␈α␈th.)␈α∀Pro␈α␈v␈α}e␈α
th␈α␈at␈α	the␈α	sum␈α	of␈α
a␈α␈ll␈α
pa␈α␈rti␈α↓a␈α␈l␈α
qu␈α␈otien␈α␈t␈α␈s
␈β∂␈↓ π2␈ε↓P
␈β∂~␈↓ π&␈ε"(␈↓ 	≡␈ε")
␈β∂≤␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈r␈α	the␈α	fra␈α␈ction␈α␈s␈ε)␈α	m␈ε#/␈ε)n␈ε#,␈α
fo␈α␈r␈α	1␈ε7␈α	∀␈ε)␈α
m␈ε#␈α	<␈ε)␈α	n␈ε#,␈α
is␈α	equ␈α␈al␈α	to␈α	2␈↓ πX␈ε7b␈ε)x␈ε#/␈↓ λλ␈ε)y␈↓ λ~␈ε7c␈ε#␈αβ+␈ε7␈α∧b␈ε)n␈ε#/2␈ε7␈α␈c␈↓ 	*␈ε#,␈α
wh␈α␈ere␈α	th␈α␈e␈α	sum␈αλis
␈β∂>␈↓ ¬␈ε:0␈↓ ¬c␈ε:0
␈β∂D␈↓ ↓H␈ε#o␈α}v␈α␈er␈α	all␈α
repre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈tions␈ε)␈α	n␈ε#␈α
=␈ε)␈α	x␈↓ ∧z␈ε)x␈↓ ¬~␈ε#+␈↓ ¬@␈ε)y␈↓ ¬R␈ε)y␈↓ ¬v␈ε#sa␈α␈ti␈α↓sfy␈α␈ing␈α	the␈α	con␈α␈dition␈α␈s␈α
of␈α	exer␈α␈ci␈α↓s␈α␈e␈α
33␈α␈(a).␈α∂S␈α␈h␈α↓o␈α}w
␈β∂O␈↓ α∂␈ε↓P
␈β∂e␈↓ β\␈ε:␈␈ε&␈α↓2␈↓ ∧f␈ε&2␈↓ π8␈ε&2
␈β∂i␈↓ ¬=␈ε"(␈↓ πG␈ε")
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈at␈↓ α5␈ε7b␈ε)x␈ε#/␈↓ αe␈ε)y␈↓ αw␈ε7c␈ε#␈α	=␈α
3␈↓ βH␈ε)→␈↓ ∧ε␈ε)n␈ε#(␈↓ ∧&␈ε#ln␈↓ ∧G␈ε)n␈↓ ∧[␈ε#)␈↓ ∧|␈ε#+␈↓ ¬#␈ε)O␈↓ ¬I␈ε)n␈↓ ¬c␈ε#log␈↓ ε∪␈ε)n␈ε#␈αε(␈↓ ε8␈ε#log␈↓ εh␈ε#l␈α↓o␈α␈g␈↓ π_␈ε)n␈↓ π-␈ε#)␈↓ πS␈ε#,␈αan␈α␈d␈α
ap␈α␈ply␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α
to␈α
th␈α␈e␈α\␈α␈an␈α␈cien␈α␈t"
␈β⊂∪␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈rm␈αof␈αEuclid's␈αalg␈α␈orithm␈αth␈α␈at␈αu␈α␈ses␈αon␈α␈ly␈αsub␈α␈trac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αinst␈α␈ead␈αo␈α␈f␈αdivision␈α␈.
␈β⊂K␈↓ ↓V␈ε336.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈5␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(G.␈α
H.␈↓ β]␈ε#Brad␈α␈ley.)␈α⊃W␈α↓h␈α␈at␈α	is␈α	th␈α␈e␈α	sma␈α␈l␈α↓lest␈α	v␈α⎇alue␈α	o␈α␈f␈↓ λ→␈ε)u␈↓ λH␈ε#suc␈α␈h␈α	th␈α␈at␈α	th␈α␈e␈α	calcu␈α␈lation
␈β⊂V␈↓ λ-␈ε,n
␈β⊂r␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈↓ ↓n␈ε#gc␈α␈d␈↓ α ␈ε#(␈↓ α+␈ε)u␈↓ αN␈ε#,␈↓ α\␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ β	␈ε#,␈↓ β_␈ε)u␈↓ β=␈ε#)␈αb␈α␈y␈α
steps␈α
C1␈α
and␈α
C2␈α
in␈α
Se␈α␈ction␈α
4.5.2␈α
requ␈α␈ires␈↓ λ`␈ε)N␈↓ 	
␈ε#div␈α␈i␈α↓sio␈α␈ns,␈αif␈αEu␈α␈cli␈α↓d␈α␈'s
␈β⊂}␈↓ α>␈ε&1␈↓ β+␈ε,n
␈β⊃~␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈m␈αi␈α↓s␈αu␈α␈sed␈αt␈α␈hrou␈α␈ghou␈α␈t?␈α∂Assu␈α␈me␈αtha␈α␈t␈↓ εN␈ε)N␈↓ εx␈ε7∃␈ε)␈α	n␈ε#.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.3␈↓ λM␈ε"'␈↓ 
v␈ε"363
␈β↓\␈↓ ¬y␈ε∞ANA␈α↓L␈α⎇Y␈α↓S␈α␈IS␈α	OF␈α
E␈α↓UCL␈α↓ID␈↓ λW␈ε∞S␈α	A␈α↓L␈α␈GORIT␈α↓HM
␈βα%␈↓ ↓V␈ε337.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈8␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(T.␈α	S␈α␈.␈↓ βS␈ε#Mo␈α␈tzkin␈απand␈απE.␈αλG.␈↓ ¬c␈ε#Stra␈α␈us.)␈α
Let␈↓ π≠␈ε)a␈↓ π<␈ε#,␈↓ πN␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ πz␈ε#,␈↓ λ␈ε)a␈↓ λ8␈ε#b␈α␈e␈αλp␈α␈ositiv␈α␈e␈αλin␈α␈te␈α␈gers.␈α∞S␈α␈h␈α↓o␈α}w
␈βα1␈↓ π-␈ε&1␈↓ λ≡␈ε,n
␈βαM␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈at␈↓ α∂␈ε#ma␈↓ α;␈ε#x␈↓ αT␈ε)Q␈↓ β␈ε#(␈↓ β␈ε)a␈↓ βM␈ε#,␈↓ β\␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ∧	␈ε#,␈↓ ∧↔␈ε)a␈↓ ∧]␈ε#),␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α
a␈α␈l␈α↓l␈α
per␈α␈m␈α␈uta␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈ε)␈α
p␈ε#(1)␈↓ πv␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ λ#␈ε)p␈ε#(␈ε)n␈ε#)␈α
of␈ε7␈α
f␈ε#1,␈α¬2,␈↓ 	↑␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ 

␈ε#,␈ε)␈αεn␈ε7g␈ε#,␈αo␈α␈ccur␈α␈s
␈βαX␈↓ αn␈ε,n
␈βαY␈↓ β≥␈ε,p␈ε&(1␈α␈)␈↓ ∧)␈ε,p␈ε&(␈ε,n␈ε&)
␈βαt␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈en␈↓ α∨␈ε)a␈↓ αl␈ε7∃␈↓ β↔␈ε)a␈↓ βg␈ε7∃␈↓ ∧∪␈ε)a␈↓ ∧←␈ε7∃␈↓ ¬␈ε)a␈↓ εα␈ε7∃␈↓ ε.␈ε7↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εZ␈ε#;␈α
a␈α␈nd␈αthe␈αminim␈α␈u␈α␈m␈αo␈α␈ccu␈α␈rs␈αwhe␈α␈n␈↓ 
?␈ε)a␈↓ ␈ε7∀
␈ββ↓␈↓ α1␈ε,p␈ε&(1␈α␈)␈↓ β)␈ε,p␈ε&(␈ε,n␈ε&)␈↓ ∧$␈ε,p␈ε&(2)␈↓ ¬≤␈ε,p␈ε&(␈ε,n␈ε:␈␈ε&1)␈↓ 
P␈ε,p␈ε&(1)
␈ββ≤␈↓ ↓H␈ε)a␈↓ α⊗␈ε7∀␈↓ αA␈ε)a␈↓ β␈ε7∀␈↓ β7␈ε)a␈↓ ∧-␈ε7∀␈↓ ∧X␈ε)a␈↓ ¬#␈ε7∀␈↓ ¬N␈ε7↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ ¬}␈ε7∀␈↓ ε)␈ε)a␈↓ εt␈ε7∀␈↓ π∨␈ε)a␈↓ λ∃␈ε7∀␈↓ λ@␈ε)a␈↓ 	␈ε7∀␈↓ 	6␈ε)a␈↓ 
,␈ε7∀␈↓ 
W␈ε)a␈↓ →␈ε#.
␈ββ(␈↓ ↓Y␈ε,p␈ε&(␈ε,n␈ε&)␈↓ αR␈ε,p␈ε&(3)␈↓ βH␈ε,p␈ε&(␈ε,n␈ε:␈␈ε&2)␈↓ ∧j␈ε,p␈ε&(␈α␈5)␈↓ ε:␈ε,p␈ε&(6)␈↓ π0␈ε,p␈ε&(␈ε,n␈ε:␈␈ε&3)␈↓ λR␈ε,p␈ε&(␈α␈4)␈↓ 	H␈ε,p␈ε&(␈ε,␈α␈n␈ε:␈␈ε&1)␈↓ 
i␈ε,p␈ε&(␈α␈2)
␈ββY␈↓ ↓V␈ε338.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈5␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(J.␈↓ β.␈ε#Mik␈α␈usinsk␈α␈i.␈α↓)␈α≡Let␈↓ ¬>␈ε)K␈↓ ¬↑␈ε#(␈ε)n␈ε#)␈α∞=␈↓ εE␈ε#ma␈↓ εq␈ε#x␈↓ πK␈ε)T␈↓ πb␈ε#(␈ε)␈α↓m␈ε#␈α␈,␈ε)␈αεn␈ε#).␈α↔Theo␈α␈rem␈α∞F␈α∞s␈α␈h␈α↓o␈α␈ws␈α
tha␈α␈t
␈ββe␈↓ π∧␈ε,m␈ε:∃␈ε&0
␈ββ⎇␈↓ β~␈ε7p␈↓ λ_␈ε7p
␈ββ}␈↓ π2␈ε&1
␈β∧␈↓ β6␈∧∧β6α⊃␈↓ λ4␈∧∧λ4α⊃
␈β∧↓␈↓ ↓H␈ε)K␈↓ ↓h␈ε#(␈ε)n␈ε#)␈ε7␈α	∀␈α
b␈↓ αS␈ε#log␈↓ β∂␈ε#(␈↓ β6␈ε#5␈↓ βL␈ε)n␈ε#␈αλ+␈αλ1␈α␈)␈ε7c␈αλ␈␈ε#␈απ2;␈αpro␈α}v␈α␈e␈αth␈α␈at␈↓ ε0␈ε)K␈↓ εP␈ε#(␈ε)n␈ε#␈α↓)␈ε7␈α	∃␈↓ πD␈ε7d␈↓ πQ␈ε#log␈↓ λ
␈ε#(␈↓ λ4␈ε#5␈↓ λJ␈ε)n␈ε#␈αλ+␈απ1)␈ε7e␈απ␈␈ε#␈αλ2.
␈β∧⊃␈↓ α⎇␈ε,≡␈↓ π2␈ε&2␈↓ π{␈ε,≡
␈β∧∀␈↓ π2␈∧∧∀π2α∞
␈β∧<␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∧>␈↓ ↓V␈ε339.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈5␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(R.␈α∂W␈α↓.␈↓ βr␈ε#Gos␈α␈per.)␈α!If␈α∂a␈α∂b␈α␈ase␈α␈ball␈α∂pla␈α}y␈α␈er's␈α∂ba␈α␈tting␈α∞a␈α␈v␈α␈era␈α␈ge␈α∂is␈α∂.33␈α␈4,␈α⊂wha␈α␈t␈α∂is
␈β∧f␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αfew␈α␈est␈αpo␈α␈ssi␈α↓b␈α␈le␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈αof␈αtime␈α␈s␈αhe␈αha␈α␈s␈αbe␈α␈en␈αa␈α␈t␈αba␈α␈t?␈α≠[Not␈α␈e␈αfor␈αnon␈α␈-ba␈α␈seba␈α␈l␈α↓l-fan␈α␈s:
␈β¬
␈↓ ↓H␈ε#Ba␈α␈tti␈α↓n␈α␈g␈αa␈α␈v␈α}erag␈α␈e␈α=␈α(n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αh␈α␈i␈α↓ts␈α␈)␈α↓/␈α␈(ti␈α↓m␈α␈es␈αat␈αb␈α␈at),␈αrou␈α␈nd␈α␈ed␈αto␈αth␈α␈ree␈αd␈α␈ecima␈α␈l␈αp␈α␈l␈α↓a␈α␈ces.]
␈β¬I␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β¬K␈↓ ↓V␈ε340.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈8␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(␈ε0The␈↓ βN␈ε0S␈α␈tern␈α␈↑Peirce␈α
tree.␈ε#)␈α∨Co␈α␈nside␈α␈r␈α∞an␈α
in|␈α␈nite␈α∞b␈α␈inary␈α
tree␈α
in␈α∞wh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈α∞e␈α␈ach
␈β¬r␈↓ ↓H␈ε#nod␈α␈e␈α∞is␈α∞lab␈α␈eled␈α
wi␈α↓th␈α
th␈α␈e␈α∞frac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
(␈↓ ¬G␈ε)p␈↓ ¬k␈ε#+␈↓ ε∃␈ε)p␈↓ ε4␈ε#)/(␈↓ ε[␈ε)q␈↓ ε␈␈ε#+␈↓ π*␈ε)q␈↓ πH␈ε#)␈α↓,␈α∞where␈↓ λN␈ε)p␈↓ λi␈ε#/␈↓ λz␈ε)q␈↓ 	"␈ε#i␈α↓s␈α
the␈α
l␈α↓a␈α␈bel␈α∞o␈α␈f␈α∞the
␈β¬}␈↓ ¬W␈ε,l␈↓ ε&␈ε,r␈↓ εl␈ε,l␈↓ π:␈ε,r␈↓ λ←␈ε,l␈↓ 	
␈ε,l
␈βε~␈↓ ↓H␈ε#nod␈α␈e's␈αne␈α␈arest␈αle$␈αa␈α␈nc␈α␈estor␈αa␈α␈nd␈↓ ¬∨␈ε)p␈↓ ¬>␈ε#/␈↓ ¬O␈ε)q␈↓ ¬y␈ε#is␈αth␈α␈e␈αlab␈α␈el␈αof␈αth␈α␈e␈αnod␈α␈e's␈αnea␈α␈rest␈αrigh␈α}t␈αan␈α␈cesto␈α␈r.
␈βε%␈↓ ¬0␈ε,r␈↓ ¬`␈ε,r
␈βεA␈↓ ↓H␈ε#(A␈αle$␈αa␈α␈nc␈α␈estor␈αis␈αo␈α␈ne␈α
tha␈α␈t␈αpre␈α␈cede␈α␈s␈αa␈αnod␈α␈e␈αin␈α
symm␈α␈etric␈αord␈α␈er,␈αwh␈α␈i␈α↓le␈αa␈α
righ␈α}t␈αan␈α␈cesto␈α␈r
␈βεi␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws␈αth␈α␈e␈αnod␈α␈e.␈α∂Se␈α␈e␈αSe␈α␈ction␈α2␈α␈.3.1␈αfor␈αth␈α␈e␈αd␈α␈e|n␈α␈ition␈αo␈α␈f␈αsymm␈α␈etric␈αord␈α␈er.)␈α→If␈αth␈α␈e␈αnode
␈βπ⊃␈↓ ↓H␈ε#h␈α␈as␈αno␈αle$␈αanc␈α␈estors,␈↓ ∧π␈ε)p␈↓ ∧"␈ε#/␈↓ ∧3␈ε)q␈↓ ∧W␈ε#=␈α	0/1␈α␈;␈αif␈αi␈α↓t␈αh␈α␈as␈αno␈αrigh␈α␈t␈αa␈α␈nce␈α␈stors,␈↓ λ]␈ε)p␈↓ λ|␈ε#/␈↓ 	
␈ε)q␈↓ 	5␈ε#=␈α
1␈α␈/0.␈α∂Th␈α␈u␈α␈s␈αthe
␈βπ≤␈↓ ∧_␈ε,l␈↓ ∧C␈ε,l␈↓ λn␈ε,r␈↓ 	≡␈ε,r
␈βπ8␈↓ ↓H␈ε#lab␈α␈el␈α
of␈α	the␈α
root␈α
is␈α
1␈α␈/1␈α␈;␈αth␈α␈e␈α
lab␈α␈el␈α↓s␈α	of␈α
its␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α	sons␈α	are␈α
1␈α␈/2␈α	and␈α	2␈α␈/1;␈α
the␈α	l␈α↓a␈α␈bels␈α
o␈α␈f␈α
the␈α	fou␈α␈r
␈βπ`␈↓ ↓H␈ε#nod␈α␈es␈αon␈αlev␈α}el␈α2␈αare␈α1/␈α␈3,␈α
2␈α␈/3,␈α3/2␈α␈,␈α
an␈α␈d␈α3/␈α␈1,␈α
fro␈α␈m␈αle$␈α
t␈α␈o␈αri␈α↓g␈α␈h␈α␈t;␈α
th␈α␈e␈αlabe␈α␈l␈α↓s␈αo␈α␈f␈α
th␈α␈e␈αeigh␈α}t
␈βλπ␈↓ ↓H␈ε#nod␈α␈es␈αon␈α
l␈α↓e␈α␈v␈α␈el␈α3␈αare␈α
1/4␈α␈,␈α2␈α␈/5,␈α3/␈α␈5,␈α3/4␈α␈,␈α4␈α␈/3,␈α5/␈α␈3,␈α5/2␈α␈,␈α4␈α␈/1;␈αan␈α␈d␈αso␈α
on␈α␈.
␈βλ2␈↓ α␈ε#Pro␈α␈v␈α␈e␈α∂th␈α␈at␈ε)␈α∂p␈ε#␈α∂is␈α∂relativ␈α␈ely␈α∂p␈α␈rime␈α∂to␈↓ ε$␈ε)q␈↓ εE␈ε#in␈α∂ea␈α␈ch␈α∂lab␈α␈el␈ε)␈α∂p␈ε#/␈↓ λ5␈ε)q␈↓ λG␈ε#;␈α⊃furth␈α␈erm␈α↓o␈α␈re,␈α⊃th␈α␈e␈α∂node
␈βλT␈↓ εα␈ε:0␈↓ ε.␈ε:0
␈βλY␈↓ ↓H␈ε#lab␈α␈eled␈ε)␈α
p␈ε#␈α␈/␈↓ αY␈ε)q␈↓ αu␈ε#pre␈α␈cede␈α␈s␈α
the␈α
nod␈α␈e␈α
l␈α↓a␈α␈beled␈↓ ¬q␈ε)p␈↓ ε␈ε#/␈↓ ε≤␈ε)q␈↓ εA␈ε#in␈α
sy␈α␈mme␈α␈tri␈α↓c␈α
o␈α␈rde␈α␈r␈αif␈α
an␈α␈d␈α
on␈α␈ly␈α
if␈αth␈α␈e␈α
lab␈α␈els
␈βλ{␈↓ β(␈ε:0␈↓ βT␈ε:0
␈β	↓␈↓ ↓H␈ε#sa␈α␈tisfy␈ε)␈αp␈ε#/␈↓ αR␈ε)q␈↓ αm␈ε#<␈↓ β_␈ε)p␈↓ β1␈ε#/␈↓ βB␈ε)q␈↓ β]␈ε#.␈α∂Find␈αa␈α
con␈α␈nec␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈αth␈α␈e␈αcon␈α}tin␈α␈u␈α␈ed␈αfrac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αfor␈αth␈α␈e␈αlab␈α␈el␈αo␈α␈f
␈β	)␈↓ ↓H␈ε#a␈α
nod␈α␈e␈α
and␈α	the␈α
pa␈α␈th␈α
to␈α
tha␈α␈t␈αnod␈α␈e,␈αth␈α␈ereb␈α␈y␈α
sh␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈α
tha␈α␈t␈αe␈α␈ach␈α
p␈α␈ositiv␈α␈e␈α
ration␈α␈al␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈β	P␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈pp␈α␈ears␈αa␈α␈s␈αthe␈αlab␈α␈el␈αof␈αexa␈α␈ctly␈αon␈α␈e␈αnod␈α␈e␈αi␈α↓n␈α
the␈αtre␈α␈e.
␈β

␈↓ ↓V␈ε341.␈↓ α␈ε#[␈ε)M4␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(J.␈↓ β+␈ε#Sh␈α␈all␈α↓it,␈α19␈α␈79.)␈α→Sho␈α␈w␈αth␈α␈at␈αthe␈αr␈α␈egu␈α␈l␈α↓a␈α␈r␈αcon␈α}ti␈α↓n␈α}ue␈α␈d␈αfractio␈α␈n␈αex␈α␈pa␈α␈nsion␈α
of
␈β
Q␈↓ π≥␈ε↓X
␈β
↑␈↓ ∧E␈ε#1␈↓ ¬≤␈ε#1␈↓ ¬s␈ε#1␈↓ λα␈ε#1
␈β
t␈↓ ∧h␈ε#+␈↓ ¬?␈ε#+␈↓ ε↔␈ε#+␈↓ ε?␈ε7↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εo␈ε#=
␈βε␈↓ π|␈ε-n
␈βπ␈↓ ∧=␈∧π∧=α ␈↓ ¬∀␈∧π¬∀α ␈↓ ¬l␈∧π¬lα ␈↓ π↑␈∧ππ↑αZ
␈β
␈↓ ∧N␈ε&1␈↓ ¬%␈ε&3␈↓ ¬|␈ε&7␈↓ πn␈ε&2␈↓ λ
␈ε:␈␈ε&␈α↓1
␈β␈↓ ∧=␈ε#2␈↓ ¬∀␈ε#2␈↓ ¬l␈ε#2␈↓ π↑␈ε#2
␈β&␈↓ π~␈ε,n␈ε:∃␈ε&1
␈βp␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈on␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈α∂o␈α␈nly␈α∞1's␈α∂an␈α␈d␈α∞2's␈α∂a␈α␈nd␈α∞ha␈α␈s␈α∂a␈α∞fairl␈α↓y␈α∞simp␈α␈l␈α↓e␈α∞\p␈α␈atter␈α␈n."␈α→P␈α↓ro␈α}v␈α␈e␈α∂t␈α␈hat␈α∞the␈α∞pa␈α␈rti␈α↓a␈α␈l
␈β{␈↓ ¬6␈ε↓P
␈β∩␈↓ ε'␈ε:␈␈ε,n␈ε&!
␈β_␈↓ ↓H␈ε#q␈α␈uo␈α␈ti␈α↓e␈α␈n␈α␈ts␈α⊂o␈α␈f␈α⊂L␈α↓iou␈α␈ville's␈α⊂n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α␈s␈↓ ε≤␈ε)l␈↓ εk␈ε#also␈α⊂h␈α␈a␈α␈v␈α␈e␈α∂a␈α⊂reg␈α␈ular␈α⊂p␈α␈atte␈α␈rn,␈α⊃when␈↓ 
|␈ε)l␈↓ ⊗␈ε#is
␈β+␈↓ ¬\␈ε,n␈ε:∃␈ε&␈α↓1
␈βC␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈n␈α␈y␈α⊂in␈α}teger␈ε7␈α⊂∃␈ε#␈α∩2␈α␈.␈α$[The␈α⊂la␈α␈tter␈α⊂n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs,␈α∩in␈α␈tro␈α␈du␈α␈ced␈α⊂b␈α␈y␈α⊂J.␈↓ λ?␈ε#Li␈α↓o␈α␈uv␈α␈i␈α↓lle␈α⊂in␈ε0␈α⊂J.␈α⊂de␈α∂Math␈α␈.
␈βk␈↓ ↓H␈ε0Pu␈α␈res␈α⊂et␈α⊂A␈α↓p␈α␈pl.␈ε3␈α⊂16␈ε#␈α⊂(18␈α␈51),␈α∩1␈α␈33↑␈α␈142␈α␈,␈α∩w␈α␈ere␈α⊂the␈α⊂|␈α␈rst␈α⊂exp␈α␈li␈α↓c␈α␈i␈α↓tly␈α⊂d␈α␈e|n␈α␈ed␈α⊂n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈α⊂to␈α⊂be
␈β
∪␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈ro␈α␈v␈α}ed␈↓ α8␈ε0tran␈α␈scen␈α␈de␈α␈n␈α␈tal␈ε#.␈α≠The␈α∂for␈α␈mer␈α∂n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α⊂a␈α␈nd␈α∞si␈α↓m␈α␈i␈α↓lar␈α∂c␈α␈onsta␈α␈n␈α␈ts␈α∂w␈α␈ere␈α∂|␈α␈rst␈α∂pro␈α}v␈α␈ed
␈β
:␈↓ ↓H␈ε#tra␈α␈nsc␈α␈end␈α␈en␈α␈ta␈α␈l␈αb␈α␈y␈αA.␈αJ.␈↓ ∧'␈ε#Kemp␈α␈ne␈α␈r,␈ε0␈αT␈α⎇ran␈α␈s.␈αAmer.␈αMat␈α␈h.␈αSo␈α␈c.␈ε3␈α1␈α␈7␈ε#␈α(19␈α␈16),␈α47␈α␈6↑4␈α␈82.]
␈β
w␈↓ ↓V␈ε342.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(J.␈↓ β*␈ε#L␈α↓a␈α␈gra␈α␈nge␈α␈,␈α17␈α␈98.)␈α∃Let␈↓ ¬m␈ε)X␈↓ ε⊗␈ε#ha␈α␈v␈α}e␈α
the␈α
re␈α␈gula␈α␈r␈α
con␈α␈t␈α␈i␈α↓n␈α}ued␈α	fraction␈α	ex␈α␈pan␈α␈sion
␈β∞∨␈↓ ↓H␈ε7?␈↓ ↓X␈ε)A␈↓ α␈ε#,␈↓ α∞␈ε)A␈↓ α6␈ε#,␈↓ αD␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ αq␈ε7?␈ε#␈α␈,␈αa␈α␈nd␈α	let␈↓ ∧β␈ε)q␈↓ ∧/␈ε#=␈↓ ∧Z␈ε)Q␈↓ ¬ε␈ε#(␈↓ ¬⊃␈ε)A␈↓ ¬9␈ε#,␈↓ ¬G␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ¬t␈ε#,␈↓ εβ␈ε)A␈↓ ε-␈ε#).␈α∂Let␈ε7␈α	k␈ε)x␈ε7␈α␈k␈ε#␈α
d␈α␈en␈α↓o␈α␈te␈α
th␈α␈e␈α
d␈α␈i␈α↓sta␈α␈nce␈α	from␈ε)␈α	x␈ε#␈α
to␈α	the
␈β∞+␈↓ ↓p␈ε&1␈↓ α&␈ε&2␈↓ ∧∀␈ε,n␈↓ ∧t␈ε,n␈↓ ¬)␈ε&1␈↓ ε≠␈ε,n
␈β∞G␈↓ ↓H␈ε#n␈α␈eare␈α␈st␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈r,␈α
n␈α␈amely␈↓ ∧(␈ε#min␈↓ ∧u␈ε7j␈ε)x␈ε7␈αλ␈␈ε)␈αλp␈ε7j␈ε#.␈α∩Sho␈α␈w␈αth␈α␈at␈ε7␈αk␈↓ π+␈ε)q␈↓ π=␈ε)X␈↓ π\␈ε7k␈α
∃␈αk␈↓ λ4␈ε)q␈↓ λ␈␈ε)X␈↓ 	≡␈ε7k␈ε#␈αfor␈α1␈ε7␈α
∀␈↓ 
7␈ε)q␈↓ 
T␈ε#<␈↓ ␈ε)q␈↓ #␈ε#.
␈β∞R␈↓ ∧`␈ε,p␈↓ λE␈ε,n␈ε:␈␈ε&1␈↓ ⊃␈ε,n
␈β∞n␈↓ ↓H␈ε#(Th␈α}us␈α
th␈α␈e␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈↓ βb␈ε)q␈↓ ∧∂␈ε#a␈α␈re␈α
th␈α␈e␈α
\rec␈α␈ord-b␈α␈reak␈α␈ing␈α␈"␈α
in␈α␈teg␈α␈ers␈α
th␈α␈at␈α
ma␈α␈k␈α␈e␈ε7␈α
k␈↓ 	4␈ε)q␈↓ 	F␈ε)X␈↓ 	e␈ε7k␈ε#␈α
a␈α␈chiev␈α}e␈α
ne␈α␈w
␈β∞z␈↓ βs␈ε,n
␈β∂⊗␈↓ ↓H␈ε#lo␈α␈ws.)
␈β∂S␈↓ ↓V␈ε343.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(D.␈α∞W.␈↓ βm␈ε#M␈α␈atula␈α␈.␈α↓)␈α≥Sho␈α␈w␈α
tha␈α␈t␈α∞th␈α␈e␈α
\m␈α␈edian␈α}t␈α∞r␈α␈oun␈α␈din␈α␈g"␈α
ru␈α␈l␈α↓e␈α
fo␈α␈r␈α∞|␈α␈xed␈α␈-slash
␈β∂{␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈r␈α∂⎇␈α␈oatin␈α␈g-slash␈α∞n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs,␈α⊂Eq.␈α∂4␈α␈.␈α↓5␈α␈.␈α↓1␈α␈↑1,␈α∂can␈α∞be␈↓ πα␈ε#imp␈α␈l␈α↓em␈α␈en␈α␈te␈α␈d␈α∂simp␈α␈ly␈α∂a␈α␈s␈α∂follo␈α␈ws,␈α⊂wh␈α␈en
␈β⊂"␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈ε)␈αx␈ε#␈α>␈α0␈αis␈αn␈α↓ot␈αrep␈α␈resen␈α}tab␈α␈l␈α↓e␈α␈:␈α∞L␈α↓e␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α
re␈α␈gu␈α␈l␈α↓a␈α␈r␈α
co␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈αfrac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αex␈α␈pan␈α␈sion
␈β⊂J␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈ε)␈αx␈ε#␈αb␈α␈e␈↓ α8␈ε)a␈↓ α`␈ε#+␈ε7␈αλ?␈↓ β~␈ε)a␈↓ β;␈ε#,␈↓ βJ␈ε)a␈↓ βk␈ε#,␈↓ βy␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ∧&␈ε7?␈↓ ∧6␈ε#,␈αa␈α␈nd␈α
let␈↓ ¬;␈ε)p␈↓ ¬g␈ε#=␈↓ ε∩␈ε)Q␈↓ εg␈ε#(␈↓ εr␈ε)a␈↓ π∪␈ε#,␈↓ π"␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ πN␈ε#,␈↓ π]␈ε)a␈↓ λ↓␈ε#),␈↓ λ ␈ε)q␈↓ λL␈ε#=␈↓ λw␈ε)Q␈↓ 	#␈ε#(␈↓ 	.␈ε)a␈↓ 	O␈ε#,␈↓ 	↑␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ 
␈ε#,␈↓ 
→␈ε)a␈↓ 
=␈ε#)␈α↓.␈α∂Th␈α␈en
␈β⊂V␈↓ αJ␈ε&0␈↓ β,␈ε&1␈↓ β[␈ε&2␈↓ ¬L␈ε,n␈↓ ε,␈ε,n␈ε&+␈α↓1␈↓ π∧␈ε&0␈↓ πo␈ε,n␈↓ λ1␈ε,n␈↓ 	⊃␈ε,n␈↓ 	@␈ε&1␈↓ 
+␈ε,n
␈β⊂r␈↓ ↓H␈ε#ro␈α␈un␈α␈d(␈ε)x␈ε#␈α␈)␈α=␈α(␈↓ βλ␈ε)p␈↓ β$␈ε#/␈↓ β5␈ε)q␈↓ βP␈ε#)␈α↓,␈αwhere␈α(␈↓ ∧↑␈ε)p␈↓ ∧z␈ε#/␈↓ ¬
␈ε)q␈↓ ¬&␈ε#)␈αi␈α↓s␈αrep␈α␈resen␈α}tab␈α␈le␈αbu␈α␈t␈α
(␈↓ πu␈ε)p␈↓ λ9␈ε#/␈↓ λJ␈ε)q␈↓ 	∞␈ε#)␈αis␈αn␈α↓o␈α␈t.␈α≤[␈ε0Hin␈α␈t:␈ε#␈α
See
␈β⊂⎇␈↓ β→␈ε,i␈↓ βE␈ε,i␈↓ ∧n␈ε,i␈↓ ¬≠␈ε,i␈↓ λε␈ε,i␈ε&␈α␈+␈α↓1␈↓ λZ␈ε,i␈ε&+1
␈β⊃→␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈xerc␈α␈i␈α↓se␈α4␈α␈0.]
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"364␈↓ 
b␈ε"4.5.3
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα∨␈↓ 	3␈ε:0
␈βα%␈↓ ↓V␈ε344.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈5␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Su␈α␈pp␈α␈ose␈αλw␈α␈e␈αλa␈α␈re␈αλdoin␈α␈g␈αλ|x␈α␈ed␈απsl␈α↓a␈α␈sh␈αλar␈α␈i␈α↓th␈α␈metic␈αλin␈αλwh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈αλ(␈ε)u␈ε#/␈↓ 	∨␈ε)u␈↓ 	;␈ε#)␈α	is␈αλrep␈α␈resen␈α}tab␈α␈l␈α↓e
␈βαG␈↓ ¬M␈ε:0␈↓ πs␈ε:0
␈βαM␈↓ ↓H␈ε#if␈α
an␈α␈d␈α
o␈α␈nly␈α
if␈ε7␈α
j␈ε)␈α↓u␈ε7j␈ε#␈α
<␈↓ βy␈ε)M␈↓ ∧+␈ε#and␈α0␈ε7␈α∀␈↓ ¬9␈ε)u␈↓ ¬b␈ε#<␈↓ ε⊂␈ε)N␈↓ ε=␈ε#an␈α␈d␈↓ π␈ε#g␈α␈cd␈↓ π2␈ε#(␈ε)u␈ε#,␈↓ π←␈ε)u␈↓ π{␈ε#)␈α
=␈α
1.␈α∃Pro␈α␈v␈α}e␈α
or␈α
d␈α␈i␈α↓s␈α␈pro␈α␈v␈α}e␈α
the
␈βαo␈↓ β∃␈ε:0␈↓ ∧≡␈ε:0␈↓ ¬2␈ε:0␈↓ εJ␈ε:0␈↓ 	h␈ε:0␈↓ ∂␈ε:0
␈βαr␈↓ αG␈ε"(␈↓ ∧2␈ε")
␈βαt␈↓ ↓H␈ε#id␈α␈en␈α␈tit␈α␈y␈↓ αS␈ε#(␈ε)u␈ε#/␈↓ βα␈ε)u␈↓ β≡␈ε#)␈ε7␈α
λ␈ε#␈α(␈↓ βj␈ε)v␈↓ β{␈ε#/␈↓ ∧␈ε)v␈↓ ∧'␈ε#)␈↓ ∧H␈ε7␈	␈ε#␈α
(␈↓ ∧}␈ε)v␈↓ ¬⊂␈ε#/␈↓ ¬!␈ε)v␈↓ ¬;␈ε#)␈α⊂=␈α⊂(␈ε)u␈ε#␈α↓/␈↓ ε7␈ε)u␈↓ εS␈ε#)␈α∂for␈α∂all␈α∂rep␈α␈resen␈α}table␈α∂(␈ε)u␈ε#/␈↓ 	U␈ε)u␈↓ 	q␈ε#)␈α∂and␈α∞(␈↓ 
[␈ε)v␈↓ 
m␈ε#/␈↓ 
}␈ε)v␈↓ _␈ε#),
␈ββ~␈↓ β,␈ε:0
␈ββ≠␈↓ βi␈ε7p
␈ββ∨␈↓ ∧¬␈∧β∨∧¬α 
␈ββ ␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈ro␈α␈v␈α␈i␈α↓d␈α␈ed␈αth␈α␈at␈↓ β→␈ε)u␈↓ β>␈ε#<␈↓ ∧¬␈ε)N␈↓ ∧0␈ε#a␈α␈nd␈α
n␈α↓o␈αo␈α}v␈α␈er⎇␈α␈o␈α␈w␈αocc␈α␈urs.
␈ββU␈↓ ↓V␈ε345.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈48␈↓ αt␈ε#]␈α⊗Dev␈α}elop␈αλth␈α␈e␈αλan␈α␈alysis␈αλof␈αλalgo␈α␈ri␈α↓t␈α␈hms␈αλfor␈αλco␈α␈mpu␈α␈ting␈αλth␈α␈e␈αλgcd␈απof␈αλthre␈α␈e␈α	o␈α␈r␈αλm␈α↓ore
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε#in␈α}tegers.
␈β∧␈␈↓ ↓H␈ε=4␈α␈.5.4.␈α∩F␈α|actorin␈α↓g␈α
into␈α
Pr␈α↓imes
␈β¬B␈↓ ↓H␈ε"Sev␈α␈eral␈αof␈αthe␈αcomputational␈αmeth␈α↓ods␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ π0␈ε"encoun␈α␈tered␈αin␈αthis␈αbo␈α↓ok␈αrest␈αon
␈β¬m␈↓ ↓H␈ε"the␈α∞fact␈α∞that␈α∞ev␈α␈ery␈α∞positiv␈α␈e␈α∞in␈α␈teger␈ε(␈α∞n␈ε"␈α∞can␈α∞be␈α∂expressed␈α∞in␈α∞a␈α∞unique␈α∞w␈α␈a␈α␈y␈α∞in␈α∞the
␈βε→␈↓ ↓H␈ε"form
␈βεF␈↓ βz␈ε(n␈ε"␈α	=␈↓ ∧G␈ε(p␈↓ ∧j␈ε(p␈↓ ¬∪␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬C␈ε(p␈↓ ¬b␈ε",␈↓ ε:␈ε(p␈↓ εg␈ε6∀␈↓ π∃␈ε(p␈↓ πB␈ε6∀␈↓ πp␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ$␈ε6∀␈↓ λR␈ε(p␈↓ λq␈ε",␈↓ α␈ε"(1)
␈βεR␈↓ ∧Y␈ε%1␈↓ ∧|␈ε%2␈↓ ¬U␈ε+t␈↓ εL␈ε%1␈↓ π'␈ε%2␈↓ λd␈ε+t
␈βπ␈↓ ↓H␈ε"where␈α∞each␈↓ βπ␈ε(p␈↓ β:␈ε"is␈↓ βa␈ε"prime.␈α≡(When␈ε(␈α∂n␈ε"␈α∞=␈α∂1,␈α⊂this␈α∞equation␈α∂h␈α↓olds␈α∂for␈ε(␈α∂t␈ε"␈α∂=␈α∞0.)␈α∨It␈α∞is
␈βπ_␈↓ β→␈ε+k
␈βπ7␈↓ ↓H␈ε"unfortunately␈α∂n␈α↓ot␈α∂a␈α∂simple␈α∂matter␈α∂to␈α∂|nd␈α∂this␈α∂prime␈α⊂factorization␈α∂of␈ε(␈α∂n␈ε"␈α␈,␈α⊂or␈α∂to
␈βπb␈↓ ↓H␈ε"determine␈αwhether␈αor␈αn␈α↓ot␈ε(␈αn␈ε"␈αis␈αprime.␈α⊃So␈αfar␈αas␈αan␈α␈y␈α␈one␈α
kn␈α↓o␈α␈ws,␈αit␈αis␈αa␈αgreat␈αdeal
␈βλ
␈↓ ↓H␈ε"harder␈αto␈αfactor␈αa␈αlarge␈αn␈α␈um␈α␈ber␈ε(␈αn␈ε"␈α
than␈αto␈αcompute␈αthe␈αgreatest␈αcomm␈α↓on␈αdivisor
␈βλ8␈↓ ↓H␈ε"of␈α	t␈α␈w␈α␈o␈α	large␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈ε(␈α	m␈ε"␈α	and␈ε(␈α	n␈ε";␈α
therefore␈α
w␈α␈e␈α	sh␈α↓ould␈α	a␈α␈v␈α␈oid␈α
factoring␈α	large␈α	n␈α␈um␈α␈bers
␈βλd␈↓ ↓H␈ε"whenev␈α␈er␈αpossible.␈α⊂But␈αsev␈α␈eral␈αingenious␈αw␈α␈a␈α␈ys␈αto␈αspeed␈αup␈αthe␈αfactoring␈αprocess
␈β	∂␈↓ ↓H␈ε"ha␈α␈v␈α␈e␈αbeen␈αdisco␈α␈v␈α␈ered,␈αand␈αw␈α␈e␈αwill␈αn␈α↓o␈α␈w␈αin␈α␈v␈α␈estigate␈αsome␈αof␈αthem.
␈β	T␈↓ ↓H␈ε2Divide␈αand␈α
factor.␈ε"␈α≠First␈α
let␈α
us␈αconsider␈α
the␈α
m␈α↓ost␈α
obvious␈α
algorithm␈α
for␈αfactor-
␈β	␈␈↓ ↓H␈ε"ization:␈α⊃If␈ε(␈α∞n␈ε"␈α∞>␈α∞1,␈α⊂w␈α␈e␈α∞can␈α∂divide␈ε(␈α∞n␈ε"␈α∞by␈α∂successiv␈α␈e␈α∞primes␈ε(␈α∂p␈ε"␈α∞=␈α∞2,␈α⊂3,␈α∂5,␈↓ 
+␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 
c␈ε"un␈α␈til
␈β
*␈↓ ↓H␈ε"disco␈α␈v␈α␈ering␈αthe␈α
smallest␈ε(␈αp␈ε"␈αfor␈α
which␈ε(␈αn␈↓ ε%␈ε"mod␈↓ εo␈ε(p␈ε"␈α=␈α0.␈α⊃Then␈ε(␈α
p␈ε"␈αis␈α
the␈αsmallest␈αprime
␈β
U␈↓ ↓H␈ε"factor␈α∂of␈ε(␈α∂n␈ε",␈α⊂and␈α∂the␈α∂same␈α∂process␈α∂ma␈α␈y␈α∂be␈α⊂applied␈α∂to␈ε(␈α∂n␈ε6␈α∂␈ ␈ε(␈α∂n␈ε"/␈ε(p␈ε"␈α∂in␈α∂an␈α∂attempt
␈β↓␈↓ ↓H␈ε"to␈α∂divide␈α⊂this␈α∂new␈α⊂v␈α}alue␈α∂of␈ε(␈α∂n␈ε"␈α⊂by␈ε(␈α∂p␈ε"␈α⊂and␈α∂by␈α⊂higher␈α∂primes.␈α≠If␈α∂at␈α∂an␈α␈y␈α⊂stage␈α∂w␈α␈e
␈β,␈↓ ↓H␈ε"|nd␈α∞that␈ε(␈α∞n␈↓ α}␈ε"mod␈↓ βH␈ε(p␈ε6␈α
≤␈ε"␈α∞0␈α∞but␈ε6␈α∞b␈ε(n␈ε"/␈ε(p␈ε6c␈α∞∀␈ε(␈α
p␈ε",␈α∂w␈α␈e␈α∞can␈α∂conclude␈α∞that␈ε(␈α∞n␈ε"␈α∞is␈α∞prime;␈α∂for␈α∞if
␈βQ␈↓ πp␈ε%2
␈βW␈↓ ↓H␈ε(n␈ε"␈α∂is␈α⊂n␈α↓ot␈α⊂prime,␈α⊃then␈α⊂by␈α⊂(1)␈α⊂w␈α␈e␈α⊂m␈α␈ust␈α⊂ha␈α␈v␈α␈e␈ε(␈α⊂n␈ε6␈α⊃∃␈↓ π↑␈ε(p␈↓ λ↓␈ε",␈α⊃but␈↓ λb␈ε(p␈↓ 	⊗␈ε">␈ε(␈α⊂p␈ε"␈α⊂implies␈α⊂that
␈βc␈↓ λt␈ε%1
␈βh␈↓ πp␈ε%1
␈β|␈↓ ↓Z␈ε%2␈↓ β_␈ε%2␈↓ ¬7␈ε%2
␈βα␈↓ ↓H␈ε(p␈↓ ↓w␈ε6∃␈ε"␈α(␈ε(p␈ε"␈αλ+␈α	1␈↓ β␈ε")␈↓ β5␈ε">␈ε(␈αp␈ε"(␈ε(p␈ε"␈α	+␈α	1)␈α>␈↓ ¬%␈ε(p␈↓ ¬Q␈ε"+␈α	(␈ε(n␈↓ ε%␈ε"mod␈↓ εo␈ε(p␈ε")␈ε6␈α∃␈α
b␈ε(n␈ε"␈α␈/␈ε(p␈ε6c␈ε(p␈ε"␈α	+␈α	(␈ε(n␈↓ 	∂␈ε"mod␈↓ 	Y␈ε(p␈ε")␈α=␈ε(␈αn␈ε".␈α∪This
␈β∪␈↓ ↓Z␈ε%1
␈β-␈↓ ↓H␈ε"leads␈αus␈αto␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αprocedure:
␈βr␈↓ ↓H␈ε2Algorithm␈αA␈ε"␈α(␈ε/F␈α⎇actoring␈αby␈αdivision␈ε")␈ε2.␈ε"␈α∃Giv␈α␈en␈αa␈αpositiv␈α␈e␈αin␈α␈teger␈↓ 	↔␈ε(N␈↓ 	:␈ε",␈αthis␈αalgorithm
␈β
≥␈↓ ↓H␈ε"|nds␈α∞the␈α∂prime␈α∞factors␈↓ ∧B␈ε(p␈↓ ∧s␈ε6∀␈↓ ¬%␈ε(p␈↓ ¬W␈ε6∀␈↓ ε	␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εA␈ε6∀␈↓ εt␈ε(p␈↓ π!␈ε"of␈↓ πN␈ε(N␈↓ π␈␈ε"as␈α∂in␈α∞Eq.␈α∂(1).␈α_The␈α∞meth␈α↓od
␈β
*␈↓ ∧T␈ε%1␈↓ ¬7␈ε%2␈↓ πε␈ε+t
␈β
I␈↓ ↓H␈ε"mak␈α␈es␈αuse␈αof␈αan␈αauxiliary␈αsequence␈αof␈α\trial␈αdivisors"
␈β∞!␈↓ ∧B␈ε"2␈α
=␈↓ ¬␈ε(d␈↓ ¬9␈ε"<␈↓ ¬g␈ε(d␈↓ ε∀␈ε"<␈↓ εB␈ε(d␈↓ εo␈ε"<␈↓ π≥␈ε(d␈↓ πJ␈ε"<␈↓ πx␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ(␈ε",␈↓ α␈ε"(2)
␈β∞-␈↓ ¬≡␈ε%0␈↓ ¬y␈ε%1␈↓ εT␈ε%2␈↓ π/␈ε%3
␈β∞t␈↓ ε#␈ε6p
␈β∞w␈↓ εA␈∧∞wεAα#
␈β∞y␈↓ ↓H␈ε"which␈α∂includes␈α∞all␈α∂prime␈α∂n␈α␈um␈α␈bers␈ε6␈α∂∀␈↓ εA␈ε(N␈↓ εs␈ε"(and␈α∂which␈α∂ma␈α␈y␈α∂also␈α∂include␈α∞v␈α}alues
␈β∂$␈↓ ↓H␈ε"that␈α
are␈ε/␈α
n␈α↓ot␈ε"␈α
prime,␈α∞if␈α
it␈α
is␈α∞con␈α␈v␈α␈enien␈α␈t␈α
to␈α
do␈α
so).␈α∀The␈α
sequence␈α
of␈ε(␈α∞d␈ε"'s␈α
m␈α␈ust␈α
also
␈β∂J␈↓ ε←␈ε6p
␈β∂M␈↓ ε⎇␈∧∂Mε⎇α#
␈β∂O␈↓ ↓H␈ε"include␈αat␈αleast␈αone␈αv␈α}alue␈αsuch␈αthat␈↓ εβ␈ε(d␈↓ ε1␈ε6∃␈↓ ε⎇␈ε(N␈↓ π ␈ε".
␈β∂\␈↓ ε∃␈ε+k
␈β⊂λ␈↓ ↓J␈ε2A1.␈↓ α	␈ε"[Initialize.]␈α_Set␈ε(␈αt␈ε6␈α
␈ ␈ε"␈α
0,␈↓ ∧r␈ε(k␈↓ ¬⊂␈ε6␈ ␈ε"␈α
0,␈ε(␈αn␈ε6␈α
␈ ␈↓ ε4␈ε(N␈↓ εW␈ε".␈α_(During␈αthis␈αalgorithm␈αthe␈αv␈α}ariables
␈β⊂3␈↓ α␈ε(t␈ε",␈↓ α1␈ε(k␈↓ αE␈ε",␈ε(␈α
n␈ε"␈α
are␈α
related␈α
by␈α
the␈α∞follo␈α␈wing␈α
condition:␈α∞\␈ε(n␈ε"␈α=␈↓ λP␈ε(N␈↓ λm␈ε"/␈↓ λ␈␈ε(p␈↓ 	(␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	X␈ε(p␈↓ 	w␈ε",␈α
and␈ε(␈α∞n␈ε"␈αhas
␈β⊂?␈↓ 	⊃␈ε%1␈↓ 	j␈ε+t
␈β⊂↑␈↓ α␈ε"n␈α↓o␈αprime␈αfactors␈αless␈αthan␈↓ ¬1␈ε(d␈↓ ¬V␈ε".")
␈β⊂j␈↓ ¬C␈ε+k
␈β⊃⊗␈↓ ↓J␈ε2A2.␈↓ α	␈ε"[␈ε(n␈ε"␈α
=␈α
1?]␈α→If␈ε(␈αn␈ε"␈α
=␈α
1,␈αthe␈αalgorithm␈αterminates.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.4␈↓ 
v␈ε"365
␈β↓\␈↓ π≡␈ε∞F␈α|ACTORING␈αINTO␈α
P␈α␈RIM␈α↓ES
␈β¬z␈↓ ∧∨␈ε3F␈α↓ig␈α␈.␈α1␈α␈0.␈ε#␈α~A␈αsimp␈α␈le␈αfacto␈α␈ri␈α↓n␈α␈g␈αalg␈α␈orithm.
␈βεp␈↓ ↓J␈ε2A3.␈↓ α	␈ε"[Divide.]␈α∀Set␈↓ β\␈ε(q␈↓ βy␈ε6␈ ␈α
b␈ε(n␈ε"/␈↓ ∧]␈ε(d␈↓ ¬α␈ε6c␈ε",␈↓ ¬$␈ε(r␈↓ ¬?␈ε6␈ ␈ε(␈α
n␈↓ ε	␈ε"mod␈↓ εS␈ε(d␈↓ εw␈ε".␈α∀(Here␈↓ πs␈ε(q␈↓ λ⊃␈ε"and␈↓ λU␈ε(r␈↓ λp␈ε"are␈αthe␈α
quotien␈α␈t␈α
and
␈βε|␈↓ ∧o␈ε+k␈↓ εe␈ε+k
␈βπ≠␈↓ α␈ε"remainder␈αobtained␈αwhen␈ε(␈αn␈ε"␈αis␈αdivided␈αby␈↓ π ␈ε(d␈↓ πD␈ε".)
␈βπ'␈↓ π2␈ε+k
␈βπQ␈↓ ↓J␈ε2A4.␈↓ α	␈ε"[Zero␈αremainder?]␈α→If␈↓ ∧X␈ε(r␈↓ ∧s␈ε6≤␈ε"␈α
0,␈αgo␈αto␈αstep␈αA6.
␈βλπ␈↓ ↓J␈ε2A5.␈↓ α	␈ε"[F␈α⎇actor␈αfound.]␈α∃Increase␈ε(␈αt␈ε"␈αby␈α
1,␈αand␈α
set␈↓ ε{␈ε(p␈↓ π$␈ε6␈ ␈↓ πR␈ε(d␈↓ πw␈ε",␈ε(␈αn␈ε6␈α	␈ ␈↓ λY␈ε(q␈↓ λl␈ε".␈α⊂Return␈αto␈αstep␈α
A2.
␈βλ∀␈↓ π
␈ε+t␈↓ πd␈ε+k
␈βλ=␈↓ ↓J␈ε2A6.␈↓ α	␈ε"[Lo␈α␈w␈αquotien␈α␈t?]␈α→If␈↓ ∧8␈ε(q␈↓ ∧V␈ε">␈↓ ¬∧␈ε(d␈↓ ¬(␈ε",␈αincrease␈↓ εF␈ε(k␈↓ εf␈ε"by␈α1␈αand␈αreturn␈αto␈αstep␈αA3.
␈βλJ␈↓ ¬⊗␈ε+k
␈βλt␈↓ ↓J␈ε2A7.␈↓ α	␈ε"[␈ε(n␈ε"␈αis␈αprime.]␈α→Increase␈ε(␈αt␈ε"␈αby␈α1,␈αset␈↓ ε⊗␈ε(p␈↓ ε?␈ε6␈ ␈ε(␈α
n␈ε",␈αand␈αterminate␈αthe␈αalgorithm.
␈βλ⎇␈↓ ␈∧λ⎇≠∂
␈β	␈↓ ε(␈ε+t
␈β	5␈↓ α␈ε"As␈α⊂an␈α⊂example␈α⊂of␈α⊂Algorithm␈α⊂A␈↓ ε∧␈ε",␈α⊃consider␈α⊂the␈α⊂factorization␈α⊂of␈α∂the␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber
␈β	`␈↓ ↓H␈ε(N␈↓ ↓v␈ε"=␈α25852.␈α∩W␈α⎇e␈α
immediately␈α
|nd␈αthat␈↓ ε>␈ε(N␈↓ εl␈ε"=␈α2␈ε6␈α	↓␈ε"␈αλ12926;␈α
hence␈↓ 	≡␈ε(p␈↓ 	L␈ε"=␈α2.␈α∩F␈α⎇urther-
␈β	l␈↓ 	0␈ε%1
␈β
␈↓ ↓H␈ε"m␈α↓ore,␈α12926␈α
=␈α
2␈ε6␈α¬↓␈ε"␈αε6463,␈αso␈↓ ∧l␈ε(p␈↓ ¬→␈ε"=␈α
2.␈α⊂But␈α
n␈α↓o␈α␈w␈ε(␈αn␈ε"␈α
=␈α
6463␈αis␈α
n␈α↓ot␈αdivisible␈αby␈α
2,␈α3,␈α5,
␈β
↔␈↓ ∧}␈ε%2
␈β
6␈↓ ↓H␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ↓x␈ε",␈α19;␈αw␈α␈e␈α|nd␈αthat␈ε(␈αn␈ε"␈α	=␈α
23␈ε6␈απ↓␈ε"␈αε281,␈αhence␈↓ εE␈ε(p␈↓ εr␈ε"=␈α
23.␈α⊂Finally␈α281␈α
=␈α
12␈ε6␈αε↓␈ε"␈απ23␈αε+␈αε5␈αand
␈β
C␈↓ εW␈ε%3
␈β
a␈↓ ↓H␈ε"12␈ε6␈α
∀␈ε"␈α
23;␈α∂hence␈↓ βM␈ε(p␈↓ β⎇␈ε"=␈α∞281.␈α⊗The␈α∞determination␈α∞of␈α
25852's␈α∞factors␈α∞has␈α∞therefore
␈β
n␈↓ β←␈ε%4
␈β
␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈v␈α␈olv␈α␈ed␈αa␈α
total␈αof␈α
12␈αdivision␈α
operations;␈αon␈α
the␈αother␈α
hand,␈αif␈α
w␈α␈e␈αhad␈α
tried␈αto
␈β8␈↓ ↓H␈ε"factor␈α∞the␈α∂sligh␈α␈tly␈α∞smaller␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈α∂25849␈α∞(which␈α∂is␈α∞prime),␈α⊂at␈α∞least␈α∂38␈α∞division
␈βc␈↓ ↓H␈ε"operations␈αλw␈α␈ould␈αλha␈α␈v␈α␈e␈α	been␈αλperformed.␈α∂This␈αλillustrates␈α	the␈αλfact␈α	that␈αλAlgorithm␈αλA
␈β∞␈↓ ↓H␈ε"requires␈αa␈αrunning␈αtime␈αroughly␈αproportional␈αto␈↓ π;␈ε"ma␈↓ πk␈ε"x␈↓ π␈␈ε"(␈↓ λ␈ε(p␈↓ λW␈ε",␈↓ 	¬␈ε(p␈↓ 	*␈ε").␈α↔(If␈ε(␈αt␈ε"␈α
=␈α
1,␈αthis
␈β⊃␈↓ λg␈ε6p
␈β∀␈↓ 	¬␈∧∀	¬α∨
␈β≠␈↓ λ≥␈ε+t␈ε9␈α↓␈␈ε%␈α␈1␈↓ 	↔␈ε+t
␈β9␈↓ ↓H␈ε"form␈α␈ula␈αis␈αv␈α}alid␈αif␈αw␈α␈e␈αadopt␈αthe␈αcon␈α␈v␈α␈en␈α␈tion␈↓ εw␈ε(p␈↓ π$␈ε"=␈α
1.)
␈βF␈↓ π	␈ε%0
␈βe␈↓ α␈ε"The␈α∂sequence␈↓ βq␈ε(d␈↓ ∧∀␈ε",␈↓ ∧.␈ε(d␈↓ ∧Q␈ε",␈↓ ∧k␈ε(d␈↓ ¬∂␈ε",␈↓ ¬)␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬b␈ε"of␈α⊂trial␈α∂divisors␈α∂used␈α⊂in␈α∂Algorithm␈α⊂A␈α∂can␈α∂be
␈βq␈↓ ∧β␈ε%0␈↓ ∧@␈ε%1␈↓ ∧}␈ε%2
␈β
⊂␈↓ ↓H␈ε"tak␈α␈en␈α∞to␈α∞be␈α∞simply␈α∞2,␈α∂3,␈α∂5,␈α∂7,␈α∂11,␈α∞13,␈α∂17,␈α∂19,␈α∂23,␈α∞25,␈α∂29,␈α∂31,␈α∂35,␈↓ 	P␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 
␈ε",␈α∂where␈α∞w␈α␈e
␈β
;␈↓ ↓H␈ε"alternately␈α∞add␈α∞2␈α∂and␈α∞4␈α∞a$er␈α∂the␈α∞|rst␈α∞three␈α∂terms.␈α⊗This␈α∂sequence␈α∞con␈α␈tains␈α∞all
␈β
f␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈bers␈α∞that␈α∞are␈α∞n␈α↓ot␈α∞m␈α␈ultiples␈α∞of␈α∞2␈α∞or␈α∂3;␈α∂it␈α∞also␈α∞includes␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α∞such␈α∞as␈α∞25,
␈β∞⊃␈↓ ↓H␈ε"35,␈α∂49,␈α⊂etc.,␈α⊂which␈α∂are␈α∞n␈α↓ot␈α∂prime,␈α⊂but␈α∂the␈α∂algorithm␈α∂will␈α∂still␈α∂giv␈α␈e␈α∂the␈α∞correct
␈β∞=␈↓ ↓H␈ε"answ␈α␈er.␈α↔A␈α∞further␈α∂sa␈α␈vings␈α∞of␈α∞20␈α∂percen␈α␈t␈α∞in␈α∂computation␈α∞time␈α∞can␈α∂be␈α∞made␈α∞by
␈β∞h␈↓ ↓H␈ε"rem␈α↓o␈α␈ving␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈bers␈α30␈ε(m␈ε6␈αεε␈ε"␈απ5␈αfrom␈αthe␈αlist␈αfor␈ε(␈αm␈ε6␈α
∃␈ε"␈α
1,␈αthereby␈αeliminating␈αall
␈β∂∪␈↓ ↓H␈ε"of␈α
the␈αspurious␈α
m␈α␈ultiples␈α
of␈α
5.␈α∪The␈αexclusion␈α
of␈α
m␈α␈ultiples␈α
of␈α
7␈α
sh␈α↓ortens␈α
the␈αlist
␈β∂>␈↓ ↓H␈ε"by␈α14␈α
percen␈α␈t␈α
m␈α↓ore,␈α
etc.␈α∩A␈αcompact␈α
bit␈α
table␈αcan␈α
be␈α
used␈αto␈α
go␈α␈v␈α␈ern␈α
the␈αch␈α↓oice
␈β∂i␈↓ ↓H␈ε"of␈αtrial␈αdivisors.
␈β⊂∃␈↓ α␈ε"If␈↓ α.␈ε(N␈↓ αZ␈ε"is␈α	kn␈α↓o␈α␈wn␈α
to␈α	be␈α
small,␈α
it␈α	is␈α
reasonable␈α	to␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α	a␈α
table␈α	of␈α
all␈α	the␈α	necessary
␈β⊂@␈↓ ↓H␈ε"primes␈αas␈α
part␈αof␈αthe␈αprogram.␈α⊂F␈α⎇or␈αexample,␈αif␈↓ π.␈ε(N␈↓ π\␈ε"is␈αless␈αthan␈α
a␈αmillion,␈αw␈α␈e␈α
need
␈β⊂k␈↓ ↓H␈ε"only␈αinclude␈αthe␈α168␈αprimes␈αless␈αthan␈αa␈αth␈α↓ousand␈α(follo␈α␈w␈α␈ed␈αby␈αthe␈αv␈α}alue␈↓ 
=␈ε(d␈↓ λ␈ε"=
␈β⊂w␈↓ 
O␈ε%16␈α↓8
␈β⊃⊂␈↓ 	0␈ε%2
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε"1000,␈αto␈αterminate␈α
the␈αlist␈αin␈αcase␈↓ ¬h␈ε(N␈↓ ε↔␈ε"is␈αa␈αprime␈α
larger␈αthan␈α99␈↓ 	≡␈ε"7␈↓ 	A␈ε").␈α⊃Such␈αa␈αtable
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"366␈↓ 
b␈ε"4.5.4
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"can␈α
be␈αset␈α
up␈αby␈α
means␈αof␈α
a␈αsh␈α↓ort␈α
auxiliary␈αprogram,␈α
which␈αbuilds␈α
the␈αtable␈α
just
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"a$er␈α∞the␈α∞factoring␈α∞program␈α∞has␈α∞been␈α∞loaded␈α∞in␈α␈to␈α∞the␈α∞computer;␈α∂see␈α∞Algorithm
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"1.3.2P␈↓ α*␈ε",␈αor␈αsee␈αexercise␈α8.
␈ββ&␈↓ α␈ε"Ho␈α␈w␈α⊂man␈α␈y␈α∂trial␈α⊂divisions␈α∂are␈α⊂necessary␈α∂in␈α⊂Algorithm␈α∂A␈↓ 	π␈ε"?␈α≠Let␈↓ 	u␈ε(→␈↓ 
␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α⊂be␈α∂the
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α
primes␈ε6␈α∞∀␈ε(␈α
x␈ε",␈α∂so␈α∞that␈↓ ¬H␈ε(→␈↓ ¬↑␈ε"(2)␈α
=␈α
1,␈↓ εq␈ε(→␈↓ ππ␈ε"(10)␈α
=␈α
4;␈α∂the␈α∞asymptotic␈α
beha␈α␈vior
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"of␈α∂this␈α∂function␈α⊂has␈α∂been␈α∂studied␈α⊂extensiv␈α␈ely␈α∂by␈α∂man␈α␈y␈α∂of␈α⊂the␈α∂w␈α␈orld's␈α∂greatest
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε"mathematicians,␈α⊂beginning␈α∂with␈↓ ¬V␈ε"Legendre␈α⊂in␈α∂1798.␈α~Numerous␈α∂adv␈α}ances␈α∂made
␈β∧R␈↓ ↓H␈ε"during␈α∂the␈α⊂nineteen␈α␈th␈α⊂cen␈α␈tury␈α⊂culminated␈α⊂in␈α∂1899,␈α⊃when␈α⊂Charles␈↓ 	p␈ε"de␈α⊂la␈α∂V␈α⎇all␈↓ ␈ε"∞␈↓ ␈ε"e␈↓ ≤␈ε"e
␈β∧}␈↓ ↓H␈ε"Poussin␈αpro␈α␈v␈α␈ed␈αthat,␈αfor␈αsome␈ε(␈αA␈ε"␈α
>␈α
0,
␈β¬?␈↓ ¬#␈ε↓Z
␈β¬E␈↓ ¬G␈ε+x
␈β¬M␈↓ εi␈ε↓␈␈↓ λ3␈ε↓↓
␈β¬S␈↓ ¬l␈ε(dt
␈β¬]␈↓ πM␈ε6p
␈β¬`␈↓ πk␈∧¬`πkαB
␈β¬c␈↓ π~␈ε9␈␈ε+A␈↓ πp␈ε%log␈↓ λ≤␈ε+x
␈β¬k␈↓ ∧)␈ε(→␈↓ ∧?␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ ε ␈ε"+␈↓ εL␈ε(O␈↓ εw␈ε(x␈↓ π␈ε(e␈↓ λA␈ε".␈↓ α␈ε"(3)
␈β¬␈␈↓ ¬c␈∧¬␈¬cα2
␈βε¬␈↓ ¬c␈ε"ln␈↓ επ␈ε(t
␈βε∞␈↓ ¬7␈ε%2
␈βεP␈↓ ↓H␈ε"[␈ε/M␈↓ ↓q␈ε/∞␈↓ ↓r␈ε/e␈↓ αα␈ε/m.␈α∂Couronn␈↓ β@␈ε/∞␈↓ βA␈ε/e␈↓ βQ␈ε/s␈α∂Acad.␈α∂Ro␈α␈y.␈α∂Belgique␈ε2␈α∂59␈ε"␈α∂(1899),␈α⊂1↑74.]␈α≡In␈α␈tegrating␈α∂by␈α∂parts
␈βε{␈↓ ↓H␈ε"yields
␈βπK␈↓ 	π␈ε↓∩␈↓ 
A␈ε↓∪
␈βπM␈↓ β-␈ε(x␈↓ ∧5␈ε(x␈↓ ¬A␈ε"2!␈ε(␈αεx␈↓ πR␈ε(r␈↓ πc␈ε"!␈ε(␈αεx␈↓ 	e␈ε(x
␈βπe␈↓ α≥␈ε(→␈↓ α3␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ β←␈ε"+␈↓ ∧|␈ε"+␈↓ ε_␈ε"+␈↓ εD␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εv␈ε"+␈↓ λ?␈ε"+␈↓ λk␈ε(O␈↓ α␈ε"(4)
␈βπy␈↓ β≠␈∧πyβ≠α8␈↓ ∧∂␈∧πy∧∂αa␈↓ ¬,␈∧πy¬,αa␈↓ π&␈∧πyπ&α↓
␈↓ 	!␈∧πy	!α↓≥
␈βπ{␈↓ ∧←␈ε%2␈↓ ¬|␈ε%3␈↓ πv␈ε+r␈↓ λ∧␈ε%+1␈↓ 
↓␈ε+r␈↓ 
∂␈ε%+␈α␈2
␈βπ}␈↓ β≠␈ε"ln␈↓ β?␈ε(x␈↓ ∧∂␈ε"(␈↓ ∧≠␈ε"ln␈↓ ∧?␈ε(x␈↓ ∧S␈ε")␈↓ ¬,␈ε"(␈↓ ¬8␈ε"ln␈↓ ¬\␈ε(x␈↓ ¬p␈ε")␈↓ π&␈ε"(␈↓ π2␈ε"ln␈↓ πV␈ε(x␈↓ πj␈ε")␈↓ 	!␈ε"(␈↓ 	-␈ε"log␈↓ 	a␈ε(x␈↓ 	u␈ε")
␈βλP␈↓ ↓H␈ε"for␈α⊂all␈α⊃|xed␈↓ β_␈ε(r␈↓ β;␈ε6∃␈ε"␈α∩0.␈α≡The␈α⊃error␈α⊃term␈α⊂in␈α⊃(3)␈α⊃has␈α⊃subsequen␈α␈tly␈α⊃been␈α⊂impro␈α␈v␈α␈ed;
␈βλ]␈↓ ε≠␈ε↓␈␈↓ ε{␈ε↓␈␈↓ 
+␈ε↓↓␈↓ 
9␈ε↓↓
␈βλu␈↓ λ'␈ε%3/5␈↓ 	|␈ε%1/␈α↓5
␈βλ{␈↓ ↓H␈ε"for␈α∞example,␈α∂it␈α∞can␈α∞be␈α∞replaced␈α∞by␈↓ ¬}␈ε(O␈↓ ε)␈ε(x␈↓ εC␈ε"e␈↓ εS␈ε"x␈↓ εg␈ε"p␈↓ π	␈ε6␈␈ε(A␈ε"(␈↓ πS␈ε"log␈↓ λπ␈ε(x␈↓ λ≠␈ε")␈↓ λV␈ε"/(␈↓ λt␈ε"log␈↓ 	(␈ε"log␈↓ 	\␈ε(x␈↓ 	p␈ε")␈↓ 
G␈ε".␈α≥[See
␈β	'␈↓ ↓H␈ε"A.␈↓ ↓w␈ε"W␈α⎇al|sz,␈↓ α|␈ε/W␈α⎇eyl'sche␈αExponen␈α␈tialsummen␈↓ εl␈ε/in␈αder␈αneueren␈αZahlen␈α␈theorie␈ε"␈α(Berlin,
␈β	R␈↓ ↓H␈ε"1963),␈αChapter␈α5.]␈α→Bernhard␈↓ ¬≠␈ε"Riemann␈αconjectured␈αin␈α1859␈αthat
␈β
⊗␈↓ αk␈ε↓X
␈β
→␈↓ ∧∧␈ε↓␈␈↓ ∧J␈ε↓↓␈↓ π[␈ε↓␈␈↓ λ!␈ε↓↓␈↓ 	∃␈ε↓␈␈↓ 	[␈ε↓↓
␈β
 ␈↓ π-␈ε"1␈↓ λg␈ε"1
␈β
3␈↓ ∧≠␈ε-k␈↓ 	,␈ε'3
␈β
5␈↓ ∧∩␈ε6p␈↓ πi␈ε6p␈↓ 	#␈ε6p
␈β
8␈↓ ↓l␈ε(→␈↓ αα␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ β*␈ε(⊗␈ε"(␈↓ βL␈ε(k␈↓ β`␈ε")␈ε(L␈↓ ∧0␈∧
8∧0α∀␈↓ ∧0␈ε(x␈↓ ∧X␈ε"/␈↓ ∧j␈ε(k␈↓ ¬π␈ε"+␈↓ ¬3␈ε(O␈↓ ¬O␈ε"(1)␈α
=␈ε(␈α
L␈ε"(␈ε(x␈ε")␈ε6␈αλ␈␈↓ πC␈ε(L␈↓ λπ␈∧
8λπα∀␈↓ λπ␈ε(x␈↓ λ7␈ε6␈␈↓ λ⎇␈ε(L␈↓ 	A␈∧
8	Aα∀␈↓ 	A␈ε(x␈↓ 	q␈ε"+␈↓ 
≥␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ α␈ε"(5)
␈β
L␈↓ π-␈∧
Lπ-α∩␈↓ λg␈∧
Lλgα∩
␈β
R␈↓ π-␈ε"2␈↓ λg␈ε"3
␈β
h␈↓ αf␈ε+k␈↓ αv␈ε9∃␈ε%1
␈β∨␈↓ β+␈ε↓R
␈β*␈↓ βC␈ε+x
␈β:␈↓ ↓H␈ε"where␈ε(␈αL␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ βa␈ε(dt␈ε"/␈↓ ∧∩␈ε"ln␈↓ ∧6␈ε(t␈ε"␈α↓,␈αand␈αhis␈αform␈α␈ula␈αagrees␈αw␈α␈ell␈αwith␈αactual␈αcoun␈α␈ts␈αwhen␈ε(␈αx
␈βK␈↓ β<␈ε%2
␈βe␈↓ ↓H␈ε"is␈αof␈αreasonable␈αsize.␈α⊂F␈α⎇or␈αexample,␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αtable:
␈β5␈↓ αe␈ε(x␈↓ βQ␈ε(→␈↓ βg␈ε"(␈ε(x␈ε")␈↓ ¬¬␈ε(x␈ε"/␈↓ ¬+␈ε"ln␈↓ ¬O␈ε(x␈↓ εo␈ε(L␈ε"(␈ε(x␈ε")␈↓ π{␈ε"Riemann's␈αform␈α␈ula
␈βa␈↓ αr␈ε%3
␈βg␈↓ αN␈ε"1␈↓ α`␈ε"0␈↓ ∧↓␈ε"168␈↓ ¬5␈ε"144.8␈↓ π¬␈ε"176.6␈↓ 	B␈ε"168.36
␈β
␈↓ αr␈ε%6
␈β
∩␈↓ αN␈ε"1␈↓ α`␈ε"0␈↓ β]␈ε"78498␈↓ ¬⊃␈ε"72382.4␈↓ εa␈ε"78626.5␈↓ 	≡␈ε"78527.40
␈β
8␈↓ αr␈ε%9
␈β
>␈↓ αN␈ε"1␈↓ α`␈ε"0␈↓ β'␈ε"50847534␈↓ ∧[␈ε"48254942.4␈↓ ε+␈ε"50849233.9␈↓ λh␈ε"50847455.43
␈β∞∪␈↓ ↓H␈ε"Ho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α
the␈αdistribution␈α
of␈α
large␈α
primes␈αis␈α
n␈α↓ot␈α
that␈α
simple,␈αand␈α
Riemann's␈α
con-
␈β∞>␈↓ ↓H␈ε"jecture␈α
(5)␈α
w␈α␈as␈α
dispro␈α␈v␈α␈ed␈α
by␈α
J.␈αE.␈↓ ¬X␈ε"Littlew␈α␈o␈α↓od␈α
in␈α
1914;␈αsee␈↓ λI␈ε"Hardy␈α
and␈α
Littlew␈α␈o␈α↓od,
␈β∞j␈↓ ↓H␈ε/Acta␈α
Math.␈ε2␈α∞41␈ε"␈α∞(1918),␈α∞119↑196,␈α∂where␈α∞it␈α∞is␈α
sh␈α↓o␈α␈wn␈α∞that␈α∞there␈α∞is␈α∞a␈α∞positiv␈α␈e␈α
con-
␈β∂∀␈↓ ελ␈ε6p
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε"stan␈α␈t␈↓ α$␈ε(C␈↓ αN␈ε"such␈α∞that␈↓ βr␈ε(→␈↓ ∧λ␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
>␈ε(␈α
L␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α	+␈↓ ¬l␈ε(C␈↓ ε&␈ε(x␈↓ ε@␈ε"log␈↓ εt␈ε"log␈↓ π(␈ε"log␈↓ π\␈ε(x␈ε"/␈↓ λα␈ε"log␈↓ λ6␈ε(x␈ε"␈α∞for␈α∞in|nitely␈α∞man␈α␈y␈ε(␈α
x␈ε".
␈β∂↔␈↓ ε&␈∧∂↔ε&α∀
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"Littlew␈α␈o␈α↓od's␈α⊃result␈α⊃sh␈α↓o␈α␈ws␈α⊃that␈α⊃prime␈α∩n␈α␈um␈α␈bers␈α⊃are␈α⊃inheren␈α␈tly␈α⊃somewhat␈α⊃m␈α␈ys-
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"terious,␈α∀and␈α∪it␈α∪will␈α∩be␈α∪necessary␈α∪to␈α∩dev␈α␈elop␈α∪deep␈α∪properties␈α∪of␈α∩mathematics
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"before␈αλtheir␈α	distribution␈αλis␈α	really␈αλundersto␈α↓od.␈α∂Riemann␈α	made␈↓ λ}␈ε"an␈α↓other␈α	m␈α␈uch␈αλm␈α↓ore
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"plausible␈α∞conjecture,␈α∂the␈α∞fam␈α↓ous␈α∞\␈↓ ¬l␈ε"Riemann␈α∂h␈α␈ypothesis,"␈α∂which␈α∞states␈α∞that␈α∞the
␈β⊂h␈↓ 
≥␈ε%1
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"complex␈αfunction␈↓ βe␈ε(⊂␈↓ βu␈ε"(␈↓ ∧↓␈ε(z␈↓ ∧∀␈ε")␈αis␈α
zero␈αonly␈α
when␈αthe␈α
real␈αpart␈α
of␈↓ λJ␈ε(z␈↓ λi␈ε"is␈αequal␈α
to␈↓ 
0␈ε",␈αexcept
␈β⊂}␈↓ 
≥␈ε%2
␈β⊃↓␈↓ 
≥␈∧⊃↓
≥α⊂
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"in␈α
the␈α
trivial␈α
cases␈α
where␈↓ ∧b␈ε(z␈↓ ¬α␈ε"is␈α
a␈α
negativ␈α␈e␈α
ev␈α␈en␈α
in␈α␈teger.␈α∀This␈α
h␈α␈ypothesis,␈α
if␈α
true,
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.4␈↓ 
v␈ε"367
␈β↓\␈↓ π≡␈ε∞F␈α|ACTORING␈αINTO␈α
P␈α␈RIM␈α↓ES
␈βα␈↓ ¬e␈ε↓␈␈↓ εs␈ε↓↓
␈βα≥␈↓ ¬s␈ε6p
␈βα∨␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈ould␈α
imply␈α
that␈↓ β↑␈ε(→␈↓ βt␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈ε(␈α
L␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α∧+␈↓ ¬H␈ε(O␈↓ ε⊃␈ε(x␈↓ ε+␈ε"log␈↓ ε←␈ε(x␈↓ π↓␈ε";␈αsee␈α
exercise␈α
25.␈α∂Richard␈↓ 
↔␈ε"Bren␈α␈t␈α
has
␈βα ␈↓ ε⊃␈∧α ε⊃α∀
␈βαJ␈↓ ↓H␈ε"used␈α
a␈αmeth␈α↓od␈αof␈α
D.␈αH.␈↓ ∧=␈ε"Lehmer␈αto␈α
v␈α␈erify␈αRiemann's␈αh␈α␈ypothesis␈α
computationally
␈βαu␈↓ ↓H␈ε"for␈α∂all␈α⊂\small"␈α∂v␈α}alues␈α⊂of␈↓ ∧Z␈ε(z␈↓ ∧m␈ε",␈α⊂by␈α⊂sh␈α↓o␈α␈wing␈α∂that␈↓ π≥␈ε(⊂␈↓ π-␈ε"(␈↓ π9␈ε(z␈↓ πL␈ε")␈α∂has␈α∂exactly␈α⊂75,000,000␈α∂zeros
␈ββ ␈↓ ↓H␈ε"wh␈α↓ose␈α
imaginary␈α∞part␈α∞is␈α
in␈α∞the␈α∞range␈α
0␈α
<␈ε6␈α
=␈↓ π
␈ε(z␈↓ π,␈ε"<␈α
32585736.4;␈α∞all␈α∞of␈α∞these␈α
zeros
␈ββE␈↓ βy␈ε90
␈ββG␈↓ ββ␈ε%1
␈ββK␈↓ ↓H␈ε"ha␈α␈v␈α␈e␈ε6␈α<␈↓ α5␈ε(z␈↓ αQ␈ε"=␈↓ β#␈ε"and␈↓ βi␈ε(⊂␈↓ ∧α␈ε"(␈↓ ∧∞␈ε(z␈↓ ∧!␈ε")␈ε6␈α
≤␈ε"␈α
0.␈α→[␈ε/Math.␈αComp.␈ε2␈α33␈ε"␈α(1979),␈α1361↑1372.]
␈ββ\␈↓ ββ␈ε%2
␈ββ`␈↓ ββ␈∧β`ββα⊂
␈ββw␈↓ α␈ε"In␈α
order␈α∞to␈α
analyze␈α
the␈α∞a␈α␈v␈α␈erage␈α
beha␈α␈vior␈α
of␈α∞Algorithm␈α
A␈↓ 	⊂␈ε",␈α∞w␈α␈e␈α
w␈α␈ould␈α
lik␈α␈e␈α
to
␈β∧"␈↓ ↓H␈ε"kn␈α↓o␈α␈w␈αλh␈α↓o␈α␈w␈α	large␈α	the␈α	largest␈α	prime␈α	factor␈↓ ε6␈ε(p␈↓ ε]␈ε"will␈α	tend␈α	to␈α	be.␈α∂This␈α	question␈α	w␈α␈as␈αλ|rst
␈β∧.␈↓ εH␈ε+t
␈β∧M␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈v␈α␈estigated␈αby␈αKarl␈↓ ∧∩␈ε"Dickman␈α[␈ε/Arkiv␈αf␈↓ ε$␈ε/∪␈↓ ε$␈ε/o␈↓ ε6␈ε/r␈αMat.,␈αAstron.␈αoch␈αFys.␈ε2␈α22A␈ε",␈α10␈α(1930),
␈β∧x␈↓ ↓H␈ε"1↑14],␈α
wh␈α↓o␈α
studied␈α
the␈α
probabilit␈α␈y␈α∞that␈α
a␈α
random␈α
in␈α␈teger␈α
bet␈α␈w␈α␈een␈α
1␈α
and␈ε(␈α
x␈ε"␈α
will
␈β¬≡␈↓ ¬M␈ε+
␈β¬$␈↓ ↓H␈ε"ha␈α␈v␈α␈e␈αits␈αlargest␈αprime␈αfactor␈ε6␈α∀␈↓ ¬9␈ε(x␈↓ ¬b␈ε".␈α⊂Dickman␈αga␈α␈v␈α␈e␈αa␈αheuristic␈αargumen␈α␈t␈αto␈αsh␈α↓o␈α␈w
␈β¬O␈↓ ↓H␈ε"that␈α
this␈αprobabilit␈α␈y␈α
approaches␈αthe␈α
limiting␈αv␈α}alue␈↓ πd␈ε(F␈↓ λ␈ε"(␈ε(␈ε")␈αas␈ε(␈α
x␈ε6␈α
!␈α
1␈ε",␈αwhere␈↓ 
P␈ε(F␈↓ 
v␈ε"can
␈β¬z␈↓ ↓H␈ε"be␈αcalculated␈αfrom␈αthe␈αfunctional␈αequation
␈βε=␈↓ αK␈ε↓Z
␈βεC␈↓ αo␈ε+
␈βεP␈↓ β&␈ε↓∩␈↓ ∧↔␈ε↓∪
␈βεQ␈↓ βc␈ε(t␈↓ ∧7␈ε(d␈α↓t
␈βεi␈↓ ↓H␈ε(F␈↓ ↓d␈ε"(␈ε(␈ε")␈α
=␈↓ β
␈ε(F␈↓ ∧[␈ε",␈↓ ¬∂␈ε"for␈↓ ¬G␈ε"0␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
␈ε6␈α
∀␈ε"␈α
1;␈↓ πJ␈ε(F␈↓ πf␈ε"(␈ε(␈ε")␈α
=␈α
1␈↓ 	β␈ε"for␈↓ 	;␈ε(␈ε6␈α
∃␈ε"␈α
1.␈↓ α␈ε"(6)
␈βε⎇␈↓ β@␈∧ε⎇β@αT␈↓ ∧7␈∧ε⎇∧7α 
␈βπα␈↓ β@␈ε"1␈ε6␈αλ␈␈ε(␈αλt␈↓ ∧A␈ε(t
␈βπ␈↓ α←␈ε%0
␈βπS␈↓ ↓H␈ε"His␈αargumen␈α␈t␈αw␈α␈as␈αessen␈α␈tially␈αthis:␈αGiv␈α␈en␈α0␈α
<␈ε(␈α
t␈ε"␈α
<␈α
1,␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αin␈α␈tegers␈αless
␈βπx␈↓ π↔␈ε+t␈↓ λ¬␈ε+t␈ε%␈α↓+␈ε+␈α␈d␈α↓t␈↓ 	&␈ε90
␈βπ␈␈↓ ↓H␈ε"than␈ε(␈α	x␈ε"␈α
wh␈α↓ose␈α	largest␈α
prime␈α
factor␈α	is␈α
bet␈α␈w␈α␈een␈↓ πβ␈ε(x␈↓ π.␈ε"and␈↓ πq␈ε(x␈↓ λT␈ε"is␈ε(␈α
x␈↓ 	
␈ε(F␈↓ 	0␈ε"(␈ε(t␈ε")␈ε(␈αεdt␈ε"␈α↓.␈α∂The␈α	n␈α␈um-
␈βλ␈↓ λα␈ε↓␈␈↓ 	u␈ε↓↓
␈βλ$␈↓ ¬g␈ε+t␈ε%␈α↓+␈ε+␈α␈d␈α↓t␈↓ π≠␈ε+t␈↓ λ$␈ε+t␈↓ 	B␈ε+t␈↓ 
e␈ε+t
␈βλ*␈↓ ↓H␈ε"ber␈α
of␈α
primes␈ε(␈α
p␈ε"␈αin␈α
that␈α
range␈α
is␈↓ ¬1␈ε(→␈↓ ¬G␈ε"(␈↓ ¬S␈ε(x␈↓ ε-␈ε")␈ε6␈α∧␈␈↓ εf␈ε(→␈↓ ε{␈ε"(␈↓ ππ␈ε(x␈↓ π(␈ε")␈α
=␈↓ πl␈ε(→␈↓ λ⊂␈ε(x␈↓ λ6␈ε"+␈α∧(␈↓ λj␈ε"ln␈↓ 	∞␈ε(x␈ε")␈↓ 	.␈ε(x␈↓ 	U␈ε(dt␈↓ 
π␈ε6␈␈↓ 
0␈ε(→␈↓ 
E␈ε"(␈↓ 
Q␈ε(x␈↓ 
r␈ε")␈α
=
␈βλO␈↓ ↓\␈ε+t
␈βλU␈↓ ↓H␈ε(x␈↓ ↓o␈ε(dt␈ε"/␈ε(t␈ε".␈α≥F␈α⎇or␈α⊂ev␈α␈ery␈α⊃such␈ε(␈α⊂p␈ε",␈α⊃the␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber␈α⊂of␈α⊃in␈α␈tegers␈ε(␈α⊂n␈ε"␈α⊂such␈α⊂that␈α⊂\␈ε(np␈ε6␈α⊃∀␈ε(␈α⊃x␈ε"␈α⊂and
␈βλz␈↓ 	∩␈ε%1␈ε9␈␈ε+t
␈β	␈↓ ↓H␈ε"the␈αlargest␈α
prime␈α
factor␈α
of␈ε(␈α
n␈ε"␈αis␈↓ ¬=␈ε6∀␈ε(␈α
p␈↓ ¬⎇␈ε""␈α
is␈α
the␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈ε(␈αn␈ε6␈α∀␈↓ λ}␈ε(x␈↓ 	Y␈ε"wh␈α↓ose␈αlargest
␈β	
␈↓ πD␈ε↓␈␈↓ λ←␈ε↓↓
␈β	%␈↓ ∧∂␈ε%1␈ε9␈␈ε+t␈↓ ∧U␈ε+t␈ε%/(␈α↓1␈ε9␈␈ε+t␈ε%)␈↓ εh␈ε%1␈ε9␈α↓␈␈ε+␈α␈t␈↓ 
'␈ε90
␈β	+␈↓ ↓H␈ε"prime␈α
factor␈α∞is␈ε6␈α
∀␈ε"␈α
(␈↓ β{␈ε(x␈↓ ∧I␈ε")␈↓ ¬>␈ε",␈α∞namely␈↓ εT␈ε(x␈↓ π(␈ε(F␈↓ πR␈ε(t␈ε"␈α↓/(1␈ε6␈α	␈␈ε(␈α	t␈ε")␈↓ λm␈ε".␈α∃Hence␈ε(␈α
x␈↓ 
␈ε(F␈↓ 
1␈ε"(␈ε(t␈ε")␈ε(␈αεd␈α↓t␈ε"␈α=
␈β	8␈↓ αE␈ε↓␈␈↓ β=␈ε↓␈␈↓ ∧V␈ε↓↓␈↓ ∧d␈ε↓↓
␈β	P␈↓ ↓h␈ε+t␈↓ αg␈ε%1␈ε9␈α↓␈␈ε+␈α␈t
␈β	W␈↓ ↓H␈ε"(␈↓ ↓T␈ε(x␈↓ ↓{␈ε(dt␈ε"/␈ε(t␈ε")␈↓ αS␈ε(x␈↓ β!␈ε(F␈↓ βK␈ε(t␈ε"␈α↓/(1␈ε6␈αλ␈␈ε(␈αλt␈ε")␈↓ ∧r␈ε",␈α
and␈α(6)␈αfollo␈α␈ws␈α
by␈αin␈α␈tegration.␈α⊃This␈αheuristic␈αargu-
␈β
α␈↓ ↓H␈ε"men␈α␈t␈α
can␈α
be␈α
made␈α
rigorous;␈α
V.␈↓ ¬?␈ε"Ramasw␈α␈ami␈α
[␈ε/Bull.␈α
Amer.␈α
Math.␈α
Soc.␈ε2␈α
55␈ε"␈α
(1949),
␈β
-␈↓ ↓H␈ε"1122↑1127]␈αsh␈α↓o␈α␈w␈α␈ed␈αthat␈αthe␈αprobabilit␈α␈y␈αin␈αquestion␈αfor␈α|xed␈ε(␈α␈ε"␈αis␈αasymptotically
␈β
X␈↓ ↓H␈ε(F␈↓ ↓d␈ε"(␈ε(␈ε")␈α↓+␈↓ α8␈ε(O␈↓ αU␈ε"(1/␈↓ β¬␈ε"log␈↓ β9␈ε(x␈ε"),␈α	as␈ε(␈αλx␈ε6␈α
!␈α
1␈ε",␈α	and␈αλman␈α␈y␈α	other␈αλauth␈α↓ors␈αλha␈α␈v␈α␈e␈α	extended␈αλthe␈αλanalysis
␈ββ␈↓ ↓H␈ε"[see␈α
the␈α
surv␈α␈ey␈αby␈α
Karl␈αK.␈↓ ∧h␈ε"Norton,␈ε/␈αMem␈α↓oirs␈α
Amer.␈αMath.␈α
Soc.␈ε2␈α
106␈ε"␈α(1971),␈α
9↑27].
␈β*␈↓ α4␈ε%1
␈β/␈↓ α␈ε"If␈↓ αQ␈ε6∀␈ε(␈α
␈ε6␈α
∀␈ε"␈α
1,␈αform␈α␈ula␈α(6)␈αsimpli|es␈αto
␈β@␈↓ α4␈ε%2
␈βC␈↓ α4␈∧Cα4α⊂
␈βy␈↓ ∧A␈ε↓Z␈↓ πW␈ε↓Z
␈β␈␈↓ ∧e␈ε%1␈↓ π{␈ε%1
␈β␈↓ ¬_␈ε↓∩␈↓ ε	␈ε↓∪
␈β
␈↓ ¬U␈ε(t␈↓ ε)␈ε(d␈α↓t␈↓ λ⊗␈ε(dt
␈β%␈↓ αl␈ε(F␈↓ βλ␈ε"(␈ε(␈ε")␈α⊂=␈α⊂1␈ε6␈αλ␈␈↓ ∧|␈ε(F␈↓ ε]␈ε"=␈α⊂1␈ε6␈αλ␈␈↓ λI␈ε"=␈α⊂1␈αλ+␈↓ 	C␈ε"ln␈↓ 	g␈ε(␈ε".
␈β9␈↓ ¬2␈∧9¬2αT␈↓ ε)␈∧9ε)α ␈↓ λ⊗␈∧9λ⊗α 
␈β?␈↓ ¬2␈ε"1␈ε6␈αλ␈␈ε(␈αλt␈↓ ε3␈ε(t␈↓ λ∨␈ε(t
␈βH␈↓ ∧U␈ε+␈↓ πk␈ε+
␈β
⊂␈↓ ↓H␈ε"Th␈α␈us,␈α⊂for␈α∂example,␈α⊂the␈α⊂probabilit␈α␈y␈α∂that␈α∂a␈α∂random␈α⊂positiv␈α␈e␈α∂in␈α␈teger␈ε6␈α∂∀␈ε(␈α⊂x␈ε"␈α∂has␈α∂a
␈β
6␈↓ ¬1␈ε%1
␈β
:␈↓ βQ␈ε6p
␈β
;␈↓ ↓H␈ε"prime␈α∂factor␈α⊂>␈↓ βo␈ε(x␈↓ ∧∩␈ε"is␈α⊂1␈ε6␈α
␈␈↓ ¬¬␈ε(F␈↓ ¬!␈ε"(␈↓ ¬D␈ε")␈α⊂=␈↓ ε∀␈ε"ln␈↓ ε8␈ε"2,␈α⊃about␈α∂69␈α⊂percen␈α␈t.␈α≠In␈α∂all␈α⊂such␈α∂cases,
␈β
=␈↓ βo␈∧
=βoα∀
␈β
L␈↓ ¬1␈ε%2
␈β
O␈↓ ¬1␈∧
O¬1α⊂
␈β
f␈↓ ↓H␈ε"Algorithm␈αA␈αm␈α␈ust␈αw␈α␈ork␈αhard.
␈β∞⊃␈↓ α␈ε"The␈α∂net␈α∞result␈α∂of␈α∞this␈α∂discussion␈α∞is␈α∂that␈α∂Algorithm␈α∞A␈α∂will␈α∞giv␈α␈e␈α∂the␈α∞answ␈α␈er
␈β∞<␈↓ ↓H␈ε"rather␈αλquickly␈α	if␈αλw␈α␈e␈αλw␈α␈an␈α␈t␈α	to␈αλfactor␈α	a␈αλsix-digit␈α	n␈α␈um␈α␈ber;␈α	but␈α	for␈αλlarge␈↓ 	O␈ε(N␈↓ 	z␈ε"the␈αλam␈α↓oun␈α␈t
␈β∞h␈↓ ↓H␈ε"of␈αcomputer␈αtime␈αfor␈αfactorization␈αby␈αtrial␈αdivision␈αwill␈αrapidly␈αexceed␈αpractical
␈β∂∪␈↓ ↓H␈ε"limits,␈αunless␈αw␈α␈e␈αare␈αun␈α␈usually␈αlucky.
␈β∂>␈↓ α␈ε"Later␈α
in␈αthis␈α
section␈α
w␈α␈e␈αwill␈α
see␈α
that␈αthere␈α
are␈α
fairly␈α
go␈α↓od␈αw␈α␈a␈α␈ys␈α
to␈α
determine
␈β∂i␈↓ ↓H␈ε"whether␈αor␈α
n␈α↓ot␈αa␈αreasonably␈αlarge␈αn␈α␈um␈α␈ber␈ε(␈αn␈ε"␈αis␈αprime,␈αwith␈α↓out␈αtrying␈αall␈α
divisors
␈β⊂∪␈↓ α5␈ε6p
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈ε"up␈α∩to␈↓ αS␈ε(n␈↓ αi␈ε".␈α$Therefore␈α∪Algorithm␈α∪A␈α∩w␈α␈ould␈α∪o$en␈α∪run␈α∩faster␈α∪if␈α∪w␈α␈e␈α∪inserted␈α∩a
␈β⊂⊗␈↓ αS␈∧⊂⊗αSα⊗
␈β⊂@␈↓ ↓H␈ε"primalit␈α␈y␈α⊂test␈α⊃bet␈α␈w␈α␈een␈α⊃steps␈α⊂A2␈α⊃and␈α⊂A3;␈α∪the␈α⊃running␈α⊃time␈α⊂for␈α⊃this␈α⊂impro␈α␈v␈α␈ed
␈β⊂k␈↓ ↓H␈ε"algorithm␈αw␈α␈ould␈αthen␈αbe␈αroughly␈αproportional␈αto␈↓ πM␈ε(p␈↓ λ→␈ε",␈αthe␈ε/␈αsecond-largest␈ε"␈αprime
␈β⊂w␈↓ π←␈ε+t␈ε9␈α↓␈␈ε%␈α␈1
␈β⊃∃␈↓ ε?␈ε6p
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε"factor␈α∪of␈↓ αi␈ε(N␈↓ β␈ε",␈α∃instead␈α∪of␈α∀to␈↓ ¬∪␈ε"ma␈↓ ¬C␈ε"x␈↓ ¬W␈ε"(␈↓ ¬c␈ε(p␈↓ ε/␈ε",␈↓ ε]␈ε(p␈↓ πα␈ε").␈α'By␈α∪an␈α∀argumen␈α␈t␈α∪analogous␈α∪to
␈β⊃_␈↓ ε]␈∧⊃_ε]α∨
␈β⊃#␈↓ ¬u␈ε+t␈ε9␈α↓␈␈ε%␈α␈1␈↓ εo␈ε+t
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"368␈↓ 
b␈ε"4.5.4
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βε#␈↓ βI␈ε3Fig.␈α11␈α␈.␈ε#␈α≠Prob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lit␈α␈y␈αd␈α␈istribu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αf␈α↓u␈α␈nc␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αfor␈αth␈α␈e
␈βεK␈↓ βI␈ε#t␈α␈w␈α␈o␈α
l␈α↓a␈α␈rgest␈α
pr␈α␈i␈α↓m␈α␈e␈αfac␈α␈tors␈α
of␈αa␈α
ra␈α␈nd␈α␈om␈α
i␈α↓n␈α}teg␈α␈er␈ε7␈α∀␈ε)␈α	x␈ε#.
␈βπG␈↓ ↓H␈ε"Dickman's␈α
(see␈αexercise␈α18),␈αw␈α␈e␈αcan␈αsh␈α↓o␈α␈w␈α
that␈αthe␈αsecond-largest␈αprime␈αfactor␈α
of
␈βπl␈↓ ¬7␈ε+␈
␈βπr␈↓ ↓H␈ε"a␈αrandom␈αin␈α␈teger␈ε(␈αx␈ε"␈αwill␈αbe␈ε6␈α∀␈↓ ¬#␈ε(x␈↓ ¬V␈ε"with␈αappro␈α␈ximate␈αprobabilit␈α␈y␈ε(␈αG␈ε"␈α↓(␈↓ 	Z␈ε(␈␈↓ 	p␈ε"),␈αwhere
␈βλ<␈↓ β←␈ε↓Z
␈βλB␈↓ ∧β␈ε+␈
␈βλN␈↓ ∧≥␈ε↓∩␈↓ ∧P␈ε↓∩␈↓ ¬A␈ε↓∪␈↓ ε'␈ε↓∩␈↓ π_␈ε↓∪␈↓ π.␈ε↓∪
␈βλP␈↓ ¬
␈ε(t␈↓ εd␈ε(t␈↓ πN␈ε(d␈α↓t
␈βλc␈↓ 	z␈ε%1
␈βλh␈↓ α\␈ε(G␈ε"␈α↓(␈↓ β¬␈ε(␈␈↓ β≠␈ε")␈α
=␈↓ ∧3␈ε(G␈↓ ¬←␈ε6␈␈↓ ε␈ε(F␈↓ πr␈ε",␈↓ λ&␈ε"for␈↓ λ↑␈ε"0␈ε6␈α
∀␈↓ 	(␈ε(␈␈↓ 	H␈ε6∀␈↓ 
∞␈ε".␈↓ α␈ε"(7)
␈βλx␈↓ 	z␈ε%2
␈βλ|␈↓ ∧j␈∧λ|∧jαT␈↓ εA␈∧λ|εAαT␈↓ πN␈∧λ|πNα ␈↓ 	z␈∧λ|	zα⊂
␈β	↓␈↓ ∧j␈ε"1␈ε6␈αλ␈␈ε(␈αλt␈↓ εA␈ε"1␈ε6␈αλ␈␈ε(␈αλt␈↓ πX␈ε(t
␈β	
␈↓ βs␈ε%0
␈β	O␈↓ ∧n␈ε%1
␈β	T␈↓ ↓H␈ε"Clearly␈ε(␈αG␈ε"(␈↓ αl␈ε(␈␈↓ ββ␈ε")␈α
=␈α
1␈αfor␈↓ ∧≠␈ε(␈␈↓ ∧<␈ε6∃␈↓ ¬↓␈ε".␈α⊗(See␈αFig.␈α11.)␈α↔Numerical␈αev␈α}aluation␈αof␈α(6)␈αand␈α(7)
␈β	e␈↓ ∧n␈ε%2
␈β	h␈↓ ∧n␈∧	h∧nα⊂
␈β	␈␈↓ ↓H␈ε"yields␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈α\percen␈α␈tage␈αpoin␈α␈ts":
␈β
N␈↓ ↓H␈ε)F␈↓ ↓b␈ε#(␈ε)␈ε#␈α␈),␈ε)␈αεG␈ε#(␈↓ αA␈ε)␈␈↓ αV␈ε#)␈α	=␈↓ β0␈ε#.01␈↓ ∧∂␈ε#.05␈↓ ∧n␈ε#.10␈↓ ¬M␈ε#.20␈↓ ε,␈ε#.␈α↓3␈α␈5␈↓ π␈ε#.␈α↓5␈α␈0␈↓ πk␈ε#.6␈α␈5␈↓ λJ␈ε#.80␈↓ 	)␈ε#.90␈↓ 
λ␈ε#.95␈↓ 
g␈ε#.␈α↓9␈α␈9
␈β↓␈↓ αL␈ε)␈ε#␈αλ=␈↓ β∨␈ε#.269␈α␈7␈↓ β}␈ε#.334␈α␈8␈↓ ∧]␈ε#.␈α↓3␈α␈78␈α␈5␈↓ ¬<␈ε#.␈α↓4␈α␈430␈↓ ε≤␈ε#.52␈α␈20␈↓ ε{␈ε#.60␈α␈65␈↓ πZ␈ε#.70␈α␈47␈↓ λ9␈ε#.818␈α␈7␈↓ 	_␈ε#.␈α↓9␈α␈04␈α␈8␈↓ 	w␈ε#.␈α↓9␈α␈512␈↓ 
W␈ε#.99␈α␈00
␈β3␈↓ αL␈ε)␈␈↓ αj␈ε#=␈↓ β∨␈ε#.005␈α␈6␈↓ β}␈ε#.027␈α␈3␈↓ ∧]␈ε#.␈α↓0␈α␈53␈α␈1␈↓ ¬<␈ε#.␈α↓1␈α␈003␈↓ ε≤␈ε#.16␈α␈11␈↓ ε{␈ε#.21␈α␈17␈↓ πZ␈ε#.25␈α␈82␈↓ λ9␈ε#.310␈α␈4␈↓ 	_␈ε#.␈α↓3␈α␈59␈α␈0␈↓ 	w␈ε#.␈α↓3␈α␈967␈↓ 
W␈ε#.45␈α␈17
␈β↓␈↓ πW␈ε%.␈α␈2␈α↓117
␈βπ␈↓ ↓H␈ε"Th␈α␈us,␈αthe␈αsecond-largest␈αprime␈αfactor␈αwill␈αbe␈ε6␈α∀␈↓ πC␈ε(x␈↓ λ*␈ε"about␈αhalf␈αthe␈αtime,␈αetc.
␈β2␈↓ α␈ε"The␈ε/␈α⊂total␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈α⊂of␈α⊂prime␈α∂factors␈ε",␈ε(␈α⊃t␈ε",␈α⊃has␈α∂also␈α⊂been␈α⊂in␈α␈tensiv␈α␈ely␈α∂analyzed.
␈β]␈↓ ↓H␈ε"Obviously␈α	1␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
t␈ε6␈α∀␈↓ β␈␈ε"lg␈↓ ∧!␈ε(N␈↓ ∧C␈ε",␈αbut␈α	these␈α
lo␈α␈w␈α␈er␈α	and␈α
upper␈α
bounds␈α	are␈α
seldom␈α	achiev␈α␈ed.
␈β
	␈↓ ↓H␈ε"It␈α⊃is␈α⊃possible␈α⊃to␈α∩pro␈α␈v␈α␈e␈α⊃that␈α⊃if␈↓ ¬:␈ε(N␈↓ ¬n␈ε"is␈α⊃ch␈α↓osen␈α⊃at␈α∩random␈α⊃bet␈α␈w␈α␈een␈α⊃1␈α∩and␈ε(␈α⊃x␈ε",␈α∩the
␈β
.␈↓ ¬2␈ε6p
␈β
1␈↓ ¬P␈∧
1¬Pαb
␈β
4␈↓ ↓H␈ε"probabilit␈α␈y␈αthat␈ε(␈αt␈ε6␈α
∀␈↓ ∧∪␈ε"ln␈↓ ∧7␈ε"ln␈↓ ∧[␈ε(x␈ε"␈αλ+␈ε(␈αλc␈↓ ¬V␈ε"ln␈↓ ¬z␈ε"ln␈↓ ε≡␈ε(x␈↓ ε>␈ε"approaches
␈β
v␈↓ ¬k␈ε↓Z
␈β
{␈↓ ε∂␈ε+c
␈β∞
␈↓ ¬5␈ε"1
␈β∞∃␈↓ π␈ε'2
␈β∞~␈↓ εQ␈ε9␈␈↓ εn␈ε+u␈↓ π∂␈ε%/2
␈β∞"␈↓ εB␈ε(e␈↓ π5␈ε(d␈↓ πI␈ε(u␈↓ α␈ε"(8)
␈β∞6␈↓ ¬≠␈∧∞6¬≠αF
␈β∞D␈↓ ¬␈␈ε9␈␈α␈1
␈β∞F␈↓ ¬≠␈ε6p
␈β∞I␈↓ ¬9␈∧∞I¬9α(
␈β∞J␈↓ ¬9␈ε"2␈↓ ¬K␈ε(→
␈β∂⊗␈↓ ↓H␈ε"as␈ε(␈α∞x␈ε6␈α∞!␈α∞1␈ε",␈α⊂for␈α∞an␈α␈y␈α∞|xed␈ε(␈α∂c␈ε".␈α_In␈α∞other␈α∂w␈α␈ords,␈α∂the␈α∞distribution␈α∂of␈ε(␈α∞t␈ε"␈α∂is␈↓ 
␈ε"essen␈α␈tially
␈β∂A␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓ormal,␈α∩with␈α⊃mean␈α⊃and␈α⊃v␈α}ariance␈↓ ¬l␈ε"ln␈↓ ε⊂␈ε"ln␈↓ ε4␈ε(x␈ε";␈α∪about␈α⊃99.73␈α⊃percen␈α␈t␈α⊃of␈α⊃all␈α⊃the␈α⊃large
␈β∂g␈↓ ¬z␈ε6p
␈β∂j␈↓ ε_␈∧∂jε_αb
␈β∂l␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈tegers␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
x␈ε"␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈ε6␈α∞j␈ε(t␈ε6␈α
␈␈↓ ∧D␈ε"ln␈↓ ∧h␈ε"ln␈↓ ¬␈ε(x␈ε6j␈α
∀␈ε"␈α
3␈↓ ε≡␈ε"ln␈↓ εB␈ε"ln␈↓ εf␈ε(x␈↓ εz␈ε".␈α∃F␈α⎇urtherm␈α↓ore␈α∞the␈α∞a␈α␈v␈α␈erage␈α∞v␈α}alue␈α
of
␈β⊂_␈↓ ↓H␈ε(t␈ε6␈αλ␈␈↓ α	␈ε"ln␈↓ α-␈ε"ln␈↓ αQ␈ε(x␈ε"␈αfor␈α1␈ε6␈α
∀␈↓ βs␈ε(N␈↓ ∧ ␈ε6∀␈ε(␈α
x␈ε"␈αis␈αkn␈α↓o␈α␈wn␈αto␈αapproach
␈β⊂K␈↓ β;␈ε↓X
␈β⊂O␈↓ ∧␈ε↓␈␈↓ π∪␈ε↓↓
␈β⊂m␈↓ αW␈ε(␈
␈↓ αt␈ε"+␈↓ ∧→␈ε"ln␈↓ ∧7␈ε"(1␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ1/␈ε(p␈ε")␈αλ+␈αλ1/(␈ε(p␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ1)␈↓ π+␈ε"=␈α
1.03465␈αλ38818␈αλ97438.
␈β⊃≡␈↓ β ␈ε+p␈↓ β9␈ε%p␈α␈rime
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.4␈↓ 
v␈ε"369
␈β↓\␈↓ π≡␈ε∞F␈α|ACTORING␈αINTO␈α
P␈α␈RIM␈α↓ES
␈βα"␈↓ ↓H␈ε"[Cf.␈α
G.␈αH.␈↓ αk␈ε"Hardy␈αand␈αE.␈α
M.␈↓ ∧⎇␈ε"W␈α⎇righ␈α␈t,␈ε/␈αIn␈α␈troduction␈α
to␈αthe␈α
Theory␈αof␈αNum␈α␈bers␈ε",␈α
4th
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"ed.␈α∂(Oxford,␈α⊂1960),␈ε6␈α∂x␈ε"22.11;␈α⊃see␈α∂also␈α∂P.␈↓ ε>␈ε"Erd␈↓ εx␈ε"⊗␈↓ εx␈ε"o␈↓ π
␈ε"s␈α∂and␈α∂M.␈↓ λ)␈ε"Kac,␈ε/␈α⊂Amer.␈α∂J.␈α∂Math.␈ε2␈α∂26
␈βαy␈↓ ↓H␈ε"(1940),␈α738↑742.]
␈ββ$␈↓ α␈ε"The␈α∞size␈α∞of␈α∞prime␈α∂factors␈α∞has␈α∞a␈α∞remark␈α}able␈α∞connection␈α∞with␈↓ 	S␈ε"perm␈α␈utations:
␈ββO␈↓ ↓H␈ε"The␈α∞a␈α␈v␈α␈erage␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∂of␈α∞bits␈α∂in␈α∞the␈↓ ¬}␈ε(k␈↓ ε∩␈ε"th␈α∞largest␈α∂prime␈α∞factor␈α∞of␈α∂a␈α∞random␈ε(␈α∂n␈ε"␈α␈-bit
␈ββz␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈teger␈αis␈αasymptotically␈αthe␈αsame␈αas␈αthe␈αa␈α␈v␈α␈erage␈αlength␈αof␈αthe␈↓ 	+␈ε(k␈↓ 	?␈ε"th␈αlargest␈αcy␈α␈cle
␈β∧%␈↓ ↓H␈ε"of␈α
a␈αrandom␈ε(␈αn␈ε"-elemen␈α␈t␈αperm␈α␈utation,␈αas␈ε(␈αn␈ε6␈α	!␈α
1␈ε".␈α∃[See␈αD.␈αE.␈↓ λl␈ε"Kn␈α␈uth␈αand␈αL.␈↓ 
M␈ε"T␈α⎇rabb
␈β∧Q␈↓ ↓H␈ε"Pardo,␈ε/␈α
Theoretical␈α
Comp.␈αSci.␈ε2␈α
3␈ε"␈α
(1976),␈α
321↑348.]␈α≠It␈α
follo␈α␈ws␈α
that␈α
Algorithm␈αA
␈β∧|␈↓ ↓H␈ε"usually␈α
|nds␈α
a␈α
few␈αsmall␈α
factors␈α
and␈α
then␈α
begins␈αa␈α
long-dra␈α␈wn-out␈α
search␈α
for␈α
the
␈β¬'␈↓ ↓H␈ε"big␈αones␈αthat␈αare␈αle$.
␈β¬f␈↓ ↓H␈ε2F␈α⎇actoring␈↓ αn␈ε2␈
␈↓ αn␈ε2a␈↓ β⊃␈ε2la␈α⊂Mon␈α␈te␈α⊃Carlo.␈ε"␈α#Near␈α⊃the␈α⊂beginning␈α⊃of␈↓ λ+␈ε"Chapter␈α⊃3,␈α∩w␈α␈e␈α⊃observ␈α␈ed
␈βε⊃␈↓ ↓H␈ε"that␈α
\a␈α∞random␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
generator␈α∞ch␈α↓osen␈α
at␈α∞random␈α
isn't␈α∞v␈α␈ery␈α
random."␈α∀This
␈βε=␈↓ ↓H␈ε"principle,␈α⊃which␈α⊂w␈α␈ork␈α␈ed␈α⊂against␈α⊂us␈α⊂in␈α⊂that␈α⊂chapter,␈α⊂has␈α⊂the␈α⊂redeeming␈α⊂virtue
␈βεh␈↓ ↓H␈ε"that␈α∂it␈α⊂leads␈α⊂to␈α⊂a␈α∂surprisingly␈α⊂e}cien␈α␈t␈α⊂meth␈α↓od␈α∂of␈α⊂factorization,␈α⊃disco␈α␈v␈α␈ered␈α∂by
␈βπ∪␈↓ ↓H␈ε"J.␈α⊂M.␈↓ α/␈ε"Pollard␈α⊂[␈ε/BIT␈ε2␈α⊂15␈ε"␈α⊃(1975),␈α⊃331↑334].␈α≡The␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber␈α⊃of␈α⊂computational␈α⊂steps
␈βπ=␈↓ ε7␈ε6p
␈βπ>␈↓ ↓H␈ε"in␈α∞Pollard's␈α∞meth␈α↓od␈α∞is␈α∞on␈α∞the␈α∞order␈α∞of␈↓ εU␈ε(p␈↓ π!␈ε",␈α∂so␈α∞it␈α∞is␈α∞signi|can␈α␈tly␈α∞faster␈α∞than
␈βπ@␈↓ εU␈∧π@εUαL
␈βπK␈↓ εg␈ε+t␈ε9␈α↓␈␈ε%␈α␈1
␈βπi␈↓ ↓H␈ε"Algorithm␈α
A␈α∞when␈↓ β⎇␈ε(N␈↓ ∧-␈ε"is␈α∞large.␈α∃According␈α∞to␈α∞(7)␈α
and␈α∞Fig.␈α∞11,␈α∞the␈α∞running␈α
time
␈βλ∂␈↓ ¬	␈ε%1/4
␈βλ∃␈↓ ↓H␈ε"will␈αusually␈αbe␈αw␈α␈ell␈αunder␈↓ ∧f␈ε(N␈↓ ¬8␈ε".
␈βλ@␈↓ α␈ε"Let␈↓ αP␈ε(f␈↓ αe␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α∞be␈α
an␈α␈y␈α∞polyn␈α↓omial␈α∞with␈α∞in␈α␈teger␈α
coe}cien␈α␈ts,␈α∞and␈α∞consider␈α∞the␈α
t␈α␈w␈α␈o
␈βλk␈↓ ↓H␈ε"sequences␈αde|ned␈αby
␈β	>␈↓ ↓H␈ε(x␈↓ ↓v␈ε"=␈↓ α$␈ε(y␈↓ αQ␈ε"=␈ε(␈α
A␈ε";␈↓ βq␈ε(x␈↓ ∧X␈ε"=␈↓ ¬ε␈ε(f␈↓ ¬≠␈ε"(␈↓ ¬'␈ε(x␈↓ ¬W␈ε")␈↓ ¬i␈ε"mod␈↓ ε3␈ε(N␈↓ εV␈ε",␈↓ π.␈ε(y␈↓ λ∪␈ε"=␈↓ λA␈ε(f␈↓ λV␈ε"(␈↓ λb␈ε(y␈↓ 	⊂␈ε")␈↓ 	"␈ε"mod␈↓ 	l␈ε(p␈ε",␈↓ α␈ε"(9)
␈β	J␈↓ ↓\␈ε%0␈↓ α6␈ε%0␈↓ ∧¬␈ε+m␈ε%␈α␈+1␈↓ ¬;␈ε+m␈↓ π@␈ε+m␈ε%␈α␈+1␈↓ λt␈ε+m
␈β
⊃␈↓ ↓H␈ε"where␈ε(␈αp␈ε"␈αis␈αan␈α␈y␈αprime␈αfactor␈αof␈↓ ¬.␈ε(N␈↓ ¬Q␈ε".␈α⊂It␈αfollo␈α␈ws␈αthat
␈β
c␈↓ ∧<␈ε(y␈↓ ∧t␈ε"=␈↓ ¬"␈ε(x␈↓ ¬X␈ε"mod␈↓ ε"␈ε(p␈ε",␈↓ π␈ε"for␈↓ πD␈ε(m␈ε6␈α
∃␈ε"␈α
1.␈↓ 
p␈ε"(10)
␈β
p␈↓ ∧N␈ε+m␈↓ ¬6␈ε+m
␈β6␈↓ ↓H␈ε"No␈α␈w␈α∂exercise␈α∂3.1↑7␈α⊂sh␈α↓o␈α␈ws␈α∂that␈α∂w␈α␈e␈α⊂will␈α∂ha␈α␈v␈α␈e␈↓ π≤␈ε(y␈↓ πY␈ε"=␈↓ λ␈ε(y␈↓ 	∃␈ε"for␈α∂some␈ε(␈α∂m␈ε6␈α⊂∃␈ε"␈α∂1,
␈βB␈↓ π-␈ε+m
␈βC␈↓ λ≡␈ε+l␈ε%(␈ε+m␈ε%)␈ε9␈␈ε%1
␈βa␈↓ ↓H␈ε"where␈↓ α0␈ε(l␈↓ α<␈ε"(␈ε(m␈ε"␈α␈)␈α
is␈α
the␈αgreatest␈α
po␈α␈w␈α␈er␈αof␈α
2␈α
that␈αis␈ε6␈α
∀␈ε(␈αm␈ε"␈α␈.␈α∩Th␈α␈us␈↓ λW␈ε(x␈↓ 	∂␈ε6␈␈↓ 	<␈ε(x␈↓ 
D␈ε"will␈αbe
␈βn␈↓ λk␈ε+m␈↓ 	P␈ε+l␈ε%␈α␈(␈ε+␈α↓m␈ε%␈α␈)␈ε9␈α↓␈␈ε%␈α␈1
␈β␈↓ ↓H␈ε"a␈α
m␈α␈ultiple␈α
of␈ε(␈α
p␈ε".␈α∀F␈α⎇urtherm␈α↓ore␈α
if␈↓ ¬F␈ε(f␈↓ ¬[␈ε"(␈↓ ¬g␈ε(y␈↓ ¬z␈ε")␈↓ ε␈ε"mod␈↓ εV␈ε(p␈ε"␈α∞beha␈α␈v␈α␈es␈α
as␈α
a␈↓ λH␈ε"random␈α
mapping␈α
from
␈β8␈↓ ↓H␈ε"the␈αset␈ε6␈αf␈ε"0,␈αε1,␈↓ β∪␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ βC␈ε",␈ε(␈αεp␈ε6␈αλ␈␈ε"␈απ1␈ε6g␈ε"␈αin␈α␈to␈αitself,␈αexercise␈α3.1↑12␈αsh␈α↓o␈α␈ws␈αthat␈αthe␈αa␈α␈v␈α␈erage␈αv␈α}alue
␈βb␈↓ ¬s␈ε6p
␈βc␈↓ ↓H␈ε"of␈αthe␈α
least␈αsuch␈ε(␈αm␈ε"␈αwill␈αbe␈αof␈α
order␈↓ ε⊃␈ε(p␈↓ ε#␈ε".␈α⊂In␈αfact,␈αexercise␈α4␈αbelo␈α␈w␈αsh␈α↓o␈α␈ws␈αthat␈α
this
␈βe␈↓ ε⊃␈∧eε⊃α∩
␈β
∞␈↓ ↓H␈ε"a␈α␈v␈α␈erage␈α
v␈α}alue␈α∞for␈α∞random␈α
mappings␈α∞is␈α
less␈α∞than␈α∞1.625␈ε(␈αεQ␈ε"(␈ε(p␈ε"),␈α∞where␈α∞the␈α
function
␈β
≤␈↓ αN␈ε↓p
␈β
:␈↓ αr␈∧
:αrαL
␈β
=␈↓ ↓H␈ε(Q␈ε"(␈ε(p␈ε")␈ε6␈α∞→␈↓ αr␈ε(→␈↓ βλ␈ε(p␈ε"/2␈↓ βL␈ε"w␈α␈as␈α∞de|ned␈α∂in␈α∞Section␈α∞1.2.11.3.␈α↔If␈α∂the␈α∞di{eren␈α␈t␈α∞prime␈α∞divisors
␈β
h␈↓ ↓H␈ε"of␈↓ ↓t␈ε(N␈↓ α&␈ε"correspond␈α∂to␈α∞di{eren␈α␈t␈α∂v␈α}alues␈α∂of␈ε(␈α∞m␈ε"␈α∂(as␈α∞they␈α∂alm␈α↓ost␈α∂surely␈α∞will,␈α⊂when␈↓ 	␈ε(N
␈β∞∪␈↓ ↓H␈ε"is␈α
large),␈α
w␈α␈e␈α
will␈αbe␈α
able␈α
to␈α
|nd␈α
them␈α
by␈α
calculating␈↓ λ∩␈ε"gcd␈↓ λH␈ε"(␈↓ λT␈ε(x␈↓ 	
␈ε6␈␈↓ 	9␈ε(x␈↓ 
5␈ε",␈↓ 
E␈ε(N␈↓ 
h␈ε")␈αfor
␈β∞ ␈↓ λh␈ε+m␈↓ 	M␈ε+l␈ε%(␈ε+m␈ε%)␈ε9␈␈ε%1
␈β∞>␈↓ ↓H␈ε(m␈ε"␈α	=␈α
1,␈α2,␈α3,␈↓ β↔␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ βG␈ε",␈αun␈α␈til␈αthe␈αunfactored␈αresidue␈αis␈αprime.
␈β∞j␈↓ α␈ε"F␈α⎇rom␈α∂the␈α∂theory␈α∞in␈α∂Chapter␈α∂3,␈α∂w␈α␈e␈α∂kn␈α↓o␈α␈w␈α∂that␈α∞a␈α∂linear␈α∂polyn␈α↓omial␈↓ 
9␈ε(f␈↓ 
N␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α∞=
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε(ax␈ε"␈αλ+␈ε(␈αλc␈ε"␈αwill␈αn␈α↓ot␈αbe␈αsu}cien␈α␈tly␈αrandom␈αfor␈αour␈αpurposes.␈α⊂The␈αnext-simplest␈αcase
␈β∂:␈↓ ∧|␈ε%2
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"is␈α⊂quadratic,␈α⊃sa␈α␈y␈↓ βa␈ε(f␈↓ βv␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α⊃=␈↓ ∧h␈ε(x␈↓ ¬↔␈ε"+␈α1;␈α∩alth␈α↓ough␈α⊂w␈α␈e␈α⊂don't␈ε/␈α⊂kn␈α↓o␈α␈w␈ε"␈α⊂that␈α⊂this␈α⊂function
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"is␈α∂su}cien␈α␈tly␈α⊂random,␈α⊂our␈α∂lack␈α⊂of␈α∂kn␈α↓o␈α␈wledge␈α⊂tends␈α∂to␈α⊂support␈α∂the␈α∂h␈α␈ypothesis
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"of␈α⊂randomness,␈α⊃and␈α⊂empirical␈α⊂tests␈α⊂sh␈α↓o␈α␈w␈α⊂that␈α⊂this␈↓ λε␈ε(f␈↓ λ+␈ε"does␈α⊂w␈α␈ork␈α⊂essen␈α␈tially␈α⊂as
␈β⊂<␈↓ 	|␈ε%2
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"predicted.␈α∂In␈αfact,␈↓ βp␈ε(f␈↓ ∧⊃␈ε"is␈αprobably␈αsligh␈α␈tly␈ε/␈αbetter␈ε"␈αthan␈αrandom,␈αsince␈↓ 	h␈ε(x␈↓ 
∀␈ε"+␈αε1␈αtak␈α␈es
␈β⊂h␈↓ αS␈ε%1
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"on␈α∂only␈↓ αf␈ε"(␈ε(p␈ε"␈α
+␈α
1)␈α⊂distinct␈α∂v␈α}alues␈α∂m␈α↓od␈ε(␈α∂p␈ε".␈α~Therefore␈α∂the␈α∂follo␈α␈wing␈α∂procedure␈α∂is
␈β⊂}␈↓ αS␈ε%2
␈β⊃↓␈↓ αS␈∧⊃↓αSα⊂
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"reasonable:
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"370␈↓ 
b␈ε"4.5.4
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα"␈↓ ↓H␈ε2Algorithm␈α⊃B␈ε"␈α⊃(␈ε/Mon␈α␈te␈α⊃Carlo␈α⊂factorization␈ε")␈ε2.␈ε"␈α#This␈α⊃algorithm␈α⊃outputs␈α⊂the␈α⊃prime
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"factors␈α⊂of␈α⊂a␈α⊂giv␈α␈en␈α⊂in␈α␈teger␈↓ ∧o␈ε(N␈↓ ¬#␈ε6∃␈ε"␈α⊃2,␈α⊃with␈α⊃high␈α⊂probabilit␈α␈y,␈α⊃alth␈α↓ough␈α⊂there␈α⊂is␈α⊂a
␈βαy␈↓ ↓H␈ε"chance␈αthat␈αit␈αwill␈αfail.
␈ββ⊂␈↓ λE␈ε↓␈
␈ββ(␈↓ ∧|␈ε90
␈ββ.␈↓ ↓L␈ε2B1.␈↓ α	␈ε"[Initialize.]␈α
Set␈ε(␈α	x␈ε6␈α
␈ ␈ε"␈α
2,␈↓ ∧h␈ε(x␈↓ ¬⊂␈ε6␈ ␈ε"␈α
5,␈↓ ¬c␈ε(k␈↓ ε↓␈ε6␈ ␈ε"␈α
1,␈↓ εU␈ε(l␈↓ εj␈ε6␈ ␈ε"␈α
1,␈ε(␈α	n␈ε6␈α
␈ ␈↓ λ␈ε(N␈↓ λ.␈ε".␈↓ λS␈ε"During␈α	this␈αλalgorithm,
␈ββS␈↓ 	A␈ε90
␈ββY␈↓ α␈ε(n␈ε"␈α⊂is␈α⊃the␈α⊃unfactored␈α⊂part␈α⊃of␈↓ ¬X␈ε(N␈↓ ¬{␈ε",␈α⊃and␈α⊃the␈α⊃v␈α}ariables␈ε(␈α⊂x␈ε"␈α⊃and␈↓ 	-␈ε(x␈↓ 	[␈ε"represen␈α␈t␈α⊂the
␈ββ}␈↓ 	Z␈ε%2
␈β∧¬␈↓ α␈ε"quan␈α␈tities␈↓ β/␈ε(x␈↓ ∧1␈ε"mod␈↓ ∧{␈ε(n␈ε"␈α
and␈↓ ¬←␈ε(x␈↓ ε∃␈ε"mod␈↓ ε←␈ε(n␈ε"␈α
in␈α(9),␈α
where␈↓ λL␈ε(f␈↓ λb␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ 	F␈ε(x␈↓ 	o␈ε"+␈α¬1,␈ε(␈α
A␈ε"␈α
=␈α
1,
␈β∧⊃␈↓ βC␈ε+l␈ε%(␈ε+m␈ε%)␈ε9␈␈ε%1␈↓ ¬6␈ε↓↓␈↓ ¬s␈ε+m
␈β∧0␈↓ α␈ε(l␈↓ α!␈ε"=␈↓ αO␈ε(l␈↓ α[␈ε"(␈ε(m␈ε"),␈αand␈↓ βo␈ε(k␈↓ ∧
␈ε"=␈α
2␈↓ ∧M␈ε(l␈↓ ∧`␈ε6␈␈ε(␈αλm␈ε".
␈β∧e␈↓ ↓L␈ε2B2.␈↓ α	␈ε"[T␈α⎇est␈α⊃primalit␈α␈y.]␈α"If␈ε(␈α⊃n␈ε"␈α⊃is␈α⊃prime␈α⊃(see␈α⊂the␈α⊃discussion␈α⊃belo␈α␈w),␈α∩output␈ε(␈α⊃n␈ε";␈α∪the
␈β¬⊂␈↓ α␈ε"algorithm␈αterminates.
␈β¬@␈↓ ¬`␈ε90
␈β¬F␈↓ ↓L␈ε2B3.␈↓ α	␈ε"[F␈α⎇actor␈α
found?]␈α⊂Set␈↓ ∧@␈ε(g␈↓ ∧\␈ε6␈ ␈↓ ¬
␈ε"gcd␈↓ ¬@␈ε"(␈↓ ¬L␈ε(x␈↓ ¬l␈ε6␈␈ε(␈αβx␈ε",␈ε(␈αn␈ε").␈α∂If␈↓ π~␈ε(g␈↓ π6␈ε"=␈α
1,␈α
go␈α	on␈α
to␈α
step␈α	B4;␈α
otherwise
␈β¬q␈↓ α␈ε"output␈↓ β␈ε(g␈↓ β∩␈ε".␈α∂No␈α␈w␈α	if␈↓ ∧≠␈ε(g␈↓ ∧7␈ε"=␈ε(␈α
n␈ε",␈α
the␈α	algorithm␈α
terminates␈α
(and␈α	it␈α
has␈α	failed,␈α
because
␈βε⊗␈↓ 
r␈ε90
␈βε≤␈↓ α␈ε"w␈α␈e␈α∞kn␈α↓o␈α␈w␈α∞that␈ε(␈α
n␈ε"␈α∞isn't␈α∞prime).␈α∃Otherwise␈α∞set␈ε(␈α∞n␈ε6␈α␈ ␈ε(␈α
n␈ε"/␈↓ λP␈ε(g␈↓ λb␈ε",␈ε(␈α∞x␈ε6␈α
␈ ␈ε(␈α
x␈↓ 	f␈ε"mod␈↓ 
0␈ε(n␈ε",␈↓ 
↑␈ε(x␈↓ λ␈ε6␈ 
␈βεA␈↓ α ␈ε90
␈βεG␈↓ α␈ε(x␈↓ α0␈ε"mod␈↓ αz␈ε(n␈ε"␈α␈,␈αand␈α
return␈α
to␈α
step␈α
B2.␈α∪(Note␈α
that␈↓ π=␈ε(g␈↓ πY␈ε"ma␈α␈y␈α
n␈α↓ot␈α
be␈αprime;␈α
this␈α
sh␈α↓ould
␈βεs␈↓ α␈ε"be␈α∞tested.␈α↔In␈α∞the␈α∞rare␈α∞ev␈α␈en␈α␈t␈α∞that␈↓ ε(␈ε(g␈↓ εH␈ε"isn't␈α∞prime,␈α∂its␈α∞prime␈α∞factors␈α∞probably
␈βπ≡␈↓ α␈ε"w␈α␈on't␈αbe␈αdeterminable␈αwith␈α
this␈αalgorithm␈αunless␈αsome␈αchanges␈αare␈αmade␈α
as
␈βπI␈↓ α␈ε"discussed␈αbelo␈α␈w.)
␈βπx␈↓ λC␈ε90
␈βπ}␈↓ ↓L␈ε2B4.␈↓ α	␈ε"[Adv␈α}ance.]␈α Set␈↓ ∧∞␈ε(k␈↓ ∧3␈ε6␈ ␈↓ ∧g␈ε(k␈↓ ¬ε␈ε6␈␈ε"␈α1.␈α≠If␈↓ ε∀␈ε(k␈↓ ε9␈ε"=␈α⊂0,␈α⊃set␈ε(␈α⊂x␈ε6␈α⊃␈ ␈↓ λ/␈ε(x␈↓ λM␈ε",␈↓ λh␈ε(l␈↓ 	∧␈ε6␈ ␈ε"␈α⊂2␈↓ 	J␈ε(l␈↓ 	U␈ε",␈↓ 	p␈ε(k␈↓ 
∃␈ε6␈ ␈↓ 
I␈ε(l␈↓ 
U␈ε".␈α≠Set
␈βλ$␈↓ α ␈ε90␈↓ βα␈ε90␈ε%␈α∧2
␈βλ*␈↓ α␈ε(x␈↓ α4␈ε6␈ ␈ε"␈α
(␈↓ αn␈ε(x␈↓ β'␈ε"+␈αλ1)␈↓ βw␈ε"mod␈↓ ∧A␈ε(n␈ε"␈αand␈αreturn␈αto␈αB3.
␈βλ3␈↓ π∨␈∧λ3π∨≠∂
␈βλi␈↓ α␈ε"As␈α∞an␈α∞example␈α∞of␈α
Algorithm␈α∞B␈↓ ¬w␈ε",␈α∂let's␈α
try␈α∞to␈α∞factor␈↓ λ2␈ε(N␈↓ λb␈ε"=␈α
25852␈α∞again.␈α∃The
␈β	∃␈↓ ↓H␈ε"third␈α⊂execution␈α⊃of␈α⊂step␈α⊂B3␈α⊃will␈α⊂output␈↓ εI␈ε(g␈↓ εl␈ε"=␈α⊃4␈α⊃(which␈α⊂isn't␈α⊃prime).␈α≥A$er␈α⊂six
␈β	@␈↓ ↓H␈ε"m␈α↓ore␈α∂iterations␈α⊂the␈α⊂algorithm␈α⊂|nds␈α⊂the␈α⊂factor␈↓ π<␈ε(g␈↓ π↑␈ε"=␈α⊂23.␈α≤Algorithm␈α⊂B␈α⊂has␈α∂n␈α↓ot
␈β	k␈↓ ↓H␈ε"distinguished␈α
itself␈α
in␈α∞this␈α
example,␈α∞but␈α
of␈α
course␈α∞it␈α
w␈α␈as␈α
designed␈α∞to␈α
factor␈ε/␈α
big
␈β
⊗␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈bers.␈α∂Algorithm␈α
A␈α	tak␈α␈es␈α
m␈α␈uch␈α
longer␈α
to␈α	|nd␈α
large␈α
prime␈α
factors,␈α
but␈α
it␈α	can't
␈β
A␈↓ ↓H␈ε"be␈α
beat␈α∞when␈α
it␈α∞comes␈α∞to␈α
rem␈α↓o␈α␈ving␈α∞the␈α
small␈α∞ones.␈α∃In␈α
practice,␈α∞w␈α␈e␈α∞sh␈α↓ould␈α
run
␈β
m␈↓ ↓H␈ε"Algorithm␈αA␈αa␈α␈while␈αbefore␈αswitching␈αo␈α␈v␈α␈er␈αto␈αAlgorithm␈αB.
␈β_␈↓ α␈ε"W␈α⎇e␈α∞can␈α∞get␈α∂a␈α∞better␈α∞idea␈α∞of␈α∞Algorithm␈α∂B's␈α∞pro␈α␈w␈α␈ess␈α∞by␈α∞considering␈α∞the␈α∞ten
␈βC␈↓ ↓H␈ε"largest␈α
six-digit␈α
primes.␈α⊂The␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈αiterations,␈ε(␈α
m␈ε"(␈ε(p␈ε"),␈αthat␈α
Algorithm␈α
B␈α
needs
␈βn␈↓ ↓H␈ε"to␈α|nd␈αthe␈αfactor␈ε(␈αp␈ε"␈αis␈αgiv␈α␈en␈αin␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αtable:
␈β8␈↓ ↓{␈ε)p␈ε#␈α
=␈↓ αE␈ε#99␈α␈986␈α␈3␈↓ β7␈ε#999␈α␈883␈↓ ∧)␈ε#999␈α␈907␈↓ ¬≤␈ε#9␈α␈999␈α␈17␈↓ ε∞␈ε#9␈α␈999␈α␈31␈↓ π␈ε#99␈α␈995␈α␈3␈↓ πr␈ε#99␈α␈995␈α␈9␈↓ λd␈ε#999␈α␈96␈α␈1␈↓ 	V␈ε#999␈α␈979␈↓ 
I␈ε#9␈α␈99␈α␈983
␈βk␈↓ ↓H␈ε)m␈ε#␈α␈(␈ε)p␈ε#)␈α
=␈↓ αw␈ε#27␈α␈6␈↓ βi␈ε#409␈↓ ∧K␈ε#2␈α␈106␈↓ ¬=␈ε#15␈α␈61␈↓ ε/␈ε#15␈α␈93␈↓ π!␈ε#109␈α␈1␈↓ λ$␈ε#47␈α␈4␈↓ 	ε␈ε#1␈α␈81␈α␈9␈↓ 
λ␈ε#395␈↓ 
z␈ε#814
␈β
<␈↓ 	y␈ε6p
␈β
=␈↓ ↓H␈ε"Experimen␈α␈ts␈α∩indicate␈α∪that␈ε(␈α∪m␈ε"␈α␈(␈ε(p␈ε")␈α∪has␈α∪an␈α∪a␈α␈v␈α␈erage␈α∩v␈α}alue␈α∪of␈α∪about␈α∩2␈↓ 
↔␈ε(p␈↓ 
)␈ε",␈α∃and␈α∩it
␈β
?␈↓ 
↔␈∧
?
↔α∩
␈β
b␈↓ 
t␈ε%6
␈β
g␈↓ βT␈ε6p
␈β
h␈↓ ↓H␈ε"nev␈α␈er␈α∂exceeds␈α∂12␈↓ βr␈ε(p␈↓ ∧∀␈ε"when␈ε(␈α∂p␈ε"␈α⊂<␈α∂1000000.␈α≠The␈α∂maxim␈α␈um␈ε(␈α∂m␈ε"(␈ε(p␈ε")␈α⊂for␈ε(␈α∂p␈ε"␈α⊂<␈α∂1␈↓ 
b␈ε"0␈↓ ∀␈ε"is
␈β
j␈↓ βr␈∧
jβrα∩
␈β∞∩␈↓ πP␈ε6p
␈β∞∪␈↓ ↓H␈ε(m␈ε"␈α␈(874771)␈α⊂=␈α∂7685;␈α⊃and␈α∂the␈α∂maxim␈α␈um␈α∂of␈ε(␈α⊂m␈ε"␈α␈(␈ε(p␈ε")/␈↓ πn␈ε(p␈↓ λ∂␈ε"occurs␈α⊂when␈ε(␈α∂p␈ε"␈α∂=␈α∂290047,
␈β∞∃␈↓ πn␈∧∞∃πnα∩
␈β∞>␈↓ ↓H␈ε(m␈ε"␈α␈(␈ε(p␈ε")␈α⊗=␈α∃6251.␈α%According␈α∪to␈α∩these␈α∪experimen␈α␈tal␈α∪results,␈α∃alm␈α↓ost␈α∪all␈α∩12-digit
␈β∞j␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈bers␈α
can␈α
be␈α
factored␈α
in␈α
few␈α␈er␈α
than␈α
2000␈α
iterations␈α	of␈α
Algorithm␈α
B␈α
(compared
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε"to␈αroughly␈α100,000␈αdivisions␈αin␈αAlgorithm␈αA).
␈β∂@␈↓ α␈ε"The␈α⊃time-consuming␈α⊂operations␈α⊃in␈α⊃each␈α⊂iteration␈α⊃of␈α⊃Algorithm␈α⊂B␈α⊃are␈α⊂the
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"m␈α␈ultiple-precision␈α
m␈α␈ultiplication␈α
and␈α
division␈α
in␈α
step␈α
B4,␈αand␈α
the␈α
gcd␈α
in␈α
step␈α
B3.
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"If␈αthe␈αgcd␈αoperation␈αis␈αslo␈α␈w,␈αPollard␈αsuggests␈αgaining␈αspeed␈αby␈αaccum␈α␈ulating␈αthe
␈β⊂<␈↓ εC␈ε90
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"product␈αλm␈α↓od␈ε(␈α	n␈ε"␈α	of,␈α	sa␈α␈y,␈α
ten␈αλconsecutiv␈α␈e␈α	(␈↓ ε/␈ε(x␈↓ εN␈ε6␈␈ε(␈ααx␈ε")␈α	v␈α}alues␈αλbefore␈α	taking␈α	each␈α	gcd;␈α	this
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"replaces␈α90␈αpercen␈α␈t␈αof␈αthe␈αgcd␈αoperations␈αby␈αa␈αsingle␈αm␈α␈ultiplication␈αand␈αdivision
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"while␈α∂only␈α⊂sligh␈α␈tly␈α⊂increasing␈α⊂the␈α⊂chance␈α⊂of␈α∂failure.␈α≤He␈α⊂also␈α⊂suggests␈α∂starting
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.4␈↓ 
v␈ε"371
␈β↓\␈↓ π≡␈ε∞F␈α|ACTORING␈αINTO␈α
P␈α␈RIM␈α↓ES
␈βα≥␈↓ 	 ␈ε%1
␈βα!␈↓ ↓H␈ε"with␈ε(␈α∞m␈ε"␈α∂=␈↓ α⎇␈ε(q␈↓ β∨␈ε"instead␈α∂of␈ε(␈α∞m␈ε"␈α∂=␈α∞1␈α∂in␈α∂step␈α∞B1,␈α⊂where␈↓ πu␈ε(q␈↓ λ↔␈ε"is,␈α⊂sa␈α␈y,␈↓ 	I␈ε"the␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of
␈βα2␈↓ 	_␈ε%10
␈βα6␈↓ 	_␈∧α6	_α∨
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"iterations␈αy␈α␈ou␈αare␈αplanning␈αto␈αuse.
␈βαx␈↓ α␈ε"In␈α⊃th␈α↓ose␈α⊃rare␈α⊃cases␈α⊂where␈α⊃failure␈α⊃occurs␈α⊃for␈α⊃large␈↓ λ=␈ε(N␈↓ λ`␈ε",␈α∩w␈α␈e␈α⊃could␈α⊃try␈α⊂using
␈ββ≥␈↓ αW␈ε%2
␈ββ#␈↓ ↓H␈ε(f␈↓ ↓]␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α=␈↓ αC␈ε(x␈↓ αp␈ε"+␈ε(␈αλc␈ε"␈α
for␈αsome␈ε(␈α
c␈ε6␈α≤␈ε"␈α
0␈α
or␈α1.␈α∩The␈αv␈α}alue␈ε(␈α
c␈ε"␈α=␈ε6␈α␈␈ε"2␈αsh␈α↓ould␈α
also␈αbe␈αa␈α␈v␈α␈oided,
␈ββC␈↓ 
∞␈ε-m␈↓ 	␈ε-m
␈ββH␈↓ ¬)␈ε%2␈↓ 	␈␈ε%2␈↓ 
\␈ε9␈␈↓ 
z␈ε%2
␈ββN␈↓ ↓H␈ε"since␈αλthe␈αλrecurrence␈↓ ∧␈ε(x␈↓ ∧g␈ε"=␈↓ ¬∃␈ε(x␈↓ ¬F␈ε6␈␈ε"2␈α	has␈αλsolutions␈αλof␈αλthe␈α	form␈↓ 	ε␈ε(x␈↓ 	@␈ε"=␈↓ 	n␈ε(r␈↓ 
'␈ε"+␈↓ 
L␈ε(r␈↓ "␈ε".
␈ββ[␈↓ ∧∀␈ε+m␈ε%+1␈↓ 	~␈ε+m
␈ββ←␈↓ ¬)␈ε+m
␈ββy␈↓ ↓H␈ε"Other␈α
v␈α}alues␈α∞of␈ε(␈α
c␈ε"␈α∞do␈α∞n␈α↓ot␈α
seem␈α∞to␈α
lead␈α∞to␈α
simple␈α∞relationships␈α
m␈α↓od␈ε(␈α∞p␈ε",␈α∞and␈α
they
␈β∧%␈↓ ↓H␈ε"sh␈α↓ould␈αall␈αbe␈αsatisfactory␈αwhen␈αused␈αwith␈αsuitable␈αstarting␈αv␈α}alues.
␈β∧c␈↓ ↓H␈ε2F␈α⎇ermat's␈αmeth␈α↓od.␈ε"␈α→An␈α↓other␈αapproach␈α
to␈αthe␈αfactoring␈αproblem,␈αwhich␈αw␈α␈as␈αused
␈β¬∂␈↓ ↓H␈ε"by␈α
Pierre␈α
de␈↓ β_␈ε"F␈α⎇ermat␈α∞in␈α
1643,␈α
is␈α∞m␈α↓ore␈α
suited␈α
to␈α
|nding␈α∞large␈α
factors␈α
than␈α
small
␈β¬:␈↓ ↓H␈ε"ones.␈α→[F␈α⎇ermat's␈αoriginal␈α
description␈αof␈αhis␈αmeth␈α↓od,␈α
translated␈αin␈α␈to␈αEnglish,␈αcan
␈β¬e␈↓ ↓H␈ε"be␈α∞found␈α∂in␈α∞L.␈α∂E.␈↓ βp␈ε"Dickson's␈α∂m␈α↓on␈α␈umen␈α␈tal␈ε/␈α∞History␈α∂of␈α∞the␈α∂Theory␈α∞of␈α∂Num␈α␈bers␈ε2␈α∞1
␈βε⊂␈↓ ↓H␈ε"(New␈αY␈α⎇ork:␈αChelsea,␈α1952),␈α357.]
␈βε;␈↓ α␈ε"Assume␈αthat␈↓ β\␈ε(N␈↓ ∧	␈ε"=␈ε(␈α
u␈↓ ∧L␈ε(v␈↓ ∧←␈ε",␈αwhere␈ε(␈αu␈ε6␈α
∀␈↓ ε(␈ε(v␈↓ ε;␈ε".␈α⊂F␈α⎇or␈αpractical␈αpurposes␈αw␈α␈e␈αma␈α␈y␈αassume
␈βεg␈↓ ↓H␈ε"that␈↓ α⊗␈ε(N␈↓ αE␈ε"is␈αodd;␈αthis␈αmeans␈αthat␈ε(␈αu␈ε"␈αand␈↓ ε!␈ε(v␈↓ ε@␈ε"are␈αodd,␈αand␈αw␈α␈e␈αcan␈αlet
␈βπ3␈↓ 
p␈ε"(11)
␈βπ4␈↓ ∧_␈ε(x␈ε"␈α
=␈α
(␈ε(u␈ε"␈αλ+␈↓ ¬9␈ε(v␈↓ ¬L␈ε")/2,␈↓ εN␈ε(y␈↓ εk␈ε"=␈α
(␈↓ π%␈ε(v␈↓ π@␈ε6␈␈ε(␈αλu␈ε"␈α␈)/2,
␈βπd␈↓ ¬∪␈ε%2␈↓ ¬k␈ε%2
␈βπi␈↓ 
p␈ε"(12)
␈βπj␈↓ ∧$␈ε(N␈↓ ∧Q␈ε"=␈↓ ∧␈␈ε(x␈↓ ¬,␈ε6␈␈↓ ¬X␈ε(y␈↓ ¬|␈ε",␈↓ εN␈ε"0␈ε6␈α
∀␈↓ π_␈ε(y␈↓ π5␈ε"<␈ε(␈α
x␈ε6␈α
∀␈↓ λ/␈ε(N␈↓ λR␈ε".
␈βλ5␈↓ ↓H␈ε"F␈α⎇ermat's␈αmeth␈α↓od␈αconsists␈αof␈α
searching␈αsystematically␈αfor␈αv␈α}alues␈α
of␈ε(␈αx␈ε"␈αand␈↓ 
K␈ε(y␈↓ 
j␈ε"that
␈βλ`␈↓ ↓H␈ε"satisfy␈α
Eq.␈α
(12).␈α∪The␈α
follo␈α␈wing␈α
algorithm␈α
sh␈α↓o␈α␈ws␈α
h␈α↓o␈α␈w␈αfactoring␈α
can␈α
therefore␈α
be
␈β	␈↓ ↓H␈ε"done␈ε/␈αwith␈α↓out␈αusing␈αan␈α␈y␈αdivision:
␈β	J␈↓ ↓H␈ε2Algorithm␈α
C␈ε"␈α(␈ε/F␈α⎇actoring␈αby␈αaddition␈α
and␈αsubtraction␈ε")␈ε2.␈ε"␈α∃Giv␈α␈en␈α
an␈αodd␈αn␈α␈um␈α␈ber␈↓ 
␈␈ε(N␈↓ "␈ε",
␈β	p␈↓ 
'␈ε6p
␈β	s␈↓ 
E␈∧	s
Eα#
␈β	v␈↓ ↓H␈ε"this␈αalgorithm␈αdetermines␈αthe␈αlargest␈αfactor␈αof␈↓ π,␈ε(N␈↓ π[␈ε"less␈αthan␈αor␈αequal␈αto␈↓ 
E␈ε(N␈↓ 
h␈ε".
␈β
%␈↓ ∧≡␈ε90␈↓ ¬∧␈ε6p␈↓ εE␈ε90␈↓ λ∂␈ε6p␈↓ λ↑␈ε%2
␈β
(␈↓ ¬"␈∧
(¬"α#␈↓ λ-␈∧
(λ-α#
␈β
+␈↓ ↓J␈ε2C1.␈↓ α	␈ε"[Initialize.]␈α≤Set␈↓ ∧
␈ε(x␈↓ ∧4␈ε6␈ ␈ε"␈α2␈ε6b␈↓ ¬"␈ε(N␈↓ ¬E␈ε6c␈ε"␈α	+␈αλ1,␈↓ ε2␈ε(y␈↓ ε[␈ε6␈ ␈ε"␈α1,␈↓ π4␈ε(r␈↓ πQ␈ε6␈ ␈αb␈↓ λ-␈ε(N␈↓ λP␈ε6c␈↓ λx␈ε6␈␈↓ 	%␈ε(N␈↓ 	H␈ε".␈α≠(During␈α
this
␈β
P␈↓ βD␈ε90␈↓ βv␈ε90␈↓ 	m␈ε%2␈↓ 
E␈ε%2
␈β
V␈↓ α␈ε"algorithm␈↓ β0␈ε(x␈↓ βN␈ε",␈↓ βd␈ε(y␈↓ ∧␈ε",␈↓ ∧⊗␈ε(r␈↓ ∧2␈ε"correspond␈αrespectiv␈α␈ely␈αto␈α2␈ε(x␈ε"␈αλ+␈αλ1,␈α2␈↓ λk␈ε(y␈↓ 	ε␈ε"+␈αλ1,␈↓ 	Y␈ε(x␈↓ 
ε␈ε6␈␈↓ 
2␈ε(y␈↓ 
↑␈ε6␈␈↓ 	␈ε(N
␈β
{␈↓ λt␈ε90␈↓ 	b␈ε90␈↓ 
8␈ε90
␈β↓␈↓ α␈ε"as␈αw␈α␈e␈αsearch␈αfor␈αa␈αsolution␈αto␈α(12);␈αw␈α␈e␈αwill␈αha␈α␈v␈α␈e␈ε6␈αj␈↓ λ
␈ε(r␈↓ λ≡␈ε6j␈ε"␈α
<␈↓ λ`␈ε(x␈↓ 		␈ε"and␈↓ 	O␈ε(y␈↓ 	v␈ε"<␈↓ 
$␈ε(x␈↓ 
A␈ε".)
␈β6␈↓ ↓J␈ε2C2.␈↓ α	␈ε"[T␈α⎇est␈↓ αb␈ε(r␈↓ αs␈ε".]␈α→If␈↓ βD␈ε(r␈↓ β↑␈ε6∀␈ε"␈α
0,␈αgo␈αto␈αstep␈αC4.
␈βe␈↓ ¬β␈ε90␈↓ ¬6␈ε90␈↓ ε
␈ε90
␈βk␈↓ ↓J␈ε2C3.␈↓ α	␈ε"[Step␈↓ αe␈ε(y␈↓ αx␈ε".]␈α→Set␈↓ βc␈ε(r␈↓ β}␈ε6␈ ␈↓ ∧,␈ε(r␈↓ ∧D␈ε6␈␈↓ ∧p␈ε(y␈↓ ¬
␈ε",␈↓ ¬#␈ε(y␈↓ ¬I␈ε6␈ ␈↓ ¬w␈ε(y␈↓ ε≤␈ε"+␈αλ2,␈αand␈αreturn␈αto␈αC2.
␈β ␈↓ ↓J␈ε2C4.␈↓ α	␈ε"[Done?]␈α→If␈↓ β8␈ε(r␈↓ βS␈ε"=␈α
0,␈αthe␈αalgorithm␈αterminates;␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈βS␈↓ ¬≤␈ε↓␈␈↓ εT␈ε↓↓␈↓ εb␈ε↓␈␈↓ λ`␈ε↓↓
␈βj␈↓ ¬J␈ε90␈↓ ε~␈ε90␈↓ π⊂␈ε90␈↓ π`␈ε90
␈βr␈↓ ∧A␈ε(N␈↓ ∧n␈ε"=␈↓ ¬*␈ε"(␈↓ ¬6␈ε(x␈↓ ¬[␈ε6␈␈↓ επ␈ε(y␈↓ ε$␈ε")/2␈↓ εp␈ε"(␈↓ ε|␈ε(x␈↓ π!␈ε"+␈↓ πM␈ε(y␈↓ πr␈ε6␈␈ε"␈αλ2)/2␈↓ λn␈ε",
␈β
E␈↓ αr␈ε90␈↓ βC␈ε90␈↓ 	k␈ε6p
␈β
H␈↓ 
	␈∧
H
	α#
␈β
K␈↓ α␈ε"and␈α(␈↓ α↑␈ε(x␈↓ β∧␈ε6␈␈↓ β0␈ε(y␈↓ βL␈ε")/2␈αis␈αthe␈αlargest␈αfactor␈αof␈↓ εp␈ε(N␈↓ π∨␈ε"less␈αthan␈αor␈αequal␈αto␈↓ 
	␈ε(N␈↓ 
,␈ε".
␈β
z␈↓ ¬¬␈ε90␈↓ ¬9␈ε90␈↓ ε∂␈ε90
␈β∞␈↓ ↓J␈ε2C5.␈↓ α	␈ε"[Step␈ε(␈αx␈ε".]␈α→Set␈↓ βd␈ε(r␈↓ β␈␈ε6␈ ␈↓ ∧-␈ε(r␈↓ ∧E␈ε"+␈↓ ∧q␈ε(x␈↓ ¬∂␈ε",␈↓ ¬%␈ε(x␈↓ ¬M␈ε6␈ ␈↓ ¬{␈ε(x␈↓ ε ␈ε"+␈αλ2,␈αand␈αreturn␈αto␈αC3.
␈β∞	␈↓ 	2␈∧∞		2≠∂
␈β∞>␈↓ α␈ε"The␈α
reader␈α
ma␈α␈y␈α	|nd␈α
it␈α
am␈α␈using␈α	to␈α
|nd␈α
the␈α
factors␈α	of␈α
377␈α
by␈α
hand,␈α
using␈α	this
␈β∞j␈↓ ↓H␈ε"algorithm.␈α∩The␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
steps␈α
needed␈α
to␈α|nd␈α
the␈α
factors␈ε(␈α
u␈ε"␈α
and␈↓ 	\␈ε(v␈↓ 	|␈ε"of␈↓ 
'␈ε(N␈↓ 
U␈ε"=␈ε(␈αu␈↓ ~␈ε(v
␈β∂∂␈↓ ¬;␈ε90␈↓ ε∞␈ε90
␈β∂⊂␈↓ πV␈ε6p␈↓ 	<␈ε6p
␈β∂∪␈↓ πt␈∧∂∪πtα#␈↓ 	Z␈∧∂∪	Zα#
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε"is␈α∞essen␈α␈tially␈α∞proportional␈α∞to␈α∂(␈↓ ¬'␈ε(x␈↓ ¬N␈ε"+␈↓ ¬{␈ε(y␈↓ ε!␈ε6␈␈ε"␈α
2)/2␈ε6␈α	␈␈α
b␈↓ πt␈ε(N␈↓ λ↔␈ε6c␈ε"␈α
=␈↓ λd␈ε(v␈↓ 	␈ε6␈␈α
b␈↓ 	Z␈ε(N␈↓ 	⎇␈ε6c␈ε";␈α∂this␈α∞can,
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"of␈αcourse,␈α
be␈αa␈α
v␈α␈ery␈αlarge␈α
n␈α␈um␈α␈ber,␈αalth␈α↓ough␈α
each␈αstep␈α
can␈αbe␈α
done␈αv␈α␈ery␈αrapidly
␈β∂e␈↓ 	_␈ε%1/3
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"on␈αm␈α↓ost␈α
computers.␈α∪An␈α
impro␈α␈v␈α␈emen␈α␈t␈α
that␈αrequires␈α
only␈↓ λL␈ε(O␈↓ λi␈ε"(␈↓ λu␈ε(N␈↓ 	G␈ε")␈α
operations␈αin
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"the␈α∞w␈α␈orst␈α∂case␈α∂has␈α∞been␈α∂dev␈α␈eloped␈α∂by␈α∞R.␈α∂S.␈↓ π∀␈ε"Lehman␈α∞[␈ε/Math.␈α∂Comp.␈ε2␈α∂28␈ε"␈α∞(1974),
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"637↑646␈↓ αF␈ε"].
␈β⊂m␈↓ α␈ε"It␈αis␈αn␈α↓ot␈αquite␈αcorrect␈αto␈αcall␈αAlgorithm␈αC␈α\F␈α⎇ermat's␈αmeth␈α↓od,"␈αsince␈αF␈α⎇ermat
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"used␈αa␈αsomewhat␈αm␈α↓ore␈αstreamlined␈αapproach.␈α⊂Algorithm␈αC's␈αmain␈αlo␈α↓op␈αis␈αquite
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"372␈↓ 
b␈ε"4.5.4
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"fast␈α⊃on␈α∩computers,␈α∩but␈α∩it␈α⊃is␈α∩n␈α↓ot␈α⊃v␈α␈ery␈α∩suitable␈α⊃for␈α∩hand␈α⊃calculation.␈α F␈α⎇ermat
␈βαI␈↓ 	u␈ε%2
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"actually␈α⊂did␈α⊂n␈α↓ot␈α⊂k␈α␈eep␈α⊂the␈α⊂running␈α⊂v␈α}alue␈α⊂of␈↓ π∞␈ε(y␈↓ π!␈ε";␈α∩he␈α⊂w␈α␈ould␈α⊂lo␈α↓ok␈α⊂at␈↓ 	a␈ε(x␈↓ 
⊃␈ε6␈␈↓ 
?␈ε(N␈↓ 
r␈ε"and
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"tell␈α⊂whether␈α⊂or␈α⊂n␈α↓ot␈α⊂this␈α⊂quan␈α␈tit␈α␈y␈α⊂w␈α␈as␈α⊂a␈α⊂perfect␈α⊂square␈α∂by␈α⊂lo␈α↓oking␈α⊂at␈α⊂its␈α⊂least
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"signi|can␈α␈t␈αdigits.␈α⊗(The␈αlast␈αt␈α␈w␈α␈o␈αdigits␈αof␈αa␈↓ εk␈ε"perfect␈αsquare␈αm␈α␈ust␈αbe␈α00,␈ε(␈αe␈ε"␈α↓1,␈ε(␈αe␈ε"4,␈α25,
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε(o␈ε"6,␈α
or␈ε(␈α	e␈ε"9,␈α
where␈ε(␈α	e␈ε"␈α
is␈α	an␈α
ev␈α␈en␈α	digit␈α	and␈ε(␈α
o␈ε"␈α	is␈α	an␈α
odd␈α	digit.)␈α⊂Therefore␈α	he␈α	a␈α␈v␈α␈oided␈α	the
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"operations␈α
of␈α∞steps␈α
C2␈α∞and␈α∞C3,␈α∞replacing␈α
them␈α∞by␈α
an␈α∞occasional␈α
determination
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε"that␈αa␈αcertain␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αis␈αn␈α↓ot␈αa␈αperfect␈αsquare.
␈β∧R␈↓ α␈ε"F␈α⎇ermat's␈αλmeth␈α↓od␈α	of␈αλlo␈α↓oking␈αλat␈α	the␈αλrigh␈α␈tm␈α↓ost␈αλdigits␈α	can,␈α	of␈αλcourse,␈α	be␈αλgeneral-
␈β∧}␈↓ ↓H␈ε"ized␈α
by␈α
using␈α
other␈α
m␈α↓oduli.␈α∪Suppose␈α
for␈α
clarit␈α␈y␈α
that␈↓ λ∃␈ε(N␈↓ λD␈ε"=␈α11111,␈α
and␈α
consider
␈β¬)␈↓ ↓H␈ε"the␈αfollo␈α␈wing␈αtable:
␈β¬t␈↓ ε$␈ε&2␈↓ 	/␈ε&2
␈β¬z␈↓ ↓K␈ε)m␈↓ α)␈ε#if␈ε)␈αx␈↓ αa␈ε#m␈α␈od␈↓ β%␈ε)m␈ε#␈αis␈↓ ¬E␈ε#the␈α␈n␈↓ ε⊃␈ε)x␈↓ ε8␈ε#mod␈↓ ε⎇␈ε)m␈ε#␈α
i␈α↓s␈↓ λQ␈ε#a␈α␈nd␈α
(␈↓ 	≤␈ε)x␈↓ 	F␈ε7␈␈↓ 	n␈ε)N␈↓ 
∞␈ε#)␈↓ 
∨␈ε#mo␈α␈d␈↓ 
c␈ε)m␈ε#␈αis
␈βε-␈↓ ↓X␈ε#3␈↓ α)␈ε#0,␈αε1␈α␈,␈αε2␈↓ ¬E␈ε#0,␈αε1␈α␈,␈αε1␈↓ λQ␈ε#1␈α␈,␈αε2,␈αε2
␈βεT␈↓ ↓X␈ε#5␈↓ α)␈ε#0,␈αε1␈α␈,␈αε2,␈αε3␈α␈,␈αε4␈↓ ¬E␈ε#0,␈αε1␈α␈,␈αε4,␈αε4␈α␈,␈αε1␈↓ λQ␈ε#4␈α␈,␈αε0,␈αε3␈α␈,␈αε3,␈α¬0
␈βε|␈↓ ↓X␈ε#7␈↓ α)␈ε#0,␈αε1␈α␈,␈αε2,␈αε3␈α␈,␈αε4,␈α¬5,␈αε6␈↓ ¬E␈ε#0,␈αε1␈α␈,␈αε4,␈αε2␈α␈,␈αε2,␈α¬4,␈αε1␈↓ λQ␈ε#5␈α␈,␈αε6,␈αε2␈α␈,␈αε0,␈α¬0,␈αε2,␈α¬6
␈βπ#␈↓ ↓X␈ε#8␈↓ α)␈ε#0,␈αε1␈α␈,␈αε2,␈αε3␈α␈,␈αε4,␈α¬5,␈αε6,␈α¬7␈↓ ¬E␈ε#0,␈αε1␈α␈,␈αε4,␈αε1␈α␈,␈αε0,␈α¬1,␈αε4,␈α¬1␈↓ λQ␈ε#1␈α␈,␈αε2,␈αε5␈α␈,␈αε2,␈α¬1,␈αε2,␈α¬5,␈αε2
␈βπK␈↓ ↓H␈ε#1␈α␈1␈↓ α)␈ε#0,␈αε1␈α␈,␈αε2,␈αε3␈α␈,␈αε4,␈α¬5,␈αε6,␈α¬7,␈αε8␈α␈,␈αε9,␈αε1␈α␈0␈↓ ¬E␈ε#0,␈αε1␈α␈,␈αε4,␈αε9␈α␈,␈αε5,␈α¬3,␈αε3,␈α¬5,␈αε9␈α␈,␈αε4,␈αε1␈↓ λQ␈ε#1␈α␈0,␈αε0␈α␈,␈αε3,␈αε8␈α␈,␈αε4,␈αε2␈α␈,␈αε2,␈α¬4,␈αε8,␈α¬3,␈αε0
␈βλ↔␈↓ ↓␈␈ε%2␈↓ ελ␈ε%2
␈βλ≥␈↓ ↓H␈ε"If␈↓ ↓k␈ε(x␈↓ α↔␈ε6␈␈↓ αC␈ε(N␈↓ αq␈ε"is␈αto␈αbe␈αa␈αperfect␈αsquare␈↓ ¬v␈ε(y␈↓ ε→␈ε",␈αit␈αm␈α␈ust␈αha␈α␈v␈α␈e␈αa␈αresidue␈αm␈α↓od␈ε(␈αm␈ε"␈αconsisten␈α␈t
␈βλH␈↓ ↓H␈ε"with␈α∞this␈α∂fact,␈α∂for␈α∂all␈ε(␈α∂m␈ε"␈α␈.␈α_F␈α⎇or␈α∂example,␈α∂if␈↓ εo␈ε(N␈↓ π ␈ε"=␈α∂11111␈α∂and␈ε(␈α∞x␈↓ 	≡␈ε"mod␈↓ 	h␈ε"3␈ε6␈α∂≤␈ε"␈α∞0,␈α∂then
␈βλn␈↓ ↓h␈ε%2␈↓ ∧X␈ε%2
␈βλt␈↓ ↓H␈ε"(␈↓ ↓T␈ε(x␈↓ ↓␈␈ε6␈␈↓ α)␈ε(N␈↓ αL␈ε")␈↓ α↑␈ε"mod␈↓ β(␈ε"3␈α
=␈α
2,␈αso␈↓ ∧D␈ε(x␈↓ ∧o␈ε6␈␈↓ ¬→␈ε(N␈↓ ¬G␈ε"cann␈α↓ot␈αbe␈αa␈αperfect␈αsquare;␈αtherefore␈ε(␈αx␈ε"␈αm␈α␈ust␈αbe
␈β	→␈↓ ¬␈␈ε%2␈↓ εV␈ε%2
␈β	∨␈↓ ↓H␈ε"a␈αm␈α␈ultiple␈αof␈α3␈αwhenev␈α␈er␈α11111␈α
=␈↓ ¬k␈ε(x␈↓ ε↔␈ε6␈␈↓ εC␈ε(y␈↓ εg␈ε".␈α⊂The␈αtable␈αtells␈αus,␈αin␈αfact,␈αthat
␈β	k␈↓ ∧β␈ε(x␈↓ ∧≥␈ε"mod␈↓ ∧g␈ε"3␈α≤=␈↓ ¬C␈ε"0;
␈β
↔␈↓ ∧β␈ε(x␈↓ ∧≥␈ε"mod␈↓ ∧g␈ε"5␈α≤=␈↓ ¬C␈ε"0,␈α1,␈αor␈α4;
␈β
B␈↓ ∧β␈ε(x␈↓ ∧≥␈ε"mod␈↓ ∧g␈ε"7␈α≤=␈↓ ¬C␈ε"2,␈α3,␈α4,␈αor␈α5;␈↓ 
p␈ε"(13)
␈β
m␈↓ ∧β␈ε(x␈↓ ∧≥␈ε"mod␈↓ ∧g␈ε"8␈α≤=␈↓ ¬C␈ε"0␈αor␈α4␈α(hence␈ε(␈αx␈↓ π5␈ε"mod␈↓ π␈␈ε"4␈α
=␈α
0);
␈β_␈↓ ∧β␈ε(x␈↓ ∧≥␈ε"mod␈↓ ∧g␈ε"11␈α
=␈↓ ¬C␈ε"1,␈α2,␈α4,␈α7,␈α9,␈αor␈α10.
␈βe␈↓ ↓H␈ε"This␈α∂narro␈α␈ws␈α⊂do␈α␈wn␈α⊂the␈α∂search␈α⊂for␈ε(␈α⊂x␈ε"␈α∂considerably.␈α≠F␈α⎇or␈α⊂example,␈ε(␈α⊂x␈ε"␈α⊂m␈α␈ust␈α⊂be␈α∂a
␈β␈↓ ¬u␈ε6p
␈β∞␈↓ ε∪␈∧∞ε∪α#
␈β⊂␈↓ ↓H␈ε"m␈α␈ultiple␈α
of␈α
12.␈α∂W␈α⎇e␈α
m␈α␈ust␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈ε(␈α
x␈ε6␈α
∃␈α
d␈↓ ε∪␈ε(N␈↓ ε<␈ε6e␈ε"␈α
=␈α
106,␈α
and␈α
it␈α
is␈α
easy␈α
to␈α
v␈α␈erify␈α
that␈α
the
␈β;␈↓ ↓H␈ε"|rst␈αv␈α}alue␈αof␈ε(␈αx␈ε6␈α
∃␈ε"␈α
106␈αthat␈αsatis|es␈αall␈αof␈αthe␈αconditions␈αin␈α(13)␈αis␈ε(␈αx␈ε"␈α
=␈α
144.␈α∂No␈α␈w
␈β`␈↓ ↓}␈ε%2
␈βf␈↓ ↓H␈ε"144␈↓ α∪␈ε6␈␈ε"␈α∧11111␈α
=␈α
9625,␈α
and␈α
by␈αattempting␈α
to␈α
tak␈α␈e␈α
the␈α
square␈α
ro␈α↓ot␈α
of␈α
9625␈α
w␈α␈e␈α
|nd
␈β
∩␈↓ ↓H␈ε"that␈αit␈αis␈αn␈α↓ot␈αa␈αsquare.␈α⊂The␈α|rst␈αv␈α}alue␈αof␈ε(␈αx␈ε"␈α
>␈α
144␈αthat␈αsatis|es␈α(13)␈αis␈ε(␈αx␈ε"␈α
=␈α
156.
␈β
7␈↓ β4␈ε%2␈↓ εI␈ε%2
␈β
=␈↓ ↓H␈ε"In␈α	this␈α
case␈α	15␈↓ β"␈ε"6␈↓ βH␈ε6␈␈ε"␈αβ11111␈α
=␈α
13225␈α
=␈α
11␈↓ ε7␈ε"5␈↓ εY␈ε";␈αso␈α	w␈α␈e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α	found␈α
the␈α	desired␈α	solution
␈β
h␈↓ ↓H␈ε(x␈ε"␈α
=␈α
156,␈↓ α`␈ε(y␈↓ α⎇␈ε"=␈α
115.␈α⊂This␈αcalculation␈αsh␈α↓o␈α␈ws␈αthat␈α11111␈α
=␈α
41␈ε6␈αλ↓␈ε"␈αλ271.
␈β∞∪␈↓ α␈ε"The␈αhand␈αcalculations␈αin␈α␈v␈α␈olv␈α␈ed␈αin␈αthe␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αexample␈αare␈αcomparable␈αto␈αthe
␈β∞>␈↓ ↓H␈ε"am␈α↓oun␈α␈t␈α
of␈α
w␈α␈ork␈α∞required␈α
to␈α
divide␈α∞11111␈α
by␈α
13,␈α∞17,␈α∞19,␈α
23,␈α∞29,␈α∞31,␈α
37,␈α∞and␈α
41,
␈β∞j␈↓ ↓H␈ε"ev␈α␈en␈α
th␈α↓ough␈αthe␈α
factors␈α41␈αand␈α
271␈αare␈α
n␈α↓ot␈αv␈α␈ery␈α
close␈αto␈αeach␈α
other;␈αth␈α␈us␈αw␈α␈e␈α
can
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε"see␈αthe␈αadv␈α}an␈α␈tages␈αof␈αF␈α⎇ermat's␈αmeth␈α↓od.
␈β∂@␈↓ α␈ε"In␈αplace␈αof␈αthe␈αm␈α↓oduli␈αconsidered␈αin␈α(13),␈αw␈α␈e␈αcan␈αuse␈αan␈α␈y␈αpo␈α␈w␈α␈ers␈αof␈αdistinct
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"primes.␈α↔F␈α⎇or␈α∞example,␈α∂if␈α∂w␈α␈e␈α∞had␈α∂used␈α∞25␈α∞in␈α∂place␈α∞of␈α∂5,␈α∂w␈α␈e␈α∞w␈α␈ould␈α∂|nd␈α∞that␈α∞the
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"only␈α∞permissible␈α∂v␈α}alues␈α∞of␈ε(␈α∂x␈↓ ¬
␈ε"mod␈↓ ¬T␈ε"25␈α∞are␈α∂0,␈α∂5,␈α∂6,␈α∂10,␈α∂15,␈α⊂19,␈α∂and␈α∞20.␈α_This␈α∞giv␈α␈es
␈β⊂<␈↓ ≤␈ε%2
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"m␈α↓ore␈α
information␈αthan␈α(13).␈α∂In␈αgeneral,␈αw␈α␈e␈αwill␈αget␈α
m␈α↓ore␈αinformation␈αm␈α↓odulo␈↓ 
␈ε(p
␈β⊂g␈↓ λ␈ε%2
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"than␈αw␈α␈e␈α
do␈α
m␈α↓odulo␈ε(␈α
p␈ε",␈α
for␈α
odd␈α
primes␈ε(␈α
p␈ε",␈α
whenev␈α␈er␈↓ πl␈ε(x␈↓ λ~␈ε6␈␈↓ λF␈ε(N␈↓ λu␈ε6⊃␈ε"␈α0␈α(modulo␈ε(␈αp␈ε")␈αhas
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"a␈αsolution␈ε(␈αx␈ε".
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.4␈↓ 
v␈ε"373
␈β↓\␈↓ π≡␈ε∞F␈α|ACTORING␈αINTO␈α
P␈α␈RIM␈α↓ES
␈βα$␈↓ α␈ε"The␈α⊃m␈α↓odular␈α⊂meth␈α↓od␈α⊃just␈α⊃used␈α⊂is␈α⊃called␈α⊃a␈↓ πP␈ε/siev␈α␈e␈α⊂procedure␈ε",␈α∩since␈α⊃w␈α␈e␈α⊂can
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"imagine␈α
passing␈αall␈α
in␈α␈tegers␈α
through␈α
a␈α
\siev␈α␈e"␈α
for␈α
which␈α
only␈α
th␈α↓ose␈α
v␈α}alues␈αwith
␈βαz␈↓ ↓H␈ε(x␈↓ ↓b␈ε"mod␈↓ α,␈ε"3␈α∞=␈α∞0␈α∞come␈α∂out,␈α∂then␈α∂si$ing␈α∞these␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α∂through␈α∞an␈α↓other␈α∂siev␈α␈e␈α∞that
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"allo␈α␈ws␈αonly␈αn␈α␈um␈α␈bers␈α
with␈ε(␈αx␈↓ ∧␈␈ε"mod␈↓ ¬I␈ε"5␈α
=␈α0,␈α1,␈αor␈α
4␈αto␈αpass,␈α
etc.␈α⊃Each␈αsiev␈α␈e␈αby␈αitself
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε"will␈α	rem␈α↓o␈α␈v␈α␈e␈α	about␈α	half␈α	of␈α	the␈α	remaining␈α
v␈α}alues␈α	(see␈α	exercise␈α	6);␈α
and␈α	when␈α	w␈α␈e␈α	siev␈α␈e
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"with␈αλrespect␈αλto␈αλm␈α↓oduli␈α	that␈αλare␈αλrelativ␈α␈ely␈αλprime␈α	in␈αλpairs,␈α	each␈αλsiev␈α␈e␈αλis␈αλindependen␈α␈t
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε"of␈α
the␈αothers␈αbecause␈αof␈αthe␈αChinese␈α
remainder␈αtheorem␈α(Theorem␈α4.3.2C␈↓ 
@␈ε").␈α⊂So␈α
if
␈β∧R␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈e␈αsiev␈α␈e␈αwith␈αrespect␈α
to,␈αsa␈α␈y,␈α30␈α
di{eren␈α␈t␈αprimes,␈αonly␈αabout␈α
one␈αv␈α}alue␈αin␈αev␈α␈ery
␈β∧x␈↓ ↓Z␈ε%30␈↓ ε8␈ε%2␈↓ 	h␈ε%2
␈β∧}␈↓ ↓H␈ε"2␈↓ αε␈ε"will␈αneed␈αto␈αbe␈αexamined␈αto␈αsee␈αif␈↓ ε$␈ε(x␈↓ εP␈ε6␈␈↓ ε|␈ε(N␈↓ π+␈ε"is␈αa␈αperfect␈αsquare␈↓ 	U␈ε(y␈↓ 	y␈ε".
␈β¬?␈↓ ↓H␈ε2Algorithm␈α
D␈ε"␈α∞(␈ε/F␈α⎇actoring␈α
with␈α∞siev␈α␈es␈↓ ¬x␈ε")␈ε2.␈ε"␈α≤Giv␈α␈en␈α∞an␈α
odd␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈↓ 	∩␈ε(N␈↓ 	5␈ε",␈α∞this␈α
algorithm
␈β¬e␈↓ λ`␈ε6p
␈β¬h␈↓ λ}␈∧¬hλ}α#
␈β¬j␈↓ ↓H␈ε"determines␈α∂the␈α∂largest␈α∂factor␈α⊂of␈↓ ¬R␈ε(N␈↓ ε∧␈ε"less␈α∂than␈α⊂or␈α∂equal␈α∂to␈↓ λ}␈ε(N␈↓ 	!␈ε".␈α~The␈α∂procedure
␈βε∃␈↓ ↓H␈ε"uses␈α
m␈α↓oduli␈↓ β
␈ε(m␈↓ β:␈ε",␈↓ βO␈ε(m␈↓ ∧␈ε",␈↓ ∧∃␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ∧E␈ε",␈↓ ∧Z␈ε(m␈↓ ¬∀␈ε"that␈α
are␈αrelativ␈α␈ely␈αprime␈α
to␈αeach␈α
other␈αin␈αpairs␈α
and
␈βε"␈↓ β*␈ε%1␈↓ βo␈ε%2␈↓ ∧z␈ε+r
␈βε@␈↓ ↓H␈ε"relativ␈α␈ely␈αprime␈α
to␈↓ βx␈ε(N␈↓ ∧≠␈ε".␈α∩W␈α⎇e␈αassume␈α
that␈↓ ε@␈ε(r␈↓ ε]␈ε"\siev␈α␈e␈αtables"␈↓ λ@␈ε(S␈↓ λY␈ε"[␈↓ λc␈ε(i␈ε"␈α↓,␈↓ 	␈ε(j␈↓ 	⊃␈ε"]␈αfor␈α
0␈ε6␈α∀␈↓ 
,␈ε(j␈↓ 
H␈ε"<␈↓ 
v␈ε(m␈↓ "␈ε",
␈βεM␈↓ ⊗␈ε+i
␈βεl␈↓ ↓H␈ε"1␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
i␈ε6␈α
∀␈↓ αV␈ε(r␈↓ αg␈ε",␈αha␈α␈v␈α␈e␈αbeen␈αprepared,␈αwhere
␈βπ9␈↓ ¬λ␈ε%2␈↓ ε;␈ε%2
␈βπ=␈↓ β[␈ε↓~
␈βπ?␈↓ βq␈ε"1,␈↓ ∧U␈ε"if␈↓ ∧w␈ε(j␈↓ ¬!␈ε6␈␈↓ ¬M␈ε(N␈↓ ¬z␈ε6⊃␈↓ ε(␈ε(y␈↓ εU␈ε"(modulo␈↓ πa␈ε(m␈↓ λ
␈ε")␈αhas␈αa␈αsolution␈↓ 
␈ε(y␈↓ 
≡␈ε";
␈βπK␈↓ λ↓␈ε+i
␈βπV␈↓ αH␈ε(S␈↓ αa␈ε"[␈↓ αk␈ε(i␈ε"␈α↓,␈↓ βλ␈ε(j␈↓ β→␈ε"]␈α
=
␈βπq␈↓ βq␈ε"0,␈↓ ∧U␈ε"otherwise.
␈βλO␈↓ ∧x␈ε6p
␈βλR␈↓ ¬⊗␈∧λR¬⊗α#
␈βλT␈↓ ↓J␈ε2D1.␈↓ α	␈ε"[Initialize.]␈α Set␈ε(␈α⊂x␈ε6␈α⊃␈ ␈α⊂d␈↓ ¬⊗␈ε(N␈↓ ¬?␈ε6e␈ε",␈α⊃and␈α⊂set␈↓ εn␈ε(k␈↓ π≥␈ε6␈ ␈ε"␈α⊃(␈ε6␈␈ε(x␈ε")␈↓ λ(␈ε"mod␈↓ λr␈ε(m␈↓ 	.␈ε"for␈α⊂1␈ε6␈α⊂∀␈ε(␈α⊃i␈ε6␈α⊂∀␈↓ ∩␈ε(r␈↓ "␈ε".
␈βλa␈↓ π↓␈ε+i␈↓ 	∩␈ε+i
␈βλ␈␈↓ α␈ε"(Through␈α↓out␈αthis␈αalgorithm␈αthe␈αindex␈αv␈α}ariables␈↓ π|␈ε(k␈↓ λ ␈ε",␈↓ λ6␈ε(k␈↓ λY␈ε",␈↓ λo␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	∨␈ε",␈↓ 	4␈ε(k␈↓ 	b␈ε"will␈αbe␈αset␈αso
␈β	␈↓ λ∂␈ε%1␈↓ λI␈ε%2␈↓ 	G␈ε+r
␈β	+␈↓ α␈ε"that␈α(␈ε6␈␈ε(x␈ε")␈↓ β0␈ε"mod␈↓ βz␈ε(m␈↓ ∧0␈ε"=␈↓ ∧↑␈ε(k␈↓ ∧⎇␈ε".)
␈β	7␈↓ ∧~␈ε+i␈↓ ∧q␈ε+i
␈β	a␈↓ ↓J␈ε2D2.␈↓ α	␈ε"[Siev␈α␈e.]␈α→If␈↓ β4␈ε(S␈↓ βM␈ε"[␈↓ βX␈ε(i␈ε",␈↓ βt␈ε(k␈↓ ∧∀␈ε"]␈α
=␈α
1␈αfor␈α1␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
i␈ε6␈α
∀␈↓ ε:␈ε(r␈↓ εK␈ε",␈αgo␈αto␈αstep␈αD4.
␈β	m␈↓ ∧π␈ε+i
␈β
↔␈↓ ↓J␈ε2D3.␈↓ α	␈ε"[Step␈ε(␈α∂x␈ε".]␈α∨Set␈ε(␈α⊂x␈ε6␈α∂␈ ␈ε(␈α∂x␈ε"␈α
+␈α1,␈α⊂and␈α∂set␈↓ εD␈ε(k␈↓ εs␈ε6␈ ␈ε"␈α∂(␈↓ π2␈ε(k␈↓ π[␈ε6␈␈ε"␈α1)␈↓ λ.␈ε"mod␈↓ λx␈ε(m␈↓ 	3␈ε"for␈α∂1␈ε6␈α∂∀␈ε(␈α⊂i␈ε6␈α⊂∀␈↓ ∩␈ε(r␈↓ "␈ε".
␈β
#␈↓ εW␈ε+i␈↓ πE␈ε+i␈↓ 	↔␈ε+i
␈β
B␈↓ α␈ε"Return␈αto␈αstep␈αD2.
␈β
r␈↓ αx␈ε%2␈↓ ¬1␈ε6p␈↓ πP␈ε6p␈↓ 	V␈ε%2␈↓ 
8␈ε%2
␈β
u␈↓ ¬O␈∧
u¬Oα|␈↓ ¬c␈ε%2␈↓ πn␈∧
uπnα|␈↓ λα␈ε%2
␈β
x␈↓ ↓J␈ε2D4.␈↓ α	␈ε"[T␈α⎇est␈↓ αd␈ε(x␈↓ β∩␈ε6␈␈↓ β?␈ε(N␈↓ βb␈ε".]␈α≤Set␈↓ ∧R␈ε(y␈↓ ∧r␈ε6␈ ␈α
b␈↓ ¬O␈ε(x␈↓ ¬|␈ε6␈␈↓ ε(␈ε(N␈↓ εK␈ε6c␈ε"␈α
or␈α∞to␈ε6␈α∞d␈↓ πn␈ε(x␈↓ λ≠␈ε6␈␈↓ λG␈ε(N␈↓ λp␈ε6e␈ε".␈α∃If␈↓ 	C␈ε(y␈↓ 	s␈ε"=␈↓ 
$␈ε(x␈↓ 
R␈ε6␈␈↓ 
␈␈ε(N␈↓ "␈ε",
␈β$␈↓ α␈ε"then␈α(␈ε(x␈ε6␈απ␈␈↓ β0␈ε(y␈↓ βC␈ε")␈αis␈αthe␈αdesired␈αfactor,␈αand␈αthe␈αalgorithm␈αterminates.␈α∂Otherwise
␈βO␈↓ α␈ε"return␈αto␈αstep␈αD3.
␈βX␈↓ ∧P␈∧X∧P≠∂
␈β⊂␈↓ α␈ε"There␈α∞are␈α∂sev␈α␈eral␈α∞w␈α␈a␈α␈ys␈α∞to␈α∞mak␈α␈e␈α∂this␈α∞procedure␈α∞run␈α∂fast.␈α⊗F␈α⎇or␈α∂example,␈α∞w␈α␈e
␈β5␈↓ →␈ε90
␈β;␈↓ ↓H␈ε"ha␈α␈v␈α␈e␈αλseen␈αλthat␈αλif␈↓ βI␈ε(N␈↓ βr␈ε"mod␈↓ ∧<␈ε"3␈α
=␈α
2,␈αλthen␈ε(␈αλx␈ε"␈αλm␈α␈ust␈αλbe␈αλa␈αλm␈α␈ultiple␈αλof␈αλ3;␈α
w␈α␈e␈αλcan␈αλset␈↓ 
'␈ε(x␈ε"␈α
=␈α
3␈↓ ¬␈ε(x␈↓ "␈ε",
␈β`␈↓ ε⎇␈ε90
␈βf␈↓ ↓H␈ε"and␈α
use␈α
a␈α∞di{eren␈α␈t␈α
siev␈α␈e␈α∞corresponding␈α
to␈↓ εi␈ε(x␈↓ πε␈ε",␈α∞increasing␈α
the␈α∞speed␈α
threefold.␈α∀If
␈β
∩␈↓ ↓H␈ε(N␈↓ ↓q␈ε"mod␈↓ α;␈ε"9␈α
=␈α
1,␈α4,␈αor␈α7,␈αthen␈ε(␈αx␈ε"␈αm␈α␈ust␈αbe␈αcongruen␈α␈t␈αrespectiv␈α␈ely␈αto␈ε6␈αε␈ε"1,␈ε6␈αε␈ε"2,␈αor␈ε6␈αε␈ε"4
␈β
7␈↓ εn␈ε90␈↓ λY␈ε900␈↓ 
\␈ε90
␈β
=␈↓ ↓H␈ε"(modulo␈α9);␈αso␈αw␈α␈e␈αrun␈α
t␈α␈w␈α␈o␈αsiev␈α␈es␈α(one␈αfor␈↓ εZ␈ε(x␈↓ π∧␈ε"and␈αone␈α
for␈↓ λE␈ε(x␈↓ λj␈ε",␈α
where␈ε(␈αx␈ε"␈α
=␈α9␈↓ 
H␈ε(x␈↓ 
m␈ε"+␈ε(␈αλa
␈β
b␈↓ β
␈ε900
␈β
c␈↓ λk␈ε%1
␈β
h␈↓ ↓H␈ε"and␈ε(␈α∂x␈ε"␈α∂=␈α∂9␈↓ αy␈ε(x␈↓ β)␈ε6␈␈ε(␈α
a␈ε")␈α∂to␈α∂increase␈α∂the␈α⊂speed␈α∂by␈α∂a␈α∂factor␈α∂of␈α∂4␈↓ λ}␈ε".␈α~If␈↓ 	I␈ε(N␈↓ 	r␈ε"mod␈↓ 
<␈ε"4␈α∂=␈α∂3,
␈β
y␈↓ λk␈ε%2
␈β
|␈↓ λk␈∧
|λkα⊂
␈β∞∪␈↓ ↓H␈ε"then␈ε(␈α
x␈↓ α5␈ε"mod␈↓ α␈␈ε"4␈α∞is␈α
kn␈α↓o␈α␈wn␈α∞and␈α
the␈α∞speed␈α∞is␈α
increased␈α∞by␈α
an␈α∞additional␈α
factor␈α∞of␈α
4;
␈β∞>␈↓ ↓H␈ε"in␈α⊃the␈α⊃other␈α⊃case,␈α∩when␈↓ ∧\␈ε(N␈↓ ¬¬␈ε"mod␈↓ ¬O␈ε"4␈α∩=␈α∩1,␈ε(␈α∪x␈ε"␈α⊃m␈α␈ust␈α⊃be␈α⊃odd␈α⊃so␈α⊂the␈α⊃speed␈α⊃ma␈α␈y␈α⊃be
␈β∞j␈↓ ↓H␈ε"doubled.␈α∪An␈α↓other␈α∞w␈α␈a␈α␈y␈α
to␈α
double␈α
the␈α∞speed␈α
of␈α
the␈α
algorithm␈α∞(at␈α
the␈α
expense␈α
of
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε"storage␈αspace)␈αis␈αto␈αcom␈α␈bine␈α
pairs␈αof␈αm␈α↓oduli,␈αusing␈↓ πq␈ε(m␈↓ λT␈ε(m␈↓ 	∩␈ε"in␈αplace␈αof␈↓ 
B␈ε(m␈↓ ␈ε"for
␈β∂!␈↓ λ⊃␈ε+r␈↓ λ∨␈ε9␈␈↓ λ=␈ε+k␈↓ λs␈ε+k␈↓ 
b␈ε+k
␈β∂;␈↓ αb␈ε%1
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"1␈ε6␈α
∀␈↓ α∩␈ε(k␈↓ α0␈ε"<␈↓ αu␈ε(r␈↓ βε␈ε".
␈β∂Q␈↓ αb␈ε%2
␈β∂T␈↓ αb␈∧∂Tαbα⊂
␈β∂k␈↓ α␈ε"An␈α
ev␈α␈en␈α
m␈α↓ore␈α
importan␈α␈t␈α
meth␈α↓od␈αof␈α
speeding␈α
up␈α
Algorithm␈α
D␈α
is␈α
to␈α
use␈αthe
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"\␈↓ ↓Z␈ε"Bo␈α↓olean␈α∩operations"␈α∩found␈α∩on␈α∩m␈α↓ost␈α∩binary␈α∩computers.␈α"Let␈α∩us␈α∩assume,␈α∪for
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"example,␈α
that␈↓ βk␈ε"is␈α
a␈α	binary␈α
computer␈α	with␈α
30␈α	bits␈α
per␈α	w␈α␈ord.␈α∂The␈α
tables␈↓ 
C␈ε(S␈↓ 
\␈ε"[␈↓ 
g␈ε(i␈ε",␈↓ β␈ε(k␈↓ "␈ε"]
␈β⊂D␈↓ β)␈ε5MIX
␈β⊂N␈↓ ⊗␈ε+i
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"can␈αbe␈αk␈α␈ept␈αin␈αmem␈α↓ory␈αwith␈αone␈αbit␈αper␈αen␈α␈try;␈αth␈α␈us␈α30␈αv␈α}alues␈αcan␈αbe␈αstored␈αin␈αa
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"single␈α
w␈α␈ord.␈α∪The␈α
operation␈↓ ¬<␈ε",␈α
which␈α∞replaces␈α
the␈↓ λ¬␈ε(k␈↓ λ→␈ε"th␈α
bit␈α
of␈α
the␈α
accum␈α␈ulator
␈β⊃~␈↓ ¬β␈ε5AND
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"374␈↓ 
b␈ε"4.5.4
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"by␈α
zero␈αif␈αthe␈↓ β"␈ε(k␈↓ β6␈ε"th␈αbit␈α
of␈αa␈αspeci|ed␈αw␈α␈ord␈α
in␈αmem␈α↓ory␈αis␈αzero,␈αfor␈α
1␈ε6␈α
∀␈↓ 	q␈ε(k␈↓ 
∂␈ε6∀␈ε"␈α
30,␈αcan
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"be␈αused␈αto␈αprocess␈α30␈αv␈α}alues␈αof␈ε(␈αx␈ε"␈αat␈αonce!␈α⊂F␈α⎇or␈αcon␈α␈v␈α␈enience,␈αw␈α␈e␈αcan␈αmak␈α␈e␈αsev␈α␈eral
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"copies␈α∂of␈α∞the␈α∂tables␈↓ ∧
␈ε(S␈↓ ∧&␈ε"[␈↓ ∧1␈ε(i␈ε",␈↓ ∧M␈ε(j␈↓ ∧↑␈ε"]␈α∂so␈α∂that␈α∂the␈α∂table␈α∂en␈α␈tries␈α∂for␈↓ λF␈ε(m␈↓ 	↓␈ε"in␈α␈v␈α␈olv␈α␈e␈↓ 	|␈ε"lcm␈↓ 
4␈ε"(␈↓ 
@␈ε(m␈↓ 
l␈ε",␈αε30)
␈ββπ␈↓ λe␈ε+i␈↓ 
`␈ε+i
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"bits;␈α⊃then␈α⊂the␈α⊂siev␈α␈e␈α∂tables␈α⊂for␈α⊂each␈α∂m␈α↓odulus␈α⊂|ll␈α⊂an␈α∂in␈α␈tegral␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber␈α⊂of␈α∂w␈α␈ords.
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε"Under␈α∂these␈α∂assumptions,␈α⊃30␈α∂executions␈α⊂of␈α∂the␈α∂main␈α⊂lo␈α↓op␈α∂in␈α⊂Algorithm␈α∂D␈α∂are
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"equiv␈α}alen␈α␈t␈αto␈αcode␈αof␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αform:
␈β∧B␈↓ ε*␈ε:0
␈β∧G␈↓ β ␈ε5D2␈↓ βX␈ε5LD1␈↓ ∧7␈ε5K1␈↓ ¬;␈ε#rI␈↓ ¬S␈ε#1␈ε7␈α	␈ ␈↓ ε_␈ε)k␈↓ ε9␈ε#.
␈β∧V␈↓ ε*␈ε&1
␈β∧i␈↓ ε+␈ε:0
␈β∧o␈↓ βX␈ε5LDA␈↓ ∧7␈ε5S1,1␈↓ ¬;␈ε#rA␈↓ ¬i␈ε7␈ ␈↓ ε∀␈ε)S␈↓ ε4␈ε#[␈↓ ε>␈ε#1␈α␈,␈↓ ε]␈ε)r␈↓ εl␈ε)I␈↓ ε|␈ε#1].
␈β¬↔␈↓ βX␈ε5DEC1␈↓ ∧7␈ε51␈↓ ¬;␈ε#rI␈↓ ¬S␈ε#1␈ε7␈α	␈ ␈↓ ε_␈ε#rI␈↓ ε0␈ε#1␈ε7␈απ␈␈ε#␈απ1.
␈β¬>␈↓ βX␈ε5J1NN␈↓ ∧7␈ε5*+2
␈β¬f␈↓ βX␈ε5INC1␈↓ ∧7␈ε5M1␈↓ ¬;␈ε#If␈↓ ¬\␈ε#rI␈↓ ¬t␈ε#1␈α	<␈α
0,␈αset␈↓ π∩␈ε#rI␈↓ π*␈ε#1␈ε7␈α	␈ ␈↓ πn␈ε#rI␈↓ λε␈ε#1␈απ+␈↓ λG␈ε#lcm␈↓ λ{␈ε#(␈↓ 	ε␈ε)m␈↓ 	3␈ε#,␈αε3␈α␈0).
␈β¬q␈↓ 	$␈ε&1
␈βελ␈↓ ¬N␈ε:0
␈βε
␈↓ βX␈ε5ST1␈↓ ∧7␈ε5K1␈↓ ¬;␈ε)k␈↓ ¬f␈ε7␈ ␈↓ ε⊃␈ε#rI␈↓ ε)␈ε#1␈α␈.
␈βε≤␈↓ ¬N␈ε&1
␈βε/␈↓ ε*␈ε:0
␈βε5␈↓ βX␈ε5LD1␈↓ ∧7␈ε5K2␈↓ ¬;␈ε#rI␈↓ ¬S␈ε#1␈ε7␈α	␈ ␈↓ ε_␈ε)k␈↓ ε9␈ε#.
␈βεD␈↓ ε*␈ε&2
␈βεW␈↓ εw␈ε:0
␈βε]␈↓ βX␈ε5AND␈↓ ∧7␈ε5S2,1␈↓ ¬;␈ε#rA␈↓ ¬i␈ε7␈ ␈↓ ε∀␈ε#rA␈↓ ε@␈ε7↑␈↓ ε`␈ε)S␈↓ π␈ε#[␈↓ π	␈ε#2,␈↓ π)␈ε#rI␈↓ πA␈ε#1].
␈βπ∧␈↓ βX␈ε5DEC1␈↓ ∧7␈ε51␈↓ ¬;␈ε#rI␈↓ ¬S␈ε#1␈ε7␈α	␈ ␈↓ ε_␈ε#rI␈↓ ε0␈ε#1␈ε7␈απ␈␈ε#␈απ1.
␈βπ,␈↓ βX␈ε5J1NN␈↓ ∧7␈ε5*+2
␈βπS␈↓ βX␈ε5INC1␈↓ ∧7␈ε5M2␈↓ ¬;␈ε#If␈↓ ¬\␈ε#rI␈↓ ¬t␈ε#1␈α	<␈α
0,␈αset␈↓ π∩␈ε#rI␈↓ π*␈ε#1␈ε7␈α	␈ ␈↓ πn␈ε#rI␈↓ λε␈ε#1␈απ+␈↓ λG␈ε#lcm␈↓ λ{␈ε#(␈↓ 	ε␈ε)m␈↓ 	3␈ε#,␈αε3␈α␈0).
␈βπ←␈↓ 	$␈ε&2
␈βπu␈↓ ¬N␈ε:0
␈βπ{␈↓ βX␈ε5ST1␈↓ ∧7␈ε5K2␈↓ ¬;␈ε)k␈↓ ¬f␈ε7␈ ␈↓ ε⊃␈ε#rI␈↓ ε)␈ε#1␈α␈.
␈βλ
␈↓ ¬N␈ε&2
␈βλ≥␈↓ ε*␈ε:0
␈βλ#␈↓ βX␈ε5LD1␈↓ ∧7␈ε5K3␈↓ ¬;␈ε#rI␈↓ ¬S␈ε#1␈ε7␈α	␈ ␈↓ ε_␈ε)k␈↓ ε9␈ε#.
␈βλ1␈↓ ε*␈ε&3
␈βλJ␈↓ βX␈ε7↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬;␈ε#(␈↓ ¬F␈ε)m␈↓ ¬}␈ε#thro␈α␈ug␈α␈h␈↓ ε|␈ε)m␈↓ π3␈ε#a␈α␈re␈αl␈α↓ik␈α}e␈↓ λ(␈ε)m␈↓ λU␈ε#)
␈βλV␈↓ ¬d␈ε&3␈↓ π~␈ε,r␈↓ λF␈ε&2
␈βλl␈↓ ¬N␈ε:0
␈βλr␈↓ βX␈ε5ST1␈↓ ∧7␈ε5Kr␈↓ ¬;␈ε)k␈↓ ¬e␈ε7␈ ␈↓ ε⊂␈ε#rI␈↓ ε(␈ε#1␈α␈.
␈β	␈↓ ¬N␈ε,r
␈β	→␈↓ βX␈ε5INCX␈↓ ∧7␈ε530␈↓ ¬;␈ε)x␈ε7␈α	␈ ␈ε)␈α	x␈ε#␈απ+␈αλ30␈α␈.
␈β	A␈↓ βX␈ε5JAZ␈↓ ∧7␈ε5D2␈↓ ¬;␈ε#Rep␈α␈eat␈αif␈αall␈αs␈α␈i␈α↓ev␈α}ed␈αo␈α␈ut.
␈β	H␈↓ λ<␈∧	Hλ<≠∂
␈β
∞␈↓ ↓H␈ε"The␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber␈α⊃of␈α⊃cy␈α␈cles␈α⊃for␈α⊃30␈α⊃iterations␈α⊂is␈α⊃essen␈α␈tially␈α⊃2␈α+␈α8␈↓ 	¬␈ε(r␈↓ 	⊗␈ε";␈α∪if␈↓ 	Z␈ε(r␈↓ 	|␈ε"=␈α∩11,␈α∩this
␈β
9␈↓ ↓H␈ε"means␈αthree␈αcy␈α␈cles␈αare␈αbeing␈αused␈αon␈αeach␈αiteration,␈αjust␈αas␈αin␈αAlgorithm␈αC␈↓ 
]␈ε",␈αand
␈β
`␈↓ ∧p␈ε%1
␈β
d␈↓ ↓H␈ε"Algorithm␈αC␈αin␈α␈v␈α␈olv␈α␈es␈↓ ∧!␈ε(y␈↓ ∧>␈ε"=␈↓ ¬β␈ε"(␈↓ ¬∂␈ε(v␈↓ ¬*␈ε6␈␈ε(␈αλu␈ε"␈α␈)␈αm␈α↓ore␈αiterations.
␈β
u␈↓ ∧p␈ε%2
␈β
y␈↓ ∧p␈∧
y∧pα⊂
␈β∩␈↓ α␈ε"If␈α⊂the␈α⊃table␈α⊂en␈α␈tries␈α⊂for␈↓ ¬	␈ε(m␈↓ ¬E␈ε"do␈α⊃n␈α↓ot␈α⊂come␈α⊂out␈α⊃to␈α⊂be␈α⊂an␈α⊃in␈α␈tegral␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber␈α⊂of
␈β≡␈↓ ¬)␈ε+i
␈β=␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈ords,␈αfurther␈αshi$ing␈αof␈αthe␈αtable␈αen␈α␈tries␈αw␈α␈ould␈αbe␈αnecessary␈αon␈αeach␈αiteration
␈βh␈↓ ↓H␈ε"in␈αorder␈α
to␈α
align␈α
the␈α
bits␈α
properly.␈α∩This␈α
w␈α␈ould␈α
add␈α
quite␈αa␈α
lot␈α
of␈α
coding␈α
to␈αthe
␈β∪␈↓ ↓H␈ε"main␈α
lo␈α↓op␈α∞and␈α∞it␈α∞w␈α␈ould␈α
probably␈α∞mak␈α␈e␈α∞the␈α∞program␈α
to␈α↓o␈α∞slo␈α␈w␈α∞to␈α∞compete␈α
with
␈β?␈↓ ↓H␈ε"Algorithm␈αC␈αunless␈↓ ∧∧␈ε(v␈↓ ∧↔␈ε"/␈ε(u␈ε6␈α	∀␈ε"␈α
100␈α(see␈αexercise␈α7).
␈βl␈↓ α␈ε"Siev␈α␈e␈α∞procedures␈α
can␈α∞be␈α∞applied␈α
to␈α∞a␈α∞v␈α}ariet␈α␈y␈α
of␈α∞other␈α∞problems,␈α∞n␈α↓ot␈α
neces-
␈β
↔␈↓ ↓H␈ε"sarily␈α
ha␈α␈ving␈αm␈α␈uch␈α
to␈αdo␈α
with␈αarithmetic.␈α∂A␈αsurv␈α␈ey␈α
of␈αthese␈α
techniques␈αhas␈α
been
␈β
B␈↓ ↓H␈ε"prepared␈αby␈αMarvin␈αC.␈↓ ∧>␈ε"W␈α⎇underlich,␈ε/␈αJA␈α␈CM␈ε2␈α14␈ε"␈α(1967),␈α10↑19.
␈β
o␈↓ α␈ε"Special␈α⊂siev␈α␈e␈α∂machines␈α⊂(of␈α⊂reasonably␈α∂lo␈α␈w␈α⊂cost)␈α⊂ha␈α␈v␈α␈e␈α∂been␈α⊂constructed␈α∂by
␈β∞≠␈↓ ↓H␈ε"D.␈αH.␈↓ α)␈ε"Lehmer␈α
and␈α
his␈α
associates␈αo␈α␈v␈α␈er␈α
a␈α
period␈α
of␈α
man␈α␈y␈αy␈α␈ears;␈α∞see,␈α
for␈αexample,
␈β∞F␈↓ ↓H␈ε/AMM␈ε2␈α⊃40␈ε"␈α⊃(1933),␈α∪401↑406.␈α Lehmer's␈α⊃electronic␈α⊃dela␈α␈y-line␈α∩siev␈α␈e,␈α∩which␈α⊃began
␈β∞q␈↓ ↓H␈ε"operating␈αλin␈αλ1965,␈α	processes␈α	one␈αλmillion␈α	n␈α␈um␈α␈bers␈αλper␈αλsecond.␈α∂Th␈α␈us,␈α	each␈αλiteration
␈β∂≤␈↓ ↓H␈ε"of␈αthe␈αlo␈α↓op␈αin␈αAlgorithm␈αD␈αcan␈αbe␈αperformed␈αin␈αone␈αmicrosecond␈αon␈αthis␈αdevice.
␈β∂G␈↓ ↓H␈ε"An␈α↓other␈α
w␈α␈a␈α␈y␈α∞to␈α
factor␈α∞with␈α
siev␈α␈es␈α∞is␈α∞described␈α
by␈α∞D.␈α
H.␈α∞and␈↓ 	∃␈ε"Emma␈α∞Lehmer␈α
in
␈β∂s␈↓ ↓H␈ε/Math.␈αComp.␈ε2␈α28␈ε"␈α(1974),␈α625↑635.
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε2Primalit␈α␈y␈α
testing.␈ε"␈α∀None␈α
of␈αthe␈α
algorithms␈↓ ε`␈ε"w␈α␈e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈αdiscussed␈α
so␈αfar␈α
is␈αan␈α
e}cien␈α␈t
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈a␈α␈y␈α
to␈α
determine␈α
that␈α
a␈α
large␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈ε(␈α
n␈ε"␈α
is␈α
prime.␈α∪F␈α⎇ortunately,␈α
there␈α
are␈α
other
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"meth␈α↓ods␈αa␈α␈v␈α}ailable␈αfor␈αsettling␈αthis␈αquestion;␈αe}cien␈α␈t␈αmeth␈α↓ods␈αha␈α␈v␈α␈e␈αbeen␈αdevised
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.4␈↓ 
v␈ε"375
␈β↓\␈↓ π≡␈ε∞F␈α|ACTORING␈αINTO␈α
P␈α␈RIM␈α↓ES
␈βα~␈↓ ↓␈␈ε"∞
␈βα"␈↓ ↓H␈ε"by␈↓ ↓|␈ε"E␈↓ α∀␈ε".␈↓ α,␈ε"Lucas␈α∞and␈α
others,␈α∞n␈α↓otably␈α∞D.␈α∞H.␈↓ ε>␈ε"Lehmer␈α∞[see␈ε/␈α∞Bull.␈α
Amer.␈α∞Math.␈α∞Soc.␈ε2␈α
33
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"(1927),␈α327↑340].
␈βαs␈↓ 	C␈ε+p␈ε9␈␈ε%1
␈βαy␈↓ α␈ε"According␈αto␈↓ βa␈ε"F␈α⎇ermat's␈αtheorem␈α(Theorem␈α1.2.4F␈↓ λε␈ε"),␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ 	/␈ε(x␈↓ 
ε␈ε"mod␈↓ 
P␈ε(p␈ε"␈α
=␈α
1
␈ββ$␈↓ ↓H␈ε"whenev␈α␈er␈ε(␈α∩p␈ε"␈α∪is␈α∩prime␈α∪and␈ε(␈α∪x␈ε"␈α∩is␈α∪n␈α↓ot␈α∩a␈α∪m␈α␈ultiple␈α∩of␈ε(␈α∪p␈ε".␈α$F␈α⎇urtherm␈α↓ore,␈α∀there␈α∩are
␈ββI␈↓ ¬∩␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈ββO␈↓ ↓H␈ε"e}cien␈α␈t␈α∩w␈α␈a␈α␈ys␈α∩to␈α∩calculate␈↓ ∧}␈ε(x␈↓ ¬Y␈ε"mod␈↓ ε#␈ε(n␈ε",␈α∀requiring␈α∩only␈↓ λJ␈ε(O␈↓ λf␈ε"(␈↓ λr␈ε"log␈↓ 	&␈ε(n␈ε")␈α∩operations␈α∩of
␈ββz␈↓ ↓H␈ε"m␈α␈ultiplication␈αm␈α↓od␈ε(␈αn␈ε".␈α↔(W␈α⎇e␈αshall␈αstudy␈αthese␈αin␈αSection␈α4.6.3␈αbelo␈α␈w.)␈α↔Therefore
␈β∧%␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈e␈αcan␈αo$en␈αdetermine␈αthat␈ε(␈αn␈ε"␈αis␈ε/␈αn␈α↓ot␈ε"␈αprime␈αwhen␈αthis␈αrelationship␈αfails.
␈β∧K␈↓ λY␈ε%1␈↓ 	T␈ε%2␈↓ 
O␈ε%4
␈β∧Q␈↓ α␈ε"F␈α⎇or␈αexample,␈↓ βd␈ε"F␈α⎇ermat␈αonce␈αv␈α␈eri|ed␈αthat␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈bers␈↓ λG␈ε"2␈↓ λq␈ε"+␈αε1,␈↓ 	B␈ε"2␈↓ 	k␈ε"+␈απ1,␈↓ 
=␈ε"2␈↓ 
f␈ε"+␈αε1,
␈β∧v␈↓ ↓Z␈ε%8␈↓ β≡␈ε%16
␈β∧|␈↓ ↓H␈ε"2␈↓ ↓r␈ε"+␈αλ1,␈αand␈↓ β␈ε"2␈↓ βF␈ε"+␈αλ1␈αare␈αprime.␈α⊂In␈αa␈αletter␈αto␈↓ π⊗␈ε"Mersenne␈αwritten␈αin␈α1640,␈αF␈α⎇ermat
␈β¬≤␈↓ βz␈ε-n
␈β¬!␈↓ βk␈ε%2
␈β¬'␈↓ ↓H␈ε"conjectured␈αthat␈↓ βY␈ε"2␈↓ ∧⊗␈ε"+␈αλ1␈α
is␈α
alw␈α␈a␈α␈ys␈α
prime,␈α
but␈α
said␈αhe␈α
w␈α␈as␈α
unable␈α
to␈αdetermine
␈β¬L␈↓ π5␈ε%3␈α↓2
␈β¬R␈↓ ↓H␈ε"de|nitely␈α
whether␈α
the␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
4294967297␈α=␈↓ π#␈ε"2␈↓ π↑␈ε"+␈α	1␈α
is␈α
prime␈α∞or␈α
n␈α↓ot.␈α∪Neither
␈β¬⎇␈↓ ↓H␈ε"F␈α⎇ermat␈α
n␈α↓or␈αMersenne␈α
ev␈α␈er␈αresolv␈α␈ed␈α
this␈αproblem,␈α
alth␈α↓ough␈αthey␈α
could␈αha␈α␈v␈α␈e␈α
done
␈βε≡␈↓ ¬(␈ε'32
␈βε#␈↓ ¬→␈ε%2␈↓ ε4␈ε%32
␈βε)␈↓ ↓H␈ε"it␈α⊃as␈α∩follo␈α␈ws:␈α_The␈α⊃n␈α␈um␈α␈ber␈↓ ¬π␈ε"3␈↓ ¬L␈ε"mod␈↓ ε⊗␈ε"(␈↓ ε"␈ε"2␈↓ ε←␈ε"+␈α1)␈α∩can␈α∩be␈α⊃computed␈α∩by␈α∩doing␈α⊃32
␈βεN␈↓ ¬A␈ε%32
␈βεT␈↓ ↓H␈ε"operations␈αof␈αsquaring␈αm␈α↓odulo␈↓ ¬/␈ε"2␈↓ ¬g␈ε"+␈απ1,␈αand␈αthe␈αansw␈α␈er␈αis␈α3029026160;␈αtherefore
␈βε␈␈↓ ↓H␈ε"(by␈α⊂F␈α⎇ermat's␈α⊂o␈α␈wn␈α⊂theorem,␈α⊃which␈α⊂he␈α⊂disco␈α␈v␈α␈ered␈α⊃in␈α⊂the␈α⊂same␈α⊂y␈α␈ear␈α⊂1640!)␈α≤the
␈βπ$␈↓ α]␈ε%32
␈βπ*␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈ber␈↓ αK␈ε"2␈↓ βε␈ε"+␈α	1␈α
is␈ε/␈α∞n␈α↓ot␈ε"␈α
prime.␈α∀This␈α
argumen␈α␈t␈α∞giv␈α␈es␈α
us␈α
absolutely␈α∞n␈α↓o␈α
idea␈α
what
␈βπU␈↓ ↓H␈ε"the␈αfactors␈αare,␈αbut␈αit␈αansw␈α␈ers␈αF␈α⎇ermat's␈αquestion.
␈βλ↓␈↓ α␈ε"F␈α⎇ermat's␈α⊂theorem␈α∂is␈α⊂a␈α∂po␈α␈w␈α␈erful␈α∂test␈α⊂for␈α∂sh␈α↓o␈α␈wing␈α⊂n␈α↓on-primalit␈α␈y␈α∂of␈α⊂a␈α∂giv␈α␈en
␈βλ,␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈ber.␈α_When␈ε(␈α∂n␈ε"␈α∂is␈α∞n␈α↓ot␈α∂prime,␈α⊂it␈α∂is␈α∞alw␈α␈a␈α␈ys␈α∂possible␈α∂to␈α∂|nd␈α∂a␈α∂v␈α}alue␈α∞of␈ε(␈α∂x␈ε"␈α∂<␈ε(␈α∂n
␈βλQ␈↓ ββ␈ε+n␈ε9␈␈ε%1
␈βλW␈↓ ↓H␈ε"such␈α∂that␈↓ αo␈ε(x␈↓ βJ␈ε"mod␈↓ ∧∀␈ε(n␈ε6␈α⊃≤␈ε"␈α⊂1;␈α∩experience␈α⊂sh␈α↓o␈α␈ws␈α∂that,␈α⊃in␈α⊂fact,␈α⊃such␈α⊂a␈α⊂v␈α}alue␈α∂can
␈β	α␈↓ ↓H␈ε"alm␈α↓ost␈αalw␈α␈a␈α␈ys␈αbe␈αfound␈αv␈α␈ery␈αquickly.␈α⊂There␈αare␈αsome␈αrare␈αv␈α}alues␈αof␈ε(␈αn␈ε"␈αfor␈αwhich
␈β	'␈↓ ↓\␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1
␈β	(␈↓ 
x␈ε'3
␈β	,␈↓ 
o␈ε6p
␈β	-␈↓ ↓H␈ε(x␈↓ α#␈ε"mod␈↓ αm␈ε(n␈ε"␈αis␈α
frequen␈α␈tly␈α
equal␈α
to␈α
unit␈α␈y,␈α∞but␈α
then␈ε(␈α
n␈ε"␈α
has␈α
a␈α
factor␈α
less␈α
than␈↓ 
␈ε(n␈↓ "␈ε";
␈β	/␈↓ 
␈∧	/
α⊗
␈β	Y␈↓ ↓H␈ε"see␈αexercise␈α9.
␈β
∧␈↓ α␈ε"The␈α∞same␈α∂meth␈α↓od␈α∞can␈α∞be␈α∂extended␈α∞to␈α∂pro␈α␈v␈α␈e␈α∞that␈α∞a␈α∂large␈α∞prime␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈ε(␈α∂n
␈β
/␈↓ ↓H␈ε"really␈ε/␈α∂is␈ε"␈α⊂prime,␈α⊂by␈α∂using␈α⊂the␈α∂follo␈α␈wing␈α⊂idea:␈ε/␈α∩If␈α⊂there␈α∂is␈α⊂a␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈ε(␈α⊂x␈ε/␈α∂for␈α∂which
␈β
Z␈↓ ↓H␈ε/the␈α∞order␈α∂of␈ε(␈α∂x␈ε/␈α∂m␈α↓odulo␈ε(␈α∞n␈ε/␈α∂is␈α∂equal␈α∞to␈ε(␈α∂n␈ε6␈α
␈␈ε"␈α
1␈ε/,␈α∂then␈ε(␈α∂n␈ε/␈α∞is␈α∂prime.␈ε"␈α≡(The␈↓ 
␈ε"order␈α∂of␈ε(␈α∞x
␈β
␈␈↓ λ'␈ε+k
␈β¬␈↓ ↓H␈ε"m␈α↓odulo␈ε(␈αn␈ε"␈αis␈αthe␈αsmallest␈αpositiv␈α␈e␈α
in␈α␈teger␈↓ εS␈ε(k␈↓ εs␈ε"such␈αthat␈↓ λ∪␈ε(x␈↓ λ@␈ε"mod␈↓ 	
␈ε(n␈ε"␈α
=␈α
1;␈αsee␈αSection
␈β+␈↓ λ!␈ε%1␈↓ 
ε␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1
␈β1␈↓ ↓H␈ε"3.2.1.2.)␈α∃F␈α⎇or␈αthis␈αcondition␈αimplies␈αthat␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈bers␈↓ λ
␈ε(x␈↓ λ8␈ε"mod␈↓ 	α␈ε(n␈ε"␈α␈,␈↓ 	-␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	]␈ε",␈↓ 	r␈ε(x␈↓ 
M␈ε"mod␈↓ ↔␈ε(n
␈β\␈↓ ↓H␈ε"are␈α∞distinct␈α∂and␈α∞relativ␈α␈ely␈α∂prime␈α∞to␈ε(␈α∂n␈ε",␈α∂so␈α∞they␈α∂m␈α␈ust␈α∞be␈α∂the␈α∂n␈α␈um␈α␈bers␈α∞1,␈α∂2,␈↓ 
r␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ "␈ε",
␈βπ␈↓ ↓H␈ε(n␈ε6␈αα␈␈ε"␈αβ1␈α	in␈α	some␈α	order;␈αth␈α␈us␈ε(␈α	n␈ε"␈α	has␈α	n␈α↓o␈α
proper␈α	divisors.␈α∂If␈ε(␈α	n␈ε"␈α	is␈α
prime,␈α
such␈α	a␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈ε(␈α	x
␈β2␈↓ ↓H␈ε"(called␈αa␈α
\primitiv␈α␈e␈αro␈α↓ot"␈αof␈ε(␈αn␈ε")␈αwill␈αalw␈α␈a␈α␈ys␈αexist;␈αsee␈αexercise␈α3.2.1.2↑16.␈α⊂In␈α
fact,
␈β]␈↓ ↓H␈ε"primitiv␈α␈e␈α∞ro␈α↓ots␈α∞are␈α∂rather␈α∞n␈α␈umerous.␈α↔There␈α∂are␈ε(␈α∞⎇␈ε"(␈ε(n␈ε6␈α	␈␈ε"␈α
1)␈α∞of␈α∂them,␈α∂and␈α∞this␈α∞is
␈β
	␈↓ ↓H␈ε"quite␈αa␈αsubstan␈α␈tial␈αn␈α␈um␈α␈ber,␈αsince␈ε(␈αn␈ε"␈α␈/␈ε(⎇␈ε"(␈ε(n␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ1)␈α
=␈↓ πH␈ε(O␈↓ πd␈ε"(␈↓ πp␈ε"log␈↓ λ$␈ε"log␈↓ λX␈ε(n␈ε").
␈β
.␈↓ ¬n␈ε+k
␈β
4␈↓ α␈ε"It␈αis␈αunnecessary␈αto␈αcalculate␈↓ ¬Z␈ε(x␈↓ εε␈ε"mod␈↓ εP␈ε(n␈ε"␈αfor␈αall␈↓ πY␈ε(k␈↓ πw␈ε6∀␈ε(␈α
n␈ε6␈αε␈␈ε"␈αε1␈αto␈α
determine␈αif␈αthe
␈β
←␈↓ ↓H␈ε"order␈αof␈ε(␈αx␈ε"␈αis␈ε(␈αn␈ε6␈απ␈␈ε"␈αλ1␈αor␈αn␈α↓ot.␈α⊂The␈αorder␈αof␈ε(␈αx␈ε"␈αwill␈αbe␈ε(␈αn␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ1␈αif␈αand␈αonly␈αif
␈β∞→␈↓ αP␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1
␈β∞∨␈↓ α~␈ε"i)␈↓ α<␈ε(x␈↓ β↔␈ε"mod␈↓ βa␈ε(n␈ε"␈α	=␈α
1;
␈β∞K␈↓ αP␈ε%(␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1)␈α↓/␈ε+p
␈β∞Q␈↓ α⊂␈ε"ii)␈↓ α<␈ε(x␈↓ βJ␈ε"mod␈↓ ∧∀␈ε(n␈ε6␈α
≤␈ε"␈α
1␈↓ ¬␈ε"for␈αall␈αprimes␈ε(␈αp␈ε"␈αthat␈αdivide␈ε(␈αn␈ε6␈απ␈␈ε"␈αλ1.
␈β∂∂␈↓ α≡␈ε+s
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε"F␈α⎇or␈↓ α
␈ε(x␈↓ α4␈ε"mod␈↓ α}␈ε(n␈ε"␈α
=␈α
1␈α
if␈α∞and␈α∞only␈α
if␈ε(␈α∞s␈ε"␈α∞is␈α∞a␈α
m␈α␈ultiple␈α∞of␈α∞the␈α∞order␈α
of␈ε(␈α∞x␈ε"␈α∞m␈α↓odulo␈ε(␈α
n␈ε".␈α∃If
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"the␈αt␈α␈w␈α␈o␈αconditions␈αh␈α↓old,␈αand␈αif␈↓ ¬7␈ε(k␈↓ ¬W␈ε"is␈αthe␈αorder␈αof␈ε(␈αx␈ε"␈αm␈α↓odulo␈ε(␈αn␈ε",␈αw␈α␈e␈αtherefore␈αkn␈α↓o␈α␈w
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"that␈↓ α∃␈ε(k␈↓ α4␈ε"is␈α
a␈αdivisor␈αof␈ε(␈αn␈ε6␈αε␈␈ε"␈α¬1,␈αbut␈αn␈α↓ot␈αa␈αdivisor␈αof␈α(␈ε(n␈ε6␈α¬␈␈ε"␈αε1)/␈ε(p␈ε"␈αfor␈αan␈α␈y␈αprime␈αfactor␈ε(␈α
p
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"of␈ε(␈αn␈ε6␈αλ␈␈ε"␈απ1;␈αthe␈αonly␈αremaining␈αpossibilit␈α␈y␈αis␈↓ εd␈ε(k␈↓ πα␈ε"=␈ε(␈α
n␈ε6␈απ␈␈ε"␈απ1.␈α⊂This␈αcompletes␈αthe␈αpro␈α↓of
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"that␈αconditions␈α(i)␈αand␈α(ii)␈αsu}ce␈αto␈αestablish␈αthe␈αprimalit␈α␈y␈αof␈ε(␈αn␈ε"␈α␈.
␈β⊂m␈↓ α␈ε"Exercise␈α∞10␈α∞sh␈α↓o␈α␈ws␈α∞that␈α
w␈α␈e␈α∞can␈α∞in␈α∞fact␈α∞use␈α
di{eren␈α␈t␈α∞v␈α}alues␈α∞of␈ε(␈α∞x␈ε"␈α∞for␈α∞each␈α
of
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"the␈αprimes␈ε(␈α
p␈ε",␈α
and␈ε(␈α
n␈ε"␈αwill␈α
still␈α
be␈α
prime.␈α∩W␈α⎇e␈αma␈α␈y␈α
restrict␈α
consideration␈α
to␈αprime
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"376␈↓ 
b␈ε"4.5.4
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"v␈α}alues␈α
of␈ε(␈α∞x␈ε",␈α
since␈α∞the␈α
order␈α∞of␈ε(␈α
u␈↓ ¬D␈ε(v␈↓ ¬d␈ε"m␈α↓odulo␈ε(␈α∞n␈ε"␈α
divides␈α
the␈α∞least␈α
comm␈α↓on␈α
m␈α␈ultiple
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"of␈α∞the␈α∂orders␈α∞of␈ε(␈α∂u␈ε"␈α∞and␈↓ ∧;␈ε(v␈↓ ∧]␈ε"by␈α∞exercise␈α∂3.2.1.2↑15.␈α↔Conditions␈α∂(i)␈α∞and␈α∞(ii)␈α∂can␈α∞be
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"tested␈α
e}cien␈α␈tly␈α∞by␈α
using␈α∞the␈α∞rapid␈α
meth␈α↓ods␈α∞for␈α∞ev␈α}aluating␈α
po␈α␈w␈α␈ers␈α∞of␈α
n␈α␈um␈α␈bers
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"discussed␈α	in␈α
Section␈α
4.6.3.␈α∂But␈α
it␈α
is␈α
necessary␈α
to␈α	kn␈α↓o␈α␈w␈α
the␈α
prime␈α
factors␈α
of␈ε(␈α	n␈ε6␈α∧␈␈ε"␈αβ1,
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε"so␈α∞w␈α␈e␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈α∞an␈α∞in␈α␈teresting␈α∞situation␈α∞in␈α∞which␈α∞the␈α∞factorization␈α∞of␈ε(␈α∞n␈ε"␈α
depends␈α∞on
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"that␈αof␈ε(␈αn␈ε6␈απ␈␈ε"␈αλ1.
␈β∧D␈↓ ↓H␈ε2An␈α
example.␈ε"␈α~The␈α
study␈α
of␈α
a␈α
reasonably␈α
t␈α␈ypical␈α
large␈α
factorization␈α
will␈α
help␈αto
␈β∧o␈↓ ↓H␈ε"|x␈α∞the␈α∂ideas␈α∞w␈α␈e␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈α∂discussed␈α∞so␈α∂far.␈α↔Let␈α∞us␈α∂try␈α∞to␈α∂|nd␈α∞the␈α∂prime␈α∞factors␈α∞of
␈β¬∀␈↓ ↓Z␈ε%214
␈β¬~␈↓ ↓H␈ε"2␈↓ α∪␈ε"+␈α
1,␈α⊂a␈α∂65-digit␈α∂n␈α␈um␈α␈ber.␈α~The␈α∂factorization␈α∂can␈α⊂be␈α∂initiated␈α∂with␈α∂a␈α∂bit␈α∂of
␈β¬F␈↓ ↓H␈ε"clairv␈α␈o␈α␈y␈α␈ance␈αif␈αw␈α␈e␈αn␈α↓otice␈αthat
␈βε↔␈↓ βb␈ε%21␈α↓4␈↓ ¬-␈ε%1␈α↓07␈↓ ε#␈ε%54␈↓ π3␈ε%107␈↓ λ(␈ε%54
␈βε∨␈↓ βP␈ε"2␈↓ ∧→␈ε"+␈αλ1␈α
=␈α
(␈↓ ¬≠␈ε"2␈↓ ¬e␈ε6␈␈↓ ε⊃␈ε"2␈↓ εK␈ε"+␈αλ1)(␈↓ π!␈ε"2␈↓ πj␈ε"+␈↓ λ⊗␈ε"2␈↓ λP␈ε"+␈αλ1);␈↓ 
p␈ε"(14)
␈βεx␈↓ ↓H␈ε"this␈αiden␈α␈tit␈α␈y␈αis␈αa␈αspecial␈αcase␈αof␈αsome␈αfactorizations␈αdisco␈α␈v␈α␈ered␈αby␈αA.␈↓ 
λ␈ε"Aurifeuille
␈βπ$␈↓ ↓H␈ε"in␈α⊃1873␈α∩[see␈↓ β≠␈ε"Dickson's␈ε/␈α∩History␈ε",␈ε2␈α∪1␈ε",␈α∪p.␈α∩383].␈α!The␈α∩problem␈α⊃n␈α↓o␈α␈w␈α∩boils␈α∩do␈α␈wn␈α⊃to
␈βπO␈↓ ↓H␈ε"examining␈αeach␈αof␈αthe␈α33-digit␈αfactors␈αin␈α(14).
␈βπu␈↓ π\␈ε%107␈↓ λT␈ε%54
␈βπ{␈↓ α␈ε"A␈α∞computer␈α∞program␈α∞readily␈α∞disco␈α␈v␈α␈ers␈α∞that␈↓ πJ␈ε"2␈↓ λ∀␈ε6␈␈↓ λB␈ε"2␈↓ λ⎇␈ε"+␈α	1␈α
=␈α∞5␈ε6␈α	↓␈ε"␈α	857␈ε6␈α
↓␈↓ 
|␈ε(n␈↓ "␈ε",
␈βλπ␈↓ ∩␈ε%0
␈βλ&␈↓ ↓H␈ε"where
␈βλT␈↓ ∧ε␈ε(n␈↓ ∧6␈ε"=␈α
37866809061660057264219253397␈↓ 
p␈ε"(15)
␈βλa␈↓ ∧≤␈ε%0
␈β	≤␈↓ ↓H␈ε"is␈α	a␈α
29-digit␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈α
ha␈α␈ving␈α
n␈α↓o␈α	prime␈α
factors␈α	less␈α
than␈α
1000.␈α∂A␈α	m␈α␈ultiple-precision
␈β	G␈↓ ↓H␈ε"calculation␈αusing␈αthe␈α\binary␈αmeth␈α↓od"␈αof␈αSection␈α4.6.3␈αsh␈α↓o␈α␈ws␈αthat
␈β
→␈↓ ¬6␈ε+n␈↓ ¬W␈ε9␈␈ε%1
␈β
 ␈↓ ¬$␈ε"3␈↓ ε␈ε"mod␈↓ εV␈ε(n␈↓ πε␈ε"=␈α
1,
␈β
"␈↓ ¬I␈ε'0
␈β
-␈↓ εk␈ε%0
␈β
z␈↓ ↓H␈ε"so␈αw␈α␈e␈α
suspect␈αthat␈↓ βw␈ε(n␈↓ ∧*␈ε"is␈αprime.␈α∩It␈αis␈α
certainly␈αout␈α
of␈αthe␈α
question␈αto␈α
pro␈α␈v␈α␈e␈αthat
␈βε␈↓ ∧␈ε%0
␈β%␈↓ ↓H␈ε(n␈↓ ↓}␈ε"is␈α⊃prime␈α⊂by␈α⊂trying␈α⊂the␈α⊃10␈α⊂million␈α⊂million␈α⊂or␈α⊂so␈α⊃poten␈α␈tial␈α⊂divisors,␈α⊃but␈α⊂the
␈β1␈↓ ↓]␈ε%0
␈βP␈↓ ↓H␈ε"meth␈α↓od␈α∞discussed␈α∂abo␈α␈v␈α␈e␈α∂giv␈α␈es␈α∞a␈α∂feasible␈α∞test␈α∂for␈α∂primalit␈α␈y:␈α⊃our␈α∂next␈α∞goal␈α∂is␈α∞to
␈β{␈↓ ↓H␈ε"factor␈↓ α0␈ε(n␈↓ α↑␈ε6␈␈ε"␈αλ1.␈α⊂With␈αlittle␈αdi}cult␈α␈y,␈αour␈αcomputer␈αwill␈αtell␈αus␈αthat
␈βλ␈↓ αE␈ε%0
␈βU␈↓ α
␈ε(n␈↓ α9␈ε6␈␈ε"␈αλ1␈α
=␈α
2␈ε6␈αλ↓␈ε"␈αλ2␈ε6␈αλ↓␈ε"␈αλ19␈ε6␈αλ↓␈ε"␈αλ107␈ε6␈αλ↓␈ε"␈αλ353␈ε6␈αλ↓␈↓ ¬e␈ε(n␈↓ ε␈ε",␈↓ εc␈ε(n␈↓ π∀␈ε"=␈α
13191270754108226049301.
␈βa␈↓ α ␈ε%0␈↓ ¬{␈ε%1␈↓ εy␈ε%1
␈β
(␈↓ α3␈ε+n␈↓ αT␈ε9␈␈ε%1
␈β
.␈↓ ↓H␈ε"Here␈↓ α!␈ε"3␈↓ βλ␈ε"mod␈↓ βR␈ε(n␈↓ ∧␈ε6≤␈ε"␈α∪1,␈α∩so␈↓ ¬#␈ε(n␈↓ ¬[␈ε"is␈α⊃n␈α↓ot␈α⊃prime;␈α∀by␈α⊃con␈α␈tin␈α␈uing␈α∩Algorithm␈α⊃A␈α⊃or
␈β
2␈↓ αF␈ε'1
␈β
;␈↓ βh␈ε%1␈↓ ¬8␈ε%1
␈β
Z␈↓ ↓H␈ε"Algorithm␈αB␈αw␈α␈e␈α|nd
␈β∞3␈↓ β;␈ε(n␈↓ βl␈ε"=␈α
91813␈ε6␈αλ↓␈↓ ¬∞␈ε(n␈↓ ¬4␈ε",␈↓ ε␈ε(n␈↓ ε=␈ε"=␈α
143675413657196977.
␈β∞?␈↓ βQ␈ε%1␈↓ ¬$␈ε%2␈↓ ε"␈ε%2
␈β∂ε␈↓ β∧␈ε+n␈↓ β%␈ε9␈␈ε%1
␈β∂␈↓ ↓H␈ε"This␈α∂time␈↓ αr␈ε"3␈↓ βZ␈ε"mod␈↓ ∧$␈ε(n␈↓ ∧Z␈ε"=␈α∂1,␈α⊂so␈α⊂w␈α␈e␈α∂will␈α∂try␈α⊂to␈α∂pro␈α␈v␈α␈e␈α∂that␈↓ 	␈ε(n␈↓ 	A␈ε"is␈α⊂prime.␈α→This
␈β∂⊂␈↓ β↔␈ε'2
␈β∂→␈↓ ∧9␈ε%2␈↓ 	!␈ε%2
␈β∂8␈↓ ↓H␈ε"requires␈α⊂the␈α⊂factorization␈↓ ∧j␈ε(n␈↓ ¬≤␈ε6␈␈ε"␈α1␈α⊃=␈α⊃2␈ε6␈α↓␈ε"␈α2␈ε6␈α
↓␈ε"␈α2␈ε6␈α↓␈ε"␈α2␈ε6␈α↓␈ε"␈α3␈ε6␈α
↓␈ε"␈α3␈ε6␈α↓␈ε"␈α547␈ε6␈α↓␈↓ 	#␈ε(n␈↓ 	I␈ε",␈α∩where␈↓ 
Q␈ε(n␈↓ λ␈ε"=
␈β∂D␈↓ ¬␈ε%2␈↓ 	8␈ε%3␈↓ 
g␈ε%3
␈β∂]␈↓ ∧F␈ε+n␈↓ ∧g␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈β∂c␈↓ ↓H␈ε"1824032775457.␈α↔Since␈↓ ∧4␈ε"3␈↓ ¬≠␈ε"mod␈↓ ¬e␈ε(n␈↓ ε~␈ε6≤␈ε"␈α∞1,␈α∂w␈α␈e␈α∂kn␈α↓o␈α␈w␈α∞that␈↓ λb␈ε(n␈↓ 	↔␈ε"is␈α∞composite,␈α∂and
␈β∂f␈↓ ∧X␈ε'3
␈β∂o␈↓ ¬{␈ε%3␈↓ λw␈ε%3
␈β⊂∞␈↓ ↓H␈ε"Algorithm␈α
A␈α∞|nds␈α
that␈↓ ∧D␈ε(n␈↓ ∧w␈ε"=␈α
1103␈ε6␈α	↓␈↓ ε␈ε(n␈↓ ε3␈ε",␈α∞where␈↓ π4␈ε(n␈↓ πg␈ε"=␈α
1653701519.␈α∃The␈α
n␈α␈um␈α␈ber
␈β⊂~␈↓ ∧Z␈ε%3␈↓ ε"␈ε%4␈↓ πJ␈ε%4
␈β⊂3␈↓ ¬(␈ε+n␈↓ ¬I␈ε9␈␈ε%1
␈β⊂9␈↓ ↓H␈ε(n␈↓ ↓z␈ε"beha␈α␈v␈α␈es␈αlik␈α␈e␈αa␈αprime␈α(i.e.,␈↓ ¬⊗␈ε"3␈↓ ¬}␈ε"mod␈↓ εH␈ε(n␈↓ εx␈ε"=␈α
1),␈αso␈αw␈α␈e␈αcalculate
␈β⊂=␈↓ ¬;␈ε'4
␈β⊂F␈↓ ↓]␈ε%4␈↓ ε]␈ε%4
␈β⊃∪␈↓ ∧-␈ε(n␈↓ ∧[␈ε6␈␈ε"␈αλ1␈α
=␈α
2␈ε6␈αλ↓␈ε"␈αλ7␈ε6␈αλ↓␈ε"␈αλ19␈ε6␈αλ↓␈ε"␈αλ23␈ε6␈αλ↓␈ε"␈αλ137␈ε6␈αλ↓␈ε"␈αλ1973.
␈β⊃∨␈↓ ∧C␈ε%4
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.4␈↓ 
v␈ε"377
␈β↓\␈↓ π≡␈ε∞F␈α|ACTORING␈αINTO␈α
P␈α␈RIM␈α↓ES
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"Go␈α↓od;␈α∂this␈α∞is␈α∞our␈α∞|rst␈α∞complete␈α∞factorization.␈α⊗W␈α⎇e␈α∞are␈α∞n␈α↓o␈α␈w␈α∞ready␈α∞to␈α∞backtrack
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"to␈α⊃the␈α∩previous␈α⊃subproblem,␈α∪pro␈α␈ving␈α∩that␈↓ ε␈␈ε(n␈↓ π7␈ε"is␈α∩prime.␈α Using␈α∩the␈α⊃procedure
␈βα\␈↓ π∃␈ε%4
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"suggested␈αby␈αexercise␈α10,␈αw␈α␈e␈αcompute␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αv␈α}alues:
␈ββD␈↓ ¬,␈ε%(␈↓ ¬7␈ε+n␈↓ ¬X␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈α↓)/␈ε+p␈↓ λα␈ε+n␈↓ λ#␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈ββJ␈↓ β,␈ε(x␈↓ ∧>␈ε(p␈↓ ¬_␈ε(x␈↓ ε5␈ε"mod␈↓ ε␈␈ε(n␈↓ πn␈ε(x␈↓ λW␈ε"mod␈↓ 	!␈ε(n
␈ββN␈↓ ¬I␈ε'4␈↓ λ∀␈ε'4
␈ββW␈↓ π∃␈ε%4␈↓ 	7␈ε%4
␈β∧␈↓ β-␈ε"2␈↓ ∧>␈ε"2␈↓ ε⊗␈ε"1␈↓ λF␈ε"(1)
␈β∧,␈↓ β-␈ε"2␈↓ ∧>␈ε"7␈↓ ¬N␈ε"766408626␈↓ λF␈ε"(1)
␈β∧W␈↓ β-␈ε"2␈↓ ∧,␈ε"19␈↓ ¬N␈ε"332952683␈↓ λF␈ε"(1)
␈β¬α␈↓ β-␈ε"2␈↓ ∧,␈ε"23␈↓ ¬E␈ε"1154237810␈↓ λF␈ε"(1)
␈β¬␈↓ 
p␈ε"(16)
␈β¬-␈↓ β-␈ε"2␈↓ ∧~␈ε"137␈↓ ¬N␈ε"373782186␈↓ λF␈ε"(1)
␈β¬X␈↓ β-␈ε"2␈↓ ∧λ␈ε"1973␈↓ ¬N␈ε"490790919␈↓ λF␈ε"(1)
␈βε∧␈↓ β-␈ε"3␈↓ ∧>␈ε"2␈↓ ε⊗␈ε"1␈↓ λF␈ε"(1)
␈βε/␈↓ β-␈ε"5␈↓ ∧>␈ε"2␈↓ ε⊗␈ε"1␈↓ λF␈ε"(1)
␈βεZ␈↓ β-␈ε"7␈↓ ∧>␈ε"2␈↓ ¬E␈ε"1653701518␈↓ λR␈ε"1
␈βπ≡␈↓ ↓H␈ε"(Here␈α
\(1)"␈α	means␈α
a␈α
result␈α
of␈α
1␈α
that␈α
needn't␈α
be␈α
computed␈α
since␈α
it␈α
can␈α
be␈α	deduced
␈βπI␈↓ ↓H␈ε"from␈αprevious␈αcalculations.)␈α⊃Th␈α␈us␈↓ ¬h␈ε(n␈↓ ε~␈ε"is␈α
prime,␈αand␈↓ πu␈ε(n␈↓ λ$␈ε6␈␈ε"␈αλ1␈α
has␈αbeen␈αcompletely
␈βπU␈↓ ¬⎇␈ε%4␈↓ λ␈ε%2
␈βπt␈↓ ↓H␈ε"factored.␈α⊗A␈α∞similar␈α∞calculation␈α∞sh␈α↓o␈α␈ws␈α∂that␈↓ ε{␈ε(n␈↓ π/␈ε"is␈α∞prime,␈α∂and␈α∞this␈α∞complete␈α∞fac-
␈βλ↓␈↓ π⊂␈ε%2
␈βλ∨␈↓ ↓H␈ε"torization␈α
of␈↓ β_␈ε(n␈↓ βH␈ε6␈␈ε"␈α	1␈α
|nally␈α∞sh␈α↓o␈α␈ws␈α
[a$er␈α
still␈α∞an␈α↓other␈α
calculation␈α∞lik␈α␈e␈α
(16)]␈α
that
␈βλ,␈↓ β.␈ε%0
␈βλK␈↓ ↓H␈ε(n␈↓ ↓z␈ε"is␈αprime.
␈βλW␈↓ ↓]␈ε%0
␈βλv␈↓ α␈ε"The␈αlast␈α
three␈αlines␈αof␈α
(16)␈αrepresen␈α␈t␈αa␈α
search␈αfor␈αan␈αin␈α␈teger␈ε(␈α
x␈ε"␈αthat␈αsatis|es
␈β	≠␈↓ ↓\␈ε%(␈↓ ↓f␈ε+n␈↓ απ␈ε9␈␈ε%1)/␈α↓2␈↓ β*␈ε+n␈↓ βK␈ε9␈␈ε%1
␈β	!␈↓ ↓H␈ε(x␈↓ αh␈ε6@⊃␈↓ β⊗␈ε(x␈↓ ∧∧␈ε6⊃␈ε"␈α
1␈α
(modulo␈↓ ¬Z␈ε(n␈↓ ε␈ε").␈α∂If␈↓ εE␈ε(n␈↓ εt␈ε"is␈αλprime,␈α	w␈α␈e␈αλha␈α␈v␈α␈e␈αλonly␈αλa␈αλ50-50␈αλchance
␈β	%␈↓ ↓y␈ε'4␈↓ β=␈ε'4
␈β	-␈↓ ¬p␈ε%4␈↓ ε[␈ε%4
␈β	L␈↓ ↓H␈ε"of␈α∞success,␈α∂so␈α∂the␈α∞case␈ε(␈α∂p␈ε"␈α∞=␈α∞2␈α∂is␈α∂t␈α␈ypically␈α∞the␈α∂hardest␈α∞one␈α∂to␈α∞v␈α␈erify.␈α_W␈α⎇e␈α∞could
␈β	w␈↓ ↓H␈ε"streamline␈αthis␈αpart␈α
of␈αthe␈α
calculation␈αby␈αusing␈α
the␈αla␈α␈w␈α
of␈↓ λf␈ε"quadratic␈αreciprocit␈α␈y
␈β
≥␈↓ λ→␈ε%(␈↓ λ$␈ε+q␈↓ λ4␈ε9␈␈ε%␈α␈1)␈α↓/2
␈β
#␈↓ ↓H␈ε"(cf.␈α∪exercise␈α∩23),␈α∃which␈α∪tells␈α∪us␈α∪for␈α∪example␈α∩that␈↓ λπ␈ε"5␈↓ 	 ␈ε6⊃␈ε"␈α⊗1␈α∃(modulo␈↓ 
␈ε(q␈↓  ␈ε")
␈β
N␈↓ ↓H␈ε"whenev␈α␈er␈↓ αd␈ε(q␈↓ βα␈ε"is␈αa␈α
prime␈αcongruen␈α␈t␈α
to␈ε6␈αε␈ε"1␈α
(modulo␈α5).␈α⊂Merely␈α
calculating␈↓ 
$␈ε(n␈↓ 
P␈ε"mod␈↓ ~␈ε"5
␈β
Z␈↓ 
:␈ε%4
␈β
y␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈ould␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈α∂told␈α∞us␈α∞righ␈α␈t␈α∂a␈α␈w␈α␈a␈α␈y␈α∞that␈ε(␈α∂x␈ε"␈α∞=␈α∞5␈α∞could␈α∂n␈α↓ot␈α∞possibly␈α∂help␈α∞in␈α∞sh␈α↓o␈α␈wing
␈β$␈↓ ↓H␈ε"that␈↓ α∃␈ε(n␈↓ αF␈ε"is␈αprime.␈α⊂In␈αfact,␈αh␈α↓o␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈αthe␈αresult␈αof␈αexercise␈α26␈αimplies␈αthat␈αthe␈α
case
␈β1␈↓ α*␈ε%4
␈βO␈↓ ↓H␈ε(p␈ε"␈α=␈α
2␈α
doesn't␈α
really␈α∞need␈α
to␈α∞be␈α
considered␈α∞at␈α
all␈α∞when␈α
testing␈ε(␈α∞n␈ε"␈α
for␈α
primalit␈α␈y,
␈β{␈↓ ↓H␈ε"unless␈ε(␈αn␈ε6␈α	␈␈ε"␈αλ1␈α
is␈αdivisible␈α
by␈α
a␈αhigh␈α
po␈α␈w␈α␈er␈α
of␈α2,␈α
so␈α
w␈α␈e␈αcould␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
dispensed␈αwith
␈β&␈↓ ↓H␈ε"the␈αlast␈αthree␈αlines␈αof␈α(16)␈αen␈α␈tirely.
␈βQ␈↓ α␈ε"The␈αnext␈αquan␈α␈tit␈α␈y␈αto␈αbe␈αfactored␈αis␈αthe␈αother␈αhalf␈αof␈α(14),␈αnamely
␈β
~␈↓ ε␈ε%107␈↓ εu␈ε%54
␈β
"␈↓ ¬∂␈ε(n␈↓ ¬@␈ε"=␈↓ ¬n␈ε"2␈↓ ε7␈ε"+␈↓ εc␈ε"2␈↓ π≥␈ε"+␈αλ1.
␈β
.␈↓ ¬%␈ε%5
␈β
l␈↓ α>␈ε+n␈↓ α←␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈β
r␈↓ ↓H␈ε"Since␈↓ α,␈ε"3␈↓ β∪␈ε"mod␈↓ β]␈ε(n␈↓ ∧_␈ε6≤␈ε"␈α∀1,␈α∀w␈α␈e␈α∩kn␈α↓o␈α␈w␈α∩that␈↓ εu␈ε(n␈↓ π.␈ε"is␈α∩n␈α↓ot␈α∩prime,␈α∪and␈α∩Algorithm␈α∩B
␈β
v␈↓ αP␈ε'5
␈β
}␈↓ βs␈ε%5␈↓ π␈ε%5
␈β∞≥␈↓ ↓H␈ε"sh␈α↓o␈α␈ws␈α∪that␈↓ β␈ε(n␈↓ βH␈ε"=␈α⊗843589␈ε6␈α
↓␈↓ ¬∩␈ε(n␈↓ ¬8␈ε",␈α∃where␈↓ εF␈ε(n␈↓ πβ␈ε"=␈α∃192343993140277293096491917.
␈β∞*␈↓ β"␈ε%5␈↓ ¬'␈ε%6␈↓ ε\␈ε%6
␈β∞B␈↓ βK␈ε+n␈↓ βl␈ε9␈␈ε%1
␈β∞H␈↓ ↓H␈ε"Unfortunately,␈↓ β9␈ε"3␈↓ ∧!␈ε"mod␈↓ ∧k␈ε(n␈↓ ¬≠␈ε6≤␈ε"␈α
1,␈α
so␈α
w␈α␈e␈α
are␈α
le$␈α
with␈α
a␈α
27-digit␈α
n␈α↓onprime.␈α∂Con-
␈β∞L␈↓ β↑␈ε'6
␈β∞U␈↓ ¬␈ε%6
␈β∞t␈↓ ↓H␈ε"tin␈α␈uing␈αAlgorithm␈α
B␈αmigh␈α␈t␈α
w␈α␈ell␈αexhaust␈α
our␈αpatience␈α(n␈α↓ot␈α
our␈αbudget←n␈α↓obody
␈β∂∨␈↓ ↓H␈ε"is␈α
pa␈α␈ying␈αfor␈αthis,␈αw␈α␈e're␈α
using␈αidle␈αtime␈α
on␈αa␈αw␈α␈eek␈α␈end␈α
rather␈αthan␈α\prime␈α
time").
␈β∂J␈↓ ↓H␈ε"But␈α	the␈α
siev␈α␈e␈α
meth␈α↓od␈α	of␈α
Algorithm␈α	D␈α
will␈α
be␈α	able␈α
to␈α
crack␈↓ λP␈ε(n␈↓ 	↓␈ε"in␈α␈to␈α	its␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α	factors,
␈β∂V␈↓ λf␈ε%6
␈β⊂≠␈↓ ∧ε␈ε(n␈↓ ∧6␈ε"=␈α
8174912477117␈ε6␈αλ↓␈ε"␈αλ23528569104401.
␈β⊂'␈↓ ∧≤␈ε%6
␈β⊂k␈↓ ↓H␈ε"This␈α	result␈α	could␈ε/␈α	n␈α↓ot␈ε"␈α	ha␈α␈v␈α␈e␈α	been␈α	disco␈α␈v␈α␈ered␈α
by␈α	Algorithm␈α	A␈α	in␈α	a␈α	reasonable␈α	length
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε"of␈α
time.␈α∃(A␈αfew␈αmillion␈αiterations␈αof␈α
Algorithm␈αB␈αw␈α␈ould␈αprobably␈αha␈α␈v␈α␈e␈α
su}ced.)
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"378␈↓ 
b␈ε"4.5.4
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα≡␈↓ εG␈ε%214
␈βα$␈↓ α␈ε"No␈α␈w␈αthe␈αcomputation␈αis␈αcomplete:␈↓ ε5␈ε"2␈↓ ε}␈ε"+␈αλ1␈αhas␈αthe␈αprime␈αfactorization
␈βαu␈↓ β∀␈ε"5␈ε6␈αλ↓␈ε"␈αλ857␈ε6␈αλ↓␈ε"␈αλ843589␈ε6␈αλ↓␈ε"␈αλ8174912477117␈ε6␈αλ↓␈ε"␈αλ23528569104401␈ε6␈αλ↓␈↓ 	0␈ε(n␈↓ 	V␈ε",
␈ββ↓␈↓ 	F␈ε%0
␈ββE␈↓ ↓H␈ε"where␈↓ α.␈ε(n␈↓ α←␈ε"is␈α
the␈α29-digit␈α
prime␈α
in␈α(15).␈α∂A␈αcertain␈α
am␈α↓oun␈α␈t␈α
of␈αgo␈α↓od␈α
fortune␈α
en␈α␈tered
␈ββQ␈↓ αD␈ε%0
␈ββp␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈to␈α∞these␈α∞calculations,␈α∞for␈α∞if␈α∞w␈α␈e␈α∞had␈α∞n␈α↓ot␈α∞started␈α∞with␈α∞the␈α
kn␈α↓o␈α␈wn␈α∞factorization
␈β∧≠␈↓ ↓H␈ε"(14)␈α⊂it␈α⊃is␈α⊃quite␈α⊃probable␈α⊃that␈α⊃w␈α␈e␈α⊃w␈α␈ould␈α⊂|rst␈α⊃ha␈α␈v␈α␈e␈α⊃cast␈α⊃out␈α⊃the␈α⊃small␈α⊂factors,
␈β∧G␈↓ ↓H␈ε"reducing␈ε(␈αn␈ε"␈αto␈↓ β(␈ε(n␈↓ βN␈ε(n␈↓ βu␈ε".␈α⊂This␈α55-digit␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈αw␈α␈ould␈αha␈α␈v␈α␈e␈αbeen␈αm␈α␈uch␈αm␈α↓ore␈αdi}cult
␈β∧S␈↓ β>␈ε%6␈↓ βd␈ε%0
␈β∧r␈↓ ↓H␈ε"to␈α
factor←Algorithm␈α
D␈α
w␈α␈ould␈α∞be␈α
useless␈α
and␈α
Algorithm␈α∞B␈α
w␈α␈ould␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
to␈α
w␈α␈ork
␈β¬≥␈↓ ↓H␈ε"o␈α␈v␈α␈ertime␈αbecause␈αof␈αthe␈αhigh␈αprecision␈αnecessary.
␈β¬H␈↓ α␈ε"Dozens␈α∂of␈α∞further␈α∂n␈α␈umerical␈α∂examples␈α∂can␈α∞be␈α∂found␈α∂in␈α∞an␈α∂article␈α∂by␈α∞John
␈β¬s␈↓ ↓H␈ε"Brillhart␈αand␈αJ.␈αL.␈↓ βv␈ε"Selfridge,␈ε/␈αMath.␈αComp.␈ε2␈α21␈ε"␈α(1967),␈α87↑96.
␈βε2␈↓ ↓H␈ε2Impro␈α␈v␈α␈ed␈αprimalit␈α␈y␈α
tests.␈ε"␈α⊗Since␈αthe␈α
abo␈α␈v␈α␈e␈αprocedure␈αfor␈αpro␈α␈ving␈αthat␈ε(␈αn␈ε"␈αis␈α
prime
␈βε]␈↓ ↓H␈ε"requires␈α∪the␈α∪complete␈α∪factorization␈α∪of␈ε(␈α∪n␈ε6␈α
␈␈ε"␈α1,␈α∃it␈α∪will␈α∪bog␈α∪do␈α␈wn␈α∀for␈α∪large␈ε(␈α∪n␈ε"␈α␈.
␈βπλ␈↓ ↓H␈ε"An␈α↓other␈αtechnique,␈αwhich␈αuses␈α
the␈αfactorization␈αof␈ε(␈αn␈ε"␈αε+␈αε1␈αinstead,␈αis␈αdescribed␈α
in
␈βπ3␈↓ ↓H␈ε"exercise␈α15;␈αif␈ε(␈αn␈ε6␈απ␈␈ε"␈αλ1␈αturns␈αout␈αto␈αbe␈αto␈α↓o␈αhard,␈ε(␈αn␈ε"␈αλ+␈αλ1␈αmigh␈α␈t␈αbe␈αeasier.
␈βπ↑␈↓ α␈ε"Signi|can␈α␈t␈αλimpro␈α␈v␈α␈emen␈α␈ts␈α	are␈αλa␈α␈v␈α}ailable␈α	for␈αλdealing␈α	with␈αλlarge␈ε(␈αλn␈ε".␈α∂F␈α⎇or␈αλexample,
␈βλ
␈↓ ↓H␈ε"it␈αis␈αn␈α↓ot␈αdi}cult␈αto␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αa␈αstronger␈αcon␈α␈v␈α␈erse␈αof␈αF␈α⎇ermat's␈αtheorem␈αthat␈αrequires
␈βλ5␈↓ ↓H␈ε"only␈α⊂a␈α⊂partial␈α⊃factorization␈α⊂of␈ε(␈α⊂n␈ε6␈α␈␈ε"␈α1.␈α≥Exercise␈α⊂26␈α⊂sh␈α↓o␈α␈ws␈α⊃that␈α⊂w␈α␈e␈α⊂could␈α⊂ha␈α␈v␈α␈e
␈βλZ␈↓ 	6␈ε+n␈↓ 	W␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈βλ`␈↓ ↓H␈ε"a␈α␈v␈α␈oided␈α
m␈α↓ost␈α∞of␈α∞the␈α
calculations␈α∞in␈α∞(16);␈α∞the␈α∞three␈α∞conditions␈↓ 	$␈ε"2␈↓ 
␈ε"mod␈↓ 
U␈ε(n␈↓ λ␈ε"=
␈βλd␈↓ 	H␈ε'4
␈βλl␈↓ 
k␈ε%4
␈β	¬␈↓ α≤␈ε%(␈↓ α&␈ε+n␈↓ αG␈ε9␈␈ε%1)/␈α↓23␈↓ ¬@␈ε%(␈↓ ¬J␈ε+n␈↓ ¬k␈ε9␈␈ε%1)␈α↓/1973
␈β	␈↓ ↓H␈ε"gcd␈↓ ↓}␈ε"(␈↓ α
␈ε"2␈↓ β4␈ε6␈␈ε"␈απ1,␈↓ ∧↓␈ε(n␈↓ ∧(␈ε")␈α
=␈↓ ∧l␈ε"gcd␈↓ ¬"␈ε"(␈↓ ¬.␈ε"2␈↓ εw␈ε6␈␈ε"␈απ1,␈↓ πD␈ε(n␈↓ πk␈ε")␈α
=␈α
1␈αare␈αsu}cien␈α␈t␈αby␈αthem-
␈β	∂␈↓ α9␈ε'4␈↓ ¬]␈ε'4
␈β	_␈↓ ∧↔␈ε%4␈↓ πZ␈ε%4
␈β	6␈↓ ↓H␈ε"selv␈α␈es␈α∞to␈α∞pro␈α␈v␈α␈e␈α
that␈↓ ∧∞␈ε(n␈↓ ∧C␈ε"is␈α∞prime.␈↓ ¬c␈ε"Brillhart,␈↓ π↓␈ε"Lehmer,␈α∂and␈↓ λZ␈ε"Selfridge␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈α
in␈α∞fact
␈β	C␈↓ ∧$␈ε%4
␈β	b␈↓ ↓H␈ε"dev␈α␈eloped␈αa␈α
meth␈α↓od␈α
that␈α
w␈α␈orks␈α
when␈α
the␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈ε(␈αn␈ε6␈α	␈␈ε"␈αλ1␈α
and␈ε(␈α
n␈ε"␈αλ+␈α	1␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈αbeen
␈β

␈↓ ↓H␈ε"only␈α
partially␈αfactored␈α[␈ε/Math.␈α
Comp.␈ε2␈α29␈ε"␈α(1975),␈α620↑647,␈α
Corollary␈α11]:␈αSuppose
␈β
8␈↓ ↓H␈ε(n␈ε6␈απ␈␈ε"␈απ1␈α
=␈↓ αZ␈ε(f␈↓ αo␈ε;␈␈↓ β	␈ε(r␈↓ β~␈ε;␈␈↓ β@␈ε"and␈ε(␈αn␈ε"␈απ+␈αλ1␈α
=␈↓ ¬_␈ε(f␈↓ ¬-␈ε'+␈↓ ¬G␈ε(r␈↓ ¬W␈ε'+␈↓ ¬r␈ε",␈αwhere␈αw␈α␈e␈αkn␈α↓o␈α␈w␈αthe␈αcomplete␈αfactorizations
␈β
c␈↓ ↓H␈ε"of␈↓ ↓s␈ε(f␈↓ αλ␈ε;␈␈↓ α/␈ε"and␈↓ αv␈ε(f␈↓ β␈ε'+␈↓ β%␈ε",␈α∞and␈αw␈α␈e␈α
also␈α
kn␈α↓o␈α␈w␈α
that␈α
all␈α
factors␈α
of␈↓ λπ␈ε(r␈↓ λ↔␈ε;␈␈↓ λ?␈ε"and␈↓ 	¬␈ε(r␈↓ 	⊗␈ε'+␈↓ 	=␈ε"are␈ε6␈α
∃␈ε(␈αb␈ε"␈α↓.␈α∪If␈αthe
␈β
p␈↓ αL␈ε↓␈␈↓ ¬*␈ε↓↓
␈βλ␈↓ αi␈ε%3
␈β∞␈↓ ↓H␈ε"product␈↓ αZ␈ε(b␈↓ αz␈ε(f␈↓ β∂␈ε;␈␈↓ β)␈ε(f␈↓ β?␈ε'+␈↓ β←␈ε"ma␈↓ ∧∂␈ε"x␈↓ ∧#␈ε"(␈↓ ∧/␈ε(f␈↓ ∧D␈ε;␈␈↓ ∧←␈ε",␈↓ ∧o␈ε(f␈↓ ¬∧␈ε'+␈↓ ¬≡␈ε")␈↓ ¬B␈ε"is␈αgreater␈α
than␈α
2␈ε(n␈ε",␈α
a␈αsmall␈α
am␈α↓oun␈α␈t␈α
of␈α
additional
␈β:␈↓ ↓H␈ε"computation,␈αdescribed␈α
in␈αtheir␈α
paper,␈αwill␈αdetermine␈αwhether␈α
or␈αn␈α↓ot␈ε(␈α
n␈ε"␈αis␈α
prime.
␈βe␈↓ ↓H␈ε"Therefore␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αof␈αup␈αto␈α35␈αdigits␈αcan␈α
usually␈αbe␈αtested␈αfor␈αprimalit␈α␈y␈αin␈α2␈αor
␈β⊂␈↓ ↓H␈ε"3␈αseconds,␈αsimply␈αby␈αcasting␈αout␈α
all␈αprime␈αfactors␈α<␈α
30030␈αfrom␈ε(␈αn␈ε6␈αεε␈ε"␈αε1␈α[see␈αJ.␈α
L.
␈β;␈↓ ↓H␈ε"Selfridge␈α
and␈α
M.␈α∞C.␈↓ ∧
␈ε"W␈α⎇underlich,␈ε/␈α∞Proc.␈α∀F␈α⎇ourth␈α∞Manitoba␈α
Conf.␈α∀Numer.␈α∀Math.
␈β`␈↓ 
λ␈ε%2
␈βf␈↓ ↓H␈ε"(1974),␈α∞109↑120].␈α∃The␈α
partial␈α∞factorization␈α
of␈α∞other␈α∞quan␈α␈tities␈α
lik␈α␈e␈↓ 	r␈ε(n␈↓ 
!␈ε6ε␈ε(␈α
n␈ε"␈αλ+␈α	1
␈β
␈↓ α#␈ε%2
␈β
∩␈↓ ↓H␈ε"and␈↓ α
␈ε(n␈↓ α;␈ε"+␈αε1␈αcan␈αbe␈αused␈αto␈αimpro␈α␈v␈α␈e␈αthis␈αmeth␈α↓od␈↓ πA␈ε"still␈αfurther␈α[see␈αH.␈αC.␈↓ 
"␈ε"Williams
␈β
=␈↓ ↓H␈ε"and␈αJ.␈αS.␈↓ α`␈ε"Judd,␈ε/␈αMath.␈αComp.␈ε2␈α30␈ε"␈α(1976),␈α157↑172,␈α867↑886].
␈β
b␈↓ λN␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1
␈β
h␈↓ α␈ε"In␈αpractice,␈αwhen␈ε(␈αn␈ε"␈αhas␈αn␈α↓o␈αsmall␈αprime␈αfactors␈αand␈↓ λ<␈ε"3␈↓ 	∃␈ε"mod␈↓ 	←␈ε(n␈ε"␈α
=␈α
1,␈αit␈αhas
␈β
u␈↓ πλ␈ε↓␈
␈β∞∪␈↓ ↓H␈ε"alm␈α↓ost␈α∞alw␈α␈a␈α␈ys␈α∞turned␈α∞out␈α∞that␈ε(␈α∞n␈ε"␈α∞is␈α∞prime.␈↓ π⊗␈ε"One␈α∞of␈α∞the␈α∞rare␈α∞exceptions␈α∞in␈α∞the
␈β∞ ␈↓ λE␈ε↓↓
␈β∞8␈↓ ¬A␈ε%28
␈β∞:␈↓ ¬⊂␈ε%1
␈β∞>␈↓ ↓H␈ε"auth␈α↓or's␈α∂experience␈α∂is␈ε(␈α⊂n␈ε"␈α∂=␈↓ ¬#␈ε"(␈↓ ¬/␈ε"2␈↓ ¬k␈ε6␈␈ε"␈α
9)␈α⊂=␈α⊂2341␈ε6␈α
↓␈ε"␈α
16381.␈↓ λr␈ε"On␈α⊂the␈α∂other␈α∂hand,
␈β∞O␈↓ ¬⊂␈ε%7
␈β∞S␈↓ ¬⊂␈∧∞S¬⊂α⊂
␈β∞j␈↓ ↓H␈ε"some␈α
n␈α↓onprime␈α
v␈α}alues␈αof␈ε(␈α
n␈ε"␈α
are␈α
de|nitely␈α
bad␈αnews␈α
for␈α
the␈αprimalit␈α␈y␈α
test␈α
w␈α␈e␈α
ha␈α␈v␈α␈e
␈β∂∂␈↓ εv␈ε+n␈ε9␈␈ε%1
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε"discussed,␈α⊃because␈α⊂it␈α⊂migh␈α␈t␈α⊂happen␈α⊂that␈↓ εb␈ε(x␈↓ π=␈ε"mod␈↓ λπ␈ε(n␈ε"␈α⊃=␈α⊃1␈α⊂for␈α⊂all␈ε(␈α⊂x␈ε"␈α⊂relativ␈α␈ely
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"prime␈α∂to␈ε(␈α∂n␈ε"␈α∂(see␈α∂exercise␈α∂9).␈α→One␈α∂such␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber␈α∂is␈ε(␈α∂n␈ε"␈α∂=␈α∂3␈ε6␈α
↓␈ε"␈α
11␈ε6␈α
↓␈ε"␈α
17␈α⊂=␈α∂561;␈α⊂here
␈β∂e␈↓ 	U␈ε%80
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε(∃␈ε"(␈ε(n␈ε"␈α␈)␈α∞=␈↓ αI␈ε"lcm␈↓ β↓␈ε"(2,␈αε10,␈αε16)␈α
=␈α∞80␈α∞in␈α∞the␈α∞n␈α↓otation␈α∞of␈α∞Eq.␈α∞3.2.1.2↑9,␈α∞so␈↓ 	A␈ε(x␈↓ 	{␈ε"mod␈↓ 
E␈ε"561␈α
=
␈β⊂⊂␈↓ α+␈ε%560
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"1␈α=␈↓ α↔␈ε(x␈↓ α`␈ε"mod␈↓ β*␈ε"561␈α∞whenev␈α␈er␈ε(␈α
x␈ε"␈α∞is␈α
relativ␈α␈ely␈α∞prime␈α
to␈α∞561.␈α∀Our␈α∞procedure␈α
w␈α␈ould
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"repeatedly␈α∞fail␈α∞to␈α∂sh␈α↓o␈α␈w␈α∞that␈α∞such␈α∂an␈ε(␈α∞n␈ε"␈α∞is␈α∞prime,␈α∂un␈α␈til␈α∞w␈α␈e␈α∂had␈α∞stum␈α␈bled␈α∞across
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"one␈α
of␈α
its␈α
divisors.␈α∀T␈α⎇o␈α∞impro␈α␈v␈α␈e␈α
the␈α
meth␈α↓od,␈α∞w␈α␈e␈α
need␈α
a␈α∞quick␈α
w␈α␈a␈α␈y␈α
to␈α
determine
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"the␈αn␈α↓onprimalit␈α␈y␈αof␈αn␈α↓onprime␈ε(␈αn␈ε"␈α␈,␈αev␈α␈en␈αin␈αsuch␈αpath␈α↓ological␈αcases.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.4␈↓ 
v␈ε"379
␈β↓\␈↓ π≡␈ε∞F␈α|ACTORING␈αINTO␈α
P␈α␈RIM␈α↓ES
␈βα$␈↓ α␈ε"The␈α
follo␈α␈wing␈α
surprisingly␈α	simple␈α
procedure␈α
is␈α
guaran␈α␈teed␈α	to␈α
do␈α
the␈α
job␈α	with
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"high␈αprobabilit␈α␈y:
␈ββ∞␈↓ ↓H␈ε2Algorithm␈αλP␈ε"␈α	(␈ε/Probabilistic␈αλprimalit␈α␈y␈α	test␈↓ ε>␈ε")␈ε2.␈ε"␈αGiv␈α␈en␈α	an␈αλodd␈α	in␈α␈teger␈ε(␈αλn␈ε",␈α	this␈αλalgorithm
␈ββ9␈↓ ↓H␈ε"attempts␈α∩to␈α∩decide␈α∩whether␈α∪or␈α∩n␈α↓ot␈ε(␈α∩n␈ε"␈α∩is␈α∩prime.␈α#By␈α∩repeating␈↓ 	P␈ε"the␈α∩algorithm
␈ββe␈↓ ↓H␈ε"sev␈α␈eral␈α
times,␈α
as␈α∞explained␈α
in␈α
the␈α
remarks␈α∞belo␈α␈w,␈α
it␈α
is␈α∞possible␈α
to␈α
be␈α
extremely
␈β∧⊂␈↓ ↓H␈ε"con|den␈α␈t␈αabout␈αthe␈αprimalit␈α␈y␈αof␈ε(␈αn␈ε",␈αin␈αa␈αprecise␈αsense,␈αy␈α␈et␈αthe␈αprimalit␈α␈y␈αwill␈αn␈α↓ot
␈β∧5␈↓ ε	␈ε+k
␈β∧;␈↓ ↓H␈ε"be␈αrigorously␈αpro␈α␈v␈α␈ed.␈α⊂Let␈ε(␈αn␈ε"␈α	=␈α
1␈αλ+␈↓ ¬w␈ε"2␈↓ ε≤␈ε(q␈↓ ε/␈ε",␈αwhere␈↓ π-␈ε(q␈↓ πL␈ε"is␈αodd.
␈β∧p␈↓ ↓L␈ε2P1.␈↓ α	␈ε"[Generate␈ε(␈αx␈ε".]␈α→Let␈ε(␈αx␈ε"␈αbe␈αa␈αrandom␈αin␈α␈teger␈αin␈αthe␈αrange␈α1␈α
<␈ε(␈α
x␈ε"␈α
<␈ε(␈α
n␈ε".
␈β¬∨␈↓ εS␈ε+q
␈β¬%␈↓ ↓L␈ε2P2.␈↓ α	␈ε"[Exponen␈α␈tiate.]␈α∃Set␈↓ ∧I␈ε(j␈↓ ∧d␈ε6␈ ␈ε"␈α
0␈αand␈↓ ¬t␈ε(y␈↓ ε⊃␈ε6␈ ␈↓ ε?␈ε(x␈↓ εj␈ε"mod␈↓ π4␈ε(n␈ε".␈α∃(As␈α
in␈αour␈αprevious␈α
primalit␈α␈y
␈β¬J␈↓ αp␈ε+q
␈β¬P␈↓ α␈ε"test,␈↓ α\␈ε(x␈↓ βλ␈ε"mod␈↓ βR␈ε(n␈ε"␈αsh␈α↓ould␈αbe␈αcalculated␈αin␈↓ εj␈ε(O␈↓ ππ␈ε"(␈↓ π∪␈ε"log␈↓ πG␈ε(q␈↓ πZ␈ε")␈αsteps,␈αcf.␈αSection␈α4.6.3.)
␈βε␈↓ ∧v␈ε-j
␈βε¬␈↓ ∧g␈ε%2␈↓ ¬β␈ε+q
␈βε␈↓ ↓L␈ε2P3.␈↓ α	␈ε"[Done?]␈α∨(No␈α␈w␈↓ β⎇␈ε(y␈↓ ∧∨␈ε"=␈↓ ∧S␈ε(x␈↓ ¬~␈ε"mod␈↓ ¬d␈ε(n␈ε".)␈α∨If␈↓ εW␈ε(j␈↓ εw␈ε"=␈α⊂0␈α∂and␈↓ λ∃␈ε(y␈↓ λ8␈ε"=␈α∂1,␈α⊃or␈α∂if␈↓ 	l␈ε(y␈↓ 
∂␈ε"=␈ε(␈α∂n␈ε6␈α
␈␈ε"␈α
1,
␈βε6␈↓ α␈ε"terminate␈α
the␈α
algorithm␈α
and␈α
sa␈α␈y␈α
\␈ε(n␈ε"␈α
is␈α
probably␈α
prime."␈α∂If␈↓ 	≤␈ε(j␈↓ 	7␈ε">␈α
0␈αand␈↓ 
F␈ε(y␈↓ 
b␈ε"=␈α
1,
␈βεb␈↓ α␈ε"go␈αto␈αstep␈αP5.
␈βπ⊃␈↓ λ␈ε%2
␈βπ↔␈↓ ↓L␈ε2P4.␈↓ α	␈ε"[Increase␈↓ β≥␈ε(j␈↓ β.␈ε".]␈α_Increase␈↓ ∧d␈ε(j␈↓ ¬␈ε"by␈α1.␈α⊂If␈↓ εβ␈ε(j␈↓ ε≡␈ε"<␈↓ εL␈ε(k␈↓ ε`␈ε",␈αset␈↓ π-␈ε(y␈↓ πJ␈ε6␈ ␈↓ πx␈ε(y␈↓ λ"␈ε"mod␈↓ λl␈ε(n␈ε"␈αand␈αreturn␈αto␈αstep
␈βπB␈↓ α␈ε"P3.
␈βπw␈↓ ↓L␈ε2P5.␈↓ α	␈ε"[Not␈α∩prime.]␈α"T␈α⎇erminate␈α∩the␈α⊃algorithm␈α⊃and␈α∩sa␈α␈y␈α⊃that␈α∩\␈ε(n␈ε"␈α⊃is␈α⊃de|nitely␈α⊃n␈α↓ot
␈βλ"␈↓ α␈ε"prime."
␈βλ+␈↓ β*␈∧λ+β*≠∂
␈βλ[␈↓ 	&␈ε+k
␈βλa␈↓ α␈ε"The␈α∩idea␈α⊃underlying␈α∩Algorithm␈α∩P␈α⊃is␈α∩that␈α∩if␈ε(␈α⊃n␈ε"␈α∪=␈α∀1␈α+␈↓ 	∀␈ε"2␈↓ 	8␈ε(q␈↓ 	]␈ε"is␈α∩prime␈α⊃and
␈β	ε␈↓ ↓\␈ε+q
␈β	␈↓ ↓H␈ε(x␈↓ ↓s␈ε"mod␈↓ α=␈ε(n␈ε6␈α
≤␈ε"␈α
1,␈αthe␈αsequence␈αof␈αv␈α}alues
␈β	Y␈↓ λi␈ε-k
␈β	↑␈↓ β→␈ε+q␈↓ ∧X␈ε%2␈↓ ∧h␈ε+q␈↓ ε'␈ε%4␈↓ ε6␈ε+q␈↓ λY␈ε%2␈↓ λx␈ε+q
␈β	f␈↓ β¬␈ε(x␈↓ β1␈ε"mod␈↓ β{␈ε(n␈ε"␈α␈,␈↓ ∧D␈ε(x␈↓ ∧␈␈ε"mod␈↓ ¬I␈ε(n␈ε",␈↓ ε∪␈ε(x␈↓ εN␈ε"mod␈↓ π_␈ε(n␈ε"␈α␈,␈↓ πa␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λ⊃␈ε",␈↓ λE␈ε(x␈↓ 	∂␈ε"mod␈↓ 	Y␈ε(n
␈β
8␈↓ ↓H␈ε"will␈α∞end␈α∞with␈α∂1,␈α∂and␈α∞the␈α∞v␈α}alue␈α∂just␈α∞preceding␈α∞the␈α∂|rst␈α∞appearance␈α∞of␈α∂1␈α∞will␈α∞be
␈β
E␈↓ αC␈ε↓␈
␈β
]␈↓ ¬=␈ε%2
␈β
c␈↓ ↓H␈ε(n␈ε6␈απ␈␈ε"␈απ1.␈↓ αQ␈ε"The␈αonly␈αsolutions␈αto␈↓ ¬*␈ε(y␈↓ ¬X␈ε6⊃␈ε"␈α
1␈α
(modulo␈ε(␈αp␈ε")␈αare␈↓ λ∪␈ε(y␈↓ λ0␈ε6⊃␈α
ε␈ε"1,␈αwhen␈ε(␈αp␈ε"␈αis␈αprime,
␈β
p␈↓ ππ␈ε↓↓
␈β∞␈↓ ↓H␈ε"since␈α(␈↓ α,␈ε(y␈↓ αG␈ε6␈␈ε"␈αλ1)(␈↓ β≥␈ε(y␈↓ β7␈ε"+␈αλ1)␈αm␈α␈ust␈αbe␈αa␈αm␈α␈ultiple␈αof␈ε(␈αp␈ε".
␈β:␈↓ α␈ε"Exercise␈α∞22␈α∞pro␈α␈v␈α␈es␈α∂the␈α∞basic␈α∞fact␈α∞that␈α∞Algorithm␈α∂P␈α∞will␈α∞be␈α∞wrong␈α∞at␈α∞m␈α↓ost
␈β`␈↓ ↓L␈ε%1
␈βe␈↓ ↓m␈ε"of␈α∞the␈α∞time,␈α∂for␈α∞all␈ε(␈α∞n␈ε".␈α⊗Actually␈α∂it␈α∞will␈α∞rarely␈α∞fail␈α∞at␈α∞all,␈α∂for␈α∞m␈α↓ost␈ε(␈α∞n␈ε";␈α∂but␈α∞the
␈βv␈↓ ↓L␈ε%4
␈βy␈↓ ↓L␈∧y↓Lα⊂
␈β⊂␈↓ ↓H␈ε"crucial␈αpoin␈α␈t␈αis␈αthat␈αthe␈αprobabilit␈α␈y␈αof␈αfailure␈αis␈αbounded␈ε/␈αregardless␈ε"␈αof␈αthe␈αv␈α}alue
␈β;␈↓ ↓H␈ε"of␈ε(␈αn␈ε"␈α␈.
␈βf␈↓ α␈ε"Suppose␈α∞w␈α␈e␈α∞in␈α␈v␈α␈ok␈α␈e␈α
Algorithm␈α∞P␈α∞repeatedly,␈α∞ch␈α↓o␈α↓osing␈ε(␈α∞x␈ε"␈α∞independen␈α␈tly␈α
and
␈β
∩␈↓ ↓H␈ε"at␈α
random␈α
whenev␈α␈er␈α∞w␈α␈e␈α
get␈α
to␈α
step␈α∞P1.␈α∀If␈α
the␈α
algorithm␈α∞ev␈α␈er␈α
reports␈α
that␈ε(␈α
n␈ε"␈α
is
␈β
=␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓onprime,␈αw␈α␈e␈αcan␈αsa␈α␈y␈αthat␈ε(␈αn␈ε"␈αde|nitely␈αisn't␈αprime.␈α⊂But␈αif␈αthe␈αalgorithm␈αreports
␈β
h␈↓ ↓H␈ε"25␈α
times␈α	in␈α
a␈α
ro␈α␈w␈α
that␈ε(␈α
n␈ε"␈α
is␈α	\probably␈α
prime,"␈αw␈α␈e␈α	can␈α
sa␈α␈y␈α
that␈ε(␈α
n␈ε"␈α
is␈α
\alm␈α↓ost␈α	surely
␈β∞
␈↓ π&␈ε%25
␈β∞∪␈↓ ↓H␈ε"prime."␈α_F␈α⎇or␈α∂the␈α∂probabilit␈α␈y␈α∂is␈α∞less␈α∂than␈α∂(1/4␈↓ π~␈ε")␈↓ πU␈ε"that␈α∂such␈α∂a␈α∞25-times-in-a-ro␈α␈w
␈β∞>␈↓ ↓H␈ε"procedure␈α	giv␈α␈es␈α
the␈α
wrong␈α
information␈α
about␈ε(␈α
n␈ε"␈α␈.␈α⊂This␈α	is␈α
less␈α
than␈α
one␈α
chance␈α
in␈α	a
␈β∞j␈↓ ↓H␈ε"quadrillion;␈αev␈α␈en␈αif␈αw␈α␈e␈αcerti|ed␈αa␈αbillion␈αdi{eren␈α␈t␈αprimes␈αwith␈αsuch␈αa␈αprocedure,
␈β∂⊂␈↓ λU␈ε%1
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε"the␈α∂expected␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∂of␈α∂mistak␈α␈es␈α∂w␈α␈ould␈α∂be␈α∂less␈α∂than␈↓ 	⊗␈ε".␈α→It's␈α∂m␈α␈uch␈α∞m␈α↓ore
␈β∂&␈↓ λ(␈ε%10000␈α↓00
␈β∂)␈↓ λ(␈∧∂)λ(αk
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"lik␈α␈ely␈αthat␈α
our␈α
computer␈α
has␈αdropped␈α
a␈α
bit␈α
in␈αits␈α
calculations,␈α
due␈α
to␈αhardw␈α␈are
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"malfunctions␈α	or␈α	cosmic␈α
radiations,␈α	than␈α
that␈α	Algorithm␈α	P␈α
has␈α	repeatedly␈α	guessed
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"wrong!
␈β⊂B␈↓ α␈ε"Probabilistic␈α
algorithms␈α
lik␈α␈e␈α
this␈α∞lead␈α
us␈α
to␈α
question␈α
our␈α
traditional␈α
stand-
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"ards␈α⊃of␈α⊃reliabilit␈α␈y.␈α∨Do␈α⊃w␈α␈e␈α⊃really␈ε/␈α⊃need␈ε"␈α⊃to␈α⊃ha␈α␈v␈α␈e␈α⊂a␈α⊃rigorous␈α⊃pro␈α↓of␈α⊃of␈α⊃primalit␈α␈y?
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"F␈α⎇or␈α⊂people␈α⊂un␈α␈willing␈α⊃to␈α⊂abandon␈α⊃traditional␈α⊂n␈α↓otions␈α⊃of␈α⊂pro␈α↓of,␈α∩Gary␈α⊂L.␈↓ 
P␈ε"Miller
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"380␈↓ 
b␈ε"4.5.4
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα≥␈↓ ∧i␈ε-r
␈βα!␈↓ ∧`␈ε6p
␈βα"␈↓ ↓H␈ε"has␈α
dem␈α↓onstrated␈α
that␈α∞if␈↓ ∧}␈ε(n␈↓ ¬!␈ε"is␈α
n␈α↓ot␈α
an␈α∞in␈α␈teger␈α
for␈α
an␈α␈y␈α∞in␈α␈teger␈↓ 	+␈ε(r␈↓ 	H␈ε6∃␈ε"␈α2␈α
(this␈α
con-
␈βα$␈↓ ∧}␈∧α$∧}α⊗
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"dition␈α
being␈α∞easily␈α∞check␈α␈ed),␈α∞and␈α∞if␈α∞a␈α
certain␈α∞w␈α␈ell-kn␈α↓o␈α␈wn␈α∞conjecture␈α∞in␈α
n␈α␈um␈α␈ber
␈βαy␈↓ ↓H␈ε"theory␈α∂called␈α∞the␈↓ βe␈ε"Generalized␈α∂Riemann␈α∂Hypothesis␈α∂can␈α∂be␈α∂pro␈α␈v␈α␈ed,␈α⊂then␈α∞either
␈ββ≡␈↓ ε∀␈ε%2
␈ββ$␈↓ ↓H␈ε(n␈ε"␈α
is␈α∞prime␈α∞or␈↓ β'␈ε"there␈α
is␈α∞an␈ε(␈α∞x␈ε"␈α
<␈α
4(␈↓ ¬N␈ε"ln␈↓ ¬r␈ε(n␈↓ ελ␈ε")␈↓ ε3␈ε"such␈α
that␈α∞Algorithm␈α∞P␈α∞will␈α∞disco␈α␈v␈α␈er␈α
the
␈ββO␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓onprimalit␈α␈y␈α	of␈ε(␈α	n␈ε".␈α⊂[See␈ε/␈α	J.␈α	Comp.␈α
System␈α	Sci.␈ε2␈α	13␈ε"␈α
(1976),␈α
300↑317.␈α∂The␈α	constan␈α␈t␈α	4
␈ββz␈↓ ↓H␈ε"in␈α
this␈α
upper␈α∞bound␈α
is␈α∞due␈α
to␈α
Peter␈↓ ε␈ε"W␈α⎇ein␈α␈berger,␈α
wh␈α↓ose␈α∞paper␈α
on␈α∞the␈α
subject␈α
is
␈β∧%␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓ot␈α∂y␈α␈et␈α⊂published.]␈α∨Th␈α␈us,␈α⊃w␈α␈e␈α∂w␈α␈ould␈α⊂ha␈α␈v␈α␈e␈α∂a␈α⊂rigorous␈α∂w␈α␈a␈α␈y␈α⊂to␈α∂test␈α⊂primalit␈α␈y␈α∂in
␈β∧K␈↓ αF␈ε%5
␈β∧Q␈↓ ↓H␈ε(O␈↓ ↓d␈ε"(␈↓ ↓p␈ε"log␈↓ α$␈ε(n␈↓ α:␈ε")␈↓ αg␈ε"elemen␈α␈tary␈α⊃operations,␈α⊃as␈α⊃opposed␈α⊂to␈α⊃a␈α⊂probabilistic␈α⊃meth␈α↓od␈α⊂wh␈α↓ose
␈β∧v␈↓ ∧B␈ε%3
␈β∧|␈↓ ↓H␈ε"running␈αtime␈αis␈↓ βC␈ε(O␈↓ β`␈ε"(␈↓ βl␈ε"log␈↓ ∧ ␈ε(n␈↓ ∧6␈ε")␈↓ ∧R␈ε".␈α⊂But␈αone␈αmigh␈α␈t␈αw␈α␈ell␈αask␈αwhether␈αan␈α␈y␈αpurported␈αpro␈α↓of
␈β¬'␈↓ ↓H␈ε"of␈α
the␈α
Generalized␈α
Riemann␈α
Hypothesis␈α
will␈α∞ev␈α␈er␈α
be␈α
as␈α
reliable␈α
as␈α
repeated␈α
ap-
␈β¬R␈↓ ↓H␈ε"plication␈αof␈αAlgorithm␈αP␈αon␈αrandom␈ε(␈αx␈ε"'s.
␈β¬⎇␈↓ α␈ε"A␈α∞probabilistic␈α
test␈α∞for␈α
primalit␈α␈y␈α∞w␈α␈as␈α
|rst␈α∞proposed␈α
in␈α∞1974␈α
by␈α∞R.␈↓ 
6␈ε"Solo␈α␈v␈α}a␈α␈y
␈βε)␈↓ ↓H␈ε"and␈α	V.␈↓ α7␈ε"Strassen,␈α
wh␈α↓o␈α	devised␈α	the␈α	in␈α␈teresting␈α	but␈α	m␈α↓ore␈α	complicated␈α	test␈αλdescribed
␈βεT␈↓ ↓H␈ε"in␈α⊃exercise␈α∩23(b).␈α#[See␈ε/␈α⊃SIAM␈α∩J.␈α⊃Computing␈ε2␈α∩6␈ε"␈α⊃(1977),␈α∪84↑85;␈ε2␈α∀7␈ε"␈α∩(1978),␈α∩118.]
␈βε␈␈↓ ↓H␈ε"Algorithm␈α∞P␈α∂is␈α∞a␈α∞simpli|ed␈α∂v␈α␈ersion␈α∞of␈α∂a␈α∞procedure␈α∂due␈α∞to␈α∂M.␈α∞O.␈↓ 	[␈ε"Rabin,␈α∂based
␈βπ*␈↓ ↓H␈ε"in␈αpart␈α
on␈αideas␈αof␈α
Gary␈αL.␈α
Miller␈α[cf.␈ε/␈α
Algorithms␈αand␈α
Complexit␈α␈y␈ε",␈αed.␈α
by␈αJ.␈αF.
␈βπU␈↓ ↓H␈ε"T␈α⎇raub␈α(New␈αY␈α⎇ork:␈αAcademic␈αPress,␈α1976),␈α35↑36].
␈βλ↓␈↓ α␈ε"A␈αcompletely␈αdi{eren␈α␈t␈αapproach␈αto␈αprimalit␈α␈y␈αtesting␈αw␈α␈as␈αdisco␈α␈v␈α␈ered␈αin␈α1980
␈βλ,␈↓ ↓H␈ε"by␈αLeonard␈α
M.␈↓ βA␈ε"Adleman.␈α∪His␈α
highly␈αin␈α␈teresting␈α
meth␈α↓od␈α
is␈α
based␈α
on␈α
the␈αtheory
␈βλW␈↓ ↓H␈ε"of␈↓ ↓u␈ε"algebraic␈α∂in␈α␈tegers,␈α⊂so␈α∂it␈α∂is␈α∂bey␈α␈ond␈α∂the␈α⊂scope␈α∂of␈α∂this␈α∂bo␈α↓ok;␈α⊃but␈α∂it␈α∂leads␈α∂to␈α∂a
␈β	α␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓on-probabilistic␈α
procedure␈α
that␈α
will␈α∞decide␈α
the␈α
primalit␈α␈y␈α
of␈α∞an␈α␈y␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
up
␈β	-␈↓ ↓H␈ε"to,␈α∩sa␈α␈y,␈α∩250␈α⊂digits,␈α∩in␈α⊃a␈α⊃few␈α⊃h␈α↓ours␈α⊂at␈α⊃m␈α↓ost.␈α"[See␈α⊃L.␈α⊂M.␈α⊃Adleman␈α⊃and␈α⊃R.␈α⊂S.
␈β	Y␈↓ ↓H␈ε"Rumely,␈αto␈αappear.]
␈β
↔␈↓ ↓H␈ε2F␈α⎇actoring␈α⊂via␈↓ β,␈ε2con␈α␈tin␈α␈ued␈α⊂fractions.␈ε"␈α!The␈α⊂factorization␈α⊃procedures␈α⊂w␈α␈e␈α⊂ha␈α␈v␈α␈e␈α⊂dis-
␈β
B␈↓ ↓H␈ε"cussed␈α
so␈αfar␈α
will␈αo$en␈α
balk␈αat␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈αof␈α
30␈αdigits␈α
or␈αm␈α↓ore,␈αand␈α
an␈α↓other␈αidea␈α
is
␈β
m␈↓ ↓H␈ε"needed␈αif␈αw␈α␈e␈α
are␈αto␈α
go␈αm␈α␈uch␈αfurther.␈α∩F␈α⎇ortunately␈αthere␈αis␈α
such␈αan␈αidea;␈α
in␈αfact,
␈β_␈↓ ↓H␈ε"there␈α
w␈α␈ere␈αt␈α␈w␈α␈o␈αideas,␈α
due␈αrespectiv␈α␈ely␈αto␈α
A.␈αM.␈↓ π,␈ε"Legendre␈α
and␈αM.␈↓ 	@␈ε"Kraitchik,␈α
that
␈βD␈↓ ↓H␈ε"D.␈αH.␈↓ α'␈ε"Lehmer␈αand␈αR.␈αE.␈↓ ∧O␈ε"Po␈α␈w␈α␈ers␈αused␈αto␈αdevise␈αa␈αnew␈αtechnique␈αman␈α␈y␈αy␈α␈ears␈αago
␈βo␈↓ ↓H␈ε"[␈ε/Bull.␈αAmer.␈α
Math.␈αSoc.␈ε2␈α37␈ε"␈α(1931),␈α770↑776].␈α⊂Ho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈αthe␈αmeth␈α↓od␈αw␈α␈as␈αn␈α↓ot␈α
used
␈β~␈↓ ↓H␈ε"at␈α
the␈α∞time␈α
because␈α
it␈α∞w␈α␈as␈α
comparativ␈α␈ely␈α∞unsuitable␈α
for␈α∞desk␈α
calculators.␈α∀This
␈βE␈↓ ↓H␈ε"negativ␈α␈e␈α	judgmen␈α␈t␈α
prev␈α}ailed␈α
un␈α␈til␈α
the␈α	late␈α
1960s,␈α
when␈α
John␈↓ λw␈ε"Brillhart␈α
found␈α	that
␈βp␈↓ ↓H␈ε"the␈αLehmer↑Po␈α␈w␈α␈ers␈αapproach␈αdeserv␈α␈ed␈αto␈αbe␈αresurrected,␈αsince␈αit␈αw␈α␈as␈αquite␈αw␈α␈ell
␈β
≤␈↓ ↓H␈ε"suited␈αto␈αcomputer␈αprogramming.␈α⊂In␈αfact,␈αhe␈αand␈αMichael␈αA.␈↓ 	⊃␈ε"Morrison␈αlater␈αde-
␈β
G␈↓ ↓H␈ε"v␈α␈eloped␈αit␈αin␈α␈to␈αthe␈αchampion␈αof␈αall␈αkn␈α↓o␈α␈wn␈αmeth␈α↓ods␈αfor␈αfactoring␈αlarge␈αn␈α␈um␈α␈bers:
␈β
r␈↓ ↓H␈ε"Their␈αprogram␈α
w␈α␈ould␈αhandle␈α
t␈α␈ypical␈α25-digit␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈αin␈α
about␈α30␈α
seconds,␈αand
␈β∞≥␈↓ ↓H␈ε"40-digit␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α∞in␈α
about␈α
50␈α∞min␈α␈utes,␈α∞on␈α
an␈↓ π≥␈ε"IBM␈α
360/91␈α∞computer␈α
[see␈ε/␈α
Math.
␈β∞H␈↓ ↓H␈ε/Comp.␈ε2␈α
29␈ε"␈α(1975),␈α
183↑205].␈α⊂In␈α
1970␈αthe␈α
meth␈α↓od␈αhad␈α
its␈α|rst␈α
triumphan␈α␈t␈α
success,
␈β∞n␈↓ βa␈ε%128
␈β∞t␈↓ ↓H␈ε"disco␈α␈v␈α␈ering␈αthat␈↓ βO␈ε"2␈↓ ∧_␈ε"+␈αλ1␈α
=␈α
59649589127497217␈ε6␈αλ↓␈ε"␈αλ5704689200685129054721.
␈β∂∨␈↓ α␈ε"The␈αbasic␈αidea␈αis␈αto␈αsearch␈αfor␈αn␈α␈um␈α␈bers␈ε(␈αx␈ε"␈αand␈↓ πh␈ε(y␈↓ λπ␈ε"such␈αthat
␈β∂g␈↓ α␈ε%2␈↓ α[␈ε%2
␈β∂o␈↓ ↓l␈ε(x␈↓ α~␈ε6⊃␈↓ αH␈ε(y␈↓ αv␈ε"(modulo␈↓ ∧α␈ε(N␈↓ ∧%␈ε"),␈↓ ¬	0␈α
<␈ε(␈α
x␈ε",␈↓ ¬w␈ε(y␈↓ ε∀␈ε"<␈↓ εB␈ε(N␈↓ εe␈ε",␈ε(␈↓ π=x␈ε6␈α
≤␈↓ λ	␈ε(y␈↓ λ≤␈ε",␈ε(␈↓ λtx␈ε"␈αλ+␈↓ 	<␈ε(y␈↓ 	Y␈ε6≤␈↓ 
π␈ε(N␈↓ 
*␈ε".␈↓ 
p␈ε"(17)
␈β⊂:␈↓ λ∂␈ε%2␈↓ λh␈ε%2
␈β⊂@␈↓ ↓H␈ε"F␈α⎇ermat's␈αmeth␈α↓od␈α
imposes␈α
the␈α
stronger␈αrequiremen␈α␈t␈↓ π{␈ε(x␈↓ λ(␈ε6␈␈↓ λU␈ε(y␈↓ 	∧␈ε"=␈↓ 	3␈ε(N␈↓ 	V␈ε",␈α
but␈αactually
␈β⊂k␈↓ ↓H␈ε"the␈α∂congruence␈α⊂(17)␈α⊂is␈α⊂en␈α↓ough␈α⊂to␈α∂split␈↓ ε?␈ε(N␈↓ εr␈ε"in␈α␈to␈α⊂factors:␈α∪It␈α⊂implies␈α⊂that␈↓ 
@␈ε(N␈↓ 
s␈ε"is␈α∂a
␈β⊃⊂␈↓ αw␈ε%2␈↓ βG␈ε%2
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε"divisor␈α
of␈↓ αc␈ε(x␈↓ β␈ε6␈␈↓ β4␈ε(y␈↓ βa␈ε"=␈α
(␈ε(x␈ε6␈α¬␈␈↓ ∧\␈ε(y␈↓ ∧o␈ε")(␈ε(x␈ε"␈α∧+␈↓ ¬G␈ε(y␈↓ ¬Z␈ε"),␈α
y␈α␈et␈↓ ε4␈ε(N␈↓ εa␈ε"divides␈α
neither␈ε(␈α
x␈ε6␈α¬␈␈↓ 	⊃␈ε(y␈↓ 	.␈ε"n␈α↓or␈ε(␈α
x␈ε"␈α∧+␈↓ 
-␈ε(y␈↓ 
@␈ε";␈α
hence
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.4␈↓ 
v␈ε"381
␈β↓\␈↓ π≡␈ε∞F␈α|ACTORING␈αINTO␈α
P␈α␈RIM␈α↓ES
␈βα"␈↓ ↓H␈ε"gcd␈↓ ↓}␈ε"(␈↓ α
␈ε(N␈↓ α-␈ε",␈ε(␈αεx␈ε6␈αλ␈␈↓ β¬␈ε(y␈↓ β_␈ε")␈αand␈↓ βw␈ε"gcd␈↓ ∧-␈ε"(␈↓ ∧9␈ε(N␈↓ ∧\␈ε",␈ε(␈αεx␈ε"␈αλ+␈↓ ¬4␈ε(y␈↓ ¬G␈ε")␈αare␈α
proper␈αfactors␈αof␈↓ λ/␈ε(N␈↓ λ↑␈ε"that␈αcan␈α
be␈αfound␈αby
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"Euclid's␈αalgorithm.
␈βαy␈↓ α␈ε"One␈α∂w␈α␈a␈α␈y␈α∂to␈α∂disco␈α␈v␈α␈er␈α∂solutions␈α⊂of␈α∂(17)␈α∂is␈α∂to␈α∂lo␈α↓ok␈α∂for␈α∂v␈α}alues␈α∂of␈ε(␈α∂x␈ε"␈α∂such␈α∂that
␈ββ≡␈↓ ↓\␈ε%2
␈ββ$␈↓ ↓H␈ε(x␈↓ ↓x␈ε6⊃␈ε(␈αa␈ε"␈α(modulo␈↓ βS␈ε(N␈↓ βv␈ε"),␈α
for␈α
small␈α
v␈α}alues␈α
of␈ε6␈α
j␈ε(a␈ε6j␈ε".␈α∀As␈α
w␈α␈e␈α
will␈α
see,␈α
it␈α
is␈α
o$en␈α
a␈α
simple
␈ββO␈↓ ↓H␈ε"matter␈αto␈αpiece␈αtogether␈αsolutions␈αof␈αthis␈αcongruence␈αto␈αobtain␈αsolutions␈αof␈α(17).
␈ββt␈↓ αJ␈ε%2␈↓ ∧↔␈ε%2
␈ββz␈↓ ↓H␈ε"No␈α␈w␈α	if␈↓ α6␈ε(x␈↓ αe␈ε"=␈ε(␈α
a␈ε"␈αα+␈↓ βN␈ε(k␈↓ βb␈ε(N␈↓ ∧¬␈ε(d␈↓ ∧1␈ε"for␈α	some␈↓ ¬=␈ε(k␈↓ ¬Z␈ε"and␈ε(␈α	d␈ε",␈α	with␈α	small␈ε6␈α	j␈ε(a␈ε6j␈ε",␈α
the␈α	fraction␈ε(␈α	x␈ε"/␈ε(d␈ε"␈α	is␈α	a␈αλgo␈α↓od
␈β∧ ␈↓ βf␈ε6p
␈β∧#␈↓ ∧∧␈∧∧#∧∧α8
␈β∧%␈↓ ↓H␈ε"appro␈α␈ximation␈αto␈↓ ∧∧␈ε(k␈↓ ∧_␈ε(N␈↓ ∧A␈ε";␈α
con␈α␈v␈α␈ersely,␈α
if␈ε(␈α
x␈ε"/␈ε(d␈ε"␈α
is␈αan␈α
especially␈α
go␈α↓od␈αappro␈α␈ximation
␈β∧K␈↓ ↓w␈ε6p␈↓ ∧h␈ε%2␈↓ ¬{␈ε%2
␈β∧N␈↓ α∃␈∧∧Nα∃α8
␈β∧Q␈↓ ↓H␈ε"to␈↓ α∃␈ε(k␈↓ α)␈ε(N␈↓ αL␈ε",␈α⊂the␈α∂di{erence␈ε6␈α∂j␈↓ ∧T␈ε(x␈↓ ¬β␈ε6␈␈↓ ¬2␈ε(k␈↓ ¬F␈ε(N␈↓ ¬i␈ε(d␈↓ ε␈ε6j␈ε"␈α∂will␈α∂be␈α∂small.␈α~This␈α∂observ␈α}ation␈α∂suggests
␈β∧v␈↓ πO␈ε6p
␈β∧y␈↓ πm␈∧∧yπmα8
␈β∧|␈↓ ↓H␈ε"lo␈α↓oking␈α⊃at␈α⊃the␈α⊃con␈α␈tin␈α␈ued␈α⊂fraction␈α⊃expansion␈α⊃of␈↓ πm␈ε(k␈↓ λ↓␈ε(N␈↓ λ$␈ε",␈α∪since␈α⊃w␈α␈e␈α⊃ha␈α␈v␈α␈e␈α⊂seen␈α⊃(in
␈β¬'␈↓ ↓H␈ε"Eq.␈α4.5.3↑12␈α
and␈α
exercise␈α4.5.3↑42)␈α
that␈α
con␈α␈tin␈α␈ued␈αfractions␈α
yield␈α
go␈α↓od␈αrational
␈β¬R␈↓ ↓H␈ε"appro␈α␈ximations.
␈β¬⎇␈↓ α␈ε"Con␈α␈tin␈α␈ued␈αfractions␈α
for␈αquadratic␈α
irrationalities␈αha␈α␈v␈α␈e␈α
man␈α␈y␈αpleasan␈α␈t␈α
proper-
␈βε)␈↓ ↓H␈ε"ties,␈α∞which␈α∞are␈α∞pro␈α␈v␈α␈ed␈α
in␈α∞exercise␈α∞4.5.3↑12.␈α∃The␈α∞algorithm␈α∞belo␈α␈w␈α∞mak␈α␈es␈α∞use␈α
of
␈βεT␈↓ ↓H␈ε"these␈αproperties␈αto␈αderiv␈α␈e␈αsolutions␈αto␈αthe␈αcongruence
␈βπ∃␈↓ ∧~␈ε%2␈↓ ¬1␈ε+e␈↓ ¬`␈ε+e␈↓ ε∂␈ε+e␈↓ εo␈ε+e
␈βπ≥␈↓ ∧ε␈ε(x␈↓ ∧5␈ε6⊃␈ε"␈α
(␈ε6␈␈ε"1␈↓ ¬%␈ε")␈↓ ¬N␈ε(p␈↓ ¬⎇␈ε(p␈↓ ε-␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ε]␈ε(p␈↓ π)␈ε"(modulo␈↓ λ5␈ε(N␈↓ λX␈ε").␈↓ 
p␈ε"(18)
␈βπ≡␈↓ ¬m␈ε'1␈↓ ε≥␈ε'2
␈βπ∨␈↓ ¬>␈ε'0␈↓ ε|␈ε-m
␈βπ-␈↓ εo␈ε+m
␈βπ.␈↓ ¬`␈ε%1␈↓ ε∂␈ε%2
␈βπf␈↓ ↓H␈ε"Here␈α∞w␈α␈e␈α∂use␈α∂a␈α∂|xed␈α∂set␈α∂of␈α∞small␈α∂primes␈↓ εR␈ε(p␈↓ π∧␈ε"=␈α∞2,␈↓ πb␈ε(p␈↓ λ∪␈ε"=␈α∂3,␈↓ λr␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	"␈ε",␈α∂up␈α∂to␈↓ 
!␈ε(p␈↓ 
O␈ε";␈α⊂only
␈βπr␈↓ εd␈ε%1␈↓ πt␈ε%2␈↓ 
3␈ε+m
␈βλ␈↓ ε;␈ε%(␈ε+p␈ε9␈α↓␈␈ε%␈α␈1)␈α↓/2
␈βλ⊃␈↓ ↓H␈ε"primes␈ε(␈αp␈ε"␈α
such␈αthat␈αeither␈ε(␈αp␈ε"␈α
=␈α
2␈αor␈α(␈↓ ¬x␈ε(k␈↓ ε␈ε(N␈↓ ε/␈ε")␈↓ π2␈ε"mod␈↓ π|␈ε(p␈ε6␈α
∀␈ε"␈α
1␈αsh␈α↓ould␈αappear␈αin␈α
this
␈βλ<␈↓ ↓H␈ε"list,␈α⊂since␈α∂other␈α∂primes␈α∂will␈α∂nev␈α␈er␈α∂be␈α⊂factors␈α∂of␈α∂the␈α∂n␈α␈um␈α␈bers␈α∂generated␈α∂by␈α∂the
␈βλg␈↓ ↓H␈ε"algorithm␈α∂(see␈α⊂exercise␈α⊂14).␈α≤If␈α⊂(␈↓ ¬M␈ε(x␈↓ ¬q␈ε",␈↓ ε↓␈ε(e␈↓ ε1␈ε",␈↓ εA␈ε(e␈↓ εp␈ε",␈↓ π␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ π0␈ε",␈↓ π@␈ε(e␈↓ πz␈ε"),␈↓ λ!␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λQ␈ε",␈α⊃(␈↓ λx␈ε(x␈↓ 	≠␈ε",␈↓ 	+␈ε(e␈↓ 	Y␈ε",␈↓ 	i␈ε(e␈↓ 
↔␈ε",␈↓ 
'␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 
W␈ε",␈↓ 
g␈ε(e␈↓  ␈ε")
␈βλt␈↓ ¬a␈ε%1␈↓ ε⊃␈ε%01␈↓ εP␈ε%11␈↓ πO␈ε+m␈ε%1␈↓ 	␈ε+r␈↓ 	;␈ε%0␈↓ 	J␈ε+r␈↓ 	y␈ε%1␈↓ 
λ␈ε+r␈↓ 
v␈ε+m␈↓ ⊃␈ε+r
␈β	∪␈↓ ↓H␈ε"are␈αsolutions␈αof␈α(18)␈αsuch␈αthat␈αthe␈αv␈α␈ector␈αsum
␈β	T␈↓ π]␈ε90␈↓ λ∨␈ε90␈↓ 	!␈ε90
␈β	[␈↓ ↓H␈ε"(␈↓ ↓T␈ε(e␈↓ αβ␈ε",␈↓ α∪␈ε(e␈↓ αB␈ε",␈↓ αR␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ βα␈ε",␈↓ β∩␈ε(e␈↓ βM␈ε")␈αλ+␈↓ ∧
␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧?␈ε"+␈αλ(␈↓ ∧w␈ε(e␈↓ ¬%␈ε",␈↓ ¬5␈ε(e␈↓ ¬b␈ε",␈↓ ¬r␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ε"␈ε",␈↓ ε2␈ε(e␈↓ εl␈ε")␈α
=␈α
(2␈↓ πN␈ε(e␈↓ πn␈ε",␈αε2␈↓ λ⊂␈ε(e␈↓ λ0␈ε",␈↓ λ@␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λp␈ε",␈αε2␈↓ 	∩␈ε(e␈↓ 	=␈ε")␈↓ 
p␈ε"(19)
␈β	h␈↓ ↓c␈ε%01␈↓ α"␈ε%11␈↓ β!␈ε+m␈ε%1␈↓ ¬ε␈ε%0␈↓ ¬∃␈ε+r␈↓ ¬D␈ε%1␈↓ ¬S␈ε+r␈↓ εB␈ε+m␈↓ ε\␈ε+r
␈β	l␈↓ π]␈ε%0␈↓ λ∨␈ε%1␈↓ 	!␈ε+m
␈β
$␈↓ ↓H␈ε"is␈ε/␈αev␈α␈en␈ε"␈αin␈αeach␈αcomponen␈α␈t,␈αthen
␈β
T␈↓ εp␈ε↓␈
␈β
d␈↓ λλ␈ε;0
␈β
f␈↓ πY␈ε;0␈↓ λh␈ε;0
␈β
i␈↓ π{␈ε+e
␈β
k␈↓ πL␈ε+e␈↓ λ[␈ε+e
␈β
r␈↓ αx␈ε(x␈ε"␈α
=␈α
(␈↓ βP␈ε(x␈↓ β{␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ∧+␈ε(x␈↓ ∧N␈ε")␈↓ ∧`␈ε"mod␈↓ ¬*␈ε(N␈↓ ¬M␈ε",␈↓ ε%␈ε(y␈↓ εB␈ε"=␈↓ ε}␈ε"(␈ε6␈␈ε"1␈↓ π@␈ε")␈↓ πi␈ε(p␈↓ λ→␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λI␈ε(p␈↓ λ⎇␈ε")␈↓ 	∂␈ε"mod␈↓ 	Y␈ε(N␈↓ 
p␈ε"(20)
␈β
v␈↓ λλ␈ε'1
␈β
x␈↓ πY␈ε'0␈↓ λd␈ε-m
␈β
␈␈↓ βd␈ε%1␈↓ ∧?␈ε+r
␈ββ␈↓ λ[␈ε+m
␈β¬␈↓ π{␈ε%1
␈β;␈↓ ↓H␈ε"yields␈αa␈αsolution␈αto␈α(17),␈αexcept␈αfor␈αthe␈αpossibilit␈α␈y␈αthat␈ε(␈αx␈ε6␈α
⊃␈α
ε␈↓ 	≤␈ε(y␈↓ 	/␈ε".␈α⊂Condition␈α(19)
␈βg␈↓ ↓H␈ε"essen␈α␈tially␈α∂sa␈α␈ys␈α∂that␈α∂the␈α∂v␈α␈ectors␈α∂are␈α∂linearly␈α∂dependen␈α␈t␈α∂m␈α↓odulo␈α∂2,␈α⊂so␈α∂w␈α␈e␈α∂m␈α␈ust
␈β∩␈↓ ↓H␈ε"ha␈α␈v␈α␈e␈αa␈αsolution␈αto␈α(19)␈αif␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈αfound␈αat␈αleast␈ε(␈αm␈ε"␈απ+␈αλ2␈αsolutions␈αto␈α(18).
␈βM␈↓ ↓H␈ε2Algorithm␈α⊂E␈ε"␈α⊂(␈ε/F␈α⎇actoring␈α⊂via␈α⊂con␈α␈tin␈α␈ued␈α⊂fractions␈↓ πB␈ε")␈ε2.␈ε"␈α Giv␈α␈en␈α⊂a␈α⊂positiv␈α␈e␈α⊂in␈α␈teger␈↓ 	␈ε(N
␈βx␈↓ ↓H␈ε"and␈α∂a␈α∂positiv␈α␈e␈α⊂in␈α␈teger␈↓ ∧4␈ε(k␈↓ ∧W␈ε"such␈α⊂that␈↓ ¬}␈ε(k␈↓ ε∩␈ε(N␈↓ εE␈ε"is␈α∂n␈α↓ot␈α∂a␈α⊂perfect␈α∂square,␈α⊂this␈α∂algorithm
␈β
#␈↓ ↓H␈ε"attempts␈αto␈α
disco␈α␈v␈α␈er␈α
solutions␈αto␈α
the␈α
congruence␈α(18)␈α
for␈α
|xed␈ε(␈αm␈ε",␈α
by␈αanalyzing
␈β
I␈↓ π∩␈ε6p
␈β
L␈↓ π0␈∧
Lπ0α8
␈β
N␈↓ ↓H␈ε"the␈αcon␈α␈v␈α␈ergen␈α␈ts␈αto␈αthe␈αcon␈α␈tin␈α␈ued␈αfraction␈αfor␈↓ π0␈ε(k␈↓ πD␈ε(N␈↓ πg␈ε".␈α→(An␈α↓other␈αalgorithm,␈αwhich
␈β
y␈↓ ↓H␈ε"uses␈αthe␈αoutputs␈αto␈αdisco␈α␈v␈α␈er␈αfactors␈αof␈↓ ε+␈ε(N␈↓ εN␈ε",␈αis␈αthe␈αsubject␈αof␈αexercise␈α12.)
␈β∞&␈↓ π%␈ε90␈↓ 	1␈ε90␈↓ 
_␈ε90
␈β∞'␈↓ ε%␈ε6p
␈β∞*␈↓ εC␈∧∞*εCα≡
␈β∞,␈↓ ↓L␈ε2E1.␈↓ α	␈ε"[Initialize.]␈α≡Set␈ε(␈α∞D␈ε6␈α∞␈ ␈↓ ∧j␈ε(k␈↓ ∧}␈ε(N␈↓ ¬!␈ε",␈↓ ¬:␈ε(R␈↓ ¬e␈ε6␈ ␈α∞b␈↓ εC␈ε(D␈↓ εa␈ε6c␈ε",␈↓ ππ␈ε(R␈↓ π=␈ε6␈ ␈ε"␈α
2␈↓ λ␈ε(R␈↓ λ≡␈ε",␈↓ λ7␈ε(U␈↓ λb␈ε6␈ ␈↓ 	∀␈ε(U␈↓ 	I␈ε6␈ ␈↓ 	{␈ε(R␈↓ 
"␈ε",␈↓ 
;␈ε(V␈↓ 
b␈ε6␈ ␈ε"␈α
1␈↓ "␈ε",
␈β∞R␈↓ α*␈ε90␈↓ βy␈ε%2␈↓ ¬h␈ε90
␈β∞X␈↓ α␈ε(V␈↓ αH␈ε6␈ ␈ε(␈α∃D␈ε6␈α
␈␈↓ β[␈ε(R␈↓ ∧
␈ε",␈↓ ∧(␈ε(P␈↓ ∧X␈ε6␈ ␈↓ ¬⊃␈ε(R␈↓ ¬/␈ε",␈↓ ¬M␈ε(P␈↓ επ␈ε6␈ ␈ε"␈α∃1,␈ε(␈α∀A␈ε6␈α∃␈ ␈ε"␈α∃0,␈↓ λλ␈ε(S␈↓ λ6␈ε6␈ ␈ε"␈α∃0.␈α%(This␈α∩algorithm
␈β∂β␈↓ α␈ε"follo␈α␈ws␈α∩the␈α∩general␈α⊃procedure␈α∩of␈α∩exercise␈α∩4.5.3↑12,␈α∪|nding␈α∩the␈α⊃con␈α␈tin␈α␈ued
␈β∂(␈↓ λ∩␈ε90␈↓ 	π␈ε90␈↓ 	x␈ε90
␈β∂)␈↓ ∧i␈ε6p
␈β∂,␈↓ ¬π␈∧∂,¬πα8
␈β∂.␈↓ α␈ε"fraction␈α∞expansion␈α
of␈↓ ¬π␈ε(k␈↓ ¬≠␈ε(N␈↓ ¬>␈ε".␈α∃The␈α∞v␈α}ariables␈↓ π?␈ε(U␈↓ π]␈ε",␈↓ πu␈ε(U␈↓ λ≤␈ε",␈↓ λ4␈ε(V␈↓ λQ␈ε",␈↓ λi␈ε(V␈↓ 	⊃␈ε",␈↓ 	)␈ε(P␈↓ 	D␈ε",␈↓ 	\␈ε(P␈↓ 
α␈ε",␈ε(␈α∞A␈ε",␈α∞and␈↓ ∪␈ε(S
␈β∂Y␈↓ α␈ε"represen␈α␈t,␈α⊂respectiv␈α␈ely,␈α⊂what␈α⊂that␈α∂exercise␈α∂calls␈↓ λ∩␈ε(R␈↓ λ9␈ε"+␈↓ λh␈ε(U␈↓ 	∀␈ε",␈↓ 	/␈ε(R␈↓ 	V␈ε"+␈↓ 
¬␈ε(U␈↓ 
↑␈ε",␈↓ 
x␈ε(V␈↓ "␈ε",
␈β∂f␈↓ 	␈ε+n␈↓ 
≥␈ε+n␈ε9␈␈ε%1␈↓ ∞␈ε+n
␈β⊂∧␈↓ α␈ε(V␈↓ αc␈ε",␈↓ αy␈ε(p␈↓ β%␈ε"mod␈↓ βo␈ε(N␈↓ ∧∩␈ε",␈↓ ∧(␈ε(p␈↓ ¬↓␈ε"mod␈↓ ¬K␈ε(N␈↓ ¬n␈ε",␈↓ ε∧␈ε(A␈↓ ε2␈ε",␈αand␈ε(␈αn␈↓ π*␈ε"mod␈↓ πt␈ε"2.␈α⊂W␈α⎇e␈αwill␈αalw␈α␈a␈α␈ys␈αha␈α␈v␈α␈e
␈β⊂⊃␈↓ α"␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ β␈ε+n␈↓ ∧:␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ ε≡␈ε+n
␈β⊂E␈↓ π\␈ε90
␈β⊂M␈↓ ¬I␈ε"0␈α
<␈↓ ε∪␈ε(V␈↓ ε;␈ε6∀␈↓ εi␈ε(U␈↓ π⊂␈ε6∀␈↓ π>␈ε(R␈↓ πe␈ε",
␈β⊃⊂␈↓ λ4␈ε90
␈β⊃⊗␈↓ α␈ε"so␈αthe␈αhighest␈αprecision␈αis␈αneeded␈αonly␈αfor␈↓ π+␈ε(P␈↓ πS␈ε"and␈↓ λ→␈ε(P␈↓ λ>␈ε".)
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"382␈↓ 
b␈ε"4.5.4
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα≤␈↓ π↔␈ε90␈↓ λB␈ε90␈↓ λ⎇␈ε90
␈βα"␈↓ ↓L␈ε2E2.␈↓ α	␈ε"[Adv␈α}ance␈↓ β"␈ε(U␈↓ β=␈ε",␈↓ βQ␈ε(V␈↓ βi␈ε",␈↓ β⎇␈ε(S␈↓ ∧⊗␈ε".]␈α∪Set␈↓ ∧z␈ε(T␈↓ ¬≥␈ε6␈ ␈↓ ¬K␈ε(V␈↓ ¬i␈ε",␈↓ ¬}␈ε(V␈↓ ε&␈ε6␈ ␈ε(␈α
A␈ε"(␈↓ εz␈ε(U␈↓ π%␈ε6␈␈↓ πM␈ε(U␈↓ πk␈ε")␈α∧+␈↓ λ$␈ε(V␈↓ λK␈ε",␈↓ λ`␈ε(V␈↓ 	⊃␈ε6␈ ␈↓ 	?␈ε(T␈↓ 	Y␈ε",␈ε(␈α
A␈ε6␈α
␈ ␈α
b␈↓ 
M␈ε(U␈↓ 
e␈ε"/␈↓ 
w␈ε(V␈↓ ∀␈ε6c␈ε",
␈βαG␈↓ α)␈ε90␈↓ ∧⊃␈ε90
␈βαM␈↓ α␈ε(U␈↓ α=␈ε6␈ ␈↓ αk␈ε(U␈↓ βλ␈ε",␈↓ β≡␈ε(U␈↓ βE␈ε6␈ ␈↓ βs␈ε(R␈↓ ∧#␈ε6␈␈ε"␈αλ(␈↓ ∧[␈ε(U␈↓ ∧}␈ε"mod␈↓ ¬H␈ε(V␈↓ ¬f␈ε"),␈↓ ελ␈ε(S␈↓ ε+␈ε6␈ ␈ε"␈α
1␈ε6␈αλ␈␈↓ π∨␈ε(S␈↓ π8␈ε".
␈βαc␈↓ βS␈ε↓␈
␈βα{␈↓ ¬\␈ε%2␈↓ εv␈ε%2␈↓ λ⊃␈ε+S
␈ββ↓␈↓ ↓L␈ε2E3.␈↓ α	␈ε"[F␈α⎇actor␈↓ βε␈ε(V␈↓ β#␈ε".]␈↓ βa␈ε"No␈α␈w␈α
w␈α␈e␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈↓ ¬@␈ε(P␈↓ ¬u␈ε6␈␈↓ ε"␈ε(k␈↓ ε6␈ε(N␈↓ εY␈ε(Q␈↓ π∪␈ε"=␈α(␈ε6␈␈ε"1␈↓ λ¬␈ε")␈↓ λ'␈ε(V␈↓ λE␈ε",␈α∞for␈α
some␈ε(␈α∞Q␈ε"␈α
relativ␈α␈ely
␈ββ∞␈↓ εR␈ε↓↓
␈ββ-␈↓ α␈ε"prime␈α⊂to␈↓ β'␈ε(P␈↓ βB␈ε",␈α∩by␈α⊂exercise␈α⊃4.5.3↑12(c).␈↓ π↓␈ε"Set␈α⊂(␈↓ πO␈ε(e␈↓ πo␈ε",␈↓ π␈␈ε(e␈↓ λ∨␈ε",␈↓ λ/␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λ←␈ε",␈↓ λo␈ε(e␈↓ 	≠␈ε")␈ε6␈α⊃␈ ␈ε"␈α⊃(␈↓ 	y␈ε(S␈↓ 
∩␈ε",␈αε0,␈↓ 
D␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 
t␈ε",␈αε0),
␈ββ9␈↓ π↑␈ε%0␈↓ λ∞␈ε%1␈↓ λ␈␈ε+m
␈ββX␈↓ α␈ε(T␈↓ α7␈ε6␈ ␈↓ αm␈ε(V␈↓ β␈ε".␈α≥No␈α␈w␈α⊃do␈α⊂the␈α⊃follo␈α␈wing,␈α∩for␈α⊂1␈ε6␈α∩∀␈↓ πA␈ε(j␈↓ πd␈ε6∀␈ε(␈α⊃m␈ε":␈α∃If␈↓ 	↓␈ε(T␈↓ 	 ␈ε"mod␈↓ 	j␈ε(p␈↓ 
≥␈ε"=␈α∩0,␈α⊃set
␈ββd␈↓ 	|␈ε+j
␈β∧β␈↓ α␈ε(T␈↓ α0␈ε6␈ ␈↓ α↑␈ε(T␈↓ αx␈ε"/␈↓ β
␈ε(p␈↓ β7␈ε"and␈↓ β⎇␈ε(e␈↓ ∧%␈ε6␈ ␈↓ ∧S␈ε(e␈↓ ∧z␈ε"+␈αλ1,␈αand␈αrepeat␈αthis␈αprocess␈αun␈α␈til␈↓ 	→␈ε(T␈↓ 	8␈ε"mod␈↓ 
α␈ε(p␈↓ 
.␈ε6≤␈ε"␈α
0.
␈β∧∂␈↓ β≤␈ε+j␈↓ ∧␈ε+j␈↓ ∧b␈ε+j␈↓ 
∀␈ε+j
␈β∧7␈↓ ↓L␈ε2E4.␈↓ α	␈ε"[Solution?]␈α⊗If␈↓ βf␈ε(T␈↓ ∧	␈ε"=␈α
1,␈αoutput␈αthe␈αv␈α}alues␈α(␈↓ πε␈ε(P␈↓ π"␈ε",␈↓ π2␈ε(e␈↓ πR␈ε",␈↓ πb␈ε(e␈↓ λα␈ε",␈↓ λ∩␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λB␈ε",␈↓ λR␈ε(e␈↓ λ⎇␈ε"),␈αwhich␈α
comprise␈αa
␈β∧C␈↓ πA␈ε%0␈↓ πq␈ε%1␈↓ λa␈ε+m
␈β∧b␈↓ α␈ε"solution␈α	to␈α	(18).␈α∂(If␈α
en␈α↓ough␈α	solutions␈α	ha␈α␈v␈α␈e␈α	been␈α	generated,␈α
w␈α␈e␈α	ma␈α␈y␈α	terminate
␈β¬
␈↓ α␈ε"the␈αalgorithm␈αn␈α↓o␈α␈w.)
␈β¬;␈↓ βt␈ε90␈↓ 	ε␈ε90␈↓ 
B␈ε90
␈β¬A␈↓ ↓L␈ε2E5.␈↓ α	␈ε"[Adv␈α}ance␈↓ β&␈ε(P␈↓ βA␈ε",␈↓ βY␈ε(P␈↓ β}␈ε".]␈α≤If␈↓ ∧S␈ε(V␈↓ ∧⎇␈ε6≤␈ε"␈α
1,␈α∞set␈↓ ε⊃␈ε(T␈↓ ε7␈ε6␈ ␈↓ εh␈ε(P␈↓ πβ␈ε",␈↓ π≠␈ε(P␈↓ πC␈ε6␈ ␈ε"␈α(␈ε(A␈↓ λ→␈ε(P␈↓ λ>␈ε"+␈↓ λk␈ε(P␈↓ 	⊂␈ε")␈↓ 	"␈ε"mod␈↓ 	l␈ε(N␈↓ 
∂␈ε",␈↓ 
'␈ε(P␈↓ 
X␈ε6␈ ␈↓ 	␈ε(T␈↓ "␈ε",
␈β¬l␈↓ α␈ε"and␈αreturn␈αto␈αstep␈αE2.␈α∂Otherwise␈αthe␈αcon␈α␈tin␈α␈ued␈αfraction␈αprocess␈αhas␈α
started
␈βε_␈↓ α␈ε"to␈αrepeat␈αits␈αcy␈α␈cle,␈αexcept␈αperhaps␈αfor␈↓ εi␈ε(S␈↓ πα␈ε",␈αso␈αthe␈αalgorithm␈αterminates.␈α_The
␈βεC␈↓ α␈ε"cy␈α␈cle␈αwill␈αusually␈αbe␈αso␈αlong␈αthat␈αthis␈αdoesn't␈αhappen.)
␈βεL␈↓ 	
␈∧εL	
≠∂
␈βε␈␈↓ α␈ε"W␈α⎇e␈α
can␈α
illustrate␈αthe␈α
application␈α
of␈α
Algorithm␈αE␈α
to␈α
relativ␈α␈ely␈α
small␈α
n␈α␈um␈α␈bers
␈βπ+␈↓ ↓H␈ε"by␈α
considering␈α
the␈α
case␈↓ ∧E␈ε(N␈↓ ∧s␈ε"=␈α197209,␈↓ ε&␈ε(k␈↓ εF␈ε"=␈α1,␈ε(␈α
m␈ε"␈α=␈α3,␈↓ λ#␈ε(p␈↓ λR␈ε"=␈α2,␈↓ 	+␈ε(p␈↓ 	Y␈ε"=␈α3,␈↓ 
2␈ε(p␈↓ 
a␈ε"=␈α5.
␈βπ7␈↓ λ5␈ε%1␈↓ 	=␈ε%2␈↓ 
D␈ε%3
␈βπV␈↓ ↓H␈ε"The␈αcomputation␈αproceeds␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈βλ≠␈↓ β ␈ε(U␈↓ ∧∂␈ε(V␈↓ ∧w␈ε(A␈↓ ¬x␈ε(P␈↓ εu␈ε(S␈↓ πd␈ε(T␈↓ 	8␈ε"Output
␈βλQ␈↓ ↓H␈ε"A$er␈αE1:␈↓ β∪␈ε"888␈↓ ∧'␈ε"1␈↓ ¬∧␈ε"0␈↓ εε␈ε"444␈↓ ε|␈ε"0␈↓ πZ␈ε"←
␈βλ|␈↓ ↓H␈ε"A$er␈αE4:␈↓ β∪␈ε"876␈↓ ∧∃␈ε"73␈↓ ∧r␈ε"12␈↓ εε␈ε"444␈↓ ε|␈ε"1␈↓ πZ␈ε"73
␈β	'␈↓ ↓H␈ε"A$er␈αE4:␈↓ β∪␈ε"882␈↓ ∧β␈ε"145␈↓ ¬∧␈ε"6␈↓ ¬t␈ε"5329␈↓ ε|␈ε"0␈↓ πZ␈ε"29
␈β	R␈↓ ↓H␈ε"A$er␈αE4:␈↓ β∪␈ε"857␈↓ ∧∃␈ε"37␈↓ ∧r␈ε"23␈↓ ¬b␈ε"32418␈↓ ε|␈ε"1␈↓ πZ␈ε"37
␈β	x␈↓ 	#␈ε%2␈↓ 
"␈ε%4␈↓ 
←␈ε%2␈↓ ≤␈ε%1
␈β	}␈↓ ↓H␈ε"A$er␈αE4:␈↓ β∪␈ε"751␈↓ ∧β␈ε"720␈↓ ¬∧␈ε"1␈↓ ¬P␈ε"159316␈↓ ε|␈ε"0␈↓ πl␈ε"1␈↓ λ7␈ε"15931␈↓ 	⊃␈ε"6␈↓ 	>␈ε6⊃␈ε"␈α
+␈↓ 
⊂␈ε"2␈↓ 
;␈ε6↓␈↓ 
M␈ε"3␈↓ 
x␈ε6↓␈↓ 
␈ε"5
␈β
)␈↓ ↓H␈ε"A$er␈αE4:␈↓ β∪␈ε"852␈↓ ∧β␈ε"143␈↓ ¬∧␈ε"5␈↓ ¬P␈ε"191734␈↓ ε|␈ε"1␈↓ πH␈ε"143
␈β
T␈↓ ↓H␈ε"A$er␈αE4:␈↓ β∪␈ε"681␈↓ ∧β␈ε"215␈↓ ¬∧␈ε"3␈↓ ¬P␈ε"131941␈↓ ε|␈ε"0␈↓ πZ␈ε"43
␈β
␈␈↓ ↓H␈ε"A$er␈αE4:␈↓ β∪␈ε"863␈↓ ∧β␈ε"656␈↓ ¬∧␈ε"1␈↓ ¬P␈ε"193139␈↓ ε|␈ε"1␈↓ πZ␈ε"41
␈β*␈↓ ↓H␈ε"A$er␈αE4:␈↓ β∪␈ε"883␈↓ ∧∃␈ε"33␈↓ ∧r␈ε"26␈↓ ¬P␈ε"127871␈↓ ε|␈ε"0␈↓ πZ␈ε"11
␈βV␈↓ ↓H␈ε"A$er␈αE4:␈↓ β∪␈ε"821␈↓ ∧β␈ε"136␈↓ ¬∧␈ε"6␈↓ ¬P␈ε"165232␈↓ ε|␈ε"1␈↓ πZ␈ε"17
␈β{␈↓ 	#␈ε%2␈↓ 
"␈ε%0␈↓ 
←␈ε%4␈↓ ≤␈ε%1
␈β↓␈↓ ↓H␈ε"A$er␈αE4:␈↓ β∪␈ε"877␈↓ ∧β␈ε"405␈↓ ¬∧␈ε"2␈↓ ¬P␈ε"133218␈↓ ε|␈ε"0␈↓ πl␈ε"1␈↓ λ7␈ε"13321␈↓ 	⊃␈ε"8␈↓ 	>␈ε6⊃␈ε"␈α
+␈↓ 
⊂␈ε"2␈↓ 
;␈ε6↓␈↓ 
M␈ε"3␈↓ 
x␈ε6↓␈↓ 
␈ε"5
␈β&␈↓ 	#␈ε%2␈↓ 
"␈ε%3␈↓ 
←␈ε%1␈↓ ≤␈ε%0
␈β,␈↓ ↓H␈ε"A$er␈αE4:␈↓ β∪␈ε"875␈↓ ∧∃␈ε"24␈↓ ∧r␈ε"36␈↓ ¬b␈ε"37250␈↓ ε|␈ε"1␈↓ πl␈ε"1␈↓ λI␈ε"3725␈↓ 	⊃␈ε"0␈↓ 	>␈ε6⊃␈α
␈␈↓ 
⊂␈ε"2␈↓ 
;␈ε6↓␈↓ 
M␈ε"3␈↓ 
x␈ε6↓␈↓ 
␈ε"5
␈βW␈↓ ↓H␈ε"A$er␈αE4:␈↓ β∪␈ε"490␈↓ ∧β␈ε"477␈↓ ¬∧␈ε"1␈↓ ¬b␈ε"93755␈↓ ε|␈ε"0␈↓ πZ␈ε"53
␈β
$␈↓ ↓H␈ε"Con␈α␈tin␈α␈uing␈αthe␈αcomputation␈αgiv␈α␈es␈α25␈αoutputs␈αin␈αthe␈α|rst␈α100␈αiterations;␈αin␈αother
␈β
P␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈ords,␈α
the␈α
algorithm␈α
is␈α
|nding␈αsolutions␈α
quite␈α
rapidly.␈α∂But␈α
some␈α
of␈α
the␈α
solutions
␈β
{␈↓ ↓H␈ε"are␈α	trivial.␈α∂F␈α⎇or␈α	example,␈α
if␈α	the␈α	abo␈α␈v␈α␈e␈α	computation␈α	w␈α␈ere␈α	con␈α␈tin␈α␈ued␈α	13␈α	m␈α↓ore␈α	times,
␈β∞ ␈↓ ¬w␈ε%2␈↓ εS␈ε%4␈↓ π⊂␈ε%2␈↓ πN␈ε%0
␈β∞&␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈e␈αw␈α␈ould␈αobtain␈α
the␈αoutput␈α19719␈↓ ¬e␈ε"7␈↓ ε∪␈ε6⊃␈↓ εA␈ε"2␈↓ εl␈ε6↓␈↓ ε}␈ε"3␈↓ π)␈ε6↓␈↓ π<␈ε"5␈↓ π↑␈ε",␈α
which␈αis␈αof␈α
n␈α↓o␈αin␈α␈terest␈αsince
␈β∞Q␈↓ ↓H␈ε"197197␈ε6␈α
⊃␈α
␈␈ε"12.␈α∃The␈α∞|rst␈α∞t␈α␈w␈α␈o␈α∞solutions␈α
abo␈α␈v␈α␈e␈α∞are␈α∞already␈α∞en␈α↓ough␈α∞to␈α
complete
␈β∞|␈↓ ↓H␈ε"the␈αfactorization:␈αW␈α⎇e␈αha␈α␈v␈α␈e␈αfound␈αthat
␈β∂B␈↓ ¬'␈ε%2␈↓ ε∞␈ε%2␈↓ εK␈ε%3␈↓ ππ␈ε%1␈↓ π$␈ε%2
␈β∂I␈↓ β≥␈ε"(159316␈ε6␈αλ↓␈ε"␈αλ133218␈↓ ¬≠␈ε")␈↓ ¬B␈ε6⊃␈ε"␈α
(␈↓ ¬|␈ε"2␈↓ ε'␈ε6↓␈↓ ε9␈ε"3␈↓ εc␈ε6↓␈↓ εu␈ε"5␈↓ π_␈ε")␈↓ πI␈ε"(modulo␈α197209);
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"th␈α␈us␈α(17)␈α
h␈α↓olds␈αwith␈ε(␈α
x␈ε"␈α=␈α(159316␈ε6␈αλ↓␈ε"␈αλ133218)␈↓ εp␈ε"mod␈↓ π:␈ε"197209␈α=␈α126308,␈↓ 	c␈ε(y␈↓ 
↓␈ε"=␈α540.␈α⊃By
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"Euclid's␈α	algorithm,␈↓ βy␈ε"gcd␈↓ ∧/␈ε"(126308␈ε6␈αα␈␈ε"␈αβ540,␈αε197209)␈α
=␈α
199;␈α
hence␈α
w␈α␈e␈α	obtain␈α	the␈α	prett␈α␈y
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"factorization
␈β⊃_␈↓ ¬ ␈ε"197209␈α
=␈α
199␈ε6␈αλ↓␈ε"␈αλ991.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.4␈↓ 
v␈ε"383
␈β↓\␈↓ π≡␈ε∞F␈α|ACTORING␈αINTO␈α
P␈α␈RIM␈α↓ES
␈βα$␈↓ α␈ε"W␈α⎇e␈α
can␈αget␈α
some␈α
understanding␈αof␈α
wh␈α␈y␈α
Algorithm␈αE␈α
factors␈α
large␈αn␈α␈um␈α␈bers
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"so␈αsuccessfully␈α
by␈αconsidering␈α
a␈α
heuristic␈αanalysis␈α
of␈αits␈α
running␈α
time,␈αfollo␈α␈wing
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"unpublished␈αideas␈αthat␈αR.␈↓ ∧j␈ε"Schroeppel␈αcomm␈α␈unicated␈αto␈αthe␈αauth␈α↓or␈αin␈α1975.␈α∂Let
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"us␈α	assume␈α	for␈α	con␈α␈v␈α␈enience␈α	that␈↓ ¬-␈ε(k␈↓ ¬L␈ε"=␈α
1.␈α∂The␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈α	of␈α	outputs␈α	needed␈αλto␈α	produce
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε"a␈αλfactorization␈α	of␈↓ βW␈ε(N␈↓ ∧β␈ε"will␈αλbe␈α	roughly␈αλproportional␈α	to␈αλthe␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈ε(␈αλm␈ε"␈αλof␈α	small␈αλprimes
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"being␈α∞cast␈α∞out.␈α↔Each␈α∂execution␈α∞of␈α∞step␈α∂E3␈α∞tak␈α␈es␈α∞about␈α∂order␈ε(␈α∞m␈↓ 	M␈ε"log␈↓ 
↓␈ε(N␈↓ 
2␈ε"units␈α∞of
␈β∧!␈↓ 

␈ε%2
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε"time,␈α∪so␈α∩the␈α⊃total␈α∩running␈α∩time␈α∩will␈α⊃be␈α∩roughly␈α∩proportional␈α∩to␈↓ 	m␈ε(m␈↓ 
$␈ε"log␈↓ 
X␈ε(N␈↓ 
u␈ε"/␈↓ π␈ε(P␈↓ "␈ε",
␈β∧R␈↓ ↓H␈ε"where␈↓ α1␈ε(P␈↓ αY␈ε"is␈α
the␈α
probabilit␈α␈y␈α∞of␈α
a␈α
successful␈α
output␈α
per␈α
iteration.␈α∪If␈α
w␈α␈e␈α
mak␈α␈e␈α
the
␈β∧x␈↓ 
&␈ε6p
␈β∧{␈↓ 
D␈∧∧{
Dα#
␈β∧}␈↓ ↓H␈ε"conserv␈α}ativ␈α␈e␈α	assumption␈αλthat␈↓ ¬∃␈ε(V␈↓ ¬<␈ε"is␈α	randomly␈α	distributed␈αλbet␈α␈w␈α␈een␈α	0␈α	and␈α	2␈↓ 
D␈ε(N␈↓ 
g␈ε",␈α	the
␈β¬#␈↓ ∧A␈ε9␈␈ε%1
␈β¬$␈↓ βn␈ε6p␈↓ 	↔␈ε6p
␈β¬'␈↓ ∧␈∧¬'∧α#␈↓ 	5␈∧¬'	5α#
␈β¬)␈↓ ↓H␈ε"probabilit␈α␈y␈↓ β↓␈ε(P␈↓ β*␈ε"is␈α∞(2␈↓ ∧␈ε(N␈↓ ∧5␈ε")␈↓ ∧⎇␈ε"times␈α∞the␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α∞in␈α␈tegers␈α
<␈α
2␈↓ 	5␈ε(N␈↓ 	f␈ε"wh␈α↓ose␈α
prime
␈β¬T␈↓ ↓H␈ε"factors␈α∞are␈α∞all␈α∞in␈α∂the␈α∞set␈ε6␈α∞f␈↓ ∧k␈ε(p␈↓ ¬∞␈ε",␈↓ ¬≡␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬N␈ε",␈↓ ¬↑␈ε(p␈↓ ε␈ε6g␈ε".␈α↔Exercise␈α∞29␈α∂giv␈α␈es␈α∞a␈α∞lo␈α␈w␈α␈er␈α∞bound␈α∂for␈↓ π␈ε(P␈↓ "␈ε",
␈β¬`␈↓ ∧⎇␈ε%1␈↓ ¬p␈ε+m
␈β¬␈␈↓ ↓H␈ε"from␈αwhich␈αw␈α␈e␈αconclude␈αthat␈αthe␈αrunning␈αtime␈αis␈αat␈αm␈α↓ost␈αof␈αorder
␈βεJ␈↓ πX␈ε↓$␈↓ λx␈ε↓%
␈βεP␈↓ ∧↑␈ε%2
␈βεQ␈↓ βw␈ε6p␈↓ λ3␈ε6p
␈βεT␈↓ ∧∃␈∧εT∧∃α#␈↓ λQ␈∧εTλQα#
␈βεV␈↓ βe␈ε"2␈↓ ∧∃␈ε(N␈↓ ∧>␈ε(m␈↓ ∧u␈ε"log␈↓ ¬)␈ε(N␈↓ πm␈ε"log␈↓ λ!␈ε"2␈↓ λQ␈ε(N
␈βεn␈↓ ¬P␈ε",␈↓ ε(␈ε"where␈↓ π⊂␈ε(r␈↓ π*␈ε"=␈↓ 		␈ε".␈↓ 
p␈ε"(21)
␈βπα␈↓ βe␈∧παβeα↓g␈↓ πm␈∧παπmα↓π
␈βπ∧␈↓ ∧J␈ε+r
␈βππ␈↓ ∧*␈ε(m␈↓ ∧Z␈ε"/␈↓ ∧l␈ε(r␈↓ ∧|␈ε"!␈↓ π␈␈ε"log␈↓ λ3␈ε(p
␈βπ∀␈↓ λE␈ε+m
␈βπE␈↓ λF␈ε↓p
␈βπ`␈↓ ∧⊂␈ε6p
␈βπa␈↓ β⎇␈ε%1
␈βπc␈↓ ∧.␈∧πc∧.α↓>␈↓ λj␈∧πcλjα↓D
␈βπf␈↓ ↓H␈ε"If␈α∩w␈α␈e␈α∩let␈↓ αh␈ε"ln␈↓ β␈ε(m␈ε"␈α∀=␈↓ ∧4␈ε"ln␈↓ ∧X␈ε(N␈↓ ¬↓␈ε"ln␈↓ ¬%␈ε"ln␈↓ ¬I␈ε(N␈↓ ¬l␈ε",␈α∀w␈α␈e␈α∩|nd␈α∪that␈↓ πh␈ε(r␈↓ λ
␈ε"=␈↓ λp␈ε"ln␈↓ 	∀␈ε(N␈↓ 	1␈ε"/␈↓ 	C␈ε"ln␈↓ 	g␈ε"ln␈↓ 
␈ε(N␈↓ 
:␈ε6␈␈ε"␈α1␈α+
␈βπv␈↓ β⎇␈ε%2
␈βπz␈↓ β⎇␈∧πzβ⎇α⊂
␈βλ⊃␈↓ ↓H␈ε(O␈↓ ↓d␈ε"(␈↓ ↓p␈ε"log␈↓ α$␈ε"log␈↓ αX␈ε"log␈↓ β␈ε(N␈↓ β)␈ε"/␈↓ β;␈ε"log␈↓ βo␈ε"log␈↓ ∧#␈ε(N␈↓ ∧F␈ε"),␈α∃assuming␈α∩that␈↓ εh␈ε(p␈↓ π,␈ε"=␈↓ πe␈ε(O␈↓ λα␈ε"(␈ε(m␈↓ λ3␈ε"log␈↓ λg␈ε(m␈ε"),␈α∃so␈α∪form␈α␈ula␈α∩(21)
␈βλ≥␈↓ εz␈ε+m
␈βλ<␈↓ ↓H␈ε"reduces␈αto
␈βλl␈↓ αd␈ε↓p
␈βλm␈↓ αD␈ε↓␈␈↓ ¬O␈ε↓␈␈↓ 
B␈ε↓↓␈↓ 
P␈ε↓↓
␈β	∧␈↓ εL␈ε%1/2␈↓ λ≡␈ε9␈␈ε%1/2
␈β	
␈↓ βλ␈∧	
βλα↓b
␈β	␈↓ α␈ε"e␈↓ α≤␈ε"x␈↓ α0␈ε"p␈↓ αR␈ε"2␈↓ βλ␈ε"(␈↓ β∀␈ε"ln␈↓ β8␈ε(N␈↓ β[␈ε")(␈↓ βs␈ε"ln␈↓ ∧↔␈ε"ln␈↓ ∧;␈ε(N␈↓ ∧↑␈ε")␈↓ ∧|␈ε"+␈↓ ¬2␈ε(O␈↓ ¬]␈ε"(␈↓ ¬i␈ε"log␈↓ ε≥␈ε(N␈↓ ε@␈ε")␈↓ ε{␈ε"(␈↓ ππ␈ε"log␈↓ π;␈ε"log␈↓ πo␈ε(N␈↓ λ∩␈ε")␈↓ λk␈ε"(␈↓ λw␈ε"log␈↓ 	+␈ε"log␈↓ 	←␈ε"log␈↓ 
∪␈ε(N␈↓ 
6␈ε")␈↓ 
↑␈ε".
␈β	\␈↓ ↓H␈ε"Stating␈α∂this␈α⊂an␈α↓other␈α∂w␈α␈a␈α␈y,␈α⊃the␈α∂running␈α⊂time␈α∂of␈α⊂Algorithm␈α∂E␈α⊂is␈α∂expected␈α⊂to␈α∂be
␈β
↓␈↓ α|␈ε+∂␈ε%(␈↓ β∪␈ε+N␈↓ β.␈ε%)
␈β
π␈↓ ↓H␈ε"at␈α∩m␈α↓ost␈↓ αY␈ε(N␈↓ βL␈ε"under␈α∩reasonably␈α∪plausible␈α∩assumptions,␈α∪where␈α∩the␈α∩exponen␈α␈t
␈β
∩␈↓ α[␈ε↓p
␈β
0␈↓ α␈␈∧
0α␈α↓D
␈β
3␈↓ ↓H␈ε(∂␈ε"␈α␈(␈↓ ↓b␈ε(N␈↓ α¬␈ε")␈ε6␈α
→␈ε"␈α
2␈↓ β¬␈ε"ln␈↓ β)␈ε"ln␈↓ βM␈ε(N␈↓ βj␈ε"/␈↓ β|␈ε"ln␈↓ ∧ ␈ε(N␈↓ ∧O␈ε"goes␈αto␈α0␈αas␈↓ ε∪␈ε(N␈↓ ε@␈ε6!␈α
1␈ε".
␈β
↑␈↓ α␈ε"When␈↓ αu␈ε(N␈↓ β$␈ε"is␈αin␈α
a␈αpractical␈α
range,␈α
w␈α␈e␈αsh␈α↓ould␈α
of␈αcourse␈αbe␈α
careful␈αn␈α↓ot␈α
to␈αtak␈α␈e
␈ββ␈↓ 	⎇␈ε%50
␈β	␈↓ ↓H␈ε"such␈α∂asymptotic␈α⊂estimates␈α⊂to␈α↓o␈α∂seriously.␈α≤F␈α⎇or␈α∂example,␈α⊃if␈↓ λr␈ε(N␈↓ 	%␈ε"=␈α⊂1␈↓ 	k␈ε"0␈↓ 
-␈ε"w␈α␈e␈α∂ha␈α␈v␈α␈e
␈β.␈↓ ↓k␈ε%1/␈ε+␈↓ β3␈ε+
␈β4␈↓ ↓H␈ε(N␈↓ α(␈ε"=␈α
(␈↓ αb␈ε"lg␈↓ β∧␈ε(N␈↓ β'␈ε")␈↓ βR␈ε"when␈ε(␈α␈ε6␈α
→␈ε"␈α
4.75,␈α
and␈αthe␈α
same␈α
relation␈αh␈α↓olds␈α
for␈ε(␈α
␈ε6␈α
→␈ε"␈α
8.42␈α
when
␈βY␈↓ αJ␈ε%2␈α↓00␈↓ ¬∀␈ε+∂␈ε%␈α↓(␈↓ ¬+␈ε+N␈↓ ¬G␈ε%)
␈β←␈↓ ↓H␈ε(N␈↓ ↓w␈ε"=␈α1␈↓ α8␈ε"0␈↓ αz␈ε".␈α∪The␈α
function␈↓ ∧q␈ε(N␈↓ ¬`␈ε"has␈α
an␈α
order␈α
of␈α∞gro␈α␈wth␈α
that␈α
is␈α
sort␈α
of␈α
a␈α
cross
␈β¬␈↓ αy␈ε%1/␈ε+␈↓ ∧d␈ε+
␈β␈↓ ↓H␈ε"bet␈α␈w␈α␈een␈↓ αV␈ε(N␈↓ β<␈ε"and␈α⊃(␈↓ ∧∪␈ε"lg␈↓ ∧5␈ε(N␈↓ ∧X␈ε")␈↓ ∧y␈ε";␈α∩but␈α⊂all␈α⊂three␈α⊂of␈α⊃these␈α⊂forms␈α⊂are␈α⊂about␈α⊂the␈α⊂same,
␈β6␈↓ ↓H␈ε"unless␈↓ α5␈ε(N␈↓ αg␈ε"is␈α∂in␈α␈tolerably␈α∂large.␈α~Extensiv␈α␈e␈α∂computational␈α∂experimen␈α␈ts␈α∂by␈α∂M.␈α∂C.
␈βa␈↓ ↓H␈ε"W␈α⎇underlich␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
sh␈α↓o␈α␈wn␈α
that␈α
a␈α
w␈α␈ell-tuned␈α
v␈α␈ersion␈α
of␈α
Algorithm␈α
E␈α
performs␈α
m␈α␈uch
␈β
␈↓ ↓H␈ε"better␈αthan␈αour␈αestimate␈αw␈α␈ould␈αindicate␈α[cf.␈ε/␈αLecture␈αNotes␈αin␈αMath.␈ε2␈α751␈ε"␈α(1979),
␈β
≠␈↓ ∧
␈ε↓p
␈β
5␈↓ λ<␈ε%50
␈β
9␈↓ ∧1␈∧
9∧1α↓>
␈β
;␈↓ ↓H␈ε"328↑342];␈αalth␈α↓ough␈α2␈↓ ∧1␈ε"ln␈↓ ∧U␈ε"ln␈↓ ∧y␈ε(N␈↓ ¬⊗␈ε"/␈↓ ¬(␈ε"ln␈↓ ¬L␈ε(N␈↓ ¬y␈ε6→␈ε"␈α
.41␈αwhen␈↓ π=␈ε(N␈↓ πj␈ε"=␈α
1␈↓ λ*␈ε"0␈↓ λ\␈ε",␈αhe␈αobtained␈α
running
␈β
`␈↓ β\␈ε%.15␈↓ 
↑␈ε%13
␈β
f␈↓ ↓H␈ε"times␈αof␈α
about␈↓ β9␈ε(N␈↓ ∧⊃␈ε"while␈α
factoring␈αth␈α↓ousands␈α
of␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αin␈α
the␈αrange␈α
1␈↓ 
L␈ε"0␈↓ λ␈ε6∀
␈β∞␈↓ αG␈ε%42
␈β∞⊃␈↓ ↓H␈ε(N␈↓ ↓u␈ε6∀␈ε"␈α
1␈↓ α5␈ε"0␈↓ αg␈ε".
␈β∞=␈↓ α␈ε"Algorithm␈α∂E␈α∞begins␈α∂its␈α∂attempt␈α∞to␈α∂factorize␈↓ πW␈ε(N␈↓ λλ␈ε"by␈α∂essen␈α␈tially␈α∂replacing␈↓ 	␈ε(N
␈β∞h␈↓ ↓H␈ε"by␈↓ ↓⎇␈ε(k␈↓ α⊃␈ε(N␈↓ α4␈ε",␈α⊂and␈α∞this␈α∂is␈α∞a␈α∂rather␈α∞curious␈α∂w␈α␈a␈α␈y␈α∂to␈α∞proceed␈α∂(if␈α∞n␈α↓ot␈α∂do␈α␈wnrigh␈α␈t␈α∞stupid).
␈β∂∪␈↓ ↓H␈ε"Nev␈α␈ertheless,␈αit␈αturns␈α
out␈αto␈α
be␈αa␈αgo␈α↓od␈α
idea,␈αsince␈αcertain␈α
v␈α}alues␈αof␈↓ 	u␈ε(k␈↓ 
∃␈ε"will␈αmak␈α␈e
␈β∂>␈↓ ↓H␈ε"the␈↓ α	␈ε(V␈↓ α5␈ε"n␈α␈um␈α␈bers␈α∂poten␈α␈tially␈α∂divisible␈α⊂by␈α∂m␈α↓ore␈α∂small␈α∂primes,␈α∂hence␈α∂they␈α∂will␈α∂be
␈β∂i␈↓ ↓H␈ε"m␈α↓ore␈α∞lik␈α␈ely␈α∞to␈α∞factor␈α∞completely␈α∂in␈α∞step␈α∞E3.␈α↔On␈α∞the␈α∞other␈α∞hand,␈α∂a␈α∞large␈α∞v␈α}alue
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈ε"of␈↓ ↓v␈ε(k␈↓ α~␈ε"will␈α⊂mak␈α␈e␈α⊂the␈↓ ∧π␈ε(V␈↓ ∧5␈ε"n␈α␈um␈α␈bers␈α∂larger,␈α⊃hence␈α⊂they␈α⊂will␈α⊂be␈α⊂less␈α⊂lik␈α␈ely␈α⊂to␈α⊂factor
␈β⊂@␈↓ ↓H␈ε"completely;␈α
w␈α␈e␈α
w␈α␈an␈α␈t␈α
to␈αbalance␈α
these␈α
tendencies␈α
by␈α
ch␈α↓o␈α↓osing␈↓ 	α␈ε(k␈↓ 	 ␈ε"wisely.␈α∂Consider,
␈β⊂e␈↓ 	G␈ε%2␈↓ 
f␈ε%2
␈β⊂k␈↓ ↓H␈ε"for␈α⊂example,␈α∩the␈α⊃divisibilit␈α␈y␈α⊂of␈↓ ¬I␈ε(V␈↓ ¬w␈ε"by␈α⊃po␈α␈w␈α␈ers␈α⊃of␈α⊂5.␈α≡W␈α⎇e␈α⊃ha␈α␈v␈α␈e␈↓ 	,␈ε(P␈↓ 	c␈ε6␈␈↓ 
∩␈ε(k␈↓ 
&␈ε(N␈↓ 
I␈ε(Q␈↓ λ␈ε"=
␈β⊃⊂␈↓ α⊗␈ε+S␈↓ πE␈ε%2␈↓ λd␈ε%2
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε"(␈ε6␈␈ε"1␈↓ α
␈ε")␈↓ α,␈ε(V␈↓ αV␈ε"in␈α
step␈αE3,␈α
so␈α
if␈α
5␈αdivides␈↓ ¬v␈ε(V␈↓ ε ␈ε"w␈α␈e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈↓ π*␈ε(P␈↓ πa␈ε6⊃␈↓ λ⊂␈ε(k␈↓ λ$␈ε(N␈↓ λG␈ε(Q␈↓ 	␈ε"(modulo␈α5).␈α∩In␈αthis
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"384␈↓ 
b␈ε"4.5.4
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"congruence␈ε(␈αQ␈ε"␈α
cann␈α↓ot␈α
be␈αa␈α
m␈α␈ultiple␈αof␈α
5,␈α
since␈αit␈α
is␈αrelativ␈α␈ely␈α
prime␈αto␈↓ 
%␈ε(P␈↓ 
@␈ε",␈α
so␈αw␈α␈e
␈βαI␈↓ βW␈ε%2
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"ma␈α␈y␈α
write␈α∞(␈↓ β↓␈ε(P␈↓ β≤␈ε"/␈ε(Q␈↓ βK␈ε")␈↓ βu␈ε6⊃␈↓ ∧%␈ε(k␈↓ ∧9␈ε(N␈↓ ∧i␈ε"(modulo␈α5).␈α∃If␈α∞w␈α␈e␈α
assume␈α∞that␈↓ λ\␈ε(P␈↓ 	¬␈ε"and␈ε(␈α∞Q␈ε"␈α∞are␈α
random
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"relativ␈α␈ely␈α	prime␈αλin␈α␈tegers,␈α
so␈α	that␈α	the␈α	24␈α	possible␈α	pairs␈αλ(␈↓ λ⊂␈ε(P␈↓ λ2␈ε"mod␈↓ λ|␈ε"5,␈ε(␈αεQ␈↓ 	@␈ε"mod␈↓ 

␈ε"5)␈ε6␈α
≤␈ε"␈α
(0,␈αε0)
␈ββ!␈↓ 	G␈ε%4␈↓ 
ε␈ε%8
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"are␈α
equally␈α∞lik␈α␈ely,␈α∞the␈α∞probabilit␈α␈y␈α
that␈α∞5␈α
divides␈↓ πQ␈ε(V␈↓ π|␈ε"is␈α∞therefore␈↓ 	b␈ε",␈↓ 
 ␈ε",␈α∞0,␈α∞0,␈α∞or
␈ββ6␈↓ 	@␈ε%24␈↓ 	}␈ε%24
␈ββ:␈↓ 	@␈∧β:	@α∨␈↓ 	}␈∧β:	}α∨
␈ββL␈↓ ↓S␈ε%8
␈ββQ␈↓ ↓|␈ε"according␈α∞as␈↓ βN␈ε(k␈↓ βb␈ε(N␈↓ ∧␈ε"mod␈↓ ∧U␈ε"5␈α∞is␈α∞0,␈α∞1,␈α∞2,␈α∂3,␈α∞or␈α∞4.␈α⊗Similarly␈α∞the␈α∞probabilit␈α␈y␈α∞that␈α
25
␈ββb␈↓ ↓L␈ε%24
␈ββe␈↓ ↓L␈∧βe↓Lα∨
␈ββw␈↓ βR␈ε%40␈↓ ∧{␈ε%4␈α↓0
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"divides␈↓ αD␈ε(V␈↓ αr␈ε"is␈α⊂0,␈↓ β|␈ε",␈α⊂0,␈α⊃0,␈↓ ¬5␈ε"respectiv␈α␈ely,␈α⊃unless␈↓ πu␈ε(k␈↓ λ	␈ε(N␈↓ λ;␈ε"is␈α⊂a␈α⊂m␈α␈ultiple␈α⊂of␈α∂25.␈α≠In
␈β∧
␈↓ βJ␈ε%60␈α↓0␈↓ ∧t␈ε%600
␈β∧⊂␈↓ βJ␈∧∧⊂βJα.␈↓ ∧t␈∧∧⊂∧tα.
␈β∧!␈↓ εK␈ε%(␈ε+␈α↓p␈ε9␈␈ε%1)/2
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε"general,␈αgiv␈α␈en␈αan␈α
odd␈αprime␈ε(␈α
p␈ε"␈αwith␈α(␈↓ ελ␈ε(k␈↓ ε≤␈ε(N␈↓ ε?␈ε")␈↓ πB␈ε"mod␈↓ λ␈ε(p␈ε"␈α=␈α
1,␈α
w␈α␈e␈α|nd␈α
that␈↓ 
L␈ε(V␈↓ 
v␈ε"is␈αa
␈β∧4␈↓ ¬N␈ε↓␈␈↓ π⊂␈ε↓↓
␈β∧L␈↓ β␈ε+e␈↓ ¬n␈ε+e␈ε9␈␈ε%1
␈β∧R␈↓ ↓H␈ε"m␈α␈ultiple␈α	of␈↓ αz␈ε(p␈↓ β%␈ε"with␈α	probabilit␈α␈y␈α
2/␈↓ ¬\␈ε(p␈↓ ε*␈ε"(␈ε(p␈ε"␈αβ+␈αβ1)␈↓ π≡␈ε";␈αand␈α
the␈α	a␈α␈v␈α␈erage␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α	times
␈β∧x␈↓ ∧⎇␈ε%2
␈β∧}␈↓ ↓H␈ε(p␈ε"␈α∞divides␈↓ αc␈ε(V␈↓ β∂␈ε"comes␈α∞to␈α∞2␈ε(p␈ε"/(␈↓ ∧k␈ε(p␈↓ ¬↔␈ε6␈␈ε"␈α
1).␈α⊗This␈α∞analysis,␈α∂suggested␈α∞by␈α∞R.␈α∞Schroeppel,
␈β¬)␈↓ ↓H␈ε"suggests␈αthat␈αthe␈αbest␈αch␈α↓oice␈αof␈↓ ¬C␈ε(k␈↓ ¬c␈ε"is␈αthe␈αv␈α}alue␈αthat␈αmaximizes
␈β¬a␈↓ ∧b␈ε↓X
␈β¬}␈↓ πB␈ε%1
␈βεβ␈↓ ¬8␈ε(f␈↓ ¬M␈ε"(␈ε(p␈ε",␈↓ ¬{␈ε(k␈↓ ε∂␈ε(N␈↓ ε2␈ε")␈↓ εD␈ε"log␈↓ εx␈ε(p␈ε6␈αλ␈␈↓ π[␈ε"log␈↓ λ∂␈ε(k␈↓ λ$␈ε",␈↓ 
p␈ε"(22)
␈βε∀␈↓ πB␈ε%2
␈βε↔␈↓ πB␈∧ε↔πBα⊂
␈βε3␈↓ ∧G␈ε+p␈↓ ∧←␈ε%prime
␈βεz␈↓ ↓H␈ε"where␈↓ α/␈ε(f␈↓ αO␈ε"is␈αthe␈αfunction␈αde|ned␈αin␈αexercise␈α28␈αand␈αthe␈αsum␈αis␈αo␈α␈v␈α␈er␈αall␈αprimes␈αless
␈βπ%␈↓ ↓H␈ε"than␈α
or␈α∞equal␈α∞to␈↓ βX␈ε(p␈↓ ∧ε␈ε",␈α∂for␈α
this␈α∞is␈α∞essen␈α␈tially␈α
the␈α∞expected␈α
v␈α}alue␈α∞of␈α∞the␈α
logarithm
␈βπ1␈↓ βj␈ε+m
␈βπK␈↓ ↓r␈ε6p
␈βπN␈↓ α⊂␈∧πNα⊂α#
␈βπP␈↓ ↓H␈ε"of␈↓ α⊂␈ε(N␈↓ α3␈ε"/␈↓ αE␈ε(T␈↓ αj␈ε"when␈αw␈α␈e␈αreach␈αstep␈αE4.
␈βπ|␈↓ α␈ε"Best␈αresults␈αwill␈αbe␈αobtained␈αwith␈αAlgorithm␈αE␈αwhen␈αboth␈↓ 	$␈ε(k␈↓ 	D␈ε"and␈ε(␈αm␈ε"␈αare␈αw␈α␈ell
␈βλ(␈↓ ↓H␈ε"ch␈α↓osen.␈α∂The␈α
proper␈αch␈α↓oice␈α
of␈ε(␈αm␈ε"␈α
can␈α
only␈α
be␈αmade␈α
by␈α
experimen␈α␈tal␈αtesting,␈α
since
␈βλS␈↓ ↓H␈ε"the␈α∂asymptotic␈α∂analysis␈α∂w␈α␈e␈α∂ha␈α␈v␈α␈e␈α∂made␈α⊂is␈α∂to␈α↓o␈α∂crude␈α∂to␈α∂giv␈α␈e␈α∂su}cien␈α␈tly␈α∂precise
␈βλ}␈↓ ↓H␈ε"information,␈α⊂and␈α∂since␈α∂a␈α∂v␈α}ariet␈α␈y␈α⊂of␈α∂re|nemen␈α␈ts␈α∂to␈α∂the␈α⊂algorithm␈α∂tend␈α∂to␈α∂ha␈α␈v␈α␈e
␈β	)␈↓ ↓H␈ε"unpredictable␈αe{ects.␈α⊂F␈α⎇or␈αexample,␈αw␈α␈e␈αcan␈αmak␈α␈e␈αan␈αimportan␈α␈t␈αimpro␈α␈v␈α␈emen␈α␈t␈αby
␈β	T␈↓ ↓H␈ε"comparing␈αstep␈αE3␈αwith␈αAlgorithm␈αA␈↓ ε∞␈ε":␈αThe␈αfactoring␈αof␈↓ λ.␈ε(V␈↓ λW␈ε"can␈αstop␈αwhenev␈α␈er␈αw␈α␈e
␈β
␈↓ ↓H␈ε"|nd␈↓ α∂␈ε(T␈↓ α/␈ε"mod␈↓ αy␈ε(p␈↓ β$␈ε6≤␈ε"␈α
0␈αand␈ε6␈αb␈↓ ∧C␈ε(T␈↓ ∧]␈ε"/␈↓ ∧o␈ε(p␈↓ ¬⊂␈ε6c␈α
∀␈↓ ¬V␈ε(p␈↓ ¬w␈ε",␈αsince␈↓ εd␈ε(T␈↓ π	␈ε"will␈αthen␈αbe␈αeither␈α1␈αor␈αprime.␈α⊂If␈↓ ∪␈ε(T
␈β
␈↓ β␈ε+j␈↓ ¬↓␈ε+j␈↓ ¬h␈ε+j
␈β
%␈↓ π↔␈ε%2
␈β
+␈↓ ↓H␈ε"is␈α	a␈α
prime␈α	greater␈α
than␈↓ ∧1␈ε(p␈↓ ∧i␈ε"(it␈α	will␈α
be␈α	at␈α
m␈α↓ost␈↓ π¬␈ε(p␈↓ π7␈ε"+␈↓ π↑␈ε(p␈↓ λ∂␈ε6␈␈ε"␈αβ1␈α	in␈α
such␈α	a␈α
case),␈α
w␈α␈e␈α	can
␈β
7␈↓ ∧C␈ε+m␈↓ πp␈ε+m
␈β
<␈↓ π↔␈ε+m
␈β
V␈↓ ↓H␈ε"still␈αoutput␈α
(␈↓ β⊃␈ε(P␈↓ β,␈ε",␈↓ β<␈ε(e␈↓ β\␈ε",␈↓ βl␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ∧≤␈ε",␈↓ ∧,␈ε(e␈↓ ∧X␈ε",␈↓ ∧h␈ε(T␈↓ ¬↓␈ε"),␈α
since␈αa␈α
complete␈αfactorization␈α
has␈αbeen␈αobtained.
␈β
b␈↓ βK␈ε%0␈↓ ∧;␈ε+m
␈β↓␈↓ ↓H␈ε"The␈α⊃second␈α⊃phase␈α⊃of␈α⊃the␈α⊃algorithm␈α∩will␈α⊃use␈α⊃only␈α⊃th␈α↓ose␈α⊃outputs␈α⊃wh␈α↓ose␈α⊃prime
␈β,␈↓ ↓H␈ε(T␈↓ ↓a␈ε"'s␈α∂ha␈α␈v␈α␈e␈α∞occurred␈α∂at␈α∞least␈α∂t␈α␈wice.␈α↔This␈α∂m␈α↓odi|cation␈α∞giv␈α␈es␈α∂the␈α∞e{ect␈α∂of␈α∞a␈α∞m␈α␈uch
␈βX␈↓ ↓H␈ε"longer␈α∂list␈α⊂of␈α⊂primes,␈α⊃with␈α↓out␈α⊂increasing␈α∂the␈α⊂factorization␈α⊂time.␈α≠W␈α⎇underlich's
␈ββ␈↓ ↓H␈ε"experimen␈α␈ts␈α	indicate␈α
that␈ε(␈α	m␈ε6␈α
→␈ε"␈α
150␈α
w␈α␈orks␈α	w␈α␈ell␈α
in␈α	the␈α
presence␈α	of␈α
this␈α	re|nemen␈α␈t,
␈β(␈↓ ε⊂␈ε%40
␈β.␈↓ ↓H␈ε"when␈↓ α&␈ε(N␈↓ αU␈ε"is␈αin␈αthe␈αneigh␈α␈borh␈α↓o␈α↓od␈αof␈α1␈↓ ¬}␈ε"0␈↓ ε0␈ε".
␈βZ␈↓ α␈ε"Since␈α⊃step␈α⊃E3␈α∩is␈α⊃by␈α⊃far␈α⊃the␈α⊃m␈α↓ost␈α∩time-consuming␈α⊃part␈α⊃of␈α⊃the␈α⊃algorithm,
␈β
ε␈↓ ↓H␈ε"Morrison,␈↓ αg␈ε"Brillhart,␈αλand␈α	Schroeppel␈αλha␈α␈v␈α␈e␈αλsuggested␈αλsev␈α␈eral␈αλw␈α␈a␈α␈ys␈αλto␈αλabort␈αλthis␈αλstep
␈β
1␈↓ ↓H␈ε"when␈α
success␈α
becomes␈α
improbable:␈α∪(a)␈α
Whenev␈α␈er␈↓ πP␈ε(T␈↓ πt␈ε"changes␈α
to␈α
a␈α
single-precision
␈β
V␈↓ εF␈ε+T␈↓ ε[␈ε9␈␈ε%1
␈β
\␈↓ ↓H␈ε"v␈α}alue,␈α	con␈α␈tin␈α␈ue␈α
only␈α	if␈ε6␈α	b␈↓ ∧3␈ε(T␈↓ ∧M␈ε"/␈↓ ∧←␈ε(p␈↓ ¬␈ε6c␈ε"␈α
>␈↓ ¬F␈ε(p␈↓ ¬q␈ε"and␈↓ ε4␈ε"3␈↓ π⊂␈ε"mod␈↓ πZ␈ε(T␈↓ π⎇␈ε6≤␈ε"␈α
1.␈α⊂(b)␈α	Giv␈α␈e␈α
up␈α	if␈↓ 
.␈ε(T␈↓ 
Q␈ε"is␈α	still
␈β
h␈↓ ∧q␈ε+j␈↓ ¬X␈ε+j
␈β∞↓␈↓ αλ␈ε%2
␈β∞β␈↓ ¬j␈ε%1
␈β∞π␈↓ ↓H␈ε">␈↓ ↓v␈ε(p␈↓ α/␈ε"a$er␈αcasting␈αout␈αfactors␈α<␈↓ ε¬␈ε(p␈↓ ε3␈ε".␈α⊗(c)␈αCast␈αout␈αfactors␈αonly␈αup␈αto␈↓ 
8␈ε(p␈↓ 
[␈ε",␈αsa␈α␈y,
␈β∞∀␈↓ ε↔␈ε+m␈↓ 
J␈ε%5
␈β∞_␈↓ αλ␈ε+m␈↓ ¬c␈ε%10
␈β∞≠␈↓ ¬c␈∧∞≠¬cα∨
␈β∞2␈↓ ↓H␈ε"for␈α	batches␈α	of␈α	100␈αλor␈α	so␈α	consecutiv␈α␈e␈↓ ¬n␈ε(V␈↓ ε␈ε"'s;␈α
con␈α␈tin␈α␈ue␈α	the␈α	factorization␈α	later,␈α	but␈α	only
␈β∞↑␈↓ ↓H␈ε"on␈α∞the␈↓ α;␈ε(V␈↓ αg␈ε"from␈α∞each␈α∞batch␈α∞that␈α∞has␈α∞produced␈α
the␈α∞smallest␈α∞residual␈↓ 	|␈ε(T␈↓ 
⊗␈ε".␈α≤(Before
␈β∂↓␈↓ 	B␈ε+f␈↓ 	r␈ε+f␈↓ 
#␈ε+f␈↓ 
S␈ε+f␈↓ ∧␈ε+f
␈β∂	␈↓ ↓H␈ε"casting␈α
out␈α∞the␈α∞factors␈α∞up␈α∞to␈↓ ¬!␈ε(p␈↓ ¬C␈ε",␈α∂it␈α∞is␈α
wise␈α∞to␈α∞calculate␈↓ λ=␈ε(N␈↓ λf␈ε"mod␈↓ 	0␈ε(p␈↓ 	`␈ε(p␈↓ 
⊃␈ε(p␈↓ 
A␈ε(p␈↓ 
r␈ε(p␈↓ "␈ε",
␈β∂␈↓ 	P␈ε'1␈↓ 
↓␈ε'2␈↓ 
1␈ε'3␈↓ 
b␈ε'4␈↓ ∩␈ε'5
␈β∂∃␈↓ ¬3␈ε%5
␈β∂≠␈↓ 	B␈ε%1␈↓ 	r␈ε%2␈↓ 
#␈ε%3␈↓ 
S␈ε%4␈↓ ∧␈ε%5
␈β∂0␈↓ ε?␈ε+f␈↓ εo␈ε+f␈↓ π ␈ε+f␈↓ πP␈ε+f␈↓ λ↓␈ε+f
␈β∂8␈↓ ↓H␈ε"where␈αλthe␈↓ αg␈ε(f␈↓ α|␈ε"'s␈αλare␈α	small␈αλen␈α↓ough␈α	to␈αλmak␈α␈e␈↓ ε-␈ε(p␈↓ ε]␈ε(p␈↓ π∞␈ε(p␈↓ π>␈ε(p␈↓ πo␈ε(p␈↓ λ(␈ε"|t␈αλin␈α	single␈αλprecision,␈α	but
␈β∂:␈↓ εM␈ε'1␈↓ ε}␈ε'2␈↓ π.␈ε'3␈↓ π←␈ε'4␈↓ λ∂␈ε'5
␈β∂K␈↓ ε?␈ε%1␈↓ εo␈ε%2␈↓ π ␈ε%3␈↓ πP␈ε%4␈↓ λ↓␈ε%5
␈β∂`␈↓ ¬∨␈ε+f␈↓ ¬9␈ε%+1
␈β∂h␈↓ ↓H␈ε"large␈αλen␈α↓ough␈α	to␈α	mak␈α␈e␈↓ ∧≠␈ε(N␈↓ ∧C␈ε"mod␈↓ ¬
␈ε(p␈↓ ¬q␈ε"=␈α
0␈α	unlik␈α␈ely.␈α∂One␈α	single-precision␈αλremainder
␈β∂i␈↓ ¬.␈ε-i
␈β∂{␈↓ ¬∨␈ε+i
␈β⊂∪␈↓ ↓H␈ε"will␈αtherefore␈αcharacterize␈αthe␈αv␈α}alue␈αof␈↓ ε1␈ε(N␈↓ ε`␈ε"m␈α↓odulo␈α|v␈α␈e␈αsmall␈αprimes.)
␈β⊂@␈↓ α␈ε"F␈α⎇or␈α∞estimates␈α∂of␈α∞the␈α∂cy␈α␈cle␈α∞length␈α∞in␈α∂the␈α∞output␈α∂of␈α∞Algorithm␈α∞E,␈α∂see␈α∞D.␈α∞R.
␈β⊂k␈↓ ↓H␈ε"Hick␈α␈erson,␈ε/␈α	Paci|c␈αλJ.␈α	Math.␈ε2␈αλ46␈ε"␈α	(1973),␈α	429↑432;␈α
D.␈↓ πM␈ε"Shanks,␈ε/␈α	Proc.␈α	Boulder␈αλNum␈α␈ber
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε/Theory␈αConference␈ε"␈α(Univ.␈αof␈αColorado:␈α1972),␈α217↑224.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.4␈↓ 
v␈ε"385
␈β↓\␈↓ π≡␈ε∞F␈α|ACTORING␈αINTO␈α
P␈α␈RIM␈α↓ES
␈βα$␈↓ ↓H␈ε2Other␈α⊂approaches.␈ε"␈α"A␈α⊃completely␈α⊃di{eren␈α␈t␈α⊃meth␈α↓od␈α⊃of␈α⊃factorization,␈α∩based␈α⊂on
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"composition␈α∞of␈α∂binary␈↓ ∧2␈ε"quadratic␈α∂forms,␈α∂has␈α∞been␈α∂in␈α␈troduced␈α∞by␈α∂Daniel␈α∞Shanks
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"[␈ε/Proc.␈αSymp.␈αPure␈αMath.␈ε2␈α20␈ε"␈α(1971),␈α415↑440].␈α⊂Lik␈α␈e␈αAlgorithm␈αB,␈αit␈αwill␈αfactor␈αa
␈ββ ␈↓ βJ␈ε%(1␈α↓/4)+␈ε+∂
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"giv␈α␈en␈↓ α&␈ε(N␈↓ αU␈ε"in␈↓ α␈␈ε(O␈↓ β≠␈ε"(␈↓ β'␈ε(N␈↓ ∧8␈ε")␈αsteps␈αexcept␈αunder␈αwildly␈αimprobable␈αcircumstances.
␈ββQ␈↓ α␈ε"Still␈α∂an␈α↓other␈α∂importan␈α␈t␈α∞technique␈α∂has␈α∂been␈α∞suggested␈α∂by␈α∂John␈α∂M.␈↓ 
:␈ε"Pollard
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"[␈ε/Proc.␈αCam␈α␈bridge␈αPhil.␈αSoc.␈ε2␈α
76␈ε"␈α(1974),␈α521↑528].␈α⊃He␈αsh␈α↓o␈α␈ws␈α
in␈αessence␈αthat␈αeach
␈β∧	␈↓ ε␈ε↓␈␈↓ π⎇␈ε↓↓
␈β∧!␈↓ πm␈ε%4
␈β∧&␈↓ ε~␈ε6p
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε"prime␈αfactor␈ε6␈α∀␈ε(␈α
m␈ε"␈αcan␈αbe␈αfound␈αin␈↓ ¬p␈ε(O␈↓ ε8␈ε(m␈↓ ε↑␈ε"(␈↓ εj␈ε"log␈↓ π≡␈ε(m␈↓ π>␈ε(N␈↓ πa␈ε")␈↓ λ↔␈ε"steps,␈αwith␈αa␈αprobabilistic
␈β∧)␈↓ ε8␈∧∧)ε8α 
␈β∧R␈↓ ↓H␈ε"algorithm␈α∞that␈α∂uses␈α∂a␈α∞random␈ε(␈α∂x␈ε"␈α∂as␈α∞in␈α∂Algorithm␈α∂P␈α∞and␈α∂performs␈α∂suitable␈↓ 
r␈ε"fast
␈β∧}␈↓ ↓H␈ε"F␈α⎇ourier␈α∂transforms.␈α≠In␈α⊂this␈α⊂paper␈α∂Pollard␈α⊂also␈α⊂giv␈α␈es␈α∂a␈α⊂practical␈α⊂algorithm␈α∂for
␈β¬)␈↓ ↓H␈ε"disco␈α␈v␈α␈ering␈αλprime␈αλfactors␈ε(␈α	p␈ε"␈αλof␈↓ ¬∪␈ε(N␈↓ ¬>␈ε"when␈ε(␈α	p␈ε6␈␈ε"␈α↓1␈α	has␈αλn␈α↓o␈αλlarge␈α	prime␈αλfactors.␈α∂The␈αλlatter
␈β¬T␈↓ ↓H␈ε"algorithm␈α(see␈α
exercise␈α19)␈α
is␈αprobably␈α
the␈α|rst␈α
thing␈αto␈α
try␈αa$er␈α
Algorithms␈αA
␈β¬␈␈↓ ↓H␈ε"and␈αB␈αha␈α␈v␈α␈e␈αrun␈αto␈α↓o␈αlong␈αon␈αa␈αlarge␈↓ ¬|␈ε(N␈↓ ε∨␈ε".
␈βε*␈↓ α␈ε"A␈αsurv␈α␈ey␈α
paper␈αby␈α
R.␈αK.␈↓ ¬ ␈ε"Guy,␈α
written␈αin␈α
collaboration␈αwith␈α
J.␈αH.␈↓ 
&␈ε"Con␈α␈w␈α␈a␈α␈y,
␈βεV␈↓ ↓H␈ε/Proc.␈α∂Fi$h␈αλManitoba␈α	Conf.␈α	Numer.␈α	Math.␈ε"␈α∂(1975),␈α	49↑89,␈α
giv␈α␈es␈α	a␈α	unique␈αλperspec-
␈βπ↓␈↓ ↓H␈ε"tiv␈α␈e␈αon␈αthese␈αdev␈α␈elopmen␈α␈ts.
␈βπ?␈↓ ↓6␈ε2*␈↓ ↓H␈ε2A␈αtheoretical␈αupper␈α
bound.␈ε"␈α~F␈α⎇rom␈αthe␈αstandpoin␈α␈t␈α
of␈αcomputational␈αcomplexit␈α␈y,
␈βπj␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈e␈α∞w␈α␈ould␈α∞lik␈α␈e␈α∂to␈α∞kn␈α↓o␈α␈w␈α∞if␈α∞there␈α∂is␈α∞an␈α␈y␈α∞meth␈α↓od␈α∂of␈α∞factorization␈α∞wh␈α↓ose␈α∞expected
␈βλ∂␈↓ ε9␈ε+∂␈ε%(␈↓ εP␈ε+N␈↓ εk␈ε%)
␈βλ∃␈↓ ↓H␈ε"running␈α
time␈α∞can␈α
be␈α∞pro␈α␈v␈α␈ed␈α
to␈α∞be␈↓ ¬m␈ε(O␈↓ ε
␈ε"(␈↓ ε⊗␈ε(N␈↓ εw␈ε"),␈α∞where␈ε(␈α∞∂␈ε"(␈↓ λ ␈ε(N␈↓ λC␈ε")␈ε6␈α!␈ε"␈α
0␈α
as␈↓ 	Y␈ε(N␈↓ 
λ␈ε6!␈α
1␈ε".␈α∀W␈α⎇e
␈βλ@␈↓ ↓H␈ε"sh␈α↓o␈α␈w␈α␈ed␈α⊃that␈α⊃Algorithm␈α⊃E␈α⊂probably␈α⊃has␈α⊃such␈α⊃beha␈α␈vior,␈α∪but␈α⊃it␈α⊂seems␈α⊃h␈α↓opeless
␈βλk␈↓ ↓H␈ε"to␈α⊂|nd␈α⊃a␈α⊃rigorous␈α⊃pro␈α↓of,␈α∩because␈α⊃con␈α␈tin␈α␈ued␈α⊂fractions␈α⊃are␈α⊃n␈α↓ot␈α⊃su}cien␈α␈tly␈α⊂w␈α␈ell
␈β	↔␈↓ ↓H␈ε"disciplined.␈α≠The␈α⊂|rst␈α∂pro␈α↓of␈α⊂that␈α⊂a␈α⊂go␈α↓od␈α∂factorization␈α⊂algorithm␈α⊂exists␈α⊂in␈α∂this
␈β	B␈↓ ↓H␈ε"sense␈α⊃w␈α␈as␈α⊃disco␈α␈v␈α␈ered␈α⊃by␈α⊃John␈↓ ¬:␈ε"Dixon␈α⊃in␈α⊃1978;␈α∀Dixon␈α⊃sh␈α↓o␈α␈w␈α␈ed,␈α∩in␈α⊃fact,␈α∩that␈α⊃it
␈β	m␈↓ ↓H␈ε"su}ces␈α
to␈α
consider␈α
a␈α
simpli|ed␈α
v␈α␈ersion␈α
of␈α
Algorithm␈α
E,␈α
in␈α
which␈α
the␈α
con␈α␈tin␈α␈ued
␈β
_␈↓ ↓H␈ε"fraction␈αapparatus␈αis␈αrem␈α↓o␈α␈v␈α␈ed␈αbut␈αthe␈αbasic␈αidea␈αof␈α(17)␈αremains.
␈β
C␈↓ α␈ε"Dixon's␈α
meth␈α↓od␈α∞is␈α
simply␈α
this,␈α∞assuming␈α
that␈↓ πk␈ε(N␈↓ λ≠␈ε"is␈α
kn␈α↓o␈α␈wn␈α∞to␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
at␈α
least
␈β
o␈↓ ↓H␈ε"t␈α␈w␈α␈o␈α∂distinct␈α⊂prime␈α⊂factors,␈α⊂and␈α⊂that␈↓ ε∨␈ε(N␈↓ εR␈ε"is␈α∂n␈α↓ot␈α⊂divisible␈α⊂by␈α⊂the␈α∂|rst␈ε(␈α⊂m␈ε"␈α∂primes
␈β~␈↓ ↓H␈ε(p␈↓ ↓j␈ε",␈↓ α∧␈ε(p␈↓ α'␈ε",␈↓ αA␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ αq␈ε",␈↓ β␈ε(p␈↓ β9␈ε":␈α∩Ch␈α↓o␈α↓ose␈α∂a␈α∂random␈α⊂in␈α␈teger␈↓ εy␈ε(X␈↓ π*␈ε"in␈α∂the␈α∂range␈↓ λ⎇␈ε"0␈α∂<␈↓ 	Q␈ε(X␈↓ 
α␈ε"<␈↓ 
6␈ε(N␈↓ 
Y␈ε",␈α∂and
␈β&␈↓ ↓Z␈ε%1␈↓ α⊗␈ε%2␈↓ β≥␈ε+m
␈β?␈↓ αx␈ε%2
␈βE␈↓ ↓H␈ε"let␈↓ ↓⎇␈ε(V␈↓ α&␈ε"=␈↓ αV␈ε(X␈↓ β∂␈ε"mod␈↓ βY␈ε(N␈↓ β|␈ε".␈α∪If␈↓ ∧?␈ε(V␈↓ ∧h␈ε"=␈α0,␈α
the␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈↓ π∧␈ε"gcd␈↓ π:␈ε"(␈↓ πF␈ε(X␈↓ πh␈ε",␈↓ πx␈ε(N␈↓ λ≠␈ε")␈α
is␈α
a␈α
proper␈α
factor␈α
of␈↓ 
␈␈ε(N␈↓ "␈ε".
␈βp␈↓ ↓H␈ε"Otherwise␈α∞cast␈α∂out␈α∞all␈α∂of␈α∂the␈α∞small␈α∂prime␈α∂factors␈α∞of␈↓ λ∀␈ε(V␈↓ λ@␈ε"as␈α∂in␈α∞step␈α∂E3;␈α⊂in␈α∞other
␈β≠␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈ords,␈αexpress␈↓ β7␈ε(V␈↓ β`␈ε"in␈αthe␈αform
␈βc␈↓ ε⊗␈ε+e␈↓ εu␈ε+e
␈βk␈↓ ¬.␈ε(V␈↓ ¬V␈ε"=␈↓ ε∧␈ε(p␈↓ ε3␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ εc␈ε(p␈↓ π"␈ε(T␈↓ π<␈ε",
␈βm␈↓ ε#␈ε'1␈↓ πβ␈ε-m
␈β|␈↓ ε⊗␈ε%1␈↓ εu␈ε+m
␈β
;␈↓ ↓H␈ε"where␈↓ α1␈ε(T␈↓ αX␈ε"is␈α
n␈α↓ot␈α∞divisible␈α
by␈α
an␈α␈y␈α
of␈α∞the␈α
|rst␈ε(␈α
m␈ε"␈α
primes.␈α∀If␈↓ λU␈ε(T␈↓ λ{␈ε"=␈α
1,␈α
the␈α
algorithm
␈β
f␈↓ ↓H␈ε"proceeds␈αas␈α
in␈αstep␈α
E4␈αto␈α
output␈α(␈↓ ¬c␈ε(X␈↓ ε¬␈ε",␈↓ ε∃␈ε(e␈↓ ε5␈ε",␈↓ εE␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ εu␈ε",␈↓ π¬␈ε(e␈↓ π1␈ε"),␈αwhich␈α
represen␈α␈ts␈αa␈α
solution␈αto
␈β
s␈↓ ε$␈ε%1␈↓ π∃␈ε+m
␈β∞⊃␈↓ ↓H␈ε"(18)␈α∞with␈↓ αg␈ε(e␈↓ β⊗␈ε"=␈α∞0.␈α_This␈α∂process␈α∂con␈α␈tin␈α␈ues␈α∞with␈α∂new␈α∂random␈α∞v␈α}alues␈α∂of␈↓ 
3␈ε(X␈↓ 
c␈ε"un␈α␈til
␈β∞≡␈↓ αv␈ε%0
␈β∞=␈↓ ↓H␈ε"there␈α
are␈αsu}cien␈α␈tly␈α
man␈α␈y␈α
outputs␈α
to␈α
disco␈α␈v␈α␈er␈α
a␈α
factor␈α
of␈↓ λh␈ε(N␈↓ 	_␈ε"by␈α
the␈α
meth␈α↓od␈αof
␈β∞h␈↓ ↓H␈ε"exercise␈α12.
␈β∂∪␈↓ α␈ε"In␈α∪order␈α∪to␈α∪analyze␈α∀this␈α∪algorithm,␈α∃w␈α␈e␈α∪w␈α␈an␈α␈t␈α∪to␈α∪|nd␈α∪bounds␈α∪on␈α∪(a)␈α∪the
␈β∂>␈↓ ↓H␈ε"probabilit␈α␈y␈α
that␈αa␈αrandom␈↓ ∧j␈ε(X␈↓ ¬↔␈ε"will␈αyield␈α
an␈αoutput,␈αand␈α(b)␈α
the␈αprobabilit␈α␈y␈αthat␈α
a
␈β∂i␈↓ ↓H␈ε"large␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈α	of␈α	outputs␈α	will␈α
be␈α	required␈α	before␈α	a␈α	factor␈α
is␈α	found.␈α∂Let␈↓ 	y␈ε(P␈↓ 
∃␈ε"(␈ε(m␈ε"␈α␈,␈↓ 
P␈ε(N␈↓ 
s␈ε")␈α	be
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈ε"the␈α	probabilit␈α␈y␈α
(a),␈α
i.e.,␈αthe␈α	probabilit␈α␈y␈α
that␈↓ εw␈ε(T␈↓ π≠␈ε"=␈α
1␈α
when␈↓ λ@␈ε(X␈↓ λl␈ε"is␈α
ch␈α↓osen␈α
at␈α	random.
␈β⊂@␈↓ ↓H␈ε"A$er␈↓ α%␈ε(M␈↓ αX␈ε"v␈α}alues␈αof␈↓ βk␈ε(X␈↓ ∧_␈ε"ha␈α␈v␈α␈e␈αbeen␈αtried,␈αw␈α␈e␈αwill␈αobtain␈↓ λα␈ε(M␈↓ λ+␈ε(P␈↓ λG␈ε"(␈ε(m␈ε"␈α␈,␈↓ 	α␈ε(N␈↓ 	%␈ε")␈αoutputs,␈αon␈αthe
␈β⊂k␈↓ ↓H␈ε"a␈α␈v␈α␈erage;␈αand␈α
the␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈α
outputs␈αhas␈αa␈↓ εZ␈ε"bin␈α↓omial␈αdistribution,␈αso␈αthe␈α
standard
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε"deviation␈αis␈α
less␈α
than␈α
the␈αsquare␈α
ro␈α↓ot␈α
of␈α
the␈αmean.␈α∩The␈α
probabilit␈α␈y␈α
(b)␈α
is␈αfairly
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"386␈↓ 
b␈ε"4.5.4
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"easy␈α
to␈α
deal␈α
with,␈α∞since␈α
exercise␈α
13␈α
pro␈α␈v␈α␈es␈α
that␈α∞the␈α
algorithm␈α
needs␈α
m␈α↓ore␈α
than
␈βαI␈↓ ε
␈ε9␈␈↓ ε'␈ε+k
␈βαO␈↓ ↓H␈ε(m␈ε"␈απ+␈↓ α≠␈ε(k␈↓ α<␈ε"outputs␈αwith␈αprobabilit␈α␈y␈ε6␈α∀␈↓ ¬x␈ε"2␈↓ ε9␈ε".
␈βαt␈↓ ε[␈ε+r
␈βαz␈↓ α␈ε"Exercise␈α
30␈α	pro␈α␈v␈α␈es␈α	that␈↓ ∧⎇␈ε(P␈↓ ¬_␈ε"(␈ε(m␈ε",␈↓ ¬T␈ε(N␈↓ ¬w␈ε")␈ε6␈α
∃␈↓ ε;␈ε(m␈↓ εj␈ε"/(␈↓ πλ␈ε(r␈↓ π→␈ε"!␈↓ π#␈ε(N␈↓ πF␈ε")␈α	when␈↓ λ7␈ε(r␈↓ λQ␈ε"=␈α
2␈ε6b␈↓ 	∨␈ε"log␈↓ 	S␈ε(N␈↓ 	p␈ε"/(2␈↓ 
&␈ε"log␈↓ 
Z␈ε(p␈↓ λ␈ε")␈ε6c␈ε",
␈ββπ␈↓ 
l␈ε+m
␈ββ ␈↓ 
k␈ε6p
␈ββ#␈↓ 	␈∧β#	α#
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"so␈α	w␈α␈e␈α	can␈α
estimate␈α	the␈α
running␈α	time␈α
as␈α	w␈α␈e␈α	did␈α
in␈α	(21)␈α
but␈α	with␈α
the␈α	quan␈α␈tit␈α␈y␈α	2␈↓ 	␈ε(N
␈ββ4␈↓ π∞␈ε↓p
␈ββR␈↓ π2␈∧βRπ2α↓t
␈ββT␈↓ ↓H␈ε"replaced␈αby␈↓ β	␈ε(N␈↓ β,␈ε".␈α⊂This␈αtime␈αw␈α␈e␈αch␈α↓o␈α↓ose␈↓ ε∪␈ε"ln␈↓ ε7␈ε(m␈ε"␈α	=␈↓ π2␈ε"(␈↓ π>␈ε"ln␈↓ πb␈ε(N␈↓ λ␈ε"ln␈↓ λ/␈ε"ln␈↓ λS␈ε(N␈↓ λv␈ε")/2␈↓ 	&␈ε",␈αso␈αthat
␈β∧(␈↓ ∧%␈ε↓r
␈β∧+␈↓ ∧I␈∧∧+∧Iαs
␈β∧/␈↓ εR␈ε↓∩␈↓ λ/␈ε↓∪
␈β∧0␈↓ ∧S␈ε"2␈↓ ∧k␈ε"ln␈↓ ¬∂␈ε(N␈↓ εl␈ε"log␈↓ π ␈ε"log␈↓ πT␈ε"log␈↓ λλ␈ε(N
␈β∧H␈↓ β\␈ε(r␈↓ βw␈ε"=␈↓ ¬D␈ε6␈␈ε"␈αλ1␈αλ+␈↓ ε6␈ε(O␈↓ λE␈ε",
␈β∧\␈↓ ∧M␈∧∧\∧Mαk␈↓ εl␈∧∧\εlα↓?
␈β∧a␈↓ ∧M␈ε"ln␈↓ ∧q␈ε"ln␈↓ ¬∃␈ε(N␈↓ πε␈ε"log␈↓ π:␈ε"log␈↓ πn␈ε(N
␈β¬⊃␈↓ ∧]␈ε↓␈␈↓ 	;␈ε↓↓
␈β¬∩␈↓ βO␈ε+r
␈β¬_␈↓ β/␈ε(m
␈β¬)␈↓ ¬∂␈ε6p
␈β¬,␈↓ ¬-␈∧¬,¬-α↓P
␈β¬0␈↓ βw␈ε"=␈↓ ∧%␈ε"e␈↓ ∧5␈ε"x␈↓ ∧I␈ε"p␈↓ ∧k␈ε6␈␈↓ ¬-␈ε"2␈↓ ¬E␈ε"ln␈↓ ¬i␈ε(N␈↓ ε∩␈ε"ln␈↓ ε6␈ε"ln␈↓ εZ␈ε(N␈↓ π¬␈ε"+␈↓ π1␈ε(O␈↓ πM␈ε"(␈↓ πY␈ε(r␈↓ πp␈ε"log␈↓ λ$␈ε"log␈↓ λX␈ε"log␈↓ 	␈ε(N␈↓ 	/␈ε")␈↓ 	I␈ε".
␈β¬D␈↓ β%␈∧¬Dβ%αD
␈β¬J␈↓ β%␈ε(r␈↓ β6␈ε"!␈↓ βF␈ε(N
␈βε	␈↓ ¬M␈ε+r
␈βε∂␈↓ ↓H␈ε"W␈α⎇e␈α⊂will␈α⊂ch␈α↓o␈α↓ose␈↓ βI␈ε(M␈↓ ∧α␈ε"so␈α⊃that␈↓ ¬¬␈ε(M␈↓ ¬.␈ε(m␈↓ ¬W␈ε"/(␈↓ ¬u␈ε(r␈↓ ε¬␈ε"!␈↓ ε∃␈ε(N␈↓ ε8␈ε")␈ε6␈α⊃∃␈ε"␈α⊃4␈ε(m␈ε";␈α∩th␈α␈us␈α⊃the␈α⊂expected␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber␈α⊂of
␈βε:␈↓ ↓H␈ε"outputs␈↓ αN␈ε(M␈↓ αw␈ε(P␈↓ β∩␈ε"(␈ε(m␈ε",␈↓ βN␈ε(N␈↓ βq␈ε")␈α∞will␈α∞be␈α∞at␈α∞least␈α∞4␈ε(m␈ε".␈α↔The␈α∞running␈α∞time␈α∞of␈α∞the␈α∞algorithm␈α∞is
␈βε`␈↓ ¬≥␈ε%3␈↓ 
l␈ε%3
␈βεf␈↓ ↓H␈ε"of␈αorder␈↓ αO␈ε(M␈↓ αw␈ε(m␈↓ β≥␈ε"log␈↓ βQ␈ε(N␈↓ βt␈ε",␈αplus␈↓ ∧U␈ε(O␈↓ ∧r␈ε"(␈↓ ∧}␈ε(m␈↓ ¬.␈ε")␈αsteps␈αfor␈αexercise␈α12;␈αit␈αturns␈αout␈αthat␈↓ 
$␈ε(O␈↓ 
@␈ε"(␈↓ 
L␈ε(m␈↓ 
⎇␈ε")␈αis
␈βπ⊃␈↓ ↓H␈ε"less␈αthan␈↓ α↑␈ε(M␈↓ βε␈ε(m␈↓ β,␈ε"log␈↓ β`␈ε(N␈↓ ∧β␈ε",␈αwhich␈αis
␈βπB␈↓ αR␈ε↓p
␈βπD␈↓ αD␈ε↓␈␈↓ ¬O␈ε↓␈␈↓ 
B␈ε↓↓␈↓ 
P␈ε↓↓
␈βπ[␈↓ εL␈ε%1/2␈↓ λ≡␈ε9␈␈ε%1/2
␈βπ`␈↓ αv␈∧π`αvα↓t
␈βπc␈↓ α␈ε"e␈↓ α≤␈ε"x␈↓ α0␈ε"p␈↓ αv␈ε"8(␈↓ β∀␈ε"ln␈↓ β8␈ε(N␈↓ β[␈ε")(␈↓ βs␈ε"ln␈↓ ∧↔␈ε"ln␈↓ ∧;␈ε(N␈↓ ∧↑␈ε")␈↓ ∧|␈ε"+␈↓ ¬2␈ε(O␈↓ ¬]␈ε"(␈↓ ¬i␈ε"log␈↓ ε≥␈ε(N␈↓ ε@␈ε")␈↓ ε{␈ε"(␈↓ ππ␈ε"log␈↓ π;␈ε"log␈↓ πo␈ε(N␈↓ λ∩␈ε")␈↓ λk␈ε"(␈↓ λw␈ε"log␈↓ 	+␈ε"log␈↓ 	←␈ε"log␈↓ 
∪␈ε(N␈↓ 
6␈ε")␈↓ 
↑␈ε".
␈βλ5␈↓ ↓H␈ε"The␈αprobabilit␈α␈y␈α
that␈α
this␈α
meth␈α↓od␈α
fails␈α
to␈α|nd␈α
a␈α
factor␈α
is␈α
negligibly␈αsmall,␈α
since
␈βλZ␈↓ ∧x␈ε9␈␈ε+m␈ε%␈α␈/2
␈βλ`␈↓ ↓H␈ε"the␈αprobabilit␈α␈y␈α
is␈αat␈αm␈α↓ost␈↓ ∧i␈ε(e␈↓ ¬]␈ε"that␈αfew␈α␈er␈α
than␈α2␈ε(m␈ε"␈αoutputs␈α
are␈αobtained␈α(see
␈β	¬␈↓ πE␈ε9␈␈ε+␈α␈m
␈β	␈↓ ↓H␈ε"exercise␈α⊂31),␈α⊃while␈α⊂the␈α⊂probabilit␈α␈y␈α⊂is␈α⊃at␈α⊂m␈α↓ost␈↓ π3␈ε"2␈↓ λ∂␈ε"that␈α⊂n␈α↓o␈α⊂factors␈α⊂are␈α⊂found
␈β	7␈↓ ↓H␈ε"from␈αthe␈α
|rst␈α
2␈ε(m␈ε"␈αoutputs,␈α
and␈ε(␈αm␈ε6␈α&␈↓ ε∃␈ε"ln␈↓ ε9␈ε(N␈↓ ε\␈ε".␈α∩W␈α⎇e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
pro␈α␈v␈α␈ed␈αthe␈α
follo␈α␈wing␈αsligh␈α␈t
␈β	b␈↓ ↓H␈ε"strengthening␈αof␈αDixon's␈αoriginal␈αtheorem:
␈β
≠␈↓ 	i␈ε+∂␈ε%␈α↓(␈↓ 
␈ε+N␈↓ 
≤␈ε%)
␈β
!␈↓ ↓H␈ε2Theorem␈α⊃D.␈ε/␈α"There␈α∩is␈α⊃an␈α⊃algorithm␈α⊃wh␈α↓ose␈α⊃running␈α∩time␈α⊃is␈↓ 	≡␈ε(O␈↓ 	:␈ε"(␈↓ 	F␈ε(N␈↓ 
(␈ε")␈ε/,␈α∩where
␈β
/␈↓ αf␈ε↓p
␈β
K␈↓ 	#␈ε6p
␈β
M␈↓ β
␈∧
Mβ
α↓D
␈β
N␈↓ 	A␈∧
N	Aα∩
␈β
P␈↓ ↓H␈ε(∂␈ε"␈α␈(␈↓ ↓b␈ε(N␈↓ α¬␈ε")␈α⊃=␈ε(␈α⊃c␈↓ β⊂␈ε"ln␈↓ β4␈ε"ln␈↓ βX␈ε(N␈↓ βu␈ε"/␈↓ ∧π␈ε"ln␈↓ ∧+␈ε(N␈↓ ∧↑␈ε/and␈ε(␈α⊂c␈ε/␈α⊃is␈α⊂an␈α␈y␈α⊂constan␈α␈t␈α⊂greater␈α⊂than␈↓ 	A␈ε"8␈↓ 	S␈ε/,␈α⊃that␈α⊂|nds␈α⊂a
␈β
{␈↓ ↓H␈ε/n␈α↓on␈α␈trivial␈α∞factor␈α∞of␈↓ ∧¬␈ε(N␈↓ ∧7␈ε/with␈α∞probabilit␈α␈y␈ε"␈α∞1␈ε6␈α
␈␈↓ π∞␈ε(O␈↓ π+␈ε"(1/␈↓ π[␈ε(N␈↓ π}␈ε")␈ε/,␈α∞whenev␈α␈er␈↓ 	C␈ε(N␈↓ 	t␈ε/has␈α∞at␈α∞least
␈β&␈↓ ↓H␈ε/t␈α␈w␈α␈o␈αdistinct␈αprime␈αdivisors.
␈β/␈↓ ¬≤␈∧/¬≤≠∂
␈βe␈↓ ↓H␈ε2Secret␈α⊃factors.␈ε"␈α$W␈α⎇orldwide␈α⊃in␈α␈terest␈α∩in␈α∩the␈α⊃problem␈α∩of␈α∩factorization␈α⊃increased
␈β⊂␈↓ ↓H␈ε"dramatically␈α
in␈α1977,␈αwhen␈↓ ∧z␈ε"R.␈α
L.␈↓ ¬W␈ε"Riv␈α␈est,␈αA.␈↓ ε␈␈ε"Shamir,␈α
and␈αL.␈↓ λu␈ε"Adleman␈α
disco␈α␈v␈α␈ered
␈β;␈↓ ↓H␈ε"a␈αw␈α␈a␈α␈y␈αto␈αencode␈αmessages␈αthat␈αcan␈α
apparen␈α␈tly␈αbe␈αdecoded␈αonly␈αby␈αkn␈α↓o␈α␈wing␈αthe
␈βf␈↓ ↓H␈ε"factors␈α⊂of␈α⊂a␈α⊃large␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber␈↓ ∧u␈ε(N␈↓ ¬_␈ε",␈α∩ev␈α␈en␈α⊂th␈α↓ough␈α⊃the␈α⊂meth␈α↓od␈α⊂of␈α⊃encoding␈α⊂is␈α⊂kn␈α↓o␈α␈wn
␈β
∩␈↓ ↓H␈ε"to␈α
ev␈α␈ery␈α␈one.␈α∩Since␈α
a␈α
signi|can␈α␈t␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
the␈α
w␈α␈orld's␈α
greatest␈αmathematicians
␈β
=␈↓ ↓H␈ε"ha␈α␈v␈α␈e␈α
been␈αunable␈α
to␈α
|nd␈α
e}cien␈α␈t␈α
meth␈α↓ods␈α
of␈α
factoring,␈α
this␈α
scheme␈α
[␈ε/CA␈α␈CM␈ε2␈α21
␈β
h␈↓ ↓H␈ε"(1979),␈α∞120↑126]␈α∞alm␈α↓ost␈α∞certainly␈α
pro␈α␈vides␈α∞a␈α∞secure␈α∞w␈α␈a␈α␈y␈α∞to␈α∞protect␈α
con|den␈α␈tial
␈β∞∪␈↓ ↓H␈ε"data␈αand␈αcomm␈α␈unications␈αin␈αcomputer␈αnet␈α␈w␈α␈orks.
␈β∞>␈↓ α␈ε"Let␈α∂us␈α∂imagine␈α∂a␈α∂small␈α∂electronic␈α∂device␈α∂called␈α∂an␈↓ λ@␈ε/RSA␈α∂bo␈α␈x␈ε"␈α∂that␈α∞has␈α∂t␈α␈w␈α␈o
␈β∞j␈↓ ↓H␈ε"large␈α	prime␈α	n␈α␈um␈α␈bers␈ε(␈α	p␈ε"␈α	and␈↓ ∧k␈ε(q␈↓ ¬π␈ε"stored␈α	in␈α	its␈α	mem␈α↓ory.␈α∂W␈α⎇e␈α	will␈α	assume␈α	that␈ε(␈α	p␈ε6␈α↓␈␈ε"␈αα1␈α	and
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε(q␈↓ ↓←␈ε6␈␈ε"␈α¬1␈αare␈α
n␈α↓ot␈α
divisible␈αby␈α
3.␈α⊂The␈α
RSA␈α
bo␈α␈x␈αis␈α
connected␈α
someh␈α↓o␈α␈w␈αto␈α
a␈α
computer,
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"and␈α∞it␈α∞has␈α∂told␈α∞the␈α∞computer␈α∂the␈α∞product␈↓ εp␈ε(N␈↓ π!␈ε"=␈ε(␈α∞p␈↓ πe␈ε(q␈↓ πx␈ε";␈α⊂h␈α↓o␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α∂n␈α↓o␈α∞h␈α␈uman␈α∞being
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"will␈α
be␈α∞able␈α
to␈α∞disco␈α␈v␈α␈er␈α∞the␈α
v␈α}alues␈α∞of␈ε(␈α
p␈ε"␈α∞and␈↓ πβ␈ε(q␈↓ π$␈ε"except␈α∞by␈α
factoring␈↓ 	f␈ε(N␈↓ 
	␈ε",␈α∞since␈α
the
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"RSA␈αbo␈α␈x␈αis␈αclev␈α␈erly␈αdesigned␈αto␈αself-destruct␈αif␈αan␈α␈ybody␈αtries␈αto␈αtamper␈αwith␈αit.
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"In␈αother␈αw␈α␈ords,␈αit␈αwill␈αerase␈αits␈αmem␈α↓ory␈αif␈αit␈αis␈αjostled␈αor␈αif␈αit␈αis␈αsubjected␈αto␈αan␈α␈y
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"radiation␈α
that␈α
could␈α
change␈α
or␈α
read␈α
out␈α
the␈α
data␈αstored␈α
inside.␈α∂F␈α⎇urtherm␈α↓ore,␈α
the
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"RSA␈αbo␈α␈x␈αis␈αsu}cien␈α␈tly␈αreliable␈α
that␈αit␈αnev␈α␈er␈αneeds␈α
to␈αbe␈αmain␈α␈tained;␈αw␈α␈e␈αsimply
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.4␈↓ 
v␈ε"387
␈β↓\␈↓ π≡␈ε∞F␈α|ACTORING␈αINTO␈α
P␈α␈RIM␈α↓ES
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈ould␈αdiscard␈α
it␈α
and␈αbuy␈α
an␈α↓other,␈α
if␈α
an␈αemergency␈α
arose␈α
or␈αif␈α
it␈α
w␈α␈ore␈αout.␈α∩The
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"prime␈αfactors␈ε(␈αp␈ε"␈αand␈↓ ∧ε␈ε(q␈↓ ∧$␈ε"w␈α␈ere␈αgenerated␈αby␈αthe␈αRSA␈αbo␈α␈x␈αitself,␈αusing␈αsome␈αscheme
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"based␈α∞on␈α∞truly␈α∂random␈α∞phen␈α↓omena␈α∞in␈α∂nature␈α∞lik␈α␈e␈α∂cosmic␈α∞ra␈α␈ys.␈↓ 	C␈ε"The␈α∞importan␈α␈t
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"poin␈α␈t␈αis␈αthat␈ε/␈αn␈α↓obody␈ε"␈αkn␈α↓o␈α␈ws␈ε(␈αp␈ε"␈αor␈↓ ¬M␈ε(q␈↓ ¬`␈ε",␈αn␈α↓ot␈αev␈α␈en␈αa␈αperson␈αor␈αorganization␈αthat␈αo␈α␈wns
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε"or␈α	has␈α	access␈α	to␈α	this␈α	RSA␈α	bo␈α␈x;␈α
there␈α	is␈α	n␈α↓o␈α	poin␈α␈t␈α	in␈α	bribing␈α	or␈α	blackmailing␈α	an␈α␈y␈α␈one
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"or␈αh␈α↓olding␈αan␈α␈ybody␈αh␈α↓ostage␈αin␈αorder␈αto␈αdisco␈α␈v␈α␈er␈↓ πF␈ε(N␈↓ πi␈ε"'s␈αfactors.
␈β∧(␈↓ α␈ε"T␈α⎇o␈α	send␈α
a␈α	secret␈α	message␈α
to␈α	the␈α	o␈α␈wner␈α
of␈α	an␈α	RSA␈α	bo␈α␈x␈α
wh␈α↓ose␈α	product␈α	n␈α␈um␈α␈ber
␈β∧S␈↓ ↓H␈ε"is␈↓ ↓l␈ε(N␈↓ α∂␈ε",␈α
y␈α␈ou␈α
break␈α
the␈αmessage␈α
up␈α
in␈α␈to␈α
a␈αsequence␈α
of␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α
(␈↓ 	∪␈ε(x␈↓ 	7␈ε",␈↓ 	G␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	w␈ε",␈↓ 
π␈ε(x␈↓ 
.␈ε"),␈αwhere
␈β∧←␈↓ 	'␈ε%1␈↓ 
≠␈ε+k
␈β∧}␈↓ ↓H␈ε"each␈↓ α~␈ε(x␈↓ αF␈ε"is␈αbet␈α␈w␈α␈een␈α0␈αand␈↓ ∧X␈ε(N␈↓ ∧{␈ε",␈αthen␈αy␈α␈ou␈αtransmit␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈bers
␈β¬␈↓ α.␈ε+i
␈β¬N␈↓ ∧␈␈ε%3␈↓ εz␈ε%3
␈β¬V␈↓ ∧←␈ε"(␈↓ ∧k␈ε(x␈↓ ¬∃␈ε"mod␈↓ ¬←␈ε(N␈↓ εα␈ε",␈↓ ε≤␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ εL␈ε",␈↓ εf␈ε(x␈↓ π∪␈ε"mod␈↓ π]␈ε(N␈↓ λ␈ε").
␈β¬g␈↓ ∧␈␈ε%1␈↓ εz␈ε+k
␈βε.␈↓ ↓H␈ε"The␈α
RSA␈α
bo␈α␈x,␈αkn␈α↓o␈α␈wing␈ε(␈α
p␈ε"␈α
and␈↓ ¬!␈ε(q␈↓ ¬4␈ε",␈α
can␈αdecode␈α
the␈α
message,␈αbecause␈α
it␈α
has␈α
precom-
␈βε;␈↓ εm␈ε↓␈␈↓ 	←␈ε↓↓
␈βεY␈↓ ↓H␈ε"puted␈α
a␈αn␈α␈um␈α␈ber␈ε(␈α
d␈ε"␈α<␈↓ ∧≥␈ε(N␈↓ ∧M␈ε"such␈α
that␈α
3␈ε(d␈ε6␈α⊃␈ε"␈α1␈↓ ε{␈ε"m␈α↓odulo␈↓ π|␈ε"(␈ε(p␈ε6␈α	␈␈ε"␈αλ1)(␈↓ λy␈ε(q␈↓ 	∃␈ε6␈␈ε"␈αλ1)␈↓ 	m␈ε";␈α∞it␈α
can␈αn␈α↓o␈α␈w
␈βε␈␈↓ α|␈ε%3␈↓ β→␈ε+d
␈βπ¬␈↓ ↓H␈ε"compute␈α∞(␈↓ αh␈ε(x␈↓ β
␈ε")␈↓ β0␈ε"mod␈↓ βz␈ε(N␈↓ ∧,␈ε"=␈ε(␈α∞x␈ε"␈α∂in␈α∂a␈α∞reasonable␈α∂am␈α↓oun␈α␈t␈α∂of␈α∂time,␈α∂using␈α∂the␈α∞meth␈α↓od
␈βπ0␈↓ ↓H␈ε"of␈αSection␈α4.6.3.␈α⊂Naturally␈αthe␈αRSA␈αbo␈α␈x␈αk␈α␈eeps␈α
this␈αmagic␈αn␈α␈um␈α␈ber␈ε(␈αd␈ε"␈αto␈αitself;␈αin
␈βπ[␈↓ ↓H␈ε"fact,␈αthe␈αRSA␈αbo␈α␈x␈αmigh␈α␈t␈αch␈α↓o␈α↓ose␈αto␈αremem␈α␈ber␈αonly␈ε(␈αd␈ε"␈αinstead␈αof␈ε(␈αp␈ε"␈αand␈↓ 
␈ε(q␈↓ 
∨␈ε",␈αbecause
␈βλε␈↓ ↓H␈ε"its␈α∞only␈α∞duties␈↓ β9␈ε"a$er␈α∞ha␈α␈ving␈α∞computed␈↓ ε/␈ε(N␈↓ ε`␈ε"are␈α∞to␈α∞protect␈α
its␈α∞secrets␈α∞and␈α∞to␈α∞tak␈α␈e
␈βλ1␈↓ ↓H␈ε"cube␈αro␈α↓ots␈αm␈α↓od␈↓ βH␈ε(N␈↓ βk␈ε".
␈βλW␈↓ 	K␈ε%3␈↓ ≤␈ε%3
␈βλX␈↓ α⎇␈ε6p␈↓ βε␈ε'3
␈βλ[␈↓ β≠␈∧λ[β≠α#
␈βλ]␈↓ α␈ε"If␈ε(␈αx␈ε"␈α
<␈↓ β≠␈ε(N␈↓ β>␈ε",␈αthe␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αencoding␈αscheme␈αis␈αine{ectiv␈α␈e,␈αsince␈↓ 	7␈ε(x␈↓ 	b␈ε"mod␈↓ 
,␈ε(N␈↓ 
Y␈ε"=␈↓ λ␈ε(x
␈β	λ␈↓ ↓H␈ε"and␈αthe␈αcube␈α
ro␈α↓ot␈αwill␈αeasily␈α
be␈αfound.␈α⊃The␈↓ πε␈ε"logarithmic␈αla␈α␈w␈αof␈α
leading␈αdigits␈αin
␈β	4␈↓ ↓H␈ε"Section␈α4.2.4␈αimplies␈αthat␈αthe␈αleading␈αplace␈↓ εz␈ε(x␈↓ π+␈ε"of␈αa␈↓ πs␈ε(k␈↓ λπ␈ε"-place␈αmessage␈α(␈↓ 
¬␈ε(x␈↓ 
*␈ε",␈↓ 
:␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 
j␈ε",␈↓ 
z␈ε(x␈↓  ␈ε")
␈β	@␈↓ π∞␈ε%1␈↓ 
→␈ε%1␈↓ ∞␈ε+k
␈β	Z␈↓ βR␈ε6p␈↓ β[␈ε'3␈↓ ¬	␈ε%1
␈β	]␈↓ βp␈∧	]βpα#
␈β	←␈↓ ↓H␈ε"will␈αbe␈αless␈αthan␈↓ βp␈ε(N␈↓ ∧∨␈ε"about␈↓ ¬(␈ε"of␈αthe␈αtime,␈αso␈αthis␈αis␈αa␈αproblem␈αthat␈αneeds␈αto␈αbe
␈β	p␈↓ ¬	␈ε%3
␈β	s␈↓ ¬	␈∧	s¬	α⊂
␈β

␈↓ ↓H␈ε"resolv␈α␈ed.␈α⊂Exercise␈α32␈αpresen␈α␈ts␈αone␈αw␈α␈a␈α␈y␈αto␈αdo␈αthis.
␈β
6␈↓ α␈ε"The␈α⊂securit␈α␈y␈α∂of␈α⊂the␈α∂RSA␈α⊂encoding␈α∂scheme␈α⊂relies␈α∂on␈α⊂the␈α∂fact␈α⊂that␈α∂n␈α↓obody
␈β
a␈↓ ↓H␈ε"has␈αbeen␈α
able␈αto␈α
disco␈α␈v␈α␈er␈αh␈α↓o␈α␈w␈α
to␈α
tak␈α␈e␈αcube␈α
ro␈α↓ots␈αm␈α↓od␈↓ λ*␈ε(N␈↓ λY␈ε"with␈α↓out␈α
kn␈α↓o␈α␈wing␈↓ 
q␈ε(N␈↓ ∀␈ε"'s
␈β␈↓ ↓H␈ε"factors.␈α↔It␈α∂seems␈α∞lik␈α␈ely␈α∂that␈α∞n␈α↓o␈α∂such␈α∞meth␈α↓od␈α∂will␈α∞be␈α∂found,␈α∂but␈α∞w␈α␈e␈α∂cann␈α↓ot␈α∞be
␈β7␈↓ ↓H␈ε"absolutely␈αsure.␈α⊂So␈αfar␈αall␈αthat␈αcan␈αbe␈αsaid␈αfor␈αcertain␈αis␈αthat␈αall␈αof␈αthe␈αordinary
␈βc␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈a␈α␈ys␈α
to␈α
disco␈α␈v␈α␈er␈α
cube␈α
ro␈α↓ots␈α
will␈α
fail.␈α∀F␈α⎇or␈α
example,␈α
there␈α
is␈α
essen␈α␈tially␈α
n␈α↓o␈α
poin␈α␈t
␈β∞␈↓ ↓H␈ε"in␈α⊂trying␈α⊂to␈α⊂compute␈α⊂the␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber␈ε(␈α⊂d␈ε"␈α⊂as␈α⊂a␈α⊂function␈α⊂of␈↓ λ'␈ε(N␈↓ λJ␈ε";␈α∩the␈α⊂reason␈α⊂is␈α⊂that␈α⊂if
␈β9␈↓ ↓H␈ε(d␈ε"␈α∞is␈α∂kn␈α↓o␈α␈wn,␈α∂or␈α∂in␈α∞fact␈α∂if␈α∞an␈α␈y␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈ε(␈α∞m␈ε"␈α∞of␈α∂reasonable␈α∞size␈α∂is␈α∞kn␈α↓o␈α␈wn␈α∂such␈α∞that
␈β↑␈↓ ↓\␈ε+m
␈βd␈↓ ↓H␈ε(x␈↓ ↓}␈ε"mod␈↓ αH␈ε(N␈↓ αu␈ε"=␈α
1␈α
h␈α↓olds␈α
for␈α	a␈α
signi|can␈α␈t␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈ε(␈α
x␈ε"'s,␈α
then␈α
w␈α␈e␈α
can␈α
|nd␈α
the␈α	factors
␈β
∂␈↓ ↓H␈ε"of␈↓ ↓s␈ε(N␈↓ α#␈ε"in␈α∞a␈α
few␈α∞m␈α↓ore␈α
steps␈α∞(see␈α
exercise␈α∞34).␈α∀Th␈α␈us,␈α∞an␈α␈y␈α
meth␈α↓od␈α∞of␈α
attack␈α
based
␈β
;␈↓ ↓H␈ε"explicitly␈αor␈αimplicitly␈αon␈α|nding␈αsuch␈αan␈ε(␈αm␈ε"␈αcan␈αbe␈αn␈α↓o␈αbetter␈αthan␈αfactoring.
␈β
f␈↓ α␈ε"The␈α⊃n␈α␈um␈α␈bers␈ε(␈α⊃p␈ε"␈α⊃and␈↓ ∧↑␈ε(q␈↓ ¬α␈ε"sh␈α↓ouldn't␈α⊃merely␈α⊃be␈α⊃\random"␈α⊃primes␈α⊃in␈α⊃order␈α⊂to
␈β∞⊃␈↓ ↓H␈ε"mak␈α␈e␈α⊃the␈α⊃RSA␈α⊃scheme␈α⊂e{ectiv␈α␈e.␈α∨W␈α⎇e␈α⊃ha␈α␈v␈α␈e␈α⊃men␈α␈tioned␈α⊃that␈ε(␈α⊃p␈ε6␈α␈␈ε"␈α1␈α⊃and␈↓ 
M␈ε(q␈↓ 
k␈ε6␈␈ε"␈α1
␈β∞=␈↓ ↓H␈ε"sh␈α↓ould␈α∂n␈α↓ot␈α⊂be␈α∂divisible␈α⊂by␈α∂3,␈α⊃since␈α∂w␈α␈e␈α⊂w␈α␈an␈α␈t␈α⊂to␈α∂ensure␈α⊂that␈α∂unique␈α⊂cube␈α∂ro␈α↓ots
␈β∞h␈↓ ↓H␈ε"exist␈αm␈α↓odulo␈↓ β∨␈ε(N␈↓ βB␈ε".␈α⊃An␈α↓other␈αcondition␈α
is␈αthat␈ε(␈αp␈ε6␈αλ␈␈ε"␈α	1␈αsh␈α↓ould␈αha␈α␈v␈α␈e␈α
at␈αleast␈αone␈αv␈α␈ery
␈β∂∪␈↓ ↓H␈ε"large␈αprime␈αfactor,␈αand␈α
so␈αsh␈α↓ould␈↓ ¬↑␈ε(q␈↓ ¬y␈ε6␈␈ε"␈α	1;␈αotherwise␈↓ πn␈ε(N␈↓ λ≥␈ε"can␈α
be␈αfactored␈αusing␈αthe
␈β∂>␈↓ ↓H␈ε"algorithm␈α∞of␈α∞exercise␈α∞19.␈α↔In␈α∞fact,␈α∞that␈α∂algorithm␈α∞essen␈α␈tially␈α∞relies␈α∞on␈α∞|nding␈α∞a
␈β∂c␈↓ π'␈ε+m
␈β∂i␈↓ ↓H␈ε"fairly␈α
small␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈ε(␈α
m␈ε"␈α
with␈α
the␈α
propert␈α␈y␈α
that␈↓ π∪␈ε(x␈↓ πI␈ε"mod␈↓ λ∪␈ε(N␈↓ λ@␈ε"is␈α
frequen␈α␈tly␈α
equal␈α
to␈α
1,
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈ε"and␈α∂w␈α␈e␈α∂ha␈α␈v␈α␈e␈α∂just␈α∂seen␈α⊂that␈α∂such␈α∂an␈ε(␈α∂m␈ε"␈α∂is␈α∂dangerous.␈α~When␈ε(␈α∂p␈ε6␈α
␈␈ε"␈α1␈α∂and␈↓ 
O␈ε(q␈↓ 
l␈ε6␈␈ε"␈α
1
␈β⊂@␈↓ ↓H␈ε"ha␈α␈v␈α␈e␈α
large␈α
prime␈α∞factors␈↓ ∧T␈ε(p␈↓ ¬¬␈ε"and␈↓ ¬L␈ε(q␈↓ ¬o␈ε",␈α
the␈α∞theory␈α
in␈α∞exercise␈α
34␈α
implies␈α∞that␈ε(␈α
m␈ε"␈α
is
␈β⊂L␈↓ ∧f␈ε%1␈↓ ¬↑␈ε%1
␈β⊂k␈↓ ↓H␈ε"either␈α∞a␈α∞m␈α␈ultiple␈α∞of␈↓ ∧␈ε(p␈↓ ∧.␈ε(q␈↓ ∧←␈ε"(hence␈ε(␈α∞m␈ε"␈α∞will␈α∞be␈α∞hard␈α∞to␈α∞disco␈α␈v␈α␈er)␈α∞or␈α∞the␈α∞probabilit␈α␈y
␈β⊂w␈↓ ∧≥␈ε%1␈↓ ∧@␈ε%1
␈β⊃⊂␈↓ α*␈ε+m␈↓ π ␈ε+m
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε"that␈↓ α⊗␈ε(x␈↓ αP␈ε6⊃␈ε"␈α
1␈αwill␈αbe␈αless␈αthan␈α1/␈↓ ¬J␈ε(p␈↓ ¬m␈ε(q␈↓ ε≤␈ε"(hence␈↓ π␈ε(x␈↓ πB␈ε"mod␈↓ λ␈ε(N␈↓ λ;␈ε"will␈αalm␈α↓ost␈αnev␈α␈er␈αbe␈α1).
␈β⊃#␈↓ ¬\␈ε%1␈↓ ¬␈␈ε%1
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"388␈↓ 
b␈ε"4.5.4
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"Besides␈α⊂this␈α∂condition,␈α⊃w␈α␈e␈α⊂don't␈α⊂w␈α␈an␈α␈t␈ε(␈α⊂p␈ε"␈α⊂and␈↓ π#␈ε(q␈↓ πF␈ε"to␈α⊂be␈α⊂close␈α⊂to␈α⊂each␈α⊂other,␈α⊂lest
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"Algorithm␈α
D␈α∞succeed␈α
in␈α∞disco␈α␈v␈α␈ering␈α∞them;␈α∞in␈α
fact,␈α∞w␈α␈e␈α∞don't␈α∞w␈α␈an␈α␈t␈α
the␈α∞ratio␈ε(␈α
p␈ε"/␈↓ →␈ε(q
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"to␈αbe␈αnear␈αa␈αsimple␈αfraction,␈αotherwise␈↓ ε2␈ε"Lehman's␈αgeneralization␈αof␈αAlgorithm␈αC
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"could␈α|nd␈αthem.
␈ββS␈↓ α␈ε"The␈α	follo␈α␈wing␈α
procedure␈α	for␈α
generating␈ε(␈α	p␈ε"␈α	and␈↓ πO␈ε(q␈↓ πk␈ε"is␈α
alm␈α↓ost␈α	surely␈α	un␈α␈break␈α}able:
␈ββx␈↓ λ
␈ε%80␈↓ 	≠␈ε%81
␈ββ}␈↓ ↓H␈ε"Start␈α	with␈α	a␈α
truly␈α	random␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈↓ ¬b␈ε(p␈↓ ε∞␈ε"bet␈α␈w␈α␈een,␈α
sa␈α␈y,␈α
1␈↓ πx␈ε"0␈↓ λ3␈ε"and␈α
1␈↓ 		␈ε"0␈↓ 	;␈ε".␈α∂Search␈α	for␈α	the
␈β∧
␈↓ ¬t␈ε%0
␈β∧$␈↓ 
≥␈ε%1
␈β∧)␈↓ ↓H␈ε"|rst␈α
prime␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈↓ β|␈ε(p␈↓ ∧,␈ε"greater␈α
than␈↓ ¬|␈ε(p␈↓ ε∨␈ε";␈α
this␈α
will␈α
require␈α
testing␈α
about␈↓ 
6␈ε"ln␈↓ 
Z␈ε(p␈↓ λ␈ε6→
␈β∧5␈↓ ∧∞␈ε%1␈↓ ε∞␈ε%0␈↓ 
l␈ε%0
␈β∧:␈↓ 
≥␈ε%2
␈β∧=␈↓ 
≥␈∧∧=
≥α⊂
␈β∧T␈↓ ↓H␈ε"90␈α∂odd␈α∂n␈α␈um␈α␈bers,␈α⊃and␈α∂it␈α∂will␈α⊂be␈α∂su}cien␈α␈t␈α∂to␈α⊂ha␈α␈v␈α␈e␈↓ πn␈ε(p␈↓ λ ␈ε"a␈α⊂\probable␈α∂prime"␈α∂with
␈β∧a␈↓ λ␈ε%1
␈β∧y␈↓ ∧∂␈ε9␈␈ε%␈α␈10␈α↓0
␈β∧␈␈↓ ↓H␈ε"probabilit␈α␈y␈α∞>␈α∞1␈ε6␈α	␈␈↓ β⎇␈ε"2␈↓ ∧j␈ε"a$er␈α∞50␈α∞trials␈α∞of␈α∂Algorithm␈α∞P.␈α∞Then␈α∞ch␈α↓o␈α↓ose␈α∞an␈α↓other
␈β¬%␈↓ εR␈ε%39␈↓ πg␈ε%40
␈β¬+␈↓ ↓H␈ε"truly␈αrandom␈αn␈α␈um␈α␈ber␈↓ ∧%␈ε(p␈↓ ∧S␈ε"bet␈α␈w␈α␈een,␈αsa␈α␈y,␈α1␈↓ ε@␈ε"0␈↓ ε}␈ε"and␈α1␈↓ πU␈ε"0␈↓ λπ␈ε".␈α⊂Search␈αfor␈αthe␈α|rst␈αprime
␈β¬7␈↓ ∧7␈ε%2
␈β¬V␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈ber␈ε(␈αp␈ε"␈αof␈αthe␈αform␈↓ ∧%␈ε(k␈↓ ∧9␈ε(p␈↓ ∧d␈ε"+␈απ1␈αwhere␈↓ ε∃␈ε(k␈↓ ε3␈ε6∃␈↓ εa␈ε(p␈↓ π∧␈ε",␈↓ π~␈ε(k␈↓ π:␈ε"is␈αev␈α␈en,␈αand␈↓ λ␈␈ε(k␈↓ 	≡␈ε6⊃␈↓ 	L␈ε(p␈↓ 	x␈ε"(modulo␈α3).
␈β¬b␈↓ ∧K␈ε%1␈↓ εs␈ε%2␈↓ 	↑␈ε%1
␈β¬|␈↓ ¬+␈ε%1
␈βε↓␈↓ ↓H␈ε"This␈α	will␈α
require␈α
testing␈α
about␈↓ ¬D␈ε"ln␈↓ ¬h␈ε(p␈↓ ε␈ε(p␈↓ ε8␈ε6→␈ε"␈α
45␈α	n␈α␈um␈α␈bers␈α
before␈α
a␈α
prime␈ε(␈α
p␈ε"␈α
is␈α	found.
␈βε
␈↓ ¬z␈ε%1␈↓ ε≥␈ε%2
␈βε∩␈↓ ¬+␈ε%6
␈βε∃␈↓ ¬+␈∧ε∃¬+α⊂
␈βε,␈↓ ↓H␈ε"The␈αprime␈ε(␈αp␈ε"␈αwill␈αbe␈αabout␈α120␈αdigits␈αlong;␈αa␈αsimilar␈αconstruction␈αcan␈αbe␈αused␈αto
␈βεW␈↓ ↓H␈ε"|nd␈αa␈αprime␈↓ β⊃␈ε(q␈↓ β/␈ε"about␈α130␈αdigits␈αlong.␈α∂F␈α⎇or␈αextra␈αsecurit␈α␈y,␈αit␈αis␈αprobably␈αadvisable
␈βπβ␈↓ ↓H␈ε"to␈α∂check␈α∂that␈α∂neither␈ε(␈α∂p␈ε"␈α
+␈α1␈α∂n␈α↓or␈↓ ¬\␈ε(q␈↓ ¬y␈ε"+␈α
1␈α⊂consists␈α∂en␈α␈tirely␈α∂of␈α∂rather␈α∂small␈α∂prime
␈βπ.␈↓ ↓H␈ε"factors␈α
(see␈α
exercise␈α∞20).␈α∪The␈α∞product␈↓ ε.␈ε(N␈↓ ε]␈ε"=␈ε(␈αp␈↓ π∨␈ε(q␈↓ π3␈ε",␈α
wh␈α↓ose␈α∞order␈α
of␈α
magnitude␈α
will
␈βπS␈↓ α}␈ε%2␈α↓50
␈βπY␈↓ ↓H␈ε"be␈α
about␈α
1␈↓ αl␈ε"0␈↓ β.␈ε",␈α
n␈α↓o␈α␈w␈αmeets␈α
all␈α
of␈αour␈α
requiremen␈α␈ts,␈αand␈α
it␈α
is␈αinconceiv␈α}able␈α
at␈α
this
␈βλ∧␈↓ ↓H␈ε"time␈αthat␈αsuch␈αan␈↓ βl␈ε(N␈↓ ∧≠␈ε"could␈αbe␈αfactored.
␈βλ1␈↓ α␈ε"F␈α⎇or␈α∪example,␈α∃suppose␈α∪w␈α␈e␈α∪knew␈α∪a␈α∪meth␈α↓od␈α∪that␈α∪could␈α∪factor␈α∪a␈α∪250-digit
␈βλV␈↓ βA␈ε%0.1␈↓ λ␈ε%25
␈βλ\␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈ber␈↓ αH␈ε(N␈↓ αu␈ε"in␈↓ β≡␈ε(N␈↓ βt␈ε"microseconds.␈α⊂This␈α
am␈α↓oun␈α␈ts␈α
to␈α1␈↓ πy␈ε"0␈↓ λ5␈ε"microseconds,␈αand␈α
there
␈β	α␈↓ ␈ε%1␈α↓1
␈β	λ␈↓ ↓H␈ε"are␈α
only␈α
31,556,952,000,000␈ε(␈α
⊗␈ε"␈α␈s␈α
per␈α
y␈α␈ear,␈α
so␈α
w␈α␈e␈α
w␈α␈ould␈α
need␈α
m␈α↓ore␈α
than␈α
3␈ε6␈α	α␈ε"␈αλ1␈↓ 
z␈ε"0
␈β	3␈↓ ↓H␈ε"y␈α␈ears␈αof␈α
CPU␈α
time␈α
to␈α
complete␈α
the␈α
factorization.␈α∩Ev␈α␈en␈α
if␈α
a␈α
go␈α␈v␈α␈ernmen␈α␈t␈αagency
␈β	↑␈↓ ↓H␈ε"purchased␈α10␈α
billion␈αcomputers␈α
and␈α
set␈αthem␈α
all␈αto␈α
w␈α␈orking␈α
on␈αthis␈α
problem,␈αit
␈β
	␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈ould␈αtak␈α␈e␈α
m␈α↓ore␈α
than␈α31␈α
y␈α␈ears␈αbefore␈α
one␈α
of␈αthem␈α
w␈α␈ould␈α
crack␈↓ 	?␈ε(N␈↓ 	o␈ε"in␈α␈to␈αfactors;
␈β
4␈↓ ↓H␈ε"mean␈α␈while␈α∩the␈α∩fact␈α∩that␈α∩the␈α∩go␈α␈v␈α␈ernmen␈α␈t␈α∩had␈α∩purchased␈α⊃so␈α∩man␈α␈y␈α∩specialized
␈β
`␈↓ ↓H␈ε"machines␈αw␈α␈ould␈αleak␈αout,␈αand␈αpeople␈αw␈α␈ould␈αstart␈αusing␈α300-digit␈↓ 	L␈ε(N␈↓ 	o␈ε"'s.
␈βπ␈↓ ε(␈ε%3
␈β
␈↓ α␈ε"Since␈α
the␈α
encoding␈α
meth␈α↓od␈ε(␈α
x␈ε6␈α/␈↓ ε∀␈ε(x␈↓ ε?␈ε"mod␈↓ π	␈ε(N␈↓ π9␈ε"is␈α
kn␈α↓o␈α␈wn␈α
to␈α
ev␈α␈ery␈α␈one,␈α
there␈α
are
␈β8␈↓ ↓H␈ε"additional␈αadv␈α}an␈α␈tages␈αbesides␈αthe␈αfact␈αthat␈αthe␈αcode␈αcan␈αbe␈αcrack␈α␈ed␈αonly␈αby␈αthe
␈βc␈↓ ↓H␈ε"RSA␈α⊂bo␈α␈x.␈α≤Such␈α⊃\public␈α⊂k␈α␈ey"␈α⊂systems␈α⊂w␈α␈ere␈α⊂|rst␈α⊃considered␈α⊂by␈α⊂W.␈↓ 
⊂␈ε"Di}e␈↓ 
r␈ε"and
␈β∞␈↓ ↓H␈ε"M.␈α
E.␈↓ α/␈ε"Hellman␈α
in␈ε/␈α∞IEEE␈α
T␈α⎇rans.␈ε2␈α∃IT-22␈ε"␈α
(1976),␈α∞644↑651.␈α∀As␈α∞an␈α
example␈α∞of␈α
what
␈β9␈↓ ↓H␈ε"can␈αbe␈αdone␈αwhen␈αthe␈αencoding␈αmeth␈α↓od␈αis␈αpublic␈αkn␈α↓o␈α␈wledge,␈αsuppose␈αthat␈αAlice
␈βe␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈an␈α␈ts␈α
to␈α∞comm␈α␈unicate␈α∞with␈α
Bill␈α∞via␈α∞electronic␈α∞mail,␈α∞and␈α
suppose␈α∞each␈α∞of␈α
them
␈β
⊂␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈an␈α␈ts␈αthe␈α
letters␈αto␈α
be␈ε/␈α
signed␈ε"␈αso␈α
that␈αthe␈α
receiv␈α␈er␈α
can␈αbe␈↓ λY␈ε"sure␈αthat␈α
n␈α↓obody␈αelse
␈β
;␈↓ ↓H␈ε"is␈α
forging␈α
an␈α␈y␈α∞messages.␈α∪Let␈↓ ¬≠␈ε(E␈↓ ¬L␈ε"(␈↓ ¬X␈ε(M␈↓ ε↓␈ε")␈α
be␈α
the␈α∞encoding␈α
function␈α
for␈α
messages␈↓ ∧␈ε(M
␈β
G␈↓ ¬5␈ε+A
␈β
f␈↓ ↓H␈ε"sen␈α␈t␈α⊂to␈α⊃Alice,␈α∩let␈↓ βj␈ε(D␈↓ ∧∨␈ε"(␈↓ ∧+␈ε(M␈↓ ∧S␈ε")␈α⊃be␈α⊃the␈α⊂decoding␈α⊃done␈α⊂by␈α⊃Alice's␈α⊃RSA␈α⊂bo␈α␈x,␈α∩and␈α⊂let
␈β
s␈↓ ∧π␈ε+A
␈β∞⊃␈↓ ↓H␈ε(E␈↓ ↓z␈ε"(␈↓ αε␈ε(M␈↓ α.␈ε"),␈↓ αO␈ε(D␈↓ β¬␈ε"(␈↓ β⊃␈ε(M␈↓ β9␈ε")␈αbe␈α
the␈αcorresponding␈αencoding␈α
and␈αdecoding␈α
functions␈αfor␈α
Bill's
␈β∞≡␈↓ ↓b␈ε+B␈↓ αl␈ε+B
␈β∞=␈↓ ↓H␈ε"RSA␈α
bo␈α␈x.␈α∪Then␈α
Alice␈α
can␈α
send␈α
a␈α
signed␈α
message␈α
by␈α
a}xing␈α
her␈α
name␈α
and␈α
the
␈β∞I␈↓ λF␈ε↓␈␈↓ 	I␈ε↓↓
␈β∞h␈↓ ↓H␈ε"date␈αto␈αsome␈αcon|den␈α␈tial␈αmessage,␈αthen␈αtransmitting␈↓ λ∀␈ε(E␈↓ λT␈ε(D␈↓ 	λ␈ε"(␈↓ 	∀␈ε(M␈↓ 	=␈ε")␈↓ 	c␈ε"to␈αBill,␈αusing
␈β∞t␈↓ λ.␈ε+B␈↓ λq␈ε+A
␈β∂∪␈↓ ↓H␈ε"her␈α∂machine␈α⊂to␈α⊂compute␈↓ ∧a␈ε(D␈↓ ¬∃␈ε"(␈↓ ¬!␈ε(M␈↓ ¬J␈ε").␈α≤When␈α∂Bill␈α⊂gets␈α⊂this␈α⊂message,␈α⊃his␈α⊂RSA␈α∂bo␈α␈x
␈β∂∨␈↓ ∧}␈ε+A
␈β∂ ␈↓ 
⊃␈ε↓␈␈↓ ∀␈ε↓↓
␈β∂>␈↓ ↓H␈ε"con␈α␈v␈α␈erts␈αit␈αto␈↓ β$␈ε(D␈↓ βY␈ε"(␈↓ βe␈ε(M␈↓ ∧
␈ε"),␈αand␈αhe␈αkn␈α↓o␈α␈ws␈↓ ε∪␈ε(E␈↓ εP␈ε"so␈αhe␈αcan␈αcompute␈↓ λ␈␈ε(M␈↓ 	2␈ε"=␈↓ 	`␈ε(E␈↓ 
∨␈ε(D␈↓ 
T␈ε"(␈↓ 
`␈ε(M␈↓ λ␈ε")␈↓ "␈ε".
␈β∂K␈↓ βA␈ε+A␈↓ ε-␈ε+A␈↓ 	z␈ε+A␈↓ 
=␈ε+A
␈β∂i␈↓ ↓H␈ε"This␈αsh␈α↓ould␈αcon␈α␈vince␈αhim␈αthat␈αthe␈αmessage␈αdid␈αindeed␈αcome␈αfrom␈αAlice;␈αn␈α↓obody
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈ε"else␈αcould␈αha␈α␈v␈α␈e␈αsen␈α␈t␈αthe␈αmessage␈↓ ¬R␈ε(D␈↓ εε␈ε"(␈↓ ε∩␈ε(M␈↓ ε;␈ε").
␈β⊂!␈↓ ¬o␈ε+A
␈β⊂B␈↓ α␈ε"W␈α⎇e␈αmigh␈α␈t␈α
ask,␈αh␈α↓o␈α␈w␈α
do␈αAlice␈αand␈α
Bill␈αkn␈α↓o␈α␈w␈αeach␈α
other's␈αencoding␈αfunctions
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε(E␈↓ α↓␈ε"and␈↓ αD␈ε(E␈↓ αv␈ε"?␈α∂It␈α	w␈α␈ouldn't␈αλdo␈α	simply␈αλto␈α	ha␈α␈v␈α␈e␈α	them␈αλstored␈α	in␈αλa␈α	public␈α	|le,␈α	since␈αλsome
␈β⊂y␈↓ ↓b␈ε+A␈↓ α↑␈ε+B
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"Charlie␈α∂could␈α∂tamper␈α∂with␈α∂that␈α∂|le,␈α⊂substituting␈α∂an␈↓ λ→␈ε(N␈↓ λK␈ε"that␈α∂he␈α∂has␈α∂computed
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.4␈↓ 
v␈ε"389
␈β↓\␈↓ π≡␈ε∞F␈α|ACTORING␈αINTO␈α
P␈α␈RIM␈α↓ES
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"by␈α⊂himself;␈α∪Charlie␈α⊂could␈α⊃then␈α⊂surreptitiously␈α⊃in␈α␈tercept␈α⊂and␈α⊃decode␈α⊂a␈α⊂priv␈α}ate
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"message␈α	before␈α	Alice␈α	or␈α
Bill␈α	w␈α␈ould␈α	disco␈α␈v␈α␈er␈α	that␈α
something␈α	is␈α	amiss.␈α∂The␈α	solution
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"is␈α∞to␈α∞k␈α␈eep␈α∂the␈α∞product␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈↓ ¬M␈ε(N␈↓ ε⊃␈ε"and␈↓ εY␈ε(N␈↓ π≡␈ε"in␈α∞a␈α∞special␈α∂public␈α∞directory␈α∞that
␈ββπ␈↓ ¬k␈ε+A␈↓ εw␈ε+B
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"has␈αits␈αo␈α␈wn␈αRSA␈αbo␈α␈x␈αand␈αits␈αo␈α␈wn␈αwidely␈αpublicized␈αproduct␈αn␈α␈um␈α␈ber␈↓ 	␈␈ε(N␈↓ 
7␈ε".␈α∂When
␈ββ2␈↓ 
≥␈ε+D
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε"Alice␈α∞w␈α␈an␈α␈ts␈α
to␈α∞kn␈α↓o␈α␈w␈α∞h␈α↓o␈α␈w␈α∞to␈α∞comm␈α␈unicate␈α∞with␈α∞Bill,␈α∞she␈α∞asks␈α∞the␈α∞directory␈α
for
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"Bill's␈α
product␈α
n␈α␈um␈α␈ber;␈αthe␈αdirectory␈α
computer␈αsends␈α
her␈α
a␈ε/␈αsigned␈ε"␈α
message␈α
giving
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε"the␈αv␈α}alue␈αof␈↓ β
␈ε(N␈↓ βC␈ε".␈α⊂Nobody␈αcan␈αforge␈αsuch␈αa␈αmessage,␈αso␈αit␈αm␈α␈ust␈αbe␈αlegitimate.
␈β∧4␈↓ β+␈ε+B
␈β∧U␈↓ α␈ε"An␈α
in␈α␈teresting␈α
alternativ␈α␈e␈αto␈α
the␈α
RSA␈α
scheme␈αhas␈α
been␈α
proposed␈α
by␈α
Michael
␈β¬↓␈↓ ↓H␈ε"Rabin␈α∞[MIT␈α∂Lab.␈α∂for␈α∂Comp.␈α∞Sci.,␈α⊂report␈α∂TR-212␈α∞(1979)],␈α⊂wh␈α↓o␈α∂suggests␈α∞encod-
␈β¬&␈↓ ∧"␈ε%2␈↓ εu␈ε%3
␈β¬,␈↓ ↓H␈ε"ing␈α∂by␈α∞the␈α∂function␈↓ ∧∞␈ε(x␈↓ ∧9␈ε"mod␈↓ ¬β␈ε(N␈↓ ¬5␈ε"instead␈α∂of␈↓ εa␈ε(x␈↓ π␈ε"mod␈↓ πU␈ε(N␈↓ πx␈ε".␈α→In␈α∂this␈α∂case␈α∂the␈α∞decoding
␈β¬W␈↓ ↓H␈ε"mechanism,␈αwhich␈αw␈α␈e␈αcan␈αcall␈αa␈αSQR␈α⎇T␈αbo␈α␈x,␈αreturns␈αfour␈αdi{eren␈α␈t␈↓ 	Y␈ε"messages;␈αthe
␈βεα␈↓ ↓H␈ε"reason␈α
is␈α∞that␈α
four␈α∞di{eren␈α␈t␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α∞the␈α∞same␈α
square␈α∞m␈α↓odulo␈↓ 
␈ε(N␈↓ 
#␈ε",␈α∞namely
␈βε'␈↓ λ␈ε+q␈↓ λ⊂␈ε9␈␈ε%1␈↓ 	ε␈ε+p␈ε9␈α↓␈␈ε%␈α␈1
␈βε-␈↓ ↓H␈ε(x␈ε",␈ε6␈α␈␈ε(x␈ε",␈↓ αA␈ε(f␈↓ αV␈ε(x␈↓ αp␈ε"mod␈↓ β:␈ε(N␈↓ β]␈ε",␈α
and␈α
(␈ε6␈␈↓ ∧k␈ε(f␈↓ ¬␈ε(x␈ε")␈↓ ¬&␈ε"mod␈↓ ¬p␈ε(N␈↓ ε∪␈ε",␈α
where␈↓ π∪␈ε(f␈↓ π3␈ε"=␈α(␈↓ πn␈ε(p␈↓ λG␈ε6␈␈↓ λs␈ε(q␈↓ 	D␈ε")␈↓ 	V␈ε"mod␈↓ 
 ␈ε(N␈↓ 
C␈ε".␈α∩If␈αw␈α␈e
␈βεT␈↓ π∨␈ε%1
␈βεY␈↓ ↓H␈ε"agree␈α
in␈α
adv␈α}ance␈α
that␈ε(␈α
x␈ε"␈α
is␈α∞ev␈α␈en,␈α
or␈α
that␈ε(␈α
x␈ε"␈α<␈↓ π2␈ε(N␈↓ πU␈ε",␈α∞then␈α
the␈α
am␈α␈biguit␈α␈y␈α
drops␈α
to
␈βεi␈↓ π∨␈ε%2
␈βεm␈↓ π∨␈∧εmπ∨α⊂
␈βπ∧␈↓ ↓H␈ε"t␈α␈w␈α␈o␈α∞messages,␈α∞presumably␈α∞only␈α∞one␈α
of␈α∞which␈α∞mak␈α␈es␈α∞an␈α␈y␈α∞sense.␈α⊗The␈α
am␈α␈biguit␈α␈y
␈βπ/␈↓ ↓H␈ε"can␈αin␈α
fact␈αbe␈α
eliminated␈α
en␈α␈tirely,␈αas␈α
sh␈α↓o␈α␈wn␈αin␈α
exercise␈α
35.␈α⊃Rabin's␈α
scheme␈αhas
␈βπZ␈↓ ↓H␈ε"the␈α	importan␈α␈t␈α
propert␈α␈y␈α
that␈α	it␈α
is␈α
pro␈α␈v␈α}ably␈α
as␈α	di}cult␈α
to␈α
|nd␈α	square␈α
ro␈α↓ots␈α
m␈α↓od␈↓ 	␈ε(N
␈βπ␈␈↓ 
)␈ε%2
␈βλ¬␈↓ ↓H␈ε"as␈αto␈α|nd␈α
the␈αfactorization␈↓ ∧z␈ε(N␈↓ ¬'␈ε"=␈ε(␈αp␈↓ ¬h␈ε(q␈↓ ¬{␈ε";␈α
for␈αby␈α
taking␈αthe␈αsquare␈α
ro␈α↓ot␈αof␈↓ 
∃␈ε(x␈↓ 
?␈ε"mod␈↓ 	␈ε(N
␈βλ,␈↓ πK␈ε%1
␈βλ1␈↓ ↓H␈ε"when␈ε(␈α
x␈ε"␈α
is␈α
ch␈α↓osen␈α
at␈α
random,␈α
w␈α␈e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
probabilit␈α␈y␈↓ πh␈ε"of␈α
|nding␈α
a␈αv␈α}alue␈↓ 	}␈ε(y␈↓ 
~␈ε"such␈α
that
␈βλA␈↓ πK␈ε%2
␈βλE␈↓ πK␈∧λEπKα⊂
␈βλV␈↓ ↓\␈ε%2␈↓ α7␈ε%2
␈βλ\␈↓ ↓H␈ε(x␈↓ ↓v␈ε6⊃␈↓ α$␈ε(y␈↓ αR␈ε"and␈ε(␈α	x␈ε6␈α
@⊃␈α
ε␈↓ ∧¬␈ε(y␈↓ ∧_␈ε",␈α
a$er␈α
which␈↓ ¬f␈ε"gcd␈↓ ε≤␈ε"(␈ε(x␈ε",␈↓ εL␈ε(y␈↓ ε←␈ε")␈α
=␈ε(␈α
p␈ε"␈α	or␈↓ πh␈ε(q␈↓ π{␈ε".␈α∂Ho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α
the␈α
system␈α
has␈α	a
␈β	π␈↓ ↓H␈ε"fatal␈α⎇a␈α␈w␈αthat␈αdoes␈αn␈α↓ot␈αseem␈αto␈αbe␈αpresen␈α␈t␈αin␈αthe␈αRSA␈αscheme␈α(see␈αexercise␈α33):
␈β	2␈↓ ↓H␈ε"An␈α␈y␈α␈one␈α∞with␈α∞access␈α∞to␈α∂a␈α∞SQR␈α⎇T␈α∞bo␈α␈x␈α∂can␈α∞easily␈α∞determine␈α∞the␈α∂factors␈α∞of␈α∞its␈↓ 
␈␈ε(N␈↓ "␈ε".
␈β	]␈↓ ↓H␈ε"This␈αn␈α↓ot␈αonly␈αpermits␈αcheating␈αby␈α
dish␈α↓onest␈αemplo␈α␈y␈α␈ees,␈αor␈αthreats␈αof␈αextortion,
␈β
	␈↓ ↓H␈ε"it␈α
also␈α
allo␈α␈ws␈α
people␈αto␈α
rev␈α␈eal␈α
their␈ε(␈α
p␈ε"␈α
and␈↓ εe␈ε(q␈↓ εx␈ε",␈α∞a$er␈α
which␈α
they␈α
migh␈α␈t␈αclaim␈α
that
␈β
4␈↓ ↓H␈ε"their␈α\signature"␈αon␈αsome␈αtransmitted␈αdocumen␈α␈t␈αw␈α␈as␈αa␈αforgery.␈α⊂Th␈α␈us␈αit␈αis␈αclear
␈β
←␈↓ ↓H␈ε"that␈α∞the␈α∞goal␈α∞of␈α∞secure␈α∞comm␈α␈unication␈α∞leads␈α∞to␈α∞subtle␈α∞problems␈α∞quite␈α∞di{eren␈α␈t
␈β
␈↓ ↓H␈ε"from␈αth␈α↓ose␈αw␈α␈e␈αusually␈αface␈αin␈αthe␈αdesign␈αand␈αanalysis␈αof␈αalgorithms.
␈β←␈↓ ↓H␈ε2The␈α∞largest␈α
kn␈α↓o␈α␈wn␈α∞primes.␈ε"␈α≥W␈α⎇e␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈α∞discussed␈α∞sev␈α␈eral␈α∞computational␈α
meth␈α↓ods
␈β
␈↓ ↓H␈ε"elsewhere␈α⊂in␈α⊃this␈α⊃bo␈α↓ok␈α⊃that␈α⊃require␈α⊃the␈α⊂use␈α⊃of␈α⊃large␈α⊃prime␈α⊃n␈α␈um␈α␈bers,␈α∩and␈α⊂the
␈β5␈↓ ↓H␈ε"techniques␈αjust␈αdescribed␈αcan␈αbe␈αused␈αto␈αdisco␈α␈v␈α␈er␈αprimes␈αof␈αup␈αto,␈αsa␈α␈y,␈α25␈αdigits
␈βa␈↓ ↓H␈ε"or␈α
few␈α␈er,␈α∞with␈α
relativ␈α␈e␈α∞ease.␈α∀T␈α⎇able␈α
1␈α∞sh␈α↓o␈α␈ws␈α
the␈α
ten␈α∞largest␈α
primes␈α∞that␈α
are␈α
less
␈β
␈↓ ↓H␈ε"than␈α
the␈α∞w␈α␈ord␈α∞size␈α∞of␈α
t␈α␈ypical␈α∞computers.␈α≥(Some␈α
other␈α∞useful␈α∞primes␈α∞appear␈α
in
␈β
7␈↓ ↓H␈ε"the␈αansw␈α␈er␈αto␈αexercise␈α4.6.4↑57.)
␈β
e␈↓ α␈ε"Actually␈αm␈α␈uch␈αlarger␈αprimes␈αof␈αspecial␈αforms␈αare␈αkn␈α↓o␈α␈wn,␈αand␈αit␈αis␈αoccasion-
␈β∞⊂␈↓ ↓H␈ε"ally␈αimportan␈α␈t␈αto␈α|nd␈αprimes␈αthat␈αare␈αas␈αlarge␈αas␈αpossible.␈α⊂Let␈αus␈αtherefore␈αcon-
␈β∞<␈↓ ↓H␈ε"clude␈α∞this␈α∞section␈α∂by␈α∞in␈α␈v␈α␈estigating␈α∞the␈α∂in␈α␈teresting␈α∞manner␈α∞in␈α∂which␈α∞the␈α∞largest
␈β∞g␈↓ ↓H␈ε"explicitly␈α⊃kn␈α↓o␈α␈wn␈α⊃primes␈α⊃ha␈α␈v␈α␈e␈α∩been␈α⊃disco␈α␈v␈α␈ered.␈α∨Such␈α∩primes␈α⊃are␈α⊃of␈α⊃the␈α⊃form
␈β∂␈↓ ↓Z␈ε+n
␈β∂∩␈↓ ↓H␈ε"2␈↓ ↓q␈ε6␈␈ε"␈α∧1,␈α
for␈α
v␈α}arious␈α
special␈α	v␈α}alues␈α
of␈ε(␈α
n␈ε",␈α
and␈α
so␈α
they␈α	are␈α
especially␈α
suited␈α
to␈α	certain
␈β∂=␈↓ ↓H␈ε"applications␈αof␈αbinary␈αcomputers.
␈β∂e␈↓ ∧v␈ε+n␈↓ 
N␈ε+u␈↓ 
`␈ε+v
␈β∂k␈↓ α␈ε"A␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈α	of␈α
the␈α	form␈↓ ∧d␈ε"2␈↓ ¬␈ε6␈␈ε"␈αβ1␈α	cann␈α↓ot␈α	be␈α	prime␈α	unless␈ε(␈α	n␈ε"␈α	is␈α
prime,␈α	since␈↓ 
<␈ε"2␈↓ 
t␈ε6␈␈ε"␈αα1
␈β⊂⊂␈↓ β7␈ε+u
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"is␈α	divisible␈α
by␈↓ β%␈ε"2␈↓ βN␈ε6␈␈ε"␈αβ1.␈α∂In␈α
1644,␈α
Marin␈↓ ε∞␈ε"Mersenne␈α	astonished␈α
his␈α
con␈α␈temporaries␈α	by
␈β⊂<␈↓ ε$␈ε+p
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"stating,␈αin␈αessence,␈αthat␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈bers␈↓ ε∩␈ε"2␈↓ ε<␈ε6␈␈ε"␈απ1␈αare␈αprime␈αfor␈ε(␈αp␈ε"␈α
=␈α
2,␈α3,␈α5,␈α7,␈α13,␈α17,
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"19,␈α31,␈α67,␈α127,␈α257,␈αand␈αfor␈αn␈α↓o␈αother␈ε(␈αp␈ε"␈αless␈αthan␈α257.␈α∃(This␈αstatemen␈α␈t␈αappeared
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"in␈α
connection␈αwith␈α
a␈αdiscussion␈α
of␈↓ ¬←␈ε"perfect␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈αin␈α
the␈αpreface␈α
to␈αhis␈ε/␈α
Cogitata
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"390␈↓ 
b␈ε"4.5.4
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα≠␈↓ ↓H␈ε"(T␈α⎇able␈α1␈αwill␈αgo␈αon␈αthis␈αpage,␈↓ ¬∨␈ε"it's␈αbeing␈αset␈αseparately)
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.4␈↓ 
v␈ε"391
␈β↓\␈↓ π≡␈ε∞F␈α|ACTORING␈αINTO␈α
P␈α␈RIM␈α↓ES
␈βα$␈↓ ↓H␈ε/Ph␈α␈ysico-Mathematics␈ε".␈α_Curiously,␈α∂he␈α∂also␈α∂made␈α∂the␈α∞follo␈α␈wing␈α∂remark:␈α∩\T␈α⎇o␈α∞tell
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"if␈α
a␈α∞giv␈α␈en␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α
15␈α∞or␈α∞20␈α
digits␈α∞is␈α∞prime␈α∞or␈α
n␈α↓ot,␈α∂all␈α
time␈α∞w␈α␈ould␈α∞n␈α↓ot␈α
su}ce
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"for␈αthe␈α
test,␈αwhatev␈α␈er␈α
use␈αis␈α
made␈αof␈α
what␈α
is␈αalready␈α
kn␈α↓o␈α␈wn.")␈α~Mersenne,␈αwh␈α↓o
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"had␈α∞corresponded␈α∞frequen␈α␈tly␈α∂with␈↓ ¬m␈ε"F␈α⎇ermat,␈↓ εw␈ε"Descartes,␈α∂and␈α∞others␈α∞about␈α∞similar
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε"topics␈α
in␈α
previous␈αy␈α␈ears,␈α∞ga␈α␈v␈α␈e␈α
n␈α↓o␈α
pro␈α↓of␈α
of␈αhis␈α
assertions,␈α∞and␈α
for␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α200␈α
y␈α␈ears
␈ββv␈↓ 
↔␈ε%31
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓obody␈α⊃knew␈α⊃whether␈α⊃he␈α⊃w␈α␈as␈α⊃correct␈α⊃or␈α⊃n␈α↓ot.␈↓ πJ␈ε"Euler␈α⊃sh␈α↓o␈α␈w␈α␈ed␈α∩that␈↓ 
¬␈ε"2␈↓ 
B␈ε6␈␈ε"␈α1␈α⊃is
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε"prime␈αin␈α
1772,␈α
a$er␈αha␈α␈ving␈α
tried␈α
unsuccessfully␈αto␈α
pro␈α␈v␈α␈e␈α
this␈αin␈α
previous␈αy␈α␈ears.
␈β∧J␈↓ ∧7␈ε"∞
␈β∧L␈↓ πY␈ε%1␈α↓27␈↓ 
F␈ε%67
␈β∧R␈↓ ↓H␈ε"About␈α100␈α
y␈α␈ears␈αlater,␈↓ ∧4␈ε"E␈↓ ∧L␈ε".␈↓ ∧c␈ε"Lucas␈αdisco␈α␈v␈α␈ered␈α
that␈↓ πG␈ε"2␈↓ λ⊃␈ε6␈␈ε"␈αλ1␈α
is␈αprime,␈α
but␈↓ 
4␈ε"2␈↓ 
n␈ε6␈␈ε"␈αλ1
␈β∧}␈↓ ↓H␈ε"is␈α
n␈α↓ot;␈α∞therefore␈α
Mersenne␈α∞w␈α␈as␈α
n␈α↓ot␈α
completely␈α∞accurate.␈α∪Then␈α∞I.␈α
M.␈↓ 
∂␈ε"Pervushin
␈β¬#␈↓ ∧(␈ε%61
␈β¬)␈↓ ↓H␈ε"pro␈α␈v␈α␈ed␈α∂in␈α∂1883␈α⊂that␈↓ ∧⊗␈ε"2␈↓ ∧R␈ε6␈␈ε"␈α
1␈α⊂is␈α∂prime␈α∂[cf.␈ε/␈α⊂Istorik␈α␈o-Mat.␈α∂Issledo␈α␈v␈α}ani␈↓ 	v␈ε/~␈↓ 	v␈ε/␈↓ 
␈ε/a␈ε2␈α∂6␈ε"␈α∂(1953),
␈β¬T␈↓ ↓H␈ε"559],␈α∞and␈α
this␈α∞touched␈α
o{␈α∞speculation␈α
that␈α∞Mersenne␈α
had␈α∞only␈α
made␈α∞a␈α
copying
␈β¬␈␈↓ ↓H␈ε"error,␈α∞writing␈α∞67␈α∞for␈α∞61.␈α∃Ev␈α␈en␈α␈tually␈α∞other␈α∞errors␈α∞in␈α∞Mersenne's␈α∞statemen␈α␈t␈α
w␈α␈ere
␈βε$␈↓ 	¬␈ε%89
␈βε*␈↓ ↓H␈ε"disco␈α␈v␈α␈ered;␈αR.␈α
E.␈↓ β`␈ε"Po␈α␈w␈α␈ers␈α[␈ε/AMM␈ε2␈α
18␈ε"␈α(1911),␈α
195]␈αfound␈αthat␈↓ λs␈ε"2␈↓ 	-␈ε6␈␈ε"␈αλ1␈α
is␈αprime,␈αas
␈βεV␈↓ ↓H␈ε"had␈α∞been␈α∂conjectured␈α∂by␈α∞some␈α∂earlier␈α∂writers,␈α∂and␈α∂three␈α∞y␈α␈ears␈α∂later␈α∂he␈α∞pro␈α␈v␈α␈ed
␈βε{␈↓ α(␈ε%1␈α↓07␈↓ 	P␈ε%257
␈βπ↓␈↓ ↓H␈ε"that␈↓ α⊗␈ε"2␈↓ α`␈ε6␈␈ε"␈α	1␈α
also␈αis␈α
prime.␈α≠M.␈↓ ¬O␈ε"Kraitchik␈αsh␈α↓o␈α␈w␈α␈ed␈α
in␈α
1922␈α
that␈↓ 	>␈ε"2␈↓ 
π␈ε6␈␈ε"␈α	1␈α
is␈ε/␈αn␈α↓ot
␈βπ,␈↓ ↓H␈ε"prime␈α[cf.␈ε/␈αRecherches␈αsur␈αla␈αTh␈↓ ¬7␈ε/∞␈↓ ¬8␈ε/e␈↓ ¬H␈ε/orie␈αdes␈αNom␈α␈bres␈ε"␈α(Paris:␈α1924),␈α21].
␈βπR␈↓ ε3␈ε+p
␈βπX␈↓ α␈ε"A␈α␈t␈αan␈α␈y␈αrate,␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αof␈αthe␈αform␈↓ ε!␈ε"2␈↓ εK␈ε6␈␈ε"␈αε1␈αare␈αn␈α↓o␈α␈w␈αcalled␈ε/␈αMersenne␈αn␈α␈um␈α␈bers␈ε",
␈βλβ␈↓ ↓H␈ε"and␈αit␈αis␈αkn␈α↓o␈α␈wn␈αthat␈αthe␈α|rst␈α27␈↓ ¬P␈ε"Mersenne␈αprimes␈αare␈αobtained␈αfor␈ε(␈αp␈ε"␈αequal␈αto
␈βλQ␈↓ ↓l␈ε"2,␈α3,␈α5,␈α7,␈α13,␈α17,␈α19,␈α31,␈α61,␈α89,␈α107,␈α127,␈α521,␈α607,␈α1279,␈α2203␈αε2281,
␈βλm␈↓ 
p␈ε"(23)
␈β	π␈↓ α∧␈ε"3217,␈α4253,␈α4423,␈α9689,␈α9941,␈α11213,␈α19937,␈α21701,␈α23209,␈α44497.
␈β	Y␈↓ ↓H␈ε"The␈α∂24th␈α∂of␈α∂these␈α⊂w␈α␈as␈α∂found␈α∂by␈α∂Bry␈α␈an␈α␈t␈α∂T␈α⎇uck␈α␈erman␈α⊂[␈ε/Proc.␈α∂Nat.␈α∂Acad.␈α∂Sci.␈ε2␈α∂68
␈β
∧␈↓ ↓H␈ε"(1971),␈α
2319↑2320],␈α∞and␈α
the␈α∞25th␈α
w␈α␈as␈α
found␈α∞in␈α
1978␈α
by␈α
Laura␈α∞Nick␈α␈el␈α
and␈α
Curt
␈β
/␈↓ ↓H␈ε"Noll.␈α⊂Sh␈α↓ortly␈αa$erw␈α␈ards,␈αNoll␈αfound␈αthe␈α26th,␈αand␈αDa␈α␈vid␈αSlo␈α␈winski␈αharnessed␈αa
␈β
Z␈↓ ↓H␈ε"CRA␈α⎇Y-I␈αcomputer␈α
to␈αthe␈αtask␈αof␈αdisco␈α␈v␈α␈ering␈αthe␈α27th;␈αsee␈ε/␈αJ.␈αRecreational␈α
Math.
␈β
␈␈↓ λ≡␈ε%13
␈β¬␈↓ ↓H␈ε211␈ε"␈α∞(1979),␈α∂258↑261.␈α5Note␈α∂that␈α∞the␈α∂prime␈α∞8191␈α∞=␈↓ λ␈ε"2␈↓ λH␈ε6␈␈ε"␈α
1␈α∞does␈α∂n␈α↓ot␈α∞occur␈α∞in
␈β+␈↓ ¬R␈ε%8191
␈β1␈↓ ↓H␈ε"(23);␈α
Mersenne␈α
had␈α
stated␈α∞that␈↓ ¬@␈ε"2␈↓ ε→␈ε6␈␈ε"␈α	1␈α
is␈α
prime,␈α
and␈α
others␈α
had␈α
conjectured
␈β\␈↓ ↓H␈ε"that␈αan␈α␈y␈αMersenne␈αprime␈αcould␈αperhaps␈αbe␈αused␈αin␈αthe␈αexponen␈α␈t.
␈β↓␈↓ βα␈ε%4␈α↓4497
␈βπ␈↓ α␈ε"Since␈↓ αp␈ε"2␈↓ β\␈ε6␈␈ε"␈α
1␈α∩is␈α∩a␈α∪13,395-digit␈α∩n␈α␈um␈α␈ber,␈α∀it␈α∪is␈α∩clear␈α∪that␈α∩some␈α∩special
␈β3␈↓ ↓H␈ε"techniques␈α∂ha␈α␈v␈α␈e␈α⊂been␈α⊂used␈α∂to␈α⊂pro␈α␈v␈α␈e␈α⊂that␈α∂it␈α⊂is␈α⊂prime.␈α~An␈α⊂e}cien␈α␈t␈α⊂meth␈α↓od␈α∂for
␈βX␈↓ λπ␈ε+p
␈β↑␈↓ ↓H␈ε"testing␈α∞the␈α∂primalit␈α␈y␈α∂of␈α∞a␈α∂giv␈α␈en␈α∞Mersenne␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈↓ πu␈ε"2␈↓ λ!␈ε6␈␈ε"␈α
1␈α∂w␈α␈as␈α∞|rst␈α∂devised␈α∞by
␈β
↓␈↓ ↓K␈ε"∞
␈β
	␈↓ ↓H␈ε"E␈↓ ↓`␈ε".␈α⊂Lucas␈α⊃[␈ε/Amer.␈α⊂J.␈α⊃Math.␈ε2␈α⊂1␈ε"␈α⊃(1878),␈α∩184↑239,␈α⊃289↑321,␈α∩especially␈α⊂p.␈α⊃316]␈α⊂and
␈β
4␈↓ ↓H␈ε"impro␈α␈v␈α␈ed␈α∞by␈α∂D.␈α∂H.␈↓ ∧α␈ε"Lehmer␈α∂[␈ε/Annals␈α∂of␈α∂Math.␈ε2␈α∞31␈ε"␈α∂(1930),␈α∂419↑448,␈α⊂especially␈α∞p.
␈β
←␈↓ ↓H␈ε"443].␈α∂The␈α	Lucas↑Lehmer␈α
test,␈α
which␈α
is␈α	a␈α
special␈α	case␈α
of␈α	the␈α
meth␈α↓od␈α	n␈α↓o␈α␈w␈α
used␈α	for
␈β∞␈↓ ↓H␈ε"testing␈αthe␈αprimalit␈α␈y␈αof␈ε(␈αn␈ε"␈αwhen␈αthe␈αfactors␈αof␈ε(␈αn␈ε"␈απ+␈αε1␈αare␈αkn␈α↓o␈α␈wn,␈αis␈αthe␈αfollo␈α␈wing:
␈β∞N␈↓ ↓H␈ε2Theorem␈αL.␈ε/␈α→Let␈↓ β]␈ε(q␈↓ β|␈ε/be␈αan␈αodd␈αprime,␈αand␈αde|ne␈αthe␈αsequence␈ε6␈αh␈↓ 	 ␈ε(L␈↓ 	L␈ε6i␈ε/␈αby␈αthe␈αrule
␈β∞Z␈↓ 	8␈ε+n
␈β∂≥␈↓ εY␈ε%2␈↓ λ-␈ε+q
␈β∂%␈↓ βY␈ε(L␈↓ ∧␈ε"=␈α
4,␈↓ ¬$␈ε(L␈↓ επ␈ε"=␈α
(␈↓ εA␈ε(L␈↓ εu␈ε6␈␈ε"␈αλ2)␈↓ πE␈ε"mod␈↓ λ∂␈ε"(␈↓ λ≠␈ε"2␈↓ λG␈ε6␈␈ε"␈αλ1).␈↓ 
p␈ε"(24)
␈β∂2␈↓ βq␈ε%0␈↓ ¬<␈ε+n␈ε%+␈α␈1
␈β∂6␈↓ εY␈ε+n
␈β∂w␈↓ α8␈ε+q
␈β∂⎇␈↓ ↓H␈ε/Then␈↓ α&␈ε"2␈↓ αQ␈ε6␈␈ε"␈αλ1␈ε/␈αis␈αprime␈αif␈αand␈αonly␈αif␈↓ ¬}␈ε(L␈↓ ε←␈ε"=␈α
0␈ε/.
␈β⊂	␈↓ ε⊗␈ε+q␈↓ ε&␈ε9␈␈ε%2
␈β⊂:␈↓ βz␈ε%3␈↓ πH␈ε%2
␈β⊂@␈↓ α␈ε"F␈α⎇or␈α
example,␈↓ βh␈ε"2␈↓ ∧∪␈ε6␈␈ε"␈α	1␈α
is␈α∞prime␈α
since␈↓ εE␈ε(L␈↓ εz␈ε"=␈α(␈↓ π6␈ε"4␈↓ πb␈ε6␈␈ε"␈αλ2)␈↓ λ2␈ε"mod␈↓ λ|␈ε"7␈α=␈α0.␈α∀This␈α
test␈α
is
␈β⊂L␈↓ ε]␈ε%1
␈β⊂k␈↓ ↓H␈ε"particularly␈α
w␈α␈ell␈αsuited␈αto␈αbinary␈αcomputers,␈αusing␈αm␈α␈ultiple-precision␈α
arithmetic
␈β⊃⊂␈↓ ε=␈ε+q
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε"when␈↓ α$␈ε(q␈↓ αB␈ε"is␈α
large,␈αsince␈α
calculation␈α
m␈α↓od␈α(␈↓ ε+␈ε"2␈↓ εS␈ε6␈␈ε"␈α¬1)␈α
is␈α
so␈αcon␈α␈v␈α␈enien␈α␈t;␈αcf.␈α
Section␈α
4.3.2.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"392␈↓ 
b␈ε"4.5.4
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ ↓H␈ε/Pro␈α↓of.␈ε"␈α≥W␈α⎇e␈α∂will␈α∞pro␈α␈v␈α␈e␈α∞Theorem␈α∂L␈α∞using␈α∞only␈α∂v␈α␈ery␈α∞simple␈α∂principles␈α∞of␈α∞n␈α␈um␈α␈ber
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"theory,␈αby␈αin␈α␈v␈α␈estigating␈αsev␈α␈eral␈↓ ¬>␈ε"features␈αof␈αrecurring␈αsequences␈αthat␈αare␈αof␈αinde-
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"penden␈α␈t␈αin␈α␈terest.␈α⊂Consider␈αthe␈αsequences␈ε6␈αh␈↓ εb␈ε(U␈↓ π∂␈ε6i␈ε"␈αand␈ε6␈αh␈↓ πy␈ε(V␈↓ λ#␈ε6i␈ε"␈αde|ned␈αby
␈ββπ␈↓ εz␈ε+n␈↓ λ∞␈ε+n
␈ββG␈↓ εK␈ε(U␈↓ π/␈ε"=␈α
4␈↓ πo␈ε(U␈↓ λ$␈ε6␈␈↓ λP␈ε(U␈↓ 	*␈ε";
␈ββI␈↓ β@␈ε(U␈↓ βt␈ε"=␈α
0,␈↓ ¬ε␈ε(U␈↓ ¬9␈ε"=␈α
1,
␈ββT␈↓ εd␈ε+n␈ε%+␈α␈1␈↓ λλ␈ε+n␈↓ λi␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1
␈ββU␈↓ βY␈ε%0␈↓ ¬∨␈ε%1
␈ββd␈↓ 
p␈ε"(25)
␈ββ⎇␈↓ εN␈ε(V␈↓ π/␈ε"=␈α
4␈↓ πo␈ε(V␈↓ λ!␈ε6␈␈↓ λM␈ε(V␈↓ 	$␈ε".
␈ββ␈␈↓ βC␈ε(V␈↓ βt␈ε"=␈α
2,␈↓ ¬	␈ε(V␈↓ ¬9␈ε"=␈α
4,
␈β∧
␈↓ εd␈ε+n␈ε%+␈α␈1␈↓ λ¬␈ε+n␈↓ λc␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1
␈β∧␈↓ βY␈ε%0␈↓ ¬∨␈ε%1
␈β∧L␈↓ ↓H␈ε"The␈αfollo␈α␈wing␈αequations␈αare␈αreadily␈αpro␈α␈v␈α␈ed␈αby␈αinduction:
␈β¬→␈↓ ∧∧␈ε(V␈↓ ∧8␈ε"=␈↓ ∧f␈ε(U␈↓ ¬H␈ε6␈␈↓ ¬t␈ε(U␈↓ εN␈ε";␈↓ 
p␈ε"(26)
␈β¬&␈↓ ∧~␈ε+n␈↓ ∧␈␈ε+n␈ε%␈α␈+1␈↓ ε
␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1
␈β¬1␈↓ ∧f␈ε↓␈␈↓ λ␈ε↓↓
␈β¬G␈↓ ε␈ε+n␈↓ πk␈ε+n
␈β¬K␈↓ ¬F␈ε6p␈↓ π&␈ε6p␈↓ λ ␈ε6p
␈β¬N␈↓ ¬d␈∧¬N¬dα⊗␈↓ πD␈∧¬NπDα⊗␈↓ λ>␈∧¬Nλ>α(
␈β¬O␈↓ ∧↓␈ε(U␈↓ ∧8␈ε"=␈↓ ∧t␈ε"(2␈αλ+␈↓ ¬h␈ε"3␈↓ ε␈ε")␈↓ ε(␈ε6␈␈ε"␈αλ(2␈ε6␈αλ␈␈↓ πG␈ε"3␈↓ π←␈ε")␈↓ λ∞␈ε"/␈↓ λA␈ε"12␈↓ λe␈ε";␈↓ 
p␈ε"(27)
␈β¬\␈↓ ∧~␈ε+n
␈β¬⎇␈↓ ¬}␈ε+n␈↓ π]␈ε+n
␈βε↓␈↓ ¬8␈ε6p␈↓ π_␈ε6p
␈βε∧␈↓ ¬V␈∧ε∧¬Vα⊗␈↓ π6␈∧ε∧π6α⊗
␈βε¬␈↓ ∧∧␈ε(V␈↓ ∧8␈ε"=␈α
(2␈αλ+␈↓ ¬Z␈ε"3␈↓ ¬r␈ε")␈↓ ε~␈ε"+␈αλ(2␈ε6␈αλ␈␈↓ π9␈ε"3␈↓ πQ␈ε")␈↓ πr␈ε";␈↓ 
p␈ε"(28)
␈βε∩␈↓ ∧~␈ε+n
␈βε;␈↓ βI␈ε(U␈↓ ∧8␈ε"=␈↓ ∧f␈ε(U␈↓ ¬≠␈ε(U␈↓ ¬⎇␈ε6␈␈↓ ε)␈ε(U␈↓ π
␈ε(U␈↓ π7␈ε".␈↓ 
p␈ε"(29)
␈βεH␈↓ βb␈ε+m␈ε%␈α␈+␈ε+n␈↓ ∧␈␈ε+m␈↓ ¬4␈ε+n␈ε%␈α␈+1␈↓ εA␈ε+m␈ε9␈␈ε%1␈↓ π#␈ε+n
␈βπ∞␈↓ ↓H␈ε"Let␈αus␈αn␈α↓o␈α␈w␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αan␈αauxiliary␈αresult,␈αwhen␈ε(␈αp␈ε"␈αis␈αprime␈αand␈ε(␈αe␈ε6␈α
∃␈ε"␈α
1:
␈βπY␈↓ ¬@␈ε+e␈↓ 	←␈ε+e␈ε%+1
␈βπa␈↓ αC␈ε"if␈↓ β!␈ε(U␈↓ βX␈ε6⊃␈ε"␈α
0␈α
(modulo␈↓ ¬.␈ε(p␈↓ ¬O␈ε")␈↓ ε#␈ε"then␈↓ π1␈ε(U␈↓ πw␈ε6⊃␈ε"␈α
0␈α
(modulo␈↓ 	M␈ε(p␈↓ 
≠␈ε").␈↓ 
p␈ε"(30)
␈βπn␈↓ β:␈ε+n␈↓ πJ␈ε+n␈α␈p
␈βλ4␈↓ ↓H␈ε"This␈α⊂follo␈α␈ws␈α⊂from␈α⊂the␈α⊂m␈α↓ore␈α⊂general␈α⊂considerations␈α⊂of␈α∂exercise␈α⊂3.2.2↑11,␈α⊃but␈α⊂a
␈βλY␈↓ 	X␈ε+e
␈βλ←␈↓ ↓H␈ε"direct␈αpro␈α↓of␈αfor␈αsequence␈α(25)␈αcan␈αbe␈αgiv␈α␈en.␈α⊃Assume␈αthat␈↓ λR␈ε(U␈↓ 		␈ε"=␈ε(␈α
b␈↓ 	F␈ε(p␈↓ 	g␈ε",␈↓ 	⎇␈ε(U␈↓ 
a␈ε"=␈ε(␈α
a␈ε".
␈βλl␈↓ λk␈ε+n␈↓ 
⊗␈ε+n␈ε%+␈α␈1
␈β	∧␈↓ ∧p␈ε+e␈↓ ε∪␈ε+e␈↓ λx␈ε+e␈ε%+1
␈β	
␈↓ ↓H␈ε"By␈α(29)␈αand␈α(25),␈↓ β[␈ε(U␈↓ ∧!␈ε"=␈ε(␈α
b␈↓ ∧↑␈ε(p␈↓ ∧␈␈ε"(2␈ε(a␈ε6␈αε␈␈ε"␈αε4␈ε(b␈↓ ε↓␈ε(p␈↓ ε"␈ε")␈ε6␈α
⊃␈ε"␈α
(2␈ε(a␈ε")␈↓ π#␈ε(U␈↓ πZ␈ε"(modulo␈↓ λf␈ε(p␈↓ 	3␈ε"),␈αwhile␈α
w␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈β	↔␈↓ βs␈ε%2␈ε+␈α↓n␈↓ π<␈ε+n
␈β	0␈↓ βε␈ε%2␈↓ ∧
␈ε%2␈↓ ∧j␈ε%2␈↓ 
c␈ε%2
␈β	6␈↓ ↓H␈ε(U␈↓ α;␈ε"=␈↓ αi␈ε(U␈↓ βH␈ε6␈␈↓ βm␈ε(U␈↓ ∧)␈ε6⊃␈↓ ∧W␈ε(a␈↓ ∧z␈ε".␈α∂Similarly,␈↓ ε3␈ε(U␈↓ εz␈ε"=␈↓ π(␈ε(U␈↓ λ⊃␈ε(U␈↓ λ?␈ε6␈␈↓ λd␈ε(U␈↓ 	 ␈ε(U␈↓ 
∧␈ε6⊃␈ε"␈α
(3␈↓ 
P␈ε(a␈↓ 
s␈ε")␈↓ 
␈␈ε(U
␈β	B␈↓ ↓`␈ε%2␈ε+␈α↓n␈ε%␈α␈+1␈↓ εL␈ε%3␈ε+n␈↓ π@␈ε%2␈ε+␈α↓n␈ε%␈α␈+1␈↓ λ)␈ε+n␈↓ λ⎇␈ε%2␈ε+n␈↓ 	9␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ _␈ε+n
␈β	F␈↓ βε␈ε+n␈ε%␈α␈+1␈↓ ∧
␈ε+n
␈β	←␈↓ εY␈ε%3
␈β	e␈↓ ↓H␈ε"and␈↓ α∞␈ε(U␈↓ β↓␈ε"=␈↓ β/␈ε(U␈↓ ∧_␈ε(U␈↓ ∧y␈ε6␈␈↓ ¬%␈ε(U␈↓ ¬a␈ε(U␈↓ ε_␈ε6⊃␈↓ εF␈ε(a␈↓ εj␈ε".␈α⊂In␈αgeneral,
␈β	r␈↓ α&␈ε%3␈ε+␈α↓n␈ε%␈α␈+1␈↓ βG␈ε%2␈ε+␈α↓n␈ε%␈α␈+1␈↓ ∧0␈ε+n␈ε%+1␈↓ ¬>␈ε%2␈ε+n␈↓ ¬z␈ε+n
␈β
0␈↓ βi␈ε+k␈↓ βy␈ε9␈␈ε%1␈↓ π`␈ε+k␈↓ 	b␈ε+e␈ε%+1
␈β
8␈↓ α@␈ε(U␈↓ βλ␈ε6⊃␈ε"␈α
(␈↓ βB␈ε(k␈↓ βV␈ε(a␈↓ ∧(␈ε")␈↓ ∧4␈ε(U␈↓ ¬)␈ε"and␈↓ ε+␈ε(U␈↓ π∨␈ε6⊃␈↓ πM␈ε(a␈↓ λD␈ε"(modulo␈↓ 	P␈ε(p␈↓ 
≡␈ε"),
␈β
D␈↓ αY␈ε+k␈↓ αj␈ε+n␈↓ ∧M␈ε+n␈↓ εD␈ε+k␈↓ εT␈ε+n␈ε%+␈α␈1
␈β␈↓ ↓H␈ε"so␈α(30)␈αfollo␈α␈ws␈αif␈αw␈α␈e␈αtak␈α␈e␈↓ ∧Y␈ε(k␈↓ ∧w␈ε"=␈ε(␈α
p␈ε".
␈β6␈↓ α␈ε"F␈α⎇rom␈αform␈α␈ulas␈α
(27)␈αand␈α
(28)␈αw␈α␈e␈α
can␈αobtain␈α
other␈αexpressions␈α
for␈↓ 	⎇␈ε(U␈↓ 
4␈ε"and␈↓ 
x␈ε(V␈↓ "␈ε",
␈βC␈↓ 
∃␈ε+n␈↓ ∞␈ε+n
␈β[␈↓ ∧
␈ε+n
␈β←␈↓ βH␈ε6p
␈βa␈↓ ↓H␈ε"expanding␈α(2␈ε6␈αλε␈↓ βi␈ε"3␈↓ ∧↓␈ε")␈↓ ∧-␈ε"by␈αthe␈αbin␈α↓omial␈αtheorem:
␈βb␈↓ βf␈∧bβfα⊗
␈β(␈↓ α-␈ε↓X␈↓ εs␈ε↓X
␈β1␈↓ αg␈ε↓∩␈↓ βi␈ε↓∪␈↓ π-␈ε↓∩␈↓ πi␈ε↓∪
␈β2␈↓ β(␈ε(n␈↓ πK␈ε(n
␈βB␈↓ ∧↔␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%2␈↓ ∧V␈ε+k␈↓ ∧g␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ ¬'␈ε+k␈↓ λ↔␈ε+n␈ε9␈␈ε%2␈↓ λW␈ε+k␈↓ λg␈ε%+1␈↓ 	(␈ε+k
␈βJ␈↓ ↓H␈ε(U␈↓ ↓␈␈ε"=␈↓ ∧¬␈ε"2␈↓ ¬∃␈ε"3␈↓ ¬9␈ε",␈↓ ε⊃␈ε(V␈↓ εE␈ε"=␈↓ λ¬␈ε"2␈↓ 	⊗␈ε"3␈↓ 	:␈ε".␈↓ 
p␈ε"(31)
␈βV␈↓ ↓`␈ε+n␈↓ ε'␈ε+n
␈βd␈↓ α⎇␈ε"2␈↓ β∂␈ε(k␈↓ β+␈ε"+␈αλ1␈↓ πC␈ε"2␈↓ πU␈ε(k
␈βz␈↓ α>␈ε+k␈↓ π∧␈ε+k
␈β
 ␈↓ 
\␈ε↓␈␈↓ 
{␈ε↓↓
␈β
5␈↓ 
k␈ε+p
␈β
?␈↓ ↓H␈ε"No␈α␈w␈αif␈αw␈α␈e␈αset␈ε(␈αn␈ε"␈α	=␈ε(␈α
p␈ε",␈αwhere␈ε(␈αp␈ε"␈αis␈αan␈αodd␈αprime,␈αand␈αif␈αw␈α␈e␈αuse␈αthe␈αfact␈αthat␈↓ ∀␈ε"is
␈β
P␈↓ 
j␈ε+k
␈β
j␈↓ ↓H␈ε"a␈αm␈α␈ultiple␈αof␈ε(␈αp␈ε"␈αexcept␈αwhen␈↓ ¬␈ε(k␈↓ ¬)␈ε"=␈α
0␈αor␈↓ ε!␈ε(k␈↓ ε?␈ε"=␈ε(␈α
p␈ε",␈αw␈α␈e␈α|nd␈αthat
␈β∞5␈↓ ∧T␈ε%(␈ε+␈α↓p␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈α↓)/2
␈β∞=␈↓ βa␈ε(U␈↓ ∧∀␈ε6⊃␈↓ ∧B␈ε"3␈↓ ¬E␈ε",␈↓ ε≥␈ε(V␈↓ εM␈ε6⊃␈ε"␈α
4␈↓ π←(modulo␈ε(␈αp␈ε").␈↓ 
p␈ε"(32)
␈β∞J␈↓ βy␈ε+p␈↓ ε3␈ε+p
␈β∂
␈↓ ππ␈ε+p␈ε9␈␈ε%1␈↓ 	@␈ε%(␈ε+p␈ε9␈␈ε%1)␈α↓/2
␈β∂⊂␈↓ ↓H␈ε"If␈ε(␈α⊂p␈ε6␈α⊃≤␈ε"␈α∩3,␈α⊃F␈α⎇ermat's␈α⊂theorem␈α⊃tells␈α⊂us␈α⊂that␈↓ εu␈ε"3␈↓ πV␈ε6⊃␈ε"␈α⊃1;␈α∩hence␈α⊃(␈↓ 	.␈ε"3␈↓ 
<␈ε6␈␈ε"␈α
1)␈ε6α
␈β∂5␈↓ ↓f␈ε%(␈ε+p␈ε9␈␈ε%1)/␈α↓2␈↓ ∧p␈ε%(␈ε+p␈ε9␈␈ε%1)/␈α↓2
␈β∂;␈↓ ↓H␈ε"(␈↓ ↓T␈ε"3␈↓ α`␈ε"+␈α	1)␈ε6␈α∞⊃␈ε"␈α∞0,␈α∞and␈↓ ∧↑␈ε"3␈↓ ¬n␈ε6⊃␈α∞ε␈ε"1.␈α⊗When␈↓ π`␈ε(U␈↓ λ_␈ε6⊃␈α
␈␈ε"1,␈α∂w␈α␈e␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈↓ 
$␈ε(U␈↓ λ␈ε"=
␈β∂H␈↓ πy␈ε+p␈↓ 
=␈ε+p␈ε%+1
␈β∂f␈↓ ↓H␈ε"4␈↓ ↓Z␈ε(U␈↓ α␈ε6␈␈↓ α9␈ε(U␈↓ β≥␈ε"=␈α
4␈↓ β`␈ε(U␈↓ ∧∩␈ε"+␈↓ ∧?␈ε(V␈↓ ∧o␈ε6␈␈↓ ¬≤␈ε(U␈↓ ε␈ε6⊃␈α␈␈↓ εT␈ε(U␈↓ π+␈ε";␈α∞hence␈↓ λ)␈ε(U␈↓ 	¬␈ε"mod␈↓ 	O␈ε(p␈ε"␈α
=␈α
0.␈α∃When
␈β∂s␈↓ ↓r␈ε+p␈↓ αR␈ε+p␈ε9␈␈ε%1␈↓ βx␈ε+p␈↓ ∧U␈ε+p␈↓ ¬5␈ε+p␈ε%+1␈↓ εm␈ε+p␈ε%+1␈↓ λB␈ε+p␈ε%+1
␈β⊂∩␈↓ ↓H␈ε(U␈↓ ↓{␈ε6⊃␈ε"␈α
+1,␈αw␈α␈e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈↓ βx␈ε(U␈↓ ∧X␈ε"=␈α
4␈↓ ¬_␈ε(U␈↓ ¬F␈ε6␈␈↓ ¬n␈ε(U␈↓ εN␈ε"=␈α
4␈↓ π∞␈ε(U␈↓ π<␈ε6␈␈↓ πd␈ε(V␈↓ λ∂␈ε6␈␈↓ λ7␈ε(U␈↓ 	↔␈ε6⊃␈α
␈␈↓ 	i␈ε(U␈↓ 
@␈ε";␈α
hence
␈β⊂≡␈↓ ↓`␈ε+p␈↓ ∧⊃␈ε+p␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ ¬1␈ε+p␈↓ επ␈ε+p␈ε%+1␈↓ π'␈ε+p␈↓ πz␈ε+p␈↓ λP␈ε+p␈ε9␈␈ε%1␈↓ 
α␈ε+p␈ε9␈␈ε%1
␈β⊂=␈↓ ↓H␈ε(U␈↓ α$␈ε"mod␈↓ αn␈ε(p␈ε"␈α
=␈α0.␈α⊂W␈α⎇e␈αha␈α␈v␈α␈e␈α
pro␈α␈v␈α␈ed␈αthat,␈αfor␈αall␈αprimes␈ε(␈α
p␈ε",␈αthere␈αis␈αan␈αin␈α␈teger␈ε(␈α
∂␈ε"␈α␈(␈ε(p␈ε")
␈β⊂I␈↓ ↓`␈ε+p␈ε9␈α↓␈␈ε%␈α␈1
␈β⊂h␈↓ ↓H␈ε"such␈αthat
␈β⊃∪␈↓ ∧,␈ε(U␈↓ ¬)␈ε"mod␈↓ ¬s␈ε(p␈ε"␈α
=␈α
0,␈ε6␈↓ π'j␈ε(∂␈ε"(␈ε(p␈ε")␈ε6j␈α
∀␈ε"␈α
1.␈↓ 
p␈ε"(33)
␈β⊃ ␈↓ ∧E␈ε+p␈ε%+␈ε+␈α␈∂␈ε%␈α↓(␈ε+p␈ε%)
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.4␈↓ 
v␈ε"393
␈β↓\␈↓ π≡␈ε∞F␈α|ACTORING␈αINTO␈α
P␈α␈RIM␈α↓ES
␈βα"␈↓ α␈ε"No␈α␈w␈αif␈↓ βα␈ε(N␈↓ β1␈ε"is␈αan␈α␈y␈α
positiv␈α␈e␈αin␈α␈teger,␈αand␈αif␈ε(␈α
m␈ε"␈α
=␈ε(␈αm␈ε"␈α␈(␈↓ λ␈ε(N␈↓ λ/␈ε")␈α
is␈αthe␈αsmallest␈αpositiv␈α␈e
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈teger␈αsuch␈αthat␈↓ β←␈ε(U␈↓ ∧J␈ε"mod␈↓ ¬∀␈ε(N␈↓ ¬A␈ε"=␈α
0,␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈βαZ␈↓ βw␈ε+m␈ε%(␈↓ ∧≤␈ε+N␈↓ ∧8␈ε%)
␈ββ$␈↓ αW␈ε(U␈↓ β
␈ε"mod␈↓ βT␈ε(N␈↓ ∧↓␈ε"=␈α
0␈↓ ¬	␈ε"if␈αand␈αonly␈αif␈ε(␈↓ π≡n␈ε"␈αis␈αa␈αm␈α␈ultiple␈αof␈ε(␈αm␈ε"␈α␈(␈↓ 	d␈ε(N␈↓ 
π␈ε").␈↓ 
p␈ε"(34)
␈ββ0␈↓ αp␈ε+n
␈ββz␈↓ ↓H␈ε"(This␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈ε(␈α∂m␈ε"␈α␈(␈↓ βY␈ε(N␈↓ β|␈ε")␈α∂is␈α∂called␈α∂the␈α∂\␈↓ ¬z␈ε"rank␈α∂of␈α∂apparition"␈α∂of␈↓ λn␈ε(N␈↓ 	 ␈ε"in␈α∂the␈α∂sequence.)
␈β∧&␈↓ ↓H␈ε"T␈α⎇o␈α∂pro␈α␈v␈α␈e␈α⊂(34),␈α⊂observ␈α␈e␈α∂that␈α⊂the␈α∂sequence␈↓ εi␈ε(U␈↓ π≡␈ε",␈↓ π8␈ε(U␈↓ λ~␈ε",␈↓ λ4␈ε(U␈↓ 	⊗␈ε",␈↓ 	0␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	j␈ε"is␈α∂congruen␈α␈t
␈β∧2␈↓ πα␈ε+m␈↓ πQ␈ε+m␈ε%+␈α␈1␈↓ λM␈ε+m␈ε%+␈α␈2
␈β∧Q␈↓ ↓H␈ε"(m␈α↓odulo␈↓ αU␈ε(N␈↓ αx␈ε")␈αto␈ε(␈αa␈↓ βO␈ε(U␈↓ βy␈ε",␈ε(␈αa␈↓ ∧"␈ε(U␈↓ ∧L␈ε",␈ε(␈αa␈↓ ∧u␈ε(U␈↓ ¬∨␈ε",␈↓ ¬5␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬e␈ε",␈α
where␈ε(␈αa␈ε"␈α
=␈↓ π0␈ε(U␈↓ λ_␈ε"mod␈↓ λb␈ε(N␈↓ 	⊃␈ε"is␈αrelativ␈α␈ely␈αprime
␈β∧]␈↓ βh␈ε%0␈↓ ∧;␈ε%1␈↓ ¬∞␈ε%2␈↓ πI␈ε+m␈ε%␈α␈+1
␈β∧|␈↓ ↓H␈ε"to␈↓ ↓t␈ε(N␈↓ α#␈ε"because␈↓ β'␈ε"gcd␈↓ β]␈ε"(␈↓ βi␈ε(U␈↓ ∧⊗␈ε",␈↓ ∧&␈ε(U␈↓ ∧␈␈ε")␈α
=␈α
1.
␈β¬λ␈↓ ∧↓␈ε+n␈↓ ∧>␈ε+n␈ε%+1
␈β¬'␈↓ α␈ε"With␈αthese␈αpreliminaries␈αout␈αof␈αthe␈αw␈α␈a␈α␈y,␈αw␈α␈e␈αare␈αready␈αto␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αTheorem␈αL␈↓ "␈ε".
␈β¬R␈↓ ↓H␈ε"By␈α(24)␈αand␈αinduction,
␈β¬v␈↓ πλ␈ε+q
␈β¬}␈↓ ∧}␈ε(L␈↓ ¬4␈ε"=␈↓ ¬b␈ε(V␈↓ ε ␈ε"mod␈↓ εj␈ε"(␈↓ εv␈ε"2␈↓ π"␈ε6␈␈ε"␈αλ1).␈↓ 
p␈ε"(35)
␈βε	␈↓ επ␈ε-n
␈βε
␈↓ ¬⊗␈ε+n␈↓ ¬x␈ε%2
␈βεB␈↓ ↓H␈ε"F␈α⎇urtherm␈α↓ore,␈α∂the␈α∂iden␈α␈tit␈α␈y␈α∂2␈↓ ¬α␈ε(U␈↓ ¬j␈ε"=␈α∂4␈↓ ε/␈ε(U␈↓ εf␈ε"+␈↓ π∀␈ε(V␈↓ πL␈ε"implies␈α∂that␈↓ 	~␈ε"gcd␈↓ 	P␈ε"(␈↓ 	\␈ε(U␈↓ 
	␈ε",␈↓ 
→␈ε(V␈↓ 
C␈ε")␈ε6␈α∂∀␈ε"␈α∞2,
␈βεN␈↓ ¬≠␈ε+n␈ε%␈α␈+1␈↓ εH␈ε+n␈↓ π)␈ε+n␈↓ 	u␈ε+n␈↓ 
/␈ε+n
␈βεm␈↓ ↓H␈ε"since␈α∩an␈α␈y␈α∪comm␈α↓on␈α∪factor␈α∪of␈↓ ¬)␈ε(U␈↓ ¬h␈ε"and␈↓ ε5␈ε(V␈↓ εr␈ε"m␈α␈ust␈α∪divide␈↓ λD␈ε(U␈↓ 	β␈ε"and␈α∪2␈↓ 	b␈ε(U␈↓ 
<␈ε",␈α∀while
␈βεz␈↓ ¬A␈ε+n␈↓ εK␈ε+n␈↓ λ\␈ε+n␈↓ 	{␈ε+n␈ε%+␈α␈1
␈βπ_␈↓ ↓H␈ε"gcd␈↓ ↓}␈ε"(␈↓ α
␈ε(U␈↓ α7␈ε",␈↓ αG␈ε(U␈↓ β ␈ε")␈α∪=␈α∀1.␈α So␈↓ ∧j␈ε(U␈↓ ¬)␈ε"and␈↓ ¬t␈ε(V␈↓ ε0␈ε"ha␈α␈v␈α␈e␈α⊃n␈α↓o␈α∩odd␈α⊃factor␈α∩in␈α⊃comm␈α↓on,␈α∪and␈α⊃if
␈βπ%␈↓ α"␈ε+n␈↓ α←␈ε+n␈ε%+1␈↓ ¬β␈ε+n␈↓ ε
␈ε+n
␈βπD␈↓ ↓H␈ε(L␈↓ α(␈ε"=␈α
0␈αw␈α␈e␈αm␈α␈ust␈αha␈α␈v␈α␈e
␈βπP␈↓ ↓`␈ε+q␈↓ ↓p␈ε9␈␈ε%␈α␈2
␈βλ⊂␈↓ λ)␈ε+q
␈βλ_␈↓ β]␈ε(U␈↓ ∧F␈ε"=␈↓ ∧t␈ε(U␈↓ ¬R␈ε(V␈↓ ε7␈ε6⊃␈ε"␈α
0␈α∀(modulo␈↓ λ↔␈ε"2␈↓ λC␈ε6␈␈ε"␈αλ1),
␈βλ#␈↓ ∧¬␈ε-q␈↓ ∧∪␈ε;␈␈ε'1␈↓ ¬≤␈ε-q␈↓ ¬)␈ε;␈␈ε'␈α↓2␈↓ ¬w␈ε-q␈↓ ε¬␈ε;␈␈ε'2
␈βλ$␈↓ βv␈ε%2␈↓ ¬␈ε%2␈↓ ¬h␈ε%2
␈βλF␈↓ λ)␈ε+q
␈βλN␈↓ ¬O␈ε(U␈↓ ε7␈ε6@⊃␈↓ εe␈ε"0␈α∀(modulo␈↓ λ↔␈ε"2␈↓ λC␈ε6␈␈ε"␈αλ1).
␈βλY␈↓ ¬w␈ε-q␈↓ ε¬␈ε;␈␈ε'2
␈βλZ␈↓ ¬h␈ε%2
␈β	~␈↓ ∧$␈ε+q␈↓ λr␈ε+q
␈β	!␈↓ α␈ε"No␈α␈w␈α∂if␈ε(␈α∞m␈ε"␈α∞=␈ε(␈α∞m␈ε"(␈↓ ∧∩␈ε"2␈↓ ∧?␈ε6␈␈ε"␈α
1)␈α∞is␈α∂the␈α∞rank␈α∂of␈α∞apparition␈α∂of␈↓ λ`␈ε"2␈↓ 	
␈ε6␈␈ε"␈α
1,␈α∂it␈α∞m␈α␈ust␈α∂be␈α∞a
␈β	F␈↓ αt␈ε+q␈↓ β∧␈ε9␈␈ε%1␈↓ ∧u␈ε+q␈↓ ¬¬␈ε9␈␈ε%2␈↓ ε␈␈ε+q␈↓ π∂␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ 
]␈ε+q
␈β	L␈↓ ↓H␈ε"divisor␈α	of␈↓ αb␈ε"2␈↓ β=␈ε"but␈α	n␈α↓ot␈α
of␈↓ ∧c␈ε"2␈↓ ¬3␈ε";␈αth␈α␈us␈ε(␈α
m␈ε"␈α
=␈↓ εm␈ε"2␈↓ π=␈ε".␈α∂W␈α⎇e␈α
will␈α
pro␈α␈v␈α␈e␈α
that␈ε(␈α
n␈ε"␈α	=␈↓ 
K␈ε"2␈↓ 
s␈ε6␈␈ε"␈αβ1
␈β	p␈↓ λC␈ε+e
␈β	q␈↓ 	"␈ε+e
␈β	w␈↓ ↓H␈ε"m␈α␈ust␈α
therefore␈α
be␈αprime:␈α∞Let␈α
the␈α
factorization␈α
of␈ε(␈α
n␈ε"␈α
be␈↓ λ1␈ε(p␈↓ λ`␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	⊂␈ε(p␈↓ 	?␈ε".␈α∩All␈α
primes␈↓ ␈ε(p
␈β	y␈↓ λP␈ε'1
␈β	z␈↓ 	/␈ε-r
␈β
β␈↓ ≥␈ε+j
␈β
λ␈↓ 	"␈ε+r
␈β
	␈↓ λC␈ε%1
␈β
≤␈↓ λ0␈ε+q
␈β
"␈↓ ↓H␈ε"are␈α
greater␈α
than␈α
3,␈αsince␈ε(␈α
n␈ε"␈α
is␈α
odd␈α
and␈α
congruen␈α␈t␈α
to␈α
(␈ε6␈␈ε"1␈↓ λ$␈ε")␈↓ λF␈ε6␈␈ε"␈α∧1␈α
=␈ε6␈α
␈␈ε"2␈α
(modulo␈α3).
␈β
G␈↓ λS␈ε+q
␈β
M␈↓ ↓H␈ε"F␈α⎇rom␈α(30),␈α(33),␈αand␈α(34)␈αw␈α␈e␈αkn␈α↓o␈α␈w␈αthat␈↓ ε<␈ε(U␈↓ εk␈ε6⊃␈ε"␈α
0␈α
(modulo␈↓ λA␈ε"2␈↓ λm␈ε6␈␈ε"␈αλ1),␈αwhere
␈β
Z␈↓ εT␈ε+t
␈β¬␈↓ ∧O␈ε↓␈␈↓ 	
␈ε↓↓
␈β≤␈↓ ∧o␈ε+e␈↓ ¬␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ π6␈ε+e␈↓ πP␈ε9␈␈ε%1
␈β$␈↓ βR␈ε(t␈ε"␈α
=␈↓ ∧↔␈ε"lcm␈↓ ∧]␈ε(p␈↓ ¬9␈ε"(␈↓ ¬E␈ε(p␈↓ ¬p␈ε"+␈↓ ε≤␈ε(∂␈↓ ε<␈ε"),␈↓ ε↑␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ π∞␈ε",␈↓ π$␈ε(p␈↓ π␈␈ε"(␈↓ λ␈ε(p␈↓ λ4␈ε"+␈↓ λ`␈ε(∂␈↓ λ}␈ε")␈↓ 	_␈ε",
␈β%␈↓ ∧|␈ε'1
␈β&␈↓ πC␈ε-r
␈β0␈↓ ¬W␈ε%1␈↓ ε+␈ε%1␈↓ λ≥␈ε+r␈↓ λo␈ε+r
␈β4␈↓ π6␈ε+r
␈β5␈↓ ∧o␈ε%1
␈βt␈↓ 	)␈ε+q␈↓ 	8␈ε9␈␈ε%1
␈βz␈↓ ↓H␈ε"and␈α∂each␈↓ αg␈ε(∂␈↓ β∃␈ε"is␈ε6␈α∂ε␈ε"1.␈α≤It␈α∂follo␈α␈ws␈α⊂that␈ε(␈α⊂t␈ε"␈α⊂is␈α∂a␈α⊂m␈α␈ultiple␈α⊂of␈ε(␈α∂m␈ε"␈α⊂=␈↓ 	↔␈ε"2␈↓ 	g␈ε".␈α≠Let␈↓ 
R␈ε(n␈↓ λ␈ε"=
␈βπ␈↓ αv␈ε+j␈↓ 
g␈ε%0
␈β
␈↓ ↓H␈ε↓Q␈↓ ε/␈ε↓Q
␈β≤␈↓ αi␈ε+e␈↓ ββ␈ε9␈␈ε%1␈↓ πQ␈ε+e␈↓ πk␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈β∨␈↓ 
 ␈ε+r
␈β!␈↓ λx␈ε%1␈↓ 
↓␈ε%6
␈β%␈↓ αW␈ε(p␈↓ αv␈ε-j␈↓ β2␈ε"(␈↓ β>␈ε(p␈↓ βd␈ε"+␈↓ ∧
␈ε(∂␈↓ ∧+␈ε");␈αw␈α␈e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈↓ ¬Q␈ε(n␈↓ ε↓␈ε6∀␈↓ π?␈ε(p␈↓ π↑␈ε-j␈↓ λ→␈ε"(␈↓ λ%␈ε(p␈↓ λK␈ε"+␈↓ 	␈ε(p␈↓ 	-␈ε")␈α
=␈α
(␈↓ 
∀␈ε")␈↓ 
/␈ε(n␈ε".␈α∂Also,
␈β2␈↓ βP␈ε+j␈↓ ∧≠␈ε+j␈↓ ¬f␈ε%0␈↓ λ7␈ε+j␈↓ 	≥␈ε+j
␈β6␈↓ λx␈ε%5␈↓ 
↓␈ε%5
␈β7␈↓ ↓j␈ε%1␈ε9∀␈↓ α⊗␈ε+j␈↓ α$␈ε9∀␈↓ αB␈ε+r␈↓ εQ␈ε%1␈ε9∀␈↓ ε}␈ε+j␈↓ π␈ε9∀␈↓ π)␈ε+r
␈β:␈↓ αd␈ε+j␈↓ πL␈ε+j␈↓ λx␈∧:λxα⊂␈↓ 
↓␈∧:
↓α⊂
␈βR␈↓ ¬V␈ε+r␈↓ ¬d␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈βX␈↓ ↓H␈ε"because␈↓ αK␈ε(p␈↓ αs␈ε"+␈↓ β≡␈ε(∂␈↓ βG␈ε"is␈αev␈α␈en,␈ε(␈αt␈ε6␈α
∀␈↓ ¬␈ε(n␈↓ ¬2␈ε"/␈↓ ¬D␈ε"2␈↓ ε∩␈ε",␈αsince␈αa␈αfactor␈αof␈αt␈α␈w␈α␈o␈αis␈αlost␈αeach␈αtime␈αthe
␈βe␈↓ α]␈ε+j␈↓ β-␈ε+j␈↓ ¬!␈ε%0
␈β
∧␈↓ ↓H␈ε"least␈αcomm␈α↓on␈α
m␈α␈ultiple␈α
of␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
ev␈α␈en␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈αis␈α
tak␈α␈en.␈α∪Com␈α␈bining␈α
these␈αresults,
␈β
)␈↓ ∧/␈ε+r␈↓ ¬M␈ε+r
␈β
*␈↓ ∧∂␈ε%3␈↓ ¬.␈ε%3
␈β
/␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈ε(␈αm␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
t␈ε6␈α
∀␈ε"␈α
2(␈↓ ∧#␈ε")␈↓ ∧>␈ε(n␈ε"␈α
<␈α
4(␈↓ ¬A␈ε")␈↓ ¬]␈ε(m␈ε"␈α
<␈α
3␈ε(m␈ε"␈α␈;␈α
hence␈↓ πa␈ε(r␈↓ π{␈ε6∀␈ε"␈α
2␈α
and␈ε(␈αt␈ε"␈α
=␈ε(␈α
m␈ε"␈αor␈ε(␈αt␈ε"␈α=␈α
2␈ε(m␈ε"␈α␈,
␈β
@␈↓ ∧∂␈ε%5␈↓ ¬.␈ε%5
␈β
C␈↓ ∧∂␈∧
C∧∂α⊂␈↓ ¬.␈∧
C¬.α⊂
␈β
Z␈↓ ↓H␈ε"a␈α∞po␈α␈w␈α␈er␈α∂of␈α∞2.␈α_Therefore␈↓ ∧Y␈ε(e␈↓ ¬π␈ε"=␈α∞1,␈↓ ¬e␈ε(e␈↓ ε⊃␈ε"=␈α∂1,␈α∂and␈α∞if␈ε(␈α∂n␈ε"␈α∞is␈α∞n␈α↓ot␈α∂prime␈α∞w␈α␈e␈α∂m␈α␈ust␈α∞ha␈α␈v␈α␈e
␈β
f␈↓ ∧h␈ε%1␈↓ ¬t␈ε+r
␈β
␈␈↓ α)␈ε+q␈↓ βX␈ε+k␈↓ ∧[␈ε+l␈↓ ε?␈ε+k␈↓ π|␈ε+l
␈β∞¬␈↓ ↓H␈ε(n␈ε"␈α
=␈↓ α↔␈ε"2␈↓ αB␈ε6␈␈ε"␈α	1␈α
=␈α(␈↓ βF␈ε"2␈↓ βr␈ε"+␈α	1)(␈↓ ∧I␈ε"2␈↓ ∧n␈ε6␈␈ε"␈αλ1)␈α
where␈↓ ε-␈ε"2␈↓ εY␈ε"+␈α	1␈αand␈↓ πj␈ε"2␈↓ λ⊂␈ε6␈␈ε"␈αλ1␈α
are␈αprime.␈α⊃The␈αlatter
␈β∞0␈↓ ↓H␈ε"factorization␈αis␈αobviously␈αimpossible␈αwhen␈↓ εj␈ε(q␈↓ π	␈ε"is␈αodd,␈αso␈ε(␈αn␈ε"␈αis␈αprime.
␈β∞V␈↓ ¬x␈ε+q
␈β∞\␈↓ α␈ε"Con␈α␈v␈α␈ersely,␈α
suppose␈α	that␈ε(␈α	n␈ε"␈α
=␈↓ ¬f␈ε"2␈↓ ε␈ε6␈␈ε"␈αα1␈α	is␈α	prime;␈α
w␈α␈e␈α
m␈α␈ust␈α	sh␈α↓o␈α␈w␈α	that␈↓ 
π␈ε(V␈↓ 
l␈ε6⊃␈ε"␈α
0
␈β∞g␈↓ 
,␈ε-q␈↓ 
:␈ε;␈␈ε'2
␈β∞h␈↓ 
≥␈ε%2
␈β∂π␈↓ ↓H␈ε"(modulo␈ε(␈αn␈ε"␈α␈).␈α∪F␈α⎇or␈αthis␈α
purpose␈α
it␈α
su}ces␈αto␈α
pro␈α␈v␈α␈e␈α
that␈↓ λ≡␈ε(V␈↓ 	∧␈ε6⊃␈α␈␈ε"2␈α(modulo␈ε(␈αn␈ε"␈α␈),
␈β∂∩␈↓ λC␈ε-q␈↓ λP␈ε;␈␈ε'␈α↓1
␈β∂∪␈↓ λ3␈ε%2
␈β∂,␈↓ ∧&␈ε%2
␈β∂2␈↓ ↓H␈ε"since␈↓ α ␈ε(V␈↓ β¬␈ε"=␈α
(␈↓ β?␈ε(V␈↓ ∧~␈ε")␈↓ ∧?␈ε6␈␈ε"␈αλ2.␈α⊂No␈α␈w
␈β∂=␈↓ αE␈ε-q␈↓ αR␈ε;␈␈ε'␈α↓1␈↓ βd␈ε-q␈↓ βr␈ε;␈␈ε'2
␈β∂?␈↓ α5␈ε%2␈↓ βU␈ε%2
␈β∂r␈↓ β→␈ε↓␈␈↓ ¬∧␈ε↓↓␈↓ επ␈ε↓␈␈↓ πr␈ε↓↓
␈β⊂α␈↓ ¬∩␈ε+n␈ε%␈α␈+1␈↓ λ␈ε+n␈ε%+␈α␈1
␈β⊂␈↓ β3␈ε6p␈↓ ∧~␈ε6p␈↓ ε!␈ε6p␈↓ πλ␈ε6p
␈β⊂∂␈↓ βQ␈∧⊂∂βQα⊗␈↓ ∧8␈∧⊂∂∧8α⊗␈↓ ε?␈∧⊂∂ε?α⊗␈↓ π&␈∧⊂∂π&α⊗
␈β⊂⊃␈↓ α¬␈ε(V␈↓ αk␈ε"=␈↓ β'␈ε"(␈↓ βT␈ε"2␈↓ βn␈ε"+␈↓ ∧<␈ε"6␈↓ ∧T␈ε")/2␈↓ ¬[␈ε"+␈↓ ε∃␈ε"(␈↓ εB␈ε"2␈↓ ε\␈ε6␈␈↓ π*␈ε"6␈↓ πB␈ε")/2
␈β⊂≤␈↓ α*␈ε-q␈↓ α8␈ε;␈␈ε'␈α↓1
␈β⊂≡␈↓ α≠␈ε%2
␈β⊂P␈↓ βb␈ε↓X␈↓ λy␈ε↓X
␈β⊂Y␈↓ ∧≤␈ε↓∩␈↓ ¬∞␈ε↓∪␈↓ 	3␈ε↓∩␈↓ 
%␈ε↓∪
␈β⊂Z␈↓ ∧2␈ε(n␈ε"␈αλ+␈αλ1␈↓ 	I␈ε(n␈ε"␈αλ+␈αλ1
␈β⊂←␈↓ ¬]␈ε+n␈ε%␈α␈+1␈ε9␈␈ε%2␈↓ εI␈ε+k␈↓ π∪␈ε%2␈↓ π#␈ε+k
␈β⊂j␈↓ β+␈ε9␈␈ε+␈α␈n␈↓ π␈␈ε%(1␈ε9␈␈ε+n␈ε%)/2␈↓ 
S␈ε+k
␈β⊂n␈↓ ¬$␈ε6p␈↓ ε[␈ε6p
␈β⊂q␈↓ ¬B␈∧⊂q¬Bα⊗␈↓ εy␈∧⊂qεyα⊗
␈β⊂r␈↓ αk␈ε"=␈↓ β→␈ε"2␈↓ ¬F␈ε"2␈↓ ε⎇␈ε"6␈↓ π?␈ε"=␈↓ πm␈ε"2␈↓ 
A␈ε"3␈↓ 
e␈ε".
␈β⊃␈↓ ∧M␈ε"2␈↓ ∧←␈ε(k␈↓ 	d␈ε"2␈↓ 	v␈ε(k
␈β⊃#␈↓ βs␈ε+k␈↓ 	
␈ε+k
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"394␈↓ 
b␈ε"4.5.4
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"Since␈ε(␈αn␈ε"␈αis␈αprime,␈αthe␈αbin␈α↓omial␈αcoe}cien␈α␈t
␈βαu␈↓ ∧K␈ε↓∩␈↓ ¬=␈ε↓∪␈↓ ε␈ε↓∩␈↓ εG␈ε↓∪␈↓ π⊃␈ε↓∩␈↓ λ∪␈ε↓∪
␈βαv␈↓ ∧a␈ε(n␈ε"␈αλ+␈αλ1␈↓ ε)␈ε(n␈↓ πR␈ε(n
␈ββ∞␈↓ ¬]␈ε"=␈↓ εe␈ε"+
␈ββ(␈↓ ∧|␈ε"2␈↓ ¬∞␈ε(k␈↓ ε!␈ε"2␈↓ ε3␈ε(k␈↓ π'␈ε"2␈↓ π9␈ε(k␈↓ πU␈ε6␈␈ε"␈αλ1
␈ββz␈↓ ↓H␈ε"is␈αdivisible␈αby␈ε(␈αn␈ε"␈αexcept␈αwhen␈↓ ¬≥␈ε(k␈↓ ¬<␈ε"=␈α
0␈αand␈↓ εN␈ε(k␈↓ εl␈ε"=␈α
(␈ε(n␈ε"␈αλ+␈αλ1)/2;␈αhence
␈β∧I␈↓ βv␈ε%(␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈α↓)/2␈↓ εZ␈ε%(␈ε+␈α↓n␈ε%␈α␈+1)/␈α↓2
␈β∧Q␈↓ βd␈ε"2␈↓ ∧o␈ε(V␈↓ ¬T␈ε6⊃␈ε"␈α
1␈αλ+␈↓ εH␈ε"3␈↓ πX␈ε"(modulo␈ε(␈αn␈ε").
␈β∧\␈↓ ¬∀␈ε-q␈↓ ¬"␈ε;␈␈ε'1
␈β∧]␈↓ ¬¬␈ε%2
␈β¬!␈↓ β∧␈ε%(␈↓ β∞␈ε+q␈↓ β≡␈ε%+1)/␈α↓2␈↓ ∧↓␈ε%2␈↓ ∧f␈ε%(␈ε+␈α↓n␈ε9␈α␈␈␈ε%1)␈α↓/2␈↓ ε1␈ε%(␈↓ ε;␈ε+q␈↓ εK␈ε%+1)/␈α↓2␈↓ π.␈ε%(␈ε+␈α↓n␈ε9␈α␈␈␈ε%1)
␈β¬'␈↓ ↓H␈ε"Here␈α2␈ε6␈α
⊃␈ε"␈α
(␈↓ αr␈ε"2␈↓ βu␈ε")␈↓ ∧∩␈ε",␈αso␈↓ ∧T␈ε"2␈↓ ¬e␈ε6⊃␈ε"␈α
(␈↓ ε∨␈ε"2␈↓ π"␈ε")␈↓ λ∞␈ε6⊃␈ε"␈α
1␈αby␈αF␈α⎇ermat's␈αtheorem.
␈β¬R␈↓ ↓H␈ε"Finally,␈α⊂by␈α⊂a␈α∂simple␈α⊂case␈α⊂of␈α∂the␈α⊂la␈α␈w␈α∂of␈↓ εN␈ε"quadratic␈α⊂reciprocit␈α␈y␈α∂(cf.␈α⊂exercise␈α∂23),
␈β¬x␈↓ ↓Z␈ε%(␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1)␈α↓/2
␈β¬}␈↓ ↓H␈ε"3␈↓ αX␈ε6⊃␈α
␈␈ε"1,␈αsince␈ε(␈αn␈↓ ∧F␈ε"mod␈↓ ¬⊂␈ε"3␈α
=␈α
1␈αand␈ε(␈αn␈↓ εY␈ε"mod␈↓ π#␈ε"4␈α
=␈α
3.␈α⊂This␈αmeans␈↓ 	Y␈ε(V␈↓ 
>␈ε6⊃␈α
␈␈ε"2,
␈βε	␈↓ 	}␈ε-q␈↓ 
␈ε;␈␈ε'1
␈βε
␈↓ 	o␈ε%2
␈βε)␈↓ ↓H␈ε"so␈↓ ↓t␈ε(V␈↓ αY␈ε6⊃␈ε"␈α
0.
␈βε2␈↓ βK␈∧ε2βK≠∂
␈βε4␈↓ α→␈ε-q␈↓ α&␈ε;␈␈ε'␈α↓2
␈βε5␈↓ α	␈ε%2
␈βεj␈↓ α␈ε"The␈αw␈α␈orld's␈αlargest␈αexplicitly␈αkn␈α↓o␈α␈wn␈αprime␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αha␈α␈v␈α␈e␈αalw␈α␈a␈α␈ys␈αbeen␈αMer-
␈βπ∃␈↓ ↓H␈ε"senne␈α
primes,␈αat␈α
least␈αfrom␈α
1772␈αun␈α␈til␈α
1980␈αwhen␈α
this␈αbo␈α↓ok␈α
w␈α␈as␈α
written.␈α⊂But␈α
the
␈βπ@␈↓ ↓H␈ε"situation␈α∞will␈α∞probably␈α∞change␈α∂so␈α↓on,␈α∞since␈α∂Mersenne␈α∞primes␈α∞are␈α∞getting␈α∞harder
␈βπk␈↓ ↓H␈ε"to␈α|nd,␈αand␈αsince␈αexercise␈α27␈αpresen␈α␈ts␈αan␈αe}cien␈α␈t␈αtest␈αfor␈αprimes␈αof␈αother␈αforms.
␈βλm␈↓ ↓H␈ε=E␈α␈XERCISES
␈β	?␈↓ ↓g␈ε31.␈↓ α␈ε#[␈ε)10␈↓ α;␈ε#]␈α⊗If␈α∂th␈α␈e␈α∂sequ␈α␈enc␈α␈e␈↓ ∧I␈ε)d␈↓ ∧j␈ε#,␈↓ ¬β␈ε)d␈↓ ¬#␈ε#,␈↓ ¬=␈ε)d␈↓ ¬]␈ε#,␈↓ ¬v␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ε,␈ε#of␈α∂trial␈α∂div␈α␈i␈α↓so␈α␈rs␈α∂i␈α↓n␈α∞Algorith␈α␈m␈α∂A␈α∂con␈α}tains␈α∂a
␈β	J␈↓ ∧Z␈ε&0␈↓ ¬∀␈ε&1␈↓ ¬N␈ε&2
␈β	f␈↓ ↓H␈ε#n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αth␈α␈at␈αis␈αn␈α↓o␈α␈t␈αprime,␈αwh␈α␈y␈α
wi␈α↓ll␈αi␈α↓t␈αn␈α␈ev␈α␈e␈α␈r␈αapp␈α␈ear␈αin␈α
the␈αo␈α␈utp␈α␈ut?
␈β
→␈↓ ↓g␈ε32.␈↓ α␈ε#[␈ε)15␈↓ α;␈ε#]␈α⊗If␈αit␈αis␈αkno␈α␈wn␈αt␈α␈hat␈αth␈α␈e␈αi␈α↓n␈α␈pu␈α␈t␈↓ ε∧␈ε)N␈↓ ε0␈ε#to␈α
Al␈α↓g␈α␈orithm␈αA␈αis␈αequ␈α␈al␈αt␈α␈o␈α3␈αor␈αm␈α↓o␈α␈re,␈αco␈α␈uld
␈β
@␈↓ ↓H␈ε#ste␈α␈p␈αA2␈αb␈α␈e␈αeliminate␈α␈d?
␈β
s␈↓ ↓g␈ε33.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Sho␈α␈w␈α	th␈α␈at␈α	th␈α␈ere␈α	is␈α	a␈α	n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈↓ ε~␈ε)P␈↓ ε<␈ε#wi␈α↓th␈αλthe␈αλfoll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈α	p␈α␈rop␈α␈ert␈α␈y:␈α
If␈α	10␈α␈00␈ε7␈α	∀␈ε)␈α
n␈ε7␈α	∀
␈β≠␈↓ ↓H␈ε#1␈α␈000␈α␈000␈α␈,␈αth␈α␈en␈ε)␈α
n␈ε#␈αis␈αprime␈αif␈αan␈α␈d␈αo␈α␈nly␈αif␈↓ ε∧␈ε#gcd␈↓ ε6␈ε#(␈ε)n␈ε#␈α↓,␈↓ εd␈ε)P␈↓ ε}␈ε#)␈α	=␈α
1␈α␈.
␈βM␈↓ ↓g␈ε34.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈9␈↓ α\␈ε#]␈α⊗In␈α⊃the␈α⊃notat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α⊃of␈α⊃exe␈α␈rcise␈α∩3␈α␈.1↑7␈α⊃a␈α␈nd␈α⊃S␈α␈ection␈α⊃1␈α␈.␈α↓2␈α␈.11.3,␈α∪p␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α⊃th␈α␈at␈α⊃the
␈βu␈↓ ↓H␈ε#a␈α}v␈α␈era␈α␈ge␈α∂v␈α}alu␈α␈e␈α∂of␈α∂the␈α∂least␈ε)␈α∂n␈ε#␈α∂such␈α∞that␈↓ ε_␈ε)X␈↓ εV␈ε#=␈↓ ππ␈ε)X␈↓ λ
␈ε#lies␈α∂be␈α␈t␈α␈we␈α␈en␈α∂1.5␈ε)␈α¬Q␈ε#(␈ε)␈α↓m␈ε#␈α␈)␈ε7␈α
␈␈ε#␈α0.5
␈β␈↓ ε3␈ε,n
␈β↓␈↓ π'␈ε,l␈ε&(␈ε,␈α␈n␈ε&)␈ε:␈␈ε&1
␈β≤␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈α
1.625␈ε)␈α¬Q␈ε#(␈ε)m␈ε#)␈ε7␈απ␈␈ε#␈αλ0.5.
␈βO␈↓ ↓g␈ε35.␈↓ α␈ε#[␈ε)21␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Use␈↓ β≠␈ε#F␈α}erm␈α␈at's␈α∞me␈α␈th␈α↓o␈α␈d␈α∞(Algor␈α␈i␈α↓th␈α␈m␈α∞D)␈α∞to␈α
|n␈α␈d␈α∞t␈α␈he␈α∞fa␈α␈ctors␈α
of␈α∞10␈α␈541␈α
by␈α
ha␈α␈nd␈α␈,
␈βv␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈en␈αth␈α␈e␈αm␈α↓o␈α␈du␈α␈l␈α↓i␈αare␈α
3,␈α5,␈α7,␈αand␈α
8.
␈β
)␈↓ ↓g␈ε36.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈4␈↓ α\␈ε#]␈α⊗If␈ε)␈α
p␈ε#␈α
is␈α
an␈α	od␈α␈d␈α
p␈α␈rime␈α
a␈α␈nd␈α	i␈α↓f␈↓ ¬⎇␈ε)N␈↓ ε'␈ε#i␈α↓s␈α	n␈α↓o␈α␈t␈α
a␈α
m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈le␈α
of␈ε)␈α
p␈ε#␈α␈,␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α	tha␈α␈t␈α
the␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈β
K␈↓ ε,␈ε&2␈↓ πY␈ε&2
␈β
Q␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈α
in␈α␈teg␈α␈ers␈ε)␈α
x␈ε#␈αsuc␈α␈h␈α
th␈α␈at␈α0␈ε7␈α∀␈ε)␈α
x␈ε#␈α<␈ε)␈αp␈ε#␈α
an␈α␈d␈↓ ε→␈ε)x␈↓ εD␈ε7␈␈↓ εn␈ε)N␈↓ π~␈ε7⊃␈↓ πG␈ε)y␈↓ πt␈ε#(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈ε)␈α
p␈ε#)␈α
ha␈α␈s␈α
a␈αsolution␈↓ 
x␈ε)y␈↓ ⊗␈ε#is
␈β
x␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈qua␈α␈l␈αto␈α
(␈ε)p␈ε7␈αλε␈ε#␈απ1)/2␈α␈.
␈β∞+␈↓ ↓g␈ε37.␈↓ α␈ε#[␈ε)25␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Discu␈α␈ss␈αth␈α␈e␈αpro␈α␈blem␈α␈s␈αof␈αp␈α␈rogra␈α␈mmin␈α␈g␈αth␈α␈e␈αsiev␈α␈e␈αof␈αAlgo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αD␈αo␈α␈n␈αa␈αbin␈α␈ary
␈β∞R␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈omp␈α␈uter␈α
wh␈α␈en␈α
th␈α␈e␈α
tab␈α␈le␈α
en␈α␈tries␈α
fo␈α␈r␈αmod␈α␈ulus␈↓ ε]␈ε)m␈↓ π⊂␈ε#d␈α␈o␈α
not␈α
ex␈α␈actly␈α
|␈α␈ll␈αa␈α␈n␈α
in␈α␈teg␈α␈ral␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈β∞↑␈↓ εz␈ε,i
␈β∞z␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈αm␈α␈em␈α↓o␈α␈ry␈αw␈α␈ord␈α␈s.
␈β∂*␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∂,␈↓ ↓g␈ε38.␈↓ α␈ε#[␈ε)23␈↓ α;␈ε#]␈α⊗(␈ε0Th␈α␈e␈α∂\␈↓ β>␈ε0s␈α␈i␈α↓ev␈α}e␈α∂o␈α␈f␈↓ ∧;␈ε0Erato␈α␈sthen␈α␈es,"␈ε#␈α∂3rd␈α∞cen␈α}tury␈↓ λ~␈ε#)␈α Th␈α␈e␈α∂follo␈α␈wing␈α∞p␈α␈roced␈α␈ure
␈β∂/␈↓ πZ␈ε.B.C␈α↓.
␈β∂T␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈viden␈α}tly␈α
disco␈α}v␈α␈ers␈α
a␈α␈l␈α↓l␈α
od␈α␈d␈α
p␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈α
l␈α↓es␈α␈s␈αt␈α␈han␈α	a␈α
giv␈α␈e␈α␈n␈α
in␈α␈teg␈α␈er␈↓ 	⊗␈ε)N␈↓ 	4␈ε#,␈α
since␈α
it␈α
remo␈α␈v␈α␈e␈α␈s
␈β∂|␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈l␈α↓l␈αλth␈α␈e␈αλnonp␈α␈rime␈αλn␈α}um␈α␈b␈α␈ers:␈α
S␈α␈tart␈αλwith␈απall␈α	th␈α␈e␈αλod␈α␈d␈αλn␈α}um␈α}bers␈αλless␈αλth␈α␈an␈↓ 	λ␈ε)N␈↓ 	(␈ε#;␈α	then␈απsuc␈α␈cessiv␈α␈ely
␈β⊂≥␈↓ ∧5␈ε&2
␈β⊂#␈↓ ↓H␈ε#str␈α␈i␈α↓k␈α}e␈α
out␈α
th␈α␈e␈α
m␈α␈ultiples␈↓ ∧$␈ε)p␈↓ ∧E␈ε#,␈↓ ∧Y␈ε)p␈↓ ∧z␈ε#(␈↓ ¬¬␈ε)p␈↓ ¬,␈ε#+␈αε2␈α␈)␈α↓,␈↓ εα␈ε)p␈↓ ε#␈ε#(␈↓ ε.␈ε)p␈↓ εU␈ε#+␈αε4),␈↓ π,␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ πX␈ε#,␈αof␈α
the␈↓ λK␈ε)k␈↓ λ]␈ε#th␈α
p␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈↓ 	d␈ε)p␈↓ 
¬␈ε#,␈αfor␈↓ 
L␈ε)k␈↓ 
h␈ε#=␈α
2␈α␈,
␈β⊂/␈↓ ∧j␈ε,k␈↓ ¬⊗␈ε,k␈↓ ε∪␈ε,k␈↓ ε?␈ε,k␈↓ 	u␈ε,k
␈β⊂2␈↓ ∧5␈ε,k
␈β⊂E␈↓ ε)␈ε&2
␈β⊂K␈↓ ↓H␈ε#3␈α␈,␈α4␈α␈,␈↓ α∩␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ α>␈ε#,␈αun␈α}ti␈α↓l␈αrea␈α␈ching␈α
a␈αpr␈α␈i␈α↓m␈α␈e␈↓ ¬ ␈ε)p␈↓ ¬M␈ε#with␈↓ ε_␈ε)p␈↓ εC␈ε#>␈↓ εm␈ε)N␈↓ π
␈ε#.
␈β⊂V␈↓ ¬1␈ε,k
␈β⊂Y␈↓ ε)␈ε,k
␈β⊂r␈↓ α␈ε#Sho␈α␈w␈α
ho␈α␈w␈α
to␈α
a␈α␈da␈α␈pt␈α
th␈α␈e␈α
pr␈α␈oced␈α␈ure␈α	j␈α↓u␈α␈st␈α
d␈α␈escribe␈α␈d␈α
in␈α␈to␈α	an␈α
a␈α␈lgorith␈α␈m␈α
tha␈α␈t␈α
is␈α
directly
␈β⊃~␈↓ ↓H␈ε#su␈α␈ited␈αto␈α
e}cien␈α}t␈αcomp␈α␈ute␈α␈r␈αcalcu␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈αus␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αno␈αm␈α␈ultip␈α␈l␈α↓ica␈α␈ti␈α↓o␈α␈n.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.4␈↓ 
v␈ε"395
␈β↓\␈↓ π≡␈ε∞F␈α|ACTORING␈αINTO␈α
P␈α␈RIM␈α↓ES
␈βα%␈↓ ↓g␈ε39.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈5␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Let␈ε)␈α	n␈ε#␈α	be␈α	a␈α␈n␈α	o␈α␈dd␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α␈,␈ε)␈α
n␈ε7␈α
∃␈ε#␈α	3.␈α∞Sho␈α␈w␈α	th␈α␈at␈α	if␈α	the␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈ε)␈α	∃␈ε#␈α↓(␈ε)n␈ε#)␈α	of␈α	Th␈α␈eorem
␈βαM␈↓ ↓H␈ε#3␈α␈.␈α↓2␈α␈.1.2B␈α∂is␈α∂a␈α∂div␈α␈i␈α↓so␈α␈r␈α∂of␈ε)␈α∂n␈ε7␈α
␈␈ε#␈α1␈α∞bu␈α␈t␈α∂n␈α↓o␈α␈t␈α∂equ␈α␈al␈α∂to␈ε)␈α∂n␈ε7␈α
␈␈ε#␈α1␈α␈,␈α⊃th␈α␈en␈ε)␈α∞n␈ε#␈α⊂m␈α␈u␈α␈st␈α∂ha␈α}v␈α␈e␈α∂th␈α␈e␈α∂form
␈βαt␈↓ ↓H␈ε)p␈↓ ↓h␈ε)p␈↓ α
␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ α:␈ε)p␈↓ αb␈ε#wh␈α␈ere␈αth␈α␈e␈ε)␈αp␈ε#'␈α↓s␈αa␈α␈re␈αdistin␈α␈ct␈αprimes␈αa␈α␈nd␈ε)␈α
t␈ε7␈α
∃␈ε#␈α
3␈α␈.
␈ββ␈↓ ↓Y␈ε&1␈↓ ↓y␈ε&2␈↓ αK␈ε,t
␈ββ2␈↓ ↓;␈ε↓x
␈ββ4␈↓ ↓V␈ε310.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈6␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(Joh␈α␈n␈↓ βW␈ε#Selfridg␈α␈e.)␈α_P␈α↓ro␈α}v␈α␈e␈αt␈α␈hat␈α
i␈α↓f,␈αfo␈α␈r␈αeac␈α␈h␈αp␈α␈rime␈αd␈α␈ivisor␈ε)␈αp␈ε#␈α
of␈ε)␈αn␈ε7␈απ␈␈ε#␈απ1␈α␈,␈αthere␈α
is
␈ββV␈↓ ∧/␈ε&(␈ε,n␈ε:␈␈ε&1)␈α␈/␈ε,p␈↓ π⊗␈ε,n␈ε:␈␈ε&1
␈ββ\␈↓ ↓H␈ε#a␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈↓ α\␈ε)x␈↓ β	␈ε#su␈α␈ch␈α
that␈↓ ∧≥␈ε)x␈↓ ¬≡␈ε#mo␈α␈d␈↓ ¬c␈ε)n␈ε7␈α	≤␈ε#␈α
1␈α
bu␈α␈t␈↓ π∧␈ε)x␈↓ πV␈ε#mo␈α␈d␈↓ λ~␈ε)n␈ε#␈α
=␈α
1␈α␈,␈αth␈α␈en␈ε)␈α
n␈ε#␈αis␈αprime␈α␈.
␈ββg␈↓ αn␈ε,p
␈ββj␈↓ ∧/␈ε,p␈↓ π⊗␈ε,p
␈β∧≤␈↓ ↓V␈ε311.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗W␈α↓h␈α␈at␈αo␈α␈utp␈α␈uts␈αdo␈α␈es␈αAlgorith␈α␈m␈αE␈αgiv␈α␈e␈αwhe␈α␈n␈↓ π⎇␈ε)N␈↓ λ'␈ε#=␈α19␈α␈720␈α␈9,␈↓ 	L␈ε)k␈↓ 	i␈ε#=␈α5,␈ε)␈αm␈ε#␈α
=␈α1␈α␈?
␈β∧?␈↓ α%␈ε7p
␈β∧C␈↓ ↓H␈ε#[␈ε0Hin␈α␈t:␈↓ αA␈∧∧CαAα↓⊃␈↓ αD␈ε#5␈ε7␈απ↓␈ε#␈αλ19␈α␈720␈α␈9␈↓ βZ␈ε#=␈α
99␈α␈2␈απ+␈ε7␈αλ?␈↓ ∧x␈ε#1␈α␈,␈αε49␈α␈5,␈αε2␈α␈,␈αε495␈α␈,␈αε1,␈α¬198␈α␈4␈↓ π~␈ε7?␈ε#.]
␈β∧E␈↓ ∧x␈∧∧E∧xαα#
␈β¬↓␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β¬β␈↓ ↓V␈ε312.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈8␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Design␈α	an␈α
a␈α␈lgorith␈α␈m␈α
tha␈α␈t␈α
use␈α␈s␈α
the␈α
o␈α␈utp␈α␈uts␈α
o␈α␈f␈α
Al␈α↓g␈α␈orithm␈α	E␈α
to␈α
|␈α␈nd␈α	a␈α
pro␈α␈pe␈α␈r
␈β¬+␈↓ ↓H␈ε#fa␈α␈ctor␈α∂of␈↓ αW␈ε)N␈↓ αu␈ε#,␈α⊂pro␈α␈v␈α␈ided␈α∂th␈α␈at␈α∂Algorith␈α␈m␈α∂E␈α⊂ha␈α␈s␈α⊂p␈α␈rod␈α␈uc␈α␈ed␈α∂enoug␈α␈h␈α∂ou␈α␈tpu␈α␈ts␈α∂to␈α∂ded␈α␈uce␈α∂a
␈β¬R␈↓ ↓H␈ε#so␈α␈lution␈α
of␈α(17).
␈βε∩␈↓ ↓V␈ε313.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈25␈↓ αt␈ε#]␈α⊗(J␈α␈.␈αD.␈↓ βp␈ε#Dixon␈α␈.)␈α≠Pro␈α}v␈α␈e␈αthat␈αwhe␈α␈nev␈α}er␈αth␈α␈e␈αa␈α␈lgorith␈α␈m␈αo␈α␈f␈αex␈α␈ercise␈α12␈αi␈α↓s␈αpre␈α␈-
␈βε:␈↓ ↓H␈ε#se␈α␈n␈α␈ted␈α	with␈α	a␈α
so␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈α	(␈ε)x␈ε#,␈↓ ∧;␈ε)e␈↓ ∧X␈ε#,␈↓ ∧g␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ¬∪␈ε#,␈↓ ¬"␈ε)e␈↓ ¬J␈ε#)␈α
whose␈α	ex␈α␈pon␈α␈en␈α}ts␈α
are␈α	li␈α↓n␈α␈early␈α	de␈α␈pen␈α␈den␈α}t␈α
m␈α↓o␈α␈du␈α␈lo␈α
2
␈βεE␈↓ ∧I␈ε&0␈↓ ¬1␈ε,m
␈βε\␈↓ λ∃␈ε&1␈ε:␈␈ε,d
␈βεa␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈n␈α
th␈α␈e␈α
e␈α␈xp␈α␈one␈α␈n␈α␈ts␈α
o␈α␈f␈α
prev␈α␈ious␈α	solutio␈α␈ns,␈α
the␈α	pro␈α␈bab␈α␈il␈α↓it␈α␈y␈α	is␈↓ λ∧␈ε#2␈↓ λV␈ε#tha␈α␈t␈α
a␈α
fa␈α␈ctoriza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
will
␈βπ	␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈e␈αfou␈α␈nd␈α␈,␈αwh␈α␈en␈ε)␈αn␈ε#␈αha␈α␈s␈ε)␈αd␈ε#␈αdistinct␈αp␈α␈rime␈αfacto␈α␈rs␈αan␈α␈d␈ε)␈αx␈ε#␈αis␈αchosen␈α
at␈αra␈α␈nd␈α␈om.
␈βπI␈↓ ↓V␈ε314.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈αλtha␈α␈t␈α	th␈α␈e␈α	n␈α}um␈α}ber␈↓ ¬H␈ε)T␈↓ ¬h␈ε#i␈α↓n␈αλste␈α␈p␈αλE␈α↓3␈αλo␈α␈f␈α	Algorith␈α␈m␈α	E␈αλw␈α↓ill␈α	n␈α␈ev␈α␈er␈αλbe␈αλa␈αλm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e
␈βπk␈↓ ¬5␈ε&(␈ε,␈α␈p␈ε:␈␈ε&␈α↓1␈α␈)/2
␈βπp␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈αan␈αo␈α␈dd␈αp␈α␈rime␈ε)␈αp␈ε#␈αfor␈αwh␈α␈ich␈α(␈↓ ∧w␈ε)k␈↓ ¬
␈ε)N␈↓ ¬)␈ε#)␈↓ ε!␈ε#m␈α␈od␈↓ εe␈ε)p␈ε#␈α	>␈α
1␈α␈.
␈βλ.␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βλ0␈↓ ↓V␈ε315.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈4␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(␈↓ βε␈ε#L␈α↓u␈α␈cas␈α
a␈α␈nd␈↓ ∧+␈ε#L␈α↓e␈α␈hme␈α␈r.␈α↓)␈α≥Let␈↓ ε␈ε)P␈↓ ε2␈ε#a␈α␈nd␈ε)␈αQ␈ε#␈α∞b␈α␈e␈α
relativ␈α␈ely␈αprime␈α
in␈α␈te␈α␈gers,␈α∞a␈α␈nd␈αl␈α↓e␈α␈t
␈βλX␈↓ ↓H␈ε)U␈↓ ↓w␈ε#=␈α	0,␈↓ αC␈ε)U␈↓ αs␈ε#=␈α	1,␈↓ β?␈ε)U␈↓ ∧~␈ε#=␈↓ ∧D␈ε)P␈↓ ∧↑␈ε)U␈↓ ¬π␈ε7␈␈ε)Q␈↓ ¬C␈ε)U␈↓ ε≠␈ε#for␈ε)␈απn␈ε7␈α
∃␈ε#␈α
1␈α␈.␈α∞Pro␈α␈v␈α␈e␈απth␈α␈at␈αλif␈↓ λu␈ε)N␈↓ 	≥␈ε#is␈αλa␈απp␈α␈ositiv␈α␈e␈απi␈α↓n␈α}tege␈α␈r
␈βλc␈↓ ↓↑␈ε&0␈↓ αZ␈ε&1␈↓ βV␈ε,n␈ε&+1␈↓ ∧t␈ε,n␈↓ ¬Y␈ε,n␈ε:␈␈ε&1
␈βλz␈↓ ∧∂␈ε&2
␈βλ␈␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈l␈α↓a␈α␈tiv␈α␈ely␈αprime␈αto␈α
2␈↓ βu␈ε)P␈↓ ∧'␈ε7␈␈ε#␈αλ8␈ε)Q␈ε#,␈α∞a␈α␈nd␈αif␈↓ ¬u␈ε)U␈↓ εT␈ε#m␈α␈od␈↓ π_␈ε)N␈↓ πD␈ε#=␈α0,␈α
while␈↓ λq␈ε)U␈↓ 	}␈ε#mod␈↓ 
C␈ε)N␈↓ 
o␈ε7≤␈ε#␈α0
␈β	␈↓ ε␈ε,N␈↓ ε$␈ε&+␈α↓1
␈β	␈↓ 	π␈ε&(␈↓ 	⊃␈ε,N␈↓ 	*␈ε&+1)␈α␈/␈ε,p
␈β	'␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈r␈α∞ea␈α␈ch␈α
pr␈α␈i␈α↓m␈α␈e␈ε)␈α∞p␈ε#␈α
div␈α␈i␈α↓d␈α␈ing␈↓ ∧N␈ε)N␈↓ ∧w␈ε#+␈α	1,␈α∞the␈α␈n␈↓ ε↔␈ε)N␈↓ εE␈ε#is␈α∞p␈α␈rime.␈α≡(Th␈α␈i␈α↓s␈α
giv␈α␈e␈α␈s␈α∞a␈α
test␈α
for␈α
prima␈α␈l␈α↓it␈α␈y
␈β	O␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈en␈α	the␈α
fa␈α␈ctors␈α
o␈α␈f␈↓ βg␈ε)N␈↓ ∧␈ε#+␈α¬1␈α
are␈α	kno␈α␈wn␈α	i␈α↓n␈α␈stead␈α	of␈α
th␈α␈e␈α
fac␈α␈tors␈α
o␈α␈f␈↓ λN␈ε)N␈↓ λs␈ε7␈␈ε#␈αε1␈α␈.␈α∂W␈α}e␈α	can␈α	ev␈α}a␈α␈l␈α↓u␈α␈ate
␈β	v␈↓ ↓H␈ε)U␈↓ αβ␈ε#in␈↓ α)␈ε)O␈↓ αD␈ε#(␈↓ αO␈ε#log␈↓ α␈␈ε)m␈ε#)␈αstep␈α␈s;␈αcf.␈αe␈α␈xerc␈α␈i␈α↓se␈α4␈α␈.6.3↑2␈α␈6.)␈α→[␈ε0␈α↓Hin␈α␈t:␈ε#␈αS␈α␈ee␈αthe␈α
proof␈αof␈αTheo␈α␈rem␈αL.]
␈β
α␈↓ ↓↑␈ε,m
␈β
6␈↓ ↓V␈ε316.␈↓ α␈ε#[␈ε)M5␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Are␈αthe␈α␈re␈αi␈α↓n␈α␈|n␈α␈itely␈αma␈α␈n␈α␈y␈↓ ¬v␈ε#M␈α␈ersen␈α␈ne␈αp␈α␈rimes?
␈β
v␈↓ ↓V␈ε317.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈5␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(V.␈αR.␈↓ βa␈ε#Pratt.)␈α→A␈αco␈α␈mplete␈αp␈α␈ro␈α↓o␈α␈f␈αof␈αprima␈α␈li␈α↓t␈α␈y␈α
by␈α
the␈αco␈α␈n␈α␈v␈α}erse␈αof␈αF␈α⎇erma␈α␈t's
␈β≡␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈eor␈α␈em␈α∂ta␈α␈k␈α␈es␈α∞the␈α∞form␈α∂o␈α␈f␈α∂a␈α∞tree␈α∂whose␈α∞n␈α↓o␈α␈des␈α∞ha␈α␈v␈α}e␈α∂th␈α␈e␈α∂fo␈α␈rm␈α∂(␈↓ λz␈ε)q␈↓ 	␈ε#,␈ε)␈αεx␈ε#␈α␈),␈α⊂whe␈α␈re␈↓ 
5␈ε)q␈↓ 
V␈ε#a␈α␈nd␈ε)␈α∞x
␈βE␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈re␈αp␈α␈ositiv␈α␈e␈αin␈α}tegers␈αsatisfying␈αth␈α␈e␈αfollo␈α␈wing␈αarithm␈α␈etic␈αco␈α␈nd␈α␈i␈α↓tio␈α␈ns:␈α≠(i)␈αIf␈α(␈↓ 
ε␈ε)q␈↓ 
&␈ε#,␈↓ 
5␈ε)x␈↓ 
V␈ε#)␈α↓,␈↓ 
w␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ #␈ε#,
␈βQ␈↓ 
↔␈ε&1␈↓ 
G␈ε&1
␈βm␈↓ ↓H␈ε#(␈↓ ↓S␈ε)q␈↓ ↓o␈ε#,␈↓ ↓}␈ε)x␈↓ α≥␈ε#)␈α
are␈α	the␈α	sons␈α	of␈α
(␈↓ ∧_␈ε)q␈↓ ∧*␈ε#,␈ε)␈αεx␈ε#␈α␈)␈αt␈α␈hen␈↓ ¬+␈ε)q␈↓ ¬F␈ε#=␈↓ ¬q␈ε)q␈↓ ε⊗␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ εC␈ε)q␈↓ εe␈ε#+␈α¬1.␈α∃[In␈α	particu␈α␈lar,␈α
i␈α↓f␈α
(␈↓ 	6␈ε)q␈↓ 	H␈ε#,␈ε)␈α¬x␈ε#)␈α
ha␈α␈s␈α
n␈α↓o␈α	son␈α␈s,
␈βx␈↓ ↓c␈ε,t␈↓ α⊃␈ε,t␈↓ εα␈ε&1␈↓ εS␈ε,t
␈β∂␈↓ πβ␈ε&(␈↓ π
␈ε,q␈↓ π≠␈ε:␈␈ε&␈α↓1)␈α␈/␈↓ π[␈ε,r
␈β∀␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈en␈↓ α∩␈ε)q␈↓ α-␈ε#=␈α
2␈α␈.␈α↓]␈α∀(ii)␈α
If␈α
(␈↓ βl␈ε)r␈↓ β{␈ε#,␈↓ ∧
␈ε)y␈↓ ∧≤␈ε#)␈α	i␈α↓s␈α	a␈α
so␈α␈n␈α	of␈α
(␈↓ ¬U␈ε)q␈↓ ¬g␈ε#,␈ε)␈αεx␈ε#␈α␈),␈α
then␈↓ εq␈ε)x␈↓ πo␈ε#m␈α␈od␈↓ λ3␈ε)q␈↓ λN␈ε7≤␈ε#␈α
1␈α␈.␈α∀(i␈α↓ii)␈α
F␈α⎇or␈α
e␈α␈ach␈α	node
␈β6␈↓ β7␈ε,q␈↓ βE␈ε:␈␈ε&␈α↓1
␈β<␈↓ ↓H␈ε#(␈↓ ↓S␈ε)q␈↓ ↓e␈ε#,␈ε)␈α¬x␈ε#),␈αw␈α␈e␈αha␈α}v␈α␈e␈↓ β$␈ε)x␈↓ βt␈ε#mod␈↓ ∧9␈ε)q␈↓ ∧U␈ε#=␈α
1␈α␈.␈α~F␈α}ro␈α␈m␈αth␈α␈ese␈αcon␈α␈dition␈α␈s␈αit␈αfollo␈α␈ws␈αth␈α␈at␈↓ 	Y␈ε)q␈↓ 	v␈ε#i␈α↓s␈αprime␈αa␈α␈nd
␈βd␈↓ ↓H␈ε)x␈ε#␈α
is␈αa␈α
primitiv␈α␈e␈αroot␈αm␈α↓o␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ ∧o␈ε)q␈↓ ¬↓␈ε#,␈αfo␈α␈r␈αall␈αnod␈α␈es␈α(␈↓ ε`␈ε)q␈↓ εr␈ε#,␈ε)␈αεx␈ε#␈α␈).␈α~[F␈α}o␈α␈r␈αexa␈α␈mp␈α␈l␈α↓e␈α␈,␈αth␈α␈e␈αtree
␈β
9␈↓ ¬v␈ε#(1␈α␈009␈α␈,␈αε11␈α␈)
␈β∞␈↓ α:␈ε#(2␈α␈,␈αε1)␈↓ βB(␈α↓2␈α␈,␈αε1)␈↓ ∧K(2,␈αε1)␈↓ ¬T(2,␈αε1␈α␈)␈↓ ε](7,␈αε3␈α␈)␈↓ πf(3,␈αε2␈α␈)␈↓ λo(3,␈αε2␈α␈)
␈β∞←␈↓ ¬p␈ε#(2,␈αε1␈α␈)␈↓ εy(3,␈α¬2)␈↓ λα(2,␈α¬1)␈↓ 	(2␈α␈,␈αε1)
␈β∂2␈↓ π≤␈ε#(2,␈αε1␈α␈)
␈β⊂␈↓ ↓H␈ε#d␈α␈em␈α↓o␈α␈nstra␈α␈tes␈αtha␈α␈t␈α10␈α␈09␈αis␈αprime␈α␈.␈α↓]␈α→Pro␈α␈v␈α␈e␈α
that␈αsu␈α␈ch␈α
a␈αtree␈αwith␈αroot␈α(␈↓ 	8␈ε)q␈↓ 	J␈ε#,␈ε)␈αεx␈ε#␈α␈)␈αha␈α␈s␈αa␈α␈t␈αm␈α↓os␈α␈t
␈β⊂3␈↓ ↓H␈ε)f␈↓ ↓[␈ε#(␈↓ ↓f␈ε)q␈↓ ↓x␈ε#)␈αnod␈α␈es,␈αwhere␈↓ βU␈ε)f␈↓ βt␈ε#i␈α↓s␈αa␈α
rath␈α␈er␈αslo␈α␈wly␈αgro␈α}w␈α↓in␈α␈g␈αfun␈α␈ction␈α␈.
␈β⊂p␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β⊂r␈↓ ↓V␈ε318.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈23␈↓ αt␈ε#]␈α⊗Giv␈α␈e␈α
a␈α∞he␈α␈uristic␈α∞pr␈α␈o␈α↓of␈α∞o␈α␈f␈α∂(7␈α␈),␈α∂ana␈α␈l␈α↓o␈α␈go␈α␈us␈α∞to␈α∞th␈α␈e␈α∞tex␈α␈t's␈α∞deriv␈α}a␈α␈tion␈α∞o␈α␈f␈α∞(6).
␈β⊃→␈↓ π+␈ε7p
␈β⊃~␈↓ ↓H␈ε#Wh␈α␈at␈αis␈αthe␈αa␈α␈pp␈α␈ro␈α␈xima␈α␈te␈αpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓t␈α␈y␈α
tha␈α␈t␈↓ ε3␈ε)p␈↓ π↓␈ε7∀␈↓ πG␈ε)p␈↓ πj␈ε#?
␈β⊃≥␈↓ πG␈∧⊃≥πGα≥
␈β⊃&␈↓ εC␈ε,t␈ε:␈␈ε&1␈↓ πX␈ε,t
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"396␈↓ 
b␈ε"4.5.4
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα#␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βα%␈↓ ↓V␈ε319.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈5␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(J.␈α
M␈α␈.␈↓ β`␈ε#Poll␈α↓a␈α␈rd.)␈α≤Sho␈α␈w␈αh␈α↓o␈α␈w␈αto␈αcomp␈α␈ute␈αa␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈↓ λf␈ε)M␈↓ 	_␈ε#th␈α␈at␈α
is␈αdivisible␈αby
␈βαM␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈l␈α↓l␈α∞p␈α␈rimes␈ε)␈α∞p␈ε#␈α
such␈α
th␈α␈at␈ε)␈α∞p␈ε7␈α	␈␈ε#␈α	1␈α∞is␈α∞a␈α
div␈α␈i␈α↓so␈α␈r␈α∞of␈α∞so␈α␈me␈α∞g␈α␈iv␈α␈en␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈ε)␈α∞D␈ε#.␈α∨[␈ε0Hi␈α↓n␈α}t:␈ε#␈α⊃Co␈α␈nside␈α␈r
␈βαo␈↓ ∧∞␈ε,n
␈βαt␈↓ ↓H␈ε#n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αform␈↓ β|␈ε)a␈↓ ∧(␈ε7␈␈ε#␈απ1.]␈α→Su␈α␈ch␈αa␈α␈n␈↓ ε␈ε)M␈↓ ε<␈ε#i␈α↓s␈αu␈α␈seful␈αin␈αfa␈α␈ctoriza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈αfor␈αb␈α␈y␈αco␈α␈mpu␈α␈ting
␈ββ≤␈↓ ↓H␈ε#g␈α␈cd␈↓ ↓z␈ε#(␈↓ α¬␈ε)M␈↓ α*␈ε#,␈↓ α9␈ε)N␈↓ αY␈ε#)␈α
w␈α␈e␈α	ma␈α␈y␈α	d␈α␈isco␈α␈v␈α␈e␈α␈r␈α
a␈α	fact␈α␈or␈α
o␈α␈f␈↓ ¬␈␈ε)N␈↓ ε≤␈ε#.␈α∂Ex␈α␈tend␈α	th␈α␈is␈α
ide␈α␈a␈α
to␈α	a␈α␈n␈α	e}cien␈α}t␈α
me␈α␈th␈α↓o␈α␈d␈α	tha␈α␈t
␈ββD␈↓ ↓H␈ε#h␈α␈as␈α
h␈α␈igh␈α
p␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lit␈α␈y␈α
o␈α␈f␈α∞d␈α␈isco␈α␈v␈α}ering␈α
p␈α␈rime␈α
fac␈α␈tors␈ε)␈α
p␈ε#␈α
o␈α␈f␈α∞a␈αgiv␈α␈en␈αlarge␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈↓ 
,␈ε)N␈↓ 
J␈ε#,␈α∞wh␈α␈en
␈ββe␈↓ π	␈ε&3
␈ββk␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈l␈α↓l␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈αpo␈α␈w␈α␈e␈α␈r␈αfa␈α␈ctors␈αo␈α␈f␈ε)␈αp␈ε7␈απ␈␈ε#␈αλ1␈α
are␈αless␈αtha␈α␈n␈α1␈↓ εx␈ε#0␈↓ π#␈ε#exce␈α␈pt␈αfor␈αa␈α␈t␈αmost␈αon␈α␈e␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈αfacto␈α␈r
␈β∧
␈↓ αs␈ε&5
␈β∧∪␈↓ ↓H␈ε#less␈α
than␈α
1␈↓ αc␈ε#0␈↓ βα␈ε#.␈α→[F␈α⎇or␈αex␈α␈amp␈α␈le,␈αthe␈α
secon␈α␈d-lar␈α␈gest␈αp␈α␈rime␈αd␈α␈ividing␈α
(14␈α␈)␈αw␈α␈ould␈α
be␈α
dete␈α␈cted
␈β∧5␈↓ ¬∨␈ε&4␈↓ ¬W␈ε&2
␈β∧:␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈y␈αth␈α␈i␈α↓s␈αm␈α␈eth␈α↓o␈α␈d,␈αsince␈α
i␈α↓t␈αis␈α1␈απ+␈↓ ¬∂␈ε#2␈↓ ¬6␈ε7↓␈↓ ¬G␈ε#5␈↓ ¬n␈ε7↓␈ε#␈αλ6␈α␈7␈ε7␈απ↓␈ε#␈αλ10␈α␈7␈ε7␈απ↓␈ε#␈αλ19␈α␈9␈ε7␈απ↓␈ε#␈αλ41␈α␈231␈α␈.]
␈β∧m␈↓ ↓V␈ε320.␈↓ α␈ε#[␈ε)M4␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Con␈α␈si␈α↓d␈α␈er␈αex␈α␈ercise␈α19␈α
wi␈α↓th␈ε)␈α
p␈ε#␈αλ+␈απ1␈αrep␈α␈lacing␈ε)␈α
p␈ε7␈αλ␈␈ε#␈απ1.
␈β¬∨␈↓ ↓V␈ε321.␈↓ α␈ε#[␈ε)M4␈α␈9␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(R.␈α	K.␈↓ β]␈ε#Guy␈α␈.)␈α∞L␈α↓e␈α␈t␈ε)␈α	m␈ε#␈α␈(␈ε)p␈ε#)␈α	b␈α␈e␈αλthe␈αλn␈α}um␈α}ber␈αλof␈αλiterat␈α␈i␈α↓o␈α␈ns␈αλreq␈α␈uired␈αλb␈α␈y␈αλAlgorith␈α␈m␈αλB
␈β¬B␈↓ εR␈ε7p
␈β¬F␈↓ εn␈∧¬FεnαX
␈β¬G␈↓ ↓H␈ε#to␈α
cast␈αo␈α␈ut␈αth␈α␈e␈αprime␈αfa␈α␈ctor␈ε)␈αp␈ε#.␈α∂Is␈ε)␈αm␈ε#(␈ε)p␈ε#)␈α	=␈↓ ε-␈ε)O␈↓ εG␈ε#(␈↓ εn␈ε)p␈↓ π∧␈ε#log␈↓ π4␈ε)p␈↓ πK␈ε#)␈αas␈ε)␈αp␈ε7␈α	!␈α	1␈ε#␈α↓?
␈β¬x␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β¬z␈↓ ↓V␈ε322.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(M.␈α
O.␈↓ βc␈ε#Rab␈α␈i␈α↓n␈α␈.)␈α∪Let␈↓ ¬≡␈ε)p␈↓ ¬K␈ε#b␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α	pro␈α␈bab␈α␈il␈α↓it␈α␈y␈α	th␈α␈at␈α	Al␈α↓g␈α␈orithm␈α	P␈α	gue␈α␈sses␈α	wrong␈α␈,
␈βε¬␈↓ ¬/␈ε,n
␈βε∨␈↓ ∧G␈ε&1
␈βε!␈↓ ↓H␈ε#g␈α␈i␈α↓v␈α}en␈ε)␈αn␈ε#.␈α∂Sho␈α␈w␈αth␈α␈at␈↓ βl␈ε)p␈↓ ∧_␈ε#<␈↓ ∧c␈ε#for␈αall␈ε)␈αn␈ε#␈α↓.
␈βε-␈↓ β⎇␈ε,n
␈βε2␈↓ ∧G␈ε&4
␈βε4␈↓ ∧G␈∧ε4∧Gα∞
␈βεI␈↓ ¬%␈ε,p
␈βεT␈↓ ↓V␈ε323.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈5␈↓ α\␈ε#]␈α⊗The␈↓ β?␈ε0J␈α␈aco␈α␈bi␈α
sym␈α}bol␈↓ ¬⊗␈ε#(␈↓ ¬7␈ε#)␈α
is␈α
de|␈α␈ne␈α␈d␈α
to␈α	be␈ε7␈α
␈␈ε#1,␈α
0,␈α
or␈α
+1␈α	f␈α↓o␈α␈r␈α
all␈α
in␈α␈teg␈α␈ers␈ε)␈α
p␈ε7␈α	∃␈ε#␈α
0
␈βεd␈↓ ¬%␈ε,q
␈βεg␈↓ ¬%␈∧εg¬%α∂
␈βεw␈↓ ε/␈ε,p
␈βε|␈↓ π↔␈ε&(␈↓ π ␈ε,q␈↓ π/␈ε:␈␈ε&1)/2
␈βπα␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈αall␈α
od␈α␈d␈α
in␈α␈te␈α␈gers␈↓ βz␈ε)q␈↓ ∧_␈ε#>␈α1␈α
b␈α␈y␈α
th␈α␈e␈α
ru␈α␈l␈α↓e␈α␈s␈α
(␈↓ εA␈ε#)␈ε7␈α⊃␈↓ πε␈ε)p␈↓ λ
␈ε#(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ 	␈ε)q␈↓ 	≥␈ε#)␈α
when␈↓ 
∞␈ε)q␈↓ 
-␈ε#is␈α
p␈α␈ri␈α↓m␈α␈e;
␈βπ∩␈↓ ε/␈ε,q
␈βπ∃␈↓ ε/␈∧π∃ε/α∂
␈βπ$␈↓ ↓W␈ε,p␈↓ α=␈ε,p␈↓ β(␈ε,p
␈βπ/␈↓ ↓H␈ε#(␈↓ ↓i␈ε#)␈α	=␈α
(␈↓ αV␈ε#)␈↓ αg␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ β∪␈ε#(␈↓ β?␈ε#)␈αwh␈α␈en␈↓ ∧+␈ε)q␈↓ ∧H␈ε#is␈αth␈α␈e␈αp␈α␈rod␈α␈uct␈↓ ε≥␈ε)q␈↓ εC␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ εo␈ε)q␈↓ π↔␈ε#o␈α␈f␈ε)␈αt␈ε#␈αprime␈α␈s␈α(n␈α↓o␈α␈t␈αn␈α␈ecessa␈α␈ril␈α↓y␈α
d␈α␈i␈α↓stin␈α␈ct).
␈βπ;␈↓ ε.␈ε&1␈↓ π␈ε,t
␈βπ?␈↓ ↓V␈ε,q␈↓ α6␈ε,q␈↓ β"␈ε,q
␈βπB␈↓ ↓V␈∧πB↓Vα∂␈↓ α6␈∧πBα6α≥␈↓ β"␈∧πBβ"α~
␈βπF␈↓ αD␈ε'1␈↓ β0␈ε-t
␈βπ\␈↓ βA␈ε,p
␈βπg␈↓ ↓e␈ε#a)␈↓ α␈ε#Pro␈α␈v␈α␈e␈αt␈α␈hat␈α(␈↓ βS␈ε#)␈αsatis|␈α␈es␈αthe␈αfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈αrelation␈α␈ship␈α␈s,␈αh␈α␈en␈α␈ce␈αi␈α↓t␈αc␈α␈an␈αb␈α␈e␈αcom␈α␈pu␈α␈ted␈αe}␈α␈-
␈βπw␈↓ βA␈ε,q
␈βπz␈↓ βA␈∧πzβAα∂
␈βλ∞␈↓ 	"␈ε'2
␈βλ∂␈↓ ¬c␈ε,p␈↓ εL␈ε,p␈↓ ε↑␈ε&mod␈↓ π∃␈ε,q␈↓ 
6␈ε,p␈↓ 
R␈ε,p
␈βλ⊂␈↓ β#␈ε&0␈↓ ∧C␈ε&1␈↓ πi␈ε&2
␈βλ∀␈↓ 	
␈ε&(␈↓ 	∀␈ε,q␈↓ 	1␈ε:␈␈ε&1)/␈α␈8
␈βλ∃␈↓ 
D␈ε'1␈↓ 
`␈ε'2
␈βλ~␈↓ α␈ε#cien␈α}tl␈α↓y␈α␈:␈α∨(␈↓ β5␈ε#)␈α
=␈α∞0;␈α≡(␈↓ ∧U␈ε#)␈α∞=␈α
1;␈α≡(␈↓ ¬u␈ε#)␈α∞=␈α∞(␈↓ π'␈ε#);␈α∨(␈↓ π{␈ε#)␈α
=␈α∞(␈ε7␈␈ε#␈α↓1␈↓ λ␈␈ε#)␈↓ 
␈ε#;␈α≡(␈↓ 
s␈ε#)␈α
=
␈βλ*␈↓ β"␈ε,q␈↓ ∧C␈ε,q␈↓ ¬c␈ε,q␈↓ εp␈ε,q␈↓ πi␈ε,q␈↓ 
K␈ε,q
␈βλ-␈↓ β"␈∧λ-β"α∂␈↓ ∧C␈∧λ-∧Cα∂␈↓ ¬c␈∧λ-¬cα∂␈↓ εL␈∧λ-εLαY␈↓ πi␈∧λ-πiα∂␈↓ 
6␈∧λ-
6α9
␈βλ=␈↓ α≠␈ε,p␈↓ αU␈ε,p␈↓ β6␈ε,p␈↓ ε∃␈ε,q
␈βλB␈↓ ∧V␈ε&(␈ε,␈α␈p␈ε:␈␈ε&␈α↓1␈α␈)(␈↓ ¬)␈ε,q␈↓ ¬7␈ε:␈␈ε&1)/4
␈βλC␈↓ α)␈ε'1␈↓ αc␈ε'2
␈βλH␈↓ α␈ε#(␈↓ α;␈ε#)(␈↓ αu␈ε#);␈↓ β'␈ε#(␈↓ βH␈ε#)␈α=␈α
(␈ε7␈␈ε#␈α↓1␈↓ ∧J␈ε#)␈↓ εε␈ε#(␈↓ ε'␈ε#)␈α
if␈α∞b␈α␈oth␈ε)␈αp␈ε#␈α
an␈α␈d␈↓ λ⊃␈ε)q␈↓ λ0␈ε#are␈α
o␈α␈dd␈α␈.␈α≡[The␈αl␈α↓a␈α␈tter␈α
la␈α␈w,
␈βλX␈↓ α"␈ε,q␈↓ α\␈ε,q␈↓ β5␈ε,q␈↓ ε∃␈ε,p
␈βλ[␈↓ α≠␈∧λ[α≠α≥␈↓ αU␈∧λ[αUα≥␈↓ β5␈∧λ[β5α∂␈↓ ε∃␈∧λ[ε∃α∂
␈βλs␈↓ λd␈ε,p
␈βλ}␈↓ α␈ε#which␈αis␈αa␈αrecip␈α␈rocit␈α␈y␈αrelation␈αred␈α␈ucin␈α␈g␈αth␈α␈e␈αev␈α⎇alua␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αof␈α(␈↓ λv␈ε#)␈αto␈αthe␈αev␈α}a␈α␈luatio␈α␈n␈αo␈α␈f
␈β	∞␈↓ λd␈ε,q
␈β	⊃␈↓ λd␈∧	⊃λdα∂
␈β	 ␈↓ α≠␈ε,q
␈β	+␈↓ α␈ε#(␈↓ α-␈ε#),␈αh␈α␈as␈αbee␈α␈n␈αpro␈α}v␈α␈ed␈αin␈αex␈α␈ercise␈α1.2.4␈α␈↑47␈α␈(d)␈αwhen␈αb␈α␈oth␈ε)␈αp␈ε#␈αa␈α␈nd␈↓ 	∪␈ε)q␈↓ 	0␈ε#are␈αp␈α␈rime,␈αso␈αy␈α}ou
␈β	;␈↓ α≠␈ε,p
␈β	>␈↓ α≠␈∧	>α≠α∂
␈β	R␈↓ α␈ε#ma␈α␈y␈α
assu␈α␈me␈αits␈αv␈α}alidit␈α␈y␈α
i␈α↓n␈α
tha␈α␈t␈αs␈α␈pecia␈α␈l␈αca␈α␈se.]
␈β
¬␈↓ ↓c␈ε#b)␈↓ α␈ε#(␈↓ α↔␈ε#So␈α␈l␈α↓o␈α}v␈α}a␈α␈y␈α∂a␈α␈nd␈↓ βY␈ε#S␈α␈trassen␈α␈.)␈α"Pro␈α␈v␈α␈e␈α∂th␈α␈at␈α∂i␈α↓f␈ε)␈α∂n␈ε#␈α⊂is␈α∂odd␈α∂b␈α␈ut␈α∂not␈α∂prime,␈α⊂the␈α∂n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α⊂o␈α␈f
␈β
#␈↓ π
␈ε,x
␈β
'␈↓ πw␈ε&(␈ε,␈α␈n␈ε:␈␈ε&1)/2
␈β
,␈↓ α␈ε#in␈α␈teg␈α␈ers␈ε)␈αx␈ε#␈αsuch␈αt␈α␈hat␈α1␈ε7␈α∀␈ε)␈αx␈ε#␈α<␈ε)␈αn␈ε#␈αand␈α0␈ε7␈α≤␈ε#␈α(␈↓ π!␈ε#)␈ε7␈α⊃␈↓ πd␈ε)x␈↓ λk␈ε#(mod␈α␈ulo␈ε)␈αn␈ε#)␈α
is␈αat␈αm␈α↓os␈α␈t
␈β
=␈↓ π␈ε,n
␈β
?␈↓ π␈∧
?πα⊃
␈β
Q␈↓ α⊂␈ε&1
␈β
R␈↓ α⎇␈ε"(
␈β
T␈↓ α!␈ε)⎇␈ε#(␈ε)n␈ε#).␈↓ β	␈ε#Th␈α␈u␈α␈s,␈α
th␈α␈e␈α	follo␈α␈wing␈αλtesting␈αλpro␈α␈cedu␈α␈re␈α	c␈α␈orrectly␈αλdete␈α␈rmines␈αλw␈α↓h␈α␈eth␈α␈er␈α	or␈αλn␈α↓o␈α␈t
␈β
d␈↓ α⊂␈ε&2
␈β
g␈↓ α⊂␈∧
gα⊂α∞
␈β
y␈↓ εZ␈ε&1
␈β
|␈↓ α␈ε#a␈αgiv␈α␈en␈ε)␈αn␈ε#␈αis␈αp␈α␈rime,␈αwith␈αpro␈α␈bab␈α␈il␈α↓it␈α␈y␈↓ ε+␈ε7∃␈↓ εx␈ε#fo␈α␈r␈αall␈α|␈α␈xe␈α␈d␈ε)␈αn␈ε#:␈α\Gen␈α␈erate␈ε)␈αx␈ε#␈αat␈αrand␈α␈om
␈β␈↓ εZ␈ε&2
␈β∂␈↓ εZ␈∧∂εZα∞
␈β"␈↓ ¬␈ε,x
␈β&␈↓ ¬e␈ε&(␈ε,n␈ε:␈␈ε&1)␈α␈/2
␈β,␈↓ α␈ε#with␈α	1␈ε7␈α	∀␈ε)␈α	x␈ε#␈α	<␈ε)␈α
n␈ε#.␈α∂If␈α	0␈ε7␈α	≤␈ε#␈α	(␈↓ ¬∀␈ε#)␈ε7␈α	⊃␈↓ ¬S␈ε)x␈↓ εX␈ε#(m␈α␈odu␈α␈lo␈ε)␈αn␈ε#)␈α↓,␈α	sa␈α␈y␈α	th␈α␈at␈ε)␈α	n␈ε#␈α
is␈α	pro␈α␈ba␈α␈bly␈α	p␈α␈ri␈α↓m␈α␈e,
␈β<␈↓ ∧␈␈ε,n
␈β?␈↓ ∧␈␈∧?∧␈α⊃
␈βQ␈↓ π≥␈ε")
␈βS␈↓ α␈ε#oth␈α␈erwise␈αsa␈α␈y␈α
that␈ε)␈αn␈ε#␈αis␈αde|␈α␈nitely␈αnot␈αp␈α␈rime."
␈βε␈↓ ↓g␈ε#c)␈↓ α␈ε#(␈↓ α↔␈ε#L.␈αMon␈α␈ier.)␈α_Pro␈α␈v␈α}e␈αth␈α␈at␈αif␈ε)␈αn␈ε#␈αa␈α␈nd␈ε)␈α
x␈ε#␈α
are␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈αfor␈α
which␈α
Algorith␈α␈m␈αP␈αc␈α␈onc␈α␈l␈α↓u␈α␈de␈α␈s
␈β#␈↓ πε␈ε,x
␈β(␈↓ λ␈ε&(␈ε,␈α␈n␈ε:␈␈ε&1)/2
␈β-␈↓ α␈ε#th␈α␈at␈α⊃\␈ε)n␈ε#␈α∩is␈α⊃prob␈α␈ab␈α␈ly␈α⊃prime"␈α␈,␈α∀t␈α␈hen␈α⊃0␈ε7␈α∪≤␈ε#␈α∀(␈↓ π→␈ε#)␈ε7␈α∀⊃␈↓ πm␈ε)x␈↓ λ⎇␈ε#(m␈α␈odu␈α␈lo␈ε)␈αn␈ε#)␈α↓.␈α%[H␈α↓e␈α␈nce
␈β>␈↓ π¬␈ε,n
␈β@␈↓ π¬␈∧@π¬α⊃
␈βU␈↓ α␈ε#Algorith␈α␈m␈αP␈αi␈α↓s␈αa␈α␈l␈α↓w␈α␈a␈α␈y␈α␈s␈αsup␈α␈erior␈αto␈αt␈α␈he␈αtest␈αin␈α
(␈α↓b␈α␈).]
␈β
ε␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β
λ␈↓ ↓V␈ε324.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈5␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(L␈α↓.␈↓ β4␈ε#Ad␈α␈leman␈α␈.)␈α∨When␈ε)␈α
n␈ε#␈α∞>␈α∞1␈α∞an␈α␈d␈ε)␈α
x␈ε#␈α∞>␈α∞1␈α
are␈α∞in␈α}tegers,␈ε)␈α∞n␈ε#␈α∂o␈α␈dd␈α␈,␈α∂let␈α∞u␈α␈s␈α∞sa␈α␈y
␈β
/␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈at␈ε)␈α
n␈ε#␈α∞\␈α␈pa␈α␈sses␈α
the␈ε)␈α
x␈ε#␈α
te␈α␈st␈α∞o␈α␈f␈α∞Algo␈α␈ri␈α↓t␈α␈hm␈α
P"␈α
if␈α∞eith␈α␈er␈ε)␈α
x␈ε#␈α
=␈ε)␈α
n␈ε#␈α∞o␈α␈r␈α∞if␈α
step␈α␈s␈α∞P2↑␈α␈P5␈α
l␈α↓e␈α␈ad␈α
to
␈β
W␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αcon␈α␈clusion␈αt␈α␈hat␈ε)␈αn␈ε#␈α
is␈αpro␈α␈bab␈α␈ly␈αprime.␈α∩P␈α↓ro␈α}v␈α␈e␈αtha␈α␈t,␈α
for␈αan␈α}y␈↓ λT␈ε)N␈↓ λt␈ε#,␈α
there␈αex␈α␈ists␈α
a␈αse␈α␈t␈α
o␈α␈f
␈β
}␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈ositiv␈α␈e␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈↓ β@␈ε)x␈↓ βb␈ε#,␈↓ βx␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ∧$␈ε#,␈↓ ∧;␈ε)x␈↓ ∧r␈ε7∀␈↓ ¬ ␈ε)N␈↓ ¬L␈ε#w␈α↓ith␈ε)␈αm␈ε7␈α∀␈α
b␈↓ ε}␈ε#lg␈↓ π≥␈ε)N␈↓ π=␈ε7c␈ε#␈α
su␈α␈ch␈αtha␈α␈t␈α
a␈αpos␈α␈i␈α↓tiv␈α␈e␈αod␈α␈d␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈r
␈β∞
␈↓ βS␈ε&1␈↓ ∧M␈ε,m
␈β∞&␈↓ ↓H␈ε#in␈α
th␈α␈e␈α
ran␈α␈ge␈α
1␈α<␈ε)␈α
n␈ε7␈α
∀␈↓ ∧#␈ε)N␈↓ ∧P␈ε#is␈α∞p␈α␈rime␈α
if␈α
and␈αon␈α␈l␈α↓y␈αi␈α↓f␈α
it␈α
pa␈α␈sses␈α
the␈ε)␈α
x␈ε#␈αtest␈α
of␈α
Algorith␈α␈m␈α
P
␈β∞N␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈r␈ε)␈αx␈ε#␈α	=␈↓ αA␈ε)x␈↓ αh␈ε#mod␈↓ β-␈ε)n␈ε#,␈↓ βU␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ∧↓␈ε#,␈ε)␈αx␈ε#␈α	=␈↓ ∧\␈ε)x␈↓ ¬
␈ε#mo␈α␈d␈↓ ¬Q␈ε)n␈ε#␈α↓.␈α∂Th␈α}us,␈α
the␈α
pro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓stic␈α
test␈α
for␈αp␈α␈rimalit␈α␈y␈α
can␈α
in
␈β∞Y␈↓ αT␈ε&1␈↓ ∧n␈ε,m
␈β∞u␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈rincip␈α␈l␈α↓e␈αbe␈αcon␈α}v␈α␈erted␈αin␈α␈to␈αan␈αe}cien␈α}t␈αtest␈αthat␈αl␈α↓e␈α␈a␈α␈v␈α␈es␈αn␈α↓o␈α␈thing␈αto␈αc␈α␈ha␈α␈nce.␈α~(␈α↓Y␈α⎇ou␈αn␈α␈eed
␈β∂≥␈↓ ↓H␈ε#not␈αsho␈α␈w␈αho␈α␈w␈αto␈αco␈α␈mpu␈α␈te␈αthe␈↓ ¬ε␈ε)x␈↓ ¬2␈ε#e}␈α␈cien␈α␈tly;␈αjus␈α␈t␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈αtha␈α␈t␈αthey␈α
exist.)
␈β∂(␈↓ ¬→␈ε,j
␈β∂O␈↓ ↓V␈ε325.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈41␈↓ αt␈ε#]␈α⊗(B.␈↓ βH␈ε#Ri␈α↓e␈α␈man␈α␈n.)␈α→P␈α↓r␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈at
␈β⊂␈↓ βx␈ε↓Z␈↓ ¬w␈ε↓Z
␈β⊂∃␈↓ ∧≤␈ε,x␈↓ ε≠␈ε,≠
␈β⊂⊗␈↓ ¬>␈ε↓X
␈β⊂1␈↓ εU␈ε&(␈ε,t␈ε&+␈ε,i␈↓ π∞␈ε,≤␈↓ π≤␈ε&)␈↓ π)␈ε&l␈α↓n␈↓ πE␈ε,x
␈β⊂9␈↓ βπ␈ε)→␈↓ β≠␈ε#(␈ε)x␈ε#)␈α	=␈↓ ∧2␈ε)dt␈ε#/␈↓ ∧`␈ε#ln␈↓ ¬↓␈ε)t␈ε#␈αλ+␈↓ εG␈ε)e␈↓ πU␈ε)dt␈ε#␈α↓/␈α␈(␈ε)␈α↓t␈ε#␈απ+␈ε)␈αλi␈↓ λW␈ε)≤␈↓ λg␈ε#)␈αλ+␈↓ 	#␈ε)O␈↓ 	=␈ε#(1),
␈β⊂↑␈↓ ∧␈ε&2␈↓ ε␈ε:␈␈α↓1
␈β⊃→␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ere␈αth␈α␈e␈αsum␈α
i␈α↓s␈↓ βI␈ε#o␈α␈v␈α}er␈αall␈αcom␈α␈plex␈↓ ¬B␈ε)≠␈↓ ¬]␈ε#+␈ε)␈απi␈↓ ε⊃␈ε)≤␈↓ ε-␈ε#su␈α␈ch␈αth␈α␈at␈↓ πA␈ε)≤␈↓ π[␈ε7≤␈ε#␈α	0␈αan␈α␈d␈↓ λb␈ε)⊂␈↓ λq␈ε#(␈↓ λ|␈ε)≠␈↓ 	↔␈ε#+␈ε)␈αλi␈↓ 	K␈ε)≤␈↓ 	\␈ε#)␈α	=␈α
0.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.4␈↓ 
v␈ε"397
␈β↓\␈↓ π≡␈ε∞F␈α|ACTORING␈αINTO␈α
P␈α␈RIM␈α↓ES
␈βα#␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βα%␈↓ ↓V␈ε326.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈5␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(R.␈α
M␈α␈.␈↓ βi␈ε#Ro␈α␈bin␈α␈son.)␈α≠Let␈↓ ¬←␈ε)N␈↓ ε
␈ε#=␈↓ ε7␈ε)f␈↓ εJ␈ε)r␈↓ εb␈ε#+␈αλ1␈α>␈α1,␈αwhere␈α0␈α
<␈↓ 	"␈ε)r␈↓ 	=␈ε7∀␈↓ 	i␈ε)f␈↓ 
¬␈ε#+␈αλ1.␈α∩Pro␈α␈v␈α␈e
␈βαM␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈at␈↓ α∀␈ε)N␈↓ αC␈ε#i␈α↓s␈α∂p␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈α⊂if,␈α⊃fo␈α␈r␈α⊂e␈α␈v␈α␈ery␈α∂p␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈α∂divisor␈ε)␈α∂p␈ε#␈α∂of␈↓ π,␈ε)f␈↓ π@␈ε#,␈α⊃th␈α␈ere␈α∂is␈α⊂a␈α␈n␈α∂in␈α␈teg␈α␈er␈ε)␈α∂x␈ε#␈α∂such␈α∞tha␈α␈t
␈βαo␈↓ ↓Z␈ε,N␈↓ ↓s␈ε:␈␈ε&1␈↓ ∧␈ε&(␈↓ ∧∀␈ε,N␈↓ ∧-␈ε:␈␈ε&1)␈α␈/␈ε,p
␈βαr␈↓ βl␈ε"(␈↓ ¬k␈ε")
␈βαt␈↓ ↓H␈ε)x␈↓ α"␈ε#mo␈α␈d␈↓ αf␈ε)N␈↓ β⊂␈ε#=␈↓ β:␈ε#gcd␈↓ βx␈ε)x␈↓ ¬β␈ε7␈␈ε#␈αλ1␈α␈,␈↓ ¬K␈ε)N␈↓ ε␈ε#=␈α
1.
␈ββ'␈↓ 	≤␈ε,n
␈ββ*␈↓ ↓;␈ε↓x
␈ββ,␈↓ ↓V␈ε327.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Sho␈α␈w␈αλthat␈αλth␈α␈ere␈α	is␈αλa␈αλwa␈α}y␈αλto␈αλtest␈α	n␈α}um␈α}bers␈αλof␈αλthe␈αλform␈αλ5␈ε7↓␈↓ 	␈ε#2␈↓ 	0␈ε#+␈αβ1␈αλfor␈αλp␈α␈ri␈α↓m␈α␈ali␈α↓t␈α␈y␈α␈,
␈ββT␈↓ ↓H␈ε#u␈α␈sing␈απthe␈απsame␈απam␈α↓o␈α␈un␈α␈t␈απof␈αλco␈α␈mpu␈α␈ter␈αλtime␈απas␈αλth␈α␈e␈↓ εq␈ε#Luc␈α␈as↑␈↓ πW␈ε#Leh␈α␈mer␈απtest␈αλfor␈απMersen␈α␈ne␈απprime␈α␈s
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε#in␈α
T␈α↓h␈α␈eo␈α␈rem␈αL,␈αe␈α␈xcep␈α␈t␈αfor␈αan␈α
ad␈α␈dition␈α␈al␈↓ ε∞␈ε)O␈↓ ε)␈ε#(␈ε)n␈↓ εN␈ε#log␈↓ ε}␈ε)n␈ε#)␈αsecon␈α␈ds.
␈β∧4␈↓ ↓V␈ε328.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈7␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Giv␈α␈en␈αa␈αprime␈ε)␈αp␈ε#␈αa␈α␈nd␈αa␈αpositiv␈α␈e␈αin␈α␈teg␈α␈er␈ε)␈αd␈ε#,␈αwh␈α␈at␈αis␈αt␈α␈he␈αv␈α}alue␈αof␈↓ 
∞␈ε)f␈↓ 
"␈ε#(␈ε)p␈ε#,␈ε)␈αεd␈ε#),␈αthe
␈β∧V␈↓ ¬Y␈ε&2␈↓ εB␈ε&2
␈β∧[␈↓ ↓H␈ε#a␈α}v␈α␈era␈α␈ge␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αo␈α␈f␈αtimes␈ε)␈αp␈ε#␈α
divide␈α␈s␈↓ ¬A␈ε)A␈↓ ¬o␈ε7␈␈ε)␈απd␈↓ ε)␈ε)B␈↓ εQ␈ε#,␈αwhen␈ε)␈α
A␈ε#␈αa␈α␈nd␈↓ λ∨␈ε)B␈↓ λD␈ε#a␈α␈re␈αra␈α␈nd␈α␈om␈αin␈α}tegers␈α
tha␈α␈t
␈β¬β␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈re␈αind␈α␈epe␈α␈nd␈α␈en␈α␈t␈αex␈α␈cep␈α␈t␈αfor␈αthe␈αc␈α␈on␈α␈dition␈↓ ε$␈ε#g␈α␈cd␈↓ εV␈ε#(␈ε)A␈ε#,␈↓ πλ␈ε)B␈↓ π!␈ε#)␈α	=␈α
1?
␈β¬;␈↓ ↓V␈ε329.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈5␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈α∩th␈α␈at␈α∩th␈α␈e␈α∩n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α∩of␈α∩p␈α␈ositiv␈α␈e␈α∩in␈α␈te␈α␈gers␈ε7␈α∩∀␈ε)␈α∃n␈ε#␈α∩wh␈α↓o␈α␈se␈α∩prime␈α⊃factor␈α␈s
␈β¬]␈↓ 	C␈ε,r
␈β¬c␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈re␈α∞all␈α∂co␈α␈n␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈α␈ed␈α∞in␈α∞a␈α∞giv␈α}en␈α∞set␈α∞of␈α∞prime␈α␈s␈ε7␈α∂f␈↓ εQ␈ε)p␈↓ εq␈ε#,␈↓ π␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ π-␈ε#,␈↓ π;␈ε)p␈↓ πe␈ε7g␈ε#␈α∞i␈α↓s␈α∞at␈α∞least␈↓ 	&␈ε)m␈↓ 	R␈ε#/␈↓ 	b␈ε)r␈↓ 	q␈ε#!␈α↓,␈α∂whe␈α␈n␈↓ 
m␈ε)r␈↓ ␈ε#=
␈β¬n␈↓ εb␈ε&1␈↓ πL␈ε,m
␈βε
␈↓ ↓H␈ε7b␈↓ ↓U␈ε#lo␈α␈g␈↓ α¬␈ε)n␈ε#/␈↓ α*␈ε#log␈↓ αZ␈ε)p␈↓ β∧␈ε7c␈ε#␈αan␈α␈d␈↓ β]␈ε)p␈↓ ∧ε␈ε#<␈↓ ∧1␈ε7↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ∧a␈ε#<␈↓ ¬␈ε)p␈↓ ¬5␈ε#.
␈βε⊗␈↓ αk␈ε,m␈↓ βn␈ε&1␈↓ ¬≤␈ε,m
␈βεB␈↓ ↓V␈ε330.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈35␈↓ αt␈ε#]␈α⊗(J␈α␈.␈α
D.␈↓ βr␈ε#Dixon␈αa␈α␈nd␈αClau␈α␈s-P␈α↓e␈α␈ter␈↓ εO␈ε#S␈α␈ch␈α␈n␈α↓orr␈α␈.␈α↓)␈α≤Let␈↓ λ/␈ε)p␈↓ λ[␈ε#<␈↓ 	λ␈ε7↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	;␈ε#<␈↓ 	h␈ε)p␈↓ 
≡␈ε#be␈αprime␈α␈s
␈βεN␈↓ λ@␈ε&1␈↓ 	y␈ε,m
␈βεj␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈at␈α
d␈α␈o␈α
not␈α
d␈α␈i␈α↓v␈α␈ide␈α
th␈α␈e␈α
o␈α␈dd␈αn␈α␈um␈α}ber␈↓ ¬]␈ε)N␈↓ ¬⎇␈ε#,␈α
an␈α␈d␈α
let␈↓ πλ␈ε)r␈↓ π$␈ε#be␈αan␈αev␈α␈en␈αin␈α␈teg␈α␈er␈ε7␈α
∀␈↓ 	n␈ε#log␈↓ 
≡␈ε)N␈↓ 
8␈ε#/␈↓ 
I␈ε#log␈↓ 
y␈ε)p␈↓ #␈ε#.
␈βεv␈↓ 
␈ε,m
␈βπ␈↓ 
	␈ε&2
␈βπ∩␈↓ ↓H␈ε#Pro␈α␈v␈α}e␈α
th␈α␈at␈α	the␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α
of␈α
in␈α}tegers␈↓ ¬8␈ε)X␈↓ ¬a␈ε#in␈α	the␈α	ran␈α␈ge␈α	0␈ε7␈α	∀␈↓ π\␈ε)X␈↓ λ∧␈ε#<␈↓ λ/␈ε)N␈↓ λX␈ε#such␈α	th␈α␈at␈↓ 	j␈ε)X␈↓ 
≥␈ε#mod␈↓ 
b␈ε)N␈↓ ␈ε#=
␈βπ1␈↓ ε␈ε,f
␈βπ2␈↓ ↓Y␈ε,e␈↓ 
+␈ε,f
␈βπ3␈↓ α2␈ε,e␈↓ ∧%␈ε,r
␈βπ9␈↓ ↓H␈ε)p␈↓ ↓e␈ε'1␈↓ ↓t␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ α!␈ε)p␈↓ αe␈ε#i␈α↓s␈α∞at␈α∂lea␈α␈st␈↓ ∧λ␈ε)m␈↓ ∧4␈ε#/␈↓ ∧D␈ε)r␈↓ ∧T␈ε#!.␈α [␈ε0Hi␈α↓n␈α}t:␈ε#␈α∪Let␈α∞the␈α∞prime␈α∞facto␈α␈rization␈α∞o␈α␈f␈↓ 	:␈ε)N␈↓ 	i␈ε#b␈α␈e␈↓ 
→␈ε)q␈↓ 
8␈ε'1␈↓ 
H␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ 
t␈ε)q␈↓ ∪␈ε-d␈↓ #␈ε#.
␈βπ:␈↓ α>␈ε-m
␈βπH␈↓ α2␈ε,m
␈βπI␈↓ ↓Y␈ε&1␈↓ 
+␈ε&1
␈βπJ␈↓ ε␈ε,d
␈βπ[␈↓ λ≡␈ε,d
␈βπa␈↓ ↓H␈ε#S␈α␈h␈α↓o␈α}w␈α
tha␈α␈t␈α
a␈α
seq␈α␈ue␈α␈nce␈αof␈α
ex␈α␈pon␈α␈en␈α}ts␈α
(␈↓ ¬f␈ε)e␈↓ ε∧␈ε#,␈↓ ε∪␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ ε?␈ε#,␈↓ εN␈ε)e␈↓ εu␈ε#)␈α
l␈α↓ea␈α␈ds␈α
t␈α␈o␈↓ λ
␈ε#2␈↓ λ:␈ε#solu␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈↓ 	G␈ε)X␈↓ 	s␈ε#wh␈α␈en␈α␈ev␈α␈er␈α
w␈α␈e
␈βπl␈↓ ¬u␈ε&1␈↓ ε\␈ε,m
␈βλ↓␈↓ ∧w␈ε,e
␈βλβ␈↓ ¬Q␈ε,e
␈βλλ␈↓ ↓H␈ε#h␈α␈a␈α␈v␈α␈e␈↓ α∀␈ε)e␈↓ α7␈ε#+␈↓ α↑␈ε7↓␈αε↓␈αε↓␈↓ β␈ε#+␈↓ β2␈ε)e␈↓ βb␈ε7∀␈↓ ∧
␈ε)r␈↓ ∧&␈ε#and␈↓ ∧f␈ε)p␈↓ ¬β␈ε'1␈↓ ¬∪␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ¬@␈ε)p␈↓ ε␈ε#is␈α
a␈α
qu␈α␈adr␈α␈atic␈α
residu␈α␈e␈α
m␈α↓od␈α␈ulo␈↓ 	5␈ε)q␈↓ 	[␈ε#for␈α
1␈ε7␈α	∀␈ε)␈α	i␈ε7␈α
∀␈ε)␈α	d␈ε#.
␈βλ	␈↓ ¬]␈ε-m
␈βλ∀␈↓ α"␈ε&1␈↓ β@␈ε,m␈↓ 	F␈ε,i
␈βλ↔␈↓ ¬Q␈ε,m
␈βλ_␈↓ ∧w␈ε&1
␈βλ*␈↓ λ$␈ε:0␈↓ 	␈ε:0␈↓ 	B␈ε:00␈↓ 
+␈ε:00
␈βλ0␈↓ ↓H␈ε#S␈α␈uc␈α␈h␈αλexp␈α␈on␈α␈en␈α␈t␈αλseq␈α␈uen␈α␈ces␈αλcan␈απbe␈αλob␈α␈taine␈α␈d␈αλas␈αλord␈α␈ered␈αλp␈α␈airs␈α	(␈↓ λ⊗␈ε)e␈↓ λ3␈ε#,␈↓ λB␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ λn␈ε#,␈↓ λ⎇␈ε)e␈↓ 	%␈ε#;␈↓ 	4␈ε)e␈↓ 	R␈ε#,␈↓ 	a␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ 
∞␈ε#,␈↓ 
≤␈ε)e␈↓ 
D␈ε#)␈αλwhere
␈βλ>␈↓ λ$␈ε&1␈↓ 	␈ε,m␈↓ 	B␈ε&1␈↓ 
+␈ε,m
␈βλR␈↓ ↓V␈ε:0␈↓ α{␈ε:0␈↓ ∧F␈ε:0␈α↓0␈↓ ¬l␈ε:0␈α↓0
␈βλU␈↓ βK␈ε&1␈↓ ε=␈ε&1
␈βλX␈↓ ↓H␈ε)e␈↓ ↓m␈ε#+␈↓ α∃␈ε7↓␈αε↓␈αε↓␈↓ αD␈ε#+␈↓ αl␈ε)e␈↓ β≥␈ε7∀␈↓ β]␈ε)r␈↓ βw␈ε#an␈α␈d␈↓ ∧8␈ε)e␈↓ ∧↑␈ε#+␈↓ ¬π␈ε7↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ ¬5␈ε#+␈↓ ¬↑␈ε)e␈↓ ε∂␈ε7∀␈↓ εN␈ε)r␈↓ εi␈ε#a␈α␈nd
␈βλf␈↓ ↓V␈ε&1␈↓ α{␈ε,m␈↓ ∧F␈ε&1␈↓ ¬l␈ε,m
␈βλh␈↓ βK␈ε&2␈↓ ε=␈ε&2
␈βλk␈↓ βK␈∧λkβKα∞␈↓ ε=␈∧λkε=α∞
␈β	$␈↓ βX␈ε;0␈↓ ε"␈ε;00
␈β	'␈↓ ∧1␈ε;0␈↓ ε⎇␈ε;00
␈β	+␈↓ βL␈ε,e␈↓ ε⊗␈ε,e
␈β	-␈↓ ∧%␈ε,e␈↓ ∧U␈ε&(␈↓ ∧←␈ε,q␈↓ ∧w␈ε:␈␈ε&␈α↓1)␈α␈/2␈↓ εq␈ε,e␈↓ π!␈ε&(␈↓ π+␈ε,q␈↓ πD␈ε:␈␈ε&1)/␈α␈2
␈β	4␈↓ β0␈ε#(␈↓ β;␈ε)p␈↓ βh␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ ∧∀␈ε)p␈↓ ∧J␈ε#)␈↓ ∧l␈ε-i␈↓ ¬P␈ε7⊃␈ε#␈α	(␈↓ ε¬␈ε)p␈↓ ε4␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ε`␈ε)p␈↓ π⊗␈ε#)␈↓ π9␈ε-i␈↓ λ≤␈ε#(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ 	≥␈ε)q␈↓ 	9␈ε#)
␈β	5␈↓ βX␈ε'1␈↓ ε"␈ε'1
␈β	7␈↓ ∧1␈ε-m␈↓ ε⎇␈ε-m
␈β	@␈↓ 	.␈ε,i
␈β	C␈↓ ∧%␈ε,m␈↓ εq␈ε,m
␈β	E␈↓ βL␈ε&1␈↓ ε⊗␈ε&1
␈β
λ␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈r␈α1␈ε7␈α	∀␈ε)␈α
i␈ε7␈α	∀␈ε)␈α
d␈ε#.]
␈β
:␈↓ 
∪␈ε:␈␈ε,␈α↓m␈ε&␈α␈/2
␈β
@␈↓ ↓V␈ε331.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Use␈α
form␈α␈u␈α␈la␈α
3.5␈α␈↑33␈αto␈α
sho␈α␈w␈α
th␈α␈at␈α
th␈α␈e␈α
pro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓t␈α␈y␈αi␈α↓s␈αl␈α↓e␈α␈ss␈α
tha␈α␈n␈↓ 
¬␈ε)e␈↓ 
o␈ε#tha␈α␈t
␈β
h␈↓ ↓H␈ε#Dix␈α␈on's␈α	fact␈α␈orization␈αλalgor␈α␈i␈α↓th␈α␈m␈α	(as␈α	de␈α␈scribed␈αλprec␈α␈edin␈α␈g␈α	Theo␈α␈rem␈α	D)␈α	ob␈α␈tains␈α	few␈α␈er␈α	th␈α␈an
␈β∂␈↓ ↓H␈ε#2␈ε)␈α␈m␈ε#␈αou␈α␈tpu␈α␈ts.
␈βE␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βG␈↓ ↓V␈ε332.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈1␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Sho␈α␈w␈α	ho␈α␈w␈α	to␈α	m␈α↓o␈α␈dify␈α	th␈α␈e␈α	RS␈α␈A␈α
e␈α␈nco␈α␈ding␈αλsch␈α␈eme␈α	so␈α	t␈α␈hat␈α	th␈α␈ere␈α	is␈α	no␈α	pr␈α␈oblem
␈βj␈↓ βN␈ε7p␈↓ βV␈ε'3
␈βn␈↓ βj␈∧nβjα 
␈βo␈↓ ↓H␈ε#with␈αmessag␈α␈es␈α<␈↓ βj␈ε)N␈↓ ∧
␈ε#,␈αi␈α↓n␈αsu␈α␈ch␈αa␈αwa␈α}y␈αth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αleng␈α␈th␈αof␈αm␈α␈essag␈α␈es␈αis␈αn␈α↓o␈α␈t␈αsub␈α␈stan␈α␈t␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓ly
␈β↔␈↓ ↓H␈ε#in␈α␈crease␈α␈d.
␈βO␈↓ ↓V␈ε333.␈↓ α␈ε#[␈ε)M5␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈α∂or␈α⊂d␈α␈i␈α↓sp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α␈:␈α∃If␈α⊂a␈α⊂rea␈α␈son␈α␈ably␈α∂e}cien␈α}t␈α⊂algo␈α␈rithm␈α⊂e␈α␈xists␈α⊂th␈α␈at␈α⊂h␈α␈as␈α⊂a
␈βv␈↓ ↓H␈ε#non␈α␈neg␈α␈li␈α↓g␈α␈i␈α↓b␈α␈le␈α	pro␈α␈bab␈α␈il␈α↓it␈α␈y␈α	o␈α␈f␈α
b␈α␈eing␈αλable␈α	to␈α	|␈α␈nd␈ε)␈αλx␈↓ εx␈ε#mod␈↓ π=␈ε)N␈↓ π]␈ε#,␈α
g␈α␈iv␈α␈en␈α	a␈αλn␈α␈um␈α}ber␈↓ 	U␈ε)N␈↓ 	}␈ε#=␈ε)␈α
p␈↓ 
9␈ε)q␈↓ 
U␈ε#whose
␈β
_␈↓ 	∞␈ε&3
␈β
≡␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈rime␈αλfacto␈α␈rs␈αλsatisfy␈ε)␈αλp␈ε7␈α	⊃␈↓ ∧8␈ε)q␈↓ ∧S␈ε7⊃␈ε#␈α	2␈α	(mod␈α␈ulo␈α3␈α␈)␈α	a␈α␈nd␈απgiv␈α␈en␈απthe␈αλv␈α}a␈α␈lue␈αλof␈↓ λ|␈ε)x␈↓ 	#␈ε#mo␈α␈d␈↓ 	h␈ε)N␈↓ 
λ␈ε#,␈α	t␈α␈hen␈απthere
␈β
E␈↓ ↓H␈ε#is␈α
a␈α
reaso␈α␈nab␈α␈ly␈α
e}cien␈α}t␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α
th␈α␈at␈α
has␈α
a␈α
n␈α↓o␈α␈nn␈α␈egligible␈α
pro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓t␈α␈y␈α
o␈α␈f␈αb␈α␈ei␈α↓n␈α␈g␈α
ab␈α␈l␈α↓e␈α
to
␈β
m␈↓ ↓H␈ε#|␈α␈nd␈αth␈α␈e␈αfacto␈α␈rs␈αof␈↓ β[␈ε)N␈↓ β{␈ε#.␈α~[␈α↓If␈αth␈α␈is␈αcou␈α␈ld␈αb␈α␈e␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈ed␈α␈,␈αi␈α↓t␈αw␈α␈ould␈αn␈α↓o␈α␈t␈αon␈α␈ly␈αsho␈α␈w␈αth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αcu␈α␈be
␈β∞∃␈↓ ↓H␈ε#root␈αp␈α␈rob␈α␈l␈α↓e␈α␈m␈αis␈αas␈αd␈α␈i␈α↓}␈α␈cult␈αa␈α␈s␈αfactor␈α␈i␈α↓n␈α␈g,␈αi␈α↓t␈αw␈α␈o␈α␈uld␈αa␈α␈lso␈αsho␈α␈w␈αtha␈α␈t␈αthe␈αRSA␈αsch␈α␈eme␈αha␈α␈s
␈β∞<␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αsam␈α␈e␈αfatal␈α⎇␈α␈a␈α␈w␈αas␈αthe␈α
SQR␈α⎇T␈αsch␈α␈eme.]
␈β∞t␈↓ ↓V␈ε334.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(P␈α↓e␈α␈ter␈↓ βa␈ε#W␈α}ein␈α}berg␈α␈er.)␈α≡S␈α␈up␈α␈po␈α␈se␈↓ ε9␈ε)N␈↓ εf␈ε#=␈ε)␈α
p␈↓ π%␈ε)q␈↓ πD␈ε#in␈α
the␈α
R␈α␈SA␈α
sch␈α␈eme,␈α∞a␈α␈nd␈α
su␈α␈pp␈α␈ose
␈β∂⊗␈↓ ¬↑␈ε,m␈↓ 	~␈ε:␈␈ε&12
␈β∂≤␈↓ ↓H␈ε#y␈α}ou␈α∂k␈α␈no␈α␈w␈α∂a␈α∂n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈ε)␈α∂m␈ε#␈α∂su␈α␈ch␈α∂th␈α␈at␈↓ ¬L␈ε)x␈↓ ¬⎇␈ε#mod␈↓ εB␈ε)N␈↓ εr␈ε#=␈α⊂1␈α∞f␈α↓o␈α␈r␈α∂at␈α∂least␈α∂1␈↓ 		␈ε#0␈↓ 	`␈ε#of␈α∂all␈α∂positiv␈α␈e
␈β∂D␈↓ ↓H␈ε#in␈α}tegers␈ε)␈α
x␈ε#.␈α∞E␈α↓x␈α␈pla␈α␈i␈α↓n␈α
ho␈α␈w␈α
y␈α␈ou␈α
w␈α␈o␈α␈uld␈α
go␈α
a␈α␈bou␈α␈t␈α
f␈α↓a␈α␈ctorin␈α␈g␈↓ πa␈ε)N␈↓ λ␈ε#with␈α↓o␈α␈ut␈α
grea␈α␈t␈αd␈α␈i}cu␈α␈l␈α↓t␈α␈y␈α␈,␈αif␈ε)␈αm
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε#is␈αnot␈αto␈α↓o␈α
l␈α↓a␈α␈rge.
␈β⊂!␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β⊂#␈↓ ↓V␈ε335.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈5␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(H.␈α	C.␈α	W␈α↓illi␈α↓a␈α␈ms,␈α	197␈α␈9.)␈α⊂L␈α↓e␈α␈t␈↓ ε∞␈ε)N␈↓ ε7␈ε#b␈α␈e␈α	th␈α␈e␈α	p␈α␈rod␈α␈uct␈αλof␈α	t␈α␈w␈α␈o␈αλprime␈α␈s␈ε)␈α	p␈ε#␈α	a␈α␈nd␈↓ 
3␈ε)q␈↓ 
E␈ε#,␈α	where
␈β⊂H␈↓ 	\␈ε:␈␈ε,x␈↓ 
↑␈ε,x
␈β⊂K␈↓ ↓H␈ε)p␈↓ ↓↑␈ε#mo␈α␈d␈↓ α#␈ε#8␈α
=␈α3␈αand␈↓ βH␈ε)q␈↓ β←␈ε#mod␈↓ ∧$␈ε#8␈α
=␈α7.␈α⊃P␈α↓ro␈α}v␈α␈e␈αth␈α␈at␈αth␈α␈e␈↓ εx␈ε#J␈α␈acob␈α␈i␈αsym␈α␈b␈α␈ol␈αsatis|␈α␈es␈α(␈↓ 
	␈ε#)␈α
=␈α(␈↓ 
u␈ε#)␈α=
␈β⊂\␈↓ 	d␈ε,N␈↓ 
Y␈ε,N
␈β⊂↑␈↓ 	\␈∧⊂↑	\α*␈↓ 
Y␈∧⊂↑
Yα→
␈β⊂p␈↓ ↓x␈ε&2␈ε,x
␈β⊂r␈↓ ↓H␈ε7␈␈ε#(␈↓ α_␈ε#),␈α	a␈α␈nd␈απuse␈απthis␈απto␈αλd␈α␈esign␈απan␈απen␈α␈cod␈α␈ing/␈α␈de␈α␈cod␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈απschem␈α␈e␈αλa␈α␈nalo␈α␈gou␈α␈s␈αλto␈↓ 	Z␈ε#Rab␈α␈in's␈↓ 
Q␈ε#S␈α␈QR␈α⎇T
␈β⊃∧␈↓ ↓z␈ε,N
␈β⊃¬␈↓ ↓x␈∧⊃¬↓xα≥
␈β⊃~␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈o␈α␈x␈α
bu␈α␈t␈αwith␈α
n␈α↓o␈αa␈α␈m␈α␈big␈α␈uit␈α␈y␈αof␈αme␈α␈ssage␈α␈s.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"398␈↓ 
b␈ε"4.5.4
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα%␈↓ ↓V␈ε336.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈24␈↓ αt␈ε#]␈α⊗Th␈α␈e␈α
a␈α␈symp␈α␈totic␈αana␈α␈lysis␈α
follo␈α␈wing␈α(21␈α␈)␈α
is␈α
too␈α
co␈α␈arse␈αto␈αgiv␈α␈e␈αmean␈α␈ingfu␈α␈l
␈βαM␈↓ ↓H␈ε#v␈α⎇alues␈α
un␈α␈l␈α↓es␈α␈s␈↓ β␈ε)N␈↓ β7␈ε#i␈α↓s␈αe␈α␈xtrem␈α␈ely␈αlarg␈α␈e,␈αsi␈α↓n␈α␈ce␈↓ ε∨␈ε#ln␈↓ ε@␈ε#ln␈↓ εa␈ε)N␈↓ π␈ε#is␈αalw␈α␈a␈α␈ys␈αra␈α␈the␈α␈r␈αsmall␈αwhen␈↓ 
)␈ε)N␈↓ 
T␈ε#is␈αin␈αa
␈βαt␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈ract␈α␈i␈α↓ca␈α␈l␈αra␈α␈ng␈α␈e.␈α∂C␈α↓a␈α␈rry␈αo␈α␈ut␈αa␈αm␈α↓o␈α␈re␈αpre␈α␈ci␈α↓s␈α␈e␈αana␈α␈l␈α↓y␈α␈sis␈αthat␈αg␈α␈i␈α↓v␈α}es␈αinsigh␈α}t␈αi␈α↓n␈α}to␈αthe␈α
beh␈α␈a␈α␈vio␈α␈r
␈ββ≤␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈α∂(2␈α␈1)␈α∂fo␈α␈r␈α∂re␈α␈ason␈α␈ab␈α␈l␈α↓e␈α∞v␈α⎇alues␈α∞of␈↓ ¬%␈ε)N␈↓ ¬E␈ε#;␈α⊂also␈α∞ex␈α␈plain␈α∞ho␈α␈w␈α∞to␈α∞cho␈α↓ose␈α∞a␈α∞v␈α}a␈α␈lue␈α∞of␈↓ 
"␈ε#ln␈↓ 
C␈ε)m␈ε#␈α∞tha␈α␈t
␈ββB␈↓ πT␈ε"(␈↓ 	⊂␈ε")
␈ββD␈↓ ↓H␈ε#m␈α␈i␈α↓n␈α␈imizes␈α(21␈α␈)␈αe␈α␈xcep␈α␈t␈αfor␈αa␈αfa␈α␈ctor␈αof␈αsize␈αa␈α␈t␈αm␈α↓ost␈↓ π ␈ε#e␈↓ π.␈ε#x␈↓ πA␈ε#p␈↓ π`␈ε)O␈↓ πz␈ε#(␈↓ λ¬␈ε#log␈↓ λ5␈ε#log␈↓ λe␈ε)N␈↓ 	¬␈ε#)␈↓ 	≤␈ε#.
␈ββv␈↓ ↓V␈ε337.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈7␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈α⊃tha␈α␈t␈α∩th␈α␈e␈↓ ∧m␈ε#squ␈α␈are␈α⊃ro␈α↓ot␈α⊃of␈α⊃ev␈α␈e␈α␈ry␈α⊃positiv␈α␈e␈α⊃in␈α␈teg␈α␈er␈ε)␈α⊃D␈↓ 	V␈ε#ha␈α␈s␈α∩a␈α⊃p␈α␈eriod␈α␈i␈α↓c
␈β∧≡␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈on␈α␈tin␈α}ued␈α
fraction␈α
of␈αthe␈αfo␈α␈rm
␈β∧f␈↓ αo␈ε7p
␈β∧j␈↓ β␈∧∧jβα≤
␈β∧m␈↓ β␈ε)D␈↓ β/␈ε#=␈↓ βY␈ε)R␈↓ β|␈ε#+␈ε7␈αλ?␈↓ ∧5␈ε)a␈↓ ∧V␈ε#,␈↓ ∧e␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ¬∩␈ε#,␈↓ ¬ ␈ε)a␈↓ ¬D␈ε#,␈αε2␈↓ ¬d␈ε)R␈↓ ¬␈␈ε#,␈↓ ε∞␈ε)a␈↓ ε/␈ε#,␈↓ ε>␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ εj␈ε#,␈↓ εy␈ε)a␈↓ π≥␈ε#,␈αε2␈↓ π<␈ε)R␈↓ πX␈ε#,␈↓ πf␈ε)a␈↓ λπ␈ε#,␈↓ λ⊗␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ λC␈ε#,␈↓ λQ␈ε)a␈↓ λu␈ε#,␈αε2␈↓ 	∃␈ε)R␈↓ 	0␈ε#,␈↓ 	?␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ 	k␈ε7?␈ε#,
␈β∧x␈↓ ∧G␈ε&1␈↓ ¬2␈ε,n␈↓ ε ␈ε&1␈↓ π␈ε,n␈↓ πx␈ε&1␈↓ λc␈ε,n
␈β¬7␈↓ ε9␈ε7p
␈β¬;␈↓ εU␈∧¬;εUα≤
␈β¬<␈↓ ↓H␈ε#u␈α␈nless␈ε)␈αD␈ε#␈α
is␈α
a␈αpe␈α␈rfect␈α
sq␈α␈ua␈α␈re,␈α
where␈↓ ¬X␈ε)R␈↓ ¬␈␈ε#=␈ε7␈αb␈↓ εU␈ε)D␈↓ εp␈ε7c␈ε#␈α
a␈α␈nd␈α(␈↓ πW␈ε)a␈↓ πx␈ε#,␈↓ λπ␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ λ3␈ε#,␈↓ λB␈ε)a␈↓ λf␈ε#)␈α
is␈α
a␈↓ 	>␈ε0pa␈α␈li␈α↓n␈α␈dro␈α␈me␈ε#␈α
(i.e.,
␈β¬H␈↓ πi␈ε&1␈↓ λT␈ε,n
␈β¬d␈↓ ↓H␈ε)a␈↓ ↓n␈ε#=␈↓ α_␈ε)a␈↓ β∀␈ε#for␈α1␈ε7␈α	∀␈ε)␈α	i␈ε7␈α	∀␈ε)␈α
n␈ε#).
␈β¬o␈↓ ↓Y␈ε,i␈↓ α*␈ε,n␈ε&+1␈ε:␈␈ε,␈α↓i
␈βε∀␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βε⊗␈↓ ↓V␈ε338.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈6␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(A.␈↓ β3␈ε#S␈α␈ha␈α␈mir.␈α↓)␈α→Co␈α␈nsid␈α␈er␈αan␈α
abs␈α␈tract␈αco␈α␈mpu␈α␈ter␈αth␈α␈at␈αca␈α␈n␈αp␈α␈erform␈↓ 
→␈ε#t␈α␈he␈αo␈α␈pera␈α␈-
␈βε>␈↓ ↓H␈ε#tio␈α␈ns␈ε)␈αx␈ε#␈αε+␈↓ αY␈ε)y␈↓ αk␈ε#,␈ε)␈αx␈ε7␈αε␈␈↓ β@␈ε)y␈↓ βR␈ε#,␈ε)␈αx␈ε7␈αε↓␈↓ ∧∞␈ε)y␈↓ ∧ ␈ε#,␈αan␈α␈d␈ε7␈α
b␈ε)x␈ε#/␈↓ ¬$␈ε)y␈↓ ¬6␈ε7c␈ε#␈αo␈α␈n␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈ε)␈αx␈ε#␈α
an␈α␈d␈↓ πS␈ε)y␈↓ πp␈ε#o␈α␈f␈αarb␈α␈i␈α↓tr␈α␈ary␈α
l␈α↓e␈α␈ng␈α␈th,␈αin␈α
just␈α
one
␈βεe␈↓ ↓H␈ε#u␈α␈nit␈αo␈α␈f␈αtime␈α␈,␈αno␈αm␈α␈atter␈αho␈α␈w␈αlarg␈α␈e␈αth␈α↓o␈α␈se␈αin␈α␈teg␈α␈ers␈αar␈α␈e.␈α∂The␈αm␈α␈ach␈α␈i␈α↓n␈α␈e␈αsto␈α␈res␈αin␈α␈teg␈α␈ers␈αin␈αa
␈βπ
␈↓ ↓H␈ε#ra␈α␈nd␈α␈om-a␈α␈ccess␈α	mem␈α↓o␈α␈ry␈α	and␈α	it␈α
ca␈α␈n␈α	select␈α
d␈α␈i{ere␈α␈n␈α␈t␈α
p␈α␈rog␈α␈ram␈α	steps␈α	dep␈α␈en␈α␈ding␈α	on␈α	wh␈α␈ethe␈α␈r
␈βπ4␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈r␈αnot␈ε)␈α
x␈ε#␈α	=␈↓ αq␈ε)y␈↓ ββ␈ε#,␈αg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈ε)␈α
x␈ε#␈α
an␈α␈d␈↓ ∧J␈ε)y␈↓ ∧\␈ε#.␈α∞The␈α
pu␈α␈rpo␈α␈se␈α
of␈α
this␈α
exerc␈α␈i␈α↓se␈α
is␈α
to␈α
demon␈α␈strate␈α
th␈α␈at␈α
there
␈βπZ␈↓ 	3␈ε"(
␈βπ\␈↓ ↓H␈ε#is␈αan␈αa␈α␈mazin␈α␈gly␈αfast␈αw␈α␈a␈α␈y␈αto␈αfac␈α␈torize␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈αo␈α␈n␈αsuc␈α␈h␈αa␈αcom␈α␈pu␈α␈ter.␈↓ 	?␈ε#The␈α␈refore␈αit␈αwill
␈βλ∧␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈rob␈α␈ab␈α␈l␈α↓y␈α
be␈α
qu␈α␈ite␈αdi}c␈α␈ult␈αto␈α
sh␈α↓o␈α}w␈αtha␈α␈t␈αfact␈α␈orization␈α
is␈αinh␈α␈eren␈α}tly␈αco␈α␈mplicat␈α␈ed␈αo␈α␈n␈ε0␈α
real
␈βλ)␈↓ ε≠␈ε")
␈βλ+␈↓ ↓H␈ε#m␈α␈ach␈α␈i␈α↓n␈α␈es,␈αalthoug␈α␈h␈αw␈α␈e␈αsu␈α␈spec␈α␈t␈αthat␈αit␈αis.
␈βλ↑␈↓ ↓e␈ε#a)␈↓ α␈ε#Find␈αa␈αw␈α␈a␈α␈y␈αto␈αc␈α␈omp␈α␈ute␈ε)␈αn␈ε#!␈αin␈↓ ¬<␈ε)O␈↓ ¬V␈ε#(␈↓ ¬a␈ε#l␈α↓o␈α␈g␈↓ ε⊃␈ε)n␈ε#␈α↓)␈αstep␈α␈s␈αo␈α␈n␈αsuc␈α␈h␈αa␈αcom␈α␈pu␈α␈ter,␈αg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈αan␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈r
␈β	¬␈↓ α␈ε#v␈α}a␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈ε)␈α
n␈ε7␈α
∃␈ε#␈α2.␈α≥[␈ε0␈α↓Hin␈α}t:␈ε#␈α⊂If␈ε)␈α
A␈ε#␈α
is␈α
a␈α
su␈α␈}cien␈α}tl␈α↓y␈αlarge␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈r,␈α∞the␈αbin␈α↓o␈α␈mial␈α
coe␈α␈}cien␈α␈t␈α␈s
␈β	
␈↓ α␈ε↓␈␈↓ α2␈ε↓↓
␈β	&␈↓ α~␈ε,m
␈β	'␈↓ 
=␈ε,m
␈β	-␈↓ αI␈ε#=␈ε)␈α
m␈ε#␈α␈!/(␈ε)m␈ε7␈απ␈␈↓ ∧∧␈ε)k␈↓ ∧⊗␈ε#)␈α↓!␈↓ ∧0␈ε)k␈↓ ∧C␈ε#!␈αcan␈α
be␈αc␈α␈omp␈α␈uted␈α
read␈α␈il␈α↓y␈α
from␈αth␈α␈e␈αv␈α}alu␈α␈e␈αof␈α(␈ε)A␈ε#␈αλ+␈απ1␈↓ 
2␈ε#)␈↓ 
V␈ε#.␈α↓]
␈β	=␈↓ α∨␈ε,k
␈β	←␈↓ ↓c␈ε#b)␈↓ α␈ε#Sho␈α␈w␈α
h␈α↓o␈α␈w␈α
to␈αco␈α␈mp␈α␈ute␈α
a␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈↓ ¬m␈ε)f␈↓ ε␈ε#(␈ε)␈α↓n␈ε#)␈αin␈↓ ε\␈ε)O␈↓ εw␈ε#(␈↓ πα␈ε#log␈↓ π2␈ε)n␈ε#)␈αstep␈α␈s␈αon␈α
su␈α␈ch␈α
a␈αc␈α␈omp␈α␈uter,␈αg␈α␈iv␈α␈en
␈β
π␈↓ α␈ε#an␈αin␈α␈teg␈α␈er␈αv␈α⎇alue␈ε)␈αn␈ε7␈α∃␈ε#␈α2,␈αh␈α␈a␈α␈vin␈α␈g␈αth␈α␈e␈αfollo␈α␈wing␈αpr␈α␈ope␈α␈rti␈α↓e␈α␈s:␈↓ λY␈ε)f␈↓ λm␈ε#(␈ε)n␈ε#)␈α=␈ε)␈αn␈ε#␈αif␈ε)␈αn␈ε#␈αis␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e,
␈β
.␈↓ α␈ε#oth␈α␈erwise␈↓ β≡␈ε)f␈↓ β2␈ε#(␈ε)n␈ε#)␈α	i␈α↓s␈α	a␈αλpro␈α␈per␈α	(b␈α␈ut␈α	not␈α	n␈α␈ecessa␈α␈ri␈α↓ly␈αλprime)␈α	d␈α␈i␈α↓v␈α␈isor␈α	of␈ε)␈α	n␈ε#.␈α∩[␈ε0Hin␈α␈t:␈ε#␈α
If␈ε)␈α	n␈ε7␈α
≤␈ε#␈α
4␈α␈,
␈β
T␈↓ ¬5␈ε"(␈↓ ε,␈ε")
␈β
V␈↓ α␈ε#on␈α␈e␈αsuc␈α␈h␈αfun␈α␈ction␈↓ ∧_␈ε)f␈↓ ∧,␈ε#(␈ε)n␈ε#)␈αis␈↓ ¬β␈ε#gc␈α␈d␈↓ ¬A␈ε)m␈ε#(␈ε)n␈ε#),␈ε)␈αεn␈↓ ε8␈ε#,␈αwh␈α␈ere␈ε)␈αm␈ε#␈α␈(␈ε)n␈ε#␈α↓)␈α	=␈↓ λ)␈ε#m␈α␈i␈α↓n␈↓ λ`␈ε7f␈↓ λv␈ε)m␈ε7␈α	j␈ε)␈α
m␈ε#␈α␈!␈↓ 	\␈ε#mod␈↓ 
!␈ε)n␈ε#␈α	=␈α
0␈↓ 
␈␈ε7g␈↓ ⊂␈ε#.]
␈βε␈↓ ↓H␈ε"(
␈βλ␈↓ ↓T␈ε#As␈α
a␈α∞c␈α␈on␈α␈sequ␈α␈enc␈α␈e␈α∞of␈α
(b),␈α∞we␈α
ca␈α␈n␈α∞c␈α␈omp␈α␈letely␈α
f␈α↓a␈α␈ctor␈α
a␈α
giv␈α␈en␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈ε)␈α∞n␈ε#␈α∞b␈α␈y␈α
do␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
only
␈β*␈↓ α=␈ε&2
␈β0␈↓ ↓H␈ε)O␈↓ ↓b␈ε#(␈↓ ↓m␈ε#log␈↓ α≥␈ε)n␈↓ α2␈ε#)␈↓ αW␈ε#arith␈α␈metic␈αo␈α␈pera␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αo␈α␈n␈αar␈α␈bitrarily␈αlarg␈α␈e␈αin␈α␈teg␈α␈ers:␈αGi␈α↓v␈α}en␈αa␈α
pa␈α␈rti␈α↓a␈α␈l␈αfa␈α␈ctoriza␈α␈-
␈βV␈↓ λd␈ε"(␈↓ 	i␈ε")
␈βX␈↓ ↓H␈ε#tio␈α␈n␈ε)␈αn␈ε#␈α	=␈↓ αT␈ε)n␈↓ α⎇␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ β)␈ε)n␈↓ βL␈ε#,␈αea␈α␈ch␈α
n␈α↓o␈α␈np␈α␈rime␈↓ ¬@␈ε)n␈↓ ¬j␈ε#ca␈α␈n␈α
be␈α
repla␈α␈ced␈α
by␈↓ λ∧␈ε)f␈↓ λ_␈ε#(␈↓ λ#␈ε)n␈↓ λB␈ε#)␈ε7␈απ↓␈↓ λp␈ε)n␈↓ 	∂␈ε#/␈↓ 	 ␈ε)f␈↓ 	4␈ε#(␈↓ 	?␈ε)n␈↓ 	↑␈ε#)␈↓ 
␈ε#in␈α
a␈αto␈α␈tal␈αo␈α␈f
␈βc␈↓ ↓H␈ε↓P␈↓ αh␈ε&1␈↓ β>␈ε,r␈↓ ¬T␈ε,i␈↓ λ7␈ε,i␈↓ 	∧␈ε,i␈↓ 	S␈ε,i
␈β␈␈↓ ↓s␈ε)O␈↓ α∞␈ε#(␈↓ α→␈ε#log␈↓ αI␈ε)n␈↓ αh␈ε#)␈α=␈↓ β*␈ε)O␈↓ βE␈ε#(␈↓ βP␈ε#log␈↓ ∧␈ε)n␈ε#)␈α
s␈α␈teps,␈αan␈α␈d␈αth␈α␈i␈α↓s␈αre␈α␈|n␈α␈emen␈α}t␈αop␈α␈eration␈αcan␈αbe␈αre␈α␈pea␈α␈ted␈αu␈α␈n␈α␈til␈αall
␈β␈↓ α]␈ε,i
␈β%␈↓ βε␈ε")
␈β'␈↓ ↓H␈ε)n␈↓ ↓r␈ε#are␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e.
␈β2␈↓ ↓\␈ε,i
␈β∂∨␈↓ βv␈ε The␈αproblem␈αof␈αdistinguishing␈αprime␈αnumbers␈αfrom␈αcomposites,
␈β∂F␈↓ ∧≠␈ε and␈αof␈αresolving␈αcomposite␈αnumbers␈αinto␈αtheir␈αprime␈αfactors,
␈β∂n␈↓ ∧*␈ε is␈αone␈αof␈αthe␈αmost␈αimportant␈αand␈αuseful␈αin␈αall␈αof␈αarithmetic.
␈β⊂∃␈↓ αn␈ε ...The␈αdignit␈α␈y␈αof␈αscience␈αseems␈αto␈αdemand␈αthat␈αev␈α␈ery␈αaid␈αto␈αthe␈αsolution
␈β⊂=␈↓ βF␈ε of␈αsuch␈αan␈αelegant␈αand␈αcelebrated␈αproblem␈αbe␈αzealously␈αcultiv␈α}ated.
␈β⊂z␈↓ ∧$␈ε?←K.␈αF.␈↓ ¬!␈ε?GA␈α␈USS,␈ε ␈αDisquisitiones␈αArithmetic≤␈ε?,␈αArt.␈α329␈α(1801)
␈β∪(/FONT#1=cmathx[XGP,SYS]=↓∞⊂⊃∩∪_→~≡ !$%018:<>@ABCPQRSXYZ[prxx/FONT#14=cmsc9[XGP,SYS]=ACDEFGHILMNOPRSTUVYY/FONT#21=cmtt9[XGP,SYS]=125ABCDFHIJLMNPRSTUVXZZ/FONT#32=cmsss8[XGP,SYS]=≤,.ADTabcdefghilmnopqrstuvyzz/FONT#34=cmr10[XGP,SYS]=β	∞∂⊗~!"$'()*+,-./0123456789:;<=>?ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\]↑←abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|⎇}}/FONT#35=cmr9[XGP,SYS]=β	
!"$'()+,-./0123456789:;<=>?ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXY[\]↑←abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|⎇}}/FONT#36=cmr8[XGP,SYS]=∞'*.0ABCEFGHILMNORSTUabdefghiknoprstvxy||/FONT#37=cmr7[XGP,SYS]=()+,./0123456789<=>Macdegilmnoprxx/FONT#38=cmr6[XGP,SYS]=!()+/0123456789<adelmnovv/FONT#39=cmr5[XGP,SYS]=+012345677/FONT#40=cmi10[XGP,SYS]=
∞∂⊂∃⊗_→≤≡∨ABCDEFGHIJLMNOPQRSTUVXabcdefghijklmnopqrstuvwxyz⎇⎇/FONT#41=cmi9[XGP,SYS]=
∞∂⊂∃⊗_→≠≤≡0123456789ABCDEFGHIKMNOPQRSTUVXYabcdefghijklmnpqrstuvwxyz⎇⎇/FONT#43=cmi7[XGP,SYS]=∂≡ABDNSTbcdefijklmnpqrstuvxx/FONT#44=cmi6[XGP,SYS]=≠≤≡Nbdefijklmnpqrstxyzz/FONT#45=cmi5[XGP,SYS]=dijkmnpqrtt/FONT#46=cmsc10[XGP,SYS]=.BCEFINOSTT/FONT#47=cms10[XGP,SYS]=∞∪~≠≤$',-.245:ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTWZabcdefghijklmnopqrstuvwxyz||/FONT#48=cms9[XGP,SYS]=∪",.123456:?ABCDEFGHIJMNPQRST\↑abcdefghilmnopqrstuvwxyz||/FONT#50=cmb10[XGP,SYS]=
'*-.0123456789ABCDEFHILMOPRSTWXabcdefghiklmnopqrstuvwxyy/FONT#51=cmb9[XGP,SYS]=.0123456789CFLPagilnoprstyy/FONT#53=cmtt[XGP,SYS]=()*+,0123456:ABCDEFHIJKLMNOPQRSTUVXZrr/FONT#54=cmsy10[XGP,SYS]=↓α∧ελ	∂⊃∀∃→≤ !&/1<=?@IJK[\bcdefghijkpx⎇⎇/FONT#55=cmsy9[XGP,SYS]=↓ελ	⊃∩∀∃≤ !1?I[↑bcdefgjkpp/FONT#57=cmsy7[XGP,SYS]=∧∀∃!01bcpp/FONT#58=cmsy6[XGP,SYS]=∧∀∃!01bcc/FONT#59=cmsy5[XGP,SYS]=00/FONT#61=cmssb[XGP,SYS]='*.12345ACDEFGHILMNOPRSTXabcdefghilmnorstuvyy/FONT#63=cmss8[XGP,SYS]=(),.012389AFGKSU←rtt